Höhere Mathematik III - Höhere Mathematik an der TUM

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Prof. Dr. K.-H. Hoffmann
Wintersemester 06/07
Blatt 3
Höhere Mathematik III
(Elektrotechnik)
Zentralübung:
Z 3.1
Sei h(x1 , x2 ) := |x1 x2 | für (x1 , x2 ) ∈ R2 wie in Aufgabe Z 1.1. In welchen Punkten
(x1 , x2 ) ist die Funktion h total differenzierbar? Berechnen Sie gegebenenfalls die
totale Ableitung.
Z 3.2
Sei f : R2 → R eine differenzierbare Funktion und T die Tangentialebene an den
Graphen von f im Punkte (x1 , x2 , f (x1 , x2 )). Zeigen Sie, daß der Vektor
v = (∇f (x1 , x2 ), −1)T
senkrecht auf dieser Ebene steht.
Z 3.3
Die Menge D ⊂ R3 sei definiert durch
D =]0, ∞[ × ] − π, π[ × ]−π/2, π/2[
Die Abbildung Φ : D → R3 sei definiert durch


r cos ϕ cos Θ
Φ(r, ϕ, Θ) =  r sin ϕ cos Θ 
r sin Θ
a) Zeigen Sie, daß die Abbildung Φ total differenzierbar ist und berechnen Sie die
Jacobi-Matrix DΦ.
b) Berechnen Sei die Determinante det (DΦ).
Bemerkung: Die Zahlen r, ϕ, Θ heißen Kugelkoordinaten des Punktes Φ(r, ϕ, Θ).
Z 3.4
Seien v, w : R3 → R3 zwei C 1 -Abbildungen (man spricht auch von C 1 -Vektorfeldern).
Die Divergenz des Vektorfeldes v = (v1 , v2 , v3 )T ist definiert durch
div(v) =
∂v1
∂v2
∂v3
+
+
∂x1 ∂x2 ∂x3
Die Rotation von v ist definiert durch

rot v = 
∂v3
∂x2
∂v1
∂x3
∂v2
∂x1
−
−
−
∂v2
∂x3
∂v3
∂x1
∂v1
∂x2


Zeigen Sie, daß falls die Komponentenfunktionen v1 , v2 , v3 von v zweimal stetig partiell
differenzierbar sind, gilt
div (rot v) = 0
Bitte wenden!
Tutor- und Hausaufgaben:
T 3.1
Berechnen Sie die Jacobi-Matrizen der folgenden Funktionen f : Rn → Rm , wobei
a) f : R2 → R3 ,
f (x1 , x2 ) = (x41 , sin (x21 + x32 ), x2 ln (1 + x41 ))T
c) f : R2 → R2 ,
f (x1 , x2 ) = (x1 + x1 x2 , exp (x1 x22 ))T
b) f : R1 → R5 ,
T 3.2
f (x1 ) = (1, 1, arctan x1 , 6x21 , 0)T
Gegeben sei das Vektorfeld v : R3 → R3 durch


x21 + x22
v(x1 , x2 , x3 ) =  sin (x21 + x22 ) 
ln (x21 + x22 )
a) Berechnen Sie die Jacobi-Matrix Dv.
b) Berechnen Sie div v, rot v, ∇(div v).
T 3.3
Die Menge E ⊂ R3 sei definiert durch
E =]0, ∞[ × ] − π, π[ × R
Die Abbildung Γ : E → R3 sei definiert durch


r cos ϕ
Φ(r, ϕ, z) =  r sin ϕ 
z
a) Zeigen Sie, daß die Abbildung Γ total differenzierbar ist und berechnen Sie die
Jacobi-Matrix DΓ.
b) Berechnen Sei die Determinante det (DΓ).
Bemerkung: Die Zahlen r, ϕ, z heißen Zylinderkoordinaten des Punktes Γ(r, ϕ, z).
T 3.4
a) Seien v, w : R3 → R3 zwei C 1 -Vektorfelder wie in Aufgabe Z 3.4. Zeigen Sie,
daß
div (v × w) = hw, rot vi − hv, rot wi
Hier bezeichnet h·, ·i das euklidische Skalarprodukt im R3 .
b) Zeigen Sie, daß für eine zweimal stetig partiell diferenzierbare Funktion f : R3 →
R gilt
rot (∇f ) = 0
⋆
T 3.5. Die Funktion f : R2 → R sei definiert durch f (x1 , x2 ) = √x12x2
x1 +x22
für (x1 , x2 ) 6= (0, 0)
und f (0, 0) = 0. Zeigen Sie, daß f im Punkt (0, 0) stetig und partiell differenzierbar
ist, aber nicht total differenzierbar ist.