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Ableitung Zusammenfassung

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Ableitung – Zusammenfassung
Inhalt
1. Allgemeines ......................................................................................................................................... 2
1.1 Wurzeln ableiten ........................................................................................................................... 2
1.2 Brüche ableiten ............................................................................................................................. 3
2. Ableitungsregeln.................................................................................................................................. 4
2.1 Kettenregel (Summen & Differenzen ableiten) ............................................................................. 4
2.2 Produktregel .................................................................................................................................. 4
2.3 Quotientenregel ............................................................................................................................ 5
3. Trigonometrische Funktionen ableiten ............................................................................................... 6
4. Aussagen der einzelnen Ableitungen (Hoch-, Tief-, Sattel- und Wendepunkte bestimmen) ............. 6
5. Beziehung zwischen Ableitung und Stammfunktion (graphisch) ........................................................ 7
-1-
1. Allgemeines
Um einen Ausdruck der Form 𝑓(π‘₯) = π‘Ž βˆ— π‘₯ 𝑏 abzuleiten (auch: zu differenzieren), wird der
Exponent (b) der Variable (x) zuerst mit dem Vorfaktor (a) der Variable multipliziert und
anschließend um 1 verringert.
𝑓(π‘₯) = π‘Ž βˆ— π‘₯ 𝑏
Bsp.
𝑓′(π‘₯) = 𝑏 βˆ— π‘Ž βˆ— π‘₯ π‘βˆ’1
β†’
𝑓(π‘₯) = 2 βˆ— π‘₯ 4
𝑓 β€² (π‘₯) = 4 βˆ— 2 βˆ— π‘₯ 4βˆ’1
𝑓 β€² (π‘₯) = 8 βˆ— π‘₯ 3
Neben der ersten Ableitung können auch noch weitere Ableitungen wie z.B. 𝑓 β€²β€² (π‘₯)
(zweite Ableitung) oder 𝑓 β€²β€²β€² (π‘₯) (dritte Ableitung) gebildet werden. Diese werden höhere
Ableitungen genannt. Eine höhere Ableitung ist immer die erste Ableitung der nächst
niedrigeren Ableitung (𝑓 β€²β€²β€² (π‘₯) entspricht der 𝑓 β€² (π‘₯) von 𝑓 β€²β€² (π‘₯)). Jeder Term ergibt also
irgendwann 0, danach kann nicht mehr weiter abgeleitet werden. Die Anzahl der Striche
nach dem f gibt an, um die wievielte Ableitung der Stammfunktion1 es sich handelt.
! WICHTIG !
β€’
β€’
β€’
Bei negativen Exponenten aufpassen!
Zahlen, die in der Stammfunktion nicht mit einer Variablen multipliziert werden
(Absolutglieder), fallen in der Ableitung weg (β€žeinsame Zahlen sterben einsam.β€œ)
x ergibt in der Ableitung immer 1.
Begründung:
𝑓(π‘₯) = π‘₯
π‘₯ ≙ π‘₯1
β†’
𝑓′(π‘₯) = 1 βˆ— π‘₯ 1βˆ’1
π‘₯0 = 1
β†’
𝑓 β€² (π‘₯) = 1
β†’
𝑓 β€² (π‘₯) = π‘₯ 0
1.1 Wurzeln ableiten
Um Wurzeln ableiten zu können, muss die Wurzel zunächst in eine Potenz umgeschrieben
werden. Dazu nimmt man den Radikant (bei mehr als einem Summanden Klammer nicht
1
vergessen!) als Basis und schreibt als Exponent den Ausdruck π‘Šπ‘’π‘Ÿπ‘§π‘’π‘™π‘’π‘₯π‘π‘œπ‘›π‘’π‘›π‘‘.
π‘Ž
𝑓(π‘₯) = √(𝑏 + 𝑐)
1
𝑓(π‘₯) = (𝑏 + 𝑐)π‘Ž
1
Stammfunktion = ursprünglich gegebene Funktion.
-2-
Anschließend kann normal abgeleitet werden (siehe Allgemeines), die Klammer wird dabei
wie eine Variable behandelt.
Bsp.
3
𝑓(π‘₯) = √(2 + 14)
π‘Ž
𝑓(π‘₯) = √(𝑏 + 𝑐)
1
𝑓(π‘₯) = (𝑏 +
𝑓(π‘₯) = (2 + 14)3
1
𝑐)π‘Ž
1
1
𝑓 (π‘₯) = βˆ— (𝑏 + 𝑐)π‘Žβˆ’1
π‘Ž
β€²
𝑓 β€² (π‘₯) =
1
1
βˆ— (2 + 14)3βˆ’1
3
𝑓 β€² (π‘₯) =
2
1
βˆ— (2 + 14)βˆ’ 3
3
1.2 Brüche ableiten
Um Brüche ableiten zu können, müssen auch diese in Potenzen umgeschrieben werden.
Dabei gilt:
a) Stehen Variablen (x) mit positivem Exponenten (b) im Nenner eines Bruchs, so kann der
Bruch eliminiert werden, indem man das Vorzeichen des Exponenten ändert (π‘₯ βˆ’ 𝑏 ) und
diesen Ausdruck mit dem Zähler (a) multipliziert. Anschließend kann ganz normal abgeleitet
werden (im Exponenten auf Vorzeichen aufpassen!).
𝑓(π‘₯) =
Bsp.
π‘Ž
π‘₯𝑏
𝑓(π‘₯) = π‘Ž βˆ— π‘₯
𝑓(π‘₯) =
βˆ’π‘
2
π‘₯3
𝑓(π‘₯) = 2 βˆ— π‘₯ βˆ’3
𝑓 β€² (π‘₯) = (βˆ’π‘) βˆ— π‘Ž βˆ— π‘₯ βˆ’π‘βˆ’1
𝑓 β€² (π‘₯) = (βˆ’3) βˆ— 2 βˆ— π‘₯ βˆ’3βˆ’1
𝑓 β€² (π‘₯) = βˆ’6 βˆ— π‘₯ βˆ’4
b) Stehen Variablen (x) mit negativem Exponenten (b) im
Nenner eines Bruchs, so kann der Bruch aufgelöst werden, indem man das Vorzeichen des
Exponenten ändert (π‘₯ 𝑏 ) und diesen Ausdruck mit dem Zähler (a) multipliziert. Anschließend
kann ganz normal abgeleitet werden.
𝑓(π‘₯) =
π‘Ž
π‘₯βˆ’ 𝑏
𝑓(π‘₯) = π‘Ž βˆ— π‘₯ 𝑏
𝑓 β€² (π‘₯) = 𝑏 βˆ— π‘Ž βˆ— π‘₯ π‘βˆ’1
Begründung für a) & b):
𝑓(π‘₯) =
π‘Ž
π‘₯βˆ’ 𝑏
1
π‘₯𝑏
π‘Ž
𝑓(π‘₯) = 1
1
π‘₯𝑏
π‘₯ βˆ’π‘ =
𝑓(π‘₯) =
π‘Ž 1
∢
1 π‘₯𝑏
π‘Ž π‘₯𝑏
βˆ—
1 1
-3𝑓(π‘₯) = π‘Ž βˆ— π‘₯ 𝑏
𝑓(π‘₯) =
Bsp.
𝑓(π‘₯) =
2
π‘₯ βˆ’3
𝑓(π‘₯) = 2 βˆ— π‘₯ 3
𝑓 β€² (π‘₯) = 3 βˆ— 2 βˆ— π‘₯ 3βˆ’1
𝑓 β€² (π‘₯) = 6 βˆ— π‘₯ 2
2. Ableitungsregeln
2.1 Kettenregel (Summen & Differenzen ableiten)
Bei Termen mit mehreren Summanden wird jeder Summand einzeln abgeleitet. (Differenzen
sind ebenfalls Summen, die Summanden haben nur negative Vorzeichen!)
Bsp.
𝑓(π‘₯) = π‘Ž βˆ— π‘₯ 𝑏 + 𝑐 βˆ— π‘₯ 𝑑 βˆ’ 𝑒 βˆ— π‘₯ 𝑓
𝑓(π‘₯) = 5 βˆ— π‘₯ 7 + 3 βˆ— π‘₯ βˆ’2 βˆ’ 4 βˆ— π‘₯ 9
𝑓′(π‘₯) = π‘Ž βˆ— 𝑏 βˆ— π‘₯ π‘βˆ’1 + 𝑐 βˆ— 𝑑 βˆ— π‘₯ π‘‘βˆ’1 βˆ’ 𝑒 βˆ— 𝑓 βˆ— π‘₯ π‘“βˆ’1
𝑓 β€² (π‘₯) = 5 βˆ— 7 βˆ— π‘₯ 7βˆ’1 + 3 βˆ— (βˆ’2) βˆ— π‘₯ βˆ’2βˆ’1 βˆ’ 4 βˆ— 9 βˆ— π‘₯ 9βˆ’1
2.2 Produktregel
Steht im Ausgangsterm (Stammfunktion) ein Produkt, so gilt, folgende Regel: Der erste
Faktor (u) wird mit der Ableitung des zweiten Faktors (vβ€˜) multipliziert, anschließend addiert
man das Produkt aus dem zweiten Faktor (v) und der Ableitung des ersten Faktors (uβ€˜) dazu.
Es ist also sinnvoll, die Ableitungen der einzelnen Faktoren zunächst separat in einer
Nebenrechnung zu notieren.
𝑓(π‘₯) = 𝑒 βˆ— 𝑣
wird zu
𝑓 β€² (π‘₯) = 𝑒 βˆ— 𝑣 β€² + 𝑣 βˆ— 𝑒′
Bsp.
NR.
𝑓(π‘₯) = 2π‘₯ 3 βˆ— 4π‘₯ 5
2π‘₯ 3
4π‘₯ 5
β†’
β†’
6π‘₯ 2
20π‘₯ 4
𝑓 β€² (π‘₯) = 2π‘₯ 3 βˆ— 20π‘₯ 4 + 4π‘₯ 5 βˆ— 6π‘₯ 2
Besteht das Produkt der Stammfunktion aus mehr als zwei Faktoren, gilt es, zunächst so
viele Faktoren wie möglich zusammenzufassen, um schlussendlich wieder nur zwei Faktoren
zu erhalten. Im Grunde wird also zunächst substituiert (dies kann ebenfalls in einer
Nebenrechnung geschehen). Erst danach kann -genau wie bei Produkten aus nur zwei
Faktoren- abgeleitet werden.
𝑓(π‘₯) = 𝑒 βˆ— 𝑣 βˆ— 𝑝
NR.
Quotientenregel
Bsp.
𝑓(π‘₯) = 2π‘₯ 3 βˆ— 4𝑦 5 βˆ— 6𝑝2
NR.
𝑧 =π‘’βˆ—π‘£
𝑧 = 2π‘₯ 3 βˆ— 4𝑦 5
𝑧′ = (𝑒 βˆ— 𝑣)β€²
𝑧 β€² = 2π‘₯ 3 βˆ— 20π‘Œ 4 + 4𝑦 5 βˆ— 6π‘₯ 2
p = 6𝑝2
𝑓′(π‘₯) = 𝑧 βˆ— 𝑝′ + 𝑝 βˆ— 𝑧′
pβ€˜ = 12p
𝑓 β€² (π‘₯) = 2π‘₯ 3 βˆ— 4𝑦 5 βˆ— 12𝑝 + 6𝑝2 βˆ— (2π‘₯ 3 βˆ— 20π‘Œ 4 + 4𝑦 5 βˆ— 6π‘₯ 2 )
-4-
2.3 Quotientenregel
Beim Ableiten von Divisionen (Brüchen) gilt folgendes:
𝑒(π‘₯)
Ist die Funktion f eine Funktion der Form 𝑓(π‘₯) = 𝑣(π‘₯), so ist es zunächst hilfreich, die
Funktion im Zähler (u(x)) und die Funktion im Nenner (v(x)) einzeln in einer Nebenrechnung
Bsp.
abzuleiten.
2π‘₯ 3
Gegebene Stammunktion: 𝑓(π‘₯) = 4π‘₯ 2
Nr.
u(x) = 2π‘₯ 3 β†’ uβ€˜(x) = 6π‘₯ 2
v(x)= 4π‘₯ 2 β†’ v(x)β€˜ = 8π‘₯
Anschließend ist folgende Formel anzuwenden, um die Ableitung zu bestimmen:
!
𝑓 β€² (π‘₯) =
𝑒′ βˆ— 𝑣 βˆ’ 𝑣 β€² βˆ— 𝑒
𝑣2
!
Um fβ€˜(x) schrittweise zu bestimmen ist also folgendermaßen vorzugehen:
1) Die Ableitung des Zählers (uβ€˜) und die Ableitung des Nenners (vβ€˜) in einer Nebenrechnung bilden (s.o.).
2) Das Produkt aus der Ableitung des Zählers (uβ€˜) und dem Nenner der Stammfunktion (v) bilden (uβ€˜ * v).
3) Das Produkt aus der Ableitung des Nenners (vβ€˜) und dem Zähler der Stammfunktion (u) bilden (vβ€˜ * u).
4) Die Ergebnisse aus den Schritten 2 und 3 voneinander in dieser Reihenfolge subtrahieren
(uβ€˜ * v - vβ€˜ * u)
𝑒′ βˆ—π‘£βˆ’π‘£ β€² βˆ—π‘’
)
𝑣2
5) Diese Differenz durch das Quadrat des Nenners der Stammfunktion (
-5-
teilen.
sin
3. Trigonometrische Funktionen
ableiten
Beim Ableiten von trigonometrischen Funktionen gilt:
Eine Sinusfunktion wird abgeleitet zu einer
Kosinusfunktion, eine Kosinusfunktion wird abgeleitet zu
-cos
cos
einer β€žMinus-Sinusfunktionβ€œ und eine β€žMinusSinusfunktionβ€œ wird abgeleitet wieder zu einer
Sinusfunktion (siehe Schaubild). (Darauf achten, am
-sin
Ende mit innerer Ableitung zu multiplizieren!!)
4. Aussagen der einzelnen Ableitungen (Hoch-, Tief-, Sattelund Wendepunkte bestimmen)
Ist eine Stammfunktion gegeben, so müssen zur Bestimmung von Extrema zunächst alle
Ableitungen gebildet werden. Worüber die einzelnen Ableitungen im Bezug auf das
Schaubild der Stammfunktion Auskunft geben, zeigt folgende Tabelle:
fβ€˜(x)
Steigung der Stammfunktion an der Stelle x
β€’
fβ€˜(x) > 0 β†’ Stammfunktion steigt an der Stelle x
β€’
fβ€˜(x) < 0 β†’ Stammfunktion fällt an der Stelle x
β€’
fβ€˜(x) = 0 β†’ Stammfunktion hat an der Stelle x keine Steigung
fβ€˜β€˜(x)
Notwendige
β€žKurvigkeit/ Krümmungβ€œ
β€’
fβ€˜β€˜(x) > 0 β†’ linksgekrümmt
β€’
fβ€˜β€˜(x) < 0 β†’ rechtsgekrümmt
β€’
fβ€˜β€˜(x) = 0 β†’ keine Krümmung
Hochpunkt
Tiefpunkt
Sattelpunkt
Wendepunkt
fβ€˜(x) = 0
fβ€˜(x) = 0
fβ€˜(x) = 0
fβ€˜β€˜(x) = 0
fβ€˜β€˜(x) < 0
fβ€˜β€˜(x) > 0
fβ€˜β€˜(x) = 0 ^ fβ€˜β€˜β€˜(x) β‰  0
fβ€˜β€˜β€˜(x) β‰  0
Bedingung
Hinreichende
fβ€˜β€˜(x) < 0 β†’L-R-W
Bedingung
fβ€˜β€˜(x) > 0 β†’ R-L-W
Schaubild
-6-
5. Beziehung zwischen Ableitung und Stammfunktion
(graphisch)
Aussage2
Schaubild
Ein Extremum (E) in der Stammfunktion
bedeutet eine Nullstelle (N) in der ersten
Ableitung, aber keinen speziellen Punkt in
der zweiten Ableitung.
Ein Wendepunkt (W) in der Stammfunktion
bedeutet ein Extremum (E) in der ersten
Ableitung und eine Nullstelle (N) in der
zweiten Ableitung.
Ein Wendepunkt (W) in der ersten Ableitung
bedeutet ein Extremum (E) in der zweiten
Ableitung, aber keinen speziellen Punkt in
der Stammfunktion.
Diesen Zusammenhang kann man sich gut mit der sog. β€žNEW-Regelβ€œ (NEW = engl. neu)
merken.
f
fβ€˜
fβ€˜β€˜
2
N
E
W
N
E
W
N
E
Steigt
fällt
Oberhalb x-Achse
Unterhalb x-Achse
W
Alle Aussagen beziehen sich auf den Graphen einer Funktion.
-7-
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