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Symbolverzeichnis nachlesen bei Bedarf
Index zum nachlesen von begriffen
Verständnisfragen für theorieteil
Transferfragen für Klausur sehr wichtig
Aufgaben erst rechnen, dann Lösung anschauen
Sternchen Schwierigkeitsgrad
Warm Up EIS II
SoSe 2016
Warm Up EIS II
1. Mathematik
1.1. Formen Sie die folgenden Terme unter Anwendung der Potenzgesetze bzw. Logarithmengesetze um.
a)
b)
xa
x
b
X
ln ( x y )
a
b
la 4 t duly
1.2. Lösen Sie die Differentialgleichung f(x,t) nach der Variabel t auf.
Variablen: t und x, Konstanten: a, b und c.
a dx
dt
b x c
1.3. Bilden Sie das Integral der folgenden Funktionen:
f(x)
F( x )
1
2 4x
f ( x ) dx + C
FG Shufflex DX
1
e2x
1.4. Definieren Sie für das rechtwinklige Dreieck in Abb.1 die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und
Tangens des Winkels α. Nutzen Sie hierfür die angegebenen Beschriftungen der Dreiecksseiten.
Sin
Los
c
a
an
a
c
b
a
α
·
b
Abb.1 – rechtwinkliges Dreieck
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Prof. Dr.-Ing. M. Kraume
M.Sc. S. Röhl
Energie-, Impuls- und Stofftransport II
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Erschallen
innereHaut ugleichsetzen
IntegrationdurchSubstituten
u
Inlegnhasundleersetzen
FCH Fln
O
flu
E
dt ekuldun
JL
DX Fln
JDFLH.GE
Je Edu
Seidu
I
e
2
Rücksubsttnh.cn
F
tz e 24C
FG
DGL
Gewöhnliche
c
y
Variable abhängt
4 t nur von 1
X
nur nochdieserabgeleitetwird
kxtdx.tn
Fkt
pcrtielleDGLmvmdrevoidbnv.ae zudem abgelehnt wird
ylx.kz
FCK tz yLKA
Zornigen
x
0
zweiteAbleitungen nachgleierkridhoderveschedenen
5yltix.se
cderJ4lhIXz
Jx
44,4
JA
In der
FCxn.my 0
n
II
O
DGLnoch kühlerAbleiten aufgelöstOderlässt siesichsounternendasssienach höchsteAbletey aufgelönist
0 homogen
explizit
implizit
inhomogen
sonst
0
f y y y blt
T
tudou.ae ct4aUeTerwedivon
isst
ÜneareDGL
ml
abhängen
l
I
y y you Au City
LXHAolhylhtblxlhdefmg.wrtkoe.lt
und addiert Kueltkönnenvon
f
x
unehphiert
odery in nichtlineareFlat
mit
Kunst Koect
lineareDGV
ufangswertproblem
a
KO
1
y
abhängen
m.leinm.ir
Kochtnichtvon
L
410 L
unterOrdnung benötigt h
Anfangswerte
andientProblem
ankenntZustände an denRändern
abhängen
gleichsetzenundAnfangswert
1
Auflösennach
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1.5.
Lesen Sie die x- und y-Koordinatenwerte der eingezeichneten Punkte aus Abb. 2 ab.
1.000.000,0
2
10
100.000,0
I.co 1
10
I wo
10.000,0
0
10
1.000,0
-1
10
1
100,0
-2
z
j
1,00E+00
10
ns noss
-2
10
2so2
101
z sa
-1
0
1,00E+01
10
1,00E+02
10
1
2
1,00E+03
10
1,00E+04
10
Abb. 2 – logarithmisches Diagramm
1.6. Wenden Sie für den Ausdruck die Taylorreihenentwicklung an mit einem Abbruch nach dem 1. Glied.
x dx
vast
dt
VG
1.7. Lösen Sie das Gleichungssystem.
2 x 3 y z 11
x y 2z 3
3x 2 y 3z 8
flxth
fY
de mit2dLmultiplemaddieren
aus
IFK
leichtzu eliminierende
1
z
Zehen
hier
beiden
doddierender
Variable
alsersteslöse
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Energie-, Impuls- und Stofftransport II
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h a
d
JX
DX
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1.8. Vervollständigen Sie die Tabelle mit den Berechnungsgleichungen der gesuchten Größen.
Mantelfläche
AM[m2]
Zylinder
d
Volumen
V[m3]
FLEIL
Hdl
L
Oberfläche
Ao[m2]
Kugel
Volumen
V[m3]
EIN
Id
d
Schatten/Projektionsfläche
As[m2]
DL
Schatten/Projektionsfläche
As[m2]
L
2. Thermodynamik/physikalische Chemie
2.1. Geben Sie das ideale Gasgesetz an. Definieren Sie die Einheit aller Größen die in dem Gesetz
auftreten.
R Goskonstante Ilmoek
PDreck PD
PV NRT
Volumen
m
T
und
N Stoltmengeverstanden?
2.2. Was wird unter dem Begriff Sättigungsdampfdruck
p wo C g Phase im Gtwstehen
Temperatur
EK
2.3. In einem Volumen von V=2L befinden sich 2 Komponenten, 5 kg der Komponente A und 3 kg der
Komponente B. Berechnen Sie die Massenkonzentrationen respektive Partialdichten der Komponenten
A und B ( A und B), sowie die Gesamtdichte . Geben Sie die Ergebnisse in [kg/m3] an.
Paten
Vges
PAYS
je
1ms 1000L
A
Fv
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Energie-, Impuls- und Stofftransport II
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3. Einheiten physikalischer Größen
3.1. Geben Sie die Einheiten der Größen an:
Physikalische Größe
Symbol
Ideale Gaskonstante
R
Isobare Wärmekapazität
cp
Einheit
I Amulik
II kg k
N
Impulsstrom
kg Im2 s
flächenbezogene
Massenstromdichte
3.2. Formen Sie die Einheiten der Größen in [s], [kg] und [m] um:
Physikalische
Größe
Symbol
Einheit
Energie
E
Joule [J]
Kraft
F
Newton [N]
Druck
p
Pascal [Pa]
Leistung
P
Watt [W]
Umgeformte
Einheit
ksnfszkg.sn
Tz
ks.ms
ks.sn
3.3. Überprüfen Sie die folgende Gleichung auf Ihre Richtigkeit:
7200 W 12 mol
Umrechnung
E
20 C
bar d
10 3 N
kg
m2
1
293 ,15 kmol 10 5 K
K
273,15
1bar
105Pa
ÄÄÄ
h min S
so
oo
www.zn
d
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Energie-, Impuls- und Stofftransport II
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A-19
A.11 Übersicht zur Aufstellung von Bilanzgleichungen
A.11 Übersicht zur Aufstellung von Bilanzgleichungen
Die allgemeine Bilanzgleichung der Austauschgrößen hat die folgende Form:
S
Z
(1.12)
A W
Diese Gleichung besagt, dass die Änderung der im System gespeicherten Mengen gleich der Summe der in das
System ein- bzw. aus dem System austretenden und der im System gewandelten Mengen ist. Austauschgrößen
sind dabei Energie, Impuls oder die Stoffmenge.
Bei der Aufstellung von Bilanzgleichungen ist folgendermaßen vorzugehen:
1.
Skizzieren des Systems
2.
Wahl der Bilanzgröße
Energie
Impuls/Kraft
Stoffmenge/Masse
3.
Wahl der Bilanzart
integral: Ein- und Ausgangsgrößen; Mittelwerte
differentiell: ortsaufgelöst; Verläufe
4.
Wahl des Bilanzraumes und Einzeichnen aller ein- und austretenden Ströme
5.
Aufstellen der Bilanz nach Gl. (1.12)
Eine Übersicht der einzelnen Terme Speicher, Ströme und Wandlung für die Bilanzgrößen Energie, Impuls und
Masse bzw. Stoffmenge ist in Tabelle A.19 zusammengefasst.
Tabelle A.19. Bilanzgleichungen
Bilanzgröße
Speicherterm
Ströme (Zu- und Abfuhrterm)
Wandlungsterm
Enthalpiestrom:
dE ges
dU
dt
dt
Energie
mit E ges U
d M 1cv
dt
Ekin
0
M 1c p
0
konvektiver Wärmeübergang:
E pot
unter Vernachlässigung der
äußeren Energien gilt
E ges
H1
Q
A
HV
U
A
I
Impuls
d M 1w1
dt
r hRVR
hV M V
d
dy
Impulsstrom:
dI
dt
HR
Verdampfungsenthalpie:
Wärmeleitung:
Q
Reaktionsenthalpie:
Volumenkräfte:
M1w1
w12
Druckkraft:
A
FV
aM
z.B. Gewichtskraft:
FP
pA
FG
gM
A-20
A Anhang
Scherspannung:
FS
A
Widerstandskraft:
FW
2
w2 A
mit: A Schattenfläche
für durchströmte Rohre:
FW
Gesamtmasse
dM
dt
2
dV
dt
w2
M
V
Mi
V
L
A
d
Die Gesamtmasse ist eine Erhaltungsgröße.
konvektiv:
Masse
Komponentenbilanz
chemische Reaktion 1. Ordnung:
i
konvektiver Stoffübergang:
dM i
dt
dV
dt
i
Mi
A
M i ,R
~
i rVR M i
i
diffusiv:
Mi
Gesamtstoffmenge
dN
dt
D AB A
d Vc
dt
N
Vc
Ni
Vc i
d i
dy
Die Gesamtstoffmenge ist auf
atomarer Ebene eine Erhaltungsgröße. Molenbilanz für
Gesamtstoffmenge ist unüblich.
konvektiv:
Stoffmenge
Komponentenbilanz
konvektiver Stoffübergang:
dN i
dt
d Vci
dt
Ni
A ci
diffusiv:
Ni
D AB A
dc i
dy
chemische Reaktion 1. Ordnung:
N i ,R
i rVR
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4. Energie-Impuls- und Stofftransport I
4.1. Definieren Sie die Gesetze für den molekularen Energie- und Stofftransport. Wann treten diese
Transporte auf? Nennen Sie Beispiele.
Energietransport:
dT
dT
bzw.
Q
A
dy
dy
Beispiel: Wärmetransport durch ein Mauerwerk/ Dämmschicht (siehe Aufgabe 4.2).
q
Stofftransport:
mA
D AB
d A
dy
MA
bzw.
D AB A
d A
dy
Beispiele: Wasserstoff diffundiert aus einem Stahltank.
Sauerstoff diffundiert in Butter.
4.2. Zeichnen Sie in Abb. 3. das Temperaturprofil für das Mauerwerk und die Dämmschicht ein. Nehmen
Sie hierbei geeignete Größenordnungen für die Wärmeleitfähigkeit
des Mauerwerks und der
Dämmschicht an.
umso
Dämmschicht
II
Mauerwerk
hoher
desto steiler Freilauf
I
1
2
x
Abb. 3 – Mauerwerk und Dämmschicht
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2
Energie-, Impuls- und Stofftransport II
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Warm Up EIS II
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4.3. Bennen Sie die Gesetze für den konvektiven Stoff- und Wärmeübergang.
Stoffübergang:
mA
A
bzw.
MA
A
nA
bzw.
NA
A
cA
Wärmeübergang:
q
bzw.
Q
A
cA
A
4.4. Wie lautet die allgemeine Bilanzgleichung? Benennen und erläutern Sie jeden Term der Gleichung.
S
Z
A W
Ṡ -Speicherterm
Ż -Zufluss
Ȧ -Abfluss
Ẇ -Wandlungsterm
(zeitliche Änderung der Bilanzgröße im System)
(Summe aller über die Bilanzgrenze eintretender Ströme)
(Summe aller über die Bilanzgrenze austretender Ströme)
(Quelle oder Senke innerhalb der Bilanzgrenzen)
4.5. In welchem Term der allgemeinen Bilanzgleichung werden homogene chemische Reaktionen
berücksichtigt?
Im Wandlungsterm (Quellterm)
4.6. Zwischen welchen Bilanzarten wird unterschieden?
Integrale- und differentielle Bilanz
4.7. Welche Bilanzgrößen gibt es?
Energie, Impuls, Masse, Stoffmenge. Hinweis: Bei Masse und Stoffmenge wird zwischen der Bilanzierung der
Gesamt- und Komponentenbilanz unterschieden.
4.8. Welche Bilanzart und Bilanzgröße würden Sie ansetzen für die Bestimmung eines axialen
Konzentrationsprofiles einer Komponente in einem durchströmten Rohr?
an.ae
Bilanzart: differentiell
Bilanzgröße: Komponentenstoffbilanz
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4.9. Geben Sie die Definition und die Einheit folgender Kennzahlen an.
Kennzahl
Definition
Prandtlzahl
Reynoldszahl
Sherwoodzahl
Schmidtzahl
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Pr
Re
Sh
Sc
Einheit
[-]
a
w Lchar
[-]
Lchar
D AB
[-]
[-]
D AB
Energie-, Impuls- und Stofftransport II
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Technische Universität Berlin
Institut für Energietechnik
Fachgebiet Maschinen- und Energieanlagentechnik
Prof. Dr.-Ing. Felix Ziegler
Energie-, Impuls- und Stofftransport I
Formel amml ng
1 Grundlagen und Definitionen
1.1 Geometrie
Kreisfläche:
𝐴
𝜋𝑟
(1)
Kreisumfang:
𝑈
2𝜋𝑟
(2)
Kugeloberfläche:
𝐴
4𝜋𝑟
(3)
Kugelvolumen:
𝑉
4
𝜋𝑟
3
(4)
1.2 Thermodynamische Grundlagen
Thermische Zustandsgleichung idealer Gase:
𝑝𝑉
𝑁𝑅𝑇
bzw.
𝑝𝑣
𝑅𝑇
mit
𝑅
𝑅
(5)
𝑀
Thermische Zustandsgleichung des inkompressiblen Fluides:
𝑣
const
(6)
Innere Energie und Enthalpie (kalorische Zustandsgleichungen) eines idealen Gases:
𝑢 𝑇
𝑢ref
𝑐 𝑇 𝑑𝑇
(7)
𝑐 𝑇 𝑑𝑇
(8)
ref
ℎ 𝑇
ℎref
ref
Innere Energie und Enthalpie (kalorische Zustandsgleichungen) eines inkompressiblen Fluides mit konstanter spezifischer Wärmekapazität 𝑐:
𝑢 𝑇
ℎ 𝑇, 𝑝
𝑢ref
ℎref
𝑐 𝑇
𝑐 𝑇
𝑇ref
𝑇ref
SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019)
(9)
𝑣 𝑝
𝑝ref
(10)
Seite 1 von 22
EIS I
Formelsammlung
1.3 Definitionen, Konzentrationsmaße
Temperaturleitfähigkeit:
𝑎
molare Konzentration:
𝑐
Molanteil:
𝑥
𝜆
𝜌𝑐
𝑁
𝑉
𝑁
𝑁
𝐶
Wärmekapazitätsstrom:
𝑀𝑐
𝑀
𝑉
𝑀
𝑀
Partialdichte / Massenkonzentration: 𝜌
Massenanteil:
𝜉
1.4 Dimensionslose Kennzahlen
𝑅𝑒
Reynolds-Zahl:
𝑁𝑢
Nusselt-Zahl:
Sherwood-Zahl: 𝑆ℎ
𝑐𝐿
𝜈
𝑐𝐿 𝜌
𝜂
Prandtl-Zahl:
𝑃𝑟
Schmidt-Zahl:
𝑆𝑐
𝛼𝐿
𝜆Fl id
Biot-Zahl (Wärmeleitung): 𝐵𝑖
𝛽𝐿
𝐷
Biot-Zahl (Diffusion):
𝐵𝑖
𝜈
𝑎
𝜈
𝐷
𝛼𝐿
𝜆Fe
k rper
𝛽𝐿
𝐷
Zur Definition der Diffusionskoeffizienten siehe Abbildung 1.
Abbildung 1: Zur Definition der Diffusionskoeffizienten
und
2 Molekularer Transport
2.1 Wärmeleitung
Fouriersches Gesetz (eindimensional):
𝑞 𝑥
𝜆
,𝑝
(11)
𝑥
2.2 Diffusion
2.2.1 Ficksches Gesetz
Ficksches Gesetz (molar, eindimensional):
𝑗 𝑥
𝐷
,𝑝 𝑐 𝑥
𝑗 𝑥
𝐷
,𝑝
𝑐
𝑥
SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019)
𝑥
𝑥
(12)
(𝑐
con )
(13)
Seite 2 von 22
EIS I
Formelsammlung
Ficksches Gesetz (massenspezifisch, eindimensional):
𝑗∗ 𝑥
𝐷
,𝑝 𝜌 𝑥
𝑗∗ 𝑥
𝐷
,𝑝
2.2.2
𝜉
𝑥
𝜌
𝑥
(14)
(𝜌
con )
(15)
einseitige Diffusion
Für den Stoffstrom der frei beweglichen Komponente A gilt:
𝑗 𝑥
𝑛
1 𝑥
(16)
2.2.3 Diffusion in porösen Medien
Diffusionskoeffizient bei Knudsen-Diffusion (𝑅 : Porenradius, 𝑀: mittlere Molmasse des
Stoffgemischs):
2
𝑅
3
𝐷Kn
8𝑅𝑇
(17)
𝜋𝑀
Effektiver Diffusionskoeffizient:
𝐷eff
𝐷Kn
𝜀
𝜇
(18)
Porosität (Lückengrad):
𝜀
𝑉Poren
𝑉gesamt
(19)
Tortuosität (Umwegfaktor):
𝜇
𝐿eff
𝐿
(20)
2.2.4 Bezugssysteme
Stoffstrom in einem allgemeinen Bezugssystem mit Bezugsgeschwindigkeit
𝑛
𝑗
𝑐
:
(21)
Stoffstrom im Teilchenbezugssystem:
𝑛
𝑗
𝑐 𝑢
(22)
Massenstromdichte im Schwerpunktsystem:
𝑚𝐴
𝑗∗
𝜌 𝑤
(23)
Mittlere molare Geschwindigkeit (mittlere Teilchengeschwindigkeit):
𝑢
𝑥𝑤
(24)
Schwerpunktgeschwindigkeit:
𝑤
𝜉𝑤
(25)
(𝑛: Anzahl der Komponenten im Gemisch; 𝑤 : mittlere Teilchengeschwindigkeit der Komponente 𝑖)
SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019)
Seite 3 von 22
EIS I
Formelsammlung
3 Konvektiver Transport
3.1 Wärme- und Stoffübergang an überströmten Wänden
Wärmeübergang (Newtonsches Abkühlungsgesetz):
𝑞
𝛼
(26)
Stoffübergang (Voraussetzung: an der Stelle 𝑦 0verschwindender Konvektionsstrom in 𝑦-Richtung, siehe Abbildung 2):
𝑛
𝛽 𝑐
𝑐
(27)
Stoffübergang (allgemein):
𝑛
𝛽• 𝑐
𝑐
𝑐
𝑢
𝛽 𝑐
𝑐
(28)
Stefan-Korrektur:
𝛽•
Abbildung 2: Zur Definition der
Größen bei konvektivem Wärme-/Stoffübergang
𝜁𝛽
(29)
3.2 Durchströmte Rohre/Kanäle (konvektiver Wärme- und Stofftransport
in Strömungsrichtung)
Konvektiver Energiestrom (Enthalpiestrom):
𝐻 𝑥
𝑀 𝑥 ⋅ℎ 𝑥
(30)
Konvektiver Stoffstrom:
𝑁 𝑥
𝑉 𝑥 ⋅𝑐 𝑥
(31)
𝑀 𝑥
𝑉 𝑥 ⋅𝜌 𝑥
(32)
4 Wärme- und Stoffdurchgang
4.1 Wärmedurchgang
Wärmedurchgangsgleichung:
𝑄
𝑘𝐴
(33)
Bestimmung des 𝑘 𝐴-Wertes mit Hilfe des Widerstandsmodells:
1
𝑘𝐴
Ersatzwiderstand für Reihenschaltung von 𝑛 Einzelwiderständen:
𝑅ges
𝑅Reihe
𝑅
𝑅
... 𝑅
(34)
(35)
Ersatzwiderstand für Parallelschaltung von 𝑛 Einzelwiderständen:
1
𝑅Parallel
1
𝑅
1
𝑅
...
1
𝑅
(36)
Wärmeleitungswiderstand (𝛿: Schichtdicke):
𝑅
𝛿
𝜆𝐴
SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019)
(37)
Seite 4 von 22
EIS I
Formelsammlung
Konvektiver Widerstand:
1
𝛼𝐴
Mittlere Fläche:
(38)
𝑅
Hohlzylinder:
𝐴m,Z
Hohlkugel:
𝐴m,K
𝐴
𝐴
ln
𝐴 𝐴
2 𝜋𝐿
𝑟
𝑟
(39)
ln
4 𝜋𝑟 𝑟
(40)
4.2 Stoffdurchgang
Henry-Gesetz:
𝑥 𝑘
𝑦 𝑝
(41)
Stoffdurchgangsgleichung:
Abbildung 3: Vorzeichenkonvention für Gln. (42) und
(43)
𝑛
𝑘
𝑥
𝑛
𝑘
𝑥
𝑘
𝑝
𝑦
𝑦
𝑝
𝑘
(42)
(43)
Vorzeichenkonvention: 𝑦-Koordinate muss von der Flüssig- in die Gasphase zeigen, damit
Gln. (42) und (43) das korrekte Vorzeichen entsprechend Abbildung 3 liefern. Zeigt die Koordinate von der Gas- in die Flüssigphase, sind die Konzentrationsdifferenzen auf der rechten
Seite der Gleichung umzukehren.
Stoffdurchgangskoeffizienten:
𝑘
1 𝑘
𝛽 𝑐 𝑝
𝑘
1
𝛽 𝑐
1
𝛽 𝑐
(44)
1 𝑝
𝛽 𝑐 𝑘
(45)
5 Wärmestrahlung
5.1 Allgemeines
Stefan-Boltzmann-Gesetz für einen durch Strahlung ausgesendeten Energiestrom (Strahlungsfluss):
Φ
𝐴⋅𝜎⋅𝜀⋅𝑇
(46)
Stefan-Boltzmann-Konstante: 𝜎 5,67 ⋅ 10
Emissionsgrad der strahlenden Oberfläche 𝜀 ∈ ℝ 0,1
Energiefluss durch Strahlung setzt sich zusammen aus absorbierter, transmittierter und reflektierter Strahlung:
𝐸
𝑎𝐸
𝑟𝐸
𝜏𝐸
SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019)
(47)
Seite 5 von 22
EIS I
Formelsammlung
Abbildung 4: Definition geometrischer Größen, Strahlungsfluss in ein Raumwinkelelement, Projektionsfläche
Absorptionsgrad 𝑎, Reflexionsgrad 𝑟 und Transmissionsgrad 𝜏 liegen zwischen 0 und 1, es
gilt das erste kirchhoffsche Gesetz:
𝑎
𝑟
𝜏
1
(48)
Der Emissionsgrad eines Körpers ist gleich seinem Absorptionsgrad. Es gilt das zweite
kirchhoffsche Gesetz:
𝜀
5.1.1
𝑎
(49)
Strahlungsgrößen
Hemisphärische Gesamtgrößen
Fassen Strahlung aller Wellenlängen und Richtungen zusammen
Gerichtete Gesamtgrößen
Beschreiben die Richtungsabhängigkeit der Strahlung aller Wellenlängen
Hemisphärische spektrale Größen
Fassen Strahlung eines Flächenelements in alle Richtungen des Halbraumes über
dem Flächenelement zusammen und hängen nur noch von der Wellenlänge ab
Gerichtete spektrale Größen
Beschreiben Richtungs- und Wellenlängenabhängigkeit der Strahlung
Spezifische Ausstrahlung ≙ in alle Richtungen und in allen Wellenlängen emittierte Strahlungsenergie, auf ein Flächenelement bezogener Strahlungsfluss (siehe Abbildung 4):
dΦ
d𝐴
Strahldichte ≙ auf Richtung und Flächenelement bezogener Strahlungsfluss:
𝑀≔
𝐼≔
d Φ
d𝐴 𝑑
SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019)
(50)
(51)
Seite 6 von 22
EIS I
Formelsammlung
Spektrale Strahldichte ≙ auf Wellenlänge, Richtung und Flächenelement bezogener Strahlungsfluss:
d Φ
d𝐴 d d𝜆
Raumwinkel d
sin 𝛽 d𝛽 d (Einheit: Steradiant sr)
Es ist:
(52)
𝐿 ≔
Φ≔
d𝐴
𝐿 𝛽, , 𝜆, 𝑇 d d𝜆 d𝐴
(53)
cos 𝛽 d𝐴 ist die Projektionsfläche der strahlenden Fläche, 𝐻 der Halbraum
Lambertsches Cosinusgesetz liefert in der Projektionsfläche wirkende Strahldichte:
𝐿
𝐿 cos 𝛽
(54)
5.1.2 Idealer schwarzer Strahler
Plancksches Gesetz:
𝐿
𝛽, , 𝜆, 𝑇
,
𝐿
𝑐
𝜆, 𝑇
,
𝜋 𝜆 exp
(55)
1
(Spektrale Strahldichte des schwarzen Strahlers ist richtungsunabhängig.)
Spektrale spezifische Ausstrahlung:
𝑀
,
𝜆, 𝑇
𝜋𝐿
,
𝑐
𝜆, 𝑇
𝜆 exp
(56)
1
Integriert über alle Wellenlängen:
𝑀 𝑇
𝜎𝑇
mit
𝑐
2𝜋ℎ𝑐
𝑐
ℎ
ℎ
dabei sind:
(57)
𝑐
𝑘
3,74 ⋅ 10
Wm
14 400 μm K
6,6261 ⋅ 10
Js
299792458
(Plancksches Wirkungsquantum)
(Vakuumlichtgeschwindigkeit)
1,381 ⋅ 10
(Boltzmann-Konstante)
Wiensches Verschiebungsgesetz (Wellenlänge mit maximaler spezifischer Ausstrahlung des
schwarzen Strahlers):
𝜆
𝑇
2897,77 μm K
(58)
5.2 Wärmestrahlung und Strahlungsaustausch
Durch Strahlungsaustausch zwischen zwei Körpern übertragener Wärmestrom:
𝑄
𝐶 𝐴
𝑇
100
𝑇
100
mit dem Strahlungsaustauschkoeffizient 𝐶
aus Strahlungskonstante: 𝐶
5,67
SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019)
(59)
𝐶 ⋅𝜀
𝜎 ⋅ 10 und Strahlungsaustauschzahl: 𝜀
Seite 7 von 22
EIS I
Formelsammlung
Strahlungsaustauschzahl
und Sichtfaktor
:
Der Sichtfaktor 𝐹 beinhaltet die geometrischen Faktoren, die Strahlungsaustauschzahl
𝜀 zusätzlich zu den Sichtfaktoren die Strahlungseigenschaften der Körper.
Es gilt für die Sichtfaktoren die Reziprozitätsbedingung:
𝐹 ⋅𝐴
𝐹 ⋅𝐴
(60)
Ebene, parallel angeordnete unendlich ausgedehnte schwarze Körper:
𝜀
𝐹
1
𝐹
𝜀
𝐹
0
𝐹
1; 𝐹
𝐹
(61)
Kugel 1 in unendlichem Raum 2:
𝜀
𝜀
0; 𝐹
0; 𝐹
1
(62)
Parallele unendlich ausgedehnte Platten, die keine schwarzen Strahler sind:
1
𝜀
𝐹
1
1
𝐹 ;𝐹
0
𝐹
(63)
Kugel 1 in Kugel 2 bzw. zwei lange konzentrische Zylinder ineinander:
1
𝜀
𝐹
1
1; 𝐹
;𝐹
0; 𝐹
1
(64)
6 Wärmeübertrager
Wärmedurchgangsgleichung für Wärmeübertrager:
𝑄
̅ 𝐹
𝑘 𝐴 Δ log
𝑘𝐴Δ
(65)
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz:
̅
Δ log
Δ
rechts
ln
Δ
links
(66)
rechts
links
Temperaturspreizungen (siehe Abbildung 5):
Δ
0
(67)
Δ
0
(68)
Energiebilanzen:
𝑄
𝐶Δ
𝐶
( hei e Sei e)
(69)
𝑄
𝐶 Δ
𝐶
( kal e Sei e)
(70)
Dimensionslose Kennzahlen:
𝑃
𝑃
max
max
𝑅
𝑁𝑇𝑈
(71)
𝑅
𝑁𝑇𝑈
(72)
Abbildung 5: Strombezeichnungen
SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019)
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EIS I
Formelsammlung
7 Bestimmung von Temperatur- und Konzentrationsfeldern in
technischen Systemen
7.1 Methode der Bilanzierung
Vorgehensweise zur Bestimmung von Temperatur- und Konzentrationsfeldern mittels Energie- und Stoffbilanzen:
1.
Bilanzgröße wählen
2.
Entscheidung: differentielle oder integrale Bilanz?
3.
Bilanzraum wählen
4.
Skizze des Bilanzraums mit allen Strömen, Quell- und Senkentermen erstellen
5.
Bilanzgleichung aufstellen (𝑆
6.
Nur bei differentieller Bilanz:Grenzübergang 𝑑𝑥 → 0 bzw. Satz von Taylor anwenden.
Taylor-Polynom 1. Ordnung:
𝑦 𝑥
7.
d𝑥
𝑦 𝑥
𝑍
𝑦
𝑥
𝐴
𝑊)
d𝑥
Ströme auflösen in Stromdichte
(73)
Fläche (z.B. 𝑑𝑄 𝑥
Wandlungsterme auflösen in Quellendichte
𝑞 𝑥 𝑑𝐴)
Volumen (siehe Tabelle 1)
Speicherterm auflösen (siehe Tabelle 2)
8.
Einsetzen:
geometrische Größen (z.B. 𝐴
𝜋 𝐷 𝐿,𝑑𝐴
𝜋 𝐷 𝑑𝑥)
Transportgesetze (für Wärme- und Stoffströme, siehe Tabelle 3)
Zustandsgleichungen (für Enthalpie bzw. innere Energie)
Geschwindigkeitsgesetze (bei chemischen Reaktionen)
men (Terme k r en e c.) → liefert beschreibende DGL
9.
Gleich ng a fr
10
Rand- und Anfangsbedingungen aufstellen
11
DGL lösen
SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019)
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EIS I
Formelsammlung
Tabelle 1: Wandlungsterme
integrale Bilanz
differentielle Bilanz
𝑤𝑉
𝛾 𝑉
Γ 𝑉
Wärmequelle/-senke
Stoffquelle/-senke (molar)
Stoffquelle/-senke (massenspezifisch)
𝑤 𝑑𝑉
𝛾 𝑑𝑉
Γ 𝑑𝑉
Tabelle 2: Umformung des Speicherterms
Bilanzgröße
Speicherterm und Umformung
integrale Bilanz
innere Energie
Stoffmenge
Masse
𝑈
𝑡
𝑁
𝑡
𝑀
𝑡
𝑢𝑀
𝑡
𝑐 𝑉
𝑡
𝜌 𝑉
𝑡
differentielle Bilanz
𝑑𝑈
𝑡
𝑑𝑁
𝑡
𝑑𝑀
𝑡
𝑢 𝑑𝑀
𝑡
𝑐 𝑑𝑉
𝑡
𝜌 𝑑𝑉
𝑡
Tabelle 3: Beispiele zur Auswahl geeigneter Transportgesetze
System
in 𝑥-Richtung reine
Wärmeleitung; Rand
adiabat
in 𝑥-Richtung reine Diffusion; Rand stoffdicht
Rohr-/Kanalströmung
mit konvektivem Wärmeübergang an Wand
(
const); Wärmeleitung in 𝑥-Richtung vernachlässigt
Rohr-/Kanalströmung
mit konvektivem Stoffübergang an Wand
(𝑐
const); Diffusion
in 𝑥-Richtung vernachlässigt
gesucht Skizze
𝑥
𝑐 𝑥
𝑥
𝑐 𝑥
SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019)
Transportterme
𝑄 𝑥
𝜆𝐴
𝑥
𝑁 𝑥
𝐷 𝐴
𝐻 𝑥
𝑀 𝑥 ℎ 𝑥
𝑐
𝑥
𝑑𝑄 𝑥
𝛼 𝑑𝐴
𝑁 𝑥
𝑉 𝑥 𝑐 𝑥
𝑑𝑁 𝑥
𝑥
𝛽 𝑑𝐴 𝑐 𝑥
𝑐
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EIS I
Formelsammlung
7.2 3-dimensionale Differentialgleichungen für Wärmeleitung und Diffusion (konstante Stoffwerte)
Wärmeleitung mit homogener Wärmequelle/-senke:
𝑡
𝑎∇
𝑤
𝜌𝑐
(74)
Diffusion mit homogener chemischer Reaktion:
𝑐
𝑡
𝜌
𝑡
𝐷 ∇ 𝑐
𝛾
(75)
𝐷 ∇ 𝜌
Γ
(76)
Laplace-Operator ∇ :
Kartesische Koordinaten (𝑥, 𝑦, 𝑧):
∙
∙
∙
∇ ∙
𝑥
𝑦
𝑧
(77)
Zylinderkoordinaten (𝑥, 𝑟,
∙
1 ∙
∇ ∙
𝑥
𝑟 𝑟
siehe Abbildung 6):
∙
1
∙
𝑟
𝑟
Kugelkoordinaten (𝑟, ,
2 ∙
∙
∇ ∙
𝑟 𝑟
𝑟
siehe Abbildung 7):
1
∙
1
cot
𝑟 sin
𝑟
Abbildung 6: Zylinderkoordinaten
(78)
∙
1
𝑟
∙
(79)
Abbildung 7: Kugelkoordinaten
7.3 Rand- und Anfangsbedingungen
𝑥⃗ bezeichne einen Punkt auf dem Rand eines Systems, dessen Temperatur- bzw. Konzentrationsfeld gesucht ist.𝑛⃗ sei ein Normalenvektor auf dem Rand (im Punkt 𝑥⃗ ). Folgende
Randbedingungen (für 𝑡 0) und Anfangsbedingungen sind typisch:
Wärmetransport
RB 1. Art
𝑥⃗
RB 2. Art
𝜆
RB 3. Art
𝜆
AB
𝑥⃗, 𝑡
Stofftransport
𝑐 𝑥⃗
𝑛⃗
⃗
𝑛⃗
⃗
𝑞
𝛼
0
SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019)
𝐷
𝑥⃗
𝐷
𝑐 𝑥⃗, 𝑡
𝑐
𝑐
𝑛⃗
𝑐
𝑛⃗
⃗
⃗
0
𝑛
𝛽 𝑐 𝑥⃗
𝑐
𝑐
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EIS I
Formelsammlung
RB 3. Art mit Kontaktwiderstand:Eine Randbedingung 3. Art kann auch für den Wärmeoder Stofftransport zwischen zwei sich berührenden Festkörpern aufgestellt werden, wenn
zwischen Körper I und Körper II ein Kontaktwiderstand 1/𝛼 𝐴 bzw. 1/𝛽 𝐴auftritt:
𝜆
𝑛⃗
𝑐
𝑛⃗
𝐷
𝛼
⃗
⃗
𝜆
𝛽
𝑐
𝑐
𝑛⃗
(80)
⃗
𝑐
𝑛⃗
𝐷
(81)
⃗
8 Stationäre Wärmeleitung und Diffusion
8.1 Hochsymmetrische Körper mit homogener Wärmequelle, RB 3. Art
Stationäres, dimensionsloses Temperaturprofil eines symmetrischen Körpers in homogener Umgebung der Temperatur :
1
2 1
𝑛
1
2
𝐵𝑖
𝑟
(82)
mit
𝑛
0: Platte
𝑛
1: Zylinder
𝑛
2: Kugel
Dimensionslose Variablen:
𝑟
𝑤 𝑅 /𝜆
𝑟
𝑟
𝑅
𝐵𝑖
𝛼𝑅
𝜆
Koordinatensystem: siehe Abbildung 8.
Abbildung 8: Koordinatensystem für hochsymmetrische Körper
8.2 Rippen und Spitzen
Rippenwirkungsgrad:
𝜂
𝑄
𝑄
,max
tan 𝐻𝑎
mit 𝐻𝑎
𝐻𝑎
𝛼⋅𝑈
⋅𝐿
𝜆⋅𝐴
(83)
Rippenvergrößerungsfaktor (Flächen siehe Abbildung 9):
𝐹
𝐴
𝐴
(84)
Abbildung 9: Definitionen der Flächen bei Rippen
SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019)
Seite 12 von 22
EIS I
Formelsammlung
9 Instationäre Wärmeleitung und Diffusion
9.1 Einseitig unendlich ausgedehnte Körper ohne Quellen/Senken
9.1.1 Definitionen
Gaußsche Fehlerfunktion (error function):
2
erf 𝜉
e
√𝜋
(85)
𝑑 .
Komplementäre Fehlerfunktion (error function complement):
erfc 𝜉
1
erf 𝜉.
(86)
Integrierte Fehlerfunktion (integrated error function complement):
1
ierfc 𝜉
√𝜋
e
𝜉 erfc 𝜉.
(87)
9.1.2 Koordinatensystem
Siehe Abbildung 10.
Abbildung 10: Koordinatensystem für einseitig unendlich ausgedehnte Körper
9.1.3 Wärmeleitung
Gleichungen für das Temperaturfeld
Randbedingung (für 𝑡
𝑥
1.Art:
𝑥, 𝑡 :
0)
Temperaturfeld
𝑥, 𝑡
0
𝑥, 𝑡
2. Art:
𝜆
3. Art:
𝜆
𝑥
𝑥
𝑥
erfc
𝑥
0
(88)
2 √𝑎 𝑡
𝑥
2 √𝑎 𝑡
𝑞
𝑥
𝑥, 𝑡
2
√𝑡ierfc
𝑏
2 √𝑎 𝑡
𝑥
𝑥 ,𝑡
erfc
2 √𝑡
𝑥
exp 𝑥
𝑡 erfc
2 √𝑡
𝑞
𝛼
erf
(89)
(90)
(91)
𝑡
Definition des Wärmeeindringkoeffizienten 𝑏 in Gl. (90):
𝑏
𝜆𝜌𝑐
𝜆
(92)
√𝑎
Dimensionslose Variablen in Gl. (91):
𝑥, 𝑡
,
𝑥
𝑥
,
𝜆/𝛼
SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019)
𝑡
𝑎𝑡
.
𝜆/𝛼
(93)
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EIS I
Formelsammlung
9.1.4 Diffusion
Gleichungen für das Konzentrationsfeld 𝑐 𝑥, 𝑡 :
Randbedingung (für 𝑡
𝑐 𝑥
1.Art:
0
0)
𝑐
𝑐
𝑥
2. Art:
𝐷
3. Art:
𝑐
𝐷
𝑥
𝛽 𝑐
Konzentrationsfeld
𝑛
𝑐 𝑥, 𝑡
𝑐
𝑐
𝑐
erf
𝑐 𝑥, 𝑡
𝑐
𝑐
𝑐
erfc
𝑐 𝑥, 𝑡
𝑐
𝑐 𝑥
0
(94)
𝑡
𝑥
2 𝐷
𝑡
(95)
𝑡
𝑡
𝑐
(96)
𝑥
erfc
exp 𝑥
2 𝐷
𝑡
𝑥
ierfc
𝐷
2 𝐷
2𝑛
𝑥 ,𝑡
𝑥
2 √𝑡
(97)
𝑥
erfc
𝑡
2 √𝑡
Für das Massenkonzentrationsfeld (Partialdichtenfeld) gelten die Gleichungen (94) - (97)
entsprechend. Es muss lediglich 𝑐 bzw. 𝑐 durch 𝜌 und 𝜌 ersetzt werden.
Dimensionslose Variablen in Gl. (97):
𝑐 𝑥, 𝑡
𝑐
, 𝜌
𝑐
𝑐
𝑐
𝜌 𝑥, 𝑡
𝜌
𝜌
𝜌
,
𝑥
𝑥
𝐷 /𝛽
,
𝑡
𝑡
.
𝐷 /𝛽
(98)
9.1.5 Rechenhilfe: Ableitung der Fehlerfunktion nach
Für Gl. (89):
𝑥
erfc
𝑥
1
2 √𝑎 𝑡
√𝜋 𝑎 𝑡
𝑥
4𝑎𝑡
exp
(99)
Für Gl. (95):
𝑥
erfc
𝑥
2 𝐷
1
𝑡
𝜋𝐷
𝑡
exp
𝑥
4𝐷
(100)
𝑡
Aus Gl. (91) folgt nach Einsetzen der dimensionslosen Variablen:
𝛼
𝑥
exp
𝜆
𝜆/𝛼
𝑥
𝑎𝑡
𝜆/𝛼
erfc
𝑥
2 √𝑎 𝑡
√𝑎 𝑡
𝜆/𝛼
(101)
Ebenso aus Gl. (97):
𝑐
𝑥
𝑐
𝑐
𝛽
𝑥
exp
𝐷
𝐷 /𝛽
SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019)
𝐷 𝑡
𝐷 /𝛽
erfc
𝑥
2 𝐷
𝑡
𝐷 𝑡
𝐷 /𝛽
(102)
Seite 14 von 22
EIS I
Formelsammlung
9.2 Hochsymmetrische Körper ohne Quellen/Senken, RB 3. Art
Koordinatensystem: siehe Abbildung 11.
Abbildung 11: Koordinatensystem für hochsymmetrische Körper
Gleichungen für Temperatur-/Konzentrationsfeld:
Geometrie
Temperatur-/Konzentrationsfeld
Platte
𝐶 ∙ cos 𝜇 𝑟
∙ exp
Zylinder
𝐶 ∙𝐽 𝜇 𝑟
Kugel
𝐶
∙ sin 𝜇 𝑟
𝜇 ∙𝑟
∙ exp
𝑟 ,𝑡
; 𝑐
𝑟 ,𝑡
; 𝜌
𝑟 ,𝑡
𝜇 ∙𝑡
(103)
𝜇 ∙𝑡
∙ exp
. ..
(104)
𝜇 ∙𝑡
(105)
𝜇 , 𝐶 : siehe Tabelle 5; 𝐽 : siehe Tabelle 6
Definitionen der dimensionslosen Variablen für Wärmeleitung:
𝑟, 𝑡
𝑟
𝑟
𝑅
𝑡
𝑎𝑡
𝑅
𝑡
𝐷 𝑡
𝑅
𝛼𝑅
.
𝜆
Definitionen der dimensionslosen Variablen für Diffusion:
𝐶 ,𝜇
𝑐
𝜌
𝐶 ,𝜇
𝑓 𝐵𝑖
𝑐 𝑟, 𝑡
𝑐
𝑐
𝑐
𝜌 𝑟, 𝑡
𝜌
𝜌
𝜌
𝑓 𝐵𝑖
𝐵𝑖
𝑟
𝐵𝑖
𝑟
𝑅
𝛽𝑅
.
𝐷
Die dimensionslosen Teilchen- und Massenkonzentrationen 𝑐 und 𝜌 können je nach vorgegebenen Größen und vorliegendem System (Bezugsgeschwindigkeit im Teilchen- oder
Schwerpunktsystem vernachlässigbar) beide verwendet werden.
SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019)
Seite 15 von 22
EIS I
Formelsammlung
10 Anhang: Datentabellen
Tabelle 4: Werte des komplementären Fehlerintegrals erfc und des integrierten Fehlerintegrals ierfc
𝜉
erfc 𝜉
ierfc 𝜉
𝜉
erfc 𝜉
ierfc 𝜉
𝜉
erfc 𝜉
ierfc 𝜉
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
1,00000
0,94363
0,88754
0,83200
0,77730
0,72367
0,67137
0,62062
0,57161
0,52452
0,47950
0,43668
0,39614
0,35797
0,32220
0,564190
0,515602
0,469823
0,426838
0,386611
0,349087
0,314220
0,281926
0,252125
0,224734
0,199644
0,176744
0,155936
0,137092
0,120099
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,35
1,40
1,45
0,28884
0,25790
0,22933
0,20309
0,17911
0,15730
0,13756
0,11980
0,10388
0,08969
0,07710
0,06599
0,05624
0,04771
0,04031
0,104832
0,091173
0,079003
0,068199
0,058653
0,050252
0,042890
0,036464
0,030884
0,026049
0,021885
0,018314
0,015261
0,012672
0,010471
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0,03389
0,02365
0,01621
0,01091
0,00721
0,00468
0,00298
0,00186
0,00114
0,00069
0,00041
0,00024
0,00013
0,00008
0,00004
0,008621
0,005772
0,003797
0,002460
0,001563
0,000976
0,000604
0,000361
0,000214
0,000124
0,000073
0,000039
0,000023
0,000011
0,000006
Tabelle 5: Kleinster Eigenwert
symmetrische Körper 1
, zugehöriger Entwicklungskoeffizient
Platte
1
Zylinder
und Koeffizient
1
für hoch-
Kugel
Bi
𝜇
𝐶
𝐷
𝜇
𝐶
𝐷
𝜇
𝐶
𝐷
0,01
0,09983
1,0017
1,0000
0,14124
1,0025
1,0000
0,17303
1,0030
1,0000
0,02
0,14095
1,0033
1,0000
0,19950
1,0050
1,0000
0,24446
1,0060
1,0000
0,03
0,17234
1,0049
1,0000
0,24403
1,0075
1,0000
0,29910
1,0090
1,0000
0,04
0,19868
1,0066
1,0000
0,28143
1,0099
1,0000
0,34503
1,0120
1,0000
0,05
0,22176
1,0082
0,9999
0,31426
1,0124
0,9999
0,38537
1,0150
1,0000
0,06
0,24253
1,0098
0,9999
0,34383
1,0148
0,9999
0,42173
1,0179
0,9999
0,07
0,26153
1,0114
0,9999
0,37092
1,0173
0,9999
0,45506
1,0209
0,9999
0,08
0,27913
1,0130
0,9999
0,39603
1,0197
0,9999
0,48600
1,0239
0,9999
0,09
0,29557
1,0145
0,9998
0,41954
1,0222
0,9998
0,51497
1,0268
0,9999
0,10
0,31105
1,0161
0,9998
0,44168
1,0246
0,9998
0,54228
1,0298
0,9998
0,15
0,37788
1,0237
0,9995
0,53761
1,0365
0,9995
0,66086
1,0445
0,9996
0,20
0,43284
1,0311
0,9992
0,61697
1,0483
0,9992
0,75931
1,0592
0,9993
0,25
0,48009
1,0382
0,9988
0,68559
1,0598
0,9988
0,84473
1,0737
0,9990
0,30
0,52179
1,0450
0,9983
0,74646
1,0712
0,9983
0,92079
1,0880
0,9985
0,40
0,59324
1,0580
0,9971
0,85158
1,0931
0,9970
1,05279
1,1164
0,9974
0,50
0,65327
1,0701
0,9956
0,94077
1,1143
0,9954
1,16556
1,1441
0,9960
0,60
0,70507
1,0814
0,9940
1,01844
1,1345
0,9936
1,26440
1,1713
0,9944
0,70
0,75056
1,0918
0,9922
1,08725
1,1539
0,9916
1,35252
1,1978
0,9925
0,80
0,79103
1,1016
0,9903
1,14897
1,1724
0,9893
1,43203
1,2236
0,9904
0,90
0,82740
1,1107
0,9882
1,20484
1,1902
0,9869
1,50442
1,2488
0,9880
1,00
0,86033
1,1191
0,9861
1,25578
1,2071
0,9843
1,57080
1,2732
0,9855
1,10
0,89035
1,1270
0,9839
1,30251
1,2232
0,9815
1,63199
1,2970
0,9828
1,20
0,91785
1,1344
0,9817
1,34558
1,2387
0,9787
1,68868
1,3201
0,9800
1,30
0,94316
1,1412
0,9794
1,38543
1,2533
0,9757
1,74140
1,3424
0,9770
1,40
0,96655
1,1477
0,9771
1,42246
1,2673
0,9727
1,79058
1,3640
0,9739
Baehr, H. D.; Stephan, K.: Wärme- und Stoffübertragung, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2013
SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019)
Seite 16 von 22
EIS I
Formelsammlung
Platte
Zylinder
Kugel
Bi
𝜇
𝐶
𝐷
𝜇
𝐶
𝐷
𝜇
𝐶
𝐷
1,50
0,98824
1,1537
0,9748
1,45695
1,2807
0,9696
1,83660
1,3850
0,9707
1,60
1,00842
1,1593
0,9726
1,48917
1,2934
0,9665
1,87976
1,4052
0,9674
1,70
1,02725
1,1645
0,9703
1,51936
1,3055
0,9633
1,92035
1,4247
0,9640
1,80
1,04486
1,1695
0,9680
1,54769
1,3170
0,9601
1,95857
1,4436
0,9605
1,90
1,06136
1,1741
0,9658
1,57434
1,3279
0,9569
1,99465
1,4618
0,9570
2,00
1,07687
1,1785
0,9635
1,59945
1,3384
0,9537
2,02876
1,4793
0,9534
2,20
1,10524
1,1864
0,9592
1,64557
1,3578
0,9472
2,09166
1,5125
0,9462
2,40
1,13056
1,1934
0,9549
1,68691
1,3754
0,9408
2,14834
1,5433
0,9389
2,60
1,15330
1,1997
0,9509
1,72418
1,3914
0,9345
2,19967
1,5718
0,9316
2,80
1,17383
1,2052
0,9469
1,75794
1,4059
0,9284
2,24633
1,5982
0,9243
3,00
1,19246
1,2102
0,9431
1,78866
1,4191
0,9224
2,28893
1,6227
0,9171
3,50
1,23227
1,2206
0,9343
1,85449
1,4473
0,9081
2,38064
1,6761
0,8995
4,00
1,26459
1,2287
0,9264
1,90808
1,4698
0,8950
2,45564
1,7202
0,8830
4,50
1,29134
1,2351
0,9193
1,95248
1,4880
0,8830
2,51795
1,7567
0,8675
5,00
1,31384
1,2402
0,9130
1,98981
1,5029
0,8721
2,57043
1,7870
0,8533
6,00
1,34955
1,2479
0,9021
2,04901
1,5253
0,8532
2,65366
1,8338
0,8281
7,00
1,37662
1,2532
0,8932
2,09373
1,5411
0,8375
2,71646
1,8673
0,8069
8,00
1,39782
1,2570
0,8858
2,12864
1,5526
0,8244
2,76536
1,8920
0,7889
9,00
1,41487
1,2598
0,8796
2,15661
1,5611
0,8133
2,80443
1,9106
0,7737
10,00
1,42887
1,2620
0,8743
2,17950
1,5677
0,8039
2,83630
1,9249
0,7607
12,00
1,45050
1,2650
0,8658
2,21468
1,5769
0,7887
2,88509
1,9450
0,7397
14,00
1,46643
1,2669
0,8592
2,24044
1,5828
0,7770
2,92060
1,9581
0,7236
16,00
1,47864
1,2683
0,8541
2,26008
1,5869
0,7678
2,94756
1,9670
0,7109
18,00
1,48830
1,2692
0,8499
2,27555
1,5898
0,7603
2,96871
1,9734
0,7007
20,00
1,49613
1,2699
0,8464
2,28805
1,5919
0,7542
2,98572
1,9781
0,6922
25,00
1,51045
1,2710
0,8400
2,31080
1,5954
0,7427
3,01656
1,9856
0,6766
30,00
1,52017
1,2717
0,8355
2,32614
1,5973
0,7348
3,03724
1,9898
0,6658
35,00
1,52719
1,2721
0,8322
2,33719
1,5985
0,7290
3,05207
1,9924
0,6579
40,00
1,53250
1,2723
0,8296
2,34552
1,5993
0,7246
3,06321
1,9942
0,6519
50,00
1,54001
1,2727
0,8260
2,35724
1,6002
0,7183
3,07884
1,9962
0,6434
60,00
1,54505
1,2728
0,8235
2,36510
1,6007
0,7140
3,08928
1,9974
0,6376
80,00
1,55141
1,2730
0,8204
2,37496
1,6013
0,7085
3,10234
1,9985
0,6303
100,00
1,55525
1,2731
0,8185
2,38090
1,6015
0,7052
3,11019
1,9990
0,6259
200,00
1,56298
1,2732
0,8146
2,39283
1,6019
0,6985
3,12589
1,9998
0,6170
∞
1,57080
1,2732
0,8106
2,40483
1,6020
0,6917
3,14159
2,0000
0,6079
Tabelle 6: Besselfunktion 1. Art, 0. Ordnung
2
𝑧
𝐽 𝑧
𝑧
𝐽 𝑧
𝑧
𝐽 𝑧
𝑧
𝐽 𝑧
𝑧
𝐽 𝑧
0,0
1,00000
0,5
0,93847
1,0
0,76520
1,5
0,51183
2,0
0,22389
0,1
0,99750
0,6
0,91200
1,1
0,71962
1,6
0,45540
2,1
0,16661
0,2
0,99002
0,7
0,88120
1,2
0,67113
1,7
0,39798
2,2
0,11036
0,3
0,97762
0,8
0,84629
1,3
0,62009
1,8
0,33999
2,3
0,05554
0,4
0,96040
0,9
0,80752
1,4
0,56686
1,9
0,28182
2,4
0,00251
2
Olver, F. W. J: Bessel Functions of Integer Order, in Abramowitz, M. and Stegun, I. (Eds.): Handbook of Mathematical Functions, National Bureau of Standards, Washington D.C., 1972
SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019)
Seite 17 von 22
EIS I
Formelsammlung
11 chemische Reaktion
Die Reaktionsgeschwindigkeit ist definiert als 𝑘
𝑑𝑐 /𝑑𝑡. Wenn keine Stofftransporthemmung zwischen den chemischen Reaktanden besteht, gelten folgende Beziehungen für
den chemischen Wandlungstherm in Abhängigkeit von der Reaktionsordnung:
Reaktionsordnung Wandlungstherm mit Reaktionsgleichung 2A+B C
0. Ordnung
A und B im Über- 𝛾
schuss
1. Ordnung
𝛾
B im Überschuss
2. Ordnung
𝛾
𝑘
(106)
𝑘 ⋅ 2𝑐
(107)
𝑘 ⋅ 2𝑐 ⋅ 𝑐
SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019)
𝑘 ⋅ 2𝑐 ⋅ 𝑐
𝑐
2𝑘 𝑐 𝑐
𝑐
(108)
Seite 18 von 22
EIS I
Formelsammlung
12 Differentialgleichungen
Neben den folgend aufgestellten Lösungsverfahren, müssen immer Sonderlösungen von
Differentialgleichungen berücksichtigt werden. Zumeist werden diese allerdings durch die
physikalischen Rand- und Anfangsbedingungen ausgeschlossen.
12.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung
12.1.1 Separierbare Differentialgleichung
Lösung durch Trennung der Variablen:
𝑢 𝑥 ⋅𝑣 𝑦
0
∫ 𝑢 𝑥 d𝑥
∫
(109)
Nullstellen von 𝑣 𝑦 sind Sonderlösung der DGL, da die Ableitung auch 0 sein muss.
12.1.2 Homogene Differentialgleichung / hnlichkei -DGL
Lösbar mit Substitution (teilweise auch direkt durch Trennung der Variablen, s.o.)
𝑢
0
Substitution mit 𝑦
𝑧⋅𝑥
𝑧
𝑢 𝑧
𝑓 𝑥 ⋅𝑔 𝑧
0
(110)
Nullstellen von g(z) sind Sonderlösungen.
12.1.3 Lineare Differentialgleichung / inhomogene DGL
Partikulärer Lösungsansatz / Variation der Konstanten
d𝑦
d𝑥
𝑦′
𝑓 𝑥 ⋅𝑦
𝑔 𝑥
(111)
Finden der homogenen Lösung (ohne Integrationskonstante!):
𝑦
𝑓 𝑥 ⋅𝑦
(112)
Finden einer speziellen (partikulären) Lösung der inhomogenen DGL durch Variation der
Konstanten ergibt sich:
𝑦
𝑦
𝑔 𝑥
d𝑥
𝑦
(113)
Die Lösung ergibt sich zu:
𝑦
𝑦
𝐶
𝑔 𝑥
d𝑥
𝑦
12.1.4 Bernoulli Differentialgleichung
d𝑦
𝑦
𝑓 𝑥 ⋅𝑦
d𝑥
Substitution mit 𝑢 𝑥
𝑦 𝑥
d𝑢
d𝑥
𝑢
(114)
𝑔 𝑥 ⋅𝑦
(115)
1
(116)
:
1
𝛼 ⋅𝑓 𝑥 ⋅𝑢
Lineare inhomogene DGL 1. Ordnung von u
SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019)
𝛼 ⋅𝑔 𝑥
s.o.
Seite 19 von 22
EIS I
Formelsammlung
12.1.5 Ricatti Differentialgleichung
d𝑦
𝑦
𝑓 𝑥 ⋅𝑦
d𝑥
𝑔 𝑥 ⋅𝑦
ℎ 𝑥
(117)
1. Rate eine partikuläre Lösung 𝑦
2. Die allgemeine Lösung folgt durch Substitution mit 𝑢
d𝑢
d𝑥
𝑢
𝑓 𝑥
2𝑔 𝑥 ⋅ 𝑦 ⋅ 𝑢
Lineare inhomogene DGL 1. Ordnung von u
𝑔 𝑥
(118)
s.o.
12.2 Exakte Differentialgleichungen / DGL für Kurvenscharen
𝐹 𝑥, 𝑦
d𝑥
𝑥
𝐹 𝑥, 𝑦
d𝑦
𝑦
,
0
(119)
,
Demnach gilt:
d𝑦
d𝑥
𝑦
𝑃 𝑥, 𝑦
𝑄 𝑥, 𝑦
(120)
Für P und Q muss eine Stammfunktion 𝐹 𝑥, 𝑦
𝐶 gesucht werden, auflösen nach y ergibt
die Lösung der DGL. (Einde ige S ammf nk ion n r, enn Sa
on Sch ar erf ll
12.3 Gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung
12.3.1 Homogene Differentialgleichung (linear)
d 𝑦
𝑦 oder 𝑦 …
d𝑥
In Normalform bringen:
𝑦
𝑎
𝑥 ⋅𝑦
⋯
𝑎 𝑥 ⋅𝑦
𝑎 𝑥 ⋅𝑦
(121)
𝑎 𝑥 ⋅𝑦
0
(122)
1. Rate eine spezielle Lösung 𝑦 𝑥
2. Substitution 𝑢
, dadurch 𝑦, 𝑦 , 𝑦
usw. durch 𝑢, 𝑢 , 𝑢 , usw. ersetzen, dabei fällt 𝑢
weg und es bleibt eine DGL von 𝑢 , … , 𝑢′.
3. Substitution 𝑣 𝑢′, 𝑣′ 𝑢′′ usw.
es bleibt eine DGL der Ordnung (n-1)
der Ordnung
4. Rate eine spezielle Lösung 𝑣 usw.
Reduktion
12.3.2 Homogene gewöhnliche lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
𝑦
𝑎
⋅𝑦
⋯ 𝑎 ⋅𝑦
𝑎 ⋅𝑦
𝑎 ⋅𝑦 0
(123)
E ler che Me hode
Bildung des charakteristischen Polynoms
𝑃 𝜆
𝜆
𝑎
⋅𝜆
⋯ 𝑎 ⋅𝜆
𝑎 ⋅𝜆
𝑎
0
(124)
Nullstellen von 𝑃 𝜆 sind Eigenwerte der DGL 𝜆 und jeder Eigenwert 𝜆 bestimmt eine Eigenfunktion 𝑦 . Die Lösung der DGL ist:
𝑦
SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019)
𝐶 ⋅𝑦
(125)
Seite 20 von 22
EIS I
Formelsammlung
Abbildung 12: Strukturen des Fundamentalsystems in Abhängigkeit von Eigenwerten
SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019)
Seite 21 von 22
EIS I
Formelsammlung
Platz für eigene Anmerkungen und Notizen:
SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019)
Seite 22 von 22
A.8
Übersicht zur Aufstellung von Bilanzgleichungen
Die allgemeine Bilanzgleichung der Austauschgrößen hat die folgende Form (s. Abschn. 1.4.2 Gl. (1.24)):
S
Z
(A.60)
A W
Diese Gleichung besagt, dass die Änderung der im System gespeicherten Mengen gleich der Summe der in das
System ein- bzw. aus dem System austretenden und der im System gewandelten Mengen ist. Austauschgrößen
sind dabei Energie, Impuls oder die Stoffmenge.
Bei der Aufstellung von Bilanzgleichungen ist folgendermaßen vorzugehen:
1.
Skizzieren des Systems
2.
Wahl der Bilanzgröße
Energie
Impuls/Kraft
Stoffmenge/Masse (Komponenten- oder Gesamtmengen/massenbilanz)
3.
Wahl der Bilanzart
integral: Ein- und Ausgangsgrößen; Mittelwerte; zeitliche Verläufe
differentiell: ortsaufgelöst; örtliche Verläufe
4.
Wahl des Bilanzraumes und Einzeichnen aller ein- und austretenden Ströme
5.
Aufstellen der Bilanz nach Gl. (A.60)
Eine Übersicht der einzelnen Terme Speicher, Ströme und Wandlung für die Bilanzgrößen Energie, Impuls und
Masse bzw. Stoffmenge ist in Tabelle A.2 zusammengefasst.
Tabelle A.2. Bilanzgleichungen
Bilanzgr
öße
Speicherterm
Ströme (Zu- und Abfuhrterm)
Wandlungsterm
Enthalpiestrom:
dEges
dt
d McvT
dt
dU
dt
H1
konvektiver Wärmeübergang:
mit U u M und
Energie
u
u ref
cv (
sowie E ges
ref
U
M1c p T1 Tref
)
Ekin
Q
E pot
A T
Wärmeleitung:
unter Vernachlässigung der
äußeren Energien gilt E ges U
Reaktionsenthalpie:
HR
Verdampfungsenthalpie:
HV
Qi
A
r h RV R
hV M V
dT
dx i
Impulsstrom:
I1
w12 A1
M 1 w1
Druckkraft:
FP
Impuls
dI
dt
d Mw
dt
pA
Volumenkräfte:
FV
Reibungskraft:
Ff
A
FW
2
z.B. Gewichtskraft:
FG
Widerstandskraft:
w2 A
mit: A Schattenfläche
für durchströmte Rohre:
aM
gM
FW
Gesamtmasse
dM
dt
2
dV
dt
L
A
d
w2
M
V
MA
V
Die Gesamtmasse ist eine
Erhaltungsgröße.
konvektiv:
Masse
A
konvektiver Stoffübergang:
Komponentenbilanz
dM A
dt
dV A
dt
MA
A
chemische Reaktion 1.
Ordnung:
~
M A,R
A rVR M A
A
diffusiv:
MA
Stoffmenge
Gesamtstoffmenge
dN
dt
d Vc
dt
D AB A
N
Vc
NA
Vc A
d A
dx i
Die Gesamtstoffmenge ist
auf atomarer Ebene eine
Erhaltungsgröße.
Molenbilanz für
Gesamtstoffmenge ist
unüblich.
konvektiv:
konvektiver Stoffübergang:
Komponentenbilanz
dN A
dt
d Vc A
dt
NA
A cA
diffusiv:
NA
D AB A
dcA
dxi
chemische Reaktion 1.
Ordnung:
N A,R
A
rVR
Das Griechische Alphabet
und wie es in Eis II verwendet wird.
Alpha
Wärmeübergangskoeffizient, Steigungswinkel
Beta
Stoffübergangskoeffizient, thermischer
Ausdehnungskoeffizient
Chi
Delta
Differenz, Grenzschichtdicke, Differenzial, Filmdicke
Epsilon
Phi
,
Dissipationsleistung, Volumenanteil
Gamma
𝛾 Scherrate, Schergeschwindigkeit
Eta
dynamische Viskosität
Iota
Kappa
Konstante
Lambda
Wärmeleitfähigkeit
My
Ny
kinematische Viskosität, stöchiometrischer Koeffizient
Omikron
Pi
Theta
Produkt, Kreiskonstante
,
Temperatur, Steigungswinkel
Rho
Sigma
Dichte, Partialdichte/Massenkonzentration
,
Tau
Grenzflächenspannung
Schubspannung
Ypsilon
Omega
,
Winkelgeschwindigkeit, 𝜔 Leistungsdichte
Xi
dimensionslose Konzentration, Massenanteil
Psi
Hohlraumanteil
Zeta
Widerstandsbeiwert,
f
Reibungsbeiwert
A-13
A.8 Übersicht zur Aufstellung von Bilanzgleichungen
i
Pdiss
xi
V t
dV
umformen kann, ist also:
i
xi
A.8
ji
wi
.
xj
(A.20)
Übersicht zur Aufstellung von Bilanzgleichungen
Die allgemeine Bilanzgleichung der Austauschgrößen hat die folgende Form:
S
Z
(1.8)
A W
Diese Gleichung besagt, dass die Änderung der im System gespeicherten Mengen gleich der Summe der in das
System ein- bzw. aus dem System austretenden und der im System gewandelten Mengen ist. Austauschgrößen
sind dabei Energie, Impuls oder die Stoffmenge.
Bei der Aufstellung von Bilanzgleichungen ist folgendermaßen vorzugehen:
1.
Skizzieren des Systems
2.
Wahl der Bilanzgröße
Energie
Impuls/Kraft
Stoffmenge/Masse
3.
Wahl der Bilanzart
integral: Ein- und Ausgangsgrößen; Mittelwerte
differentiell: ortsaufgelöst; Verläufe
4.
Wahl des Bilanzraumes und Einzeichnen aller ein- und austretenden Ströme
5.
Aufstellen der Bilanz nach Gl. (1.8)
Eine Übersicht der einzelnen Terme Speicher, Ströme und Wandlung für die Bilanzgrößen Energie, Impuls und
Masse bzw. Stoffmenge ist in Tabelle A.2 zusammengefasst.
Tabelle A.2. Bilanzgleichungen
Bilanzgröße
Speicherterm
Ströme (Zu- und Abfuhrterm)
Wandlungsterm
Enthalpiestrom:
dE ges
dU
dt
dt
Energie
mit E ges U
d M 1cv
dt
Ekin
0
E pot
unter Vernachlässigung der
äußeren Energien gilt
E ges
H1
M 1c p
0
konvektiver Wärmeübergang:
Q
A
Wärmeleitung:
U
Q
Reaktionsenthalpie:
HR
Verdampfungsenthalpie:
HV
d
A
dy
r h RV R
hV M V
A-14
A Anhang
Impulsstrom:
I
w12 A
M1w1
Druckkraft:
FP
pA
Volumenkräfte:
Scherspannung:
dI
dt
Impuls
d M 1w1
dt
FS
FV
A
z.B. Gewichtskraft:
Widerstandskraft:
FW
aM
2
w2 A
FG
gM
mit: A Schattenfläche
für durchströmte Rohre:
FW
Gesamtmasse
dM
dt
2
dV
dt
w2
M
V
Mi
V
L
A
d
Die Gesamtmasse ist eine Erhaltungsgröße.
konvektiv:
Masse
Komponentenbilanz
chemische Reaktion 1. Ordnung:
i
konvektiver Stoffübergang:
dM i
dt
dV
dt
i
Mi
A
M i ,R
~
i rVR M i
i
diffusiv:
Mi
Gesamtstoffmenge
dN
dt
D AB A
d Vc
dt
N
Vc
Ni
Vc i
d i
dy
Die Gesamtstoffmenge ist auf
atomarer Ebene eine Erhaltungsgröße. Molenbilanz für
Gesamtstoffmenge ist unüblich.
konvektiv:
Stoffmenge
Komponentenbilanz
konvektiver Stoffübergang:
dN i
dt
d Vci
dt
Ni
A ci
diffusiv:
Ni
D AB A
dc i
dy
chemische Reaktion 1. Ordnung:
N i ,R
i rVR
A-15
A.10 Übersicht der vorgestellten dimensionslosen Kennzahlen im Skript
A.9
Übersicht zur Analogie von Energie-, Impuls- und Stofftransport
Tabelle A.3. Analogie Energie-, Impuls- und Stofftransport
abhängige
Variable
Übergangskoeffizient
Übergangsgesetze
molekularer Transport
d
dy
q
Energie
C T K
W
2
m K
Q
mit
A
dimensionslose Kennzahl
a
W
mK
cp
m2
s
a
dw
dy
Impuls
w
m
s
f
f
2
nA
moli
m3
Stoff
i
kg i
m
s
Ni
Mi
A
A
m3
m2
s
ci
mA
DAB
D AB
i
D AB
g Lchar
0
Gr
2
dc A
dy
d A
dy
m2
s
Die dimensionslosen Kennzahlen sind folgendermaßen miteinander verknüpft:
Abb. A.5. Verknüpfung der dimensionslosen Kennzahlen
w Lchar
Re
mit
w2
Pa s
ci
Lchar
Nu
Sh
Lchar
D AB
3
A-16
A Anhang
A.10 Übersicht der vorgestellten dimensionslosen Kennzahlen im Skript3
Eckertzahl
w2
Ec
(7.107)
cp
Die Eckertzahl stellt das Verhältnis von der (doppelten) mittleren kinetischen Energie zur mittleren inneren
Energie der Grenzschicht dar. Sie beeinflusst alleine das Temperaturfeld und muss nur beachtet werden, wenn
durch die Reibung im Fluid eine nennenswerte Erwärmung hervorgerufen wird. Dies ist nur bei großen Geschwindigkeiten (Größenordnung Schallgeschwindigkeit) und bei hohen Geschwindigkeitsgradienten der Fall.
Einlaufkennzahl
z*
L/ d
Re Pr
aL
wd 2
(6.43)
Die Einlaufkennzahl wird für durchströmte Rohre angewendet und kann (bei konstanten Geometrie-, Systemund Stoffwerten) als dimensionslose Lauflänge gedeutet werden. Sie findet Anwendung zur Beschreibung des
fluiddynamischen und thermischen Einlaufbereiches durchströmter Rohre. Die Einlaufkennzahl entspricht dem
reziproken Wert der Graetzzahl (z* = Gz-1).
Grashofzahl
Gr
(
)gLchar 3
0
2
(9.15)
Die Grashofzahl stellt das Verhältnis der Auftriebskraft zur Reibungskraft dar. Zusammen mit Pr beschreibt Sie
die Strömung bei freier Konvektion und ähnelt somit der Reynoldszahl bei erzwungener Strömung. Die Dichte
und Geschwindigkeitsgradienten bei freier Konvektion resultieren aus den Konzentrations- und Temperaturgradienten des betrachteten Systems.
Bei der Überlagerung von freier und erzwungener Konvektion kann aus dem Verhältnis Gr/Re2 eine Aussage
über die Größenordnung der wirkenden Mechanismen getätigt werden. Für Gr/Re2 << 1 überwiegt die erzwungene Strömung, die Auftriebskraft ist viel kleiner als die Trägheitskraft. Bei Gr/Re2 >> 1 ist die Auftriebskraft
viel größer als die Trägheitskraft, freie Konvektion überwiegt. Bei Gr/Re2 1 sind Auftriebskräfte und Trägheitskräfte von gleicher Größenordnung.
Lewiszahl
Le
a
DAB
(3.83)
Die Lewiszahl beschreibt das Verhältnis der thermischen Grenzschichtdicke T zur Konzentrationsgrenzschichtdicke c. Sie verknüpft den molekularen Energietransport durch Wärmeleitung mit dem molekularen Stofftransport durch Diffusion. Diese dimensionslose Kennzahl enthält, wie die Prandtl- und Schmidtzahl, nur Stoffgrößen.
Machzahl
Ma
w
ws
Die Machzahl stellt das Verhältnis zwischen der Strömungsgeschwindigkeit und der Schallgeschwindigkeit dar.
3
Angelehnt an [Martin 2013]
A-17
A.10 Übersicht der vorgestellten dimensionslosen Kennzahlen im Skript
Nußeltzahl
Lch ar
Nu
(4.53)
Die Nußeltzahl entspricht dem dimensionslosen Gradienten des Temperaturprofils an der Wand
*
y*
.
y* 0 , x*
Sie stellt das Verhältnis des effektiv übergehenden Wärmestromes zum rein molekularen Wärmetransport in einem ruhenden Fluid durch Wärmeleitung dar. Aus ihr kann der Wärmeübergangskoeffizient berechnet werden.
Pecletzahl
Die Pecletzahl ist für den Stoffübergang definiert zu:
Pe
Re Sc
wLch ar
DAB
.
(5.37)
Sie gibt das Verhältnis der konvektiv transportierten Stoffmenge zu der molekular transportierten durch Diffusion wieder.
Für den Wärmeübergang berechnet sie sich zu:
Pe
Re Pr
wLch ar
a
(5.37)
und beschreibt das Verhältnis des Wärmetransports durch Konvektion zur molekular transportierten Wärme
durch Wärmeleitung.
Prandtlzahl
Die Stoffeigenschaften des (um)strömenden Fluides werden mit der Prandtlzahl:
Pr
a
(4.50)
betrachtet. Die kinematische Viskosität repräsentiert den Impulstransport infolge von Reibung. Über die Temperaturleitfähigkeit a wird der molekulare Wärmetransport durch Wärmeleitung beschrieben. Da der Impulstransport durch das Geschwindigkeitsfeld und der Wärmetransport durch das Temperaturfeld beschrieben werden, wird mit der Prandtlzahl das Geschwindigkeitsfeld mit dem Temperaturfeld verknüpft. Sie entspricht dem
Verhältnis der Geschwindigkeitsgrenzschichtdicke w zur Temperaturgrenzschichtdicke T. Die Grenzschichtdicken sind gleich groß bei Pr = 1.
Rayleighzahl
Ra
Gr Pr
gL char 3
a
(9.37)
Die Rayleighzahl ergibt sich aus dem Produkt der Grashofzahl und der Prandtlzahl. Sie gibt Auskunft über das
Strömungsregime bei freier Konvektion.
Reynoldszahl
Re
wLchar
(4.36)
Die Reynoldszahl stellt das Verhältnis von Trägheitskräften zu Reibungskräften dar. Sie charakterisiert die vorliegende Strömungsform. Die kritische Reynoldszahl Rekrit, welche von der vorliegenden Geometrie abhängt,
gibt den Umschlag von laminarer Strömung (Re < Rekrit) zur turbulenten Strömung (Re > Rekrit) an.
A-18
A Anhang
Schmidtzahl
Sc
(4.62)
DAB
Die Schmidtzahl gibt das Verhältnis vom viskosem Impulstransport zum diffusivem Stofftransport an. Sie beschreibt für den Stoffübergang das Verhältnis der Geschwindigkeitsgrenzschichtdicke w zur Konzentrationsgrenzschichtdicke c. Für Gase ist Sc < 1 und die Dicke der Geschwindigkeitsgrenzschicht kleiner als diejenige
der Konzentration. Für Flüssigkeiten ist Sc > 1 und die Dicke der Konzentrationsgrenzschicht kleiner als diejenige der Geschwindigkeit.
Sherwoodzahl
Sh
Lchar
DAB
(4.61)
Die Sherwoodzahl entspricht dem dimensionslosen Konzentrationsgradient an der Wand
c A*
y*
.
y* 0 , x*
Sie beschreibt das Verhältnis der effektiv übergehenden Stoffmenge zum rein molekularen diffusiven Stofftransport. Aus ihr kann der Stoffübergangskoeffizient ß ermittelt werden.
A.11 Zusammenstellung kritischer Reynoldszahlen
Tabelle A.4. Kritische Reynoldszahlen einiger Geometrien.
Geometrie
Kritische Reynoldszahl
Rekrit = 105 bis 3·106
Parallel angeströmte Platte, Lchar = L
L
d
Quer angeströmter Zylinder, Lchar = d
Komplexe Strömungsform (s. Abb. 5.10).
Überströmte Kugel, Lchar = d
Rekrit = 3·105
d
Durchströmtes Rohr, Lchar = d
d
Rekrit = 2300
A.12 Übersicht der vorgestellten Korrelationen im Skript
A-19
A.12 Übersicht der vorgestellten Korrelationen im Skript
Beziehungen für die mittleren Wärmeübergangskoeffizienten bei erzwungener Strömung für verschiedene Geometrien:
Tabelle A.5. Parallel angeströmte Platte, Lchar = L
Gültigkeitsbereich
Korrelation
Pr 0
0,005 < Pr < 0,05
0,06 < Pr <10
Pr 10
Re < 3 105
0,6 < Pr < 2000
5 105 < Re < 107
Nu
Nu
Konstanten
C Re m Pr n
C
m
n
1,128
1,0
0,664
0,678
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/3
1/3
(5.9)
0,037 Re0,8 Pr
1 2,44 Re 0,1 (Pr 2/3 1)
(5.15)
Tabelle A.6. Quer angeströmter Zylinder, Lchar = d
Gültigkeitsbereich
0,7 < Pr < 320
Korrelation
1 < Re < 40
40 < Re < 103
3
Nu C Re
5
10 < Re < 2 10
m
Pr
2 105 < Re < 107
n
Konstanten
Pr
Pr0
p
C
m
n
0,76
0,52
0,26
0,4
0,5
0,6
0,37
0,37
0,023
0,8
0,4
0,37
(5.19)
Heizung des Fluids: p = 0,25, Kühlung des Fluids: p = 0,20.
Tabelle A.7. Quer angeströmte Rohrbündel, Lchar = d
Gültigkeitsbereich
0,71
Pr
500
Korrelation
200
Re
103
103
Re
2 105
Re > 2 105
Nu
C Re
m
Pr
0,3
Konstanten*
Pr
Pr0
p
F
Heizung des Fluids: p = 0,25, Kühlung des Fluids: p = 0,20.
F = (zR)/ (siehe Abb. 5.14)
* C, m für Flüssigkeiten entsprechend der Tabelle, für Gase Cg/C = mg/m = 0,88
fluchtend
versetzt
C
0,52
C
0,5
m
0,5
m
0,5
0,27
0,63
0,4
0,6
0,02
0,84
0,021
0,84
(5.21)
A-20
A Anhang
Tabelle A.8. Überströmte Kugel, Lchar = d
Gültigkeitsbereich
Korrelation
0 < Pr <
Re = 0
100 < Pr
Re < 1
0 < Pr <
1
0,7 < Pr < 600
Re > 3 105
Re
2
(5.38)
0,991 (Re Pr)1/3
(5.39)
Nu
Nu
3 105
Korrekturfaktor
Re Pr 1,7
1 Re Pr 1, 2
Nu
2 fk
Nu
0,037 Re 0,8 Pr
1 2,44 Re 0,1 (Pr 2/3 1)
fk
0,66 1
0,84 Pr1 / 6
3
1/ 3
(5.40)
(5.15)
Tabelle A.9. Durchströmtes Rohr, Lchar = d
Gültigkeitsbereich
Korrelation
Funktion
thermisch ausgebildete Laminarströmung
q0
konst.
0
konst.
48
11
(6.37)
3 , 6568
(6.41)
Nu
Nu
laminar
thermische Einlaufströmung mit ausgebildetem Geschwindigkeitsprofil
q 0 konst.
Pr > 0
0 z* <
Nu
konst.
Pr > 0
0 z* <
0
4,364
3
0,6
3
1,935
3
z*
3,657
tanh(2,264 z *1 3 1,7 z *2 3 )
Nu
3
1/ 3
(6.47)
0,6
0,0499
tanh z *
z*
(6.44)
fluiddynamisch und thermisch nicht ausgebildete Strömung
Nu e
Nu
Übergangsbereich
2300 < Re < 10
turbulent
konst.
0
0,1 Pr <
0 z* <
0,1 Pr 1000
104 Re 106
0 < d/L 1
1
tanh(2,432 Pr1 6 z *1 6 )
(6.49)
mit Nu nach Gl. (6.44)
Nu
(1
) Nu lam,2300
Nu
4
turb,104
mit Nulam,2300 bei laminarer Strömung mit Re=2300 und Nuturb,104
bei vollturbulenter Strömung mit Re=104
Nu
Re Pr
8
1
12,7
8
Pr
1
2 3
1
d
L
2 3
Pr
Pr 0
Re
2300
104
2300
mit 0
(6.53)
1
0,11
1,8 lg Re 1,5
2
(6.51)
A.12 Übersicht der vorgestellten Korrelationen im Skript
A-21
Beziehungen für die mittleren Wärmeübergangskoeffizienten bei freier Konvektion für verschiedene Geometrien:
Tabelle A.10. Senkrechte Wand, Lchar = L bzw. H
Gültigkeitsbereich
Gr Pr
Korrelation
109
4 Gr
3 4
Nu
Gr Pr > 109
Nu
Funktion
1/4
(Pr)
(Pr)
1
0,492/Pr
1 2,006 Pr1 2
2,034 Pr
14
(9.38)
2
0,387 Ra1 6
0,825
0,849 Pr1 2
(9.39)
9 16 8 27
Tabelle A.11. Horizontale Wand, Lchar = A/U
Gültigkeitsbereich
Korrelation
Funktion
Wärmeabgabe auf der Oberseite/
Kühlung auf der Unterseite
Ra f2(Pr) < 7 104
Nu
0,766 Ra f 2 (Pr)
15
f 2 (Pr)
4
Ra f2(Pr) > 7 10
Nu
0,15 Ra f 2 (Pr)
0,322
Pr
1
13
11/20
20/11
(9.44)
(9.45)
Wärmeabgabe auf der Unterseite/
Kühlung auf der Oberseite
103 < Ra f1(Pr) <1010
Nu
0,6 Ra f1 (Pr)
15
f1 (Pr)
0,492
Pr
1
9/16
16 / 9
(9.47)
Tabelle A.12. Horizontale gekrümmte Flächen
Geometrie
Gültigkeitsbereich
Zylinder, Lchar = d
10-6
Ra < 1012
Korrelation
Nu
0,6
1
Kugel, Lchar = d
Nu
0,56
2
0,387 Ra 1 6
0,559/Pr
(9.49)
9 16 8 27
Pr
Ra
0,846 Pr
14
(9.50)
2
0,252
Würfel, Lchar = A2/4V
Ra
Nu 5,748 0,752
1
0,492/Pr
9 16 16 9
(9.51)
A-22
A Anhang
Beziehungen für die mittleren Wärmeübergangskoeffizienten bei Kondensation für verschiedene Geometrien:
Tabelle A.13. Kondensation an waagerechten Rohrbündeln
Geometrie
Gültigkeitsbereich
c pf
n waagerecht übereinander liegende Rohre
1
s
0
hv
n 1
Korrelation
2
1 0,2
n
c pf
s
0
hv
n 1 n
14
(10.25)
1
ist der mittlere Wärmeübergangskoeffizient für das oberste Rohr und wird mit Gl. (10.22) berechnet.
Tabelle A.14. Abweichungen von der Nußeltschen Wasserhauttheorie
Korrektur
Gültigkeitsbereich
Korrelation
Funktion
Wellenbildung ab einer kritischen Reynoldszahl:
Wellenbildung auf der
Filmoberfläche
w
Re
0,472K f
1 10
Wellen
f
3
mit K f
g
f Wellen
Re
1
Re
1
f Wellen
(10.28)
Re0,04
f
4
f
Beziehung für den
Wärmeübergangskoeffizienten mit f multiplizieren
temperaturabhängige
Stoffwerte
f Wellen 1
f
f
s
f
0
(10.29)
Tabelle A.15. Filmkondensation mit turbulenter Wasserhaut
Strömungsform
Gültigkeitsbereich
Korrelation
laminare
Filmströmung
Übergangsbereich
turbulente
Filmströmung
4
3 Re
3
Nu lam
f Wellen
Re
400
Definition der Nußelt- und Reynoldszahl:
Nu turb
13
1n
n
f
turb
n
lam
(10.41)
(10.43)
mit n 1,67
(10.42)
5,4 10 3 Re0,382 Pr 0,569
Re
w
f
M
d
Nu
f
2
f
/g
13
f
Mit fWellen gemäß Tabelle A.14.
Liegt laminare Filmkondensation an einer um den Winkel gegen die Senkrechte geneigten Wand vor, so berechnet sich der
mittlere Wärmeübergangskoeffizient über Gl. (10.21). Für ein waagerechtes Einzelrohr bei laminarer Filmkondensation wird
zur Berechnung des mittleren Wärmeübergangskoeffizienten Gl. (10.22) verwendet.
A.12 Übersicht der vorgestellten Korrelationen im Skript
A-23
Tabelle A.16. Kondensation strömender Dämpfe
Gültigkeitsbereich
Korrelation
Funktion
hohe Schubspannungen:
Nu lam,
charakteristische Länge L:
f
1,06
0
1/ 2
*
g
Re
g
f
L
f
13
2
f
g
g
(10.52)
dimensionslose Schubspannung:
Laminare Filmkondensation
L
f
g
g
mittlere Nußeltzahl:
2 ,5
Nu lam
,
Nu lam
turbulente Filmkondensation
mittlere Nußeltzahl
Nulam,
=0
0
Koeffizienten a bis g
g
a Re b Pr c 1 e
Nu turb
(10.53)
1 2 ,5
2 ,5
Nu lam
,
0
(10.54)
(s. Tabelle 10.1)
Nu
f Wellen Nu lam
n
Nu nturb
1n
(s. Tabelle 10.1)
(10.55)
f
fWellen und f gemäß Tabelle A.14
ist die Nußeltzahl der laminaren Filmströmung nach Gl. (10.41).
Beziehungen für die mittleren Wärmeübergangskoeffizienten bei Verdampfung für verschiedene Geometrien:
Tabelle A.17. Konvektionssieden, Lchar = A/U
Gültigkeitsbereich
Ra f2(Pr) < 7 104
Korrelation
Nu
Funktion
15
0,766 Ra f 2 (Pr)
f 2 (Pr)
4
Ra f2(Pr) > 7 10
Nu
0,15 Ra f 2 (Pr)
1
13
0,322
Pr
11/20
20/11
(9.44)
(9.45)
Tabelle A.18. Blasensieden
Gültigkeitsbereich
Korrelation
Nu
Durchmesser abreißender Dampfblasen:
Wasser:
104 W/m2 < q < 106 W/m2
0,5 bar < p < 20 bar
dA
0,0871
0,851
qd A
f Ts
0, 674
0,156
g
f
2
0
g
f
g
h v d 2A
a f2
0,371
a f2 f
dA
0,35
Prf
0,162
45° Wasser
mit 0 = 1° tiefsiedende Flüssigkeiten
35° bei anderen Flüssigkeiten
1,95q 0,72 p0, 24
(10.69)
(10.70)
(10.71)
A-24
A Anhang
Tabelle A.19. Filmsieden, Lchar = d für horizontale Rohre und Kugeln
Gültigkeitsbereich
Korrelation
waagerechte Flächen, c = 0,62
g
c
f
g
g
senkrechte Wände, c = 0,8
g hv
0
3
g
s
1
L
14
(10.72)
A.13 Berechnung von Reibungsbeiwerten
Tabelle A.20. Berechnung von Reibungsbeiwerten für unterschiedliche Geometrien
Geometrie
Gültigkeitsbereich
10-2
Re
5 105
Korrelation
f ,lam
2,65
Re 7/8
1
0,008
4 Re
Re
parallel angeströmte,
ebene Platte
1
9,9 10 3
Re 1 10 4 Tu 1,7
0,455
f , turb
5
9
log Re
1,328
Re1/2
2,58
(5.3)
2
w' / w
Tu
2
(5.5)
5 10 Re 10
0 Tu 0,1
L
bzw.
0,074 Re
f , turb
(5.4)
0, 2
64
Re
Re < 2300
5000 < Re < 105
(6.8)
100 Re
(6.9)
1/ 4
durchströmtes,
glattes Rohr
d
2 104 < Re < 2 106
Re > 106
0,0054
1
0,3964
(6.10)
Re 0,3
0,8 2 log Re
Zusammenhang zwischen dem Reibungsbeiwert
standsbeiwert
f und
dem Wider-
(6.11)
f
4
(6.14)
VL 4 2 Hydrostatik / 3 Transportvorgänge in
reibungsfreien Fluiden
Zusammenfassung VL 3
Eulersches Grundgesetz der Hydrostatik
EIS II VL 4 Seite 1
28. April 20
Auftriebskraft
Lernziele
• Druckverteilung in rotierenden Flüssigkeiten
• Kinematische Grundbegriffe: Bahnlinie, Stromlinie, Stromröhre
EIS II VL 4 Seite 2
Verständnisfragen
Kap. 2
7. Weshalb tritt bei rotierenden Flüssigkeiten eine Verformung der Flüssigkeitsoberfläche
auf?
Kap. 3
EIS II VL 4 Seite 3
Kap. 3
1. Womit befasst sich die Fluiddynamik und womit die Kinematik?
2. Was versteht man unter einer Bahnlinie und unter einer Stromlinie?
3. Welcher Zusdammenhang besteht zwischen Bahn- und Stromlinien, wenn die
Strömung stationär ist?
EIS II VL 4 Seite 4
EIS II VL 4 Seite 5
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