SKRIPT Symbolverzeichnis nachlesen bei Bedarf Index zum nachlesen von begriffen Verständnisfragen für theorieteil Transferfragen für Klausur sehr wichtig Aufgaben erst rechnen, dann Lösung anschauen Sternchen Schwierigkeitsgrad Warm Up EIS II SoSe 2016 Warm Up EIS II 1. Mathematik 1.1. Formen Sie die folgenden Terme unter Anwendung der Potenzgesetze bzw. Logarithmengesetze um. a) b) xa x b X ln ( x y ) a b la 4 t duly 1.2. Lösen Sie die Differentialgleichung f(x,t) nach der Variabel t auf. Variablen: t und x, Konstanten: a, b und c. a dx dt b x c 1.3. Bilden Sie das Integral der folgenden Funktionen: f(x) F( x ) 1 2 4x f ( x ) dx + C FG Shufflex DX 1 e2x 1.4. Definieren Sie für das rechtwinklige Dreieck in Abb.1 die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens des Winkels α. Nutzen Sie hierfür die angegebenen Beschriftungen der Dreiecksseiten. Sin Los c a an a c b a α · b Abb.1 – rechtwinkliges Dreieck Fachgebiet Verfahrenstechnik Prof. Dr.-Ing. M. Kraume M.Sc. S. Röhl Energie-, Impuls- und Stofftransport II SoSe2016 Erschallen innereHaut ugleichsetzen IntegrationdurchSubstituten u Inlegnhasundleersetzen FCH Fln O flu E dt ekuldun JL DX Fln JDFLH.GE Je Edu Seidu I e 2 Rücksubsttnh.cn F tz e 24C FG DGL Gewöhnliche c y Variable abhängt 4 t nur von 1 X nur nochdieserabgeleitetwird kxtdx.tn Fkt pcrtielleDGLmvmdrevoidbnv.ae zudem abgelehnt wird ylx.kz FCK tz yLKA Zornigen x 0 zweiteAbleitungen nachgleierkridhoderveschedenen 5yltix.se cderJ4lhIXz Jx 44,4 JA In der FCxn.my 0 n II O DGLnoch kühlerAbleiten aufgelöstOderlässt siesichsounternendasssienach höchsteAbletey aufgelönist 0 homogen explizit implizit inhomogen sonst 0 f y y y blt T tudou.ae ct4aUeTerwedivon isst ÜneareDGL ml abhängen l I y y you Au City LXHAolhylhtblxlhdefmg.wrtkoe.lt und addiert Kueltkönnenvon f x unehphiert odery in nichtlineareFlat mit Kunst Koect lineareDGV ufangswertproblem a KO 1 y abhängen m.leinm.ir Kochtnichtvon L 410 L unterOrdnung benötigt h Anfangswerte andientProblem ankenntZustände an denRändern abhängen gleichsetzenundAnfangswert 1 Auflösennach Warm Up EIS II SoSe 2016 1.5. Lesen Sie die x- und y-Koordinatenwerte der eingezeichneten Punkte aus Abb. 2 ab. 1.000.000,0 2 10 100.000,0 I.co 1 10 I wo 10.000,0 0 10 1.000,0 -1 10 1 100,0 -2 z j 1,00E+00 10 ns noss -2 10 2so2 101 z sa -1 0 1,00E+01 10 1,00E+02 10 1 2 1,00E+03 10 1,00E+04 10 Abb. 2 – logarithmisches Diagramm 1.6. Wenden Sie für den Ausdruck die Taylorreihenentwicklung an mit einem Abbruch nach dem 1. Glied. x dx vast dt VG 1.7. Lösen Sie das Gleichungssystem. 2 x 3 y z 11 x y 2z 3 3x 2 y 3z 8 flxth fY de mit2dLmultiplemaddieren aus IFK leichtzu eliminierende 1 z Zehen hier beiden doddierender Variable alsersteslöse Fachgebiet Verfahrenstechnik Prof. Dr.-Ing. M. Kraume M.Sc. S. Röhl Energie-, Impuls- und Stofftransport II SoSe2016 h a d JX DX Warm Up EIS II SoSe 2016 1.8. Vervollständigen Sie die Tabelle mit den Berechnungsgleichungen der gesuchten Größen. Mantelfläche AM[m2] Zylinder d Volumen V[m3] FLEIL Hdl L Oberfläche Ao[m2] Kugel Volumen V[m3] EIN Id d Schatten/Projektionsfläche As[m2] DL Schatten/Projektionsfläche As[m2] L 2. Thermodynamik/physikalische Chemie 2.1. Geben Sie das ideale Gasgesetz an. Definieren Sie die Einheit aller Größen die in dem Gesetz auftreten. R Goskonstante Ilmoek PDreck PD PV NRT Volumen m T und N Stoltmengeverstanden? 2.2. Was wird unter dem Begriff Sättigungsdampfdruck p wo C g Phase im Gtwstehen Temperatur EK 2.3. In einem Volumen von V=2L befinden sich 2 Komponenten, 5 kg der Komponente A und 3 kg der Komponente B. Berechnen Sie die Massenkonzentrationen respektive Partialdichten der Komponenten A und B ( A und B), sowie die Gesamtdichte . Geben Sie die Ergebnisse in [kg/m3] an. Paten Vges PAYS je 1ms 1000L A Fv Fachgebiet Verfahrenstechnik Prof. Dr.-Ing. M. Kraume M.Sc. S. Röhl Energie-, Impuls- und Stofftransport II SoSe2016 Warm Up EIS II SoSe 2016 3. Einheiten physikalischer Größen 3.1. Geben Sie die Einheiten der Größen an: Physikalische Größe Symbol Ideale Gaskonstante R Isobare Wärmekapazität cp Einheit I Amulik II kg k N Impulsstrom kg Im2 s flächenbezogene Massenstromdichte 3.2. Formen Sie die Einheiten der Größen in [s], [kg] und [m] um: Physikalische Größe Symbol Einheit Energie E Joule [J] Kraft F Newton [N] Druck p Pascal [Pa] Leistung P Watt [W] Umgeformte Einheit ksnfszkg.sn Tz ks.ms ks.sn 3.3. Überprüfen Sie die folgende Gleichung auf Ihre Richtigkeit: 7200 W 12 mol Umrechnung E 20 C bar d 10 3 N kg m2 1 293 ,15 kmol 10 5 K K 273,15 1bar 105Pa ÄÄÄ h min S so oo www.zn d Fachgebiet Verfahrenstechnik Prof. Dr.-Ing. M. Kraume M.Sc. S. Röhl Energie-, Impuls- und Stofftransport II SoSe2016 A-19 A.11 Übersicht zur Aufstellung von Bilanzgleichungen A.11 Übersicht zur Aufstellung von Bilanzgleichungen Die allgemeine Bilanzgleichung der Austauschgrößen hat die folgende Form: S Z (1.12) A W Diese Gleichung besagt, dass die Änderung der im System gespeicherten Mengen gleich der Summe der in das System ein- bzw. aus dem System austretenden und der im System gewandelten Mengen ist. Austauschgrößen sind dabei Energie, Impuls oder die Stoffmenge. Bei der Aufstellung von Bilanzgleichungen ist folgendermaßen vorzugehen: 1. Skizzieren des Systems 2. Wahl der Bilanzgröße Energie Impuls/Kraft Stoffmenge/Masse 3. Wahl der Bilanzart integral: Ein- und Ausgangsgrößen; Mittelwerte differentiell: ortsaufgelöst; Verläufe 4. Wahl des Bilanzraumes und Einzeichnen aller ein- und austretenden Ströme 5. Aufstellen der Bilanz nach Gl. (1.12) Eine Übersicht der einzelnen Terme Speicher, Ströme und Wandlung für die Bilanzgrößen Energie, Impuls und Masse bzw. Stoffmenge ist in Tabelle A.19 zusammengefasst. Tabelle A.19. Bilanzgleichungen Bilanzgröße Speicherterm Ströme (Zu- und Abfuhrterm) Wandlungsterm Enthalpiestrom: dE ges dU dt dt Energie mit E ges U d M 1cv dt Ekin 0 M 1c p 0 konvektiver Wärmeübergang: E pot unter Vernachlässigung der äußeren Energien gilt E ges H1 Q A HV U A I Impuls d M 1w1 dt r hRVR hV M V d dy Impulsstrom: dI dt HR Verdampfungsenthalpie: Wärmeleitung: Q Reaktionsenthalpie: Volumenkräfte: M1w1 w12 Druckkraft: A FV aM z.B. Gewichtskraft: FP pA FG gM A-20 A Anhang Scherspannung: FS A Widerstandskraft: FW 2 w2 A mit: A Schattenfläche für durchströmte Rohre: FW Gesamtmasse dM dt 2 dV dt w2 M V Mi V L A d Die Gesamtmasse ist eine Erhaltungsgröße. konvektiv: Masse Komponentenbilanz chemische Reaktion 1. Ordnung: i konvektiver Stoffübergang: dM i dt dV dt i Mi A M i ,R ~ i rVR M i i diffusiv: Mi Gesamtstoffmenge dN dt D AB A d Vc dt N Vc Ni Vc i d i dy Die Gesamtstoffmenge ist auf atomarer Ebene eine Erhaltungsgröße. Molenbilanz für Gesamtstoffmenge ist unüblich. konvektiv: Stoffmenge Komponentenbilanz konvektiver Stoffübergang: dN i dt d Vci dt Ni A ci diffusiv: Ni D AB A dc i dy chemische Reaktion 1. Ordnung: N i ,R i rVR Warm Up EIS II SoSe 2016 4. Energie-Impuls- und Stofftransport I 4.1. Definieren Sie die Gesetze für den molekularen Energie- und Stofftransport. Wann treten diese Transporte auf? Nennen Sie Beispiele. Energietransport: dT dT bzw. Q A dy dy Beispiel: Wärmetransport durch ein Mauerwerk/ Dämmschicht (siehe Aufgabe 4.2). q Stofftransport: mA D AB d A dy MA bzw. D AB A d A dy Beispiele: Wasserstoff diffundiert aus einem Stahltank. Sauerstoff diffundiert in Butter. 4.2. Zeichnen Sie in Abb. 3. das Temperaturprofil für das Mauerwerk und die Dämmschicht ein. Nehmen Sie hierbei geeignete Größenordnungen für die Wärmeleitfähigkeit des Mauerwerks und der Dämmschicht an. umso Dämmschicht II Mauerwerk hoher desto steiler Freilauf I 1 2 x Abb. 3 – Mauerwerk und Dämmschicht Fachgebiet Verfahrenstechnik Prof. Dr.-Ing. M. Kraume M.Sc. S. Röhl 2 Energie-, Impuls- und Stofftransport II SoSe 2016 Warm Up EIS II SoSe 2016 4.3. Bennen Sie die Gesetze für den konvektiven Stoff- und Wärmeübergang. Stoffübergang: mA A bzw. MA A nA bzw. NA A cA Wärmeübergang: q bzw. Q A cA A 4.4. Wie lautet die allgemeine Bilanzgleichung? Benennen und erläutern Sie jeden Term der Gleichung. S Z A W Ṡ -Speicherterm Ż -Zufluss Ȧ -Abfluss Ẇ -Wandlungsterm (zeitliche Änderung der Bilanzgröße im System) (Summe aller über die Bilanzgrenze eintretender Ströme) (Summe aller über die Bilanzgrenze austretender Ströme) (Quelle oder Senke innerhalb der Bilanzgrenzen) 4.5. In welchem Term der allgemeinen Bilanzgleichung werden homogene chemische Reaktionen berücksichtigt? Im Wandlungsterm (Quellterm) 4.6. Zwischen welchen Bilanzarten wird unterschieden? Integrale- und differentielle Bilanz 4.7. Welche Bilanzgrößen gibt es? Energie, Impuls, Masse, Stoffmenge. Hinweis: Bei Masse und Stoffmenge wird zwischen der Bilanzierung der Gesamt- und Komponentenbilanz unterschieden. 4.8. Welche Bilanzart und Bilanzgröße würden Sie ansetzen für die Bestimmung eines axialen Konzentrationsprofiles einer Komponente in einem durchströmten Rohr? an.ae Bilanzart: differentiell Bilanzgröße: Komponentenstoffbilanz Fachgebiet Verfahrenstechnik Prof. Dr.-Ing. M. Kraume M.Sc. S. Röhl Energie-, Impuls- und Stofftransport II SoSe 2016 Warm Up EIS II SoSe 2016 4.9. Geben Sie die Definition und die Einheit folgender Kennzahlen an. Kennzahl Definition Prandtlzahl Reynoldszahl Sherwoodzahl Schmidtzahl Fachgebiet Verfahrenstechnik Prof. Dr.-Ing. M. Kraume M.Sc. S. Röhl Pr Re Sh Sc Einheit [-] a w Lchar [-] Lchar D AB [-] [-] D AB Energie-, Impuls- und Stofftransport II SoSe 2016 Technische Universität Berlin Institut für Energietechnik Fachgebiet Maschinen- und Energieanlagentechnik Prof. Dr.-Ing. Felix Ziegler Energie-, Impuls- und Stofftransport I Formel amml ng 1 Grundlagen und Definitionen 1.1 Geometrie Kreisfläche: 𝐴 𝜋𝑟 (1) Kreisumfang: 𝑈 2𝜋𝑟 (2) Kugeloberfläche: 𝐴 4𝜋𝑟 (3) Kugelvolumen: 𝑉 4 𝜋𝑟 3 (4) 1.2 Thermodynamische Grundlagen Thermische Zustandsgleichung idealer Gase: 𝑝𝑉 𝑁𝑅𝑇 bzw. 𝑝𝑣 𝑅𝑇 mit 𝑅 𝑅 (5) 𝑀 Thermische Zustandsgleichung des inkompressiblen Fluides: 𝑣 const (6) Innere Energie und Enthalpie (kalorische Zustandsgleichungen) eines idealen Gases: 𝑢 𝑇 𝑢ref 𝑐 𝑇 𝑑𝑇 (7) 𝑐 𝑇 𝑑𝑇 (8) ref ℎ 𝑇 ℎref ref Innere Energie und Enthalpie (kalorische Zustandsgleichungen) eines inkompressiblen Fluides mit konstanter spezifischer Wärmekapazität 𝑐: 𝑢 𝑇 ℎ 𝑇, 𝑝 𝑢ref ℎref 𝑐 𝑇 𝑐 𝑇 𝑇ref 𝑇ref SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019) (9) 𝑣 𝑝 𝑝ref (10) Seite 1 von 22 EIS I Formelsammlung 1.3 Definitionen, Konzentrationsmaße Temperaturleitfähigkeit: 𝑎 molare Konzentration: 𝑐 Molanteil: 𝑥 𝜆 𝜌𝑐 𝑁 𝑉 𝑁 𝑁 𝐶 Wärmekapazitätsstrom: 𝑀𝑐 𝑀 𝑉 𝑀 𝑀 Partialdichte / Massenkonzentration: 𝜌 Massenanteil: 𝜉 1.4 Dimensionslose Kennzahlen 𝑅𝑒 Reynolds-Zahl: 𝑁𝑢 Nusselt-Zahl: Sherwood-Zahl: 𝑆ℎ 𝑐𝐿 𝜈 𝑐𝐿 𝜌 𝜂 Prandtl-Zahl: 𝑃𝑟 Schmidt-Zahl: 𝑆𝑐 𝛼𝐿 𝜆Fl id Biot-Zahl (Wärmeleitung): 𝐵𝑖 𝛽𝐿 𝐷 Biot-Zahl (Diffusion): 𝐵𝑖 𝜈 𝑎 𝜈 𝐷 𝛼𝐿 𝜆Fe k rper 𝛽𝐿 𝐷 Zur Definition der Diffusionskoeffizienten siehe Abbildung 1. Abbildung 1: Zur Definition der Diffusionskoeffizienten und 2 Molekularer Transport 2.1 Wärmeleitung Fouriersches Gesetz (eindimensional): 𝑞 𝑥 𝜆 ,𝑝 (11) 𝑥 2.2 Diffusion 2.2.1 Ficksches Gesetz Ficksches Gesetz (molar, eindimensional): 𝑗 𝑥 𝐷 ,𝑝 𝑐 𝑥 𝑗 𝑥 𝐷 ,𝑝 𝑐 𝑥 SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019) 𝑥 𝑥 (12) (𝑐 con ) (13) Seite 2 von 22 EIS I Formelsammlung Ficksches Gesetz (massenspezifisch, eindimensional): 𝑗∗ 𝑥 𝐷 ,𝑝 𝜌 𝑥 𝑗∗ 𝑥 𝐷 ,𝑝 2.2.2 𝜉 𝑥 𝜌 𝑥 (14) (𝜌 con ) (15) einseitige Diffusion Für den Stoffstrom der frei beweglichen Komponente A gilt: 𝑗 𝑥 𝑛 1 𝑥 (16) 2.2.3 Diffusion in porösen Medien Diffusionskoeffizient bei Knudsen-Diffusion (𝑅 : Porenradius, 𝑀: mittlere Molmasse des Stoffgemischs): 2 𝑅 3 𝐷Kn 8𝑅𝑇 (17) 𝜋𝑀 Effektiver Diffusionskoeffizient: 𝐷eff 𝐷Kn 𝜀 𝜇 (18) Porosität (Lückengrad): 𝜀 𝑉Poren 𝑉gesamt (19) Tortuosität (Umwegfaktor): 𝜇 𝐿eff 𝐿 (20) 2.2.4 Bezugssysteme Stoffstrom in einem allgemeinen Bezugssystem mit Bezugsgeschwindigkeit 𝑛 𝑗 𝑐 : (21) Stoffstrom im Teilchenbezugssystem: 𝑛 𝑗 𝑐 𝑢 (22) Massenstromdichte im Schwerpunktsystem: 𝑚𝐴 𝑗∗ 𝜌 𝑤 (23) Mittlere molare Geschwindigkeit (mittlere Teilchengeschwindigkeit): 𝑢 𝑥𝑤 (24) Schwerpunktgeschwindigkeit: 𝑤 𝜉𝑤 (25) (𝑛: Anzahl der Komponenten im Gemisch; 𝑤 : mittlere Teilchengeschwindigkeit der Komponente 𝑖) SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019) Seite 3 von 22 EIS I Formelsammlung 3 Konvektiver Transport 3.1 Wärme- und Stoffübergang an überströmten Wänden Wärmeübergang (Newtonsches Abkühlungsgesetz): 𝑞 𝛼 (26) Stoffübergang (Voraussetzung: an der Stelle 𝑦 0verschwindender Konvektionsstrom in 𝑦-Richtung, siehe Abbildung 2): 𝑛 𝛽 𝑐 𝑐 (27) Stoffübergang (allgemein): 𝑛 𝛽• 𝑐 𝑐 𝑐 𝑢 𝛽 𝑐 𝑐 (28) Stefan-Korrektur: 𝛽• Abbildung 2: Zur Definition der Größen bei konvektivem Wärme-/Stoffübergang 𝜁𝛽 (29) 3.2 Durchströmte Rohre/Kanäle (konvektiver Wärme- und Stofftransport in Strömungsrichtung) Konvektiver Energiestrom (Enthalpiestrom): 𝐻 𝑥 𝑀 𝑥 ⋅ℎ 𝑥 (30) Konvektiver Stoffstrom: 𝑁 𝑥 𝑉 𝑥 ⋅𝑐 𝑥 (31) 𝑀 𝑥 𝑉 𝑥 ⋅𝜌 𝑥 (32) 4 Wärme- und Stoffdurchgang 4.1 Wärmedurchgang Wärmedurchgangsgleichung: 𝑄 𝑘𝐴 (33) Bestimmung des 𝑘 𝐴-Wertes mit Hilfe des Widerstandsmodells: 1 𝑘𝐴 Ersatzwiderstand für Reihenschaltung von 𝑛 Einzelwiderständen: 𝑅ges 𝑅Reihe 𝑅 𝑅 ... 𝑅 (34) (35) Ersatzwiderstand für Parallelschaltung von 𝑛 Einzelwiderständen: 1 𝑅Parallel 1 𝑅 1 𝑅 ... 1 𝑅 (36) Wärmeleitungswiderstand (𝛿: Schichtdicke): 𝑅 𝛿 𝜆𝐴 SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019) (37) Seite 4 von 22 EIS I Formelsammlung Konvektiver Widerstand: 1 𝛼𝐴 Mittlere Fläche: (38) 𝑅 Hohlzylinder: 𝐴m,Z Hohlkugel: 𝐴m,K 𝐴 𝐴 ln 𝐴 𝐴 2 𝜋𝐿 𝑟 𝑟 (39) ln 4 𝜋𝑟 𝑟 (40) 4.2 Stoffdurchgang Henry-Gesetz: 𝑥 𝑘 𝑦 𝑝 (41) Stoffdurchgangsgleichung: Abbildung 3: Vorzeichenkonvention für Gln. (42) und (43) 𝑛 𝑘 𝑥 𝑛 𝑘 𝑥 𝑘 𝑝 𝑦 𝑦 𝑝 𝑘 (42) (43) Vorzeichenkonvention: 𝑦-Koordinate muss von der Flüssig- in die Gasphase zeigen, damit Gln. (42) und (43) das korrekte Vorzeichen entsprechend Abbildung 3 liefern. Zeigt die Koordinate von der Gas- in die Flüssigphase, sind die Konzentrationsdifferenzen auf der rechten Seite der Gleichung umzukehren. Stoffdurchgangskoeffizienten: 𝑘 1 𝑘 𝛽 𝑐 𝑝 𝑘 1 𝛽 𝑐 1 𝛽 𝑐 (44) 1 𝑝 𝛽 𝑐 𝑘 (45) 5 Wärmestrahlung 5.1 Allgemeines Stefan-Boltzmann-Gesetz für einen durch Strahlung ausgesendeten Energiestrom (Strahlungsfluss): Φ 𝐴⋅𝜎⋅𝜀⋅𝑇 (46) Stefan-Boltzmann-Konstante: 𝜎 5,67 ⋅ 10 Emissionsgrad der strahlenden Oberfläche 𝜀 ∈ ℝ 0,1 Energiefluss durch Strahlung setzt sich zusammen aus absorbierter, transmittierter und reflektierter Strahlung: 𝐸 𝑎𝐸 𝑟𝐸 𝜏𝐸 SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019) (47) Seite 5 von 22 EIS I Formelsammlung Abbildung 4: Definition geometrischer Größen, Strahlungsfluss in ein Raumwinkelelement, Projektionsfläche Absorptionsgrad 𝑎, Reflexionsgrad 𝑟 und Transmissionsgrad 𝜏 liegen zwischen 0 und 1, es gilt das erste kirchhoffsche Gesetz: 𝑎 𝑟 𝜏 1 (48) Der Emissionsgrad eines Körpers ist gleich seinem Absorptionsgrad. Es gilt das zweite kirchhoffsche Gesetz: 𝜀 5.1.1 𝑎 (49) Strahlungsgrößen Hemisphärische Gesamtgrößen Fassen Strahlung aller Wellenlängen und Richtungen zusammen Gerichtete Gesamtgrößen Beschreiben die Richtungsabhängigkeit der Strahlung aller Wellenlängen Hemisphärische spektrale Größen Fassen Strahlung eines Flächenelements in alle Richtungen des Halbraumes über dem Flächenelement zusammen und hängen nur noch von der Wellenlänge ab Gerichtete spektrale Größen Beschreiben Richtungs- und Wellenlängenabhängigkeit der Strahlung Spezifische Ausstrahlung ≙ in alle Richtungen und in allen Wellenlängen emittierte Strahlungsenergie, auf ein Flächenelement bezogener Strahlungsfluss (siehe Abbildung 4): dΦ d𝐴 Strahldichte ≙ auf Richtung und Flächenelement bezogener Strahlungsfluss: 𝑀≔ 𝐼≔ d Φ d𝐴 𝑑 SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019) (50) (51) Seite 6 von 22 EIS I Formelsammlung Spektrale Strahldichte ≙ auf Wellenlänge, Richtung und Flächenelement bezogener Strahlungsfluss: d Φ d𝐴 d d𝜆 Raumwinkel d sin 𝛽 d𝛽 d (Einheit: Steradiant sr) Es ist: (52) 𝐿 ≔ Φ≔ d𝐴 𝐿 𝛽, , 𝜆, 𝑇 d d𝜆 d𝐴 (53) cos 𝛽 d𝐴 ist die Projektionsfläche der strahlenden Fläche, 𝐻 der Halbraum Lambertsches Cosinusgesetz liefert in der Projektionsfläche wirkende Strahldichte: 𝐿 𝐿 cos 𝛽 (54) 5.1.2 Idealer schwarzer Strahler Plancksches Gesetz: 𝐿 𝛽, , 𝜆, 𝑇 , 𝐿 𝑐 𝜆, 𝑇 , 𝜋 𝜆 exp (55) 1 (Spektrale Strahldichte des schwarzen Strahlers ist richtungsunabhängig.) Spektrale spezifische Ausstrahlung: 𝑀 , 𝜆, 𝑇 𝜋𝐿 , 𝑐 𝜆, 𝑇 𝜆 exp (56) 1 Integriert über alle Wellenlängen: 𝑀 𝑇 𝜎𝑇 mit 𝑐 2𝜋ℎ𝑐 𝑐 ℎ ℎ dabei sind: (57) 𝑐 𝑘 3,74 ⋅ 10 Wm 14 400 μm K 6,6261 ⋅ 10 Js 299792458 (Plancksches Wirkungsquantum) (Vakuumlichtgeschwindigkeit) 1,381 ⋅ 10 (Boltzmann-Konstante) Wiensches Verschiebungsgesetz (Wellenlänge mit maximaler spezifischer Ausstrahlung des schwarzen Strahlers): 𝜆 𝑇 2897,77 μm K (58) 5.2 Wärmestrahlung und Strahlungsaustausch Durch Strahlungsaustausch zwischen zwei Körpern übertragener Wärmestrom: 𝑄 𝐶 𝐴 𝑇 100 𝑇 100 mit dem Strahlungsaustauschkoeffizient 𝐶 aus Strahlungskonstante: 𝐶 5,67 SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019) (59) 𝐶 ⋅𝜀 𝜎 ⋅ 10 und Strahlungsaustauschzahl: 𝜀 Seite 7 von 22 EIS I Formelsammlung Strahlungsaustauschzahl und Sichtfaktor : Der Sichtfaktor 𝐹 beinhaltet die geometrischen Faktoren, die Strahlungsaustauschzahl 𝜀 zusätzlich zu den Sichtfaktoren die Strahlungseigenschaften der Körper. Es gilt für die Sichtfaktoren die Reziprozitätsbedingung: 𝐹 ⋅𝐴 𝐹 ⋅𝐴 (60) Ebene, parallel angeordnete unendlich ausgedehnte schwarze Körper: 𝜀 𝐹 1 𝐹 𝜀 𝐹 0 𝐹 1; 𝐹 𝐹 (61) Kugel 1 in unendlichem Raum 2: 𝜀 𝜀 0; 𝐹 0; 𝐹 1 (62) Parallele unendlich ausgedehnte Platten, die keine schwarzen Strahler sind: 1 𝜀 𝐹 1 1 𝐹 ;𝐹 0 𝐹 (63) Kugel 1 in Kugel 2 bzw. zwei lange konzentrische Zylinder ineinander: 1 𝜀 𝐹 1 1; 𝐹 ;𝐹 0; 𝐹 1 (64) 6 Wärmeübertrager Wärmedurchgangsgleichung für Wärmeübertrager: 𝑄 ̅ 𝐹 𝑘 𝐴 Δ log 𝑘𝐴Δ (65) Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz: ̅ Δ log Δ rechts ln Δ links (66) rechts links Temperaturspreizungen (siehe Abbildung 5): Δ 0 (67) Δ 0 (68) Energiebilanzen: 𝑄 𝐶Δ 𝐶 ( hei e Sei e) (69) 𝑄 𝐶 Δ 𝐶 ( kal e Sei e) (70) Dimensionslose Kennzahlen: 𝑃 𝑃 max max 𝑅 𝑁𝑇𝑈 (71) 𝑅 𝑁𝑇𝑈 (72) Abbildung 5: Strombezeichnungen SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019) Seite 8 von 22 EIS I Formelsammlung 7 Bestimmung von Temperatur- und Konzentrationsfeldern in technischen Systemen 7.1 Methode der Bilanzierung Vorgehensweise zur Bestimmung von Temperatur- und Konzentrationsfeldern mittels Energie- und Stoffbilanzen: 1. Bilanzgröße wählen 2. Entscheidung: differentielle oder integrale Bilanz? 3. Bilanzraum wählen 4. Skizze des Bilanzraums mit allen Strömen, Quell- und Senkentermen erstellen 5. Bilanzgleichung aufstellen (𝑆 6. Nur bei differentieller Bilanz:Grenzübergang 𝑑𝑥 → 0 bzw. Satz von Taylor anwenden. Taylor-Polynom 1. Ordnung: 𝑦 𝑥 7. d𝑥 𝑦 𝑥 𝑍 𝑦 𝑥 𝐴 𝑊) d𝑥 Ströme auflösen in Stromdichte (73) Fläche (z.B. 𝑑𝑄 𝑥 Wandlungsterme auflösen in Quellendichte 𝑞 𝑥 𝑑𝐴) Volumen (siehe Tabelle 1) Speicherterm auflösen (siehe Tabelle 2) 8. Einsetzen: geometrische Größen (z.B. 𝐴 𝜋 𝐷 𝐿,𝑑𝐴 𝜋 𝐷 𝑑𝑥) Transportgesetze (für Wärme- und Stoffströme, siehe Tabelle 3) Zustandsgleichungen (für Enthalpie bzw. innere Energie) Geschwindigkeitsgesetze (bei chemischen Reaktionen) men (Terme k r en e c.) → liefert beschreibende DGL 9. Gleich ng a fr 10 Rand- und Anfangsbedingungen aufstellen 11 DGL lösen SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019) Seite 9 von 22 EIS I Formelsammlung Tabelle 1: Wandlungsterme integrale Bilanz differentielle Bilanz 𝑤𝑉 𝛾 𝑉 Γ 𝑉 Wärmequelle/-senke Stoffquelle/-senke (molar) Stoffquelle/-senke (massenspezifisch) 𝑤 𝑑𝑉 𝛾 𝑑𝑉 Γ 𝑑𝑉 Tabelle 2: Umformung des Speicherterms Bilanzgröße Speicherterm und Umformung integrale Bilanz innere Energie Stoffmenge Masse 𝑈 𝑡 𝑁 𝑡 𝑀 𝑡 𝑢𝑀 𝑡 𝑐 𝑉 𝑡 𝜌 𝑉 𝑡 differentielle Bilanz 𝑑𝑈 𝑡 𝑑𝑁 𝑡 𝑑𝑀 𝑡 𝑢 𝑑𝑀 𝑡 𝑐 𝑑𝑉 𝑡 𝜌 𝑑𝑉 𝑡 Tabelle 3: Beispiele zur Auswahl geeigneter Transportgesetze System in 𝑥-Richtung reine Wärmeleitung; Rand adiabat in 𝑥-Richtung reine Diffusion; Rand stoffdicht Rohr-/Kanalströmung mit konvektivem Wärmeübergang an Wand ( const); Wärmeleitung in 𝑥-Richtung vernachlässigt Rohr-/Kanalströmung mit konvektivem Stoffübergang an Wand (𝑐 const); Diffusion in 𝑥-Richtung vernachlässigt gesucht Skizze 𝑥 𝑐 𝑥 𝑥 𝑐 𝑥 SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019) Transportterme 𝑄 𝑥 𝜆𝐴 𝑥 𝑁 𝑥 𝐷 𝐴 𝐻 𝑥 𝑀 𝑥 ℎ 𝑥 𝑐 𝑥 𝑑𝑄 𝑥 𝛼 𝑑𝐴 𝑁 𝑥 𝑉 𝑥 𝑐 𝑥 𝑑𝑁 𝑥 𝑥 𝛽 𝑑𝐴 𝑐 𝑥 𝑐 Seite 10 von 22 EIS I Formelsammlung 7.2 3-dimensionale Differentialgleichungen für Wärmeleitung und Diffusion (konstante Stoffwerte) Wärmeleitung mit homogener Wärmequelle/-senke: 𝑡 𝑎∇ 𝑤 𝜌𝑐 (74) Diffusion mit homogener chemischer Reaktion: 𝑐 𝑡 𝜌 𝑡 𝐷 ∇ 𝑐 𝛾 (75) 𝐷 ∇ 𝜌 Γ (76) Laplace-Operator ∇ : Kartesische Koordinaten (𝑥, 𝑦, 𝑧): ∙ ∙ ∙ ∇ ∙ 𝑥 𝑦 𝑧 (77) Zylinderkoordinaten (𝑥, 𝑟, ∙ 1 ∙ ∇ ∙ 𝑥 𝑟 𝑟 siehe Abbildung 6): ∙ 1 ∙ 𝑟 𝑟 Kugelkoordinaten (𝑟, , 2 ∙ ∙ ∇ ∙ 𝑟 𝑟 𝑟 siehe Abbildung 7): 1 ∙ 1 cot 𝑟 sin 𝑟 Abbildung 6: Zylinderkoordinaten (78) ∙ 1 𝑟 ∙ (79) Abbildung 7: Kugelkoordinaten 7.3 Rand- und Anfangsbedingungen 𝑥⃗ bezeichne einen Punkt auf dem Rand eines Systems, dessen Temperatur- bzw. Konzentrationsfeld gesucht ist.𝑛⃗ sei ein Normalenvektor auf dem Rand (im Punkt 𝑥⃗ ). Folgende Randbedingungen (für 𝑡 0) und Anfangsbedingungen sind typisch: Wärmetransport RB 1. Art 𝑥⃗ RB 2. Art 𝜆 RB 3. Art 𝜆 AB 𝑥⃗, 𝑡 Stofftransport 𝑐 𝑥⃗ 𝑛⃗ ⃗ 𝑛⃗ ⃗ 𝑞 𝛼 0 SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019) 𝐷 𝑥⃗ 𝐷 𝑐 𝑥⃗, 𝑡 𝑐 𝑐 𝑛⃗ 𝑐 𝑛⃗ ⃗ ⃗ 0 𝑛 𝛽 𝑐 𝑥⃗ 𝑐 𝑐 Seite 11 von 22 EIS I Formelsammlung RB 3. Art mit Kontaktwiderstand:Eine Randbedingung 3. Art kann auch für den Wärmeoder Stofftransport zwischen zwei sich berührenden Festkörpern aufgestellt werden, wenn zwischen Körper I und Körper II ein Kontaktwiderstand 1/𝛼 𝐴 bzw. 1/𝛽 𝐴auftritt: 𝜆 𝑛⃗ 𝑐 𝑛⃗ 𝐷 𝛼 ⃗ ⃗ 𝜆 𝛽 𝑐 𝑐 𝑛⃗ (80) ⃗ 𝑐 𝑛⃗ 𝐷 (81) ⃗ 8 Stationäre Wärmeleitung und Diffusion 8.1 Hochsymmetrische Körper mit homogener Wärmequelle, RB 3. Art Stationäres, dimensionsloses Temperaturprofil eines symmetrischen Körpers in homogener Umgebung der Temperatur : 1 2 1 𝑛 1 2 𝐵𝑖 𝑟 (82) mit 𝑛 0: Platte 𝑛 1: Zylinder 𝑛 2: Kugel Dimensionslose Variablen: 𝑟 𝑤 𝑅 /𝜆 𝑟 𝑟 𝑅 𝐵𝑖 𝛼𝑅 𝜆 Koordinatensystem: siehe Abbildung 8. Abbildung 8: Koordinatensystem für hochsymmetrische Körper 8.2 Rippen und Spitzen Rippenwirkungsgrad: 𝜂 𝑄 𝑄 ,max tan 𝐻𝑎 mit 𝐻𝑎 𝐻𝑎 𝛼⋅𝑈 ⋅𝐿 𝜆⋅𝐴 (83) Rippenvergrößerungsfaktor (Flächen siehe Abbildung 9): 𝐹 𝐴 𝐴 (84) Abbildung 9: Definitionen der Flächen bei Rippen SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019) Seite 12 von 22 EIS I Formelsammlung 9 Instationäre Wärmeleitung und Diffusion 9.1 Einseitig unendlich ausgedehnte Körper ohne Quellen/Senken 9.1.1 Definitionen Gaußsche Fehlerfunktion (error function): 2 erf 𝜉 e √𝜋 (85) 𝑑 . Komplementäre Fehlerfunktion (error function complement): erfc 𝜉 1 erf 𝜉. (86) Integrierte Fehlerfunktion (integrated error function complement): 1 ierfc 𝜉 √𝜋 e 𝜉 erfc 𝜉. (87) 9.1.2 Koordinatensystem Siehe Abbildung 10. Abbildung 10: Koordinatensystem für einseitig unendlich ausgedehnte Körper 9.1.3 Wärmeleitung Gleichungen für das Temperaturfeld Randbedingung (für 𝑡 𝑥 1.Art: 𝑥, 𝑡 : 0) Temperaturfeld 𝑥, 𝑡 0 𝑥, 𝑡 2. Art: 𝜆 3. Art: 𝜆 𝑥 𝑥 𝑥 erfc 𝑥 0 (88) 2 √𝑎 𝑡 𝑥 2 √𝑎 𝑡 𝑞 𝑥 𝑥, 𝑡 2 √𝑡ierfc 𝑏 2 √𝑎 𝑡 𝑥 𝑥 ,𝑡 erfc 2 √𝑡 𝑥 exp 𝑥 𝑡 erfc 2 √𝑡 𝑞 𝛼 erf (89) (90) (91) 𝑡 Definition des Wärmeeindringkoeffizienten 𝑏 in Gl. (90): 𝑏 𝜆𝜌𝑐 𝜆 (92) √𝑎 Dimensionslose Variablen in Gl. (91): 𝑥, 𝑡 , 𝑥 𝑥 , 𝜆/𝛼 SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019) 𝑡 𝑎𝑡 . 𝜆/𝛼 (93) Seite 13 von 22 EIS I Formelsammlung 9.1.4 Diffusion Gleichungen für das Konzentrationsfeld 𝑐 𝑥, 𝑡 : Randbedingung (für 𝑡 𝑐 𝑥 1.Art: 0 0) 𝑐 𝑐 𝑥 2. Art: 𝐷 3. Art: 𝑐 𝐷 𝑥 𝛽 𝑐 Konzentrationsfeld 𝑛 𝑐 𝑥, 𝑡 𝑐 𝑐 𝑐 erf 𝑐 𝑥, 𝑡 𝑐 𝑐 𝑐 erfc 𝑐 𝑥, 𝑡 𝑐 𝑐 𝑥 0 (94) 𝑡 𝑥 2 𝐷 𝑡 (95) 𝑡 𝑡 𝑐 (96) 𝑥 erfc exp 𝑥 2 𝐷 𝑡 𝑥 ierfc 𝐷 2 𝐷 2𝑛 𝑥 ,𝑡 𝑥 2 √𝑡 (97) 𝑥 erfc 𝑡 2 √𝑡 Für das Massenkonzentrationsfeld (Partialdichtenfeld) gelten die Gleichungen (94) - (97) entsprechend. Es muss lediglich 𝑐 bzw. 𝑐 durch 𝜌 und 𝜌 ersetzt werden. Dimensionslose Variablen in Gl. (97): 𝑐 𝑥, 𝑡 𝑐 , 𝜌 𝑐 𝑐 𝑐 𝜌 𝑥, 𝑡 𝜌 𝜌 𝜌 , 𝑥 𝑥 𝐷 /𝛽 , 𝑡 𝑡 . 𝐷 /𝛽 (98) 9.1.5 Rechenhilfe: Ableitung der Fehlerfunktion nach Für Gl. (89): 𝑥 erfc 𝑥 1 2 √𝑎 𝑡 √𝜋 𝑎 𝑡 𝑥 4𝑎𝑡 exp (99) Für Gl. (95): 𝑥 erfc 𝑥 2 𝐷 1 𝑡 𝜋𝐷 𝑡 exp 𝑥 4𝐷 (100) 𝑡 Aus Gl. (91) folgt nach Einsetzen der dimensionslosen Variablen: 𝛼 𝑥 exp 𝜆 𝜆/𝛼 𝑥 𝑎𝑡 𝜆/𝛼 erfc 𝑥 2 √𝑎 𝑡 √𝑎 𝑡 𝜆/𝛼 (101) Ebenso aus Gl. (97): 𝑐 𝑥 𝑐 𝑐 𝛽 𝑥 exp 𝐷 𝐷 /𝛽 SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019) 𝐷 𝑡 𝐷 /𝛽 erfc 𝑥 2 𝐷 𝑡 𝐷 𝑡 𝐷 /𝛽 (102) Seite 14 von 22 EIS I Formelsammlung 9.2 Hochsymmetrische Körper ohne Quellen/Senken, RB 3. Art Koordinatensystem: siehe Abbildung 11. Abbildung 11: Koordinatensystem für hochsymmetrische Körper Gleichungen für Temperatur-/Konzentrationsfeld: Geometrie Temperatur-/Konzentrationsfeld Platte 𝐶 ∙ cos 𝜇 𝑟 ∙ exp Zylinder 𝐶 ∙𝐽 𝜇 𝑟 Kugel 𝐶 ∙ sin 𝜇 𝑟 𝜇 ∙𝑟 ∙ exp 𝑟 ,𝑡 ; 𝑐 𝑟 ,𝑡 ; 𝜌 𝑟 ,𝑡 𝜇 ∙𝑡 (103) 𝜇 ∙𝑡 ∙ exp . .. (104) 𝜇 ∙𝑡 (105) 𝜇 , 𝐶 : siehe Tabelle 5; 𝐽 : siehe Tabelle 6 Definitionen der dimensionslosen Variablen für Wärmeleitung: 𝑟, 𝑡 𝑟 𝑟 𝑅 𝑡 𝑎𝑡 𝑅 𝑡 𝐷 𝑡 𝑅 𝛼𝑅 . 𝜆 Definitionen der dimensionslosen Variablen für Diffusion: 𝐶 ,𝜇 𝑐 𝜌 𝐶 ,𝜇 𝑓 𝐵𝑖 𝑐 𝑟, 𝑡 𝑐 𝑐 𝑐 𝜌 𝑟, 𝑡 𝜌 𝜌 𝜌 𝑓 𝐵𝑖 𝐵𝑖 𝑟 𝐵𝑖 𝑟 𝑅 𝛽𝑅 . 𝐷 Die dimensionslosen Teilchen- und Massenkonzentrationen 𝑐 und 𝜌 können je nach vorgegebenen Größen und vorliegendem System (Bezugsgeschwindigkeit im Teilchen- oder Schwerpunktsystem vernachlässigbar) beide verwendet werden. SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019) Seite 15 von 22 EIS I Formelsammlung 10 Anhang: Datentabellen Tabelle 4: Werte des komplementären Fehlerintegrals erfc und des integrierten Fehlerintegrals ierfc 𝜉 erfc 𝜉 ierfc 𝜉 𝜉 erfc 𝜉 ierfc 𝜉 𝜉 erfc 𝜉 ierfc 𝜉 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 1,00000 0,94363 0,88754 0,83200 0,77730 0,72367 0,67137 0,62062 0,57161 0,52452 0,47950 0,43668 0,39614 0,35797 0,32220 0,564190 0,515602 0,469823 0,426838 0,386611 0,349087 0,314220 0,281926 0,252125 0,224734 0,199644 0,176744 0,155936 0,137092 0,120099 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 0,28884 0,25790 0,22933 0,20309 0,17911 0,15730 0,13756 0,11980 0,10388 0,08969 0,07710 0,06599 0,05624 0,04771 0,04031 0,104832 0,091173 0,079003 0,068199 0,058653 0,050252 0,042890 0,036464 0,030884 0,026049 0,021885 0,018314 0,015261 0,012672 0,010471 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 0,03389 0,02365 0,01621 0,01091 0,00721 0,00468 0,00298 0,00186 0,00114 0,00069 0,00041 0,00024 0,00013 0,00008 0,00004 0,008621 0,005772 0,003797 0,002460 0,001563 0,000976 0,000604 0,000361 0,000214 0,000124 0,000073 0,000039 0,000023 0,000011 0,000006 Tabelle 5: Kleinster Eigenwert symmetrische Körper 1 , zugehöriger Entwicklungskoeffizient Platte 1 Zylinder und Koeffizient 1 für hoch- Kugel Bi 𝜇 𝐶 𝐷 𝜇 𝐶 𝐷 𝜇 𝐶 𝐷 0,01 0,09983 1,0017 1,0000 0,14124 1,0025 1,0000 0,17303 1,0030 1,0000 0,02 0,14095 1,0033 1,0000 0,19950 1,0050 1,0000 0,24446 1,0060 1,0000 0,03 0,17234 1,0049 1,0000 0,24403 1,0075 1,0000 0,29910 1,0090 1,0000 0,04 0,19868 1,0066 1,0000 0,28143 1,0099 1,0000 0,34503 1,0120 1,0000 0,05 0,22176 1,0082 0,9999 0,31426 1,0124 0,9999 0,38537 1,0150 1,0000 0,06 0,24253 1,0098 0,9999 0,34383 1,0148 0,9999 0,42173 1,0179 0,9999 0,07 0,26153 1,0114 0,9999 0,37092 1,0173 0,9999 0,45506 1,0209 0,9999 0,08 0,27913 1,0130 0,9999 0,39603 1,0197 0,9999 0,48600 1,0239 0,9999 0,09 0,29557 1,0145 0,9998 0,41954 1,0222 0,9998 0,51497 1,0268 0,9999 0,10 0,31105 1,0161 0,9998 0,44168 1,0246 0,9998 0,54228 1,0298 0,9998 0,15 0,37788 1,0237 0,9995 0,53761 1,0365 0,9995 0,66086 1,0445 0,9996 0,20 0,43284 1,0311 0,9992 0,61697 1,0483 0,9992 0,75931 1,0592 0,9993 0,25 0,48009 1,0382 0,9988 0,68559 1,0598 0,9988 0,84473 1,0737 0,9990 0,30 0,52179 1,0450 0,9983 0,74646 1,0712 0,9983 0,92079 1,0880 0,9985 0,40 0,59324 1,0580 0,9971 0,85158 1,0931 0,9970 1,05279 1,1164 0,9974 0,50 0,65327 1,0701 0,9956 0,94077 1,1143 0,9954 1,16556 1,1441 0,9960 0,60 0,70507 1,0814 0,9940 1,01844 1,1345 0,9936 1,26440 1,1713 0,9944 0,70 0,75056 1,0918 0,9922 1,08725 1,1539 0,9916 1,35252 1,1978 0,9925 0,80 0,79103 1,1016 0,9903 1,14897 1,1724 0,9893 1,43203 1,2236 0,9904 0,90 0,82740 1,1107 0,9882 1,20484 1,1902 0,9869 1,50442 1,2488 0,9880 1,00 0,86033 1,1191 0,9861 1,25578 1,2071 0,9843 1,57080 1,2732 0,9855 1,10 0,89035 1,1270 0,9839 1,30251 1,2232 0,9815 1,63199 1,2970 0,9828 1,20 0,91785 1,1344 0,9817 1,34558 1,2387 0,9787 1,68868 1,3201 0,9800 1,30 0,94316 1,1412 0,9794 1,38543 1,2533 0,9757 1,74140 1,3424 0,9770 1,40 0,96655 1,1477 0,9771 1,42246 1,2673 0,9727 1,79058 1,3640 0,9739 Baehr, H. D.; Stephan, K.: Wärme- und Stoffübertragung, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2013 SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019) Seite 16 von 22 EIS I Formelsammlung Platte Zylinder Kugel Bi 𝜇 𝐶 𝐷 𝜇 𝐶 𝐷 𝜇 𝐶 𝐷 1,50 0,98824 1,1537 0,9748 1,45695 1,2807 0,9696 1,83660 1,3850 0,9707 1,60 1,00842 1,1593 0,9726 1,48917 1,2934 0,9665 1,87976 1,4052 0,9674 1,70 1,02725 1,1645 0,9703 1,51936 1,3055 0,9633 1,92035 1,4247 0,9640 1,80 1,04486 1,1695 0,9680 1,54769 1,3170 0,9601 1,95857 1,4436 0,9605 1,90 1,06136 1,1741 0,9658 1,57434 1,3279 0,9569 1,99465 1,4618 0,9570 2,00 1,07687 1,1785 0,9635 1,59945 1,3384 0,9537 2,02876 1,4793 0,9534 2,20 1,10524 1,1864 0,9592 1,64557 1,3578 0,9472 2,09166 1,5125 0,9462 2,40 1,13056 1,1934 0,9549 1,68691 1,3754 0,9408 2,14834 1,5433 0,9389 2,60 1,15330 1,1997 0,9509 1,72418 1,3914 0,9345 2,19967 1,5718 0,9316 2,80 1,17383 1,2052 0,9469 1,75794 1,4059 0,9284 2,24633 1,5982 0,9243 3,00 1,19246 1,2102 0,9431 1,78866 1,4191 0,9224 2,28893 1,6227 0,9171 3,50 1,23227 1,2206 0,9343 1,85449 1,4473 0,9081 2,38064 1,6761 0,8995 4,00 1,26459 1,2287 0,9264 1,90808 1,4698 0,8950 2,45564 1,7202 0,8830 4,50 1,29134 1,2351 0,9193 1,95248 1,4880 0,8830 2,51795 1,7567 0,8675 5,00 1,31384 1,2402 0,9130 1,98981 1,5029 0,8721 2,57043 1,7870 0,8533 6,00 1,34955 1,2479 0,9021 2,04901 1,5253 0,8532 2,65366 1,8338 0,8281 7,00 1,37662 1,2532 0,8932 2,09373 1,5411 0,8375 2,71646 1,8673 0,8069 8,00 1,39782 1,2570 0,8858 2,12864 1,5526 0,8244 2,76536 1,8920 0,7889 9,00 1,41487 1,2598 0,8796 2,15661 1,5611 0,8133 2,80443 1,9106 0,7737 10,00 1,42887 1,2620 0,8743 2,17950 1,5677 0,8039 2,83630 1,9249 0,7607 12,00 1,45050 1,2650 0,8658 2,21468 1,5769 0,7887 2,88509 1,9450 0,7397 14,00 1,46643 1,2669 0,8592 2,24044 1,5828 0,7770 2,92060 1,9581 0,7236 16,00 1,47864 1,2683 0,8541 2,26008 1,5869 0,7678 2,94756 1,9670 0,7109 18,00 1,48830 1,2692 0,8499 2,27555 1,5898 0,7603 2,96871 1,9734 0,7007 20,00 1,49613 1,2699 0,8464 2,28805 1,5919 0,7542 2,98572 1,9781 0,6922 25,00 1,51045 1,2710 0,8400 2,31080 1,5954 0,7427 3,01656 1,9856 0,6766 30,00 1,52017 1,2717 0,8355 2,32614 1,5973 0,7348 3,03724 1,9898 0,6658 35,00 1,52719 1,2721 0,8322 2,33719 1,5985 0,7290 3,05207 1,9924 0,6579 40,00 1,53250 1,2723 0,8296 2,34552 1,5993 0,7246 3,06321 1,9942 0,6519 50,00 1,54001 1,2727 0,8260 2,35724 1,6002 0,7183 3,07884 1,9962 0,6434 60,00 1,54505 1,2728 0,8235 2,36510 1,6007 0,7140 3,08928 1,9974 0,6376 80,00 1,55141 1,2730 0,8204 2,37496 1,6013 0,7085 3,10234 1,9985 0,6303 100,00 1,55525 1,2731 0,8185 2,38090 1,6015 0,7052 3,11019 1,9990 0,6259 200,00 1,56298 1,2732 0,8146 2,39283 1,6019 0,6985 3,12589 1,9998 0,6170 ∞ 1,57080 1,2732 0,8106 2,40483 1,6020 0,6917 3,14159 2,0000 0,6079 Tabelle 6: Besselfunktion 1. Art, 0. Ordnung 2 𝑧 𝐽 𝑧 𝑧 𝐽 𝑧 𝑧 𝐽 𝑧 𝑧 𝐽 𝑧 𝑧 𝐽 𝑧 0,0 1,00000 0,5 0,93847 1,0 0,76520 1,5 0,51183 2,0 0,22389 0,1 0,99750 0,6 0,91200 1,1 0,71962 1,6 0,45540 2,1 0,16661 0,2 0,99002 0,7 0,88120 1,2 0,67113 1,7 0,39798 2,2 0,11036 0,3 0,97762 0,8 0,84629 1,3 0,62009 1,8 0,33999 2,3 0,05554 0,4 0,96040 0,9 0,80752 1,4 0,56686 1,9 0,28182 2,4 0,00251 2 Olver, F. W. J: Bessel Functions of Integer Order, in Abramowitz, M. and Stegun, I. (Eds.): Handbook of Mathematical Functions, National Bureau of Standards, Washington D.C., 1972 SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019) Seite 17 von 22 EIS I Formelsammlung 11 chemische Reaktion Die Reaktionsgeschwindigkeit ist definiert als 𝑘 𝑑𝑐 /𝑑𝑡. Wenn keine Stofftransporthemmung zwischen den chemischen Reaktanden besteht, gelten folgende Beziehungen für den chemischen Wandlungstherm in Abhängigkeit von der Reaktionsordnung: Reaktionsordnung Wandlungstherm mit Reaktionsgleichung 2A+B C 0. Ordnung A und B im Über- 𝛾 schuss 1. Ordnung 𝛾 B im Überschuss 2. Ordnung 𝛾 𝑘 (106) 𝑘 ⋅ 2𝑐 (107) 𝑘 ⋅ 2𝑐 ⋅ 𝑐 SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019) 𝑘 ⋅ 2𝑐 ⋅ 𝑐 𝑐 2𝑘 𝑐 𝑐 𝑐 (108) Seite 18 von 22 EIS I Formelsammlung 12 Differentialgleichungen Neben den folgend aufgestellten Lösungsverfahren, müssen immer Sonderlösungen von Differentialgleichungen berücksichtigt werden. Zumeist werden diese allerdings durch die physikalischen Rand- und Anfangsbedingungen ausgeschlossen. 12.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung 12.1.1 Separierbare Differentialgleichung Lösung durch Trennung der Variablen: 𝑢 𝑥 ⋅𝑣 𝑦 0 ∫ 𝑢 𝑥 d𝑥 ∫ (109) Nullstellen von 𝑣 𝑦 sind Sonderlösung der DGL, da die Ableitung auch 0 sein muss. 12.1.2 Homogene Differentialgleichung / hnlichkei -DGL Lösbar mit Substitution (teilweise auch direkt durch Trennung der Variablen, s.o.) 𝑢 0 Substitution mit 𝑦 𝑧⋅𝑥 𝑧 𝑢 𝑧 𝑓 𝑥 ⋅𝑔 𝑧 0 (110) Nullstellen von g(z) sind Sonderlösungen. 12.1.3 Lineare Differentialgleichung / inhomogene DGL Partikulärer Lösungsansatz / Variation der Konstanten d𝑦 d𝑥 𝑦′ 𝑓 𝑥 ⋅𝑦 𝑔 𝑥 (111) Finden der homogenen Lösung (ohne Integrationskonstante!): 𝑦 𝑓 𝑥 ⋅𝑦 (112) Finden einer speziellen (partikulären) Lösung der inhomogenen DGL durch Variation der Konstanten ergibt sich: 𝑦 𝑦 𝑔 𝑥 d𝑥 𝑦 (113) Die Lösung ergibt sich zu: 𝑦 𝑦 𝐶 𝑔 𝑥 d𝑥 𝑦 12.1.4 Bernoulli Differentialgleichung d𝑦 𝑦 𝑓 𝑥 ⋅𝑦 d𝑥 Substitution mit 𝑢 𝑥 𝑦 𝑥 d𝑢 d𝑥 𝑢 (114) 𝑔 𝑥 ⋅𝑦 (115) 1 (116) : 1 𝛼 ⋅𝑓 𝑥 ⋅𝑢 Lineare inhomogene DGL 1. Ordnung von u SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019) 𝛼 ⋅𝑔 𝑥 s.o. Seite 19 von 22 EIS I Formelsammlung 12.1.5 Ricatti Differentialgleichung d𝑦 𝑦 𝑓 𝑥 ⋅𝑦 d𝑥 𝑔 𝑥 ⋅𝑦 ℎ 𝑥 (117) 1. Rate eine partikuläre Lösung 𝑦 2. Die allgemeine Lösung folgt durch Substitution mit 𝑢 d𝑢 d𝑥 𝑢 𝑓 𝑥 2𝑔 𝑥 ⋅ 𝑦 ⋅ 𝑢 Lineare inhomogene DGL 1. Ordnung von u 𝑔 𝑥 (118) s.o. 12.2 Exakte Differentialgleichungen / DGL für Kurvenscharen 𝐹 𝑥, 𝑦 d𝑥 𝑥 𝐹 𝑥, 𝑦 d𝑦 𝑦 , 0 (119) , Demnach gilt: d𝑦 d𝑥 𝑦 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑄 𝑥, 𝑦 (120) Für P und Q muss eine Stammfunktion 𝐹 𝑥, 𝑦 𝐶 gesucht werden, auflösen nach y ergibt die Lösung der DGL. (Einde ige S ammf nk ion n r, enn Sa on Sch ar erf ll 12.3 Gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung 12.3.1 Homogene Differentialgleichung (linear) d 𝑦 𝑦 oder 𝑦 … d𝑥 In Normalform bringen: 𝑦 𝑎 𝑥 ⋅𝑦 ⋯ 𝑎 𝑥 ⋅𝑦 𝑎 𝑥 ⋅𝑦 (121) 𝑎 𝑥 ⋅𝑦 0 (122) 1. Rate eine spezielle Lösung 𝑦 𝑥 2. Substitution 𝑢 , dadurch 𝑦, 𝑦 , 𝑦 usw. durch 𝑢, 𝑢 , 𝑢 , usw. ersetzen, dabei fällt 𝑢 weg und es bleibt eine DGL von 𝑢 , … , 𝑢′. 3. Substitution 𝑣 𝑢′, 𝑣′ 𝑢′′ usw. es bleibt eine DGL der Ordnung (n-1) der Ordnung 4. Rate eine spezielle Lösung 𝑣 usw. Reduktion 12.3.2 Homogene gewöhnliche lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten 𝑦 𝑎 ⋅𝑦 ⋯ 𝑎 ⋅𝑦 𝑎 ⋅𝑦 𝑎 ⋅𝑦 0 (123) E ler che Me hode Bildung des charakteristischen Polynoms 𝑃 𝜆 𝜆 𝑎 ⋅𝜆 ⋯ 𝑎 ⋅𝜆 𝑎 ⋅𝜆 𝑎 0 (124) Nullstellen von 𝑃 𝜆 sind Eigenwerte der DGL 𝜆 und jeder Eigenwert 𝜆 bestimmt eine Eigenfunktion 𝑦 . Die Lösung der DGL ist: 𝑦 SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019) 𝐶 ⋅𝑦 (125) Seite 20 von 22 EIS I Formelsammlung Abbildung 12: Strukturen des Fundamentalsystems in Abhängigkeit von Eigenwerten SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019) Seite 21 von 22 EIS I Formelsammlung Platz für eigene Anmerkungen und Notizen: SoSe 2019 (Stand: 29.03.2019) Seite 22 von 22 A.8 Übersicht zur Aufstellung von Bilanzgleichungen Die allgemeine Bilanzgleichung der Austauschgrößen hat die folgende Form (s. Abschn. 1.4.2 Gl. (1.24)): S Z (A.60) A W Diese Gleichung besagt, dass die Änderung der im System gespeicherten Mengen gleich der Summe der in das System ein- bzw. aus dem System austretenden und der im System gewandelten Mengen ist. Austauschgrößen sind dabei Energie, Impuls oder die Stoffmenge. Bei der Aufstellung von Bilanzgleichungen ist folgendermaßen vorzugehen: 1. Skizzieren des Systems 2. Wahl der Bilanzgröße Energie Impuls/Kraft Stoffmenge/Masse (Komponenten- oder Gesamtmengen/massenbilanz) 3. Wahl der Bilanzart integral: Ein- und Ausgangsgrößen; Mittelwerte; zeitliche Verläufe differentiell: ortsaufgelöst; örtliche Verläufe 4. Wahl des Bilanzraumes und Einzeichnen aller ein- und austretenden Ströme 5. Aufstellen der Bilanz nach Gl. (A.60) Eine Übersicht der einzelnen Terme Speicher, Ströme und Wandlung für die Bilanzgrößen Energie, Impuls und Masse bzw. Stoffmenge ist in Tabelle A.2 zusammengefasst. Tabelle A.2. Bilanzgleichungen Bilanzgr öße Speicherterm Ströme (Zu- und Abfuhrterm) Wandlungsterm Enthalpiestrom: dEges dt d McvT dt dU dt H1 konvektiver Wärmeübergang: mit U u M und Energie u u ref cv ( sowie E ges ref U M1c p T1 Tref ) Ekin Q E pot A T Wärmeleitung: unter Vernachlässigung der äußeren Energien gilt E ges U Reaktionsenthalpie: HR Verdampfungsenthalpie: HV Qi A r h RV R hV M V dT dx i Impulsstrom: I1 w12 A1 M 1 w1 Druckkraft: FP Impuls dI dt d Mw dt pA Volumenkräfte: FV Reibungskraft: Ff A FW 2 z.B. Gewichtskraft: FG Widerstandskraft: w2 A mit: A Schattenfläche für durchströmte Rohre: aM gM FW Gesamtmasse dM dt 2 dV dt L A d w2 M V MA V Die Gesamtmasse ist eine Erhaltungsgröße. konvektiv: Masse A konvektiver Stoffübergang: Komponentenbilanz dM A dt dV A dt MA A chemische Reaktion 1. Ordnung: ~ M A,R A rVR M A A diffusiv: MA Stoffmenge Gesamtstoffmenge dN dt d Vc dt D AB A N Vc NA Vc A d A dx i Die Gesamtstoffmenge ist auf atomarer Ebene eine Erhaltungsgröße. Molenbilanz für Gesamtstoffmenge ist unüblich. konvektiv: konvektiver Stoffübergang: Komponentenbilanz dN A dt d Vc A dt NA A cA diffusiv: NA D AB A dcA dxi chemische Reaktion 1. Ordnung: N A,R A rVR Das Griechische Alphabet und wie es in Eis II verwendet wird. Alpha Wärmeübergangskoeffizient, Steigungswinkel Beta Stoffübergangskoeffizient, thermischer Ausdehnungskoeffizient Chi Delta Differenz, Grenzschichtdicke, Differenzial, Filmdicke Epsilon Phi , Dissipationsleistung, Volumenanteil Gamma 𝛾 Scherrate, Schergeschwindigkeit Eta dynamische Viskosität Iota Kappa Konstante Lambda Wärmeleitfähigkeit My Ny kinematische Viskosität, stöchiometrischer Koeffizient Omikron Pi Theta Produkt, Kreiskonstante , Temperatur, Steigungswinkel Rho Sigma Dichte, Partialdichte/Massenkonzentration , Tau Grenzflächenspannung Schubspannung Ypsilon Omega , Winkelgeschwindigkeit, 𝜔 Leistungsdichte Xi dimensionslose Konzentration, Massenanteil Psi Hohlraumanteil Zeta Widerstandsbeiwert, f Reibungsbeiwert A-13 A.8 Übersicht zur Aufstellung von Bilanzgleichungen i Pdiss xi V t dV umformen kann, ist also: i xi A.8 ji wi . xj (A.20) Übersicht zur Aufstellung von Bilanzgleichungen Die allgemeine Bilanzgleichung der Austauschgrößen hat die folgende Form: S Z (1.8) A W Diese Gleichung besagt, dass die Änderung der im System gespeicherten Mengen gleich der Summe der in das System ein- bzw. aus dem System austretenden und der im System gewandelten Mengen ist. Austauschgrößen sind dabei Energie, Impuls oder die Stoffmenge. Bei der Aufstellung von Bilanzgleichungen ist folgendermaßen vorzugehen: 1. Skizzieren des Systems 2. Wahl der Bilanzgröße Energie Impuls/Kraft Stoffmenge/Masse 3. Wahl der Bilanzart integral: Ein- und Ausgangsgrößen; Mittelwerte differentiell: ortsaufgelöst; Verläufe 4. Wahl des Bilanzraumes und Einzeichnen aller ein- und austretenden Ströme 5. Aufstellen der Bilanz nach Gl. (1.8) Eine Übersicht der einzelnen Terme Speicher, Ströme und Wandlung für die Bilanzgrößen Energie, Impuls und Masse bzw. Stoffmenge ist in Tabelle A.2 zusammengefasst. Tabelle A.2. Bilanzgleichungen Bilanzgröße Speicherterm Ströme (Zu- und Abfuhrterm) Wandlungsterm Enthalpiestrom: dE ges dU dt dt Energie mit E ges U d M 1cv dt Ekin 0 E pot unter Vernachlässigung der äußeren Energien gilt E ges H1 M 1c p 0 konvektiver Wärmeübergang: Q A Wärmeleitung: U Q Reaktionsenthalpie: HR Verdampfungsenthalpie: HV d A dy r h RV R hV M V A-14 A Anhang Impulsstrom: I w12 A M1w1 Druckkraft: FP pA Volumenkräfte: Scherspannung: dI dt Impuls d M 1w1 dt FS FV A z.B. Gewichtskraft: Widerstandskraft: FW aM 2 w2 A FG gM mit: A Schattenfläche für durchströmte Rohre: FW Gesamtmasse dM dt 2 dV dt w2 M V Mi V L A d Die Gesamtmasse ist eine Erhaltungsgröße. konvektiv: Masse Komponentenbilanz chemische Reaktion 1. Ordnung: i konvektiver Stoffübergang: dM i dt dV dt i Mi A M i ,R ~ i rVR M i i diffusiv: Mi Gesamtstoffmenge dN dt D AB A d Vc dt N Vc Ni Vc i d i dy Die Gesamtstoffmenge ist auf atomarer Ebene eine Erhaltungsgröße. Molenbilanz für Gesamtstoffmenge ist unüblich. konvektiv: Stoffmenge Komponentenbilanz konvektiver Stoffübergang: dN i dt d Vci dt Ni A ci diffusiv: Ni D AB A dc i dy chemische Reaktion 1. Ordnung: N i ,R i rVR A-15 A.10 Übersicht der vorgestellten dimensionslosen Kennzahlen im Skript A.9 Übersicht zur Analogie von Energie-, Impuls- und Stofftransport Tabelle A.3. Analogie Energie-, Impuls- und Stofftransport abhängige Variable Übergangskoeffizient Übergangsgesetze molekularer Transport d dy q Energie C T K W 2 m K Q mit A dimensionslose Kennzahl a W mK cp m2 s a dw dy Impuls w m s f f 2 nA moli m3 Stoff i kg i m s Ni Mi A A m3 m2 s ci mA DAB D AB i D AB g Lchar 0 Gr 2 dc A dy d A dy m2 s Die dimensionslosen Kennzahlen sind folgendermaßen miteinander verknüpft: Abb. A.5. Verknüpfung der dimensionslosen Kennzahlen w Lchar Re mit w2 Pa s ci Lchar Nu Sh Lchar D AB 3 A-16 A Anhang A.10 Übersicht der vorgestellten dimensionslosen Kennzahlen im Skript3 Eckertzahl w2 Ec (7.107) cp Die Eckertzahl stellt das Verhältnis von der (doppelten) mittleren kinetischen Energie zur mittleren inneren Energie der Grenzschicht dar. Sie beeinflusst alleine das Temperaturfeld und muss nur beachtet werden, wenn durch die Reibung im Fluid eine nennenswerte Erwärmung hervorgerufen wird. Dies ist nur bei großen Geschwindigkeiten (Größenordnung Schallgeschwindigkeit) und bei hohen Geschwindigkeitsgradienten der Fall. Einlaufkennzahl z* L/ d Re Pr aL wd 2 (6.43) Die Einlaufkennzahl wird für durchströmte Rohre angewendet und kann (bei konstanten Geometrie-, Systemund Stoffwerten) als dimensionslose Lauflänge gedeutet werden. Sie findet Anwendung zur Beschreibung des fluiddynamischen und thermischen Einlaufbereiches durchströmter Rohre. Die Einlaufkennzahl entspricht dem reziproken Wert der Graetzzahl (z* = Gz-1). Grashofzahl Gr ( )gLchar 3 0 2 (9.15) Die Grashofzahl stellt das Verhältnis der Auftriebskraft zur Reibungskraft dar. Zusammen mit Pr beschreibt Sie die Strömung bei freier Konvektion und ähnelt somit der Reynoldszahl bei erzwungener Strömung. Die Dichte und Geschwindigkeitsgradienten bei freier Konvektion resultieren aus den Konzentrations- und Temperaturgradienten des betrachteten Systems. Bei der Überlagerung von freier und erzwungener Konvektion kann aus dem Verhältnis Gr/Re2 eine Aussage über die Größenordnung der wirkenden Mechanismen getätigt werden. Für Gr/Re2 << 1 überwiegt die erzwungene Strömung, die Auftriebskraft ist viel kleiner als die Trägheitskraft. Bei Gr/Re2 >> 1 ist die Auftriebskraft viel größer als die Trägheitskraft, freie Konvektion überwiegt. Bei Gr/Re2 1 sind Auftriebskräfte und Trägheitskräfte von gleicher Größenordnung. Lewiszahl Le a DAB (3.83) Die Lewiszahl beschreibt das Verhältnis der thermischen Grenzschichtdicke T zur Konzentrationsgrenzschichtdicke c. Sie verknüpft den molekularen Energietransport durch Wärmeleitung mit dem molekularen Stofftransport durch Diffusion. Diese dimensionslose Kennzahl enthält, wie die Prandtl- und Schmidtzahl, nur Stoffgrößen. Machzahl Ma w ws Die Machzahl stellt das Verhältnis zwischen der Strömungsgeschwindigkeit und der Schallgeschwindigkeit dar. 3 Angelehnt an [Martin 2013] A-17 A.10 Übersicht der vorgestellten dimensionslosen Kennzahlen im Skript Nußeltzahl Lch ar Nu (4.53) Die Nußeltzahl entspricht dem dimensionslosen Gradienten des Temperaturprofils an der Wand * y* . y* 0 , x* Sie stellt das Verhältnis des effektiv übergehenden Wärmestromes zum rein molekularen Wärmetransport in einem ruhenden Fluid durch Wärmeleitung dar. Aus ihr kann der Wärmeübergangskoeffizient berechnet werden. Pecletzahl Die Pecletzahl ist für den Stoffübergang definiert zu: Pe Re Sc wLch ar DAB . (5.37) Sie gibt das Verhältnis der konvektiv transportierten Stoffmenge zu der molekular transportierten durch Diffusion wieder. Für den Wärmeübergang berechnet sie sich zu: Pe Re Pr wLch ar a (5.37) und beschreibt das Verhältnis des Wärmetransports durch Konvektion zur molekular transportierten Wärme durch Wärmeleitung. Prandtlzahl Die Stoffeigenschaften des (um)strömenden Fluides werden mit der Prandtlzahl: Pr a (4.50) betrachtet. Die kinematische Viskosität repräsentiert den Impulstransport infolge von Reibung. Über die Temperaturleitfähigkeit a wird der molekulare Wärmetransport durch Wärmeleitung beschrieben. Da der Impulstransport durch das Geschwindigkeitsfeld und der Wärmetransport durch das Temperaturfeld beschrieben werden, wird mit der Prandtlzahl das Geschwindigkeitsfeld mit dem Temperaturfeld verknüpft. Sie entspricht dem Verhältnis der Geschwindigkeitsgrenzschichtdicke w zur Temperaturgrenzschichtdicke T. Die Grenzschichtdicken sind gleich groß bei Pr = 1. Rayleighzahl Ra Gr Pr gL char 3 a (9.37) Die Rayleighzahl ergibt sich aus dem Produkt der Grashofzahl und der Prandtlzahl. Sie gibt Auskunft über das Strömungsregime bei freier Konvektion. Reynoldszahl Re wLchar (4.36) Die Reynoldszahl stellt das Verhältnis von Trägheitskräften zu Reibungskräften dar. Sie charakterisiert die vorliegende Strömungsform. Die kritische Reynoldszahl Rekrit, welche von der vorliegenden Geometrie abhängt, gibt den Umschlag von laminarer Strömung (Re < Rekrit) zur turbulenten Strömung (Re > Rekrit) an. A-18 A Anhang Schmidtzahl Sc (4.62) DAB Die Schmidtzahl gibt das Verhältnis vom viskosem Impulstransport zum diffusivem Stofftransport an. Sie beschreibt für den Stoffübergang das Verhältnis der Geschwindigkeitsgrenzschichtdicke w zur Konzentrationsgrenzschichtdicke c. Für Gase ist Sc < 1 und die Dicke der Geschwindigkeitsgrenzschicht kleiner als diejenige der Konzentration. Für Flüssigkeiten ist Sc > 1 und die Dicke der Konzentrationsgrenzschicht kleiner als diejenige der Geschwindigkeit. Sherwoodzahl Sh Lchar DAB (4.61) Die Sherwoodzahl entspricht dem dimensionslosen Konzentrationsgradient an der Wand c A* y* . y* 0 , x* Sie beschreibt das Verhältnis der effektiv übergehenden Stoffmenge zum rein molekularen diffusiven Stofftransport. Aus ihr kann der Stoffübergangskoeffizient ß ermittelt werden. A.11 Zusammenstellung kritischer Reynoldszahlen Tabelle A.4. Kritische Reynoldszahlen einiger Geometrien. Geometrie Kritische Reynoldszahl Rekrit = 105 bis 3·106 Parallel angeströmte Platte, Lchar = L L d Quer angeströmter Zylinder, Lchar = d Komplexe Strömungsform (s. Abb. 5.10). Überströmte Kugel, Lchar = d Rekrit = 3·105 d Durchströmtes Rohr, Lchar = d d Rekrit = 2300 A.12 Übersicht der vorgestellten Korrelationen im Skript A-19 A.12 Übersicht der vorgestellten Korrelationen im Skript Beziehungen für die mittleren Wärmeübergangskoeffizienten bei erzwungener Strömung für verschiedene Geometrien: Tabelle A.5. Parallel angeströmte Platte, Lchar = L Gültigkeitsbereich Korrelation Pr 0 0,005 < Pr < 0,05 0,06 < Pr <10 Pr 10 Re < 3 105 0,6 < Pr < 2000 5 105 < Re < 107 Nu Nu Konstanten C Re m Pr n C m n 1,128 1,0 0,664 0,678 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/3 1/3 (5.9) 0,037 Re0,8 Pr 1 2,44 Re 0,1 (Pr 2/3 1) (5.15) Tabelle A.6. Quer angeströmter Zylinder, Lchar = d Gültigkeitsbereich 0,7 < Pr < 320 Korrelation 1 < Re < 40 40 < Re < 103 3 Nu C Re 5 10 < Re < 2 10 m Pr 2 105 < Re < 107 n Konstanten Pr Pr0 p C m n 0,76 0,52 0,26 0,4 0,5 0,6 0,37 0,37 0,023 0,8 0,4 0,37 (5.19) Heizung des Fluids: p = 0,25, Kühlung des Fluids: p = 0,20. Tabelle A.7. Quer angeströmte Rohrbündel, Lchar = d Gültigkeitsbereich 0,71 Pr 500 Korrelation 200 Re 103 103 Re 2 105 Re > 2 105 Nu C Re m Pr 0,3 Konstanten* Pr Pr0 p F Heizung des Fluids: p = 0,25, Kühlung des Fluids: p = 0,20. F = (zR)/ (siehe Abb. 5.14) * C, m für Flüssigkeiten entsprechend der Tabelle, für Gase Cg/C = mg/m = 0,88 fluchtend versetzt C 0,52 C 0,5 m 0,5 m 0,5 0,27 0,63 0,4 0,6 0,02 0,84 0,021 0,84 (5.21) A-20 A Anhang Tabelle A.8. Überströmte Kugel, Lchar = d Gültigkeitsbereich Korrelation 0 < Pr < Re = 0 100 < Pr Re < 1 0 < Pr < 1 0,7 < Pr < 600 Re > 3 105 Re 2 (5.38) 0,991 (Re Pr)1/3 (5.39) Nu Nu 3 105 Korrekturfaktor Re Pr 1,7 1 Re Pr 1, 2 Nu 2 fk Nu 0,037 Re 0,8 Pr 1 2,44 Re 0,1 (Pr 2/3 1) fk 0,66 1 0,84 Pr1 / 6 3 1/ 3 (5.40) (5.15) Tabelle A.9. Durchströmtes Rohr, Lchar = d Gültigkeitsbereich Korrelation Funktion thermisch ausgebildete Laminarströmung q0 konst. 0 konst. 48 11 (6.37) 3 , 6568 (6.41) Nu Nu laminar thermische Einlaufströmung mit ausgebildetem Geschwindigkeitsprofil q 0 konst. Pr > 0 0 z* < Nu konst. Pr > 0 0 z* < 0 4,364 3 0,6 3 1,935 3 z* 3,657 tanh(2,264 z *1 3 1,7 z *2 3 ) Nu 3 1/ 3 (6.47) 0,6 0,0499 tanh z * z* (6.44) fluiddynamisch und thermisch nicht ausgebildete Strömung Nu e Nu Übergangsbereich 2300 < Re < 10 turbulent konst. 0 0,1 Pr < 0 z* < 0,1 Pr 1000 104 Re 106 0 < d/L 1 1 tanh(2,432 Pr1 6 z *1 6 ) (6.49) mit Nu nach Gl. (6.44) Nu (1 ) Nu lam,2300 Nu 4 turb,104 mit Nulam,2300 bei laminarer Strömung mit Re=2300 und Nuturb,104 bei vollturbulenter Strömung mit Re=104 Nu Re Pr 8 1 12,7 8 Pr 1 2 3 1 d L 2 3 Pr Pr 0 Re 2300 104 2300 mit 0 (6.53) 1 0,11 1,8 lg Re 1,5 2 (6.51) A.12 Übersicht der vorgestellten Korrelationen im Skript A-21 Beziehungen für die mittleren Wärmeübergangskoeffizienten bei freier Konvektion für verschiedene Geometrien: Tabelle A.10. Senkrechte Wand, Lchar = L bzw. H Gültigkeitsbereich Gr Pr Korrelation 109 4 Gr 3 4 Nu Gr Pr > 109 Nu Funktion 1/4 (Pr) (Pr) 1 0,492/Pr 1 2,006 Pr1 2 2,034 Pr 14 (9.38) 2 0,387 Ra1 6 0,825 0,849 Pr1 2 (9.39) 9 16 8 27 Tabelle A.11. Horizontale Wand, Lchar = A/U Gültigkeitsbereich Korrelation Funktion Wärmeabgabe auf der Oberseite/ Kühlung auf der Unterseite Ra f2(Pr) < 7 104 Nu 0,766 Ra f 2 (Pr) 15 f 2 (Pr) 4 Ra f2(Pr) > 7 10 Nu 0,15 Ra f 2 (Pr) 0,322 Pr 1 13 11/20 20/11 (9.44) (9.45) Wärmeabgabe auf der Unterseite/ Kühlung auf der Oberseite 103 < Ra f1(Pr) <1010 Nu 0,6 Ra f1 (Pr) 15 f1 (Pr) 0,492 Pr 1 9/16 16 / 9 (9.47) Tabelle A.12. Horizontale gekrümmte Flächen Geometrie Gültigkeitsbereich Zylinder, Lchar = d 10-6 Ra < 1012 Korrelation Nu 0,6 1 Kugel, Lchar = d Nu 0,56 2 0,387 Ra 1 6 0,559/Pr (9.49) 9 16 8 27 Pr Ra 0,846 Pr 14 (9.50) 2 0,252 Würfel, Lchar = A2/4V Ra Nu 5,748 0,752 1 0,492/Pr 9 16 16 9 (9.51) A-22 A Anhang Beziehungen für die mittleren Wärmeübergangskoeffizienten bei Kondensation für verschiedene Geometrien: Tabelle A.13. Kondensation an waagerechten Rohrbündeln Geometrie Gültigkeitsbereich c pf n waagerecht übereinander liegende Rohre 1 s 0 hv n 1 Korrelation 2 1 0,2 n c pf s 0 hv n 1 n 14 (10.25) 1 ist der mittlere Wärmeübergangskoeffizient für das oberste Rohr und wird mit Gl. (10.22) berechnet. Tabelle A.14. Abweichungen von der Nußeltschen Wasserhauttheorie Korrektur Gültigkeitsbereich Korrelation Funktion Wellenbildung ab einer kritischen Reynoldszahl: Wellenbildung auf der Filmoberfläche w Re 0,472K f 1 10 Wellen f 3 mit K f g f Wellen Re 1 Re 1 f Wellen (10.28) Re0,04 f 4 f Beziehung für den Wärmeübergangskoeffizienten mit f multiplizieren temperaturabhängige Stoffwerte f Wellen 1 f f s f 0 (10.29) Tabelle A.15. Filmkondensation mit turbulenter Wasserhaut Strömungsform Gültigkeitsbereich Korrelation laminare Filmströmung Übergangsbereich turbulente Filmströmung 4 3 Re 3 Nu lam f Wellen Re 400 Definition der Nußelt- und Reynoldszahl: Nu turb 13 1n n f turb n lam (10.41) (10.43) mit n 1,67 (10.42) 5,4 10 3 Re0,382 Pr 0,569 Re w f M d Nu f 2 f /g 13 f Mit fWellen gemäß Tabelle A.14. Liegt laminare Filmkondensation an einer um den Winkel gegen die Senkrechte geneigten Wand vor, so berechnet sich der mittlere Wärmeübergangskoeffizient über Gl. (10.21). Für ein waagerechtes Einzelrohr bei laminarer Filmkondensation wird zur Berechnung des mittleren Wärmeübergangskoeffizienten Gl. (10.22) verwendet. A.12 Übersicht der vorgestellten Korrelationen im Skript A-23 Tabelle A.16. Kondensation strömender Dämpfe Gültigkeitsbereich Korrelation Funktion hohe Schubspannungen: Nu lam, charakteristische Länge L: f 1,06 0 1/ 2 * g Re g f L f 13 2 f g g (10.52) dimensionslose Schubspannung: Laminare Filmkondensation L f g g mittlere Nußeltzahl: 2 ,5 Nu lam , Nu lam turbulente Filmkondensation mittlere Nußeltzahl Nulam, =0 0 Koeffizienten a bis g g a Re b Pr c 1 e Nu turb (10.53) 1 2 ,5 2 ,5 Nu lam , 0 (10.54) (s. Tabelle 10.1) Nu f Wellen Nu lam n Nu nturb 1n (s. Tabelle 10.1) (10.55) f fWellen und f gemäß Tabelle A.14 ist die Nußeltzahl der laminaren Filmströmung nach Gl. (10.41). Beziehungen für die mittleren Wärmeübergangskoeffizienten bei Verdampfung für verschiedene Geometrien: Tabelle A.17. Konvektionssieden, Lchar = A/U Gültigkeitsbereich Ra f2(Pr) < 7 104 Korrelation Nu Funktion 15 0,766 Ra f 2 (Pr) f 2 (Pr) 4 Ra f2(Pr) > 7 10 Nu 0,15 Ra f 2 (Pr) 1 13 0,322 Pr 11/20 20/11 (9.44) (9.45) Tabelle A.18. Blasensieden Gültigkeitsbereich Korrelation Nu Durchmesser abreißender Dampfblasen: Wasser: 104 W/m2 < q < 106 W/m2 0,5 bar < p < 20 bar dA 0,0871 0,851 qd A f Ts 0, 674 0,156 g f 2 0 g f g h v d 2A a f2 0,371 a f2 f dA 0,35 Prf 0,162 45° Wasser mit 0 = 1° tiefsiedende Flüssigkeiten 35° bei anderen Flüssigkeiten 1,95q 0,72 p0, 24 (10.69) (10.70) (10.71) A-24 A Anhang Tabelle A.19. Filmsieden, Lchar = d für horizontale Rohre und Kugeln Gültigkeitsbereich Korrelation waagerechte Flächen, c = 0,62 g c f g g senkrechte Wände, c = 0,8 g hv 0 3 g s 1 L 14 (10.72) A.13 Berechnung von Reibungsbeiwerten Tabelle A.20. Berechnung von Reibungsbeiwerten für unterschiedliche Geometrien Geometrie Gültigkeitsbereich 10-2 Re 5 105 Korrelation f ,lam 2,65 Re 7/8 1 0,008 4 Re Re parallel angeströmte, ebene Platte 1 9,9 10 3 Re 1 10 4 Tu 1,7 0,455 f , turb 5 9 log Re 1,328 Re1/2 2,58 (5.3) 2 w' / w Tu 2 (5.5) 5 10 Re 10 0 Tu 0,1 L bzw. 0,074 Re f , turb (5.4) 0, 2 64 Re Re < 2300 5000 < Re < 105 (6.8) 100 Re (6.9) 1/ 4 durchströmtes, glattes Rohr d 2 104 < Re < 2 106 Re > 106 0,0054 1 0,3964 (6.10) Re 0,3 0,8 2 log Re Zusammenhang zwischen dem Reibungsbeiwert standsbeiwert f und dem Wider- (6.11) f 4 (6.14) VL 4 2 Hydrostatik / 3 Transportvorgänge in reibungsfreien Fluiden Zusammenfassung VL 3 Eulersches Grundgesetz der Hydrostatik EIS II VL 4 Seite 1 28. April 20 Auftriebskraft Lernziele • Druckverteilung in rotierenden Flüssigkeiten • Kinematische Grundbegriffe: Bahnlinie, Stromlinie, Stromröhre EIS II VL 4 Seite 2 Verständnisfragen Kap. 2 7. Weshalb tritt bei rotierenden Flüssigkeiten eine Verformung der Flüssigkeitsoberfläche auf? Kap. 3 EIS II VL 4 Seite 3 Kap. 3 1. Womit befasst sich die Fluiddynamik und womit die Kinematik? 2. Was versteht man unter einer Bahnlinie und unter einer Stromlinie? 3. Welcher Zusdammenhang besteht zwischen Bahn- und Stromlinien, wenn die Strömung stationär ist? EIS II VL 4 Seite 4 EIS II VL 4 Seite 5
