Integralrechnung I. Integrieren Händisches Integrieren ist für Potenz

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Integralrechnung
I. Integrieren
Händisches Integrieren ist für Potenz- und Polynomfunktionen vorgesehen.
Finden Sie den Fehler und begründen Sie, warum die angegebene Lösung falsch ist.
Funktion
2x² +4
x -2
Integral der Funktion
Was ist falsch? Warum? Wie ist es richtig?
3
2x + 4x
x-1 + c
3
Lösung
Was ist falsch? Warum? Wie ist es richtig?
Es fehlt c, x² ist falsch integriert  x³/3
Es ist ein Vorzeichenfehler: Es muss x-1 durch (-1) dividiert
werden.
Richtig: - x-1 +c
Man kann in einem Bruch den Nenner nicht separat integrieren!
5/x = 5∙x-1 liefert: 5 ln x + c
Man kann innerhalb einer Wurzel die Funktion nicht separat
integrieren!
3 ∙ x ½ liefert 3 ∙ 2/3 ∙ x 3/2
4 A,B Grenzkostenfunktion
Eine Grenzkostenfunktion lautet
K‘(x) = 1,5 x² – 12x +35
a) Geben Sie mit Hilfe des Integrierens die Gesamtkostenfunktion bei
Fixkosten von 70 GE an.
b) Skizzieren Sie beide Funktionen in einem gemeinsamen
Koordinatensystem.
Lösung:
K(x) = 0,5 x3 -6x² +35 x + c c wird aus der Angabe bestimmt: K(0) = 70
 c = 70
K(x) = 0,5 x3 -6x² +35 x + 70
1
II. Flächenberechnung und prismenartiges Volumen
Die Abbildung zeigt eine Fläche, die von den Funktionsgraphen von f, g, h und der x-Achse begrenzt ist.
Aus einem dünnen Brett 2 dm x 5 dm muss die abgebildete Form geschnitten werden.
f(x) = 0,05(x - 5,6)² + 0,4
g(x) ist die Tangente an f(x) durch den Punkt
bei x = 0
h: x = 5
Die Maße sind in dm angegeben
a) Berechnen Sie die Gleichung der Tangente bei x = 0 an f(x).
b) Erklären Sie, wie man die Fläche unterteilen kann, damit sie gut berechnet werden kann.
Skizzieren Sie die Teilflächen und schreiben Sie die allgemeinen Berechnungsformeln an.
(Es gibt mehrere Möglichkeiten – finden Sie zumindest zwei davon.)
c) Berechnen Sie die Größe des Holzverschnitts (=Abfall) in Prozent.
Lösung:
a) Mit Technologie z.B. Geogebra
Befehl: Tangente [ x-Wert, Funktion] g(x) = -0,56x + 1,97
b)
A1 =
A2 =
A = A1 + A2
S ist die x-Koordinate des Schnittpunktes von g
und x-Achse.
A1 =
A2 = (5 - S) T/2
T ist die y-Koordinate des Schnittpunktes von g
mit h.
A = A1 – A2
c) Die Fläche wird nach einer der Teilungen von Aufgabe b) gerechnet. Für den Verschnitt zieht man diese
Fläche vom Rechteck ab. Geogebra Befehl: Integral [Funktion, Startw., Endw.] und
IntegralZwischen[funktion1, funktion 2, Startw. Endw.]
A1 =
A2 =
= 0,74
Verschnitt: 10 - 0,74 - 0,72 = 8,54
Das sind 85,4%.
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4 A,B,D Becken
Ein Becken hat den in der Abbildung dargestellten Grundriss und ist mit Wasser bis zum Rand gefüllt.
Der Bereich zwischen den Funktionen f und g hat eine Tiefe von 1,20 m. Die Abteilung zwischen g und h ist
2,50 m tief.
f(x)= - 0,04x² + 60
g(x) = 0,005x² + 30
h(x) = -20
x … wird in Metern (m) angegeben
a) Stellen Sie eine allgemeine Formel auf,
wie man die gesamte Wasseroberfläche
berechnen kann.
b) Berechnen Sie den Wasserbedarf in m³,
der zur Füllung des Beckens notwendig ist.
Erklären Sie Ihre Vorgangsweise.
Lösung:
a) A =
b) Mit Technologieeinsatz gerechnet
zB Geogebra: Zuerst werden die Schnittpunkte A und B berechnet. Befehl: Schneide [f,g]
Das Becken hat 3 Teile:
A1 … Fläche zwischen f und g mit der Tiefe 1,2 m
A2 … Fläche zwischen g und der x-Achse mit der Tiefe 2,5 m
A3 … Fläche zwischen x-Achse und h mit der Tiefe von 2,5 m
Berechnung der Flächen, Befehl: Integral ( Funktion, Startw, Endwert)
Volumen : 1032,8 ∙ 1,2 + (1606,58 + 1032,8) ∙2.5 = 7837,8 m³
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3,4 B,D Stahlträger
Ein Stahlträger mit dem in der Grafik dargestelltem Profil hat eine Länge von L = 3 m und eine Dichte von
ρ = 7,7 kg / dm³.
Die Profilberandung wird mit den folgenden Funktionen für den 1. und 2. Quadranten des
Koordinatensystems angeben. Die Profilfläche setzt sich im 3. und 4. Quadranten spiegelbildlich fort so dass
ein x-förmiger Querschnitt des Trägers entsteht.
Kurve oben: f(x) = 2,5 – 0,1x4 + x²
Kurve seitlich: g(x) =(x²-1)0,5 x … Länge in dm
a) Berechnen Sie mit TE die Schnittpunkte A und B der beiden
Kurven auf 2 Nachkommastellen.
b) Skizzieren Sie die Teilflächen, mit denen der Trägerquerschnitt
berechnet wird.
c) Geben Sie eine allgemeine Formel für die Berechnung der
Teilflächen und der gesamten Querschnittsfläche an.
d) Berechnen Sie das Volumen und die Masse des Trägers mit
Technologieeinsatz. Es gilt: Masse = Volumen mal Dichte.
Lösung:
a) Schnittpunkte: TE –Eingabe z.B. mit Geogebra: Schneide [f(x),g(x),-4,4]
A = (-3,09|2,92) B = (3,09|2,92)
b) Skizze der Teilflächen A1 und A2:
c) A1 =
A2 =
Die gesamte Fläche:
A = 4 ∙ (A1-A2)
d) L = 3 m = 30 dm, ρ =7,7 kg / dm³
mit TE  V = 996,64 dm³, m = 7674,14 kg
V = A ∙ L ∙ ρ = 4 . 30 ∙
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Hinweis zur vorherigen Aufgabe:
Wenn man die Wurzelfunktion nicht mag, kann man ganz ähnlich mit der Funktion:
g(x) = -0,39x² +3,11x -2,72 arbeiten.
Kurze Berechnungen in Geogebra:
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