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Michael Gaber
Diplom-Betriebswirt (BA)
Zinsmanagement
mit
OTCZinsderivaten
Welcher Laie wird wohl je verstehen,
daß der Verkäufer der Verkaufsoption
bei Ausübung der Verkaufsoption
durch den Käufer der Verkaufsoption,
der Käufer,
der von dem Käufer der Verkaufsoption
verkauften Wertpapiere ist?
Serge Demolière
Autor:
Michael Gaber
Dipl.-Betriebswirt (BA)
Seite 2
eMail:
[email protected]
Stand: 22. Februar 2008
Seite 3
Inhaltsverzeichnis
1.
1.1.
Einleitung
Der Markt der Zinsderivate ............................................... 5
2.
2.1.
2.2.
2.2.1.
2.2.2.
2.3.
2.4.
Zinsstrukturkurve und Forwardkurve
Betrachtung der Zinsstrukturkurve ....................................... 8
Aussage und Berechnung von Forwardkurven ....................... 9
Zerozinsen .................................................................... 9
Forwardzinsen .............................................................. 10
Zusammenfassung ......................................................... 12
Zinskonventionen am Geld- und Kapitalmarkt ..................... 12
3.
3.1.
3.2.
3.2.1.
3.2.2.
3.2.3.
3.2.4.
3.3.
3.3.1.
3.4.
3.4.1.
Kassa- und Termingeschäfte
FRA - Forward Rate Agreement .....................................
Zinsswaps ...................................................................
„Plain-Vanilla“-Zinsswap ................................................
Anwendungsbeispiel eines „Plain-Vanilla“-Zinsswaps ............
Anwendungsbeispiel eines Forward-Zinsswaps .....................
Einfluß einer Tilgung auf den Swappreis ...........................
„In-Arrears“-Swap .........................................................
Anwendungsbeispiel eines „In-Arrears“-Swaps ....................
EONIA-Swap ................................................................
Anwendungsbeispiele des EONIA-Swaps ............................
14
16
16
18
18
19
20
21
21
22
4.
4.1.
4.1.1.
4.1.2.
4.1.3.
4.2.
4.3.
4.3.1.
4.3.1.1.
4.3.1.2.
4.3.1.3.
4.3.1.4.
4.3.1.5.
4.3.2.
4.3.2.1.
4.3.2.2.
4.4.
Optionsgeschäfte
Caps und Floors ...........................................................
Caps .........................................................................
Floors ........................................................................
Collars .......................................................................
Swaptions ...................................................................
Einflußfaktoren auf Optionspreise........................................
Feststellung eines Optionspreises nach „Black-Scholes“ ........
Delta .........................................................................
Gamma ......................................................................
Theta ........................................................................
Vega .........................................................................
Rho ..........................................................................
Volatilität ....................................................................
Historische Volatilität .....................................................
Implizite Volatilität .........................................................
Optionsarten ................................................................
23
23
25
26
26
28
29
29
30
31
31
31
31
32
32
32
Seite 4
4.5.
Mit Hilfe der digitalen Option zu Optionen der 2. Generation
33
Seite 5
Abbildungsverzeichnis
Abb.
Abb.
Abb.
Abb.
Abb.
Abb.
Abb.
Abb.
Abb.
Abb.
Abb.
Abb.
1
2
3
4
5
6
7
8
9:
10:
11:
12:
Summary of OTC Derivative Market Data ............................ 6
Übersicht über Zinsderivate ............................................... 7
Zinsstrukturkurve Deutschland ............................................ 8
Zinsstrukturen in Deutschland seit Anfang der siebziger Jahre .. 8
Forwardsatz ................................................................... 9
Zinsstrukturkurve, Zero- und Forwardkurve .......................... 11
Die variable Seite eines „Plain-Vanilla“-Swaps .................. 17
Zeitwert einer Option mit abnehmender Restlaufzeit .............. 28
Delta einer Option ........................................................ 30
Gamma einer Option .................................................... 30
P&L Profil einer Standart-Call Option ............................... 33
P&L Profil einer digitalen Call Option ............................... 33
Tabellenverzeichnis
Tab. 1
Tab. 2
Tab. 3
Zerozinsen .................................................................. 10
Zinsusancen am Geld- und Kapitalmarkt ........................... 13
Einflussfaktoren auf Optionspreise ..................................... 29
Seite 6
1. Einleitung
Derivat (lat. derivare = ableiten)
Chemie: chem. Verbindung, die sich aus einer anderen darstellen lässt;
unter Beibehaltung der Grundstruktur sind einzelne Atome bzw. Atomgruppen
durch andere ersetzt.
aus: Der Knaur - Universallexikon, Band 3, Ausgabe 1990
Neben der Sicherung der Liquidität ist das Zinsmanagement als Teil des
Risikomanagements eine wesentliche Aufgabe im Finanzmanagement.
Aus der modernen Portfoliotheorie1 ist bekannt, dass langfristig ein höherer
Ertrag erzielt werden kann, wenn Risiko und Sicherheit in einem bestimmten
Verhältnis zueinander stehen.
Dabei geht der Treasurer eines Unternehmens mit jedem Geschäft
automatisch mehrere Risiken ein. Neben dem Liquiditätsrisiko, hat er zu viel
oder zu wenig Liquidität, unterliegt er mit jedem eingegangenen Geschäft
dem Zinsänderungsrisiko. Nimmt er einen variablen Kredit auf, besteht für
ihn die Gefahr steigender Zinsen. Legt er das Geld in festverzinslicher
Wertpapiere an, sinkt der Kurswert bei steigenden Zinsen. Finanziert er sich
fest, ärgert er sich über sinkende Zinsen ebenso, wie wenn er sein Geld
variabel angelegt hat.
Durch Einsatz von Zinsderivaten kann er gezielt Risiken zur Ertragssteigerung
eingehen, sie können ihm aber auch helfen Risiken zu begrenzen oder
auszuschalten. So kann sich beispielsweise ein Anleger in Erwartung
sinkender Zinsen einen Zinssatz sichern, ohne hierfür Liquidität bereitstellen
zu müssen. Ein Kreditnehmer nimmt in Zeiten einer steilen Zinsstrukturkurve
sein Geld kurzfristig auf um von den niedrigen Geldmarktzinsen zu
profitieren, sichert sich aber mit Zinsderivaten gegen einen größeren
Zinsanstieg ab.
1.1. Der Markt der Zinsderivate
Neben der Wahl des passenden Produktes steht auch die Wahl des
Handelsplatzes zur Disposition. Grob gesehen gibt es zwei Märkte für
Zinsderivate. Zum einen die Börsen (z.B. Eurex, NYSE Euronext, CBoT,
etc.) an denen neben Aktien- und anderen Derivaten standardisierte
Zinsterminkontrakte (Zinsfutures) und Optionen auf Zinsfutures gehandelt
1
Vgl. u.a. Steiner, Manfred/Bruns, Christoph: Wertpapiermanagement, Stuttgart 1993
Seite 7
06
05
2H
03
1H
02
2H
00
1H
99
2H
97
1H
96
2H
94
1H
93
2H
91
1H
90
2H
88
1H
2H
1H
87
in Mill. US$
werden. Auf der anderen Seite entwickelte sich ein inzwischen sehr liquider
OTC-Handel (Over The Counter = Freiverkehr) mit Derivaten, der für die
Terminbörsen eine
400.000
starke Konkurrenz
350.000
darstellt. Heute ist
300.000
250.000
der
OTC200.000
Derivatehandel um
150.000
ein
vielfaches
100.000
50.000
größer
als
der
0
regulierte,
börsennotierte
Handel
mit
IR and Currency Swaps Credit default swaps Equity derivatives
Futures
und
Abb. 1: Summary of OTC Derivative Market Data3
2
Optionen .
Das
rasante Wachstum des OTC-Marktes setzt sich weiter fort, wie die Statistik
der ISDA (International Swaps and Derivatives Association, Inc.) in Abb. 1
eindrucksvoll beweist.
Wichtigstes Unterscheidungskriterium zwischen OTC- und börsengehandelten
Derivaten ist die Standardisierung der börsengehandelten Produkte. Jedes
Produkt, an den Börsen als Kontrakt bezeichnet, ist genau spezifiziert in
Nominalbetrag und Laufzeit. Ein perfect Hedge, also das vollständige
Ausschalten von Zinsänderungs-risiken, für Kredite oder Anlagen mit
abweichender Laufzeit oder Kapitalstruktur (z.B. abnehmender Nominalbetrag
durch
Tilgung)
ist
nur
durch
aufwendiges
Errechnen
komplexer
Konstruktionen darstellbar. Dagegen sind börsengehandelte Produkte leicht
täglich bewertbar, da an der Börse täglich ein Kurs festgestellt wird. Ein
Vertragspartner ist die Börse (z.B. Eurex), dadurch entfällt quasi das
Kontrahentenrisiko für den Kunden, da die Börsen erstklassige Bonität
besitzen. Die Börsen wiederum schließen das Ausfallrisiko des Kunden durch
Einrichten sog. Marginkonten aus. Auf diesen Marginkonten wird auch ein
täglicher Gewinn- und Verlustausgleich der gehandelten Kontrakte vollzogen,
d.h. Tagesgewinne werden dem Marginkonto gutgeschrieben, Verluste
belastet. Unterschreitet das Guthaben auf dem Konto eine bestimmte Größe,
die sog. Maintenance-Margin, weist die Börse durch einen sog. Margin-Call
den Kunden an, das Konto bis zur Initial-Margin aufzufüllen. Das ist die je
nach Anzahl, Kontrakt und Kurs des Kontrakts festgelegte Mindesthöhe für
das Guthaben auf dem Marginkonto.
2
3
Handelsblatt (13.03.1997)
ISDA Market Survey; Internet: http://www.isda.org/
Seite 8
Ein weiterer Vorteil der Börse ist die Geschwindigkeit und die Liquidität.
Gerade weil die Produkte standardisiert sind, entfallen viele Aufwendige
Rechenoperationen und viele Kontrakte mit identischer Ausgestaltung werden
gleichzeitig nachgefragt und angeboten.
Doch gerade die Flexibilität in der Ausgestaltung der Produkte macht die
OTC-Derivate
vielseitig
verwendbar.
Insbesondere
zur
Absicherung
bestehender oder zukünftiger Geschäfte können sie oft viel leichter verwendet
werden, da sie in Laufzeit, Nominalbetrag und zugrunde liegender
Betragsstruktur auf beinahe jeden Referenzzins fast beliebig ausgestaltbar
sind und somit dem Grundgeschäft leichter angepasst werden können, ein
insbesondere bei der Bilanzierung nicht unwichtiger Aspekt. Diese Flexibilität
zeigt sich u.a. in der wachsenden Zahl sog. exotischer Optionen, die sich
in ihrer Ausgestaltung, z.B. dem Auszahlungsprofil, stark von den
Standardoptionen unterscheiden.
Im weiteren Verlauf wird nur noch auf OTC-Zinsderivate eingegangen.
Interessenten an börsengehandelten Zinsderivaten müssen daher auf die
umfangreiche Fachliteratur verwiesen werden4.
Weiter wird unterschieden zwischen Kassa- und Termingeschäften mit
symmetrischem Risikoprofil sowie Optionsgeschäften mit asymmetrischem
Risikoprofil.
4
z.B. Uszczapowski, Igor: Optionen und Futures verstehen, Deutscher Taschenbuch Verlag
1999
Seite 9
Finanzmärkte
Terminmarkt
Kassamarkt
Unbedingte
Termingeschäfte
Bedingte
Termingeschäfte
Forwards
Futures
Optionen
OTC
Börse
OTC
Börse
z.B. Zinsswap
FRA
z.B. BUNDFuture
z.B. Cap, Floor,
Swaption
z.B. Optionen
auf Futures
Abb. 2: Übersicht über Zinsderivate
Seite 10
2. Zinsstrukturkurve und Forwardkurve
2.1. Betrachtung der Zinsstrukturkurve
Wie bereits in der Einleitung erwähnt, ist die Vorgehensweise im
Finanzmanagement und die Entscheidungsfindung geprägt von der erwarteten
Zinsentwicklung. Im Mittelpunkt
4,5
der Betrachtung steht dabei die
4,3
Zinsstrukturkurve und die daraus
4,1
resultierende Terminkurve.
3,9
3,7
3,5
o/n
1
2
3
Abb.
3:
Zinsstrukturkurve
22.02.2008
4
5
6
(Swaps)
7
8
9
Europa,
10
Stand:
Die Zinsstrukturkurve erhält man
durch Gegenüberstellung
von
Laufzeiten und den Zinssätzen.
Dabei
sind
Laufzeit
und
Zinsbindungszeitraum identisch.
2006-04
2003-09
2001-02
1998-07
1995-12
1993-05
1990-10
1988-03
1985-08
1983-01
1980-06
1977-11
1975-04
1972-09
Man
unterscheidet
Zinsstrukturkurven nach ihrer Form. Flache Zinsstrukturkurven weisen für alle
Laufzeiten fast identische Zinssätze auf. Normale Zinsstrukturkurven werden
durch niedrige Zinsen im kurzen Laufzeitbereich und hohe Zinsen im langen
Laufzeitbereich charakterisiert (Vgl. Abb. 3). Sind die kurzfristigen Zinsen
höher als die langfristigen, spricht man von einer inversen Zinsstrukturkurve.
Konvexe
Zinsstrukturkurven
15,0
13,0
weisen
erst
11,0
fallende,
dann
9,0
7,0
Diff
steigende
Zinsen
5,0
3M
mit
zunehmender
3,0
10Y
Laufzeit
auf,
1,0
-1,0
konkave
-3,0
Zinsstrukturkurven
-5,0
verhalten
sich
genau umgekehrt.
Abb. 4: Zinsstrukturen in Deutschland seit Anfang der siebziger Jahre5
Eine
interessante
Betrachtung
bietet
auch
die
Schwankungsbreite
der
Enden
der
Zinsstrukturkurve. Dabei fällt auf, daß in Deutschland die kurzfristigen Zinsen
einer sehr viel stärkeren Schwankung unterlagen, als die Zinsen am „langen
Ende“ (Vgl. Abb. 4).
5
Quelle: http://www.bundesbank.de/statistik/statistik_zeitreihen.php
Seite 11
Man erkennt, dass Hochzinsphasen von einer inversen, Niedrigzinsphasen
von einer normalen Zinsstrukturkurve gekennzeichnet waren.
Seite 12
2.2. Aussage und Berechnung von Forwardkurven
Ein Kreditnehmer hat die Möglichkeit die Gelder kurzfristig revolvierend oder
langfristig aufzunehmen. Bei einer normalen Zinsstrukturkurve, wie sie sich
derzeit in Deutschland darstellt, sind wie erwähnt die kurzfristigen Zinsen
geringer, als die langfristigen. Für die Bewertung, welche Variante für ihn
vorteilhaft ist, muss er sich mit den Forwardzinssätzen auseinandersetzen.
Das sind die Zinssätze in der Zukunft für die Restlaufzeit, die der Markt
heute impliziert.
Die Forward- oder Terminsätze lassen sich mathematisch aus der
Zinsstrukturkurve ableiten. Sie spiegeln die gegenwärtige Einschätzung des
künftigen Zinsniveaus wider, dennoch sind sie zur Prognose zukünftiger
Zinsentwicklungen ungeeignet, wie die Vergangenheit bewiesen hat.
Änderungen der Zinsstrukturkurve verändern die impliziten Terminsätze.
Terminsätze haben eine wichtige Funktion, zum einen sind sie Grundlage für
die Berechnung aller Zinsderivate, zum anderen dienen sie als
Entscheidungsgrundlage im Finanzmanagement, welche Laufzeit bei einer
Anlage oder einer Kreditaufnahme gewählt werden soll.
Ein Beispiel:
Ein Kreditnehmer hat Kreditbedarf für 2 Jahre. Zur Auswahl stehen ihm ein
einjähriger Kredit zu 3,7500% ein zweijähriger Kredit zu 3,9620%. Diese
Zinssätze ergeben sich aus der
1. Jahr 3,7500%
2. Jahr ?%
Zinsstrukturkurve
(Abb.
3).
Entscheidet er sich für den
2 Jahre 3,9620%
einjährigen Kredit, stellt sich die
Abb. 5: Forwardsatz
Frage, wie hoch der Kreditzins am
Ende der Laufzeit für das ihm verbleibende Jahr sein darf, ohne daß ihm
Nachteile entstehen (Abb. 5). Der gesuchte Zinssatz ist der EinjahresForwardsatz in einem Jahr.
2.2.1. Zerozinsen
Da die Berechnung von Forwardzinssätzen auf einer Arbitageüberlegung
beruht, werden hierfür Zerozinssätze zum Vergleich der Zinszahlungen
benötigt. Der Zerozinssatz entspricht dem Zinssatz einer Anleihe ohne
laufende Verzinsung (Zero-Coupon-Anleihe), die einer Anleihe mit gleicher
Laufzeit und laufender Verzinsung aus heutiger Sicht gleichwertig ist.
Gleichwertig heißt hier, daß der Wert aller Cash-flows (Zinszahlungen und
Seite 13
Rückzahlung des Betrags am Ende der Laufzeit) auf den heutigen Tag
abgezinst (Barwerte) gleich sein müssen.
Bei der Abzinsung über mehrere Jahre wird der Zerozins herangezogen, da
jede Zinszahlung für sich als Zero Bond betrachtet werden kann und damit
seinen „eigenen“ Zerozinssatz für die Laufzeit besitzt6. Für eine Anleihe, die
zu pari notiert, Barwert (=Kurswert) ist 100%, gilt folgende Gleichung:
100 
mit:
C :
Z :
T :
C
C
C
C
100  C
1 
2 
3 ...
T 1 
(1  Z1 ) (1  Z2 )
(1  Z3 )
(1  ZT 1 )
(1  ZT ) T
Kupon der Anleihe
Zerozins für die jeweilige Laufzeit
Laufzeit in Jahren
Aus der Zinsstrukturkurve ist der Einjahressatz von 3,7500% ersichtlich. Da
bei einer Laufzeit von einem Jahr keine Zinszahlungen während der Laufzeit
geleistet werden, ist der Zerozinssatz ebenso 3,7500%. Der Zweijahressatz
ist 3,9620%. Eine zweijährige Anleihe mit einem Kupon von 3,9620% hätte
also einen Kurswert von 100. Daraus läßt sich nun durch Einsetzen in die
Formel leicht der Zerozins für zwei Jahre errechnen:
100 
3,9620 103,9620

1,0375
(1  Z 2 ) 2
Nach Z2 aufgelöst, ergibt sich der Zerozins für zwei Jahre von 3,9662%.
Durch Einsetzen des Dreijahres-Zinssatzes als Kupon und mit Hilfe der
bisher errechneten Zerozinssätze kann der Dreijahres-Zerozinssatz berechnet
werden, usw.
Mit Hilfe dieser Formel und den Zinssätzen aus der Zinsstrukturkurve lassen
sich also alle Zerozinssätze berechnen, die für die barwertmäßige Bewertung
zukünftiger Cash-flows notwendig sind:
LZ
Zins
Zero
1
3,7500
3,7500
2
3,9620
3,9662
3
3,9670
3,9700
4
4,0133
4,0185
5
4,0753
4,0848
6
4,1467
4,1626
7
4,2204
4,2444
8
4,2930
4,3264
9
4,3620
4,4058
10
4,4219
4,4756
Tab. 1: Zerozinsen
2.2.2. Forwardzinsen
6
Vgl. Diwald, Hans: Zinsfutures und Zinsoptionen, Deutscher Taschenbuch Verlag,
München 1994, S. 222
Seite 14
Zurück zum Beispiel der zweijährigen Mittelaufnahme aus Kap. 2.2.. Der
Kreditnehmer möchte wissen, welcher Zinssatz für die zweite Zinszahlung
notwendig ist, um das gleiche Ergebnis wie bei einer zweijährigen
Kreditaufnahme zu erzielen. Mit Hilfe der Zero-Sätze ist es nun möglich,
aufgrund einer Arbitrageüberlegung sich die jeweiligen Forwardsätze
auszurechnen. Der Zerosatz wird anstelle des normalen Zinssatzes gewählt,
um kein Bewertungsproblem der ausgeschütteten Zinsen während der Laufzeit
zu haben. Der Zweijahres-Zerosatz beträgt im Beispiel 3,9662%. Ein
Anleger, der zu diesem Satz anlegt, erhält nach zwei Jahren 1,0396622
zurück. Um diese Geldanlage zu finanzieren, kann er Geld für ein Jahr
zum (Zero-)Satz für ein Jahr von 3,7500% aufnehmen und es nach
einem Jahr zum einjährigen Forwardzins refinanzieren. Sind die Zinssätze im
Verhältnis zueinander korrekt bewertet, so kann kein risikoloser Gewinn ohne
Kapitaleinsatz entstehen. Der Forwardzins für ein Jahr in einem Jahr kann
somit über folgende Gleichung errechnet werden:
1,039662 2  1,037500 * (1  FR1x1 )
für den 1x1 Forwardsatz (in einem Jahr für ein Jahr) erhält man 4,1829%.
Allgemein lassen sich die Forwardsätze durch Umformung obiger Gleichung
wie folgt berechnen:
FRtxT 
mit:
Zt :
ZT :
T :
t :
FRtxT:
Tt
(1  ZT ) T
1
(1  Zt ) t
Zerosatz bis zum Zeitpunkt t (kurzer Zeitraum)
Zerosatz bis zum Zeitpunkt T (langer Zeitraum)
Endzeitpunkt
Zeitpunkt des Beginns des Forwardzinses
Forward-Rate für den Zeitraum t bis T
Der dadurch errechnete Forwardsatz ist eigentlich ein Forward-Zerosatz.
Werden während des Forward-Zeitraums Zinsen gezahlt, so ist der
Forward-Zerosatz in einen Forwardsatz umzurechnen.
Forwardsätze lassen sich nun ebenso in ein Schaubild eintragen. Dabei ist
die Länge des gesuchten Forwardzinssatzes entscheidend. Variable Kredite
oder Anlagen sind oft an den 6-Monats-EURIBOR (European Interbank
Offered Rate) gekoppelt, daher ist für diese Geschäfte die 6-MonatsEURIBOR-Forward-Kurve ausschlaggebend. Da zwischen den 6-MonatsSeite 15
Perioden keine Zinszahlungen erfolgen, sind
gleich den 6-Monats-Zero-Forwardsätzen.
die
6-Monats-Forwardsätze
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Abb. 6 zeigt die impliziten 6-Monats-Zinssätze, das Startdatum ist jeweils
der
x-Achse
zu
5,50
entnehmen.
5,00
Man erkennt deutlich, dass
4,50
die Forwardkurve über der
4,00
Zinsstrukturkurve liegt. Dies
3,50
liegt an der Form der
Zinsstrukturkurve.
Bei
normalen Zinsstrukturkurven
Swap
Zero
6M-FW act/360
liegt die Forwardkurve über
Abb. 6: Zinsstrukturkurve, Zero- und Forwardkurve, Stand:
der Zinsstrukturkurve, bei
22.02.2008
inversen Zinsstrukturkurven liegt die Forwardkurve darunter. Die Begründung
ist einfach. Bei einer normalen Zinsstrukturkurve ist der Zinssatz für lange
Laufzeiten größer als der für kurze. Daher muß der Forwardsatz, der die
Lücke zwischen kurzer und langer Laufzeit ausfüllt, auch die Zinsdifferenz
ausgleichen.
Allgemein gilt7:
Normale Zinsstruktur:
Kuponraten < Zero-Raten < Forward-Raten
Inverse Zinsstruktur: Kuponraten > Zero-Raten > Forward-Raten
2.3. Zusammenfassung
Zur Entscheidung, welche Laufzeit gewählt wird, ist nicht nur die
Betrachtung der gegebenen Zinssätze für die unterschiedlichen Laufzeiten
notwendig. Vielmehr ist es wichtig, sich über die mögliche Entwicklung der
Zinsen eine Meinung zu bilden und mit der gegenwärtigen Forwardkurve für
alternative
Laufzeiten
zu
vergleichen.
Gelangt
der
risikoneutrale
Finanzmanager aus dem Beispiel in Kap. 2.2. zur Überzeugung, dass der
Zinssatz in einem Jahr für ein Jahr unter 4,1829% liegen wird, wird er sich
für
eine
einjährige
Kreditaufnahme
entscheiden.
Ein
risikoaverser
Finanzmanager wird sich evtl. dennoch für den Zweijahressatz entscheiden,
lieber nimmt er einen u.U. höheren Zinssatz in Kauf und unterliegt dafür
nicht dem Zinsrisiko nach einem Jahr.
7
Diwald, Hans: Zinsfutures und Zinsoptionen, Deutscher Taschenbuch Verlag, München
1994, S. 227
Seite 16
Zinserwartung
Geldanlage
Finanzierung
Zinsberechnung
Act/360
Act/365
30/360
Act/Act
Währung
Geldmarkt:
z.B. AUD, CAD, DKK,
NLG, JPY, MXN, NZD,
NOK, SAR, SEK, CHF,
THB, USD, EUR
Geldmarkt:
z.B. HKD, MYR, SGD,
ZAR
z.B. Swaps im EURORaum
z.B. Anleihen im EURORaum
Tab. 2: Zinsusancen am Geld- und Kapitalmarkt
Tatsächlicher Verlauf der
Revolvierende kurzfristige
kurzfristigen Zinsen liegt
Festzinsanlage
Finanzierung
unter der Forwardkurve
Verlauf der kurzfristigen
Indifferent zwischen
Indifferent zwischen
Zinsen entspricht der
zinsvariabler und
zinsvariabler und
Forwardkurve
Festzinsanlage
Festzinsfinanzierung
Zinsverlauf liegt über der Revolvierende kurzfristige
Festzinsfinanzierung
Forwardkurve
Geldanlage
2.4. Zinskonventionen am Geld- und Kapitalmarkt
Am internationalen Geld- und Kapitalmarkt gibt es verschiedene Usancen für
die Zinszahlungen. Für die Festsatzseite des Zinsswaps gelten i.d.R. die
selben Usancen wie am Anleihemarkt (Vgl. Tab. 1). Unterschiede bei der
Tagerechnung, bei der Anzahl der Zinszahlungen im Jahr sowie die Zahl
der Valutatage der Abrechnung nach dem Geschäftsabschluß machen einen
exakten Vergleich von Zinssätzen schwer.
Im Geldmarkt werden die Zinsen meist act/360 berechnet. 30/360 heißt,
daß jeder Monat mit 30 Tagen und das Jahr mit 360 Tagen gerechnet
wird. Bei act/365 werden die Tage genau gezählt, das Jahr mit 365 bzw.
366 Tagen (auch act/act). Steht hinter der 365 ein F, werden auch
Seite 17
Schaltjahre mit 365 Tagen gerechnet. Act/360 heißt nun, daß die Tage
genau gezählt werden, das Jahr aber nur mit 360 Tagen.
Eine Umrechnung von 30/360 in act/360 kann näherungsweise durch
Multiplikation mit 360/365 bzw. 365/360 erfolgen. Eine genaue
Umrechnung setzt einen Blick in den Kalender voraus, da Wochenenden,
Bankfeiertage und Schaltjahre genauestens berücksichtigt werden müssen. Ein
Zinssatz von 5,00% auf Basis act/360 entspricht somit einem Zinssatz von
ca. 5,069% mit 30/360 Basis.
Vergleiche von Nominalzinssätzen mit unterschiedlicher Zahlungshäufigkeit der
Zinsen pro Jahr erfolgt i.d.R. durch die Umrechnung in effektive
Jahreszinsen, wofür folgende Formel herangezogen werden kann:
m
i ef
mit:
ieff:
im:
m:
f
im 

 1    1

m
eff. Jahreszins
unterjähriger Zins
Anzahl der Zinsperioden pro Jahr
So entspricht ein Nominalzinssatz von 5,00% bei halbjährlicher Zinszahlung
einem Jahreszins von 5,06%, bei vierteljährlicher Zinszahlung einem
Jahreszins von 5,09%.
Seite 18
3. Kassa- und Termingeschäfte
3.1. FRA - Forward Rate Agreement
Die einfachste Art, Forwardzinsen zu sichern, ist das Forward Rate
Agreement (FRA). Dabei vereinbaren Käufer und Verkäufer des FRA’s,
einen festen Zinssatz für die Zukunft. Der Käufer sichert sich gegen
steigende Zinsen ab, er ist in der Regel Kreditnehmer. Der Verkäufer
sichert sich gegen fallende Zinsen ab und ist somit meist Anleger.
Tatsächlich vereinbaren beide Parteien die Zahlung der Zinsdifferenz zu
Beginn der vereinbarten Laufzeit zwischen dem vereinbarten Terminsatz und
dem dann gültigen Marktsatz. Es erfolgt also keine Kapitalbewegung.
Liegt der Marktsatz über dem vereinbarten Zinssatz erhält der Käufer vom
Verkäufer eine Ausgleichszahlung, liegt der Marktsatz darunter, erhält der
Verkäufer vom Käufer des FRA eine Ausgleichszahlung. In der Regel wird
als Referenzzinssatz der EURIBOR (EURo Inter-Bank Offered Rate) für
Euro und LIBOR (London Inter-Bank Offered Rate) für andere Währungen
für die entsprechende FRA-Laufzeit gewählt.
FRA’s haben eine Vorlaufzeit von 1 bis 23 Monaten und eine
Gesamtlaufzeit von max. 24 Monaten. Ein FRA, der von heute ab in 6
Monaten beginnt und in 12 Monaten endet, nennt man 6x12 FRA, die
FRA-Periode beträgt damit 6 Monate.
Da das FRA ein
Geldmarktes,
d.h.
abgerechnet.
Geldmarktprodukt ist, gelten
Zinszahlungen
werden
im
Die Ausgleichszahlung errechnet
Gesamtlaufzeit wie folgt:
Ausgleichs betrag 
sich
für
FRA’s
die Zinsusancen des
Euro
taggenau/360
unter
einem
Jahr
TageFRAPeriode
360
* Nominalbetrag
TageFRAPeriode
1  EURIBOR *
360
EURIBOR  FRA *
Die Zinsdifferenz wird anteilig auf die Laufzeit berechnet (Zähler) und, da
sie bereits zu Beginn der FRA-Laufzeit bezahlt wird, um diese Laufzeit
abgezinst (Nenner).
Beispiel:
Seite 19
Für einen Betrag von 10 Mio. EUR vereinbaren Käufer und Verkäufer einen
6x12 FRA zu 3,750%. Dabei befürchtet der Käufer, daß für 6 Monatsgeld
in 6 Monaten mehr als 3,750% gezahlt werden muß.
Seite 20
Szenario 1:
In 6 Monaten wird der 6 Monats EURIBOR bei 3,600% festgestellt.
Aus obiger Gleichung ergibt sich ein Ausgleichsbetrag von
182
3,600%  3,7500% *
360 *10Mio.EUR  4.021,88 EUR .
Ausgleichs betrag 
182
1  0,036 *
360
Diesen Ausgleichsbetrag muss der Käufer an den Verkäufer leisten. Der
Kreditnehmer muss nun für die restlichen 6 Monate nicht nur 10 Mio.,
sondern zusätzlich 4.021,88
EUR aufnehmen. Der Zinssatz beträgt
jetzt 3,600%. Nach 182 Tagen zahlt er folgenden Betrag zurück:
182 

1  0,0360 *
 *10.004.021,88 EUR  10.186.095,08 EUR.
360 

Dies entspricht bei Aufnahme von 10 Mio. EUR einem Zinssatz von
 10.186.095,08 EUR  360
 1 *
 3,7500%.

 10.000.000 EUR
 182
und damit genau dem zu sichernden Zinssatz.
Szenario 2:
In 6 Monaten wird der 6 Monats LIBOR bei 4,100% festgestellt.
Aus der Gleichung ergibt sich ein Ausgleichsbetrag von 9.339,31 EUR.
Diesmal erhält ihn der Käufer vom Verkäufer des FRA. Der Kreditnehmer
muss nun nur noch 9.990.660,69 EUR aufnehmen, aber zu einem Zinssatz
von
4,100%.
Der
Rückzahlungsbetrag
mit
Zinsen
beträgt
somit
10.186.095,08
EUR, wie in Szenario 1 bereits errechnet, entspricht
dies einer Verzinsung von gewünschten 3,750% auf 10 Mio. EUR.
Die Berechnung eines FRA-Zinssatzes im Laufzeitbereich unter einem Jahr,
läßt sich relativ leicht darstellen, da hier nicht auf Zinseszinseffekte innerhalb
einer Periode geachtet werden muß.
T2 * P2  T1 * P1
T2  T1
FRA  Satz 
T *P
1 1 1
360 * 100
mit:
T2 :
Tage bis zum Ende der Gesamtlaufzeit
Seite 21
T1 :
P2 :
P1 :
Tage bis zum Ende der Vorlaufzeit
Zinssatz für die Gesamtlaufzeit
Zinssatz für die Vorlaufzeit
Seite 22
Zur Vervollständigung noch die Formel für überjährige FRA’s:


 

 


 

T12 Mo
1
1

i
*
*

k

 

y




T
12
Mo



 1   i12 Mo *
    



y  
 

 


T  T12 Mo  
 

1   ik * k

 

y


  1 * y
FRA  Satz  

   TFRA


 


 
T
1

 1  i * 12 Mo *
L


y
 
T12 Mo     



 1   i12 Mo *
 

y









 


T  T  
 

1   i L * L 12 Mo 

 

y


 

mit:
ik :
Zinssatz
Tk : Laufzeit
iL :
Zinssatz
TL : Laufzeit
i12Mo : Zinssatz
T12Mo : Laufzeit
TFRA : Laufzeit
y :
je nach
für die kurze Laufzeit
in Tagen für die kurze Laufzeit
für die lange Laufzeit
in Tagen für die lange Laufzeit
für 1 Jahr
in Tagen 1 Jahr
in Tagen FRA
Zinsmethode entweder 360 oder 365
Der Ausdruck (1-(...)) wird bei kurzer und/oder langer Laufzeit unter 12
Monaten mit 1 angenommen. Bei Laufzeiten unter einem Jahr wird mit den
echten Tagen anstelle von (T-T12Mo) gerechnet.
3.2. Zinsswaps
3.2.1. „Plain Vanilla“-Zinsswap
to swap (engl. = tauschen, austauschen)
Beim Zinsswap vereinbaren zwei Vertragspartner den Tausch
Zinszahlungen in gleicher Währung auf den gleichen Betrag
unterschiedlicher Zinsberechnungsbasis.
von
auf
Seite 23
z.B.
Fest  Fest
Fest  Variabel
Variabel  Variabel
(30/360  act/360)
(30/360  6-Monats-EURIBOR)
(3-M-EURIBOR  12-M-EURIBOR)
Als „Plain-Vanilla“ wird das Produkt bezeichnet, welches ohne nähere
Erläuterungen
vordefinierte
Merkmale
aufweist.
Ein EURIBOR- Beginn der Ende der Periode
Fixing
Periode
und Zinszahlung
„Plain-Vanilla“ Zinsswap in
Deutschland definiert einen
Zinsswap, bei dem auf der
variablen Seite mit dem 6Monats-EURIBOR (act/360)
und auf der Festsatzseite mit
2 Tage
6 Monate
Abb.
7:
Die
variable
Seite eines „Plain-Vanilla“-Swaps
der Zinskonvention 30/360,
jährlich nachträglich, gerechnet wird. Der für jede Periode gültige EURIBOR
wird zwei Tage vor Beginn der entsprechenden Periode festgestellt. Der
Zinssatz für die erste Periode ist das am Handelstag festgestellte Fixing,
der Swap beginnt zwei Handelstage später.
Am Beispiel ein Zinsswap für eine Laufzeit von 5 Jahren:
4,0753%
Swap-Partner
A
Swap-Partner
B
6-Monats-EURIBOR
Dabei zahlt A an B einen Festsatz von 4,0753% jährlich nachträglich und
erhält dafür von B alle 6 Monate den 6-Monats-EURIBOR für die
vergangene Periode.
Aus Arbitragegründen ist der Festsatz des Swaps gleich dem Zinssatz für 5
Jahresgeld. Dabei beziehen sich die Konditionen immer auf Interbanksätze.
Eine Eigenschaft des Zinsswaps ist, dass er einen Barwert von 0 besitzt.
Die Summe der Barwerte der zu zahlenden Zinsen ist, aus
Arbitragegründen, genau gleich der Summe der Barwerte der zu erhaltenden
Zinsen. Der Barwert der Festsatzseite ist leicht zu ermitteln. Es müssen
lediglich die einzelnen Zinszahlungen mit dem entsprechenden Zerozins auf
den heutigen Tag abgezinst werden. Um den gleichen Barwert zu erhalten,
muss für jede Periode der variablen Seite der entsprechende Forwardzinssatz
auf den heutigen Zeitpunkt abgezinst werden. Verhält sich also der variable
Zins während der Laufzeit entsprechend den impliziten Forwardsätzen, erlangt
Seite 24
keine der beiden Swap-Parteien einen Vor- oder Nachteil. D.h. für den
Zahler der variablen Zinsen: verläuft die tatsächliche Zinsentwicklung
unterhalb der impliziten Forwardzinsen, erzielt er einen Gewinn, liegen die
tatsächlichen Zinsen darüber, erleidet er einen Verlust.
Seite 25
3.2.2. Anwendungsbeispiel eines „Plain-Vanilla“-Zinsswaps
Die Marktsituation ist gekennzeichnet durch eine normale Zinsstrukturkurve.
Der 6-Monats-EURIBOR liegt bei 3,6600%, der 5 Jahressatz bei
4,0753%.
Ein Unternehmer hat einen endfälligen Kredit mit einer Restlaufzeit von 5
Jahren zu einem Zinssatz von 4,0753%. Betrag: 10 Mio. EUR
Aufgrund der Marktsituation liegt der 6-Monats-EURIBOR unterhalb des 5Jahressatzes von 4,0753%. Die 6-Monats-Forwardkurve liegt über der
Zinsstrukturkurve. Der Unternehmer rechnet nicht damit, dass der 6-MonatsEURIBOR den Verlauf der Forwardkurve nachvollzieht und entschließt sich
zum Abschluss eines Zinsswaps.
4,0753%
Unternehmen
Swap-Partner
(Bank)
6-Monats-EURIBOR
4,0753%
Kredit
Ohne den Kredit selbst zu verändern, hat der Unternehmer nun de facto
eine variable Verzinsung auf 6-Monats-EURIBOR-Basis für seinen Kredit.
Behält der Unternehmer recht und der 6-Monats-EURIBOR bleibt z.B. für
ein ganzes Jahr unverändert, errechnet sich für ihn folgende Ersparnis:
Zinsen Festkredit:
10Mio.EUR * 4,0753 * 360
 407.530, EUR
360 *100
Zinsen variabler Kredit (unveränderter EURIBOR unterstellt):
10 Mio.EUR * 3,660 *182 10 Mio.EUR * 3,660 *183


360 *100
360 *100
371.083,33 EUR
Dadurch erzielt der Unternehmer eine Zinsersparnis im ersten Jahr von ca.
9% (ohne Berücksichtigung von Zinseszinsen).
3.2.3. Anwendungsbeispiel eines Forward-Zinsswaps
Seite 26
Der Forward-Zinsswap unterscheidet sich vom „Plain-Vanilla“-Zinsswap
durch den Laufzeitbeginn in der Zukunft. Gegen den variablen Satz wird
aber als Festsatz der bei Vertragsabschluß gültige Forwardzinssatz für die
entsprechende Laufzeit gezahlt.
Ein Anleger hat Wertpapiere im Nennwert von 10 Mio. EUR mit einer
Fälligkeit in 2 Jahren im Bestand. Er befürchtet weiter sinkende
Kapitalmarktzinsen für die Wiederanlage. Aus diesem Grund entschließt er
sich für den Abschluß eines Forward-Zinsswaps mit einer Vorlaufzeit von 2
Jahren und einer Laufzeit von 5 Jahren. Bei Fälligkeit der Wertpapiere in 2
Jahren legt er sein Geld variabel zum jeweils gültigen 6-Monats-EURIBOR
abz. einer Marge von 0,5% an.
4,150%
Anleger
Swap-Partner
(Bank)
6-Monats-EURIBOR
6-Monats-EURIBOR ./. 0,5%
var. Anlage
Somit hat er sich einen festen Zinssatz für die Anlage gesichert.
3.2.4. Einfluß einer Tilgung auf den Swappreis
Am Beispiel eines Einjahresswap mit halbjährlicher Tilgung. Die Zinsen
werden sowohl auf der Fest- als auch auf der variablen Seite halbjährlich
gezahlt. Für die Annahme gilt eine normale Zinsstrukturkurve.
Rechnerische Überlegung:
Barwerte
2,00%
3,96%
variabel
=
fest
t
0M
6M
3,00%
12M
3,00%
Seite 27
Wie in Kap. 3.2.1. erwähnt, ist ein Zinsswap fair gepreist, wenn die
Summe der Barwerte der Festsatzseite gleich der Summe der Barwerte der
variablen Seite ist.
Nun wird der Betrag nach 6 Monaten zur Hälfte getilgt (schraffierte
Fläche). D.h. in einem Jahr wird jeweils nur die Hälfte der Zinsen gezahlt.
Barwerte
2,00%
0,5*3,96%
variabel
=
fest
t
0M
6M
3,00%
12M
0,5*3,00%
Dadurch halbieren sich auch die Barwerte der Zinszahlungen in einem Jahr.
Die variable Seite ist über den 6-Monats-EURIBOR definiert, daher ändern
sich die Zinssätze der variablen Seite nicht. Der fehlende Barwert aus
0,5*3,96% ist größer als aus 0,5*3,00%. Der Barwert der variablen Seite
wäre nun geringer, als der Barwert der Festsatzseite. Um nun den Barwert
der
Festsatzseite ebenfalls
zu
verringern, müssen die einzelnen
Zinszahlungen kleiner ausfallen, d.h. der Zinssatz der Festsatzseite muß
geringer sein.
Plausibilitätsüberlegung:
Der Zinsswap mit Tilgung kann theoretisch in zwei Swaps ohne Tilgung
aufgeteilt werden. Einen mit einer Laufzeit von einem Jahr und einen mit
einer Laufzeit von 6 Monaten für den fehlenden Betrag. Der Einjahresswap
hat einen Festsatz von 3,00%, der 6-Monatsswap logischerweise einen
Festsatz von 2,00%. Als „Mischsatz“ ergibt sich somit in der Summe ein
Festsatz unter 3,00%.
Dies gilt bei normaler Zinsstrukturkurve. Bei inverser Zinsstrukturkurve ergibt
sich genau das Gegenteil. Hier ist der Festsatz des Swaps mit Tilgung
teurer.
3.3. „In-Arrears“-Swap
Werden beim „Plain-Vanilla“-Zinsswap die Zinsen der variablen Seite zu
Beginn jeder Periode festgestellt („In Advance“), so geschieht dies beim
Seite 28
„In-Arrears“-Swap erst zwei Tage vor Ablauf der Zinsperiode. Ist die
Zinsstrukturkurve nicht flach, hat das entscheidende Auswirkungen auf den
Wert des Swaps. Bei einer normalen Zinsstrukturkurve erhöht sich so der
Wert der variablen Seite, da diese durch die zeitliche Verzögerung mit
höheren
Forwardzinssätzen
berechnet
wird.
Bei
einer
inversen
Zinsstrukturkurve dagegen verringert sich der Wert, da die zur Berechnung
der variablen Seite notwendigen Forwardzinsen geringer sind.
Seite 29
3.3.1. Anwendungsbeispiel eines „In-Arrears“-Swaps
Ein Kreditnehmer hat einen Festsatzkredit mit einer Restlaufzeit von 3
Jahren in seinen Büchern. Da er von unveränderten Zinsen ausgeht
entschließt er sich zum Abschluß eines Zinsswaps.
Beim „in-arrears“ Swap werden nun die Fixings ans Ende jeder Periode
gelegt. Bei einer unterstellten normalen Zinsstrukturkurve erhöht sich der
Barwert der variablen Seite, da die zugrunde gelegten Forwardzinssätze
höher sind. Anders ausgedrückt, der Kreditnehmer müsste nun mehr Zinsen
zahlen, wenn der 6-Monats-EURIBOR tatsächlich den ansteigenden Verlauf
der Forwardkurve nachvollzieht, als er das bei Fixings zu Beginn jeder
Periode müsste. Dieser rechnerische Nachteil ist im Barwert des Swaps
berücksichtigt. Da er aber von gleichbleibenden Zinsen ausgeht, nimmt er
diesen rein rechnerischen Nachteil in Kauf und lässt sich diesen Wert
vergüten.
Die Vergütung kann nun durch eine einmalige Auszahlung oder durch
Verringerung des zu zahlenden Zinssatzes auf EURIBOR - x% erfolgen. Der
ausbezahlte Barwert kann z.B. zum Kauf eines Caps zur Absicherung
genutzt werden.
3.4. EONIA-Swap
Der EONIA-Swap (European Overnight Average) ist ein Swap auf
Tagesgeldbasis. Die variable Seite wird aus dem täglichen Fixing des
EONIA errechnet. Die Laufzeit kann 2 Tage bis 1 Jahr betragen. Erst am
Ende der Gesamtlaufzeit erfolgt eine Zahlung der Differenz zwischen dem
Festsatz und den variablen Zinsen mit Zinseszinsen. Die variablen Zinsen
setzen sich aus den während der Laufzeit ermittelten amtlichen
Tagesgeldfixings zusammen, hierfür wird folgende Formel verwendet:
rv 
mit:
rv :
te :
tp :
 t p 1  ri * d  
360 *    1 
  1
360 i  
 i  te 
n
variabler Satz mit Zinseszinsen
Startdatum des EONIA-Swaps
Enddatum des EONIA-Swaps
Seite 30
ri :
di :
n :
Tagesgeldfixing am Tag i
Anzahl der Tage, für die ri Gültigkeit hat (Freitags z.B. 3)
Laufzeit des Swaps in Tagen
Seite 31
3.4.1. Anwendungsbeispiele des EONIA-Swaps
Beispiel 1:
Geldaufnahme für einen Monat zu Tagesgeldkonditionen. Eine Firma hat
Liquiditätsbedarf für einen Monat. Da sie schon kurzfristig sinkende Zinsen
3,51%
erwartet, entscheidet Sie sich
Firma
Swap-Partner
zur Aufnahme von Tagesgeld.
(Bank)
Tagesgeldsatz
Bisher wäre hierfür täglich
3,51%
Aufwand für Disposition und
Buchung entstanden. Daher
Monatsgeld
nimmt sie Geld für einen
Monat auf und schließt gleichzeitig einen EONIA-Swap ab. Am Ende der
Laufzeit zahlt er letztendlich die Summe der Tagesgeldzinsen, dabei hatte er
aber nur am Anfang und Ende einen Arbeitsaufwand.
Sollte ihm wider erwarten vorzeitig Liquidität zur Verfügung stehen, kann er
diese zu Tagesgeldkonditionen anlegen. Der Wiederanlageverlust ist also auf
die Geld-/Briefspanne des Tagesgeldes begrenzt und beträgt nicht die
Differenz zwischen Tagesgeldanlage und Monatsgeldaufnahme (bei Aufnahme
von Monatasgeld).
Beispiel 2:
Ein Unternehmen legt täglich einen unterschiedlichen Betrag als Tagesgeld
an. Dabei stellt sich heraus, daß ein gewisser Sockelbetrag nicht
unterschritten wird. Für diesen Sockelbetrag schließt es zusätzlich zur
täglichen Anlage einen EONIA-Swap ab und empfängt dabei einen festen
Zinssatz. Für diesen Sockelbetrag ist es nun gegen Zinsänderungen für die
Swap-Laufzeit immun, die Disposition der Liquidität erfolgt aber weiterhin
täglich.
Seite 32
4. Optionsgeschäfte
4.1. Caps und Floors
4.1.1. Caps
Durch den Kauf eines Caps sichert sich der Käufer das Recht auf eine
Ausgleichszahlung, wenn der Referenzzins (i.d.R. EURIBOR) eine
vereinbarte Zinsobergrenze (Strike-Preis) überschreitet. Die Laufzeit eines
Caps wird in mehrere Perioden aufgeteilt, sog. Caplets. Ein Caplet hat
dabei die Länge der Laufzeit des Referenzzinssatzes. Ist der Referenzzins
der 6-Monats-EURIBOR, so hat ein Caplet die Länge von 6 Monaten.
Somit entspricht ein Cap einer Aneinanderreihung mehrerer Optionen, die
ihren Ausübungstag jeweils zum Beginn eines Caplets haben.
Zwei Arbeitstage vor dem Starttag jedes Caplets wird der Referenzzins mit
dem vereinbarten Strike-Preis verglichen. Liegt der Referenzzins darüber,
erhält der Käufer vom Verkäufer am Ende des Caplets eine
Ausgleichszahlung. Die Ausgleichszahlung entspricht der Zinsdifferenz
zwischen
dem
Strike-Preis
und
dem
festgestellten
Fixing
des
Referenzzinssatzes (hier: EURIBOR) auf einen vereinbarten Nominalbetrag:
Ausgleichs zahlung  ( EURIBOR  Zinsobergr enze) *
Tage der Zinsperiod e
* Nominalbetrag
360
Der Käufer sichert sich somit gegen steigende Zinsen ab. In Verbindung mit
einer variablen Finanzierung (z.B. 6-Monats-EURIBOR) hat der Kauf eines
Caps folgende Wirkung:
%
Feste Finanzierung zum
Strike-Preis
LIBOR
Strike-Preis
Variable Finanzierung zu
LIBOR
Laufzeit
Wird der EURIBOR zu Beginn eines Caplets über dem Strike-Preis fixiert,
ist der Zinssatz für diese Periode im Ergebnis nach Ausgleichszahlung der
Strike-Preis, liegt der EURIBOR darunter, wird die Periode mit dem
EURIBOR verzinst.
Seite 33
Für dieses Recht zahlt der Käufer dem Verkäufer eine Optionsprämie.
Seite 34
Die maximalen Kreditkosten betragen somit:
Zinsobergrenze
+ Kreditmarge
+ Cap-Prämie
Der Optionspreis wird entweder zwei Arbeitstage nach dem Kauf fällig, also
vor oder mit Beginn der Laufzeit) oder periodisch über die Laufzeit verteilt.
Eine Verteilung entspricht einem annuitätisch getilgten Kredit in Höhe der
Optionsprämie über die Laufzeit des Caps.
Start des Caps ist zwei Arbeitstage nach Abschluß (spot-start) oder
danach. Bei einem späteren Starttermin spricht man von einem ForwardCap. Beim spot-start wird üblicherweise das erste Caplet nicht
berücksichtigt, da hierfür das EURIBOR-Fixing am Handelstag des Caps
stattfindet und somit eine evtl. zu leistende Ausgleichszahlung bereits beim
Abschluß bekannt wäre.
Beispiel:
Ein Kreditnehmer nimmt einen 10 Mio. EUR Kredit zu 6-Monats-EURIBOR
zuzügl. 0,75% p.a. auf. Die Laufzeit beträgt 5 Jahre. Da er sich gegen
steigende Zinsen absichern möchte, kauft er einen Cap mit folgenden
Bedingungen:
Referenzzins: 6-Monats-EURIBOR
Laufzeit:
5 Jahre
Strike-Preis:
5,50%
Nominalbetrag:
10 Mio. EUR
Preis:
1,74% (= 174.000,-- EUR) oder 0,348% p.a. (ohne
Zinseszinsen!)
Sein maximale Zinsbelastung beträgt demnach:
Zinsobergrenze
+ Kreditmarge
+ Cap-Prämie
Summe
Der vergleichbare
Marge).
Festzinssatz
5,00%
0,75%
0,35%
6,10%
für
5
p.a.
p.a.
p.a.
p.a.
Jahre
liegt
bei
4,0753%
(incl.
Seite 35
Da
der
EURIBOR
Finanzierungskosten von
aktuell
3,6600%
beträgt,
hat
er
derzeit
6-Monats-EURIBOR3,6600% p.a.
+ Kreditmarge
0,75% p.a.
+ Cap-Prämie
0,35% p.a.
Summe
4,76% p.a.
Er partizipiert dadurch an den niedrigen variablen Zinsen, mit der Chance,
dass diese weiter sinken oder nur gering steigen. Durch den Kauf eines
Caps hat er sich gegen einen größeren Zinsanstieg abgesichert.
Wie bereits erwähnt, ist der Cap eine Aneinanderreihung mehrerer Optionen
mit unterschiedlichen Ausübungstagen. Demnach müssen zur Bewertung eines
Caps die einzelnen Optionen betrachtet werden. Es ist nun möglich, jede
Einzeloption mit einem anderen Nominalbetrag auszustatten, das ist z.B. bei
einer Tilgung notwendig. Weiter ist es möglich, für jede Option einen
anderen Strike-Preis zu vereinbaren, dadurch kann mein einen Cap
kreieren, bei dem die Strike-Preise mit zunehmender Laufzeit steigen oder
sinken. Eine Veränderung des Nominalbetrages oder des Strike-Preises hat
Auswirkungen auf den Preis der einzelnen Optionen und somit in der
Summe auf den Preis des Caps. Die Einflußfaktoren werden in Kap. 4.3.
noch ausführlicher behandelt.
4.1.2. Floors
Analog zum Kauf eines Caps sichert sich der Käufer eines Floors eine
Zinsuntergrenze. Beim Floor erhält der Käufer die Ausgleichszahlung, wenn
der Referenzzins die vereinbarte Grenze unterschreitet.
Der Kauf eines Floors garantiert einem Anleger die Mindestverzinsung einer
variablen Geldanlage (z.B. EURIBOR).
Seite 36
%
Variable Anlage zu
LIBOR
LIBOR
Strike-Preis
Feste Anlage zum
Strike-Preis
Laufzeit
Bei Unterschreitung des Strike-Preises wird eine Ausgleichszahlung in Höhe
von
Ausgleichs zahlung  (Zinsuntergrenze  EURIBOR ) *
Tage der Zinsperiod e
* Nominalbetrag
360
fällig.
Seite 37
4.1.3. Collars
Ein Collar ist die Verbindung eines Caps und eines Floors. Dabei kauft der
Käufer des Collar einen Cap und verkauft einen Floor mit gleicher Laufzeit,
gleichem Referenzzins und gleichem Nominalbetrag.
Ein Kreditnehmer als Käufer des Collars sichert sich durch den Cap eine
Zinsobergrenze für seinen variablen Kredit. Der Verkauf des Floor reduziert
seinen Prämienaufwand, von sinkenden Zinsen profitiert er aber nur noch bis
zum Strike-Preis des Floors.
Als Verkäufer eines Collars sichert sich ein Anleger durch den Floor eine
Mindestverzinsung seiner variablen Anlage. Der Verkauf des Cap reduziert
die Kosten für den Floor, an einem Zinsanstieg nimmt er nur noch bis zum
Strike-Preis des Caps teil.
%
LIBOR
maximaler
Zinssatz
Mindestzinssatz
Cap-Strike
Floor-Strike
Laufzeit
Bei entsprechender Wahl der Zinsgrenzen ergibt sich für Cap und Floor der
gleiche Preis. Der Collar ist somit kostenlos, man spricht dabei von einem
Zero-Cost-Collar.
4.2. Swaptions
Eine Swaption ist eine Option auf einen Forward-Swap. Dabei werden bei
Vertragsabschluß alle Bestandteile des Swaps definiert. Am Ausübungstag
der Swaption hat der Käufer das Recht, mit dem Verkäufer der Swaption in
die
vordefinierte
Swapvereinbarung
einzutreten.
Obwohl
jede
Swapvereinbarung denkbar ist, sind im Markt nur Swaps üblich, bei denen
feste und variable Zinsen getauscht werden. Zahlt der Käufer nach
Ausübung der Option den festen Zinssatz des Swaps, spricht man von einer
Payer-Swaption, empfängt er den Festsatz, heißt die Option ReceiverSwaption.
Seite 38
Weiter wird unterschieden zwischen „Swap-Settelment“ und „CashSettelment“. Beim Swap-Settelment gehen Käufer und Verkäufer bei
Ausübung der Option tatsächlich in die Swapvereinbarung über, während der
Käufer beim Cash-Settelment vom Verkäufer den (Bar-) Wert des Swaps
erhält.
Der Ausübungstag der Swaption ist i.d.R. zwei Arbeitstage vor Beginn der
Swaplaufzeit.
Beispiel:
Ein Bauunternehmer muß ein Angebot für den Bau einer Brücke abgeben.
Auftragswert 100 Mio. EUR. Zahlung 50% bei Baubeginn, 50% bei
Übergabe. Baubeginn in 6 Monaten, Bauzeit: 5 Jahre.
Ohne zu wissen, ob er den Zuschlag erhält, möchte der Unternehmer den
Kreditzins sichern, um eine verläßliche Kalkulation machen zu können. Eine
echte Kreditaufnahme kommt nicht in Frage, da er für 6 Monate
Bereitstellungsprovision bezahlen müßte.
Er entschließt sich zum Kauf einer Swaption (Option auf einen Zinsswap).
Dadurch hat er das Recht in 6 Monaten ohne weitere Kosten in ein
Swapverhältnis einzutreten, bei dem er den Festsatz von 4,25% bezahlt.
Für diese Option bezahlt er eine einmalige Prämie von 1,60% des
Nominalbetrags.
Szenario 1: Der Unternehmer erhält den Zuschlag nicht
a) Der 5-Jahresswapsatz ist unter 4,25%. Die Option verfällt wertlos. Es
entstanden Kosten in Höhe der Optionsprämie.
b) Der 5-Jahresswapsatz liegt über 4,25%. Die Option wird ausgeübt, der
Swap hat einen positiven Marktwert und wird verkauft.
Ergebnis: Swaperlös abzüglich Optionprämie.
Szenario 2: Der Unternehmer erhält den Zuschlag
a) Der 5-Jahresswapsatz ist unter 4,25%. Die Option verfällt wertlos. Es
entstanden Kosten in Höhe der Optionsprämie. Dafür kann er sich im
Markt zu einem Satz unter den kalkulierten 4,25% finanzieren.
b) Der 5-Jahresswapsatz liegt über 4,25%. Die Option wird ausgeübt, der
Swap beginnt zu laufen. Parallel hierzu nimmt er einen variablen Kredit
auf.
Seite 39
4,25%
Unternehmer
Swap-Partner
(Bank)
6-Monats-EURIBOR
6-Monats-EURIBOR
var. Kredit
Seite 40
4.3. Einflußfaktoren auf Optionspreise
Der Preis jeder Option setzt sich zusammen aus innerem Wert und Zeitwert.
Der innere Wert ist die Differenz zwischen dem Ausübungspreis der Option
(Strike-Preis) und dem aktuellen Preis des Basiswertes. Ist die Differenz
negativ, ist der innere Wert 0.
Da Caps und Floors aus mehreren Optionen bestehen, ist der Basiswert
jeder Option der jeweilige Forwardzinssatz des Referenzzinses. Die CapOption hat einen positiven inneren Wert, wenn der Forwardzinssatz über
dem Strike-Preis liegt. Die Floor-Option hat einen positiven inneren Wert,
wenn der Forwardzinssatz unter dem Strike-Preis liegt.
Die Swaption hat einen positiven inneren Wert, wenn der Barwert des
Swaps positiv ist.
Vereinfacht ausgedrückt ist der innere Wert positiv, wenn die Option bei
Eintreffen der durch die Forwardkurve unterstellten Zinssätze zur Ausübung
kommen würde.
Ist der innere Wert positiv, ist die Option „in-the-money“. Ist der innere
Wert 0, ist die Option „out-of-the-money“. Am Übegang von „out-„ zu
„in-the-money“ ist die Option „at-the-money“. Ist eine Option am
Ausübungstag „at-the-money“ bringt eine Ausübung weder Vor- noch
Nachteile, da Referenzzins und Strike-Preis identisch sind.
Der Zeitwert einer Option nimmt mit abnehmender Restlaufzeit ab (Vgl.
Abb. 8). Der Zeitwert wird in erster Linie durch die Volatilität des
Zeitwert einer „at-the-money“ Option
Basiswertes bestimmt. Die Volatilität
mißt die Schwankungsbreite des
Basiswertes bis zum Ende der
Laufzeit (auf die Volatilität wird in
Kap. 4.3.3. näher eingegangen).
Restlaufzeit
0
Abb. 8: Zeitwert einer Option mit abnehmender
Restlaufzeit
Der Zeitwert einer Option ist „atthe-
money“ am größten.
Der Preis einer
Basiswerts (bei
Restlaufzeit, von
Strike-Preis und
Option ist in erster Linie abhängig von der Höhe des
Zinsoptionen also vom Verlauf der Forwardkurve), von der
der Volatilität des Basiswertes (des Referenzzinses), vom
nicht zuletzt vom zugrunde liegenden Nominalbetrag.
Seite 41
Veränderung von...
Referenzzins 
Volatilität 
Strike-Preis 
Nominalbetrag 
Restlaufzeit 
Cap





Verändert den Preis des/der ...
Floor Payer-Swaption
Receiver-Swaption















Tab. 3: Einflußfaktoren auf Optionspreise
Bei Caps und Floors muß jede Option pro Periode einzeln betrachtet
werden. Der Strike-Preis einer Swaption ist der Festsatz des Swaps,
während der Referenzzins den Forwardzins der variablen Seite des Swaps
beschreibt.
4.3.1. Feststellung
Scholes“ 8
eines
Optionspreises
nach
„Black-
Aus dem binomialen Optionspreismodell nach „Cox-Ross-Rubinstein“ ist das
Optionspreismodell von Fisher Black und Myron Scholes hervorgegangen und
stellt die wohl bekannteste und am häufigsten Angewandte Theorie zur
Herleitung eines Optionspreises dar.
Unter Berücksichtigung der fünf wichtigsten Einflussfaktoren des Preises einer
europäischen Option - Basiswert, Strike-Preis, Restlaufzeit, Zinssatz und
Volatilität - lässt sich mit Hilfe dieser Formel ein theoretischer Wert exakt
ermitteln.
Black und Scholes versuchen abzuschätzen, welcher Preis des Basiswertes
bei Optionsverfall der wahrscheinlichste ist, um einen Anhaltspunkt für den
Wert der Option zu gewinnen. Dabei wird jeder mögliche Preis mit einem
Gewicht bedacht, das proportional der aus seiner Wahrscheinlichkeitsverteilung
hervorgehenden Wahrscheinlichkeit ist. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung des
Basiswertes
ordnet
unterschiedlichen
Preisen
verschieden
große
Eintrittswahrscheinlichkeiten zu.
4.3.1.1. Delta
8
Vgl.: Uszczapowski, Igor: Optionen und Futures verstehen; Deutscher Taschenbuch Verlag
1999; S. 124ff.
Seite 42
Durch Ableitung der Black-Scholes-Formel nach dem Preis des Basiswerts
erhält man das Delta.
Der Wert des Deltas gibt an, um wie viel Prozent sich der Optionspreis
verändert, wenn sich der Preis des Basiswertes um eine Einheit ändert vorausgesetzt, daß sich
1
keiner
der
anderen
Faktoren, die das BlackBei abnehmender Scholes-Modell
0,5
berücksichtigt, ändert. In
Restlaufzeit
Bereichen
„out-of-themoney“ strebt das Delta
0
gegen 0, während es
„at-the-money“
„in-the-money“ gegen 1
Abb. 9: Delta einer Option
strebt. „at-the-money“ ist
das Delta exakt 0,5.
Mit abnehmender Restlaufzeit strebt das Delta immer stärker gegen 0 bzw.
1, bis es am Verfalltag der Option ausschließlich diese Werte annimmt. Bei
Optionen, die an Wert gewinnen, wenn der Basiswert fällt (Puts, Floors),
nimmt das Delta Werte zwischen 0 und -1 an.
Mit Hilfe des Delta errechnet sich das Hedge-Ratio, das aussagt, wieviele
Optionen benötigt werden, um eine Position des Basiswertes gegen
Kursänderungen abzusichern. Das Hedge-Ratio ist der Kehrwert des Deltas.
Hat eine Option ein Delta von -0,5, benötigt man exakt 2 Optionen um
den Basiswert gegen Kursverluste abzusichern. Sinkt der Kurs des
Basiswerts um 1 steigt eine Option um 0,5. Mit zwei Optionen hat man
also den Kursverlust exakt ausgeglichen.
4.3.1.2. Gamma
Da sich der Wert des Deltas an jedem Punkt der Kurve ändert, ist es
notwendig, zur Absicherung des Basiswertes die Anzahl der Optionen
sukzessive
dem
sich
verändernden
Delta
anzupassen.
Das
Gamma
Bei abnehmender
misst dabei die Steigung des
Restlaufzeit
Deltas
und
damit
die
Veränderung des Deltas, wenn
sich der Basiswert ändert. Ein
at-the-money
Seite 43
Abb. 10: Gamma einer Option
Gamma von 0,1 heißt demnach, dass das Delta um 0,1 steigt, wenn der
Basiswert um 1 steigt. „At-the-money“ ist das Gamma am größten. Mit
abnehmender Restlaufzeit wird das Gamma „at-the-money“ größer.
Seite 44
4.3.1.3. Theta
Das Theta bezeichnet die Verringerung des Optionspreis, wenn sich die
Restlaufzeit um einen Tag verkürzt. Wie aus Abb. 8 des Zeitwerts zu
ersehen ist, nimmt das Theta mit zunehmender Restlaufzeit zu. Ein Theta
von 0,3 heißt, dass der Optionspreis in einem Tag 0,3 geringer ist, ceteris
paribus.
4.3.1.4. Vega
Vega bezeichnet die Veränderung des Optionspreises, bei Veränderung der
Volatilität. Die Volatilität bezeichnet die Standardabweichung des Basiswerts.
Die Volatilität wird in Prozent gemessen. Ein Vega von 0,2 bei einer
Volatilität von 14% sagt also aus, dass der Optionspreis um 0,2 steigt,
wenn die Volatilität von 14% auf 15% steigt. Optionen reagieren im
allgemeinen sehr stark auf Volatilitätsveränderungen. Daher kommt der
richtigen
Schätzung
der
Standardabweichung
bei
der
Preisfindung
entscheidende Bedeutung zu. Die Auswirkung ist am stärksten, wenn die
Option „at-the-money“ ist bzw. Bei langer Restlaufzeit.
4.3.1.5. Rho
Das Rho sagt aus, um wie viel Prozent sich der Optionspreis verändert,
wenn sich der risikolose Zinssatz für die Optionslaufzeit verändert. Allgemein
ist Rho eine weniger bedeutsame Größe im Optionspreismodell.
Zinsänderungen müssen schon gravierend ausfallen, um über das Rho
großen Einfluss auf den Optionspreis zu haben. Bei Zinsoptionen ist
allerdings der Basiswert ein Zinssatz. Somit haben Zinsänderungen über alle
anderen Maßgrößen Einfluss auf den Optionspreis, insbesondere wenn der
Zinssatz um den Strike-Preis der Option schwankt („at-the-money“).
4.3.2. Volatilität
Die meisten Variablen, die den Optionspreis beeinflussen, sind relativ leicht
zu ermitteln, bzw.
die Fehler bei einer Schätzung führen nicht zu
besonders
gravierenden
Veränderungen
den
Preises.
Die
einzig
problematische Einflussgröße ist letztlich die Volatilität. Um eine Option
richtig zu bewerten, müsste die Volatilität des Basiswertes während der
Seite 45
Optionsperiode bekannt sein. Da dies unmöglich ist, bildet die erwartete
Volatilität für den Zeitraum den eigentlichen Preis der Option9.
9
Heidorn, Thomas: Vom Zins zur Option; Gabler Verlag; Wiesbaden 1994; S. 122
Seite 46
4.3.2.1. Historische Volatilität
Die historische Volatilität bezeichnet die Standardabweichung des Basiswertes.
Sie kann aus historischen Daten mit Hilfe der Stochastik errechnet werden
und misst die durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert. Mit Hilfe der
historische Volatilität lässt sich also eine exakte Aussage über die
durchschnittliche Schwankungsbreite des Basiswertes in der Vergangenheit
treffen. Obwohl ihre Größe genau zu bestimmen ist, kann sie im
Optionspreismodell nicht sinnvoll eingesetzt werden, da hierfür die erwartete
Volatilität für die Restlaufzeit gesucht wird.
4.3.2.2. Implizite Volatilität
So vorteilhaft Optionspreismodelle sein mögen, sie stellen immer den
theoretischen Wert einer Option dar. Der einfachste Weg, den Wert einer
Option zu erfahren, ist immer noch, die Option im Markt anzubieten oder
nachzufragen. Denn ein Prinzip gilt immer: Angebot und Nachfrage
bestimmen den Preis. Hat man erst einmal den Preis, kann man durch
Umformung der Black/Scholes-Formel die Volatilität errechnen. Das Ergebnis
ist die implizite Volatilität, sie bezeichnet die Volatilität, mit der die Option
im Markt gehandelt wird.
Sucht man nun einen Preis für eine Option, die im Markt nicht oder nur
wenig gehandelt wird, ist die implizite Volatilität auf diese Art nicht oder nur
ungenügend zu ermitteln. Daher ist es ratsam, die implizite Volatilität von
Optionen mit ähnlicher Ausstattung aber höherer Liquidität zu ermitteln und
durch Interpolation der erhaltenen Volatilitäten die Volatilität der gesuchten
Option für die Preisfindung zu errechnen.
4.4. Optionsarten
In Verbindung mit Optionen hört man oft europäischer und amerikanischer
Typ. Dahinter verbergen sich Aussagen über die unterschiedliche
Ausübungsmöglichkeit von Optionen. Europäische Optionen können vom
Käufer nur am Verfalltag ausgeübt werden, während amerikanische Optionen
täglich bis zum Verfalltag ausgeübt werden können. Europäisch und
amerikanische heißt nun aber nicht, dass alle Optionen, die in Europa
gehandelt werden Optionen europäischen Typs sind und alle in den U.S.A.
gehandelten amerikanisch! Einen weiteren Optionstyp stellen die BermudaSeite 47
Optionen dar. Die Ausübung von Bermuda-Optionen kann an mehreren
Zeitpunkten bis zum Verfalltag erfolgen (z.B. jeden 1. im Monat, jeden
Mittwoch, usw.) Die Namensfindung kam wohl daher, daß dieser Optionstyp
in der Mitte zwischen amerikanischen und europäischen Optionen liegt - und
was liegt zwischen Europa und Amerika?
4.5. Mit Hilfe der digitalen Option zu Optionen der 2.
Generation
Beim
Standard
Cap
richtet
sich
die
2,00 %
Auszahlung dynamisch nach der
Differenz zwischen StrikePreis und Referenzzins.
1,50 %
breakeven
1,00 %
0,50 %
0,00 %
3,00%
4,00%
5,00%
6,00%
7,00%
8,00%
Bei der Digitalen Option
beträgt
der
Auszahlungsbetrag entweder
0 oder 1 (oder ein
Vielfaches davon).
-0,50 %
Während
der
Auszahlungsbetrag
beim
Abb. 11: P&L Profil einer Standard-Call Option
Standard-Call
erst
am
break-even die eingesetzte Prämie übersteigt, ist der Auszahlungsbetrag der
digitalen Option immer größer als die eingesetzte Prämie.
-1,00 %
Gerade wegen Ihrer unstetigen pay-off Funktion ist die digitale Option,
insbesondere im Bereich „at-the-money“ extrem schwer zu hedgen10.
10
Scharpf, Paul; Luz, Günther: Risikomanagement, Bilanzierung und Aufsicht von
Finanzderivate; Schäffer-Poeschel Verlag; Stuttgart 1996; S. 285
Seite 48
Digitale Optionen werden nur sehr selten alleine gehandelt. Meist treten sie
in Kombination mit Long- und Short-Positionen von Standardoptionen oder
Optionskombinationen auf. 2,00 %
Oftmals wird die digitale
Option
dabei
verkauft 1,50 %
(Stillhalterposition)
um 1,00 %
den Prämienaufwand der
gekauften Option(en) zu 0,50 %
verringern. Dadurch wird 0,00 %
3,00%
4,00%
5,00%
6,00%
7,00%
8,00%
ein Teil der Sicherung
-0,50 %
wieder aufgegeben.
-1,00 %
Die
meisten
exotischen
Abb. 12: P&L Profil einer digitalen Call Option
Optionen
haben
ihren
Ursprung im Handel mit Devisen- oder Aktienoptionen. Manche von ihnen
sind daher im Zinsderivatebereich nicht sehr verbreitet.
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