Aktienanalyse

Nach einem Vortrag
von
Lucia Del Chicca und
Markus Hohenwarter
ÖMG-Tagung
25 April 2014
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
Die Problemstellung
Es ist allgemein bekannt, dass wenn wir ein bestimmtes Kapital
zur Verfu
¨gung haben, es besser ist dieses in unterschiedliche
Finanzprodukte zu investieren, anstatt nur in ein Einziges (die
sogenannte Diversifikation). Bei einer gegebenen Menge von
Finanzprodukten, stellen sich einige Fragen wie:
In welche davon sollte man investieren?
Wie sollte man das Kapital am besten aufteilen?
Und vor allem: Gibt es eine Kombination von Finanzprodukten
die besser ist als alle anderen?
.,.
Motivation
..,
Der Fall von 2 Finanzprodukten l¨asst sich mit den
mathematischen Kenntnissen der Oberstufe vollst¨andig
l¨osen
..,
Der allgemeine Fall von n Finanzprodukten kann im
Rahmen eines Projektes bzw. einer Projektarbeit
behandelt werden (dazu braucht man die Methode des
Lagrange-Multiplikators)
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
Wir haben zur Verfu
¨gung:
.,. Kapital = 1
.,. A1 ,A2 ,...,An Finanzprodukte
Frage:
In welche dieser Anlagem¨oglichkeiten oder deren
Kombinationen sollen wir investieren?
Gibt es “bessere” und “schlechtere” Finanzprodukte?
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
ZIEL einer Investition: so viel wie m¨oglich gewinnen mit so
wenig wie m¨oglich Risiko.
Eine “gute” Investmentstrategie ist eine mit großer
erwarteter Rendite und geringem Risiko.
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2 “Gr¨oßen” fu
¨r die Finanzprodukte:
.,.
Erwartete Rendite (erwarteter Gewinn, Trend) µ
entspricht dem gesch¨atzten Wert, den das
Finanzprodukt zu einem bestimmten Zeitpunkt in der
Zukunft haben wird
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
2 “Gr¨oßen” fu
¨r die Finanzprodukte:
.,.
Erwartete Rendite (erwarteter Gewinn, Trend) µ
entspricht dem gesch¨atzten Wert, den das
Finanzprodukt zu einem bestimmten Zeitpunkt in der
Zukunft haben wird.
Volatilit¨at σ stellt das Risikomaß eines Finanzproduktes
dar.
.,.
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
Jedem Finanzprodukt Ai mit i = 1,...n k¨onnen wir ein Paar
(σi ,µi )
zuordnen und in einem Trend-Volatilit¨ats-Diagramm
eintragen
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5 Finanzprodukten in Trend-Volatilit¨atsDiagramm
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DEFINITION:
.,.
Risikoloses Finanzprodukt: bei dem wir, unter normalen
Voraussetzungen, in jedem Moment den Wert des
Produktes fu
¨r jeden Zeitpunkt in der Zukunft exakt
berechnen k¨onnen
.,.
Risikobehaftetes Finanzprodukt: bei dem wir
gegenw¨artig nicht exakt berechnen k¨onnen, welchen
Wert es zu einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft
haben wird
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In Hinsicht auf den Trend-Volatilit¨ats-Ansatz k¨onnen wir in
manchen F¨allen bereits klar sagen, dass eine Investition in
eine bestimmte Aktie gegenüber der in eine andere zu
bevorzugen ist.
Frage: Wie sieht es aber mit Kombinationen von
Finanzprodukten aus?
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DEFINITION:
Eine Kombination von verschiedenen Finanzprodukten
heißt Portfolio (von Finanzprodukten).
Um von Rendite und Volatilit¨at eines Portfolios zu
sprechen, brauchen wir eine zus¨atzliche Gr¨oße:
Korrelation
.,.
Korrelation ist ein Maß fu
¨r den Zusammenhang zweier
Aktien, hat immer einen Wert zwischen − 1 und 1
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Notationen:
A1 ,A2 ,...,An
µ1 ,µ2 ,...,µn
σ1 ,σ2 ,...,σn
ρij = Korr(Ai ,Aj )
Aktien zur Verfu
¨gung
erwartete Renditen von A1 ,A2 ,...,An in
einem bestimmten Zeitpunkt in der
Zukunft
Volatilit¨aten von A1 ,A2 ,...,An in
einem bestimmten Zeitpunkt in der
Zukunft Korrelation von Ai und Aj
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Sei Y das allgemeine Portfolio Kombination von A1 ,...,An
Y = x1 A1 + x2 A2 + ... + xn An
wo xi = Anteil des Kapitals, das in Ai investiert wird (i = 1,...,n).
Als Nebenbedingung gilt also:
x1 + x2 + ... + xn = 1
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Fu
¨r Y ist
µY = x1 µ1 + x2 µ2 + ... + xn µn
und
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Wo befindet sich das allgemeine Portfolio Y mit den
Koordinaten (σY ,µY )?
Betrachten wir als erstes den Fall zweier Aktien:
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Kombinationen aus 2
Aktien Seien:
¨gung
A1 ,A2 Aktien zur Verfu
erwartete Renditen von A1 ,A2 in einem
µ1 ,µ2
bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft
Volatilit¨aten von A1 ,A2 in einem bestimmten
σ1 ,σ2
Zeitpunkt in der Zukunft
ρ12
Korrelation von A1 und A2
(wir betrachten den allgemeinen Fall − 1 < ρ12 <
1) Kapital zur Verfu
¨gung
1
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2 Aktien in Trend-Volatilit¨ats-Diagramm
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Sei Y das allgemeine Portfolio Kombination von A1 und
A2 Y = x1 A1 + x2 A2 = tA1 + (1 − t)A2
wo t = Anteil des Kapitals, das in A1 investiert wird
(σY ,µY ) =
GeoGebraBook Aktienportfolio:
http://ggbtu.be/b110094
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Konvexe Kurve aller Portfolios aus A1 und
A2
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Opportunity Set und Portfolio mit minimaler Volatilit¨at
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Efficient Border
(Effizienzlinie)
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Kombinationen aus 5
Aktien
Seien:
A1 ,A2 ,A3 ,A4 ,
A5
µ1 ,µ2 ,µ3 ,µ4 ,µ5
σ1 ,σ2 ,σ3 ,σ4 ,σ5
ρij
1
Aktien zur Verfu
¨gung
erwartete Renditen von Ai ,...,An in
einem bestimmten Zeitpunkt in der
Zukunft
Volatilit¨aten von Ai ,...,An in
einem bestimmten Zeitpunkt in der
Zukunft Korrelation von Ai ,Aj mit i,j = 1,..
.,5
Kapital zur Verfu
¨gung
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5 Aktien in Trend-Volatilit¨ats-Diagramm
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Sei Y das allgemeine Portfolio Kombination von Ai mit
i = 1,...,5
Y = x1 A1 + x2 A2 + x3 A3 + x4 A4 + x5 A5
mit x1 ,...,x5 Anteile von Kapital die in A1 ,...,A5 investiert
sind (σY ,µY ) =
GeoGebraBook Aktienportfolio:
http://ggbtu.be/b110094
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Opportunity Set der Kombination von 5
Aktien
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Wo liegen die “besten”
Portfolios?
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Effizienzlinie und Portfolio mit minimaler Volatilit¨at
der Kombination von 5 Aktien
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Literatur:
1. Hull, J. (2011). Risikomanagement. Banken,
Versicherungen und andere Finanzistitutionen. Pearson.
2. Schnid, F., Trede, M. (2006). Finanzmarktstatistik.
Springer.
3. Sharpe, W.F., Alexander, G.J. (1990).
Investments. Prentice-Hall International Editions.
4.Sydsaeter, K., Hammond, P. (2004). Mathematik
fu
¨r Wirtschaftswissenschaftler. Pearson Studium.
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