Zeitreihenanalyse und Prognoseverfahren Literatur Newbold & Bos, Introductory Business Forecasting (2nd ed.), Cincinnati: South Western Publ., 1994 Abraham & Ledolter, Statistical Methods of Forecasting, New York: Wiley, 1983. Zeitreihen in regelmäßigen Zeitabständen genommene Beobachtungen y1, y2, …, yt, …, (yn) eines Merkmals Y Beispiele jährliche Investitionen eines Unternehmens die wöchentlichen Umsätze einer Supermarkt-Kette die täglichen Börsenkurse einer Aktiengesellschaft 5.11.2003 Prognoseverfahren 2 Aufgaben der Zeitreihenanalyse Beschreibung der Zeitreihe Prognose Erklärung der Datengenerierung 5.11.2003 Prognoseverfahren 3 Komponenten von Zeitreihen Trend Saisonale (und/oder zyklische) Schwankungen (Saisonalität) Irreguläre Schwankungen (Störterm, noise) 5.11.2003 Prognoseverfahren 4 Modelle für Zeitreihen additives Modell yt = Tt + St + Ut multiplikatives Modell yt = Tt * St * Ut mit Tt: Trend St: Saisonalität Ut: Störterm 5.11.2003 Prognoseverfahren 5 Modelle für den Trend Tt = a + b.t (linearer Trend) Tt = a + b.t + g.t2 + … (polynomialer Trend) Tt = a exp {b.t} (exponentieller Trend) Tt = a/[1 + b exp {– g.t}] (Sättigungsmodell) 5.11.2003 Prognoseverfahren 6 Schätzen der Trendkomponente Globale Anpassung: Methode der kleinsten Quadrate Lokale Anpassung: Methode der gleitenden Durchschnitte 5.11.2003 Prognoseverfahren 7 Schätzen der Saisonkomponenten Annahme eines additiven Modells Schätzung des Trends Tt Abziehen des Trends liefert (näherungsweise) St + Ut, Durchschnitt der Werte jeder Saisonkomponente gibt vorläufige Schätzer Zentrieren der Saisonkomponenten (Abziehen des Durchschnitts) 5.11.2003 Prognoseverfahren 8 Autokorrelation Autokorrelation rk: Maß für die Stärke der Abhängigkeit zwischen yt und yt+k (oder yt-k) rk = sk/s2 mit sk = S(yt-ybar)(yt+k-ybar)/n (k=0,1,2,…); ybar: Durchschnitt der yt; s2 = s0 5.11.2003 Prognoseverfahren 9 Autokorrelationsfunktion r(k) = rk, k=0,1,2,… die graphische Darstellung wird auch Korrelogramm genannt gute Hilfe zur Interpretation der Zeitreihe Hinweise auf Saisonalität Hinweise auf Trend Hinweise auf Prognosequalität 5.11.2003 Prognoseverfahren 10 Prognose oder Vorhersagen für Beobachtung yn+r: ŷn(r) n: Prognosezeitpunkt r: Prognosehorizont Prognoseintervall ŷn(r) ± c 5.11.2003 Prognoseverfahren 11 Aufgabe der Prognoserechnung Bestimmung von ŷn(r) und c 5.11.2003 Prognoseverfahren 12 Prognosemethoden Univariate Methoden exponentielles Glätten Box-Jenkins ARIMA Modelle Strukturelle Zeitreihenmodelle Multivariate Methoden Regressionsmodelle Ökonometrische Modelle (simultane Gleichungssysteme) Judgmental Methods 5.11.2003 Prognoseverfahren 13 Wahl der Prognosemethode entsprechend dem Typ der Zeitreihe: Kein Trend, keine Saisonalität Trend, keine Saisonalität Trend, Saisonalität 5.11.2003 Prognoseverfahren 14 Kein Trend, keine Saisonalität yt = m + ut m: Niveau, ut: Störterm, noise 1. Konstantes Niveau ŷn(r) = ybar für alle r 2. Variables Niveau ŷn(r) = Ln für alle r geschätztes Niveau: Ln= ayn + (1–a)Ln-1 (Methode des Exponentiellen Glättens) 5.11.2003 Prognoseverfahren 15 Exponentielles Glätten Rekursion zum „Update“ des Schätzers Ln= ayn + (1–a)Ln-1 Langschreibweise: Ln = a[yn + (1–a) yn-1 + (1–a)2 yn-2+ …] Exponentiell abnehmende Gewichte a, a(1–a), a(1–a)2, … Glättungskonstante a 5.11.2003 Prognoseverfahren 16 Beispiel y1 = 5; y2 = 4; y3 = 5; y4 = 6; y5 = 8 Anfangswert: L1 = y1 Glättungskonstante: a = 0.2 Berechnen des Niveau-Schätzers L2 = ay2 + (1-a)L1= (0.2)(4) + (0.8)(5) = 4.8 L3 = (0.2)(5) + (0.8)(4.8) = 4.84 etc. 5.11.2003 Prognoseverfahren 17 Beispiel, Forts. 9 8 7 6 y_t 5 L_t 4 yhat_t 3 2 1 0 1 5.11.2003 2 3 4 5 6 Prognoseverfahren 7 18 Korean. Exporte, 70/1-86/2 12000,0 10000,0 8000,0 6000,0 4000,0 2000,0 5.11.2003 Prognoseverfahren 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 t 0,0 19 Glättungskonstante a Bedingung für Konvergenz: 0 ≤ a ≤ 1 Übliche Werte: 0.1 ≤ a ≤ 0.3 durch Minimieren der Summe der quadrierten einstufigen Prognosefehler SSE = S [yt – ŷt-1(1)]2 5.11.2003 Prognoseverfahren 20 Glättungskonstante a, Forts Extreme Werte für a: a = 1: ŷn(r) = Ln = yn Naive Prognose, „random walk“ Prognose a = 0: ŷn(r) = Ln = (1/n)[yn + yn-1 + … + y1] gleiches Gewicht für alle Beobachtungen 5.11.2003 Prognoseverfahren 21 Trend, keine Saisonalität yt = m + b t + ut m: Niveau, b: Anstieg der Trendge-raden, ut: Störterm, noise Prognose (Exponentielles Glätten nach Holt): ŷn(r) = Ln + r Tn für alle r Ln: geschätztes Niveau Tn: geschätzte Trendkomponente 5.11.2003 Prognoseverfahren 22 „Update“ der Schätzer Ln = a1 yn + (1 – a1) [Ln-1 + Tn-1] Tn = a2 [Ln – Ln-1] + (1 – a2) Tn-1 a1, a2: Glättungskonstante 0 ≤ a1 ≤ 1, 0 ≤ a2 ≤ 1 großer Wert einer Glättungskonstanten: Betonung der neuesten Information kleiner Wert einer Glättungskonstanten: alle Beobachtungen bekommen ziemlich das gleiche Gewicht 5.11.2003 Prognoseverfahren 23 „Update“ der Schätzer, Forts. Initialisierung: L2 = y2, T2 = y2 – y1 Wahl der Glättungskonstanten durch Minimieren der Summe der quadrierten einstufigen Prognosefehler 5.11.2003 Prognoseverfahren 24 Korean. Exporte, 70/1-86/2 12000,0 10000,0 8000,0 6000,0 4000,0 2000,0 5.11.2003 Prognoseverfahren 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 t 0,0 25 Trend und Saisonalität Exponentielles Glätten nach HoltWinters Bei Monatsdaten (s = 12) ŷn(r) = [Ln + r.Tn] Sn+r-12 (r=1,…,12) = [Ln + r.Tn] Sn+r-24 (r=13,…,24) = etc. Ln: geschätztes Niveau, Tn: geschätzte Trendkomponente, Sn: geschätzte Saisonkomponente 5.11.2003 Prognoseverfahren 26 „Update“ der Schätzer Ln = a1 [yn/Sn-12] + (1–a1) [Ln-1+Tn-1] Tn = a2 [Ln–Tn-1] + (1–a2) Tn-1 Sn = a3 [yn/Ln] + (1–a3) Sn-12 a1, a2, a3: Glättungskonstante a1, a2, a3 ≤ 1 Wahl der ai: durch Minimieren der 0≤ Summe der quadrierten einstufigen Prognosefehler 5.11.2003 Prognoseverfahren 27 Prognoseintervall für ŷn(r): Berechnung aller r-stufigen Prognosefehler yr+1–ŷ1(r), yr+2–ŷ2(r), …, yn–ŷn-r(r) Varianz der Prognosefehler sr2 = S [yt – ŷt-r(r)]2 /(n – r) 95%-iges (r-stufiges) Prognoseintervall für yn+r: ŷn-r(r) ± 2sr 5.11.2003 Prognoseverfahren 28 Autoregressive Modelle AR(1)-Modell yt = b0 + b1 yt1 + ut AR(2)-Modell yt = b0 + b1 yt1 + b2 yt2 + ut AR(p)-Modell yt = b0 + b1 yt1 + ... + bp ytp + ut 5.11.2003 Prognoseverfahren 29 Analyse der AR-Modelle Identifikation, d.h. Festlegen der Ordnung p Schätzen der Parameter zum Schätzen wird LS-Schätzung verwendet Prognose 5.11.2003 Prognoseverfahren 30 AR(1)-Modell: Prognose ŷn(1) = b0 + b1 yn ŷn(2) = b0 + b1 ŷn(1) ... ŷn(r) = b0 + b1 ŷn(r-1) für r 2 mit bi: Schätzer von bi 5.11.2003 Prognoseverfahren 31 AR(2)-Modell: Prognose ŷn(1) = b0 + b1 yn + b2 yn-1 ŷn(2) = b0 + b1 ŷn(1) + b2 yn ŷn(3) = b0 + b1 ŷn(2) + b2 ŷn(1) ... ŷn(r) = b0 + b1 ŷn(r-1) + b2 ŷn(r-2) für r 3 5.11.2003 Prognoseverfahren 32