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Hans-Wolfgang Henn Warum manchmal Katzen vom Himmel fallen ... oder ... Von guten und von schlechten Modellen Übersicht 1 Die Operation “Katzen am Fallschirm” 2 Warum Modelle? 3 Winter’sche Grunderfahrungen 4 Modellieren: Chancen und Gefahren 5 Modellieren in der Schule 6 Schlusswort 1 Die Operation “Katzen am Fallschirm” 1 Die Operation “Katzen am Fallschirm” Erfolgreicher Kampf gegen Moskitos und Malaria. 1 Die Operation “Katzen am Fallschirm” Erfolgreicher Kampf gegen Moskitos und Malaria. Kakerlaken Geckos Katzen • Die rücksichtslose Abholzung in vielen Ländern. • Die Bodenversalzung aufgrund von gedankenlosen künstlicher Bewässerung. • Der Bau von Atomkraftweriden an erdbebengefährdeten Standorten. • Der unreflektierte Gebrauch neuer chemischer Substanzen. • die oft recht forschen Manipulationen mit Hilfe der Gentechnologie, Viele weitere Beispiele solch monokausalen Denkens, also schlechter Modellierung, ließen sich anführen. 2 Warum Modelle? • Modelle sind vereinfachende Repräsentationen, die nur einen gewissen, irgendwie objektivierbaren Teil der Realität berücksichtigen. • Ein einfaches Beispiel ist eine Landkarte. • Modelle sind Abbildungen von der Realität in die Mathematik. • Die Aufgabe eines Modells ist, Folgerungen für die Realität zu ziehen. • Das Modell muss irgendwohin führen. Normative Modelle z.B. Einkommensteuer, Wahlmethoden, Regeln für die Fußball-Europa-Meisterschaft …. Deskriptive Modelle Modelle, die vorhersagen (z.B. Wettervorhersage) Modelle, die erklären (z.B. woher kommt der Regenbogen?) Modelle, die beschreiben (z.B. die Entwicklung von HIV) . Normative Modelle z.B. Einkommensteuer, Wahlmethoden, Regeln für die Fußball-Europa-Meisterschaft …. Deskriptive Modelle Modelle, die vorhersagen (z.B. Wettervorhersage) Modelle, die erklären (z.B. woher kommt der Regenbogen?) Modelle, die beschreiben (z.B. die Entwicklung von HIV) . Normative Modelle z.B. Einkommensteuer, Wahlmethoden, Regeln für die Fußball-Europa-Meisterschaft …. Deskriptive Modelle Modelle, die vorhersagen (z.B. Wettervorhersage) Modelle, die erklären (z.B. woher kommt der Regenbogen?) Modelle, die beschreiben (z.B. die Entwicklung von HIV) . Normative Modelle z.B. Einkommensteuer, Wahlmethoden, Regeln für die Fußball-Europa-Meisterschaft …. Deskriptive Modelle Modelle, die vorhersagen (z.B. Wettervorhersage) Modelle, die erklären (z.B. woher kommt der Regenbogen?) Modelle, die beschreiben (z.B. die Entwicklung von HIV) • Modelle können mehr oder weniger brauchbar sein (nicht “richtig” oder “falsch”). • “Harte“ Modelle und eher “weiche” Modelle. • Modelle haben stets einen subjektiven Charakter. Sie . hängen ab von den gewählten normativen Annahmen. • Damit stets Gefahr von Mißbrauch und Mißinterpretation. 3 Winter‘sche Grunderfahrungen Heinrich Winter (1995): (GE 1) Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen oder angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur, in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen, (GE 2) mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in Sprache, Symbolen, Bildern und Formeln, als geistige Schöpfungen, als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art kennen zu lernen und zu begreifen, (GE 3) in der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten (heuristische Fähigkeiten), die über die Mathematik hinaus gehen, zu erwerben. 4 Modellieren: Chancen und Gefahren • Realitätsorientierte Themen sind kaum Teil des Mathematikunterricht. • In der didaktischen Diskussion besteht seit langem Übereinstimmung über die Wichtigkeit, Verbindungen zwischen Realität und Mathematikunterricht zu schaffen. 4 Modellieren: Chancen und Gefahren Ich sehe drei wichtige Faktoren, die die Entwicklung einer Modellierungskompetenz bei Lernenden unterstützen, aber auch entscheidend verhindern können: 4. 1 Das Problemfeld “zentrale Prüfungen”, 4.2 der Einsatz von Computern, 4.3 die professionelle Ausbildung und Motivation der Lehrkräfte. Beispiele: 4.1 Das Problemfeld ”zentrale Prüfungen” Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Baden-Württemberg , Leistungskurs Mathematik, Analytische Geometrie, 1998: Szenario mit einer innen begehbaren, senkrechten quadratischen Pyramide aus Holz. Aufgabenteil c: Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Baden-Württemberg , Leistungskurs Mathematik, Analytische Geometrie, 1998: Szenario mit einer innen begehbaren, senkrechten quadratischen Pyramide aus Holz. Aufgabenteil c: In der Pyramide ist parallel zum Boden eine Platte befestigt, die in der Mitte eine kreisförmige Öffnung mit dem Durchmesser d = 2,4 hat. Ein großer Schaumstoffball hat den Radius r = 1,5. Beim Aufräumen muss der Ball durch die Öffnung nach oben gedrückt werden. In welcher Höhe ist die Platte angebracht, wenn sie sich so weit oben wie möglich befindet und der aufbewahrte Ball entspannt in der Öffnung liegt? Volumen V 9, 4 m3 1m3 Schaumstoff wiegt etwa 40 kg, also Gewicht 380 kg Volumen V 9, 4 m3 1m3 Schaumstoff wiegt etwa 40 kg, also Gewicht 380 kg 4.2 Der Einsatz von Computern Die heutige Computer-Technologie ist für alle drei Winter’schen Grunderfahrungen gleichermaßen hilfreich und wichtig: • Der Computer ist ein mächtiges Werkzeug zur Unterstützung von Modellbildung und Simulation ( GE 1). • Der Computer kann den Aufbau von adäquaten Grundvorstellungen zu mathematischen Begriffen unterstützen,insbesondere durch dynamische Visualisierung ( GE 2). • Der Computer fördert heuristisch-experimentelles Vorgehen beim Problemlösen ( GE 3). Der Computer macht aber, was er soll – Sinnvolles und Unsinniges! Schwimm-Weltrekordzeiten (Männer) für 100 m Freistil Year Time (sec) 1912 61.6 1924 57.4 1957 54.6 1968 52.2 1972 51.22 1976 49.99 1988 48.42 1994 48.21 Vier Modellansätze (mit Hilfe des verfügbaren Regressionsbefehl): lineare Funktion y = ax+b Potenzfunktion y = axb Exponentialfunktion y = abx Logistische Funktion c y 1 e bax Year Time (sec) 1912 61.6 1924 57.4 1957 54.6 1968 52.2 1972 51.22 1976 49.99 1988 48.42 1994 48.21 Year Time (sec) 1912 61.6 1924 57.4 1957 54.6 1968 52.2 1972 51.22 1976 49.99 1988 48.42 1994 48.21 Olympische Spiele München 1972 Zunächst Messung mit drei Dezimalen: Larsson 4:31,981 McKee 4:31,983 v 100 m / 50 sek = 2 m/sek 1/100 Sekunde 2 cm 1/1000 Sekunde 2 mm 4.3 Die professionelle Ausbildung und Motivation der Lehrkräfte „sieh’ die Welt mit mathematischen Augen“ So weit, so gut! Aber selbst dieses schöne Problem kann vor lauter Begeisterung an Anwendungen und Modellierung schlecht unterrichtet werden! Zwei Beispiele: Höhe des Kalbs Höhe des Kalbs Formel Höhe des Kalbs Formel Setze die 5 Zahlen in die Formel ein und addierere 5 Modellieren in der Schule Mathematisches Modellieren: Gegenseitige Befruchtung von Mathematik und dem “Rest der Welt” Hierzu sind geeignete Lernumgebungen unabdingbare Voraussetzung. Lyn English: “rich learning experiences”, authentische Situationen, Chancen für eigene Explorationen, vielfältige Möglichkeiten für Interpretationen. Einige Beispiele: 5.1 Wer die Zahl braucht, hat die Wahl: Ideale, reale und Computer-Zahlen Die Zahlengerade ist das wichtigste Modell in der Schule: 5.1 Wer die Zahl braucht, hat die Wahl: Ideale, reale und Computer-Zahlen Die Zahlengerade ist das wichtigste Modell in der Schule: Ideale Zahlen: 2 = 2,0 = 2,00 5.1 Wer die Zahl braucht, hat die Wahl: Ideale, reale und Computer-Zahlen Die Zahlengerade ist das wichtigste Modell in der Schule: Ideale Zahlen: 2 = 2,0 = 2,00 Reale Zahlen: Intervalle, 2 2,0 Intervalle führen zur Fehlerfortpflanzung bei weiteren Rechnungen. 5.1 Wer die Zahl braucht, hat die Wahl: Ideale, reale und Computer-Zahlen Die Zahlengerade ist das wichtigste Modell in der Schule: Ideale Zahlen: 2 = 2,0 = 2,00 Reale Zahlen: Intervalle, 2 2,0 Intervalle führen zur Fehlerfortpflanzung bei weiteren Rechnungen. Computer-Zahlen: führen ihr ganz eigenes Leben! Leistungsfähigkeit der Prozessoren Fehleranalyse der implementierten Gleichkomma- Arithmetik Beispiel für die Fehlerfortpflanzung: Mathematisches Modell für das Reflexionsgesetz Einfallswinkel: [ - ; + ] Reflexionswinkel: [ - 2; + 2] Fehler nach n Reflexionen: 2n Anfangsfehler: 1 1000 0 Fehler nach 18 Reflexionen > 3600 „Beispiel für Computerzahlen“ Iterativ erzeugte Punkt-Folge (nach U. Kulisch, TU KA) Pn(xn/yn), n 0 mit P0(0/0) und x n 1 y n sgn(x n ) | 3x n 36 | , y n+1 = 11 - x n für n > 0. Berechnung der Folgenglieder mit MAPLE Rechengenauigkeit: Digits = m (m = 5, 10, 15, 20), 2000 Folgenglieder, jeweils 500 Punkten in schwarz, rot, grün und blau. Zusammenhang mit „Chaos-Bildern“! 5.2 Beispiele von der Praxis für die Praxis Wartungshäuschen CIA: China hat 1.127.519.327 Einwohner am 21. März 1991 US Postministerium: Größe der Eagle Stamp (erschienen am 29. 4. 1985) 48,768 x 43,434 Millimeter US Postministerium: Größe der Eagle Stamp (erschienen am 29. 4. 1985) 48,768 x 43,434 Millimeter 1,92 x 1,71 square inches metrische Maße (Umrechnungsfaktor 2,54) Wie hoch ist der Mount Everest? • Wie misst man die Höhe eines Berges? Wie hoch ist der Mount Everest? • Wie misst man die Höhe eines Berges? • 1852: Mount Everest höchster Berg auf der Erde mit 29.002 English feed (8840 m) Zucker-Tütchen 5.3 Prüfungen: Erfassen und Rückmelden von Kompetenzzuwachs Anwendungen und Modellbildung müssen sich auch in Prüfungssituationen widerspiegeln. Beispiel 1 (5. Klasse): Schreibe eine Aufgabe, in der 2 kg 500 g und 10 Tage vorkommen. Löse dann deine Aufgabe. Laura will 2 kg 500 g in 10 Tagen verlieren. Wie viel Gewicht muss sie an jedem Tag verlieren? Tim, ein 10 Monate altes Baby, wog vor 10 Tagen 2 kg 500 g. Jetzt wiegt er 4 kg. Um wie viel hat er zugenommen? Ein Baby wiegt 2 kg 500 g. Welches Gewicht wird es in 10 Tagen haben? (Das berechnete Resultat waren 25 kg!) Katrins Pony wiegt 2 kg 500 g. Das Pony isst 1 kg 500 g an einem Tag. Wie groß ist sein Gewicht, wenn es 1 kg 500 g 10 Tage lang isst? Laura will 2 kg 500 g in 10 Tagen verlieren. Wie viel Gewicht muss sie an jedem Tag verlieren? Tim, ein 10 Monate altes Baby, wog vor 10 Tagen 2 kg 500 g. Jetzt wiegt er 4 kg. Um wie viel hat er zugenommen? Ein Baby wiegt 2 kg 500 g. Welches Gewicht wird es in 10 Tagen haben? (Das berechnete Resultat waren 25 kg!) Katrins Pony wiegt 2 kg 500 g. Das Pony isst 1 kg 500 g an einem Tag. Wie groß ist sein Gewicht, wenn es 1 kg 500 g 10 Tage lang isst? Die Diskussion der Antworten ist ein wichtiger erster Schritt bei der mathematischen Modellbildung. Beispiel 2 (7. Klasse): Ein Waschmittelhersteller wirbt mit dem Slogan: „Unser Produkt wäscht 150% weißer“. Nimm zu dieser Aussage Stellung! Es ist unlogisch, denn 150% von was? Aber die Kunden sind überzeugt, weil es sich viel anhört. Aber eigentlich wäscht sie gar nicht weißer, denn 150% von nichts ist nichts. Der Slogan ist tückisch, denn man weiß nicht, wie weiß es vorher gewaschen hat oder wie weiß andere Produkte waschen. Der Slogan ist sinnlos, denn man kennt den Grundwert nicht. Beispiel 3 (Abschlussklausur): Wie viele Verkehrsschilder gibt es in Dortmund? 6 Schlusswort ● Reflexion darüber, was Mathematik und Welt verbindet. ● Die Wissenschaft Mathematik ist nur scheinbar objektiv. ● Ethische Fragen mathematischen Handelns. Wittmann: MATHEMATIK Mathematik Mathematik kann ohne bewusste subjektive Wertentscheidungen eine verantwortungslose Mechanisierung der Welt fördern.
