Faires Teilen in endlich vielen Schritten (für n=4)

Faires Teilen
Das „Cake-Cutting-Problem“
Heike Stolle
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1
Übersicht



Vorgehensweise für 2 Personen
Rekursiv mit Optimierung
Proportionales Teilen



Das Steinhaus-Protokoll
Das Banach-Knaster-Protokoll
Neidfreies Teilen

Das Selfridge-Conway-Protokoll
Das Brams-Taylor-Protokoll für 4 Personen

Verfahren für 4 Spieler in endlich vielen Schritten

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2
Problemfeld

Wie teile ich einen Kuchen unter beliebig vielen
Personen so auf, dass ein jeder mit seinem Stück
zufrieden und nicht neidisch auf jemand anderen ist
(d.h. proportional und neidfrei)?

Vielfältige Anwendungen in Politik, Recht etc.

Wichtig: Es geht stets um subjektive
Einschätzungen, nicht um objektive Gerechtigkeit
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3
Cast
Anton
Bert
Conrad
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Detlef
4
Verfahren für 2 Personen





„ich schneide – du wählst“
Anton schneidet und Bert wählt (als Erster) aus
Anton muss also „fair“ schneiden, so dass er auch
dann noch ein für ihn größtmögliches Stück
abbekommt, wenn Bert zuerst ein Stück wählt
Bert ist zufrieden, weil er zuerst wählen darf
Anton ist zufrieden, weil er die Größe der Stücke
bestimmen durfte und davon ausgeht, dass beide
gleich groß sind
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5
Rekursiv für n ≥ 3 Personen

Alle n Personen markieren an dem zu
teilenden Kuchen die jeweils subjektiv
wahrgenommene 1/n-Grenze
 Conrad ist zufrieden, da er
s.E. mindestens 1/n des
Kuchens erhalten hat
CB
DA
 die anderen n-1 Personen
sind auch zufrieden, da
Conrad weniger als 1/n
bekommen hat
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6
Rekursiv für n ≥ 3 Personen



Das gleiche geschieht für n-1 Personen usw., bis
noch 2 Personen übrig sind
Diese gehen nach dem Prinzip „ich schneide – du
wählst“ vor
Aufwand:
n  (n  1)  (n  2)  ...  1
n(n  1) 1

 ( n ²  n)
2
2
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O(n²)
7
Rekursiv für n ≥ 3 Personen
- optimiert

Divide and Conquer
CA
B D
n
T (n)  2T ( )  n
2
O(n log n)
CA
BD
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8
Das Steinhaus-Protokoll
Hugo Steinhaus (1887-1972)


polnischer Mathematiker,
Wissenschaftler der Lemberger
Mathematischen Schule
entwickelte Steinhaus-Moser-Notation für
große Zahlen (Kreisnotation  Notation
hoher Potenzen durch geometrische
Symbole)
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9
Das Steinhaus-Protokoll
(für n=3)
Anton schneidet
Fall 1
Fall 2
S
S
ODER
Bert setzt aus, weil er
mind. 2 Teile für fair hält
Bert kennzeichnet 2 Teile
als schlecht
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10
Das Steinhaus-Protokoll
(für n=3)
Fall 1
Bert setzt aus, weil er
mind. 2 Teile für fair hält
Conrad, Bert und Anton greifen in dieser Reihenfolge zu.
 Conrad ist zufrieden, weil er als Erster wählen darf
 Bert ist zufrieden, weil er mind. 2 Stücke für fair hält und
nach Conrad mindestens noch eines davon übrig ist
 Anton ist zufrieden, weil er geschnitten hat und davon
ausgeht, dass alle drei Stücke gleich groß sind
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11
Das Steinhaus-Protokoll
(für n=3)
Fall 2
S
Bert kennzeichnet 2 Teile
als schlecht
Fall 3
S
ODER
Conrad setzt aus, weil
er mind. 2 Stücke für
fair hält (ohne
Berücksichtigung von
Berts Meinung)
S
S
Conrad kennzeichnet 2
Teile als schlecht
(ohne Berücksichtigung
von Berts Meinung)
Bert, Conrad und Anton greifen in dieser Reihenfolge zu
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12
Das Steinhaus-Protokoll
(für n=3)
Fall 3
S
S
Conrad kennzeichnet 2
Teile als schlecht
Anton nimmt ein doppelt gekennzeichnetes Stück
(dieses finden sowohl Bert als auch Conrad unfair,
denken also, es sei kleiner als 1/3)
Die beiden anderen Stücke werden vereinigt; Bert und
Conrad teilen sich diesen Rest des Kuchens nach dem
Prinzip „Ich schneide – du wählst“ (der ihrer Meinung
nach ≥2/3 groß ist).
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Das Steinhaus-Protokoll
(für n=3)
Das Verfahren ist zwar proportional,
aber nicht neidfrei.
Das heißt, es gibt Fälle, in denen eine Person glaubt, sie
habe einen fairen Anteil erhalten, aber eine andere Person
sei besser behandelt worden.
Bsp.:
Wenn Bert die Stücke als 1/2, 1/3 und 1/6 des gesamten Kuchens
einschätzt, könnte in seinen Augen Conrad (der zuerst wählen darf)
das 1/2-große Stück bekommen, während er selbst nur 1/3 bekommt.
 gesucht ist ein proportionales, neidfreies Verfahren für
beliebig viele Personen
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Das Banach-KnasterProtokoll
Stefan Banach (1892-1945)




polnischer Mathematiker, Hauptvertreter
der Lemberger Mathematischen Schule
Fourier-Reihen zusammen mit Steinhaus
Maßtheorie
Funktionalanalysis
Bronisław Knaster (1893-1990)


polnischer Mathematiker, Professor in
Lwow und Wroclaw
Maßtheorie (Schnitttheorie der Ebene:
zweifach zusammenhängende KnasterKuratowski-Menge)
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Das Banach-KnasterProtokoll
n Personen S1, S2, … Sn
Beispiel: n=4
S1
Anton schneidet faires Stück (¼) ab
S2
ODER
Bert findet Antons Stück
fair und setzt aus.
Bert findet Antons Stück zu groß
und macht es nach seiner
Auffassung fair, indem er es
verkleinert.
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Das Banach-KnasterProtokoll
Conrad hat ausgesetzt, weil er Stück
für fair hielt.
S4
Detlef hält das Stück ebenfalls für fair
und setzt aus.
Das Stück geht an denjenigen, der das Stück als Letzter
beschnitten hat, im Beispiel also an Bert.
Hätten alle Personen nach S1 das Stück nicht
beschnitten, wäre es an S1 gegangen.
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Das Banach-KnasterProtokoll
Bert ist zufrieden, da er das Stück nach seinen
Vorstellungen beschnitten hat. Er scheidet
mitsamt seinem Stück aus.
Alle anderen wiederholen das Verfahren mit n-1
Personen und einem Kuchen, der in ihren Augen
mind. noch (n-1)/n des ursprünglichen Kuchens
ausmacht.
Dieses Verfahren funktioniert proportional für
beliebig viele Spieler, ist aber auch nicht
neidfrei.
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Das Selfridge-ConwayProtokoll (für n=3)
John Selfridge


amerikanischer Mathematiker, University of
Illinois und Northern Illinois University
forscht auf dem Gebiet der analytischen
Zahlentheorie und zum Sierpiński-Problem
John Horton Conway


englischer Mathematiker, Princeton
University
analytische Zahlentheorie, Begründer der
kombinatorischen Spieltheorie
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19
Das Selfridge-ConwayProtokoll (für n=3)
Anton schneidet den Kuchen in 3 (faire) Teile
ODER
Bert setzt aus, weil er glaubt,
dass mind. 2 Stücke gleich
groß und nicht kleiner als das
3. seien.
Bert beschneidet das größte
Stück so, dass der erste Fall
eintritt. (Der Rest kommt zur
Seite.)
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20
Das Selfridge-ConwayProtokoll (für n=3)
Conrad, Bert und Anton nehmen nun in dieser
Reihenfolge je ein Stück.



Conrad darf als Erster wählen und ist daher
zufrieden.
Wenn Bert vorher ein Stück beschnitten hat, muss
er dieses nehmen oder das andere, was er aber für
genauso groß hält.
Anton nimmt das übrige Stück und ist damit
zufrieden, da er alle drei Stücke für gleich groß oder
– falls Bert ein Stück beschnitten hat – seins für
eines der größten Stücke hält.
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21
Das Selfridge-ConwayProtokoll (für n=3)



Wenn Bert die Aufteilung von Anton im
zweiten Schritt für fair hielt, gibt es keinen
Rest und wir sind fertig.
Wenn nicht, muss noch der Rest aufgeteilt
werden.
Die Person, die nicht das beschnittene Stück
aus der Vorrunde genommen hat (also
entweder Bert oder Conrad), ernennen wir
zum Schneider, die andere ist der NichtSchneider.
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Das Selfridge-ConwayProtokoll (für n=3)


Der Schneider darf den Rest des Kuchens in
3 für ihn gleich große Häufchen teilen.
Anton hat dem Nicht-Schneider (der das
beschnittene Stück bekommen hat) ggü.
einen „uneinholbaren Vorsprung“: Das
beschnittene Stück ist in Antons Augen auf
jeden Fall kleiner als sein eigenes, so dass er
nicht neidisch sein kann, auch wenn der
Nicht-Schneider den gesamten Rest
bekommt.
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23
Das Selfridge-ConwayProtokoll (für n=3)

Nicht-Schneider, Anton und Schneider greifen in
dieser Reihenfolge zu.

Der Nicht-Schneider wählt zuerst und kann daher
nicht neidisch sein.
Anton ist wegen seines uneinholbaren Vorsprungs
nicht neidisch auf den Nicht-Schneider. Da er vor
dem Schneider wählen darf, sieht er sich auch
diesem ggü. im Vorteil.
Der Schneider kann auch nicht neidisch sein, da er
den Rest aufgeteilt hat.


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Das Selfridge-ConwayProtokoll (für n=3)

Das Verfahren ist proportional und neidfrei,
jedoch nur auf 3 Personen anzuwenden.
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Das Brams-Taylor-Protokoll
(für n=4)
Steven Brams


Politikwissenschaftler an der New York
University
Spieltheorie, Neue politische Ökonomie
(politische Strukturen werden auf Basis
neoklassischer Wirtschaftstheorien erklärt)
Alan Taylor


amerikanischer Mathematiker am Union
College in Schenectady
Mengenlehre, mathematische
Politikwissenschaft, Faires Teilen
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26
Das Brams-Taylor-Protokoll
(für n=4)
Anton schneidet den Kuchen in 5 Teile
Bert beschneidet, falls nötig, ein oder
zwei Stücke so, dass 3 gleiche größte
Stücke entstehen (der Rest kommt
auf die Seite).
Conrad beschneidet, falls nötig,
ein Stück so, dass zwei gleich
größte Stücke entstehen.
Detlef, Conrad, Bert und Anton greifen in dieser Reihenfolge
zu.
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27
Das Brams-Taylor-Protokoll
(für n=4)
Wenn Bert Stücke beschnitten hat, muss er
eins davon nehmen (wenn noch verfügbar).
Gleiches gilt für Conrad.
Die abgeschnittenen Teile werden mit dem
fünften Stück vereint, auf das das Verfahren
erneut angewandt wird.
Das Verfahren ist proportional, neidfrei, für
n=4 Personen, aber nicht terminiert.
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28
Faires Teilen in endlich
vielen Schritten (für n=4)
William S. Zwicker
 amerikanischer Mathematiker
am Union College in
Schenectady
 Mengenlehre,Spieltheorie,
Faires Teilen
Fred Galvin
 amerikanischer Mathematiker
am Union College in
Schenectady
 Mengenlehre, Kombinatorik
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Protokoll
entwickelt
zusammen
mit Alan
Taylor
29
Faires Teilen in endlich
vielen Schritten (für n=4)
Bert teilt den Kuchen in 4 Stücke und gibt
jedem (einschließlich sich selbst) eines.
Anton, Conrad und Detlef werden der Reihe nach gefragt,
ob sie dieser Verteilung widersprechen (was sie tun,
wenn sie wegen eines anderen Stückes neidisch sind).
Widerspricht keiner, ist die Aufteilung beendet.
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30
Faires Teilen in endlich
vielen Schritten (für n=4)
Wert(A)= a
A
B
Wert(B)= b
Anton hat B, will aber A: a>b
Anton benennt eine ganze Zahl p≥10
p soll folgende Eigenschaft haben: Wenn A irgendwie in p Teile
zerteilt wird, bevorzugt Anton A gegenüber B selbst dann, wenn die 7
kleinsten Teile von A weggenommen werden.
Das kann Anton erreichen, wenn
7a
p
a b
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31
Faires Teilen in endlich
vielen Schritten (für n=4)
Bert teilt A und B in jeweils p Stücke auf, die er für gleich
groß hält.
Anton wählt die 3 kleinsten Stücke von B  S1, S2 und S3.
Anton wählt außerdem die 3 größten Stücke von A (wenn
er sie für echt größer als das größte S-Stück hält) oder
beschneidet 2 Stücke, so dass dieser Fall eintritt.  T1,
T2 und T3
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32
Faires Teilen in endlich
vielen Schritten (für n=4)
Conrad nimmt die 6 S- und T-Stücke
- und setzt aus, wenn er die beiden größten unter ihnen
für gleich groß hält,
- oder er beschneidet eines, um diesen Zustand
herbeizuführen.
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33
Faires Teilen in endlich
vielen Schritten (für n=4)
Detlef, Conrad, Bert und Anton nehmen in dieser
Reihenfolge nun jeweils eines
der 6 Stücke.
Conrad muss das Stück nehmen, dass er vorher
beschnitten hat (wenn es noch verfügbar ist).
Bert muss ein S-Stück nehmen.
Anton muss ein T-Stück nehmen.
Freie Universität Berlin | SoSe 2008 | Seminar über Algorithmen
34
Faires Teilen in endlich
vielen Schritten (für n=4)


Bisher ist die Zuordnung neidfrei
Anton hält sein Stück für echt größer als
Berts, um den Betrag x.
Jedoch ist ein erheblicher Rest übrig:
C
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D
35
Faires Teilen in endlich
vielen Schritten (für n=4)

Anton nennt eine ganze
Zahl q, so dass
4 q
L( )  x
5
Dies ist nötig, um die folgende Sequenzwiederholung zu begrenzen.
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36
Faires Teilen in endlich
vielen Schritten (für n=4)
Anton teilt die Überbleibsel in 5 Stücke
Bert beschneidet ggf. bis zu 2 Stücke, um 3 gleich
große größte Stücke zu erhalten.
Conrad beschneidet ggf. eines der Stücke, um 2
gleich große größte Stücke zu erhalten.
Detlef, Conrad, Bert und Anton greifen in dieser
Reihenfolge zu.
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37
Faires Teilen in endlich
vielen Schritten (für n=4)



Dieser Vorgang der Resteverteilung wird
noch (q-1) mal wiederholt, immer wieder mit
den Überbleibseln der Vorrunde.
Nun liegt eine neidfreie Zuordnung vor.
Anton hat einen uneinholbaren Vorsprung
ggü. Bert: Er hält seinen Anteil für größer als
Berts plus aller Reste, da er selbst ein
größtes T-Stück von dem Stück B und Bert
„nur“ ein kleinstes S-Stück von Stück A mit
b>a bekommen hat.
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38
Faires Teilen in endlich
vielen Schritten (für n=4)

Wir notieren das Paar (Anton, Bert) als ersten
Eintrag in eine Liste, in der wir jedes Paar
festhalten, dessen erstgenannte Person
einen uneinholbaren Vorsprung ggü. der
zweitgenannten haben.
Es kann vorkommen, dass sowohl (Anton,
Bert) als auch (Bert, Anton) in der Liste
stehen.
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39
Faires Teilen in endlich
vielen Schritten (für n=4)



Bert teilt die Überbleibsel in 12 gleiche Teile.
Jeder der anderen drei erklärt sich für einen
Zustimmer, wenn er alle diese Stücke für
gleich groß hält, sonst für einen Ablehner.
(Bert ist automatisch ein Zustimmer).
Wenn jeder Ablehner lt. der Liste einen
uneinholbaren Vorsprung hat, werden die 12
Stücke gleichmäßig an die Zustimmer verteilt.
Dann ist das Verfahren beendet.
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40
Faires Teilen in endlich
vielen Schritten (für n=4)



Wenn die Ablehner nicht durchgängig uneinholbare
Vorsprünge haben, wählen wir das erste Paar aus
Ablehner und Zustimmer, das nicht in der Liste ist,
und beginnen wieder mit dem Vergleich vom
Anfang.
Der Zustimmer nimmt die Rolle des Bert, der
Ablehner die Rolle des Anton an, diskutiert wird der
Rest des Kuchens.
Das Verfahren endet dann spätestens nach 11
Runden. Dann steht jedes denkbare Paar auf der
Liste, d.h. jede Person hat ggü. jeder anderen
uneinholbare Vorsprünge.
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41
Faires Teilen in endlich
vielen Schritten (für n=4)

Dieses bereits für n=4 Personen komplizierte Verfahren ist
neidfrei und terminiert.
(Ein vollständiger Beweis dafür, dass das Verfahren auch bei n<4
terminiert, findet sich in der Originalquelle von Brams und Taylor.)

Alle Algorithmen funktionieren für beliebig teilbare Güter wie
Kuchen. Schwierig wird Faires Teilen bei Besitzgütern bspw.
nach einer Scheidung.
Außerdem eignen sie sich nicht für Konfliktlösungen, bei denen
ein Partner dem anderen moralisch überlegen ist.

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Quellen





Stewart, Ian (2003): Neidfreies Teilen. In: Spektrum
der Wissenschaft, Dossier Mathematische
Unterhaltungen II. Heft 02/03. S. 38-42.
Seidel, Raimund (2008): Eine
Weihnachtsstollengeschichte. In: Vöcking, Helmut et
al. (Hrsg.): Taschenbuch der Algorithmen. Springer:
Berlin. S. 331-340.
Brams, Steven/ Taylor, Alan (1995): An Envy-Free
Cake Division Protocol. In: The American
Mathematical Monthly. Vol. 102/1. pp. 9-18.
http://www.union.edu/ [Zugriff: 18.06.08]
http://www.wikipedia.org [Zugriff: 18.06.08]
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DANKE!
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