Symmetriebrechung-Musterbildung

Seminar: Dynamische Modelle komplexer Systeme
Vortrag:
„Symmetriebrechung & Musterbildung“
Dienstag, 12.07.2005
17:15 Uhr, SR/GMG
Referent:
Philippe Bourdin
Blattnervatur eines tropischen Farns [3]
Definition: „Symmetriebrechung & Musterbildung“
Musterbildung ist ein Prozeß, bei dem ein
räumlich homogener Zustand instabil wird und einem
inhomogenen Zustand, also einem Muster weicht.
Meist wird eine solche
spontane Symmetriebrechung
durch Veränderung eines
Parameters in einem
nichtlinearen System erzielt.
[2]
Inhalt:
„Symmetriebrechung & Musterbildung“
• Ein bißchen Geschichte
• Zweidimensionale Muster
• Das Bénard-Experiment
• Komplexe Ginzburg-Landau-Gleichung (CGLE)
• Belousov-Zhabotinsky-Reaktion (BZ)
• Reaktions-Diffusions-Gleichungen (RD)
• Simulation: Der Brüsselator
• Weitere Muster in der Natur
Ein bißchen Geschichte
• Wie entstehen zweidimensionale Muster ?
Ein bißchen Geschichte
• Wie entstehen zweidimensionale Muster ?
• Ab 1965 erforscht u.a. von A. Gierer und H. Meinhardt (MPI)
• Einfaches Turing-Modell: System aus Aktivator und Inhibitor
• beschreibbar durch
zwei nichtlineare, partielle
Differentialgleichungen
Zweidimensionale Muster
• Beispiel: Astwachstum am Süßwasserpolypen
Zweidimensionale Muster
• Beispiel: Astwachstum am Süßwasserpolypen
• Substrat nötig, Fluktuation („Samen“) startet für Zellwachstum
• Wachstum geht zur höchsten Substrat-Konzentration
• Inhibitor zieht weiter mit Aktivator
• Ist Aktivator weit genug entfernt,
kann ein Abzweig entstehen,
da der Inhibitor ebenfalls fehlt
• Zweig-Wachstum wieder
zur höchsten Substrat-Dichte
• Wachstum geht weiter,
bis Substrat aufgebraucht ist
• Kein „zusammenwachsen“
[2]
Zweidimensionale Muster
• Simulation versus Beobachtung: Wachstum von ZnSO4
• Dendritische Ablagerung simulierbar durch Zelluläre Automaten
[6]
Das Bénard-Experiment
• Temperaturgradient sorgt für Wärmetransport
Das Bénard-Experiment
• Temperaturgradient sorgt für Wärmetransport
• Viskosität der Flüssigkeit bremst Konvektion
[4]
Das Bénard-Experiment
Temperaturgradient steigt
• Kritischer Temperaturgradient notwendig für ein Umschlagen
Konvektionsrollen
[4]
Das Bénard-Experiment
• Aus: Naviér-Stokes-Gleichung, Bewegungsgleichungen,
Kontinuitätsgleichung und Wärmeleitungs-Gleichung.
• Boussinesq-Approximation:
  0 1   T  T0 
(mit  als thermischen Ausdehnungskoeffizient)
Alle anderen Materialparameter konstant.
• Man erhält mit weiteren Näherungen und Vereinfachungen
die spezielle Navier-Stokes-Gleichung:

ui
 2ui
 

ui  
0
 0  u j
pq
 g i    0 
t
xi
xi xi
 xi 
(u: innere Energie q: transportierte Wärmemenge g: Gravitation)
Das Bénard-Experiment
• Damit lassen sich die Konvektionsrollen erklären:
[4]
laminare Konvektionsrollen
Chaotisch bei höherem T.-Gradienten
Das Bénard-Experiment
• Offene Randbedingungen => Hexagonale Konvektionszellen
[4]
Entspricht rein qualitativ den
Konvektions-Granulen der Sonne =>
Komplexe Ginzburg-Landau-Gleichung (CGLE)
• Allgemeine Formulierung des Problems:



X i r , t  t  Fi k X j , X j , 

Komplexe Ginzburg-Landau-Gleichung (CGLE)
• Allgemeine Formulierung des Problems:

• Vereinfacht:


X i r , t  t  Fi k X j , X j , 

 
dX t  dt  F X ,  





• Störungsrechnung: X t   X S  x t  mit F X S ,    0


X S : Ruhezustand + x t  : kleine Störung
• Taylor-Entwicklung:

1.Ordnung
dx t 
  

 L   x  h  x ,    L   x
 
dt
Linearteil
Nichtlinearität
Komplexe Ginzburg-Landau-Gleichung (CGLE)
• Lösungs-Ansatz:
 1.Ordnung
dx t 

 L   x
dt
 t

x t   u  e
• => Eigenwertgleichung:


L  u    u
• Differentialgleichung:
• Stabilitätsbedingung:

Re   0  instabil
Re   0  stabil
• Wenn Re C   Re  C   0
=> Bifurkation
TC
T
[1]
Komplexe Ginzburg-Landau-Gleichung (CGLE)
 
x r , t 
  
 L ,    x  h  x , ,  
• Allgemeine Ausgangs-Gl.:
t
• Entwicklung um kritischen Punkt:   C  1   2 2  ...
 


• Taylor-Entwicklung für: x r , t   x1   2 x2  ...


2 
 ImC 

• und:
t
T

• In Systemen großer räumlicher Ausdehnung:
• man erhält:



 ...
r

 
x r , t 

  
 L0    x  L1    x  h x ,  
t
Komplexe Ginzburg-Landau-Gleichung (CGLE)
• Einsetzen und Koeffizientenvergleich in Ordnungen von  :



O    ImC 
 L0 C  x1  0
T




 x1  c ,   u  eiT  cc (analog zur linearen Analyse)


 1
O 2    ImC 
 L0 C  x2  hxx  x1 x1
T
2





 x2  c 2  p2  ei 2T  cc  c 2  p0
• In dritter Ordnung erhält man inhomogenes Gleichunssystem
• Lösbarkeitskriterium mittels „Satz von Friedholm“ (kompliziert)
Komplexe Ginzburg-Landau-Gleichung (CGLE)
• Man erhält schließlich (mit   c  z ):
z
   C z  1  i z  1  i  z 2 z
t
• Die „Komplexe Ginzburg-Landau-Gleichung“ (CGLE)
• Höhere Ordnungen von  sind nicht enthalten.
• Entwicklung in  auch für Bénard-Zelle möglich:
=> „Newell-Whitehead-Segel-Gleichung“ (NWSE)
Die BZ-Reaktion
• Oszillierende Reaktion
in einer Petrischale:
• Bromid und Cer 3+/4+
Die BZ-Reaktion
• Oszillierende Reaktion
in einer Petrischale:
• Bromid und Cer 3+/4+
• Inhibitor: Bromid
• Reaktion 1:
verbraucht Bromid
• Reaktion 2:
oxidiert Ce3+
(Farbwechsel)
• Reaktion 3:
bildet Ce4+ und
Bromid zurück
[1]
Reaktions-Diffusions-Gleichungen
• Allgemeine Formulierung für oszillierende Reaktionen:
Reaktions-Diffusions-Gleichungen
• Allgemeine Formulierung für oszillierende Reaktionen:
k1
A X
k2
B  X Y  C
k3
2 X  Y 3X
(autokatalytisch)
k4
X D
• „Brüsselator“-Modell (Prigogine, Lefever, Nicolis, Brorckmans: 1968-1988)
• Quelle der Nicht-Linearität: autokatalytische Reaktion
• Reaktionsgeschwindigkeiten k1 … k4 => Ratengleichungen
Reaktions-Diffusions-Gleichungen
• Ratengleichungen:
dX dt  k1 A  k 2 BX  k3 X 2Y  k 4 X
dY dt  k 2 BX  k3 X 2Y
• Allgemein, mit Diffusionsterm (D: Diffusionskonstante):
dX
 F  X , Y ,    D  X
dt
dY
 ... (analog)
dt
• Lösung nur numerisch durch Zelluläre Automaten
• Zum Vergleich:
Bénard-Zelle beschreibbar
durch Lorenz-Gleichungen:
dX dt    X  Y 
dY dt  RX  Y  XZ
dZ dt  XY  bZ
Simulation: Der Brüsselator
• Ratengleichungen:
dX dt  k1 A  k 2 BX  k3 X 2Y  k 4 X
dY dt  k 2 BX  k3 X 2Y
Simulation: Der Brüsselator
• Ratengleichungen:
dX dt  k1 A  k 2 BX  k3 X 2Y  k 4 X
dY dt  k 2 BX  k3 X 2Y
• Numerische Simulation: (A=1, B=3, X0=Y0=1, k1=…=k4=1)
cY
c X ,Y
[8]
T
cX
Simulation: Der Brüsselator
• Die BZ-Reaktion Simulation versus Beobachtung:
[2]
• Spiralwellen und
Chaotische Oszillationen
Simulation: Der Brüsselator
• Stabilitätsbetrachtung des Brüsselators:
• Stationäre Zustände:
k1
XS   A
k4
dX
dt  dY dt  0
k4 k2 B
YS 

k3 k1 A
• Mit A=1 und B=1,5 ergibt die Simulation:
T
[8]
Simulation: Der Brüsselator
• Stabilitätmatrix:
 k2 B  k4

 k B
2

2
k3 X S 

2
 k3 X S 
• Berechne Eigenwerte:


2
1
2
2
2 
    k 2 B  k 3 X S  k 4  k 3 X S  k 4  k 2 B  4k 3 k 4 X S 


2   
Realteil
Imaginärteil




• Instabil für:
2
k
k k
k
k
2
B  4  3  X S  4  3 1 2  A2
k2 k2
k2 k2 k4
Weitere Muster in der Natur
Weitere Muster in der Natur
• Schneckenmuster:
 a2

a
 2a
 s  ba   ra a  Da 2
t
x
 b

2
b

b
 sa 2  rbb  Db 2
t
x
• Aktivator, Inhibitor, Diffusionsterme, Zerfallsraten, Grundproduktion
[Amoria dampieria]
[Natica Stercusmuscarum]
Weitere Muster in der Natur
• Musterbildung:
Katalytische
CO-Oxidation
[5]
Zusammenfassung
• Wir sahen Muster in: der Natur, der Physik und der Chemie
• Theoretische Modelle bieten eine gute Beschreibung
• Simulationen zeigen teilweise gute Übereinstimmungen
zwischen Theorie und der Beobachtung
• Trotz allem gibt es bisher keine eindeutigen Beweise,
daß die Muster in der Natur tatsächlich durch diejenigen
Prozesse entstehen, die in den theoretischen Modellen
zugrunde gelegt worden sind.
• Es gibt noch viel zu tun…
Literatur
• [1] G. Nicolis: „Introduction to nonlinear science“
1995, Cambridge University Press
• [2] H. Meinhardt: „Biological Pattern Formation“
http://www.biologie.uni-hamburg.de/b-online/e28_1/pattern.htm
• [3] P. Prusinkiewicz: „Musterbildung“
http://www.biologie.uni-hamburg.de/b-online/d28/28b.htm
• [4] E. Jakobi: Vortrag „Selbstorganisation“
2003, http://prp0.prp.physik.tu-darmstadt.de/~ejakobi/rbkonv.pdf
• [5] M. Kim, M. Bertram, H. Rotermund: „CO Oxidation“
2001, Science, 292:1357-1359
• [6] Simulations-Software: „The Virtual Laboratory“
http://algorithmicbotany.org/virtual_laboratory/
• [7] P. Meakin: „A new model for biological pattern formation“
1986, Journal of Theoretical Biology, 118:101-113
• [8] J. Krieger: „Reaktions-Diffusions-Systeme“
http://jkrieger.de/bzr/inhalt.html