Hierarchical Graph
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Hierarchical Graph-Drawing Eine Technik für das Zeichnen gerichteter Graphen Referent: Benjamin Stähr Autoren des Quelltextes: Gansner, Koutsofios, North, Vo 17.10.05 Hierarchical GD, Benjamin Stähr 1 Inhalt 1. Einführung in das Thema „Zeichnen von gerichteten Graphen“ 2. Ein Überblick über die Technik 3. Optimale Schichtzuweisung 4. Knotenreihenfolge in Schichten 5. Knotenkoordinaten 6. Kanten zeichnen 7. Zusammenfassung und Ausblick 17.10.05 Hierarchical GD, Benjamin Stähr 2 Ästhetische Zeichenkriterien Hierarchische Struktur hervorheben Wenn möglich zeigen alle Kanten in die gleiche allgemeine Richtung Erleichtert es gerichtete Pfade zu finden und hebt Quellen und Senken hervor Q S Q S 17.10.05 Hierarchical GD, Benjamin Stähr 3 Ästhetische Zeichenkriterien Vermeide optische Anomalien z.B. Kantenüberschneidungen und scharfe Knicke in Kanten sind zu vermeiden 17.10.05 Hierarchical GD, Benjamin Stähr 4 Ästhetische Zeichenkriterien • Zeichne möglichst kurze Kanten Vereinfacht das Finden verwandter Knoten Konform zur Vermeidung optischer Anomalien 17.10.05 Hierarchical GD, Benjamin Stähr 5 Ästhetische Zeichenkriterien • Bevorzuge Symmetrie und Balance spielt nur sekundäre Rolle wird an einigen wenigen Stellen des vorgestellten Algorithmus verwendet 17.10.05 Hierarchical GD, Benjamin Stähr 6 Ästhetische Zeichenkriterien Es ist unmöglich alle diese Kriterien gleichzeitig zu optimieren Entwurf von schnellen Heuristiken, die in vielen Fällen gute Layouts produzieren 17.10.05 Hierarchical GD, Benjamin Stähr 7 Problemstellung • Eingabe ist ein gerichteter Graph G = (V,E) – Enthält evtl. Kreise und Mehrfachkanten – o.B.d.A. ist G zusammenhängend – Die Attribute des Graphen sind: xsize(v),ysize(v): Größe einer den Knoten v umgebenden Bounding Box v ysize(v) xsize(v) 17.10.05 Hierarchical GD, Benjamin Stähr 8 Problemstellung nodesep(G): Minimaler horizontaler Abstand zwischen zwei Knotenboxen u v nodesep(G) ranksep(G): Minimaler vertikaler Abstand zwischen zwei Knotenboxen w(e): Kantengewicht der Kante e 17.10.05 Hierarchical GD, Benjamin Stähr 9 Ein Überblick über den Algorithmus • Jedem Knoten v wird ein Rechteck mit den Mittelpunktkoordinaten (x(v),y(v)) zugewiesen • Jeder Kante e wird eine Reihe von B-Spline Kontrollpunkten (x0(e),y0(e)),...,(xn(e),yn(e)) zugewiesen • Layout hauptsächlich nach den vier ästhetischen Zeichenkriterien 17.10.05 Hierarchical GD, Benjamin Stähr 10 Ein Überblick über den Algorithmus Die vier Phasen des Algorithmus sind: 1. Rank: weist jedem Knoten eine Schicht im Graphen zu 2. Ordering: setzt die Reihenfolge der Knoten innerhalb jeder Schicht 3. Position: weist jedem Knoten seine absoluten Koordinaten zu 4. Make Splines: Zeichnet die Kanten des Graphen 17.10.05 Hierarchical GD, Benjamin Stähr 11 3. Optimale Schichtzuweisung • „Rank“ weist jedem Knoten v G eine ganzzahlige Schicht (v) zu • Hier muss evtl. min. Längenbeschränkung beachtet werden 17.10.05 Hierarchical GD, Benjamin Stähr 12 Den Graph azyklisch machen • Für eindeutige Schichtzuweisung muss ein Graph azyklisch sein • Azyklisch machen Kreise brechen durch temporäre Umkehrung von Kanten • DFS partitioniert den Graphen in Baumkanten und Nicht-Baumkanten • Nicht-Baumkanten in Cross-, Forward- und Backkanten • Durch umkehren von Backkanten Graph kreisfrei 17.10.05 Hierarchical GD, Benjamin Stähr 13 Den Graph azyklisch machen • Sinnvoll wäre es ein kleines oder minimales Kantenset umzudrehen • „Feedback Arc Set“ jedoch leider NP-vollst. • Lösung: DFS-Heuristik, welche Kanten umdreht, die in vielen Kreisen enthalten sind 17.10.05 Hierarchical GD, Benjamin Stähr 14 Baumkante Backkante Crosskante Forwardkante 17.10.05 Hierarchical GD, Benjamin Stähr 15 Problem Definition • Nach Ästhetischen Zeichenkriterien ist ein Ziel des Algos kurze Kanten zu zeichnen • Gewünscht also optimale Schichtzuweisung z.B. mit min. Gesamtkantenlänge • ILP: min (v, w)( ( w) (v)) ( v , w )E ( w) (v) 1 u.d.N.: • Gewichtsfkt. 17.10.05 Hierarchical GD, Benjamin Stähr 16 Netzwerk Simplex • Worstcase-Laufzeit nicht polynomiell, aber in der Praxis sehr schnell • Definitionen: – Feasible: Schichtzuweisung erfüllt die min. Längenbedingungen – Slack: Differenz der aktuellen und minimalen Länge einer Kante – Tight: Kante deren Slack = 0 ist 17.10.05 Hierarchical GD, Benjamin Stähr 17 Netzwerk Simplex Erzeugung einer Schichtzuweisung durch einen Spannbaum des Graphen: – Wähle Startknoten, weise ihm eine Schicht zu – Nachbarknoten erhält den Wert eines bewerteten Knoten +/- der min. Länge der sie verbindenden Kante, je nach Kantenrichtung – Fortfahren bis alle Knoten eine Schichtzuweisung haben 17.10.05 Hierarchical GD, Benjamin Stähr 18 Netzwerk Simplex • Ein Spannbaum ist feasible, wenn seine Schichtzuweisung feasible ist • Alle Kanten im eben erzeugten Spannbaum sind tight • Der Wert eines „Schnittes“ (bekannt aus EA) durch den Graphen ist s = (u, v) ( u , v ),uQ , vS 2 1 4 17.10.05 1 5 s=6 Hierarchical GD, Benjamin Stähr 19 Netzwerk Simplex Für jede Spannbaumkante wird der Wert eines Schnittes ermittelt. Dabei wird die Kante eleminiert und der Spannbaum bricht dadurch in Quellen- und Senkenkomponente 17.10.05 Hierarchical GD, Benjamin Stähr 20 Netzwerk Simplex • Normalerweise impliziert ein negativer Wert eines Schnittes, dass die gewichtete Kantenlänge - durch Verlängerung der Baumkante bis eine der anderen Kanten tight wird - reduziert werden kann • Diese wird neue Baumkante • Dadurch neuer feasible Spannbaum 17.10.05 Hierarchical GD, Benjamin Stähr 21 Netzwerk Simplex • Baumkanten mit negativen Schnittwerten werden durch Nicht-Baumkanten ersetzt, bis die Baumkanten pos. Schnittwerte haben • Theoretisch wird eine Anti-Zyklen-Technik benötigt, um endl. Laufzeit zu garantieren • Der resultierende Spannbaum entspricht einer opt. Schichtzuweisung 17.10.05 Hierarchical GD, Benjamin Stähr 22 4. Knotenreihenfolge in Rängen • Kanten zwischen Knoten, die mehr als einen Rang auseinander liegen werden ersetzt durch Kantenketten mit jeweils Länge 1,virtuelle Knoten werden hinzugefügt • Reflexive Kanten werden ignoriert • Multi-Kanten werden vereinigt • Es werden Heuristiken benutzt, da bereits für zwei Schichten minimieren der Kantenüberschneidungen NP-vollst. Ist 17.10.05 Hierarchical GD, Benjamin Stähr 23 Lösungsschema • Startsortierungen werden errechnet • Iterationssequenz um Reihenfolgen zu verbessern – Jede Iteration geht von der ersten bis zur letzten Schicht vor, oder umgekehrt – Jeder Knoten erhält eine Gewichtung aufgrund der relativen Position der mit ihm verbundenen Knoten auf der vorhergehenden Schicht – Danach werden die Schichten neu sortiert 17.10.05 Hierarchical GD, Benjamin Stähr 24 Lösungsschema Populäre Gewichtsfunktionen: • Barycenter: – Definiert das Gewicht eines Knoten v als den Durchschnitt der Ordnungszahlen der Knoten der letzten Schicht, die mit v verbunden sind. • Median: – Wie Barycenter, allerdings wird der Median der Ordnungszahlen verwendet. – Liefert bessere Ergebnisse, Approximationsfaktor von 3 17.10.05 Hierarchical GD, Benjamin Stähr 25 Lösungsschema • Hier benutzte Methode basiert auf Median • Wenn zwei Mediane existieren wird interpolierter Wert verwendet, der die Seite mit dichter gepackten Knoten bevorzugt • Zus. Heuristik für lokales Optimum (20% 50% weniger Kreuzungen) a b b a c d c d 17.10.05 Hierarchical GD, Benjamin Stähr 26 5. Knotenkoordinaten • Jeder Knoten erhält in diesem Schritt x- und y-Koordinaten • LP: min (e) (e) xw xv e( v , w) u.d.N.: xb xa (a, b) dabei: xsize(a ) xsize(b) ( a, b) nodesep(G ) 2 • (e) : Interne Gewichtung um das Zeichnen langer, gerader Kanten zu bevorzugen 17.10.05 Hierarchical GD, Benjamin Stähr 27 Kantentypen 1. Beide Knoten der Kante sind reale Knoten 2. Ein Knoten ist realer, einer virtueller Knoten 3. Beide Knoten sind virtuelle Knoten Seien e,f,g Kanten der drei Typen, dann gilt: ( e) ( f ) ( g ) 17.10.05 Hierarchical GD, Benjamin Stähr 28 Lösung mit Simplex Verfahren • Resultierendes LP ist total unimodular und kann daher in einem Schritt per Simplex gelöst werden • Transformation bläht den Graphen leider auf Größe |V| |E| + |E²| auf Große Graphen können nicht mehr mit effizientem Platzbedarf gespeichert werden 17.10.05 Hierarchical GD, Benjamin Stähr 29 Heuristischer Ansatz Eigentlich Iterationen folgender Heuristiken 2 1. Medianpos: 8 8 3 2. Minedge: ähnlich, nur für reale Knoten 2. Minnode: Lokale Optimierung obiger Methoden 3. Minpath: Begradigt Ketten virtueller Knoten (Spaghetti-Effekt verhindern) 4. Packcut: Zeichnet Knoten möglichst kompakt 17.10.05 Hierarchical GD, Benjamin Stähr 30 Simplex verbessern • Heuristik ist leider schwer zu implementieren und arbeitet oft suboptimal doch wieder Simplex • Idee: Simplex aus 3. wiederverwenden und xKoordinaten als Schichten ansehen • Dazu muss G in einen Hilfsgraph G‘ transformiert werden u u eu e e v 17.10.05 w ev e(v,w) v Hierarchical GD, Benjamin Stähr w 31 Simplex verbessern • Optimale Lösung für G‘ induziert optimale Lösung für G • Es sind Verbesserungen möglich, die den Simplex um ca. 500 bis 1000% beschleunigen • Damit schneller als heuristische Lösung 17.10.05 Hierarchical GD, Benjamin Stähr 32 Weiterführende Techniken Neuerer Algorithmus nach Buchheim, Jünger und Leipert (1999) • Verhindert spätere Bildung eines SpaghettiEffekts in den Kanten • Möglich dadurch, dass jede Kante nur zwei Knicke hat und dazwischen vertikal verläuft • Lösungsansätze heuristisch und mit Simplex möglich, den hier vorgestellten Ansätzen recht ähnlich 17.10.05 Hierarchical GD, Benjamin Stähr 33 6. Kanten zeichnen • Kanten zwischen Knoten werden am einfachsten durch jeweils alle virtuellen Knoten gezeichnet • Nachteil: Übersichtlichkeit leidet etwas, Graph ist optisch nicht perfekt • Lösung: Verwendung von Splines 17.10.05 Hierarchical GD, Benjamin Stähr 34 Berechnung von Splines p0 B5 BB5 p1 p2 17.10.05 Hierarchical GD, Benjamin Stähr 35 7. Zusammenfassung und Ausblick • Der vorgestellte Algorithmus ist klar strukturiert und programmiertechnisch gut umsetzbar • Sowohl Laufzeit als auch Zeichenergebnis sind zufriedenstellend • Splines müssten nicht benutzt werden, wenn ein anderer Ansatz zur Berechnung der x,yKoordinaten gewählt würde • Evtl. wäre „Kommunikation“ zwischen den einzelnen Schritten wünschenswert um Ergebnis zu verbessern 17.10.05 Hierarchical GD, Benjamin Stähr 36
