Permutation und Kombination
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Permutation und Kombination In diesem Kapitel geht es darum die Anzahl von Auswahlmöglichkeiten zu bestimmen. Es werden die Begriffe Permutation, Kombination, Variation und Binomialkoeffizient definiert. Beispiel 1 Wie viele „Wörter“ lassen sich aus den Buchstaben: L, I, S, A bilden, wobei diese Wörter keinen Sinn ergeben müssen? Es sollen aber alle Buchstaben verwendet werden. Die Frage lautet also anders formuliert: welche Anordnungsformen dieser 4 Buchstaben ist prinzipiell möglich und wie viele sind es schlussendlich. Wir können nun alle Möglichkeiten aufschreiben. Probiere das auf einem Zettel. Möglichkeiten: LISA, LIAS, LSIA, LSAI, LAIS, LASI, ALIS, ALSI, AISL, AILS, ASIL, ASLI, IALS, IASL, ISAL, ISLA, ILAS, ILSA, SIAL, SILA, SLAI, SLIA, SAIL, SALI nun das sind eine ganze Menge, hast Du alle 24 gefunden? Leichter ist es bestimmt, wenn man weiß wie viele man suchen muss, anschließend hilft ein System. Wieso gibt es gerade 24 Möglichkeiten? Nun für den ersten Buchstaben hat man 4 Möglichkeiten, für den zweiten 3, für den dritten 2 und für den letzten nur mehr 1. Zeichne ein Baumdiagramm in dein Heft um diesen Sachverhalt zu veranschaulichen. Die Anzahl aller möglichen Buchstabenkombination erhält man nun, indem die einzelnen Möglichkeiten miteinander multipliziert: 4*3*2*1=24 Verallgemeinerung: Was passiert nun, wenn wir nicht 4 Buchstaben sondern, 5, 7 oder eben n Buchstaben (in unserem Schriftsystem ist n natürlich begrenzt) kombinieren möchte? Versuche selbst die Lösungen für diese 3 Fälle zu finden: a) 5, b) 7, c) n Buchstaben a) 5 Buchstaben -> 5*4*3*2*1=120 Möglichkeiten b) 7 Buchstaben -> 7*6*5*4*3*2*1=5040 Möglichkeiten c) n Buchstaben -> n*(n-1)*(n-2)*……*3*2*1 = n! c) n Buchstaben -> n*(n-1)*(n-2)*……*3*2*1 = n! für diesen langen Ausdruck haben die Mathematiker mal wieder einen neuen Ausdruck gefunden. n! ( n Fakultät, oder n Faktorielle) Dies kann man auch mit dem TI-84 berechnen: Eingabe für 7!: 7, MATH, PRB, 4: ! Ausgabe: 7! mit Enter bestätigen 5040 Beispiel 2: Berechne 4!, 6!, 9!, 13!, 20! mit dem TR. Beachte wie der TR das letzte Ergebnis angibt. Beispiel 3: Was passiert aber nun, wenn Buchstaben doppelt vorkommen? Wie viele „Wörter“ kann man aus den Buchstaben des Wortes SEPP bilden, wenn man wieder alle vorkommenden Buchstaben verwendet? Schreib alle Möglichkeiten auf: SEPP, SPEP, SPPE, ESPP, EPSP, EPPS, PEPS, PESP, PSPE, PSEP, PPES, PPSE Hier finden wir also nur 12 Anordnungsmöglichkeiten. Wieso ist das der Fall? Nun die 2 P sind nicht zu unterscheiden wären sie unterscheidbar (z.B. durch Farbe) hätten wir wieder 24 Möglichkeiten. SEPP und SEPP wären zwei verschiedene Möglichkeiten, da hier die Buchstaben nicht zu unterscheiden sind, gibt es nur eine Möglichkeit für die Anordnung SEPP. Dies betrifft alle Anordnungsmöglichkeiten, darum haben wir nur halb so viele wie bei LISA. Können wir nun unsere schöne Formel von n! (hier 4!) vergessen? Nein wir müssen nur die mehrfachen Möglichkeiten rausrechnen: Hat man also unter den n Elementen die man anordnen möchte, m gleiche (nicht unterscheidbare) so sieht die Formel so aus: n! m! In unserem Fall wäre das also: 4!/2! = (4*3*2*1)/(2*1)=4*3=12 gibt es mehrere Elemente n1, n2,..nk welche öfter vorkommen, so lautet die Formel: n! n !n !.. n ! 1 2 k Zusammenfassung: Hat man n unterscheidbare Elemente, so ergibt sich die Anzahl der möglichen Anordnungen aus: n! = n*(n-1)*….*3*2*1 dies nennt man eine Permutation. Gibt es unter diesen n Elementen n1, n2,..nk , die nicht unterscheidbar sind, so muss obige Formel durch (n1!* n2!*...nk!) dividiert werden. Zusätzlich definiert man 0!=1!=1 Einige Beispiele dazu: Beispiel 4: Wie viele Möglichkeiten gibt es 14 Schüler auf 14 Sitzplätze aufzuteilen? Beispiel 5: Wie viele Wörter lassen sich aus den Buchstaben des Wortes OTTOS bilden? Beispiel 6: Wie viele Zahlen lassen sich aus den Ziffern 1, 2, 3 bilden wenn a) die Zahl dreistellig ist und jede Ziffer nur einmal vorkommt? b) die Zahl fünfstellig ist und 1 drei mal verwendet wird? c) die Zahl dreistellig ist und Ziffern auch öfters verwendet werden können? Schreibe die Möglichkeiten von c) auf. Nun kommen wir zur Auswahlproblematik , nun geht es darum herauszufinden wie viele Möglichkeiten man hat aus einer Grundmenge von n Elementen k auszuwählen. Ein bekanntes Beispiel ist 6 aus 45. Wie viele Möglichkeiten hat man denn nun 6 Zahlen aus den 45 möglichen anzukreuzen? Sehen wir uns das mal bei einer geringeren Auswahl an: Wie viele Möglichkeiten hat man 3 aus 4 auszuwählen? Versuche alle Möglichkeiten aufzuschreiben: 123, hier wählen wir die 4 nicht 124, hier wählen wir die 3 nicht 134, hier wählen wir die 2 nicht 234, hier wählen wir die 1 nicht Was ist aber nun mit 123, 231, 321, den verschiedenen Anordnungsmöglichkeiten der ersten Auswahl etwa? Ihr seht hier kommt es sehr darauf an, ob die Reihenfolge der Ziffern wichtig ist oder nicht. Das es beim Lotto 6 aus 45, welches wir ja hinterfragen wollen, nicht auf die Reihenfolge der gezogenen Zahlen ankommt, wollen wir das auch hier so betrachten. (Beim Joker ist das anders, da ist die Reihenfolge der Ziffern sehrwwhl wichtig) Wollen wir mehr als 3 aus 4 betrachten, wird das Aufschreiben bald zu mühsam, wenn nicht unmöglich. Versuchen wir also unser einfaches Beispiel zu verallgemeinern: Wie viele Möglichkeiten haben wir denn? Für die erste Zahl sind es 4, für die zweite 3 und für die dritte 2 : -> 4*3*2=24 Da wären wir bei 24 Auswahlmöglichkeiten (viel zu viele) Wo ist da der Haken? Nun hier sind auch die verschiedenen Anordnungen miteinbezogen., die brauchen wir aber gar nicht, das heißt wir müssen uns überlegen wie viele Möglichkeiten haben wir denn 3 Ziffern anzuordnen? Dies führt zum vorherigen Kapitel, zu einer Permutation: 3!=3*2*1=6 Es bleiben also 24/6=4 Möglichkeiten 3 Zahlen aus 4 Zahlen auszuwählen, wenn die Reihenfolge in welcher die Zahlen ausgewählt werden irrelevant (=egal) ist. Beispiel 6 aus 45: Wir haben nun 45*44*43*42*41*40 Möglichkeiten 6 Zahlen aus 45 auszuwählen. Das Ergebnis ist eine unvorstellbare Zahl: 5.864.443.200 Nun müssen wir uns berechnen wie viele Möglichkeiten es gibt 6 ausgewählte Zahlen anzuordnen: 6! =6*5*4*3*2*1= 720 Möglichkeiten Da nun die Reihenfolge der Ziehung egal ist müssen wir unseren unvorstellbar großen Wert von 5.864.443.200 durch die 720 Anordnungsmöglichkeiten dividieren und erhalten den Wert 8.145.060. Das heißt es gibt über 8 Millionen Möglichkeiten 6 Kreuze auf ein Lottofeld zu machen und nur eine einzige Möglichkeit davon ist richtig. Wie hoch ist nun eure Erwartung einen Lottosechser zu tippen? Verallgemeinerung: Möchte man k Elemente aus einer Grundmenge von n Elementen auswählen, so spricht man von einer Kombination. (die Reihenfolge der Auswahl ist irrelevant) Man berechnet diese durch folgende Formel: n! k!(n k )! Diesen Ausdruck nennt man auch Binomialkoeffizient. Kurz schreibt man: n n! k k!(n k )! Man sagt: „n über k“ Wieso stimmt das für unser Beispiel? 45 45! 45 * 44 * 43 * 42 * 41* 40 * 39! 6!*39! 6 6!*(45 6)! 45 * 44 * 43 * 42 * 41* 40 5864443200 8145060 6! 720 Versuche diese Rechnung in deinem Heft nachzuvollziehen. Man kann n! auch aufspalten in : n*(n-1)*(n-2)*(n-3)! (z. B) dies wurde bei der Rechnung gemacht. Nun kommen einige Beispiele um Sicherheit beim Rechnen mit Binomialkoeffizienten zu erlangen: Berechne und erkläre was damit gemeint ist 5 ( z.B.: 3 Elemente aus 5 Elementen auswählen) 3 7 4 7 7 m m m m 1 n 2 Ist nun die Reihenfolge relevant (wichtig) so spricht man von einer Variation. Hier erhalten wir die Formel: n! (n k )! Betrachten wir hier auch ein Beispiel: Wie viele verschiedene Wörter bestehend aus drei Buchstaben lassen sich aus den Vokalen (AEIOU) bilden. Hier kommt es auf die Reihenfolge sehr wohl an, denn z.B.: AIO, AOI, OIA, OAI, IOA, IAO sind verschiedene Wörter. Wir können uns die Möglichkeiten überlegen, oder mit der Formel der Variation rechnen, wir kommen zu dem gleichen Ergebnis: 1.Weg: Für den ersten Buchstaben haben wir 5, für den zweiten 4 und für den dritten 3 Möglichkeiten, das führt zu 5*4*3= 60 Möglichkeiten 2.Weg: 5! 5 * 4 * 3 * 2 *1 5 * 4 * 3 60 (5 3)! 2!
