F2DerivBasicsWS1314 - Herzlich Willkommen auf der

Schwerpunkt „Finanzmanagement“ Modul 2
Produktanalyse
Struktur und „Pricing“
reiner
Derivatkontrakte
Prof. Dr. Stefan May
© Prof. Dr. Stefan May
WS 2013/2014
Seite 1
Gliederung
I.
Grundlegendes zur Analyse von Derivaten
II.
Struktur und theoretische Bewertung („Pricing“) von
Termingeschäften
Derivate Special 1:
Zinsparität und Bewertung eines
Devisentermingeschäfts
III.
Die wichtigsten EUREX-Produkte: DAX- und BUND-Future
IV.
Optionen und ihre Auszahlungsprofile
V.
Zur theoretischen Bewertung von Optionen: ein Beispiel der
CBT
Derivate Special 2:
Bewertung von Corporate Bonds durch
strukturierte Kreditmodelle
Seite 2
Teil I
Grundlegendes zur Analyse von Derivaten
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Was sind Derivate?
Derivate sind Finanzinstrumente, deren
Auszahlungsstruktur sich ableitet aus der
Entwicklung ....
– der vier Basisinvestments Aktien, Renten, Währungen und
Realgüter (Rohstoffe!)
– von Finanzmarkt-oder sonstigen Indizes
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Welche Derivate gibt es?
• Als Grundformen werden unterschieden.....
–
–
–
–
Termingeschäfte
Futures
Optionen
(Swaps)
• Strukturierte Produkte sind.....
– Kombinationen der Grundformen (z.B. Optionen auf Futures an der
EUREX)
– Kombinationen mit Basisinvestments (z.B. equity linked bonds,
Anleihen mit Kündigungsrechten)
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Auszahlungsstruktur
Genaue Kenntnis der Auszahlungsstruktur ist für das
Verständnis eines Produktes entscheidend:
– Prüfung auf Marktgerechtigkeit
– Szenarienanalyse
– Bewertung („Pricing“)
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Zwei Arten von Auszahlungsstrukturen
• Unbedingte Auszahlungsstruktur
– die Auszahlungsstruktur steht von Anfang unabhängig von der
Marktentwicklung fest!
• Bedingte Auszahlungsstruktur
– die Auszahlungsstruktur ist abhängig von einer bestimmten
Marktentwicklung oder der Entwicklung anderer Größen!
– Häufig steht hierbei aber die Art der Abhängigkeit von Anfang an
fest!
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Preisbildung bei Derivaten
Bei der Ermittlung des fairen Preises eines
Derivatgeschäftes wird
– immer die Effizienzhypothese unterstellt, d.h. dass die Märkte
etwaige Arbitragegewinne schnell wegkonkurrieren
– Bei der Diskontierung (Auf- und Abzinsen) meistens die
sogenannte stetige Zinskonvention zugrunde gelegt
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Unterschiedliche Effizienzbegriffe
• Markteffizienz hat drei Facetten:
– Kurse reagieren schnell auf Nachfrage- und Angebotsüberschüsse
(„Preiseffizienz“)
– Angebotene und nachgefragte Mengen reagieren schnell auf
veränderte Preise („Mengeneffizienz“, Liquidität)
– Neue Informationen werden von den Kursbewegungen schnell
antizipiert („Informationseffizienz“)
• Für die Derivatebewertung werden alle drei Facetten benötigt.
• In der Diskussion ist vor allem die Informationseffizienz
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Informationseffizienz in drei Ausprägungen
• Schwache Version:
Im aktuellen Kurs sind sämtliche, im Kursverlauf der Vergangenheit
steckenden Informationen beinhaltet.
• Halbstrenge Version:
Im aktuellen Kurs sind sämtliche relevanten und öffentlich verfügbaren
Informationen enthalten
• Strenge Version:
Im aktuellen Kurs sind sämtliche relevanten, öffentlich verfügbaren
enthalten, und darüber hinaus auch alle relevanten Insider-Informationen.
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Effiziente Märkte und Arbitrage
•
•
•
Speziell an Finanzmärkten kann man von perfekt funktionierenden
Finanzmärkten ausgehen
Dies führt dazu, dass etwaige Arbitragegewinne sehr schnell wieder
wegkonkurriert werden
Entscheidende Prämisse aller Pricing-Modelle ist daher:
Prinzip der Arbitragefreiheit!
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Arbitragefreiheit
Ein Finanzmarkt ist arbitragefrei, wenn keine
risikolosen Arbitragemöglichkeiten existieren!
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Risikolose Arbitragemöglichkeit, wenn
– .....zwei Portfolios konstruiert werden können, welche bei
unterschiedlichen Kosten eine identische
Auszahlungsstruktur aufweisen!
– .....zwei kostengleiche Portfolios konstruiert werden können,
von denen eines unter allen Umständen mindestens so hohe
Erträge bringt wie das andere, jedoch bei mindestens einer
Marktkonstellation mehr einbringt!
– .....ein kostenfreies Portfolio konstruiert werden kann, das
unter keinen Umständen Verluste verursacht, jedoch bei
mindestens einer Marktkonstellation positive Erträge
aufweist!
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Bewertung eines Produkts oder Geschäfts
• “Bewertung” bedeutet, den aktuellen (Netto)Barwert eines
Geschäftes oder Finanzmarktinstrumentes zu ermitteln
• Drei Schritte zur Bewertung
– ermittle den Zahlungsstrom (“Cash Flow”) des Geschäfts, d.h.
Höhe und Zeitpunkt jeder Zahlung
– ermittle die zeitpunktgerechten Diskontierungsfaktoren
– ermittle den finanzmathematischen (Netto)Barwert des Geschäfts
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Graphische Darstellung der Cash Flow Bewertung
Seite 15
Der Gegenwartwert eines Zahlungsstromes
Der (Brutto)Barwert einer Zahlungsreihe Z1....ZT
entspricht der Summe der Beträge die man „heute“ (d.h.
in t=0) anlegen muss, damit sie zu den Zeitpunkten
1.....T zu genau den Beträgen Z1..... ZT angewachsen
sein werden.
Seite 16
Bewertung mit Einheitszins (flache Zinskurve)
T
CFt
PV  
t
t 1 (1  r )
CFt=
r
=
T =
Rückfluss aus dem Projekt in Periode t (NettoAbfluss: CFt0; Netto-Zufluss: CFt0)
Zinssatz, der eine alternative Anlagemöglichkeit
widerspiegelt
Laufzeit des Projektes
Seite 17
Annahme flacher Zinskurve
Yields and riskfree interest rates
•
•
•
Diskontierung mit einem
Einheitszinssatz unterstellt eine
flache Zinskurve
Eine flache Zinskurve wiederum
bedeutet, dass die Zinsen in allen
Laufzeiten identisch sind.
Es bedeutet auch, dass es keinen
Unterschied zwischen Renditen und
(risikolosen) Verzinsungen gibt:
Zinssätze und Renditen in allen
Laufzeiten haben das gleiche
Niveau r.
6,30%
5,80%
5,30%
4,80%
4,30%
3,80%
3,30%
2,80%
2,30%
1,80%
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9
10
Flat yield curve: single yield for all m aturities
6,30%
5,80%
5,30%
4,80%
4,30%
3,80%
3,30%
2,80%
2,30%
1,80%
1
2
3
4
5
6
7
8
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Zinsstrukturkurve und die Bewertung von Cash-Flow-Sequenzen
•
•
•
•
Die Laufzeiten von Cash Flows und Bewertungszinssätzen
müssen übereinstimmen.
Das heißt: Ist die Zinsstrukturkurve nicht flach, müssen wir Cash
Flows, die zu unterschiedlichen Zeitpunkten zufließen, mit
unterschiedlichen Zinssätzen diskontieren.
Diese sehr präzise Form der Bewertung nennt man „Bewertung
mit der Zinsstruktur“.
Sie ist im Bank- und Derivategeschäft unverzichtbar
Seite 19
Korrekte Kalkulation von Barwerten
T
CFt
PV  
t
t 1 (1  rt )
CFt=
rt =
T =
Rückfluss aus dem Projekt in Periode t (NettoAbfluss: CFt0; Netto-Zufluss: CFt0)
Zinssatz mir Laufzeit von t Jahren, der eine alternative
Anlagemöglichkeit von t Jahren widerspiegelt
Laufzeit des Projektes
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Zinssätze und Diskontierungsfaktoren
•
•
•
•
Betrachten wir die folgenden
Zinssätze mit Laufzeiten von 1, 2
und 3 Jahren:
r1 = 3 %, r2 = 4 %, r3 =5 %.
Rechts abgebildet finden sich die
entsprechenden
Diskontierungsfaktoren.
Interpretation:
–
•
Heutiger Wert eines EUR, den wir erst in
einem Jahre erhalten ist 0,9709 EUR.
Heutiger Wert eines EUR, den wir erst in
zwei Jahren erhalten, ist 0,9246 EUR.
–
Heutiger Wert eines EUR, den wir erst in
D1 
1
 0,9709
1
(1  r1 )
1
D2 
 0,9246
2
(1  r2 )
D3 
1
 0,8763
3
(1  r3 )
drei Jahren erhalten, ist 0,8763 EUR.
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Unterjährige Verzinsung
Gegenwartswertberechnung (für eine einzelne Zahlung):
GGW*(1+rT)T = ZT
Stellt man nach GGW um, ergibt sich:
ZT
GGW 
(1  rT )T
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Beträgt die Anzahl der Zinstermine pro Jahr m (z.B. m=2, wie
z.B. in den USA!) so verändert sich die Formel wie folgt:
ZT
GGW 
rT T *m
(1  )
m
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Exkurs: „Normale“ (diskrete) versus stetige Verzinsung
•
•
•
•
•
Bei Kalkulationen mit Derivaten wird •
zumeist die sogenannte stetige
Zinskonvention unterstellt!
Hierbei geht die Anzahl der
•
Zinstermine pro Jahr fiktiv gegen
Unendlich!
D.h. m  
•
Aus [1+rT/m]T*m wird: er*T
Hierbei entspricht e der
sogenannten Euler-Zahl:
e  2,71828........
Beachte, dass hierbei das Symbol
m, welches für die Anzahl der
Zinstermine pro Periode steht, aus
der Formel verschwindet.
Auch wenn dies zunächst nicht so
aussieht, werden viele
Berechnungen durch die stetige
Zinskonvention viel einfacher.
Wir gehen jedoch im folgenden
weiterhin von der „normalen“
(diskreten) Zinskonvention aus und
vernachlässigen die Problematik der
Unterjährigkeit.
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Gegenüberstellung von diskreter und stetiger Zinskonvention
Zukunftswert
eines €
Diskrete Verzinsung
1€ * (1 
r
m
)T *m
Stetige Verzinsung
1€ * e r *T
Barwert eines €
(1 
1€
r
m
)T *m
1€
e r *T
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Teil II
Struktur und theoretische Bewertung („Pricing“) von
Termingeschäften
Seite 26
Was ist ein Terminkontrakt?
Ein Terminkontrakt ist eine Vereinbarung...
über die Lieferung und Bezahlung eines Gutes (meistens
Rohstoffe!) oder eines Finanzinstrumentes (meistens Währungen
und Zinskonditionen)
• zu einem genau spezifizierten Zeitpunkt
• zu einem bereits jetzt festgelegten Preis (oder Zins)
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Terminkontrakte auf einkommenslose Produkte
• T = Zeitpunkt zu dem
Kontrakt fällig wird
• 0 = aktueller Zeitpunkt
(Kontrahierungszeitpunkt)
• S0 = aktueller Kurs des
„underlyings“
• ST = Preis des „underlyings“
in T
• f = Wert einer long Position
des Terminkontraktes
• K = „Ausübungspreis“
• r = risikoloser Zins für
Anlagedauer T
• (F = Terminkurs des
„underlyings“)
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Wie wird der Terminkurs F bestimmt?
Originalportfolio, bestehend aus:
– einer long-Position im
Terminkontrakt
– einer Cash-Position in Höhe
von K/(1+r)T
Replikationsportfolio bestehend
aus:
– einer long-Position des
„underlyings“ (Kassa-Markt!)
• Auszahlung für Portfolio A in 0:
f + K/(1+r)T
• Auszahlung für Portfolio B in
0:
S0
Seite 29
• Beide Portfolios stellen sicher, dass sein „Halter“ im Zeitpunkt T
eine Einheit des „underlyings“ im Besitz hat!
• M.a.W., die Auszahlungsstruktur beider Depots ist identisch!
• Arbitragefreiheit fordert nun, dass sie dann in t=0 („heute“) auch
gleich viel kosten müssen!
• Es muss daher gelten:
S0 = f + K/(1+r)T
Seite 30
• Beachte: Je höher der „Ausübungspreis“ K, desto geringer ist f,
d.h. der Wert des Terminkontraktes zum Zeitpunkt t!
• Der Terminkurs F eines „underlyings“ ist nun genau der
„Ausübungspreis“ K, der den Wert des Terminkontraktes Null
werden lässt!
• Das heißt: Wähle K so, dass f = 0 gilt und nenne dieses
spezielle K dann Terminkurs F!
• Formal:
S0 = F/(1+r)T
F = S0*(1+r)T
Seite 31
Ergebnis
Der Terminkurs eines Wertpapiers, das während der Kontraktdauer
keine Erträge abwirft, entspricht seinem mit aufgezinsten
Kassakurs!
Seite 32
Terminkontrakte auf Produkte mit bekannter Einkommens-Rendite
• T = Zeitpunkt zu dem
Kontrakt fällig wird
• 0 = aktueller Zeitpunkt
(Kontrahierungszeitpunkt)
• S0 = aktueller Kurs des
„underlyings“
• ST = Preis des
„underlyings“ in T
• q = bekannte
Einkommens-Rendite (z.B.
Dividenden-Rendite,
Kuponsatz)
• f = Wert einer long Position
des Terminkontraktes
• K = Ausübungspreis
• r = risikoloser Zins für
Anlagedauer T
• F = Terminkurs des
„underlyings“
Seite 33
Wieder die beiden Portfolios:
Originalportfolio, bestehend • Replikationsportfolio, bestehend
aus:
aus:
– einer long-Position im
Terminkontrakt
– einer Cash-Position in
Höhe von K/(1+r)T
• Auszahlung für Portfolio
A in 0:
– long-Position des „underlyings“ am
Kassa-Markt in Höhe von
1/(1+q)T Einheiten
– Beachte: Hierbei ist unterstellt,
dass sämtliche Erträge aus dem
Wertpapier zum Wiederanlagesatz q reinvestiert werden!
• Auszahlung für Portfolio B in 0:
f + K/(1+r)T
S0/(1+q)T
Seite 34
• Der Halter der Wertpapierposition in Portfolio B muss seine
Ausschüttungen in dasselbe Wertpapier reinvestieren!
• Damit stellen wieder beide Depots sicher, dass sein „Halter“ im
Zeitpunkt T genau eine Einheit des „underlyings“ in Besitz hat!
• M.a.W., die Auszahlungsstruktur beider Depots ist identisch!
• Arbitragefreiheit fordert nun, dass dann beide in t=0 („heute“)
auch gleich viel kosten müssen
S0/(1+q)T = f + K/(1+r)T
Seite 35
Berücksichtigen wir wieder die Konvention
f = 0 und F = K, so ergibt sich:
S0/(1+q)T = F/(1+r)T
F = S0*(1+r)T/(1+q)T
Seite 36
Ergebnis
Der Terminkurs eines Wertpapiers, das während der Kontraktdauer
T eine bekannte und feststehende Einkommens-Rendite abwirft,
entspricht dem mit (1+r)T/(1+q)T aufgezinsten Kassakurs des
Wertpapiers.
Verursacht das underlying während der Laufzeit des Kontraktes
Lager- oder sonstige Haltekosten (“Cost of Carry“), werden diese
wie negative Zinsen behandelt.
(siehe Beispiel, welches in der Vorlesung behandelt wurde)
Seite 37
Zusammenfassung der Ergebnisse
• Terminkurs eines
Instruments ohne
Zahlungen:
F = S0*(1+r)T
• Terminkurs eines
Instruments mit fester
Einkommensrendite q:
F = S0*(1+r)T/(1+q)T
Seite 38
Fazit:
• Die Differenz aus Termin- und Kassakurs leitet sich
ausschließlich aus der sogenannten Arbitragefreiheitsbedingung
ab!
• Sie wird daher nur von den Größen beeinflusst, die in den
entsprechenden Formeln auftauchen!
• Insbesondere mit den Erwartungen der Marktteilnehmer hat sie
nichts zu tun!
Seite 39
Übung:
Wie wirken sich die diversen Einflussfaktoren auf
den Terminkurs eines Finanzinstrumentes aus?
EINFLUSSFAKTOR
AUSWIRKUNG
Aktueller Kassakurs des „underlyings“
Risikofreier Zinssatz
Kontraktdauer
Erwartungen über zukünftigen Kassakurs
Einkommensrendite des „underlyings“
Auslandszinssatz
Seite 40
Derivate Special 1
Zinsparität und die Bewertung eines
Devisenterminkontraktes
Seite 41
Was ist ein Devisenterminkontrakt?
Ein Devisenterminkontrakt ist die Vereinbarung...
über die Lieferung und Bezahlung einer bestimmten
Fremdwährung (z.B. dem US-Dollar)
• zu einem späteren, genau spezifizierten Zeitpunkt
• zu einem bereits jetzt festgelegten Preis (d.h. Wechselkurs)
Entscheidend: Durch den Kontrakt entsteht die zwingende
Verpflichtung zu liefern und zum vereinbarten Kurs zu
bezahlen (unabhängig vom dann herrschenden
Wechselkurs!!)
Seite 42
Wie wird genau bewertet?
•
•
•
•
•
T = Zeitpunkt zu dem Kontrakt fällig
wird
0 = aktueller Zeitpunkt,
Kontrahierungszeitpunkt
S0 = aktueller Wechselkurs der
Fremdwährung
ST = Kurs der Währung in T
(unbekannt!!)
Beachte, dass alle Wechselkurse
(S0, ST und K) in gleicher Notierung
vorliegen müssen; im Rahmen des
Beispiels verwenden wir die
sogenannte Mengennotierung des $
•
•
•
•
r = Inlandszinssatz für Anlagedauer
T
(T = 1 Jahr; z.B. r =3,72 %)
f = Wert einer „long Position“ des
Devisenterminkontraktes in €
K = Ausübungspreis, d.h.
Wechselkurs zu dem Währung
bezogen wird
R = Auslandszins für Anlagedauer T
(z.B. R = 5,00 %)
Seite 43
Konstruktion der „Replikation“
• Originalportfolio:
• Replikationsportfolio:
– 100 long-Positionen im
Terminkontrakt (Kauf von
100 $ auf Termin)
– einer €-Cash-Position in
Höhe von 100$
K
1 r
– Auszahlung in € für Portfolio
100$
A in 0:
100 * f 
K
1 r
– long-Position im Dollar am
Kassa-Markt in Höhe von
100$/(1+R) FW-Einheiten
– Beachte: Dieser Betrag
wird (mit R verzinst!) auf
einem Währungskonto
gehalten, so dass er auf
100$ anwächst!
– Auszahlung in € für Portfolio
B in 0: 100$
1 R
S0
Seite 44
• Der Halter der Fremdwährungsposition in Portfolio B realisiert in
dieser Position einen Vermögenszuwachs entsprechend dem
Auslandzins R!
• Die €-Kassa-Position in Portfolio A stellt sicher, dass zum
Erfüllungszeitpunkt genau der erforderliche (heimische!)
Geldbetrag vorhanden ist, um den Devisenterminkontrakt zu
erfüllen!
Seite 45
• Damit stellen beide Depots sicher, dass sein „Halter“ im
Zeitpunkt T genau eine Fremdwährungseinheit in Besitz hat!
• M.a.W., die Auszahlungsstruktur beider Depots ist identisch!
• Arbitragefreiheit fordert nun, dass dann in t=0 auch beide gleich
viel kosten müssen!
• M.a.W. es muss gelten:
100$ 100$
100 * f  K  1  R
1 r
S0
Seite 46
Wir erinnern uns:
• Der Terminkurs F ist genau der Ausübungspreis K, der den
Wert des Devisenterminkontraktes Null werden lässt! Dies
gilt auch für Devisenterminkurse!
• In der Formel wirkt sich die wie folgt aus: Man setzt f=0 und
K=F.
• Dann lässt sich das Ganze wie folgt umformen:
100$ 100$
F  1  R  100$  100$  F * (1  r )  S 0 * (1  R)  F  S * (1  R)
0
1 r
S0
F * (1  r ) S0 * (1  R)
(1  r )
Seite 47
Ergebnis:
• Der Devisenterminkurs F einer Währung entspricht dem
aktuellen Wechselkurs S0 der Währung, aufgezinst mit dem
Zinsverhältnis aus Auslands- und Inlandszins.
• Ob hierbei mit dem Quotienten (1+R)/(1+r) oder (1+r)/(1+R)
aufgezinst wird, hängt davon ab, ob die Wechselkurse in Preisoder Mengennotierung angegeben sind.
Seite 48
Preisnotierung vs. Mengennotierung von F bzw. S0
• Mengennotierung
(wie unser Beispiel!)
• Preisnotierung
(1  R)
F  S0 *
(1  r )
(1  r )
F  S0 *
(1  R)
Seite 49
Bedingung der Zinsparität
• Dieses Ergebnis entspricht der berühmten sogenannten
Zinsparitätsbedingung
• Diese besagt, dass das Verhältnis aus Devisenterminkurs und
aktuellem Kurs einer Währung dem Zinsverhältnis entspricht!
• Damit lässt sich der Terminkurs einer Währung ausschließlich
durch den Zinsunterschied zum Ausland erklären!
• Erwartungen spielen hierbei keine Rolle!!
Seite 50
Übungsaufgabe
Ein Unternehmen möchte Exporterlöse, die in genau einem Jahr in Höhe von
5.000.000 US-Dollar zufließen, gegen Währungsverluste absichern.
–
–
–
–
Welchen Devisenterminkontrakt und in welcher Höhe muss es hierzu abschließen?
Was kostet dieses Absicherungsgeschäft?
Benutzen Sie hierzu obenstehende Tabelle bzw. Chart, welche die aktuellen Wechselkurse sowie die
Geldmarktkurven in USA und €-Land enthalten!
Der Ein-Jahreszins in €-Land beträgt 4,1 %, in USA dagegen 5,2 %.
Seite 51
Teil III
Die wichtigsten EUREX Produkte:
DAX- und BUND-Future
Seite 52
Was ist ein Future-Kontrakt?
• Ein Future-Kontrakt ist ein spezieller Terminkontrakt mit
folgenden Besonderheiten:
– Handel erfolgt nur im Rahmen standardisierter
Kontraktspezifikationen, wie
• Kontraktvolumen
• Margin-Pflichten
– Das zu liefernde Gut oder Finanzinstrument ist häufig nicht genau,
sondern nur ungefähr spezifiziert!
– Handel erfolgt nicht OTC, sondern an geregelten Märkten mit
Liquiditäts- und Preisgarantie (in Deutschland früher über DTB jetzt
EUREX)
Seite 53
Was ist die EUREX?
• EUREX ist die weltweit mit
Abstand größte
internationale ElektronikBörse für Derivate
• Über 700 Mitglieder aus
über 25 Ländern
• EUREX ist das Ergebnis der
Fusion von DTB und
SOFFEX („Swiss options
and financial futures
exchange“) im Jahr 1998
Seite 54
EUREX-Produkte im Überblick
•
•
•
•
Aktienmarktprodukte
Indexprodukte
Anleihenprodukte (Kapitalmarktprodukte)
Geldmarktprodukte
Seite 55
Was ist der Euro-Bund-Future (FGBL)?
Der Bund-Future ist ein Terminkontrakt auf
langlaufende Bund-Anleihen:
– „underlying“ ist eine synthetische, fiktive Bund-Anleihe mit einem
Kupon von 6 % und einer Restlaufzeit von 8,5 bis 10,5 Jahren.
– die Anleihe, mit welcher erfüllt werden muss, ist nicht genau
spezifiziert, sondern „lieferbar“ ist jede BundAnleihe mit einer
Restlaufzeit von 8,5 bis 10,5 Jahren und einem Emissionsvolumen
von mindestens 2 Mrd. Euro .
– Minimales Kontraktvolumen (Nominalwert eines Kontraktes!)
beträgt EURO 100.000,-
Seite 56
– Preisänderungen werden in „ticks“ von 0,01 % vom Nominalwert
notiert, d.h. in 10 Euro-Schritten.
– Der Kontrakt läuft jeweils bis Ende des letzten Monats der
Quartalszyklen März, Juni, September und Dezember.
Seite 57
Zur Notierung des Bund-Futures
• Die Notierung des BundFutures erfolgt (wie bei
Anleihen üblich!) in Prozent
vom Nominalwert
• Ein Kurs von 116 bedeutet
daher, dass eine longPosition im Future einen
Wert von 100.000Euro*1,16
=
116.000 Euro hat.
Seite 58
Was ist der DAX-Future (FDAX)?
• Der DAX-Future ist ein (geregelter) Terminkontrakt auf den
DAX-Index
• Der Käufer des Kontraktes (long-Position) gewinnt, wenn der
DAX steigt!
• Der Verkäufer des Kontraktes (short-Position) gewinnt, wenn
der DAX fällt!
• Konkret: Pro-Index-Punkt beträgt der Gewinn bzw. der Verlust
25 EURO
• Der aktuelle Terminkurs entspricht dem aktuellen Stand des
DAX-Futures!
• Zu diesem Terminkurs kann in den Kontrakt kostenlos
eingetreten werden!
Seite 59
• Preisänderungen werden in „ticks“ von 50 % eines
Indexpunktes notiert, d.h. in 12,5 Euro-Schritten.
• Der Kontrakt läuft jeweils bis Ende des letzten Monats der
Quartalszyklen März, Juni, September und Dezember.
Seite 60
DAX-Index versus DAX-Future
•
•
Index = 6.716
Future = 6.853
Aktueller Kontraktwert eines am 21.09.2007 lieferbaren September Futurekontraktes
beträgt 6.853, aktueller DAX-Stand: 6.716 Indexpunkte.
Der Halter einer long-Position (Kauf eines Futures!)
–
–
–
erhält für jeden Index-Punkt, den der Index im September über 6.853 steht, 25 EURO!!
Muss für jeden Index-Punkt, den der Index im Dezember unter 6.853 steht,
25 EURO bezahlen!!
Seite 61
• Der Halter einer short-Position (Verkauf eines Futures!)
– erhält für jeden Index-Punkt, den der Index im Dezember unter 6.853 steht,
25 EURO!!
– muss für jeden Index-Punkt, den der Index im Dezember über 6.853 steht,
25 EURO bezahlen!!
• Vor der Fälligkeit sich ergebende entsprechende Gewinne bzw.
Verluste werden dem Margin-Konto täglich gutgeschrieben,
bzw. belastet. (Unterschied zum Terminkontrakt!)
Seite 62
Pricing von DAX- und Bund-Futures
• Der DAX-Future (wie auch der Bund-Future) wird vom Prinzip her
bewertet, wie ein normales Termingeschäft.
• D.h. der aktuelle DAX-Stand bzw. Anleihenkurs wird mittels eines
laufzeitgerechten Zinssatzes auf den Fälligkeitszeitpunkt hin
aufgezinst.
• Komplikationen in der Praxis
– Ermittlung der Dividenderendite für die DAX-Indexbewertung
– Ermittlung des CtD-Bonds für die Bewertung des BUND-Futures
Seite 63
Pricing des DAX-Future am vereinfachten Beispiel
• Beispiel für den DAX: 6.716
– Aktueller DAX: 6.716 Indexpunkte
– Aktueller Halbjahreszins: 3,93 %
– (tatsächlicher DAX-Future: 6.853)
• Aufzinsung mittels diskreter und stetiger Zinsformel:
– Diskret:
– Stetig:
FV=6.716*(1+0,0393/2)=6.848
FV = 6.716*e 0,0393*190/360 =6.856
Seite 64
Teil IV
Optionen und ihre Auszahlungsprofile
Seite 65
Optionen
• Eine Option ist ein handelbares Recht....
– ein Finanzmarktinstrument zu einem späteren Zeitpunkt entweder
• zu kaufen (Kaufoption, „call“), oder
• zu verkaufen (Verkaufsoption, „put“).
• Eine Option heißt.....
– „europäisch“, wenn dieses Recht nur am Fälligkeitstermin ausgeübt
werden kann.
– „amerikanisch“, wenn dieses Recht während der gesamten Zeit
(vom Kauf bis zur Fälligkeit) ausgeübt werden kann.
Seite 66
Begriffe zu Optionen
• Optionsprämie...
– ist der Marktpreis, zu dem die Option gekauft oder verkauft werden
kann.
• Ausübung...
– bedeutet, dass der Käufer der Option von seinem Recht zu kaufen
oder zu verkaufen Gebrauch macht.
• Ausübungspreis („strike“ oder „exercise“-Preis)
– ist der Preis, zu dem gemäß Optionsrecht das zugrundeliegende
Finanzinstrument („underlying“) gekauft oder verkauft werden kann.
• Stillhalter...
– ist eine andere Bezeichnung für den Verkäufer einer Option.
Seite 67
• Optionsfrist...
– ist die Zeit während der („amerikanischer“ Typ) bzw. nach deren
Ablauf („europäischer“ Typ) die Option ausgeübt werden kann
• „Im Geld“...
– ist eine Kaufoption (Verkaufsoption) dann, wenn der
Ausübungspreis unter (über) dem Marktkurs des „underlyings“ liegt,
d.h. bei Ausübung ein Gewinn realisiert werden kann.
• „Am Geld“...
– Ist eine Option dann, wenn der Ausübungspreis dem Marktkurs
entspricht
Seite 68
•
„Aus dem Geld“...
– ist eine Kaufoption (Verkaufsoption) dann, wenn der Ausübungspreis
über (unter) dem Marktkurs des „underlyings“ liegt, d.h. bei Ausübung
ein Verlust realisiert würde.
•
Intrinsischer (innerer) Wert...
– einer Option ist der Gewinn, der bei Ausübung einer Option, die im
Geld ist, realisiert werden kann. Der innere Wert ist also die Differenz
aus Markt- und Ausübungspreis (Kaufoption) bzw. die Differenz aus
Ausübungs- und Marktpreis (Verkaufsoption).
•
Zeitwert...
– einer Option ist die Differenz aus dem Preis (Prämie) einer Option und
ihrem inneren Wert. Der Optionspreis entspricht somit stets der
Summe aus innerem Wert und Zeitwert.
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Auszahlungsstruktur einer Long-Position in einer Call-Option
•
•
•
•
K ist der vereinbarte Preis, zum
dem gekauft werden kann
(„Ausübungspreis“)
O ist der Optionspreis
S(T) ist der Preis des
„underlyings“, d.h. des
Instruments, auf das sich der
Terminkontrakt bezieht, zum
Zeitpunkt T
Auszahlung bzw. „Gewinn“
= max{S(T)-K;0}-O(1+r)T
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Auszahlungsstruktur einer Short-Position in einer Call-Option
•
•
•
•
K ist der vereinbarte Preis, zum
dem (bei Ausübung!) verkauft
werden muss
O ist der Optionspreis
S(T) ist der Preis des
„underlyings“, d.h. des
Instruments, auf das sich der
Terminkontrakt bezieht, zum
Zeitpunkt T
Auszahlung bzw. „Gewinn“
= O*(1+r)T-max{S(T)-K; 0}
= O*(1+r)T+min{K-S(T); 0}
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Auszahlungsstruktur einer Long-Position in einer Put-Option
•
•
•
•
K ist der vereinbarte Preis, zum
dem verkauft werden kann
O ist der Optionspreis
S(T) ist der Preis des
„underlyings“, d.h. des
Instruments, auf das sich der
Terminkontrakt bezieht, zum
Zeitpunkt T
Auszahlung
= max{K-S(T);0}-O*(1+r)T
Seite 72
Auszahlungsstruktur einer Short-Position in einer Put-Option
•
•
•
•
K ist der vereinbarte Preis, zum
dem gekauft werden muss
(bei Ausübung!)
O ist der Optionspreis
S(T) ist der Preis des
„underlyings“, d.h. des
Instruments, auf das sich der
Terminkontrakt bezieht, zum
Zeitpunkt T
Auszahlung
= O*(1+r)T-max{K-S(T); 0}
=O*(1+r)T+min{S(T)-K;0}
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Teil V
Zur theoretischen Bewertung von Optionen – ein
didaktisches Beispiel der CBT
Seite 74
Logik allgemeiner Derivatbewertung
Der strukturelle Zusammenhang sieht wie folgt aus
Seite 75
Allgemeine Optionsbewertungsformel
•
•
•
Erstmals publiziert im mittlerweile legendären Aufsatz aus dem Jahr
1973 zur Bestimmung der fairen Prämie einer Call-Option.
Varianten dieser Gleichung werden in nahezu allen Finanzinstituten in
Form von Derivate-Bewertungsprogrammen eingesetzt.
Damit ist sie die wohl am meisten angewendete Gleichung der
Finanzmarkttheorie.
Seite 76
Warum so kompliziert?
• Im allgemeinen kann die Brücke vom Kassakurs S(t) zum
Derivatpreis F[S(t);t;...] nicht direkt geschlagen werden, weil...
– .....S(t) normalerweise einem sogenanntem stochastischen Prozess
entspricht, und
– .....das Derivat von seiner Konstruktion her einen bedingten
Zahlungsstrom generiert (Optionen)
• Ausnahmen:
– Unbedingte Zahlungsströme (Termingeschäfte, Futures)
– Im Rahmen stark vereinfachter didaktischer Bespiele
Seite 77
Zwei-Perioden-Beispiel der CBT
– Zum Zeitpunkt 0 wird eine europäische Kaufoption auf eine
Aktie gehandelt, die in T ausgeübt werden kann.
– Aktueller Kurs der Aktie: S0 = 39,20
– Ausübungspreis der Aktie: K = 40
– risikoloser Zinssatz für Anlagedauer T: r = 0,091
– (in 0 unbekannter) Kurs der Aktie zum Ausübungszeitpunkt
T: S(T) = ???
– Aber: Nehmen wir an, es gibt in T für die Aktien nur zwei
Möglichkeiten:
• entweder sie steigt von 39,2 auf 44 oder
• sie fällt von 39,2 auf 36
Seite 78
• Mögliche Szenarien im Zeitpunkt T:
– STK: Option wird ausgeübt, da die Aktie günstiger als zum
Marktkurs bezogen und damit mit Gewinn wiederverkauft werden
kann
Gewinn: S(T)-K-O*(1+r)T
– STK: Option wird nicht ausgeübt, da die Aktie durch das
Optionsrecht nicht günstiger als am Markt bezogen werden kann.
Verlust: -O* (1+r)T
Seite 79
Zentrale Fragestellungen
• Wie hoch ist die „faire“ Prämie der Option?
• Wovon hängt die Höhe dieser Prämie ab?
• Wie verändert sich die Prämie, wenn sich „ceteris paribus“ ihre
Bestimmungsfaktoren verändern?
Seite 80
Beispiel zur Bestimmung der Optionsprämie
• Die Logik der Optionspreisbildung kann anhand des einfachen
Beispiels sehr schön verdeutlicht werden!
• Hierzu betrachten wir zwei „Strategien“:
• Strategie A:
– Kauf zweier Kaufoptionen
• Strategie B (Replikation!)
– Kauf der Aktie zum Kurs 39,2
– Kredit in Höhe von 33 zum Zinssatz r=0,091
Seite 81
Auszahlungen beider Strategien in T
• Wenn Aktie auf 44 steigt
– Strategie A:
Die Optionen werden
ausgeübt. Zufluss
beträgt: 2*(44-40) = 8
– Strategie B
Die Aktie wird verkauft,
der Kredit verzinst und
getilgt. Zufluss beträgt:
44-33*1,091 = 8
• Wenn Aktie auf 36 fällt:
– Strategie A:
Optionen werden nicht
ausgeübt. Zufluss beträgt
0
– Strategie B:
Die Aktie wird verkauft,
der Kredit verzinst und
getilgt. Zufluss beträgt:
36-33*1,091 = 0
Seite 82
• Wir haben also zwei Portfolios mit den folgenden Eigenschaften:
– Die in T zufließenden Zahlungen aus beiden Depots sind für beide
Depots unter jeder Marktkonstellation gleich.
– Die in t=0 für Strategie A anfallenden Auszahlungen sind abhängig
von der (unbekannten!) Optionsprämie.
– Die in t=0 für Strategie B anfallende Auszahlung dagegen ist
abhängig vom Kassakurs der Aktie.
Seite 83
• Arbitragefreiheit fordert nun, dass die Auszahlungen in t=0
für beide Depots identisch sein müssen!
• Konkret:
2*O
= 6,2
O
= 6,2/2
O
= 3,1
Seite 84
Kennzahlen zur Beschreibung von Derivaten
•
Die Optionspreistheorie beschreibt den Zusammenhang des Preises eines
Derivates von folgenden Größen:
–
–
–
–
–
–
•
•
•
Kassakurs des zugrunde liegenden Wertpapiers („underlying“)
Ausübungspreis („strike“)
Volatilität des zugrunde liegenden Wertpapiers
Laufzeit des Derivats
Laufzeit-entsprechender risikofreier Zinssatz
Einkommensrendite des zugrunde liegenden Wertpapiers
Jedes Derivat reagiert nun ganz spezifisch auf Veränderungen der
genannten Größen.
Derivat-Sensitivitäten (die sogenannten „Griechen“) konkretisieren diese
Empfindlichkeiten.
So geben beispielsweise „Delta“ und „Omega“ einer Option an, wie stark
die Optionsprämie auf Veränderungen des Kassakurses des underlyings
reagiert.
Seite 85
Bestimmungsfaktoren der Optionsprämie
Seite 86
Derivate-Griechisch (Sensitivitäten)
Allgemein: Preisänderung = Sensitivität*Parameteränderung
Seite 87
Derivate Special 2
Bewertung von Corporate Bonds durch
strukturierte Kreditmodelle
Seite 88
Drei Schritte der Kreditbewertung nach Robert Merton
• Zerlegung der Kreditvergabe an ein Unternehmen in
– einen ausfallrisikofreien Kredit
– Stillhalterposition in einer Verkaufs-Option („put“) welche die
Möglichkeit eines Kreditausfalls (=Optionsausübung) widerspiegelt
• Strike = Nominalwert des Kredits
• underlying ist das Unternehmen selbst
• Wert des underlyings bei Ausübung = Marktwert des Unternehmens
• Getrennte Bewertung von risikofreiem Kredit und Verkaufsoption
• Wert des Kredits = Wert des risikofreien Kredits
abzgl. Optionsprämie des Put
Seite 89
Zwei Verständnisschritte erforderlich
1.
Warum kann die Vergabe eines ausfallrisiko-behafteten
Kredits als Kombination eines risikofreien Kredits und einer
Stillhalterposition in einer Verkaufoption interpretiert werden?
2.
Wie funktioniert die Bewertung („Pricing“) des Optionsanteils,
d.h. der Verkaufsoption?
Seite 90
Beispiel zu Frage 1
• Börsennotiertes Unternehmen hat nur einen einzigen,
abgezinsten und endfälligen Kredit mit Nennwert N
ausstehen, der in einem Jahr fällig ist und für den keine
zwischenzeitlichen Zinszahlungen anfallen (Emission ZeroBond).
• Das Unternehmen ist zahlungsunfähig („Default“), wenn der
Marktwert der Aktien des Unternehmens am
Fälligkeitstermin ST unter dem Nominalbetrag des Kredits N
liegt.
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Zahlungen (Cash Flows) zum Fälligkeitstermin
Originalkredit
(1) Auszahlung an
Kreditgeber
Duplikation
(2) Auszahlung aus
risikofreiem Kredit
(3) „Auszahlung“ aus
Stillhalterposition in der
Verkaufsoption
(2)+(3)=(1)
ST<N
STN
ST
N
Ausübung
Nicht-Ausübung
N
N
ST - N
0
ST
N
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Beispiel zu Frage 2:
• Vorliegende Situation
– Zum Zeitpunkt 0 („heute“) wird eine europäische Verkaufsoption auf
eine Aktie gehandelt, die in T (in einem Jahr) ausgeübt werden kann.
– S0 = 98 (aktueller Kurs der Aktie)
– K = 100 (Ausübungspreis der Option, „strike“)
– R = 9,1 % (risikoloser Zinssatz für Anlagedauer T)
– ST = („heute“ noch unbekannter Kurs der Aktie zum
Ausübungszeitpunkt)
Seite 93
• Vereinfachung des Beispiels:
Nehmen wir an, es gibt in T für die Aktie nur zwei Möglichkeiten:
• entweder sie steigt von 98 auf 110 oder
• sie fällt von 98 auf 90
• Mögliche Szenarien im Zeitpunkt T:
– ST = 90: Verkaufsoption wird ausgeübt, da die Aktie am Markt günstig
beschafft werden kann und über die Option dem Stillhalter zu 100
„angedient“ wird.
– ST =110: Option wird nicht ausgeübt, da die Aktie am Markt teurer
„eingekauft“ werden müsste.
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Zur Bestimmung der Optionsprämie
•
•
•
Die Logik der Optionspreisbildung kann anhand des einfachen
Beispiels sehr schön verdeutlicht werden!
Hierzu betrachten wir zwei Depots:
Originaldepot:
– Kauf zweier Verkaufsoptionen
•
Duplikationsdepot
– Leerverkauf der Aktie in 0 zu 98 und gleichzeitigen Wiederkauf in einem
Jahr zum dann herrschenden Marktkurs
– Anlage von 100,82 zu 9,1 %
•
Wir betrachten nun die „Zahlungsprofile“ dieser beiden Depots zum
Ausübungszeitpunkt
•
Wichtig: Die Zahlungen zu den Zeitpunkten 0 und T dürfen gemäß der
Optionspreislogik nicht miteinander verrechnet werden.
Seite 95
Original-Depot
ST =90
(Ausübung der Option)
ST = 110
(Nichtausübung)
2*(100 - 90)= 20
0
Fest-Anlage:
100,82*(1,091) = 110
Leerverkauf: - 90
Fest-Anlage:
100,82*(1,091) = 110
Leerverkauf: - 110
Gesamt: 110 - 90 = 20
Gesamt: 110 - 110 = 0
(Kauf von 2 Verkaufsoptionen)
Duplikation („Replikation“)
(Leerverkauf der Aktie zu 98 und Anlage von
100,82 zu 9,1 %)
•
•
Die in T zufließenden Zahlungen aus beiden Depots sind für beide Depots unter jeder Marktkonstellation identisch!
Arbitragefreiheit fordert nun, dass Cash-Flows, die in T unter allen Marktkonstellationen identisch sind, auch in t=0 identische
Auszahlungen verursachen müssen: D.h. konkret:
Ausz. „heute“ für Original
= Ausz. „heute“ für Duplikation
2*Prämie
= 100,82 – 98
= 2,82
 Prämie = 1,41
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Kombination der Ansätze
Originalkredit
(1) Auszahlung an
Kreditgeber
Duplikation
(2) Auszahlung aus
risikofreiem Kredit
(3) „Auszahlung“ aus
Stillhalterposition in der
Verkaufsoption
(2)+(3)=(1)
•
•
Bewertung
ST = 90
ST= 110
90
100
Ausübung
Nicht-Ausübung
100
100
91,66
90 -100 =-10
0
1,41
90
100
91,66 – 1,41 =
90,25
Dies bedeutet: Die Anleihe, welche ohne Ausfallrisiko 91,66 kostet, hat unter Berücksichtigung des
Ausfallrisikos nur noch einen Wert von 90,25
Dies entspricht einer Rendite von 10,80 % und damit einem „fairen“ Credit-Spread von 10,80 % 9,01 % = 1,79 % = 179 BP
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