Kapitel 4: Listen
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Kapitel 4: Listen
Lineare Liste: endliche Folge von Elementen eines Grundtyps.
Wir schreiben die Liste als <a1, a2, ..., an> (n>=0)
und die leere Liste (falls n=0) als < >.
Beispiele: Die Liste der natürlichen Zahlen in geordneter Form:
<1,2, ..., n>
Oder eine beliebige Zeichenfolge (einschließlich Leerzeichen)
<d,a,s, ,i,s,t, ,e,i,n,e, ,L,i,s,t,e>
Auch der Text dieser Folie kann als eine Liste betrachtet werden.
Listenelemente besitzen Schlüssel, eigentliche Information und
ggf. weitere Komponenten (z.B. Zeiger).
R. Der
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Algorithmen und Datenstrukturen (Magister)
Operationen auf Listen
Operationen: Einfügen, Entfernen, Suchen
Implementierungen: 1. Sequentiell (Arrays), 2. Dynamisch (Zeiger)
Vorteile sequentieller Speicherung:
• schnelle Suchverfahren falls Sortierung vorliegt, da jedes
Element über Indexposition direkt ansprechbar (O(1))
Nachteile sequentieller Speicherung:
• hoher Änderungsaufwand durch Verschiebekosten (O(n))
• schlechte Speicherplatzausnutzung
• inflexibel bei starkem dynamischem Wachstum
R. Der
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Algorithmen und Datenstrukturen (Magister)
Implementierung (Zeiger):
Zeiger (*ptr).next zeigt auf an (erleichtert Hintereinanderhängen
von Listen). Notation in C: ptr->next
Praktische Realisierung:
• Jedes Element enthält Zeiger auf das nächste Element der Liste.
• Zwei Dummy-Elemente, repräsentieren Kopf (head) und Ende (tail) der Liste. Tail
zeigt auf sich selbst.
|__|_| -> | a1 | | -> ... -> | an | | -> | | |
head
R. Der
tail
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Algorithmen und Datenstrukturen (Magister)
Struktur für einfach verkettete Listen
Strukturdatentyp für einfach verkettete Listenelemente
struct ListElmt
{
int
void
struct ListElmt
key;
*data;
*next;
/*Zum Generieren der Daten*/
};
Bemerkung: Die Definition des Strukturdatentyps ListElmt ist rekursiv. Das ist in
C nur über Zeiger (*next) möglich.
R. Der
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Algorithmen und Datenstrukturen (Magister)
Einfach verkettete Listen
Eine Struktur für verkettete Listen
struct List{
int
size;
struct ListElmt *head;
struct ListElmt *tail;
};
R. Der
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Algorithmen und Datenstrukturen (Magister)
Einfach verkettete Listen:
• Nur sequentielle Suche möglich
(sowohl im geordneten als auch ungeordneten Fall)
• Einfügen und Löschen eines Elementes mit Schlüssel K
erfordert vorherige Suche
Zyklisch verkettete Liste
• Zeiger des letzten (dummy) Elementes zeigt auf head so
dass automatisch ein Rücksprung zum Kopf der Liste
erfogt.
R. Der
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Algorithmen und Datenstrukturen (Magister)
Implementierung (doppelt verkettet):
Zeiger (*ptr).next zeigt auf das nachfolgende und (*ptr).previous
gleichzeitig auf das vorhergehende Listenelement.
|__|_| <-> | a1 | | <-> ... <-> | an | | <-> |__|_|
head
tail
Struktur eines Elementes (ohne explizite Referenz auf Daten)
struct ListElmt_
{
int
key;
struct ListElmt_ *next;
struct ListElmt_ *previous;
}ListElmt;
R. Der
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Algorithmen und Datenstrukturen (Magister)
Implementierung (doppelt verkettet):
Bewertung
• höherer Speicherplatzbedarf als bei einfacher Verkettung
• Aktualisierungsoperationen etwas aufwendiger (Anpassung
der Verkettung)
• Suchaufwand in etwa gleich hoch, jedoch ggf. geringerer
Suchaufwand zur Bestimmung des Vorgängers
(PREVIOUS(p,L))
• geringerer Aufwand für Operation DELETE(p,L)
• Flexibilität der Doppelverkettung besonders vorteilhaft,
wenn Element gleichzeitig Mitglied mehrerer Listen sein
kann (Multilist-Strukturen)
R. Der
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Algorithmen und Datenstrukturen (Magister)
Implementierung (doppelt verkettet):
Suchaufwand bei ungeordneter Liste
• erfolgreiche Suche cavg=(n+1)/2
(Standardannahme: zufällige Schlüsselauswahl,
stochastische Unabhängigkeit der g. Schlüsselmenge)
Einfügen oder Löschen eines Elementes
• konstante Kosten für Einfügen am Listenanfang
• Löschen verlangt meist vorherige Suche
• konstante Löschkosten bei positionsbezogenem Löschen
und Doppelverkettung
Sortierung bringt kaum Vorteile
• erfolglose Suche cavg=(n+1)/2
• lineare Kosten für Einfügen in Sortierreihenfolge
R. Der
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Algorithmen und Datenstrukturen (Magister)
Häufigkeitsgeordnete lineare Listen
Zugriffshäufigkeiten für die einzelnen Elemente bekannt
• mittlere Suchkosten
cavg(n)=1*p1+2*p2+3*p3+...+n*pn
• minimierte Suchkosten wenn
p1>p2> ...>pn
Selbstorganisierende Listen
(wenn Zugriffshäufigkeiten für die einzelnen Elemente nicht
bekannt)
• Frequency count
• Transpose
• Move-to-Front
R. Der
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Algorithmen und Datenstrukturen (Magister)
Skip-Listen
Wörterbücher (Dictionaries):
Mengen von Elementen eines Grundtyps mit Operationen
Suchen, Einfügen, Entfernen.
Wörterbuchproblem: Finden geeigneter Datenstruktur und
effizienter Algorithmen für diese Operationen
(Listen eine von mehreren Realisierungsmöglichkeiten).
Skip-Listen: Effiziente Realisierungsmöglichkeit.
a) Perfekte Skip-Listen
Def.: Eine perfekte Skip-Liste ist eine sortierte, verkettete
lineare Liste, mit Kopf und Endelement, wobei gilt:
1) jedes 2i-te Element hat Zeiger auf das 2i Positionen weiter
rechts stehendes Element.
2) Endelement hat Wert unendlich.
R. Der
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Algorithmen und Datenstrukturen (Magister)
Jedes Listenelement hat Zeiger auf nächstes Element.
Jedes 2. Listenelement hat Zeiger auf übernächstes Element.
Jedes 4. Listenelement hat Zeiger auf 4 Positionen weiter rechts
stehendes Element, etc.
Gesamtzahl der nötigen Zeiger für Länge n:
n + n/2 + n/4 + ... + 1 2n
Höhe eines Elements: Anzahl der Zeiger des Elements -1.
Höhe der Liste (L.höhe):
maximale Zeigeranzahl eines Elements - 1: |_ log n _| .
R. Der
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Algorithmen und Datenstrukturen (Magister)
Suchen informell:
1. Sei i die Höhe der Skip-Liste, der Kopf der Liste das
aktuell inspizierte Objekt.
2. Falls Schlüssel des Objekts, auf das der Niveau-i-Zeiger
des aktuellen Objekts zeigt, kleiner als der
Suchschlüssel ist, mache dieses zum aktuellen Objekt.
3. dekrementiere i.
Falls i >= 0 gehe nach 2.
4. Falls der Schlüssel des Nachfolgers des aktuellen Objekts
identisch mit dem Suchschlüssel ist, gib Nachfolger
aus, sonst ist Objekt mit Suchschlüssel nicht in Liste.
R. Der
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Algorithmen und Datenstrukturen (Magister)
Suchaufwand
Suchen in perfekten Skip-Listen ist O(log n).
Problem: Einfügen und Löschen führt zu erheblichem
Mehraufwand, wenn Skip-Listen perfekt bleiben sollen.
Deshalb: randomisierte SLs: Man sorgt dafür, daß die Anzahl
der vorkommenden Höhen stimmt (d.h. Hälfte Niveau 1 Zeiger,
Viertel Niveau 2 Zeiger etc.).
Neues Element erhält Höhe i mit Wahrscheinlichkeit 1 / 2i+1,
0 i maxhöhe
Beim Einfügen (und Entfernen) müssen Zeiger entsprechend
der zufälligen Höhe des Elements umgesetzt werden.
R. Der
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Algorithmen und Datenstrukturen (Magister)
Komplexitätsanalyse (etwas aufwendiger Beweis) zeigt:
Erwartungswert (aber nicht worst case) für Kosten von Suchen,
Einfügen und Entfernen in randomisierten Skip-Listen ist
immer noch O(log n).
R. Der
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Algorithmen und Datenstrukturen (Magister)
