( B` ) 1
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Gewichtsbalancierte Suchbäume
• Gewichtsbalancierte oder BB-Bäume (bounded balance):
Zulässige Abweichung der Struktur vom ausgeglichenen
Binärbaum wird als Differenz zwischen der Anzahl der
Knoten im rechten und linken Unterbaum festgelegt.
Definition: Sei B ein binärer Suchbaum mit linkem
Unterbaum Bl und l die Anzahl der Blätter in Bl (n sei
entsprechend die gesamte Anzahl der Blätter in B)
(1) ( B ) = l / n heißt die Wurzelbalance von B.
(2) Ein Baum B heißt gewichtsbalanciert (BB ( )) oder von
beschränkter Balance , wenn für jeden Unterbaum
B‘ von B gilt:
( B‘ ) 1 -
G.Heyer
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Algorithmen und Datenstrukturen
Parameter als Freiheitsgrad im Baum
• = 1/2 : Balancierungskriterium akzeptiert nur
vollständige Binärbäume
• < 1/2 : Strukturbeschränkung wird zunehmend gelockert
==> Welche Auswirkungen hat die Lockerung des
Balancierungskriteriums auf die Kosten?
Rebalancierung
• wird gewährleistet durch die Wahl von
_
1 - V2 / 2
• Einsatz derselben Rotationstypen wie beim AVL - Baum
Kosten für Suche und Aktualisierung: O ( log 2 n )
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Algorithmen und Datenstrukturen
11. Kapitel: Mehrwegbäume
Definition: Ein m-Wege-Suchbaum oder ein m-ärer Suchbaum
B ist ein Baum, in dem alle Knoten einen Grad m besitzen.
Entweder ist B leer oder er hat folgende Eingenschaften:
1) Jeder Knoten des Baums hat folgende Struktur:
b
*
P0
K1 D1
*
K2 D2
P1
*
...
Kb Db
P2
*
Pb
Die Pi , 0 i b , sind Zeiger auf die Unterbäume des
Knotens und die
Ki und Di , 1 i b sind Schlüsselwerte und Daten
G.Heyer
3
Algorithmen und Datenstrukturen
2) Die Schlüsselwerte im Knoten sind aufsteigend geordnet:
Ki Ki+1 , 1 i < b .
3) Alle Schlüsselwerte im Unterbaum von Pi sind kleiner als der
Schlüsselwert Ki+1, 0 i < b .
4) Alle Schlüsselwerte im Unterbaum von Pb sind größer als der
Schlüsselwert Kb.
5) Die Unterbäume von Pi, 0 i b sind auch
m-Wege-Suchbäume.
Die Di können Daten oder Zeiger auf die Daten repräsentieren.
Zur Vereinfachung werden die Di weggelassen.
G.Heyer
4
Algorithmen und Datenstrukturen
Wichtige Eigenschaften für alle Mehrwegbäume:
S( Pi ) sei die Seite, auf die Pi zeigt, und K(Pi) die Menge aller
Schlüssel, die im Unterbaum mit Wurzel S(Pi) gespeichert
werden können.
Dann gelten folgende Ungleichungen:
1)
x K( P0 ) :
x < K1
2)
x K( Pi ) :
Ki < x < Ki +1 für i = 1, 2, ... , b-1
3)
x K( Pb ) :
Kb< x
G.Heyer
5
Algorithmen und Datenstrukturen
Kostenanalyse:
• Die Anzahl der Knoten N in einem vollständigen Baum
der Höhe h , h 1, ist
h
N= mi
i=0
• Im ungünstigsten Fall ist der Baum völlig entartet:
N=h
• Schranken für die Höhe eines m-Wege Suchbaums:
logm (N +1 ) h N
G.Heyer
6
Algorithmen und Datenstrukturen
m-Wege-Suchbäume
Definition des Knotenformats
#define
Emax
M-1 /* maximale Anzahl von Einträgen */
typedef
int
Index ;
/* 0 ... Emax -1*/
typedef
struct
{
Schluesseltyp Key;
Infotype
Info;
Sptr
Ptr;
} Eintrag ;
typedef
struct
{
Index
b;
/* Aktuelle Anzahl von Einträgen */
Sptr
P0 ;
Eintrag
Evektor [Emax];
} Seite ;
typedef
Seite
*Sptr;
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Algorithmen und Datenstrukturen
Rekursive Prozedur zum Aufsuchen eines Schlüssels
void Msuche (Schluesseltyp X, Sptr P, Eintrag Element)
{ Index i;
if ( P == NULL ) printf („Schluessel X ist nicht im Baum ! \n“);
else { if ( X < P --> Evektor[ 0 ].Key)
/* X < K1 */
Msuche ( X, P --> P0, Element);
else { i = 0 ;
while ( ( i < P --> b-1 ) && ( X > P --> Evektor[ i ].Key) )
i++; }
if ( P --> Evektor[ i ].Key == X)
/* Ki =X, 0 i b-1 */
Element = P --> Evektor [i];
/* Ki < X < K i+1, 0 i b-1 oder X > Kb */
else Msuche( X , P --> Evektor[ i ].Ptr, Element );
}
return ;
}
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Algorithmen und Datenstrukturen
Durchlauf eines m-Wege-Suchbaums in symmetrischer
Ordnung
void
{
Sym_ord( Sptr P)
Index i ;
if ( P != NULL)
{ Sym_ord (P --> P0) ;
for ( i = 0 ; i = P --> b -1 ; i++ )
{
printf ( „ Schluessel: %s \n“, P --> Evektor[ i ].Key);
Sym_ord ( P --> Evektor [ i ].Ptr );
}
}
return;
}
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Algorithmen und Datenstrukturen
Ziel: Aufbau sehr breiter Bäume von geringer Höhe
• in Bezug auf Knotenstruktur vollständig ausgeglichen
• effiziente Durchführung der Grundoperationen
• Zugriffsverhalten weitgehend unabhängig von Anzahl der Sätze
Weiterentwicklung der Mehrwegbäume: B- und B*-Baum
B-Baum: 1970 von R. Bayer und E. McCreight entwickelt.
Idee: dynamische Reorganisation eines Mehrwegbaumes durch
Splitten und Mischen von Seiten.
Grundoperationen:
• Einfügen eines Satzes
• Löschen eines Satzes
• direkter Schlüsselzugriff auf einen Satz
• sortiert, sequentieller Zugriff auf alle Sätze
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Algorithmen und Datenstrukturen
B - Bäume
Definition: Seien k, h ganze Zahlen, h 0 , k > 0.
Ein B -Baum B der Klasse ( k, h ) ist entweder ein leerer
Baum oder ein geordneter Baum mit folgenden Eigenschaften:
1) Jeder Pfad von der Wurzel zu einem Blatt hat die gleiche
Länge h.
2) Jeder Knoten außer der Wurzel und den Blättern hat
mindestens k + 1 Söhne. Die Wurzel ist ein Blatt oder
hat mindestens 2 Söhne.
3) Jeder Knoten hat höchstens 2k+1 Söhne.
4) Jedes Blatt mit der Ausnahme der Wurzel als Blatt hat
mindestens k und höchstens 2k Einträge.
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Algorithmen und Datenstrukturen
Für einen B - Baum ergibt sich folgendes Knotenformat:
L
b
* K1 D1 * K2 D2 *
P0
Einträge:
P1
...
Kb Db *
P2
freier Platz
Pb
• Die Einträge für Schlüssel, Daten und Zeiger haben die
festen Längen lb, lK, lD und lp.
• Die Knoten- oder Seitengröße sei L.
• Maximale Anzahl von Einträgen pro Knoten:
bmax =
L - lb - lp
------------
= 2k
l K + lD + l p
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Algorithmen und Datenstrukturen
Reformulierung der Definition:
4) und 3): Eine Seite darf höchstens voll sein.
4) und 2): Jede Seite (außer der Wurzel) muss mindestens
halb voll sein.
Die Wurzel enthält mindestens einen Schlüssel.
1): Der Baum ist, was die Knotenstruktur angeht,
vollständig ausgeglichen.
Höhe h: Bei einem Baum der Klasse ( k , h ) mit n Schlüsseln
gilt für seine Höhe:
log2k+1 ( n + 1) h logk+1 ((n + 1) / 2 ) + 1 für n 1
und h = 0
G.Heyer
für n = 0
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Algorithmen und Datenstrukturen
Balancierte Struktur:
• unabhängig von der Schlüsselmenge
• unabhängig von ihrer Einfüge-Reihenfolge
==> Wie wird das erreicht ?
Einfügen in B-Bäumen
Was passiert, wenn die Wurzel überläuft ?
* K1 * K2 * . . . * K 2k *
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K2k+1
Algorithmen und Datenstrukturen
Fundamentale Operation: Split-Vorgang
==> Aufteilung der Schlüsselmenge nach folgendem Prinzip:
K1 K2 . . . K k
Kk + 2 . . . K2k + 1
Kk + 1
• mittlere Schlüssel (Median) wird zum Vaterknoten gereicht
• Ggf. muss Vaterknoten angelegt werden
(Anforderung einer neuen Seite)
Hier wird eine neue Wurzel angelegt:
* Kk + 1 *
* K1 * K2 * . . . * K k *
G.Heyer
* Kk + 2 * . . . * K2k + 1 *
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Algorithmen und Datenstrukturen
• Blattüberlauf erzwingt Split-Vorgang,
was Einfügung in den Vaterknoten (ggf: Wurzel )
impliziert.
• Wenn dieser überläuft, folgt erneuter Split-Vorgang
• Split-Vorgang der Wurzel führt zu neuer Wurzel; Höhe des
Baumes erhöht sich um 1.
Bei B-Bäumen ist das Wachstum von den Blättern zur Wurzel
hin gerichtet.
Einfügealgorithmus (ggf. rekursiv )
• Suche Einfüge-Position
• Wenn Platz vorhanden ist, speichere Element, sonst schaffe
Platz durch Split-Vorgang und füge ein.
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Algorithmen und Datenstrukturen
Split-Vorgang als allgemeines Wartungsprinzip
. . . * Kn * Kn+1 * . . .
Pn + 1
Pn
* K1 * . . . * Kk * Kk+1 * . . . * K2 k *
P0
P1
Pk-1
Pk
Pk + 1
P2 k
. . . * Kn * Kk + 1 * Kn +1 * . . .
Pn
K2 k +1 *
P‘
P2 k + 1
Pn + 1
* K1 * . . . * K k *
* Kk +2 * . . . * K2 k+1 *
P0
Pk + 1
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P1
Pk
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Pk + 2
P2 k + 1
Algorithmen und Datenstrukturen
Kostenmaße
• Anzahl der zu holenden Seiten: f (fetch)
• Anzahl der zu schreibenden Seiten : w ( write)
Direkte Suche
• f min = 1 : der Schlüssel befindet sich in der Wurzel
• f max = h : der Schlüssel ist in einem Blatt
• mittlere Zugriffskosten h - 1 f avg h - 1
( für h > 1 )
k
2k
Beim B -Baum sind die maximalen Zugriffskosten h eine gute
Abschätzung der mittleren Zugriffskosten.
==> Bei h = 3 und einem k = 100 ergibt sich
2.99 f avg 2.995
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Algorithmen und Datenstrukturen
Sequentielle Suche
• Durchlauf in symmetrischer Ordnung : f seq = N
• Pufferung der Zwischenknoten im HSP wichtig !
Einfügen
• Günstigster Fall - kein Split-Vorgang: fmin = h ; wmin = 1
• Durchschnittlicher Fall : favg = h ; wavg < 1 + 2
k
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Algorithmen und Datenstrukturen
