Satz von Rolle - Mittelwertsatz - Hu

Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II
Teil 8: Satz von Rolle - Mittelwertsatz - Monotoniekriterium
Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik
Sommersemester 2010/11
Internetseite zur Vorlesung:
http://www.mathematik.hu-berlin.de/˜neumann/
Didaktik der Mathematik der S II, Differentialrechnung
Sommersemester 2010/11
Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II
Anwendung der Differentialrechnung
Aufgaben zum Satz von Rolle und zum Mittelwertsatz
Beweis des Mittelwertsatzes
Monotonie und Ableitung
Didaktik der Mathematik der S II, Differentialrechnung
Sommersemester 2010/11
Satz von Rolle
Die Ableitung einer reellen Funktion f, die im abgeschlossenen
Intervall [a, b] stetig und im offenen Intervall (a, b) differenzierbar ist
und außerdem f (a) = f (b) erfüllt, nimmt an mindestens einer Stelle x0
aus (a, b) den Wert f 0 (x0 ) = 0 an.
Didaktik der Mathematik der S II, Differentialrechnung
Sommersemester 2010/11
Der Mittelwertsatz
Für eine reelle Funktion f, die im abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig
und im offenen Intervall (a, b) differenzierbar ist, gibt es für jedes
beliebige offene Intervall (a, b), a 6= b, mindestens ein x0 ∈ (a, b), so
(a)
dass f 0 (x0 ) = f (b)−f
b−a .
Didaktik der Mathematik der S II, Differentialrechnung
Sommersemester 2010/11
Der Mittelwertsatz
Für eine reelle Funktion f, die im abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig
und im offenen Intervall (a, b) differenzierbar ist, gibt es für jedes
beliebige offene Intervall (a, b), a 6= b, mindestens ein x0 ∈ (a, b), so
(a)
dass f 0 (x0 ) = f (b)−f
b−a .
Geometrische Interpretation: Die Sekantensteigung tritt an mindestens
einer Stelle als Steigung der Funktion auf.
Didaktik der Mathematik der S II, Differentialrechnung
Sommersemester 2010/11
Aufgaben zum Satz von Rolle und zum Mittelwertsatz
1. Belegen Sie durch ein Beispiel, dass man im Satz von Rolle nicht
formulieren kann: Es existiert genau ein x0 mit a < x0 < b und f 0 (x0 ) = 0.
2. Es sei f eine beliebige quadratische Funktion. Zeigen Sie, dass die
Sekante von f in einem beliebigen Intervall [a; b] parallel zur Tangente an
f an der Stelle x0 verläuft, wobei x0 der Mittelpunkt von [a; b] ist.
3. Untersuchen Sie für die folgenden Funktionen, ob es im Intervall [a; b]
eine Stelle x0 gibt, an der die Tangente an f parallel zur Sekante in [a; b]
verläuft.
√
a) f (x) = x , [a; b] = [1; 4]
b) f (x) = x3 , [a; b] = [−3; 3]
4. Sie wissen bereits, dass die Ableitung einer auf R konstanten Funktion f
die Funktion f 0 mit f 0 (x) = 0 für alle x ∈ R ist.
a) Formulieren Sie die Umkehrung dieser Aussage.
b) Beweisen Sie diese Aussage. Wenden Sie dazu den Mittelwertsatz
auf eine Funktion an, deren Ableitung überall null ist.
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Sommersemester 2010/11
Aufgaben zum Satz von Rolle und zum Mittelwertsatz
Aufgabe 1
Belegen Sie durch ein Beispiel, dass man im Satz von
Rolle nicht formulieren kann:
Es existiert genau ein x0 mit
a < x0 < b und f 0 (x0 ) = 0.
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Aufgaben zum Satz von Rolle und zum Mittelwertsatz
Aufgabe 2
Es sei f eine beliebige quadratische Funktion. Zeigen
Sie, dass die Sekante von f
in einem beliebigen Intervall
[a; b] parallel zur Tangente
an f an der Stelle x0 verläuft,
wobei x0 der Mittelpunkt von
[a; b] ist.
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Aufgaben zum Satz von Rolle: Aufgabe 2
f ist eine quadratische Funktion mit
f (x) = αx2 + βx + γ,
α, β, γ reelle Zahlen und f 0 (x) = 2αx + β
Die Sekantensteigung in [a;b] wird beschrieben durch:
f (b)−f (a)
αb2 +βb+γ−(αa2 +βa+γ)
b−a =
b−a
=
2
2 )+β(b−a)
αb2 +βb−αa2 +βa
= α(b −ab−a
b−a
=
α(b−a)(b+a)+β(b−a)
=
b−a
α(a + b) + β
Die Tangentensteigung in x0 =
a+b
2
wird beschrieben durch:
a+b
f 0 (x0 )= f 0 ( a+b
2 ) = 2α( 2 ) + β
= α(a + b) + β
Tangenten - und Sekantensteigung sind also gleich,
Tangente und Sekante parallel.
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Aufgaben zum Satz von Rolle: Aufgabe 2
f ist eine quadratische Funktion mit
f (x) = αx2 + βx + γ,
α, β, γ reelle Zahlen und f 0 (x) = 2αx + β
Die Sekantensteigung in [a;b] wird beschrieben durch:
f (b)−f (a)
αb2 +βb+γ−(αa2 +βa+γ)
b−a =
b−a
=
2
2 )+β(b−a)
αb2 +βb−αa2 +βa
= α(b −ab−a
b−a
=
α(b−a)(b+a)+β(b−a)
=
b−a
α(a + b) + β
Die Tangentensteigung in x0 =
a+b
2
wird beschrieben durch:
a+b
f 0 (x0 )= f 0 ( a+b
2 ) = 2α( 2 ) + β
= α(a + b) + β
Tangenten - und Sekantensteigung sind also gleich,
Tangente und Sekante parallel.
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Aufgaben zum Satz von Rolle: Aufgabe 2
f ist eine quadratische Funktion mit
f (x) = αx2 + βx + γ,
α, β, γ reelle Zahlen und f 0 (x) = 2αx + β
Die Sekantensteigung in [a;b] wird beschrieben durch:
f (b)−f (a)
αb2 +βb+γ−(αa2 +βa+γ)
b−a =
b−a
=
2
2 )+β(b−a)
αb2 +βb−αa2 +βa
= α(b −ab−a
b−a
=
α(b−a)(b+a)+β(b−a)
=
b−a
α(a + b) + β
Die Tangentensteigung in x0 =
a+b
2
wird beschrieben durch:
a+b
f 0 (x0 )= f 0 ( a+b
2 ) = 2α( 2 ) + β
= α(a + b) + β
Tangenten - und Sekantensteigung sind also gleich,
Tangente und Sekante parallel.
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Aufgaben zum Satz von Rolle: Aufgabe 2
f ist eine quadratische Funktion mit
f (x) = αx2 + βx + γ,
α, β, γ reelle Zahlen und f 0 (x) = 2αx + β
Die Sekantensteigung in [a;b] wird beschrieben durch:
f (b)−f (a)
αb2 +βb+γ−(αa2 +βa+γ)
b−a =
b−a
=
2
2 )+β(b−a)
αb2 +βb−αa2 +βa
= α(b −ab−a
b−a
=
α(b−a)(b+a)+β(b−a)
=
b−a
α(a + b) + β
Die Tangentensteigung in x0 =
a+b
2
wird beschrieben durch:
a+b
f 0 (x0 )= f 0 ( a+b
2 ) = 2α( 2 ) + β
= α(a + b) + β
Tangenten - und Sekantensteigung sind also gleich,
Tangente und Sekante parallel.
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Aufgaben zum Satz von Rolle: Aufgabe 2
f ist eine quadratische Funktion mit
f (x) = αx2 + βx + γ,
α, β, γ reelle Zahlen und f 0 (x) = 2αx + β
Die Sekantensteigung in [a;b] wird beschrieben durch:
f (b)−f (a)
αb2 +βb+γ−(αa2 +βa+γ)
b−a =
b−a
=
2
2 )+β(b−a)
αb2 +βb−αa2 +βa
= α(b −ab−a
b−a
=
α(b−a)(b+a)+β(b−a)
=
b−a
α(a + b) + β
Die Tangentensteigung in x0 =
a+b
2
wird beschrieben durch:
a+b
f 0 (x0 )= f 0 ( a+b
2 ) = 2α( 2 ) + β
= α(a + b) + β
Tangenten - und Sekantensteigung sind also gleich,
Tangente und Sekante parallel.
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Aufgaben zum Satz von Rolle: Aufgabe 2
f ist eine quadratische Funktion mit
f (x) = αx2 + βx + γ,
α, β, γ reelle Zahlen und f 0 (x) = 2αx + β
Die Sekantensteigung in [a;b] wird beschrieben durch:
f (b)−f (a)
αb2 +βb+γ−(αa2 +βa+γ)
b−a =
b−a
=
2
2 )+β(b−a)
αb2 +βb−αa2 +βa
= α(b −ab−a
b−a
=
α(b−a)(b+a)+β(b−a)
=
b−a
α(a + b) + β
Die Tangentensteigung in x0 =
a+b
2
wird beschrieben durch:
a+b
f 0 (x0 )= f 0 ( a+b
2 ) = 2α( 2 ) + β
= α(a + b) + β
Tangenten - und Sekantensteigung sind also gleich,
Tangente und Sekante parallel.
Didaktik der Mathematik der S II, Differentialrechnung
Sommersemester 2010/11
Aufgaben zum Satz von Rolle: Aufgabe 2
f ist eine quadratische Funktion mit
f (x) = αx2 + βx + γ,
α, β, γ reelle Zahlen und f 0 (x) = 2αx + β
Die Sekantensteigung in [a;b] wird beschrieben durch:
f (b)−f (a)
αb2 +βb+γ−(αa2 +βa+γ)
b−a =
b−a
=
2
2 )+β(b−a)
αb2 +βb−αa2 +βa
= α(b −ab−a
b−a
=
α(b−a)(b+a)+β(b−a)
=
b−a
α(a + b) + β
Die Tangentensteigung in x0 =
a+b
2
wird beschrieben durch:
a+b
f 0 (x0 )= f 0 ( a+b
2 ) = 2α( 2 ) + β
= α(a + b) + β
Tangenten - und Sekantensteigung sind also gleich,
Tangente und Sekante parallel.
Didaktik der Mathematik der S II, Differentialrechnung
Sommersemester 2010/11
Aufgaben zum Satz von Rolle: Aufgabe 2
f ist eine quadratische Funktion mit
f (x) = αx2 + βx + γ,
α, β, γ reelle Zahlen und f 0 (x) = 2αx + β
Die Sekantensteigung in [a;b] wird beschrieben durch:
f (b)−f (a)
αb2 +βb+γ−(αa2 +βa+γ)
b−a =
b−a
=
2
2 )+β(b−a)
αb2 +βb−αa2 +βa
= α(b −ab−a
b−a
=
α(b−a)(b+a)+β(b−a)
=
b−a
α(a + b) + β
Die Tangentensteigung in x0 =
a+b
2
wird beschrieben durch:
a+b
f 0 (x0 )= f 0 ( a+b
2 ) = 2α( 2 ) + β
= α(a + b) + β
Tangenten - und Sekantensteigung sind also gleich,
Tangente und Sekante parallel.
Didaktik der Mathematik der S II, Differentialrechnung
Sommersemester 2010/11
Aufgaben zum Satz von Rolle Aufgabe 3
Untersuchen Sie für die folgenden Funktionen, ob es im Intervall [a; b]
eine Stelle x0 gibt, an der die Tangente an f parallel zur Sekante in
[a; b] verläuft.
√
a) f (x) = x , [a; b] = [1; 4]
b) f (x) = x3 ,
[a; b] = [−3; 3]
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Aufgaben zum Satz von Rolle: Aufgabe 3
a) f (x) =
Sekante:
√
x,
[a; b]√= [1;
4]
√
4− 1
= 4−1 =
f (b)−f (a)
b−a
Tangente: f 0 (x) =
1
√
2 x
=
1
3
1
3
⇔x=
9
4
für x ∈ [1; 4]
b) f (x) = x3 , [a; b] = [−3; 3]
3 +33
(a)
= 33+3
=9
Sekante: f (b)−f
b−a
√
√
Tangente: f 0 (x) = 3x2 = 9 ⇔ x = − 3 ∨ x = 3
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Aufgaben zum Satz von Rolle: Aufgabe 4
Sie wissen bereits, dass die Ableitung einer auf R konstanten Funktion
f die Funktion f 0 mit f 0 (x) = 0 für alle x ∈ R ist.
a) Formulieren Sie die Umkehrung dieser Aussage.
b) Beweisen Sie diese Aussage. Wenden Sie dazu den
Mittelwertsatz auf eine Funktion an, deren Ableitung überall null
ist.
Didaktik der Mathematik der S II, Differentialrechnung
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Aufgaben zum Satz von Rolle: Aufgabe 4
a) Voraussetzung: Sei f eine Funktion mit f : R → R.
Behauptung: f 0 (x0 ) = 0 für alle x0 ∈ R. ⇒ f ist eine konstante Funktion.
b) Es gelte nun f 0 (x0 ) = 0 für alle x0 ∈ R.
Laut Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es nun für jedes
beliebige offene Intervall (a, b) ⊂ R mit a 6= b ein x0 ∈ (a; b) mit
f 0 (x0 ) =
f (b)−f (a)
b−a .
Also ist
f (b)−f (a)
b−a
= 0 ⇔ f (b) − f (a) = 0 ⇔ f (b) = f (a)
Da dies für jedes offene Intervall gilt, ist f eine konstante Funktion.
Didaktik der Mathematik der S II, Differentialrechnung
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Aufgaben zum Satz von Rolle: Aufgabe 4
a) Voraussetzung: Sei f eine Funktion mit f : R → R.
Behauptung: f 0 (x0 ) = 0 für alle x0 ∈ R. ⇒ f ist eine konstante Funktion.
b) Es gelte nun f 0 (x0 ) = 0 für alle x0 ∈ R.
Laut Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es nun für jedes
beliebige offene Intervall (a, b) ⊂ R mit a 6= b ein x0 ∈ (a; b) mit
f 0 (x0 ) =
f (b)−f (a)
b−a .
Also ist
f (b)−f (a)
b−a
= 0 ⇔ f (b) − f (a) = 0 ⇔ f (b) = f (a)
Da dies für jedes offene Intervall gilt, ist f eine konstante Funktion.
Didaktik der Mathematik der S II, Differentialrechnung
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Aufgaben zum Satz von Rolle: Aufgabe 4
a) Voraussetzung: Sei f eine Funktion mit f : R → R.
Behauptung: f 0 (x0 ) = 0 für alle x0 ∈ R. ⇒ f ist eine konstante Funktion.
b) Es gelte nun f 0 (x0 ) = 0 für alle x0 ∈ R.
Laut Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es nun für jedes
beliebige offene Intervall (a, b) ⊂ R mit a 6= b ein x0 ∈ (a; b) mit
f 0 (x0 ) =
f (b)−f (a)
b−a .
Also ist
f (b)−f (a)
b−a
= 0 ⇔ f (b) − f (a) = 0 ⇔ f (b) = f (a)
Da dies für jedes offene Intervall gilt, ist f eine konstante Funktion.
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Beweis des Mittelwertsatzes
1. Stellen Sie die Gleichung für die lineare Funktion g auf, deren
Graph Sekante von f in [a; b] ist.
2. Zeigen Sie, dass die Hilfsfunktion H mit H(x) = f (x) − g(x) die
Voraussetzungen des Satzes von Rolle erfüllt.
3. Nach dem Satz von Rolle existiert dann ein x0 ∈ ]a; b[ mit
H 0 (x0 ) = 0. Zeigen Sie, dass mit dieser Zahl x0 die Behauptung
des Mittelwertsatzes für f erfüllt ist.
4. Veranschaulichen Sie die Betrachtung durch Skizzieren der
Funktionen f , g und H in einem Intervall [a; b].
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Beweis des Mittelwertsatzes
Aufgabe 1.
(a)
· (x − a) + f (a) oder g(x) =
g(x) = f (b)−f
b−a
f (b)−f (a)
b−a
· (x − b) + f (b)
Aufgabe 2.
Sei f stetig in allen geschlossenen Intervallen [a; b] ⊂ R
und in (a; b) diff’bar, g sei eine lineare Funktion.
Dann ist H mit H(x) = f (x) − g(x) ebenfalls stetig in allen
geschlossenen Intervallen [a; b] ⊂ R und in (a; b) diff’bar und es ist:
H(a) = H(b), denn:
(a)
H(a) = f (a) − g(a) = f (a) − ( f (b)−f
· (a − a) + f (a)) = 0
b−a
(a)
H(b) = f (b) − g(b) = f (b) − ( f (b)−f
· (b − a) + f (a)) = 0
b−a
Didaktik der Mathematik der S II, Differentialrechnung
Sommersemester 2010/11
Beweis des Mittelwertsatzes
Aufgabe 3
∃x0 ∈ (a; b) mit
H 0 (x0 ) = f 0 (x0 ) − g0 (x0 ) = f 0 (x0 ) −
⇔ f 0 (x0 ) =
f (b)−f (a)
b−a
=0
f (b)−f (a)
b−a
und das ist die Behauptung des Mittelwertsatzes.
Didaktik der Mathematik der S II, Differentialrechnung
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Beweis des Mittelwertsatzes
Aufgabe 3
∃x0 ∈ (a; b) mit
H 0 (x0 ) = f 0 (x0 ) − g0 (x0 ) = f 0 (x0 ) −
⇔ f 0 (x0 ) =
f (b)−f (a)
b−a
=0
f (b)−f (a)
b−a
und das ist die Behauptung des Mittelwertsatzes.
Didaktik der Mathematik der S II, Differentialrechnung
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Beweis des Mittelwertsatzes Aufgabe 4
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Monotonie und Ableitung
Eine Funktion f sei in einem Intervall [a; b] streng monoton wachsend
und an einer Stelle x0 ∈ [a; b] differenzierbar.
(xn ) sei eine beliebige gegen x0 konvergierende Folge mit xn 6= x0 ,
xn ∈ [a; b] für alle n.
f (xn ) − f (x0 )
> 0.
1. Begründen Sie: Für alle n gilt
xn − x0
2. Welche Folgerung erhalten Sie für den Grenzwert
f (xn ) − f (x0 )
lim
= f 0 (x0 )?
n→∞
xn − x0
3. Zeigen Sie durch ein Beispiel, dass die Folgerung f 0 (x0 ) > 0 falsch
ist.
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Sommersemester 2010/11
Monotonie und Ableitung
Aufgabe 1
Fallunterscheidung:
Näherung von links, d.h.
xn < x0 also xn − x0 < 0
Dann ist f (xn ) − f (x0 ) < 0.
Insgesamt ist dann
f (xn )−f (x0 )
xn −x0
>0
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Monotonie und Ableitung
Näherung von rechts:
xn − x0 > 0
Dann ist
f (xn ) − f (x0 ) > 0.
Insgesamt ist dann
f (xn )−f (x0 )
>0
xn −x0
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Monotonie und Ableitung
Aufgabe 2
f 0 (x0 ) = lim
n→∞
f (xn )−f (x0 )
xn −x0
=0
Aufgabe 3
Beispiel: f (x) = x3
f ist streng monoton steigend,
da f (x1 ) < f (x2 ) für x1 < x2 .
Aber f 0 (0) = 0
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Monotonie und Ableitung
Graph zu
f (x) = x3
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