Dynamik kleiner K ¨orper

Dynamik kleiner Körper
Sascha Kempf
Kurs Moderne Physik, TU Braunschweig, Sommersemester 2009
1 Das 2-Körper-Problem
1.1 Bahngleichung
Betrachten wir die Bewegung der zweier gravitativ wechselwirkender Körper m1 und m2 an den
Orten r1 und r2 . Da die potentielle Energie U der beiden Körper nur von ihrem Abstand abhängt,
lautet ihre L AGRANGE-Funktion
L=
m1 2 m2 2
ṙ + ṙ2 −U(|r1 − r2 |)
2 1
2
(1)
mit U(r) = −G m1 m2 r−1 und der Gravitationskonstante G = 6.67260 · 10−11 Nm2 kg−2 . Legt man
den Koordinatenursprung in den Schwerpunkt, d.h. r1 m1 + r2 m2 = 0, ergibt sich
L=
m 2
ṙ −U(r).
2
(2)
Hier sind r = r1 −r2 der Abstandsvektor der beiden Körper und m = m1 m2 /m1 +m2 die reduzierte
Masse. Aus der Definition des Koordinatensystems folgt dann
r1 =
m2
m1
r und r2 = −
r.
m1 + m2
m1 + m2
(3)
Das Problem der relativen Bewegung zweier Körper wurde formal auf das Problem der Bewegung
eines Körpers der Masse m in dem Zentralfeld U(r) zurückgeführt.
Zentralfeldprobleme haben die wichtige Eigenschaft, daß hier der auf das Zentrum bezogene Drehimpuls J erhalten bleibt, weshalb der Bahnvektor r des Teilchens stets in der Ebene senkrecht zu
J bleibt. Dies kann man auch folgendermaßen sehen: Bestimmt man aus Gl. (2) die auf m wirkende Kraft mr̈ = ∂L
∂r und bildet das Vektorprodukt mit r, ergibt sich r × r̈ = 0 und nach Integration
r × ṙ = c. Folglich steht der Ortsvektor r stets senkrecht auf dem konstanten Vector c.
1
c
111111111111111
000000000000000
000000000000000
111111111111111
dr
000000000000000
111111111111111
r(t)
000000000000000
111111111111111
dA
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
r(t+dt)
000000000000000
111111111111111
Abb. 1: Zusammenhang zwischen dem Drehimpulserhalts
und der Konstanz der Flächengeschwindigkeit Ȧ.
Es ist folglich ausreichend, die Bewegung eines Teilchens in der Ebene zu betrachten. Nach
Einführung von Polarkoordinaten r, θ bezogen auf das Feldzentrum (dem sogenannten Baryzentrum) lautet die L AGRANGE-Funktion
µm
m 2
,
(4)
ṙ + r2 θ̇2 +
L=
2
r
wobei µ = G(m1 + m2 ). L enthält θ nicht in expliziter Form - θ ist eine zyklische Koordinate. Das
bedeuted, daß für den zugehörigen Impuls pθ das Bewegungsintegral
pθ =
∂L
= m r2 θ̇
∂θ̇
(5)
existiert. Hieraus folgt nun unmittelbar der K EPLERsche Flächensatz:
pθ = mr2 θ̇ = 2m
1
dt
1
2 r · r dθ
= 2mȦ = const.
(6)
Der Ausdruck dA = 12 r · r dθ ist die Sektorfläche, welche vom Radiusvektor innerhalb des Zeitintervalls dt überstrichen wird (siehe Abb. (1)). Folglich gilt: Der Radiusvektor eines Massenpunktes
überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
Die Trajektorie des Körpers erhält man am einfachsten aus den Erhaltungssätzen für den Drehimpuls und für die Energie
E = ṙ
p2
∂L
∂L
m
µm
+ θ̇ − L = ṙ2 + θ 2 −
∂ṙ
2
2mr
r
∂θ̇
(7)
ausgeht. Aus dem letzten Ausdruck erhält man
p2
2
µm dt =
E+
− 2θ 2
m
r
m r
− 21
2
dr
(8)
e
p
E
0
a
<0
0 . . . 1 a(1 − e2 ) < 0
1
2q
0
>1
a(e2 − 1) > 0
Kreis
Ellipse
Parabel
Hyperbel
Tabelle 1:
Kreis
Ellipse
Parabel
Hyperbel
Parameter der Kegelschnitte.
und aus Gl. (5) folgt nach Einsetzen von dt
− 12
p2θ
pθ
pθ 2 µm dθ =
dt =
E+
− 2 2
dr
m r2
m r2 m
r
m r
(9)
und nach Integration

θ = arccos 
m2 µ
pθ
−
r
pθ
2mE +

− 1
4
2
2
m µ
p2θ
 + const.
(10)
Hieraus folgt die Bahngleichung des K EPLER-Problems
r=
p
,
1 + e cos (θ − ϖ)
(11)
wobei
p2θ
p= 2
m µ
(12)
das sogenannte semilatus rectum und
2E p2
e = 1 + 3 2θ
m µ
12
(13)
die Exzentrität der Bahn bezeichnen. Die Phase ϖ wird als Länge des Perizentrums sowie θ als
wahre Länge bezeichnet. Der Winkel f = θ − ϖ ist die wahre Anomalie.
Gl. (11) ist die Gleichung eines Kegelschnittes mit dem Koordinatenursprung im Brennpunkt. Für
E < 0 bewegt sich der Körper auf einer Ellipse, während für E > 0 die Trajektorie eine Hyperbel
sowie für E = 0 eine Parabel ist (siehe Tab. (1)).
3
P
p
f
ae
F2
F1
a(1+e)
b
a(1−e)
a
Abb. 2: Der Urspung der elliptischen Bahn befindet sich in einem der beiden Brennpunkte F1
oder F2 . Für jeden beliebigen Bahnpunkt P ist
die Summe der Abstände zu den beiden Brennpunkten konstant (F1 P + F2 P = 2a).
1.2 Die elliptische Bahn
Bewegt sich der Körper auf einer Ellipse, √
so überstreicht sein Ortsvektor während eines Umlaufs
die Fläche A = πa b, wobei a und b = a 1 − e2 die große bzw. kleine Ellipsenhalbachse sind.
Damit folgt aus dem Flächensatz (6) und Gl. (12) das dritte K EPLERsche Gesetz:
T2 =
4π2 3 m3 µ2 π2
a =
.
µ
2|E|3
(14)
Eine wichtige Schlußfolgerung ist, daß die Umlaufzeit T nur von der Energie des Körpers abhängt.
Die Energie wiederum ist nur eine Funktion der großen Halbachse
E =−
µm
.
2a
(15)
Wirken auf den Körper zusätzliche konservative Kräfte ein, so bleibt die große Halbachse a seiner
Bahn erhalten. Der Energieerhalt des Systems bedingt E = m( 21 v2 − µr ), woraus die Beziehung
2 1
v =µ
−
.
r a
2
(16)
für die Geschwindigkeit folgt. Offensichtlich ist die Geschwindigkeit im Perizentrum
v2p
µ
= v (a(1 − e)) =
a
v2a
µ
= v (a(1 + e)) =
a
2
1+e
1−e
1−e
1+e
(17)
am größten und im Apozentrum
2
am kleinsten.
4
(18)
Für die folgenden Anwendungen ist eine weitere Bewegungsgröße nützlich. Pro Umlaufperiode
T vergrößert sich θ um 2π, weshalb man eine “mittlere Winkelgeschwindigkeit”– die sogenannte
mittlere Bewegung – als
2π
n=
T
definieren kann. Daher gilt
p
pθ
µ = n2 a3 und
= h = na2 1 − e2 .
(19)
m
1.2.1 Bestimmung der Planetenmasse
K EPLERs drittes Gesetz erlaubt die Masse eines Planeten aus seinen Orbitalparametern zu bestimmen, falls der Planet von einem (künstlichen oder natürlichen) Mond umkreist wird. Die Masse des
Zentralkörpers sei M m planet und die Mondmasse mmond sei gegen die Planetenmasse m planet
vernachlässigbar. Dann folgt aus Eq. (14), daß
G(M + m planet ) ≈ GM = n2planet a3planet und G(m planet + mmond ) ≈ Gm planet = n2mond a3mond ,
und daher
m planet
amond
≈M
a planet
3 n planet
nmond
2
.
(20)
1.2.2 Baryzentrische Orbits
Bisher betrachteten wir die Relativbewegung r = r1 − r2 der Massen m1 und m2 , welche auf ein
1-Körper-Problem zurückgeführt wurde. Nun sollen die Bahnen der Massenpunkte des 2-KörperProblems bezogen auf den Massenmittelpunkt – das Baryzentrum – untersucht werden. Wir erinnern, daß für diese Wahl des Koordinatenursprungs r1 m1 + r2 m2 = 0 gilt. Folglich liegt der Massenmittelpunkt immer auf der Verbindungslinie von m1 und m2 . Offensichtlich benötigen beide
Körper die gleiche Zeit für einen Umlauf. Daher sind auch ihre mittleren Bewegungen identisch,
obgleich es ihre großen Halbachsen nicht sind. Denn aus Eq. (3) folgt daß
a1 =
m2
m1
a und a2 =
a,
m1 + m2
m1 + m2
aber auch
h1 =
m2
m1 + m2
2
h = na21
p
1 − e2
und h2 =
m1
m1 + m2
2
h = na22
p
1 − e2 .
Folglich sind die Exzentritäten der Bahnen identisch und somit die Ellipsen ähnlich.
5
Q
P
a
E
O
r
f
F R
T
Abb. 3: Zusammenhang zwischen der wahren Anomalie f und
der exzentrischen Anomalie E. Die K EPLER-Ellipse ist von einem
Kreis mit dem Radius a umschrieben, welcher der großen Halbachse der Ellipse entspricht. Zum Zeitpunkt τ des Perizentrumdurchgangs befand sich der Körper in T, zum Zeitpunkt t in P.
1.2.3 K EPLER-Gleichung
Wir wollen nun die Position des Körpers zu einer gegebenen Zeit bestimmen. Die Bahngleichung
des 2-Körper-Problems (11) hängt nicht explizit von der Zeit ab; wir benötigen daher einen Ausdruck für die Zeitabhängigkeit der wahren Anomalie f .
Nehmen wir an, daß der Körper das Perizentrum zum Zeitpunkt τ passiert und sich zur Zeit t im
Punkt P befindet (siehe Abb. 3). Während des Zeitraums t − τ hat er dann die Fläche AFT P überstrichen. Für das Verhältnis zwischen AFT P zur Gesamtfläche πab der Ellipse gilt dann aufgrund
des dritten K EPLERschen Gesetzes
AFT P =
πab(t − τ) 1
= 2 ab n(t − τ) = 12 abM,
T
wobei M = n(t − τ) die mittlere Anomalie bezeichnet. Die Fläche AFT P wird nun als Anteil an
dem Kreissegment AOT Q des der Ellipse umschriebenen exzentrischen Kreises ausgedrückt:
b
AFT P = AFRP + ART P = AFRP + ART Q .
a
Für den letzten Schritt wurde genutzt, daß zwischen Ellipsen und umschriebenen Kreisen die
Beziehung RP/RQ = b/a gilt. Nun folgt weiter, daß
b
b
AFT P = AFRP + (AOT Q − AORQ ) = 12 r2 sin f cos f + ( 12 a2 E − 12 a2 sin E cos E).
a
a
(21)
Wir benötigen nun noch die Beziehung zwischen der wahren Anomalie und dem Winkel E - der
exzentrischen Anomalie. Es gilt, daß
FR = r cos f = OR − OF = a cos E − ae,
(22)
sowie wiederum aus der Beziehung RP/RQ = b/a
p
r sin f = b sin E = a 1 − e2 sin E.
(23)
6
Die Summe der Quadrate von Gl. (22) und (23) ergibt dann
r = a(1 − e cos E),
(24)
und nach Einsetzen der elliptischen Bahngleichung (11) erhält man die gesuchte Beziehung zwischen der wahren und der exzentrischen Anomalie
cos f =
cos E − e
.
1 − e cos E
Durch Benutzen der trigonometrischen Beziehung für Doppelwinkel erhält die Beziehung ihre
endgültige Darstellung
f
tan =
2
1+e
1−e
1/2
E
tan .
2
Nach Einsetzen der Beziehung in Gl. (21) erhalten wir die K EPLER-Gleichung
M = n(t − τ) = E − e sin E.
(25)
Um die Position des Körpers zur Zeit M = n(t − τ) zu bestimmen, berechnet man aus der K EPLERGleichung (25) die entsprechende exzentrische Anomalie E und bestimmt hiermit den Abstand r
mittels Eq. (24).
1.2.4 Wie löst man die K EPLER-Gleichung?
Die K EPLER-Gleichung ist transzendental, weshalb geschlossene analytische Lösungen nicht gefunden werden können. Es wurden aber zahlreiche iterative und numerische Lösungsverfahren
entwickelt. Betrachten wir zuerst den iterativen Ansatz
Ei+1 = M + e sin Ei i = 0 . . . ∞
und dem Startwert E0 = M. Wir nutzen die Winkelbeziehung
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
sowie die Taylorreihen
1
1
sin x = x − x3 + O (x5 ) und cos x = 1 − x2 + O (x4 )
6
2
7
(26)
und finden eine Sinus-F OURIERreihe für E
E0 = M
E1 = M + e sin M
E2 = M + e sin(M + e sin M) ≈ M + e sin M + 12 e2 sin(2M) + O (e3 )
E3 = M + (e − 18 e3 ) sin M + 21 e2 sin(2M) + 38 e3 ) sin 3M + O (e4 )
..
.
∞
X
E∞ = M +
bn (e) sin(nM).
n=1
Die Koeffizienten bn der Sinus-F OURIERreihe für eine ungerade Funktion f (x) haben die Darstellung
Z
2 π
f (x) sin(nx)dx,
bn =
π 0
weshalb für f (M) = E(M) − M = e sin M folgt







π Z π

Z π
Z π


2
2
bn =
−e sin E cos nM −
e sin E sin nM dM =
cos nM dE ,
cos nM dM +

π 0
nπ 
0


0


{z
}
{z
} |0
|

0
0
und nach Ersetzen von M durch die K EPLERgleichung
Z
21 π
2
bn (e) =
cos (nE − ne sin E) dE = Jn (ne).
nπ 0
n
Jn (x) ist die n-te Besselfunktion
∞
X
(−1)k x n+2k
Jn (x) =
n ∈ N,
k!(n + k)! 2
k=0
deren ersten Ordnungen lauten:
1
1
J0 (x) = 1 − x2 + x4 + O (x6 ),
4
64
1
1 3
1 5
J1 (x) = x − x +
x + O (x7 ),
2
16
384
1
1
J2 (x) = x2 − x4 + O (x6 ),
8
96
1
1 5
J3 (x) = x3 −
x + O (x7 ).
48
786
(27)
(28)
(29)
8
f(E)
f’(E0 )
f’(E1 )
E3 E2
E1
E0
Abb. 4: Newton-Raphson-Verfahren zur numerischen Lösung von f (E) = 0. Der verbesserte Wert Ei+1 ist dann durch den Schnittpunkt der Tangente in f (Ei ) mit der Abzisse
gegeben. Offensichtlich konvergiert das Verfahren für hinreichend gutmütige Funktionen
f (E) (wie die K EPLER-Gleichung) rasch gegen die gesuchte Nullstelle.
Unter Benutzung von Gl. (27) findet man nützliche Reihendarstellungen von weiteren, häufig genutzten Ausdrücken. Im weiteren werden einige von ihnen ohne Herleitung angegeben (diese findet
man beispielsweise in Murray & Dermott (1999)):
r
=1 − e cos M + 21 e2 (1 − cos 2M) + 38 e3 (cos M − cos 3M) + O (e4 )
a
4
f − M =2e sin M + 45 e2 sin 2M + 14 e3 13
3 sin 3M − sin M + O (e )
(30)
(31)
sin f = sin M + e sin 2M + e2 ( 98 sin 3M − 78 sin M)
+ e3 ( 43 sin 4M − 67 sin 2M) + O (e4 )
(32)
cos f = cos M + e(cos 2M − 1) + 98 e2 (cos 3M − cos M)
+ 43 e3 (cos 4M − cos 2M) + O (e4 ).
(33)
Bitte beachten Sie, daß die Fourier-Reihe (27) für e > 0.6627434 divergent ist. Numerische Verfahren leiden nicht unter dieser Beschränkung. Als bekanntestes (und auch einfachstes) Beispiel
betrachten wir das Newton-Raphson-Verfahren (siehe Abb. 4), welches die Lösung E∞ als Nullstelle von f (E) = E − e sin E − M = 0 ermittelt. Nach Entwicklung von f (E) um die Stelle Ei in
eine Taylor-Reihe
f (Ei + δ) ≈ f (Ei ) + f 0 (Ei )δ + O (δ2 ) = 0
findet man unter Vernachlässigung von Termen der Ordnung O (δ2 ) das iterative Schema
Ei + δ = Ei+1 = Ei −
f (Ei )
i = 1 . . . ∞.
f 0 (Ei )
(34)
Abb. 4 veranschaulicht die geometrische Interpretation dieser Methode.
1.2.5 “Guiding centre”-Näherung
Die Behandlung der K EPLERbahn ist recht umständlich. Ist die Exzentrizität der untersuchten
Bahn jedoch nur sehr klein, ermöglicht die “Guiding centre”-Näherung eine erhebliche mathematische Vereinfachung des Problems. Diese Näherung ist eng mit der Ptolemäischen Beschreibung
der Planetenbewegung durch versetzte Kreise verwandt.
9
y
x
P
r
G
a
M
Abb. 5: Das “guiding centre” G bewegt sich
mit konstanter Geschwindigkeit n auf dem
Kreis um den Ellipsenbrennpunkt F. In der
“Guiding centre”-Näherung rotiert dann der
Körper P auf einer 2:1-Ellipse um G
f
F’ F
Der Körper bewege sich auf einer schwachexzentrischen Ellipse mit der großen Halbachse a um
den Brennpunkt F. Wir führen nun ein Koordinatensystem ein, welches auf einer Kreisbahn mit
dem Radius a um F mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit gegeben durch die mittlere Bewegung n des Körpers rotiert (siehe Abb. 5). Den Ursprung dieses Koordinatensystems bezeichnet
man als Gyrationszentrum G. In diesem System hat der Körper die Koordinaten
x = r cos( f − M) − a ≈ −ae cos M und y = r sin( f − M) ≈ 2ae sin M,
wobei wir die erste Ordnung der elliptische Entwicklung (31) für f − M benutzt haben. Hieraus
folgt, daß
x2
y2
+
≈ 1.
(ae)2 (2ae)2
Dies bedeutet, daß sich der Körper in dieser Näherung auf einer Ellipse mit der großen Halbachse
2ae und der kleinen Halbachse ae mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit n um G bewegt. Die
Näherung ist von der Ordnung e.
1.3 Die Bahnelemente
Da sich die Planeten nicht in einer gemeinsamen Ebene bewegen, müssen deren Bahnen im dreidimensionalen Raum bezüglich einer Referenzebene beschrieben werden. Hierzu werden 6 Bahnelemente benötigt (zur geometrischen Definition siehe Abb. 6); für eine elliptische Bahn sind das
a, e, I, Ω, ω und der Zeitpunkt des Perizentrumdurchgangs τ. Für den Fall eines heliozentrischen
Koordinatensystems wählt man üblicherweise die Ekliptik (d.h. die scheinbare Bahnebene der Sonne) als Referenzebene und den Frühlingspunkt als Referenzrichtung. Die Position des Körpers auf
einer elliptischen Bahn in dem räumlichen Koordinatensystem ist dann
 


x
cos Ω cos(ω + f ) − sin Ω sin(ω + f ) cos I
y = r sin Ω cos(ω + f ) + cos Ω sin(ω + f ) cos I  .
(35)
z
sin(ω + f ) sin I
10
Bahnebene
Apozentrum
Abb. 6: Zur Definition der Parameter einer
3D-Bahn bezüglich einer Referenzebene. Die
000000
111111
000000 Schnittline der Bahnebene mit der Referenze111111
000000
111111
000000
111111
bene ist die Knotenlinie, der Winkel I zwiω
000000000000000000000
111111111111111111111
000000
111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000
111111
I
000000000000000000000
111111111111111111111
000000 schen Referenzebene und Bahnebene ist die
111111
Ω
000000000000000000000
111111111111111111111
000000
111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000 Inklination, der Winkel ω zwischen Knotenli111111
aufsteigender
000000000000000000000
111111111111111111111
Referenzebene
Knoten
000000000000000000000
111111111111111111111
nie und Perizentrum ist Argument des Perizen000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
trums und der Winkel Ω zwischen der Refe000000000000000000000
111111111111111111111
Perizentrum
renzrichtung und der Knotenlinie ist die Länge
des aufsteigenden Knotens.
2 Bahnstörungen
2.1 Oskulierende Elemente
Häufig möchte man den Einfluß von Störkräften auf die Bahn eines Körpers untersuchen. Im Rahmen des 2-Körper-Problems bestimmen der Ort und die Geschwindigkeit des Körpers die 6 Bahnelemente eindeutig. Man stelle sich nun vor, daß eine Störkraft kurzeitig auf den Körper einwirkt,
wodurch die Position und Geschwindigkeit des Körpers etwas verändert wird. Offensichtlich wird
sich der Körper danach auf einer neuen Bahn mit neuen, konstanten Bahnelementen, den sogenannten oskulierenden Elementen (von lateinisch oskulare – küssen), bewegen. Die folgende Ableitung
der oskulierenden Elemente folgt der Arbeit von J. Burns 1976, Am. J. Phys. 44.
r̂ und θ̂ seien Einheitsvektoren parallel und normal zum Radiusvektor r und ẑ sei der Einheitsvektor senkrecht zur Bahnebene. Weiterhin sei die kleine störende Kraft dF = Rr̂ + T θ̂ + N ẑ. Die
Änderung der reduzierten Energie C = E/m ist dann unter Benutzung von Gl. (15)
Ċ = ṙdF = ṙR + rθ̇T =
µ
ȧ.
2a2
Die Ausdrücke für ṙ und θ̇ = f˙ in obiger Gleichung findet man durch Differenzieren von Gl. (11)
und erhält
a3/2
ȧ = 2 p
(Re sin f + T (1 + e cos f )) .
(36)
µ(1 − e2 )
Das bedeutet, daß nur Kräfte parallel zur Bahnebene die große Halbachse verändern können. Aus
Gl. (15) und (19) ergibt sich, daß
e2 = 1 + 2h2Cµ−2 ,
(37)
11
und deshalb berechnet sich die Änderung der Exzentrizität
e2 − 1
ḣ Ċ
ė =
2 +
.
2e
h C
(38)
Die Änderung des reduzierten Drehimpulses h entspricht dem angelegten Moment, d.h. ḣ = r ×
dF = rT ẑ − rN θ̂. Da der Term rN θ̂ nur die Richtung von h verändert, aber dessen Länge erhält,
folgt ḣ = rT . Nach Einsetzen der gefundenen Ausdrücke für ḣ, C, Ċ und ȧ in Gl. (38) findet man
1/2
ė = aµ−1 (1 − e2 )
(R sin f + T (cos f + cos E)) .
(39)
Folglich kann auch die Exzentrizität nur durch Kräfte parallel zur Bahnebene verändert werden.
Wir benötigen nun die Komponenten von h
hx = + sign(hz )h sin I sin Ω
hy = − sign(hz )h sin I cos Ω
hz = h cos I
(40)
(41)
(42)
sowie von ḣ
ḣx = r(T sin I sin Ω + N sin(ω + f ) cos Ω + N cos(ω + f ) cos I sin Ω)
(43)
ḣy = r(−T sin I cos Ω + N sin(ω + f ) sin Ω − N cos(ω + f ) cos I sin Ω)
(44)
ḣz = r(T cos I − N cos(ω + f ) sin I).
(45)
im Referenzkoordinatensystem (X,Y, Z). Die Ableitung von Gl. (40) ist
ḣ/h − ḣz /hz
I˙ = p
(h/hz )2 − 1
und nach Einsetzen der Gln. (43 - 45) erhält man die Beziehung für die Änderung der Inklination
rN cos(ω + f )
I˙ =
.
h
(46)
Diese Gleichung bedeutet, daß die Inklination nur durch Kräfte normal zur Bahnebene verändert
werden kann. Der Quotient von Gl. (43) und (44) liefert eine Beziehung für die Länge des aufsteigenden Knotens Ω = arctan(−hx /hy ). Dessen Änderung ist dann
Ω̇ =
hx ḣy − hy ḣx sin Ωḣy + cos Ωḣy
=
.
h2 − h2z
h sin I
Nach Einsetzen von Gl. (11), (19), (43) und (44) erhält man die endgültige Beziehung für Ω̇
Ω̇ =
rN sin(ω + f )
.
h sin f
12
(47)
Zur Herleitung des Ausdrucks für ω̇ ersetzen wir in der Bahngleichung (11) e durch Gl. (37) und
h durch Gl. (19) und erhalten
p
h2 = µR 1 + 1 + 2Ch2 µ−2 cos(θ − ω) mit θ = ω + f .
(48)
Die zeitliche Änderung von Gl. (48) aufgrund der äußeren Kraft dF ist
r−1 +C(eµ)−1 cos(θ − ω)
h2
ω̇ = 2hḣ
+ θ̇ − 2 2 Ċ cot(θ − ω)
eµ sin(θ − ω)
e µ
q
= e−1 aµ−1 (1 − e2 ) (−R cos f + T sin f (2 + e cos f )) − Ω̇ cos I.
(49)
Die Gleichung für die Änderung des Zeitpunkts des Perizentrumdurchgangs erhält man durch Differenzieren der K EPLER-Gleichung (25):
r
a
cos f
2
2 −1
2
τ̇ = 3(τ − t)
e sin f + a µ (1 − e )
−
R+
µ(1 − e2 )
1 + e cos f
e
r
a
sin f (2 + e cos f )
2 −1
2
(1 + e cos f ) + a µ (1 − e )
3(τ − t)
T.
(50)
µ(1 − e2 )
e(1 + e cos f ))
Beachten Sie, daß auch der Zeitpunkt des Perizentrumdurchgangs nur durch Kräfte parallel zur
Bahnebene beeinflußt werden kann.
2.2 Bahnstörung aufgrund des nichtsphärischen Gravitationsfelds
Im allgemeinen sind die Planeten nicht exakt kugelförmig, weshalb deren Gravitationsfeld vom
Feld einer Punktmasse abweicht. Das Graviationspotential abgeflachter Sphäroide, welche die
Form rotierender Gasplaneten gut beschreiben, ist in sphärischen Koordinaten r, θ und φ
(
)
2i
∞
X
R
µ
J2i
1−
P2i (cos θ) ,
(51)
V (r, θ) = −
r
r
i=1
wobei R der Planentenradius, Pi (x) das Legendre-Polynom i-ter Ordnung und Ji die dimensionslosen harmonischen Koeffizienten des Feldes sind. Das Quadrupolmoment des Feldes J2 kann man
als Störung der K EPLERbahn des Teilchens um einen kugelförmigen Planeten auffassen, da man
die resultierende Beschleunig als Summe der “Kepler-Beschleunigung” und des J2 -Anteils schreiben kann:
("
#
)
2
2
µ
µ
3
R
R
agr = −∇VS ≈ − 3 r + 3
J2
5 cos2 θ − 1 r + 3J2
rz ez .
(52)
r
r
2
r
r
Weiterhin sind wir an der langfristigen Entwicklung der Teilchenbahn interessiert, weshalb wir die
Bewegungsgleichungen für die oskulierenden Elemente über einen Umlauf mitteln (angedeutet
13
!0
5B5
5
0B5
*%&'()
8
5B0
!B0
!%&G)
0B0
FD0
0
!E0
!5
!E0
0
0B0
./0!12200324567+895:;9<=>??5:;9<=>??@A2BGCI
"%&G)
0
FD0
0B5
!B0
!B5
+;H8%&*87C?)
2B0
!!0
!!0
+,0
+,!
+,2
!5
0
$%&'()
5
./0!12200324567+895:;9<=>??5:;9<=>??@A2&00%BB%02)B+C7
7%&'()
DB0
!0
Abb. 7: Entwicklung der Bahn eines Teilchens, welches durch das Quadropolmoment des SaturnGravitationsfeld gestört wird. Links: Zeitliche Entwicklung der Elemente a, e, Ω and ω. Rechts:
Momentaufnahmen der Teilchenbahn nach 0, 1 und 2 Jahren (Simulationen: U. Beckmann).
durch das hi-Symbol):
hȧiJ2 = 0,
hėiJ = 0,
2
i̇ J = 0,
2
Ω̇ J
2
hω̇iJ2
3nJ2 R2
cos i + O (e2 ),
2
2
2
2a (1 − e )
3nJ2 R2
=
(2 − 52 sin2 i) + O (e2 )
2a2 (1 − e2 )2
= −
(D.P. Hamilton 1993, Icarus 101). Das Ergebnis bedeutet, daß für e 1 die Bahnstörungen aufgrund nichtsphärischer Gravitationsfelder einer konservativen Kraft entsprechen. Die Form der
Teilchenbahn bleibt im Mittel erhalten, wogegen die Position des Perizentrums langsam rotiert.
2.3 Bahnstörungen aufgrund elektromagnetischer Kräfte
Ringteilchen sind aufgrund der solaren UV-Strahlung sowie der Wechselwirkung mit dem planetaren Plasma elektrisch geladen, weshalb deren Bahnen durch das planetare, rotierende Magnetfeld
beeinflußt. Im elektrostatischen Gleichgewicht trägt ein kugelförmiges Teilchen mit dem Radius
sd die Ladung
Qd = 4πε0 sd φd ,
(53)
wobei φd das größenunabhängige elektrostatische Gleichgewichtspotential und ε0 = 8.854·10−12
A s V−1 m−1 die Dielektrizitätskonstante des Vakuums ist.
14
10
5.5
5
0.5
* (RS)
e
5.0
1.0
! (o)
0.0
360
0
180
!5
./0!122003245Daten5:in<luss5:in<luss@:..orH2const. potential !2K
" (o)
0
360
180
0
0.0
0.5
1.0
1.5
time (*ears)
2.0
!10
!10
t,0
t,1
t,2
!5
0
x (RS)
5
./0!122003245Daten5:in<luss5:in<luss@:.(00 .. 02).tra
a (RS)
6.0
10
Abb. 8: Entwicklung der Bahn eines Teilchens unter dem Einfluß des rotierenden Saturn–
Magnetfelds (φd = −2V). Links: Zeitliche Entwicklung der Elemente a, e, Ω and ω. Rechts:
Momentaufnahmen der Teilchenbahn nach 0, 1 und 2 Jahren (Simulationen: U. Beckmann).
Die planetaren Magnetfelder können in hinreichender Näherung durch mit konstanter Winkelgeschwindigkeit Ω p rotierende Dipolfelder B p beschrieben werden. Ein sich relativ zum Feld bewegendes Teilchen erfährt dann die Beschleunigung
aEM = Qd v − (Ω p × r) × B p = Qd Ec + v × B p .
(54)
wobei das radial nach außen gerichtete elektrische Feld
Ec = −(Ω p × r) × B p
(55)
durch das mit dem Magnetfeld korotierende Plasma induziert wird. Da Ec · r nicht verschwindet,
kann ein geladenes Teilchen im rotierenden Magnetfeld, in welchem das Plasma korotiert, sowohl
Energie gewinnen als auch verlieren.
Die Bewegungsgleichungen für die orbitgemittelten oskulierenden Elemente der durch das Dipolfeld gestörten Teilchenbahn lauten:
hȧiEM =0
1
hėiEM = − 41 nLe 1 − e2 2 sin2 i sin(2ω)
− 1
i̇ EM = 41 nLe2 1 − e2 2 sin i cos i sin(2ω)
o
1n
2 −2
2 −1
−1
Ω̇ EM =nL 1 − e
cos i − 1 − e
nΩ p
n
o
1
2 −2
2
2 −1
−1
hω̇iEM = − nL 1 − e
cos i + 3 cos i 1 − e
nΩ p ,
15
wobei der dimensionslose Paramter
Qd g1,0 R2p Ω p
L=
GM p md
(56)
ein grobes Maß für die relative Stärke der elektromagnetischen Kräfte bezüglich der gravitativen
Kräfte ist. Hier sind g1,0 das Dipolmoment des planetaren Magnetfelds sowie M p und R p die Masse und der Radius des Planeten.
Wiederum bleibt im Mittel a und somit auch die Energie erhalten, weshalb auch Störungen aufgrund rotierender planetarer Felder als eine konservative Kraft zu verstehen sind (Abb. (8)). Die
Exzentrität und die Inklination variieren leicht. Da diese Effekte von höherer Ordnung als O (e)
sind, bleibt auch die Form der Bahn für e 1 erhalten. Die Bahnen negativ geladener Körper
rotieren unter dem Einfluß des planetaren Magnetfelds langsam in retrograder Richtung; also entgegengesetzt zur Bahnrotation aufgrund der J2 -Störung).
2.4 Bahnstörungen aufgrund des Strahlungsdrucks
Als letzte wichtige Störkraft betrachten wir die Wechselwirkung kleiner Teilchen mit dem Strahlungsfeld der Sonne. Aufgrund des Impulsübertrags von den Photonen des Strahlungsfeldes auf
das beleuchtete Teilchen erfährt das Teilchen eine Beschleunigung, welche in ihrer einfachsten
Formulierung durch den Ausdruck
aRP = −βd m−1
d µ
r
3
r
(57)
gegeben ist. Hier ist r der auf das Teilchen bezogene Ortsvektor der Sonne und βd ist das Verhältnis zwischen der Kraft aufgrund des Strahlungsdrucks und der Gravitation, welcher aufgrund seiner Unabhängigkeit vom Sonnenabstand als ein Materialparameter des Teilchens angesehen werden kann. Für kugelförmige Teilchen > 0.5µm ist
−1
βd ≈ 5.7 · 10−5 s−1
d ρd .
(58)
Leider verweigert sich für dieses Problem die Ableitung der orbitgemittelten Gleichungen jeglicher
Eleganz, da die Bewegung in zwei verschiedenen Koordinatensystem formuliert werden muß. Eine
mögliche Formulierung des Problems ist, die Bewegung des Teilchens in einem planetenzentrierten Referenzsystem zu betrachten, dessen ex -Achse durch die Knotenline zwischen der Ekliptik
und der Ringebene und dessen ez -Achse durch die Normale der Ringebene gegeben ist (D.P. Hamilton 1993, Icarus 110). Es wird angenommen, daß die Position der Sonne s = sx ex +sy ey +sz ez in
diesem Referenzsystem sich während des betrachteten Zeitraums nicht verändert. Die orbitgemittelten oskulierenden Elemente einer durch den Strahlungsdruck der Sonne gestörten Teilchenbahn
16
a (RS)
6.0
10
5.5
5
0.5
* (RS)
! (o)
0.0
360
0
180
!5
180
0
0.0
MPI!K22007245Daten5:in<luss5:in<luss_RP.orb
" (o)
0
360
0.5
1.0
1.5
time (*ears)
2.0
!10
!10
t,0
t,1
t,2
!5
0
x (RS)
5
MPI!K22007245Daten5:in<luss5:in<luss_RP(00 .. 02).tra
e
5.0
1.0
10
Abb. 9: Entwicklung der Bahn eines Teilchens unter dem Einfluß des solaren Strahlungsdrucks.
Links: Zeitliche Entwicklung der Elemente a, e, Ω and ω. Rechts: Momentaufnahmen der Teilchenbahn nach 0, 1 und 2 Jahren (Simulationen: U. Beckmann).
lauten dann:
hȧiRP =0,
hėiRP = 1 − e2
21
α {sx (cos Ω sin ω + sin Ω cos ω cos i)+
sy (sin Ω sin ω − cos Ω cos ω cos i) − sz cos ω cos i ,
− 1 i̇ RP = 1 − e2 2 αe sx sin Ω cos ω sin i − sy cos Ω cos ω sin i + sz sin ω cos i ,
− 1 Ω̇ RP = 1 − e2 2 αe sx sin Ω sin ω − sy cos Ω sin ω + sz sin ω cot i ,
1
hω̇iRP = 1 − e2 2 αe−1 {sx (cos Ω cos ω − sin Ω sin ω cos i)+
sy (sin Ω sin ω + cos Ω sin ω cos i) + sz sin ω sin i − cos i Ω̇ RP ,
(59)
(60)
(61)
(62)
2 das Verhältnis zwischen der Kraft aufgrund des Strahlungsdrucks
wobei 2α/3n = βd µ a2 /µr
und der Gravitationskraft des Planeten im Abstand a, δ der Winkel zwischen der Sonne und der
Knotenlinie, γ p die Bahnneigung des Planeten sowie


cos(nt + δ)
s = cos γ p sin(nt + δ)
(63)
sin γ p sin(nt + δ)
ist.
Wiederum bleibt im mittel die große Halbachse einer durch den Strahlungsdruck gestörten Teilchenbahn erhalten, während die Bahnausrichtung langsam in prograder Richtung rotiert (Abb. (9)).
17
196
DE PATER ET AL.
Abb. 10: Saturns E- und
G-Ring aufgenommen mit
dem Keck-Teleskop bei
einer Wellenlänge von
2.26 µm (de Pater u. Mit.
1996, Icarus 121).
FIG. 1. Image of the east ansa of Saturn’s E and G rings, taken August 10, 1995, with the W. M. Keck telescope at a wavelength of 2.26 !m.
The image is a sum of 20 individual 1-min exposures, acquired during a period centered around 15 : 06 UT. The figure contains the region 1.4 to
5.6 RS radially from the planet center and !1.0 to 1.0 RS vertically from the equatorial plane; tick-marks around the edge are spaced by 0.2 RS to
indicate the scale. Our May 23 image is not shown; it is similar although slightly inferior in quality.
3 Beispiel: Saturns E-Ring
Saturns E-Ring (Abb. 10) ist das größte Ringsystem des Sonnensystems. Die radiale Ausdehnung
looks generally similar although with a lower signal-to-noise ratio and
des Rings ist zwischen 3 bis 8 R (Saturnradius,
RS =Both
60imaging
330km),
diecentered
optische
Tiefe zeigt ein
larger background variations.
periods were
near
15 : 06 UT. The tip of the A and F rings is visible at the right; image
ausgeprägtes Maximum in der Umgebung
der Bahn des Eismondes Enceladus. Erstaunlicherweisaturation results in its substantial vertical thickness. The E ring is the
broad
band
leftward from
the main rings
almost to the edge
se besteht der E-Ring fast ausschließlich
aus extending
1µm großen
Teilchen
(Showalter,
Cuzzi und Larson
of the image. We identify the second bright spot closer to the main rings
as the G ring. Tiefe in der Nähe der Enceladus-Bahn deutet darauf
1991 Icarus 94). Das Maximum der optischen
Figure 2 shows radial profiles from the two images, integrated vertically
hin, daß dieser Mond die Quelle des across
Rings
ist. The
Allerdings
produzieren
Staubteilchen
the rings.
heavy curves are
integrations over Eismonde
a projected
vertical thickness of 40,000 km, required to encompass the full vertical
mit einer breiten Massenverteilung, was
erstmal
im
Widerspruch
zu
der
beobachteten
engen Masextent of the E ring. The thin curves present (partial) profiles integrated
vertically
between
the
half-power
points
at
the
peak
of
the
E
ring.
This
senverteilung steht. 1991 schlugen Horànyi,
Burns und Hamilton (Icarus 97) einen Mechanismus
technique provides a higher signal-to-noise ratio but at the cost of absolute
photometric
accuracy; it also improves
the visibility ofbot.
the G Obwohl
ring relative Messungen der
vor, der eine Erklärung für die enge Größenverteilung
der E-Rings
to the much broader E ring.
Cassini-Sonde zeigten, daß der Horànyi–Burns–Hamilton–Mechanismus
(HBH)
The heavier profile in each panel shows that the E ring extends
outward nicht die Ursato $6 R , where it blends in with the background level. It has a peak
che der engen Größenverteilung ist, istnear
dieser
Mechanismus
ein schönes
Beispiel
4 R , very
close to the orbit of Enceladus.
The full thickness
at half- für die komplexe
maximum (FTHM) of the E ring is 8500 # 500 km inside 4 R , rising to
Dynamik kleiner, schwach gestörter Teilchen.
$12,000 # 1500 km near 5 R . Its full thickness before it fades into the
(1 Jy " 10!26 W m!2 Hz!1). We ignored the very small color term between
the K magnitude and our wavelength of 2.26 !m. Our calibration uncerS
tainty is #4%. Note that measurements in units of Jy are expected to vary
in inverse-square proportion to the Saturn–Earth distance D! ; measurements of Jy/linear arcsec vary with 1/D! ; measurements of Jy/square arcsec
are conserved. The distance D! was 9.96 AU on May 23 and 8.78 AU on
August 10. The Saturn–Sun distance changed very little (from 9.64 to 9.61
AU) between May and August, so this variation can be neglected for our
purposes. The phase angle " was 5.6$ in May and 3.6$ in August.
To compare our measurements with previous results, we convert from
units of Jy/arcsec2 to the dimensionless ratio I/F. Here reflected intensity,
I, is expressed relative to F, where #F is the incident solar flux density
at Saturn for the given wavelength. By this definition, I/F " 1 for a
perfectly diffusing ‘‘Lambert’’ surface when viewed at normal incidence
and emission angles. We find that solar F " 4.05 % 10!15 W m!2 Hz!1
at & " 2.26 !m (L. Dones, personal communication 1995, cf. Showalter
et al. 1991). Note that values for I/F are independent of D! and can be
readily compared to other wavelengths because the variations of the solar
spectrum are removed.
The integration times for individual images was 30 sec in May and 60
sec in August. To improve sensitivity, we averaged together 20 images
from each observing session in May and August separately, resulting in
total integration times of 10 and 20 min, respectively. Since we had shifted
the telescope pointing for each image to avoid amplification of bad pixels
in the detector, the images had to be aligned carefully before the averaging
was performed. First, we rotated the images to a common orientation,
in which Saturn’s north pole points upward and the eastern ring ansa
points toward the left. This rotation involved a re-pixellation of the images
but the corresponding reduction in image resolution was negligible. Next,
we inferred the precise pointing geometry of each frame. For most of
the May images, one or more of Saturn’s moons was visible and could
be used as a pointing reference; for those images not containing moons,
we used background stars whose positions had been measured from the
other images. The tip of the main rings/F ring served as the geometric
reference for all of the August images. Residual pointing uncertainties
are generally smaller than one pixel.
Figure 1 shows the averaged image from August 10; the May image
S
S
S
S
image background is $30,000 km, regardless of distance to Saturn. In
August, the E ring’s peak edge-on I/F " (3.4 # 0.3) % 10!6 (32 # 3 !Jy/
arcsec2). When integrated over the ring’s full vertical thickness, peak
I/F values for August are 37.5 # 1.1 m (56 # 5 !Jy/linear arcsec or
17.652# 0.07 mag/linear arcsec). (Note that I/F is dimensionless, so integrated I/F has dimension of length.) The results for May and August are
the same to within the uncertainties; we do not detect a significant variation with phase angle.
The lighter profiles in Fig. 2 show the G ring with a peak near 2.72
RS and an abrupt decrease in brightness outside 2.80 RS . In projection,
it extends radially over '0.15 RS ('9000 km). It decreases only gradually
inward from its peak, as one would expect qualitatively for an edge-on
profile of a narrow ring. Its full vertical thickness is $6000 km, which is
comparable to the projected point-response function of the image; as a
result, this serves only as a crude upper limit on the G ring’s thickness.
Since, in projection, the G ring sits on top of the E ring (see Fig. 2) we
must extrapolate and subtract the E ring’s contribution in order to infer
HBH betrachteten die Teilchenbewegung innerhalb der Ringebene (d.h. i = 0), und betrachteten
als Störkräfte das Graviationsmoment J = 0.01667 aufgrund der Abflachung des Saturns, den
Strahlungsdruck der Sonne sowie die Lorentzkraft. Da nur die Form der Bahn untersucht werden
soll, sind zu ihrer Beschreibung 3 oskulierende Elemente ausreichend: die große Halbachse a, die
Exzentrizität e und die Länge des Perizentrums ω. Für schwachexzentrische Bahnen vereinfachen
sich die Gl. (36), (38) und (47) zu
hȧi = 0
(64)
hėi = β sin ω
(65)
β
hω̇i =
cos ω + γ.
(66)
e
β ist eine Funktion des spezifischen Drehimpulses h und des Strahlungsdrucks, und γ ist die
Präzessionsrate des Perizentrums in Abwesenheit des Strahlungsdrucks. Gl. (64) besagt, daß a erhalten bleibt (das ist auch nicht weiter verwunderlich, da alle Kräfte konservativ sind). Offensichtlich wird im Rahmen dieses Modells der innere und äußere Rand des Ringes durch die maximale
18
Exzentrizität der Ringteilchen bestimmt.
Zuerst betrachten wir den Fall, daß die prograde Rotation der Bahn aufgrund des nichtsphärischen
Gravitationsfeldes durch die retrograde Bahnrotation aufgrund der EM-Bahnstörungen aufgehoben wird, d.h. γ = 0 ist. Aufgrund Eq. (66) stellt sich ω schnell auf den Wert π/2 ein und bleibt
danach konstant, während e mit konstanter Rate β wächst, bis das Teilchen durch Kollision mit
dem A-Ring des Saturns (emax ∼ 0.43) vernichtet wird. Folglich ist die Lebensdauer von Ringteilchen, für welche γ ≈ 0 ist, relativ kurz.
Für den allgemeinen Fall γ 6= 0 findet man schnell, daß
2β γ (67)
e=
sin t γ
2
γ π
(68)
ω = mod t, π + .
2
2
Dies bedeutet, daß die Exzentrizität nicht unbegrenzt wächst, sondern mit einer Periode 2π/γ zwischen 0 und emax = 2β/γ oszilliert. Die Lebensdauer dieser Teilchen ist daher sehr groß (natürlich
vorausgesetzt, daß deren emax < 0.43 ist).
Literatur
• C.D. Murray und S.F. Dermott (1999). Solar System Dynamics (Camebridge University
Press, Camebridge)
• J.M.A. Danby (1988). Fundamentals of Celestial Mechanics ()Willmann-Bell, Richmond)
• D. Brouwer und G.M. Clemence (1961). Methods of Celectial Mechanics (Academic Press,
New York)
• A.E. Roy (1988). Orbital Motion (Adam Hilger, Bristol)
• O. Montenbruck (2001). Grundlagen der Ephemeridenrechnung (Sterne und Weltraum, Heidelberg)
• A. Guthmann (2000). Einführung in die Himmelsmechanik und Ephemeridenrechnung (Spektrum, Heidelberg)
• H. Bucerius (1966). Vorlesung über Himmelsmechanik (BI, Mannheim)
• C. L. Siegel (1956). Vorlesung über Himmelsmechanik (Springer, Berlin)
• E. Grün, B. Gustafson, S. Dermott und H. Fechtig (Ed.) (2001). Interplanetary Dust (Springer, Heidelberg)
• L.D. Landau und E.M. Lifschitz (1997). Lehrbuch der theoretischen Physik, Bd. 1, Mechanik
(Harry Deutsch Verlag)
19