Themenvorschläge - Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete

Prof. Dr. Stefan Wewers
Institut für Algebra, Zahlentheorie
und Diskrete Mathematik
Themen für Bachelorarbeiten
im Bereich Zahlentheorie
SS 09
Thema 1: Die Geschichte des quadratischen Reziprozitätsgesetzes
Geben Sie einen Überblick über die Genese des quadratischen Reziprozitätsgesetzes, von Fermat bis Gauß, wie in [3], Kapitel 1. Gehen Sie insbesondere auf
den unvollständigen Beweis von Legendre ein und die Rolle des Dirichletschen
Primzahlsatzes. Lesen Sie mindestens einen Originalartikel, und lösen Sie die
Aufgaben 1.8, 1.10, 1.13 und 1.14.
Thema 2: Rationale Reziprozitätsgesetze
Rationale Reziprozitätsgesetze beinhalten Restklassensymbole, die nur die
Werte 1 und −1 annehmen. Beweisen Sie die Reziprozitätsgesetze von Dirichlet,
Lehmer, Scholz und Burde, siehe [3], Kapitel 5 und [2], Chapter 9, §10. Geben
Sie zu allen Gesetzen Beispiele, und lösen Sie einige Aufgaben aus [3], Chapter
5.
Thema 3: Primzahlen der Form p = x2 + ny 2 .
Zeigen Sie auf, wie man mithilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes,
der Theorie der reduzierten quadratischen Formen und einer elementaren Version der Geschlechtertheorie dieses Problem für einige kleine n vollständig lösen
kann. Führen Sie die vollständige Lösung für n = 5, 6, 7, 10, 13, 14 aus. Siehe [1],
Chapter 1, §1,2.
Thema 4: Quadratische Zahlkörper und die Geschlechter-Theorie
Entwickeln Sie die Theorie der Idealklassengruppe und der Geschlechter in
quadratischen Zahlkörpern. Benutzen Sie diese Theorie, um die Fälle zu charakterisieren, in denen man mit den Methoden von Thema 3 erfolgreich ist.
Arbeiten Sie ein interessantes Beispiel aus. Siehe [4], Kapitel 19, [3], Chapter 2,
§1-3 und [1], Chapter 1, §3, insbesondere Theorem 3.22.
Thema 5: Analytische Beweise von Reziprozitätsgesetzen
Beweisen Sie das kubische und das biquadratische Reziprozitätsgesetz mithilfe von elliptischen Funktionen, wie in [3], Chapter 8. (Kenntnisse aus der
Funktionentheorie sind bei diesem Thema hilfreich.)
Thema 6: Das Hilbert-Symbol und der Satz von Hasse-Minkowski
Der Satz von Hasse-Minkowski sagt aus, dass eine quadratische Gleichung
rationale Lösungen besitzt genau dann, wenn Sie reelle Lösungen besitzt und
‘beliebig gute Kongruenzlösungen’. Letztere Bedingung kann man eleganter mithilfe der p-adischen Zahlen ausdrücken. Zur Bestimmung der Lösbarkeit einer
ternären quadratischen Gleichung über den p-adischen Zahlen Qp benutzt man
das Hilbert-Symbol
a,b
∈ {±1}.
p
Das quadratische Reziprozitätsgesetz ist äquivalent zu der Summenformel
Y a , b = 1.
p
p∈P∪{∞}
Entwickeln Sie diese Theorie (siehe [4], Kapitel 13-15), und lösen Sie einige
passende Übungsaufgaben.
Thema 7: Kubische Diophantische Gleichungen
Im Gegensatz zu quadratischen Diophantischen Gleichungen lässt sich die
Lösbarkeit von kubischen Gleichungen nicht alleine durch Lösbarkeit in R und
Kongruenzbetrachtungen entscheiden (vgl. Thema 6). Untersuchen Sie die folgenden Beispiele:
• Die Fermat-Gleichung x3 + y 3 = z 3 ([2], Chapter 17, §8)
• Die Mordell-Gleichung y 2 = x3 + k ([2], Chapter 17, §10)
• Die Selmer-Gleichung 3x3 + 4y 3 + 5z 3 = 0 ([4], Aufgabe 15.10).
Thema 8: Gleichungen über endlichen Körpern und die Zeta-Funktion
Man betrachtet beliebige Kongruenzgleichungen der Form
F (x0 , . . . , xn ) = 0,
für ein homogenes Polynom F mit Koeffizienten in einem endlichen Körper,
mit z.B. p Elementen. Sei Ns die Anzahl der Lösungen in dem Körper mit ps
Elementen. Die Zeta-Funktion der Gleichung ist die formale Potenzreihe
ZF (u) := exp
∞
X
Ns u s .
s
s=1
Ein sehr tiefliegender Satz besagt, dass ZF (u) eine rationale Funktion ist.
Bestimmen Sie ZF (U ) für einige interessante Klassen von Beispielen. Siehe
[2], Chapter 10,11, und [3], Chapter 10.
Literatur
[1] D.A. Cox. Primes of the Form x2 + ny 2 . John Wiley & Sons, 1989.
[2] K. Ireland and K. Rosen. A Classical Introduction to Modern Number Theory. Springer, 1982.
[3] F. Lemmermeyer. Reciprocity Laws. From Euler to Eisenstein. Springer,
2000.
[4] S. Müller-Stach und J. Piontkowski. Elementare und algebraische Zahlentheorie. Vieweg+Teubner, 2006.