4.3.2 Martin-Puplett Interferometer

4 Quasioptische Komponenten
Es ist zu beachten, dass sowohl im Falle des Diplexers als auch im Falle des Seitenbandfilters, die gleichzeitige Bedingung nicht unbedingt erfüllt werden kann, und nur
annähernd erreicht wird (deshalb kommt in Gleichungen (4.163) und (4.164) kein Gleichheitszeichen).
4.3.2 Martin-Puplett Interferometer
Abbildung 4.37: Martin-Puplett Interferometer bestehend aus zwei Dachspiegeln und
zwei Polarisationsgittern
Eine Variante des Michelson-Interferometers besteht darin, den Strahl nicht durch
Aufteilen der Amplitude, sondern durch Aufteilung der Polarisation zu teilen. Dieser
Aufbau wurde von Martin und Puplett vorgeschlagen und wird deshalb als MartinPuplett Interferometer, MPI, bezeichnet. Solch ein Interferometer ist in Abbildung 4.37
dargestellt. Die Funktionsweise des MPI lässt sich wie folgt beschreiben: Das einfallende Signal wird zuerst durch ein vertikales oder horizontales Gitter propagiert, von
wo es zu einem Gitter gelangt, dessen Drähte in Projektion um 45° gedreht sind, und
das einfallende Signal aufgeteilt wird. Die entsprechenden orthogonal polarisierten Teile laufen unterschiedliche Weglängen zu einem Dachspiegel, wo sie reflektiert werden.
Gleichzeitig dreht dort die Polarisationsrichtung um 90°, so dass die reflektierten Signale nun am Gitter reflektiert resp. transmittiert werden. Da die Eigenschaft eines Gitters
als Polarisationsteiler als unabhängig von der Frequenz bezeichnet werden kann, ist ein
MPI sehr breitbandig verwendbar. Dazu kommt, dass die Verluste im Gitter praktisch
vernachlässigbar sind.
97
4 Quasioptische Komponenten
MPI als Diplexer
Abbildung 4.38: Blockdiagramm eines MPI, das als Diplexer verwendet wird.
Für die Beschreibung der Funktionsweise eines MPI als Diplexer gelten grundsätzlich
die gleichen Zusammenhänge, wie beim Michelson-Interferometer mit vier Toren. Der
einzige Unterschied besteht darin, dass der Polarisationszustand am Ausgang, vor dem
letzten Gitter, im allgemeinen elliptisch polarisiert ist, entsprechend der Weglängenunterschiede. Am Eingang 1 liege das Signal an mit Wellenlänge λ1 . Am Eingang 2
liege der Lokaloszillator, LO, an mit einer Wellenlänge λ2 . Am Ausgang (Tor 3) sei der
Mischer angebracht. Für die Transmission T13 gilt
!
"
2π∆
2
2
T13 = 1 − 2r (1 − r ) 1 + cos
(4.165)
λ
und für die Transmission T23 gilt
T23 ≡ T14
!
"
2π∆
= 2r (1 − r ) 1 + cos
.
λ
2
2
(4.166)
Für einen Leistungsteiler in Form eines Polarisationsgitters gilt r 2 ≈ 0.5 und damit
!
"
2π∆
T13 = TS = 1/2 1 − cos
(4.167)
λ1
98
4 Quasioptische Komponenten
1
0.9
Transmission von LO − Signal und LO
LO
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
5
10
15
20
25
30
delta in mm
35
40
45
50
Abbildung 4.39: Transmission eines Lokaloszillators bei 90 GHz als Funktion der
Weglänge sowie der Differenz von Signal und LO, wobei das Signal
bei 94 GHz liegt.
und
T23 = TLO
!
"
2π∆
= 1/2 1 + cos
.
λ2
(4.168)
Gesucht ist ein Wert für ∆, so dass TS maximal wird für das Signal und gleichzeitig TLO
maximal wird für den LO. TS wird maximal, falls cos 2π∆
= −1 und damit ∆ = 2n−1
λ1 .
λ1
2
2π∆
TLO wird maximal, falls cos λ2 = 1 und damit ∆ = (n − 1)λ2 . Die Bedingung ist erfüllt,
falls
2n − 1
λ1 = (n − 1)λ2 .
(4.169)
2
λ1 −2λ2
Damit wird n = | 2(λ
| und ∆ wird optimal für den LO falls
1 −λ2 )
∆ = (n − 1)λ2
!
"
!
"
λ1 − 2λ2
1
1 −1
=
− 1 λ2 = 1/2
−
= 1/2λif .
2(λ1 − λ2 )
λ1 λ2
(4.170)
(4.171)
Da n auf diese Art bestimmt in den meisten Fällen nicht ganzzahlig sein wird, wird
entsprechend der Weglängenunterschied auch nicht für beide Teile gleich optimal sein.
Der beste Wert muss numerisch ermittelt werden.
Wir nehmen als Beispiel an, dass ein Signal die Frequenz 94 GHz aufweise und der
Lokaloszillator, LO, bei 90 GHz sei, so dass eine Zwischenfrequenz von 4 GHz resultiert,
mit einem Seitenband bei 86 GHz. Für einen bestimmte Weglänge wird die Transmission
99
4 Quasioptische Komponenten
für den LO und das Signal unterschiedlich sein. Figur 4.39 zeigt die Transmission des
LO als Funktion des Weglängenunterschiedes und gleichzeitig die Differenz der Transmission von LO und Signal. Figur 4.40 zeigt das gewünschte Resultat für die Funktion
1
Signal
LO
0.9
Transmission von Signal und LO
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
84
86
88
90
92
94
96
98
100
102
104
Frequenz in GHz
Abbildung 4.40: Transmission des Lokaloszillators bei 90 GHz und des Signals bei 94
GHz für einen Weglängenunterschied von 36.7 mm.
als Diplexer.
MPI als Seitenbandfilter
In der Anordnung als Seitenbandfilter ist erwünscht, dass einerseits der Pfad T13 = TS
maximale Transmission aufweist für das Signalband und andererseits minimale Transmission Tim für das Seitenband, welches sich im Abstand 2|νSignal − νL.0. | befindet. Es
gilt
!
"
2π∆
TS = 1/2 1 − cos
=1
(4.172)
λS
!
"
2π∆
Tim = 1/2 1 − cos
= 0.
(4.173)
λim
TS wird 1, falls ∆ =
2n−1
λS
2
und Tim wird 0, falls ∆ = (n − 1)λim Somit
n=
λS − 2λim
.
2(λS − λim )
(4.174)
Das ist im Prinzip, dieselbe Bedingung wie für den Diplexer, nur ist nun an die Stelle
von λ2 = λL0 die Bedingung λ2 = λim getreten.
100
4 Quasioptische Komponenten
Abbildung 4.41: Blockdiagramm eines MPI, das als Seitenbandfilter verwendet wird.
1
0.9
Tsignal,−−− Timage, ___
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
delta in mm
Abbildung 4.42: Transmission eines Signals bei 94 GHz und des Seitenbandes bei 86 GHz
als Funktion der Weglänge.
101
4 Quasioptische Komponenten
1
0.8
0.6
Tsignal−Timage
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
0
5
10
15
20
delta in mm
25
30
35
40
Abbildung 4.43: Differenz der Transmission von Signal und Seitenbandes, damit deutlicher sichtbar wird, wo der optimale Wert der Weglänge liegt.
1
Signal
0.9
Transmission von Signal und Bild
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
91
Bild
92
93
94
Frequenz in GHz
95
96
97
Abbildung 4.44: Transmission des Signalbandes und des Bildes bei einem MPI, das als
Seitenbandfilter verwendet wird.
102
4 Quasioptische Komponenten
Figuren 4.42, 4.43 und 4.44 illustrieren das Verhalten eines MPI als Seitenbandfilter.
Eine elegante Art die Funktionsweise eines MPI zu beschreiben ist mittels der JonesVektoren und Jones-Matrizen. Dabei ist zu beachten, dass das am Dachspiegel reflektierte Signal das Gitter, welches unter 45° montiert ist, nun unter einem Winkel von
−45° sieht.
MPI mit Jones Matrizen
Das Eingangssignal E = (EV , EH ) gehe zuerst durch ein vertikales Gitter, so dass das
transmittierte Signal horizontal polarisiert wird und ergo VT E = (0, EH ) vorliegt. Dieses
Signal wird dann beim Strahlteiler, dessen Drähte um 45° gegenüber der Einfallsrichtung
gedreht sind aufgeteilt. Am Ausgang des Interferometers erhalten wir
C1 = PT d1 Rd1 PR VT E
= 1/2e−i2π2d1 /λ (EH , −EH )
(4.175)
C2 = NR d2 Rd2 PT VT E
= 1/2e−i2π2d2 /λ (−EH , −EH ).
(4.176)
Am Schluss des MPI komme noch ein weiteres Gitter mit horizontalen Drähten, so dass
die vertikale Komponente durchgelassen werde. Für das Signal am Ausgang OH resp.
OV erhalten wir somit
OH = EoutH = HR (C1 + C2 )
(4.177)
OV = EoutV = HT (C1 + C2 )
(4.178)
OH = cos
2π(d1 − d2 ) −2πj(d1 +d2 )/λ
e
EH
λ
(4.179)
OV = j sin
2π(d1 − d2 ) −2πj(d1 +d2 )/λ
e
EH .
λ
(4.180)
Die mittlere Leistung berechnet sich alsdann zu
PH = cos2
π∆
Pin
λ
(4.181)
PV = sin2
π∆
Pin
λ
(4.182)
∆ = 2(d1 − d2 ).
(4.183)
wobei
103
4 Quasioptische Komponenten
Man kann auf einfache Weise zeigen, dass das Signal welches zurück zum Eingang geht,
aus den beiden Komponenten besteht
PR RPR VT E = (0, 0)
(4.184)
NT RPT VT E = (0, 0).
(4.185)
und
Berechnungen dieser Art lassen sich einfach mit Programmen wie Maple oder Matlab
realisieren.
4.4 Hornantennen
4.4.1 Einleitung
Bei vielen quasioptischen Aufbauten wird zum Senden oder zum Detektieren eines Signals ein sog. Rillenhorn (engl. corrugated horn) verwendet. Ein Beispiel solch einer
Hornantenne ist in Figur 1.1 dargestellt. Die Charakteristik solch einer Antenne weist
ein weitgehend Gaussförmiges Diagramm auf (vgl. dazu auch Figur 1.2). Bei einem Rillenhorn handelt es sich um ein konisches Horn, in dessen Wände Rillen eingebracht
werden. Da es insbesondere für hohe Frequenzen bei der Fertigung der Antennen nicht
möglich ist, diese Rillen heraus zu drehen oder zu fräsen, werden diese Antennen meistens
durch Aufkupfern eines Alukerns realisiert. Es ist relativ einfach möglich das Negativ
der Rillen in den Alukern zu drehen. Ein Beispiel solch eines Kerns und der zugehörigen
aufgekupferten Struktur zeigt Bild 4.45. Die Theorie von Rillenhornantennen, d.h. die
Herleitung der exakten Feldverteilung im Horn ist relativ komplex und soll hier nicht
diskutiert werden. Wir beschränken uns hier auf die Diskussion der quasioptischen Eigenschaften. In einem Rillenhorn breitet sich die sog. HE11 -Hybridmode aus. Die Rillen
in den Wänden, welche eine Tiefe von ca. einem Viertel der Wellenlänge aufweisen, haben
zur Folge, dass die Wandströme in der Hornwand bei zwei aufeinanderfolgenden Rillenkanten 180° ausser Phase sind. Die Wandströme entstehen durch das elektrische Feld
im Hohlleiter, welches im Abstand der halben Wellenlänge die Richtung umdreht. Der
Effekt der Rillen besteht somit darin, dass das elektrische Feld in der Nähe der Wände
verschwindet. Dies führt letztlich zu einer azimuthal symmetrischen Feldverteilung, die
uniform polarisiert ist. Da die Verteilung unabhängig vom Winkel ist, bezeichnet man eine solche Antenne auch als skalare Hornantenne. Falls die Feldverteilung in der Apertur
solch einer Antenne bekannt ist, so ist es möglich, durch Entwicklung dieser Verteilung
in höhere Gauss Moden, zu bestimmen wie sich die Verteilung im Fernfeld entwickelt.
Zu diesem Zweck greifen wir auf das zurück, was wir im Abschnitt 1.3.4 über die Superposition von höheren Moden gelernt haben.
Die Entwicklung eines beliebigen elektrischen Feldes
E(x, y) =
##
m
n
104
amn Emn (x, y)
(4.186)
4 Quasioptische Komponenten
Abbildung 4.45: Schnitt durch einen Alukern mit Rillen und zugehöriger Aufkupferung
für die Herstellung eines Rillenhorns.
in höhere Moden ist nicht eindeutig, da die Wahl des Krümmungsradius R und der Strahl
Taille w0 frei wählbar sind. Die meisten Hornantennen weisen allerdings ein elektrisches
Feld in der Apertur auf, für welches die Phasenverteilung einer sphärischen Welle mit
Krümmungsradius Rh entspricht, wie das schematisch in Figur 4.46 ersichtlich ist. Das
kommt daher, dass die Feldlinien, wegen der hohen Leitfähigkeit, senkrecht auf der Wand
stehen. Die Phasenverteilung in der Apertur ist somit
φap =
πr 2
.
λRh
(4.187)
Für eine Entwicklung in höhere Moden ist es deshalb sinnvoll den Krümmungsradius
R = Rh zu wählen. Für die Wahl von w0 gibt es verschiedene Möglichkeiten. Wir sind
allerdings daran interessiert eine Lösung zu finden, die möglichst wenige höhere Moden
beinhaltet. Das erreichen wir, wenn wir w0 so wählen, dass die Leistung in der Grundmode maximal wird. Da wir aber alles auf die Apertur beziehen, bedeutet dies, dass wir
w in der Apertur verwenden, resp. das Verhältnis von w zum Apertur Radius a, d.h.
w/a.
4.4.2 Pyramiden-Horn
Bevor wir die Theorie auf ein Rillenhorn anwenden, betrachten wir ein Pyramidenhorn,
das durch das Aufweiten eines rechteckigen Hohlleiters entsteht. Der Hohlleiter habe die
Breite a und die Höhe b. In einem solchen Hohlleiter breitet sich der T E10 Mode aus
105
4 Quasioptische Komponenten
Rh
Fläche
gleicher
Phase
Krümmungszentrum
r
Apertur
Abbildung 4.46: Schematische Darstellung der Fläche mit gleicher Phase in der Apertur
einer Hornantenne. Der Krümmungsradius entspricht der Schräge Rh
des Kegels.
und das in y-Richtung polarisierte elektrische Feld in der Apertur ist
&
'
$ πx %
−π(x2 + y 2)
Eap (x, y) = cos
exp j
|x| ≤ a2 ; |y| ≤ 2b
a
λRh
0
|x| > a2 ; |y| > 2b .
(4.188)
Dabei haben wir die Phase gemäss 4.187 verwendet. Das elektrische Feld können wir
einfach in kartesischen Koordinaten schreiben
$ πx %
E(x) = cos
|x| ≤ a2
a
0
|x| > a2 .
(4.189)
Entwickeln wir nun das Feld in x-Richtung, so erhalten wir in Gauss-Hermite Moden
den Ausdruck
(√ )
& '0.25
! 2"
2
2x
−x
−0.5
m
Em (x) =
[2 m!wx ]
Hm
exp
(4.190)
π
wx
wx2
und für den normierten Kopplungskoeffizienten cm gemäss 1.72
(√ )
& '0.25
! 2"
,
$ %
* m−1
+−0.5
2
2x
−x
t πx
cm =
2
m!wx a
· Hm
exp
cos
dx. (4.191)
π
wx
wx2
a
Wir definieren noch die beiden Hilfsgrössen s und u
√
2x
u=
wx
106
(4.192)
4 Quasioptische Komponenten
πwx
s= √
2a
(4.193)
und schreiben neu
- √ .0.5 ,
& '0.25
! 2"
2
2s
−u
−0.5
m
cm =
[2 m!]
· Hm (u) exp
cos(su)du.
π
π
2
(4.194)
Es ist nun möglich cm für verschiedene Werte von s zu bestimmen. Es zeigt sich, dass cm
für ungerade Indizes verschwindet und dass c0 ein Maximum erreicht für einen Wert s =
0.78, resp. für wx /a = 0.35. Der zugehörige Leistungskopplungskoeffizient ist | c0x |2 =
0.99. Für einen Strahlradius in der Apertur, der ca. einem Drittel des Aperturradius
entspricht, erhält man somit die beste Kopplung zum Grundmode. Dieses Ergebnis ist
qualitativ ziemlich allgemein gültig. Eine analoge Rechnung muss nun noch für die yRichtung durchgeführt werden.
E(y) = 1) |y| ≤ 2b
0
|y| > 2b .
(4.195)
Für den Feldkopplungskoeffizienten zum Grundmode erhalten wir durch analoge Überlegungen
& '0.25
2
cn =
[2n n!wx b]−0.5
π
(√ )
!
" $ %
,
2y
y2
πy
· Hn
exp − 2 l
dy
(4.196)
wy
wy
b
wobei noch eine Hilfsfunktion l eingeführt wurde, für welche gilt
l(ζ) = 1) |ζ| ≤ π2
0
|ζ| > π2 .
Wir definieren erneut Hilfsgrössen
(4.197)
√
2y
(4.198)
wy
πwy
t= √
(4.199)
2b
und erhalten für den Kopplungskoeffizienten des Feldes in y-Richtung zum Grundmode
& '0.25
&
'0.5
2
t
−0.5
n
√
cn =
[2 n!]
π
2π
! 2"
,
−v
· Hn (v) exp
l(tv)dv.
(4.200)
2
v=
Im Gegensatz zur x-Richtung ist hier die optimale Kopplung bei einem Wert von t =
1.11, d.h. bei wy /b = 0.5. Der Leistungskopplungskoeffizient wird | c0y |2 = 0.89. Damit
107
4 Quasioptische Komponenten
wird der totale Kopplungsfaktor für die Leistung | c00 |2 =| c0x |2 · | c0y |2 = 0.88. Die
zugehörige Grundmode ist somit asymmetrisch. Ferner sind die Taillen für die beiden
Richtungen an unterschiedlichen Orten. Dies ist zwar nicht grundsätzlich ein Problem,
jedoch möchte man viel lieber symmetrische Bedingungen. Man kann zeigen, dass durch
die Wahl b/a = 0.7 es möglich ist einen symmetrischen Strahl zu erhalten.
4.4.3 Lage der Strahl Taille
Da für jede Mode gilt, dass sie dieselben Werte hat für den Krümmungsradius R und
den Strahlradius w, so können wir den Ort und die Grösse der Strahltaille w0 bestimmen
und erhalten
w
w0 = *
(4.201)
+0.5
1 + (πw 2 /λR)2
und
z=
R
.
1 + (λR/πw 2 )2
(4.202)
Mit der Kenntnis von R und w0 können wir nun auch die Phase ϕm für jede Mode
bestimmen. Jede Mode hat ihre eigene Phasenschiebung. Wenn wir also wollen, dass
die Phase für eine bestimmte Ebene, z.B. die Apertur, gleich ist für alle Moden, dann
müssen wir die entsprechende Phasenlage bei w0 entsprechend wählen.
4.4.4 Höhere Moden im Rillenhorn
Die Feldverteilung in der Apertur eines Rillenhorns ist für eine Polarisation in y-Richtung
!
"
!
"
2.405r
−jπr 2
Eap = J0
exp
ŷ.
(4.203)
a
λRh
Dabei ist J0 die Bessel-Funktion nullter Ordnung. Wegen der Zylinder-Symmetrie entwickeln wir in Gauss-Laguerre Moden. Für ein axial symmetrisches Feld sind mit Ausnahme von m = 0 die anderen m-Moden gleich Null. Für den Feldkopplungskoeffizienten
erhalten wir dann
! "0.5 ! " , r=a
! 2"
! 2" !
"
2
1
2r
−r
2.405r
ap =
Lp0
exp
J0
2πr dr.
(4.204)
π
w0
w02
w02
a
r=0
Die zugehörige Leistung ist
, r−a
,
2
P = 2π
|E(r)| r dr = 2π
r=0
r=a
r=0
J02
!
2.405r
a
"
r dr = 0.847a2
(4.205)
und der zugehörige normierte Kopplungskoeffizient lässt sich schreiben mit
cp = 1.362s
,
2/s2
Lp (x) exp
x=0
108
!
−x
2
"
√
J0 (st x)dx
(4.206)
4 Quasioptische Komponenten
wobei noch die Hilfsgrösse x = 2r 2 /w 2 = w/a eingeführt wurde. Der optimale Wert im
Sinne, dass möglichst viel Leistung in der Grundmode ist, erhält man somit für
w = 0.644a,
(4.207)
wobei der Anteil der Leistung im Grundmode 0.98 beträgt. Der Phasenterm bewirkt,
dass die Strahl Taille nicht in der Apertur liegt. Wählen wir also w = 0.644a und
gleichzeitig für den Krümmungsradius R = Rh , so erhalten wir für den Ort z und die
Grösse der Strahl Taille w0
und
0.644a
w0 = $
*
+2 %1/2
1 + π (0.644a)2 /λRh
z=
(4.208)
Rh
.
1 + [λRh /π(0.644a)2]2
(4.209)
Figur 4.47 veranschaulicht die verschiedenen Grössen.Es ist zu beachten, dass es sich
Rh
α
w
w0
Apertur Radius
a
Horn
Offset
z
Abbildung 4.47: Schema eines Gauss Strahles in einem Rillenhorn.
hier lediglich um ein Schema handelt. Es wäre falsch, sich innerhalb der Hornantenne
den Strahl wie gezeichnet vorzustellen. Für einen Beobachter sieht es lediglich so aus,
als wäre ein Gauss Strahl produziert worden, der eine Taille w0 hat im Abstand z links
von der Aperturebene.
Führen wir noch den Phasenfehler (in Radian)
β=
πa2
λRh
109
(4.210)
4 Quasioptische Komponenten
am Rand der Apertur ein, so finden wir
w0
0.644
=
(4.211)
a
(1 + 0.172β 2)0.5
z
1
=
.
(4.212)
Rh
1 + 5.81β −2
Es lassen sich nun zwei Fälle unterscheiden, je nachdem wie gross dieser Phasenfehler β
ist.
Apertur-limitierte Antenne
Falls β ≤ 2, so sieht man, dass w0 praktisch unabhängig von β ist, und es gilt
w0 ≈ 0.644a.
(4.213)
Die Strahl-Taille ist also etwa ein Drittel des Apertur-Durchmessers. Dazu kommt, dass
die Strahl Taille praktisch in der Apertur liegt. Solch eine Hornantenne nennt man
Apertur-limitiert oder Beugungs-limitiert. Diese Antennen sind frequenzabhängig. Figur
4.48 zeigt das Antennendiagramm solch einer Antenne.17
Abbildung 4.48: Normiertes Antennendiagramm für eine Apertur-limitierte Antenne.
Parameter ist β/2π. θ bezeichnet den Winkel bezüglich der Ausbreitungsrichtung.
Winkel-limitierte Antenne
Falls β ≥ 6 ist, so gilt
17
w0 =
1.55a
λRh
=
.
β
0.644πa
(4.214)
Figur aus R.Wylde, Millimetre-wave Gaussian beam-mode optics and corrugated feed horns, IEE
Proc., Vol. 131-H(4), pp 258-262, 1984
110
4 Quasioptische Komponenten
Abbildung 4.49: Normiertes Antennendiagramm für eine Winkel-limitierte Antenne. Parameter ist β/2π. θ bezeichnet den Winkel bezüglich der Ausbreitungsrichtung und θ0 den Strahldivergenzwinkel.
Der Apertur-Radius ist dann mit der Hornlänge verknüpft durch
a = Rh sin α
(4.215)
wobei α der halbe Hornöffnungswinkel ist. Der Divergenzwinkel θ0 des Gauss Strahles
ist dann durch diesen Winkel α bestimmt und lautet
θ0 = 0.644 sin α.
(4.216)
Solch eine Hornantenne bezeichnet man als Winkel-limitiert (engl. flare angle limited).
Im Gegensatz zu der Apertur-limitierten Hornantenne ist in diesem Falle die Strahl-Taille
nicht in der Apertur, sondern im Apex des Horns lokalisiert. Das Antennendiagramm ist
für diese Hornantenne frequenzunabhängig. Figur 4.49 zeigt das Antennendiagramm.
In der beschriebenen Analyse muss man sich bewusst sein, dass die Überlegungen
jeweils nur in der paraxialen Näherung gelten, d.h. w0 /λ > 0.9. Das bedeutet, dass für
ein Apertur-limitiertes Horn gilt a > 1.4λ resp. dass der Durchmesser grösser ist als
2.8λ. Im Falle der Winkel-limitierten Antenne hat die Bedingung β > 6 zusammen mit
der paraxialen Näherung zur Folge, dass a/Rh < 0.55 ist, was einem Winkel α ≈ 31°
entspricht.
Phasenzentrum
Für eine Näherung mit einer einzigen Gauss Mode sind die Wellenfronten sphärisch, mit
einem wohl definierten Krümmungsradius R. Es stellt sich die Frage, wo der Krümmungsmittelpunkt
in einem solchen Falle ist. Dieser liegt hinter dem Ort der Strahl-Taille und zwar um
2
(πw02 /λ)
∆pc = z − R = −
.
z
111
(4.217)
4 Quasioptische Komponenten
Dieser Offset ∆pc geht gegen Null für Abstände, die viel grösser sind als die konfokale Distanz zc , d.h. für das Fernfeld. Es ist üblich, dass man den Ort des Krümmungsmittelpunktes
als Phasenzenter bezeichnet. Falls höhere Moden berücksichtigt werden müssen, gelten
diese Näherungen nicht mehr. In Realität ist die Fläche gleicher Phase nicht kugelförmig.
Wir definieren deshalb das Phasenzentrum für einen spezifizierten Abstand von der
Apertur als das Zentrum einer sphärischen Oberfläche, welche der aktuellen Phasenverteilung am nächsten kommt.18 Die Lage des Phasenzentrums wird vom gewählten
Abstand abhängen.
4.5 Resonatoren
Ein optischer Resonator ist im Prinzip das entsprechende Gegenstück eines elektrischen
Resonanzkreises. Er speichert Licht resp. Mikrowellen bei bestimmten Frequenzen. Normalerweise wird im Mikrowellenbereich mit geschlossenen Zylinder-Resonatoren gearbeitet. Im Millimeter- und Submillimeterbereich werden zunehmend offene Resonatoren
verwendet, wie das in der Optik bekannt ist. Gegenüber einem geschlossenen Resonator
sind in der offenen Version die Verluste durch Wandströme geringer. Zudem ist es wesentlich einfacher ein Medium in den Resonator zu bringen. Nebst der Verwendung als
Filter ist vermutlich die Anwendung als Spektrum Analysator resp. die Bestimmung von
dielektrischen Eigenschaften von Materialien der Hauptanwendungsbereich von offenen
Resonatoren. Dabei können sowohl feste wie auch gasförmige Medien untersucht werden.
Der einfachste Resonator besteht im Prinzip aus zwei planparallelen Spiegeln in einem bestimmten Abstand d zwischen denen Millimeterwellen hin und her reflektiert
werden. Die Moden eines solchen Resonators sind die stehenden Wellen, die sich ausbilden können. Eine Resonanz tritt dann auf, wenn der Abstand d der Spiegel einem
ganzzahligen, q, Vielfachen der halben Wellenlänge im Medium λ zwischen den Spiegeln
entspricht, d.h.
qλ
d=
.
(4.218)
2
Einen solchen Resonator bezeichnet man als Fabry-Perot Resonator. Dieser Resonanzeffekt kann nicht nur zwischen Spiegeln oder Gittern auftreten, sondern allgemein wo
Reflexionen auftreten infolge von Impedanz-Sprüngen. Ein unerwünschter Effekt dieser
Art trifft leider allzu häufig in Mikrowellen-Radiometern auf und wird dort als baselineEffekt bezeichnet.
Bei offenen Resonatoren, die aus zwei planparallelen Spiegeln bestehen, machen sich
zwei Nachteile bemerkbar: Verluste durch Beugung und durch ungenaue Ausrichtung.
Eine stabilere Anordnung bezüglich Ausrichtung besteht aus sphärischen Spiegeln. Nehmen wir an, wir haben einen Gauss-Strahl mit Taille w0 an einem bestimmten Ort z = 0.
Wir passen nun links und rechts von der Strahl-Taille, in den Abständen d1 und d2 gekrümmte Spiegel an, deren Krümmungsradien R1 und R2 denjenigen des Gauss-Strahles
18
Diese Definition wurde vorgeschlagen in: R.Wylde and D.Martin, Gaussian Beam-Mode Analysis and
Phase-Centers of Corrugated Feed Horns, IEEE-MTT, Vol. 41, No. 10, p. 1691-1699, 1993.
112
4 Quasioptische Komponenten
entsprechen. Vorausgesetzt, dass die Spiegel gross genug sind, damit nicht Leistung neben den Spiegeln vorbei geht, so wird auf beiden Seiten der Gauss-Strahl auf sich zurück
reflektiert. Die beiden Spiegel fangen also sozusagen den Strahl ein und bilden einen
Resonator. Dabei sind die Gauss-Strahl Moden die Moden des Resonators. Dies gilt
auch für höhere Gauss-Laguerre oder Gauss-Hermite Moden. Ein Beispiel eines offenen
Resonators zeigt Figur 4.50. Wir betrachten nun einen Resonator bestehend aus zwei
Abbildung 4.50: Offener Resonator im Mikrowellen-Bereich. Die Halterung zwischen den
Spiegeln dient dem Ausmessen von Dielektrika. Die Einkopplung erfolgt
über einen Koaxial-Stecker.
Spiegeln M1 und M2 im Abstand L mit den Krümmungsradien R1 und R2 . Wir wollen
untersuchen wo die für Resonanz zugehörige Taille w0 zu liegen kommt und welche Resonanzfrequenzen vorliegen. Ein Schema dieser Anordnung zeigt Figur 4.51. Man kann
sich die Funktionsweise solch eines Resonators auch durch Entfaltung der Optik in Form
von Linsen vorstellen, wie das in Figur 4.52 dargestellt ist. Dabei wird die EingangsTaille in die Ausgangs-Taille abgebildet und zwar in unendlicher Abfolge. Dabei sind
die beiden Taillen gleich und fallen zusammen. Wir können diese Anordnung mit Hilfe der zugehörigen ABCD-Matrix untersuchen, wobei die nötigen Randbedingungen
berücksichtigt werden müssen. Die aequivalente optische Matrix für einen entfalteten
Resonator ist dann:
R =
=
!
!
A B
C D
"
1 L − d1
0
1
(4.219)
"!
1
−1
f2
0
1
"!
113
1 L
0 1
"!
1
−1
f1
0
1
"!
1 d1
0 1
"
4 Quasioptische Komponenten
L
Spiegel 2
Spiegel 1
R2
R1
w0
d2 =
L − d1
d1
Abbildung 4.51: Schema eines offenen quasioptischen Resonators.
f1
f2
Input
Output
d1
L
L − d1
Abbildung 4.52: Entfalteter Resonator mit Linsen dargestellt, wobei die Brennweite der
Linsen f = R/2 ist.
114
4 Quasioptische Komponenten
Die einzelnen Komponenten sind dann:
L
A=1−
+ (L − d1 )
f1
!
d1
B = d1 + L 1 −
f1
"
!
L
1
1
−
−
f1 f2 f1 f 2
"
!
!
""
d1
d1
L
d1
+ (L − d1 ) 1 −
−
−
1−
f1 f2 f2
f1
C=
L
1
1
−
−
f 1f 2 f 1 f 2
(4.220)
(4.221)
(4.222)
!
"
d1 d1
L
d1
D =1−
−
−
1−
.
f1 f2 f 2
f1
(4.223)
Da der Eingang und der Ausgang im selben Medium liegen, gilt für die Determinante
A · D − B · C = 1. Für die Transformation eines Gauss-Strahls zusammen mit der
Forderung, dass die Taillen identisch sind, gilt nun für den komplexen Strahl-Parameter
qout =
Aqin + B
= qin .
Cqin + D
(4.224)
Da wir eine Taille betrachten, so gilt qin = jzc und somit
jzc A + B
= jzc .
jzc C + D
(4.225)
Auflösen nach zc ergibt
0
1 /
· −j(A − D) ± (−A2 − D 2 + 2AD − 4BC)1/2
2C
0
1 /
=
· −j(A − D) ± (−A2 − D 2 − 2AD + 4)1/2
2C
1
=
(−j(A − D) ± (4 − (A + D)2 )1/2 .
2C
zc =
(4.226)
Da aber zc reell sein muss, folgt
1
zc = ±
C
!
1
1 − (A + D)2
4
"1/2
.
Wir setzen nun die Werte für A, C, D von oben ein
!
"
L2
L
L
A+D = 2 1+
−
−
2f1 f2 f1 f2
115
(4.227)
(4.228)
4 Quasioptische Komponenten
und erhalten
zc = ±
$
L 1 − (1 +
L2
2f1 f2
L2
f1 f2
−
L
f1
−
L
f1
−
L 2
)
f2
−
L
f2
%1/2
.
(4.229)
Der zc -Parameter ist somit durch die Resonator Parameter f1 , f2 und L definiert. Damit
zc reell ist, muss (A + D)2 < 4 sein resp. −2 < A + D < 2 und somit
−2 <
L2
L
L
−
−
<0
2f1 f2 f1 f2
(4.230)
Es gibt nun eine Reihe von möglichen Kombinationen von Krümmungsradien der Spiegel
und Spiegelanordnungen. Die wichtigsten sollen kurz erwähnt werden.
4.5.1 symmetrischer Resonator
Für einen symmetrischen Resonator gilt f = f1 = f2 und es folgt L < 4f oder
und für die konfokale Distanz zc erhält man
L
zc (symm) =
2
!
4f
−1
L
"1/2
.
f
L
> 0.25
(4.231)
und damit für die Strahl-Taille
w0 (symm) =
(
λL
2π
!
4f
−1
L
"1/2 )1/2
.
(4.232)
4.5.2 halb symmetrischer Resonator
Ist einer der Spiegel plan, d.h. f = ∞, dann erhalten wir
zc (halbsymm) = L(
2f
− 1)1/2
L
(4.233)
und damit
w0 (halbsymm) =
(
λL
π
!
2f
−1
L
"1/2 )1/2
.
(4.234)
4.5.3 konzentrischer Resonator
Beträgt der Abstand L = R1 + R2 , so spricht man von einem konzentrischen Resonator.
116
4 Quasioptische Komponenten
4.5.4 konfokaler Resonator
Falls f1 =
L
2
= f2 , so erhält man einen konfokalen Resonator
zc (konf okal) =
L
2
und
w0 (conf ocal) =
!
λL
2π
"1/2
(4.235)
.
(4.236)
Die Länge des Resonators ist dann gerade L = 2zc . Es ist diese Anordnung die dem
Parameter zc den Namen konfokaler Parameter eingebracht hat.
4.5.5 Lage der Strahl Taille w0
Aus der Beziehung, dass zc reell sein muss, folgt, dass A = D. Durch Gleichsetzen und
Auflösen nach d1 erhält man somit
d1 =
1 L(L − 2f2 )
2 L − f2 − f1
(4.237)
und
d2 = L − d1 .
(4.238)
Beispielsweise für einen symmetrischen Resonator, d.h. f = f1 = f2 folgt: d1 = d2 = L/2
4.5.6 g-Parameter
In der Resonatortheorie wird häufig der sogenannte g-Parameter eingeführt:
g1 = 1 −
L
R1
(4.239)
g2 = 1 −
L
R2
(4.240)
oder für sphärische Spiegel
L
(4.241)
2f1
L
g2 = 1 −
.
(4.242)
2f1
Mit dem g-Parameter lassen sich dann auch die oben bestimmten Gaussbeam-Parameter
bestimmen
L(g1 g2 (1 − g1 g2 ))1/2
zc =
(4.243)
g1 + g2 − 2g1g2
g1 = 1 −
d1 =
Lg2 (1 − g1 )
g1 + g2 − 2g1g2
117
(4.244)
4 Quasioptische Komponenten
Lg1 (1 − g2 )
g1 + g2 − 2g1g2
und die zu Gleichung 4.230 aequivalente Beziehung
d2 =
(4.245)
0 < g1 g2 < 1.
(4.246)
Mit Kenntnis von d1 , d2 und zc lässt sich dann auch der Strahlradius auf den Spiegel
bestimmen, durch Einsetzen in die herkömmlichen Ausbreitungsformeln
(
! "2 )1/2
z
w(z) = w0 1 +
(4.247)
zc
und insbesondere auch der Krümmungsradius R
R(z) = z +
zc2
.
z
(4.248)
Insbesondere ist R(d1 ) = 2f1 = R1 und R(d2 ) = 2f2 = R2 . Das heisst, dass der
Krümmungsradius der Spiegel genau dem Radius der Phasenfront des Gauss Strahls
entspricht. Ist ein Spiegel plan, d.h. R = ∞, so heisst das, dass er mit der Taille
übereinstimmen muss. Die verschiedenen Kombinationen von Anordnungen und die daraus resultierenden Grössen sind in Tabelle 4.5.6 zusammengestellt. Die Stabilitätskriterien
Bezeichnung
symmetrisch
halbsymmetrisch
planar
konzentrisch
symmetrisch konfokal
symmetrisch konzentrisch
halbkonfokal
f1
f2
R
2
R
2
R
2
∞
∞
R
2
L
2
L
4
∞
∞
L−R
2
L
2
L
4
L
R1
R
∞
∞
R
L
R2
R
R
∞
L−R
L
L
2
L
2
∞
2L
g1
L
1− R
1
1
g2
L
1− R
L
1− R
1
R−L
R
R
R−L
zc
/R
01/2
−
1
/L
01/2
L R
−
1
L
∞
0
1
2
0
L
0
−1
1
0
−1
L
2
L
2
Tabelle 4.1: Zusammenstellung der verschiedenen Resonator Konfigurationen
für einen Resonator lassen sich auch graphisch darstellen. Es liegt die Bedingung 0 <
g1 g2 < 1 zu Grunde, resp.
!
"!
"
L
L
0< 1−
1−
< 1.
(4.249)
R1
R2
Dieser Zusammenhang ist in Figur 4.53 veranschaulicht. Der schraffierte Bereich stellt
stabile Bedingungen dar. Allerdings gilt für Konfigurationen auf der Kurve, dass eine minime Abweichung, z.B. durch ungenaue Justierung, zu einem unstabilen Zustand
führen kann. Äusserst anfällig ist der symmetrische konfokale Resonator. Einen stabilen
L
Resonator erhält man z.B. für Werte RL1 = RL2 = R
≈ 0.6
118
4 Quasioptische Komponenten
g2
g1g2=1
g1g2=0
planar
1
g1
1
konfokal
konzentrisch
g1g2=1
Abbildung 4.53: Stabilitätsdiagramm für offene Resonatoren.
4.5.7 Resonanzbedingung, Resonanzfrequenzen
Da die Bedingung für Resonanz ist, dass die Phase nach einem Durchlauf ein Vielfaches
von 2π ist, wollen wir uns als nächstes genauer mit der Phase beschäftigen. Die Phase
in einem Mode ist abhängig von der Modenzahl, so gilt für einen Gauss-Laguerre Mode
φpm (z) = −j[kz − (2p + m + 1)φ0 ]
(4.250)
und für einen Gauss-Hermite Mode
φmn (z) = −j[kz − (m + n + 1)φ0 ]
wobei
−1
φ0 = tan
!
z
zc
"
.
Für den fundamentalen Mode gilt dann
1
&
! "
! "'2
2πL
d1
d2
−1
−1
∆φ = 2
− tan
+ tan
.
λ
zc
zc
(4.251)
(4.252)
(4.253)
Dabei ist der erste Term die Phasenschiebung bei einer ebenen Welle und der zweite Term
derjenige des Gauss-Strahles ∆gb0 , den wir mittels der g-Parameter schreiben können
1
2
1
2
g1 (1 − g2 )
g2 (1 − g1 )
−1
−1
∆φgb 0 = tan
+ tan
.
(4.254)
[g1 g2 (1 − g1 g2 )]0.5
[g1 g2 (1 − g1 g2 )]0.5
119
4 Quasioptische Komponenten
Durch Ausdrücken des Tangens durch den Cosinus lässt sich diese Beziehung vereinfachen zu
∆φgb
0
= cos−1 (g1 g2 )0.5
&!
"!
"'0.5
L
L
−1
= cos
1−
1−
R1
R2
&!
"!
"'0.5
L
L
−1
= cos
1−
1−
.
2f1
2f2
Als Resonanz Bedingung erhalten wir nun
&
'
2πL
−1
0.5
2
− (2p + m + 1) cos (g1 g2 )
= 2πq
λ
für die Gauss-Laguerre Moden und
&
'
2πL
−1
0.5
2
− (m + n + 1) cos (g1 g2 )
= 2πq
λ
(4.255)
(4.256)
(4.257)
für die Gauss-Hermite Moden. Die zugehörigen Resonanz Frequenzen sind somit für die
Gauss-Laguerre Moden
&
'
1
c
−1
0.5
vq pm = q + (2p + m + 1) cos (g1 g2 )
(4.258)
π
2L
und für die Gauss-Hermite Moden entsprechend
&
'
1
c
−1
0.5
vq mn = q + (m + n + 1) cos (g1 g2 )
π
2L
(4.259)
Den Index q nennt man axiale oder longitudinale Modenzahl. Moden, die sich nur in
c
q unterscheiden, haben somit einen Frequenzunterschied von 2L
. Höhere Moden mit
verschiedenen q nennt man horizontale oder axiale Moden. Die In Indizes p, m und n
bezeichnen verschiedene transversale Moden.
4.5.8 Verluste im Resonator
In einem Resonator können sich verschiedene Verlustmechanismen bemerkbar machen,
die wir kurz erläutern wollen.
Beugungsverluste treten auf wegen der endlichen Grösse der verwendeten Spiegel.
Wenn wir annehmen, dass die im Resonator gespeicherte Energie den reflektierten Wellen zwischen den Spiegeln entspricht, so ist der Beugungsverlust αd für einen Fundamentalmode an einem Spiegel mit Durchmesser 2a gleich der Randbelegung (engl. edge
taper)
a2
αd = e−2 w2
120
(4.260)
4 Quasioptische Komponenten
wobei hier w = w(d1 ) resp. w(d2 ) ist. Für einen symmetrischen Resonator erhalten wir
so
! !
"
"
2πa2
2 1/2
αd = exp −
(1 − g )
(4.261)
λL
( !
"!
"1/2 )
2πa2
2R
= exp −
−1
.
λR
L
Für einen konfokalen Resonator ist R = L und ergo
αd = e−
2πa2
λL
.
(4.262)
Man sieht, dass der Verlust abhängt vom Verhältnis von
man Fresnel-Zahl
Nf =
a
L
zu λa . Dieses Verhältnis nennt
a2
.
λL
(4.263)
Verluste im Resonator werden dann mittels dieser Fresnel-Zahl ausgedrückt
αd = e−2πNf .
(4.264)
Eine andere Definition der Fresnel-Zahl lautet
F läche des Resonatorspiegels
πa2
=
= πNf .
konf okale T EM00 Modef läche
πw12
(4.265)
Je grösser Nf , desto weniger Verluste liegen vor.
Die hier durchgeführten Abschätzungen gelten exakt für den Fundamentalmode. Genauere Rechnungen zeigen, dass die Verluste etwas anders sind und zwar
αd = 16π 2 Nf exp [−4πNf ]
αd = 1 − (πNf )2
f ürNf ≥ 1
f ürNf → 0
(4.266)
(4.267)
Sind höhere Moden im Spiel, so wird der Verlust grösser. Dies ist intuitiv klar, ist doch
der ’Spillover’ für einen höheren Mode grösser. Zu Verlusten können aber auch Öffnungen
für die Einkopplung führen.
Es ist verständlich, dass die Geometrie des Resonators möglichst nicht durch irgendwelche Einkopplungsvorrichtungen gestört werden sollte. Die häufigste Art ein Mikrowellen Signal in einen Resonator zu koppeln, geschieht entweder über Koaxialstecker, wo
dies die Frequenz zu lässt oder durch Hohlleiter. In beiden Fällen sind die Anschlüsse
nahe bei der Resonatorachse, d.h. im Zentrum der Spiegel. In Resonatoren, deren Länge
zur Abstimmung verstellt werden sollten, wird häufig die Ein- und Auskopplung beim
selben Spiegel gewählt. Häufig handelt es sich dabei um einen Planspiegel bei einem
halbsymmetrischen Resonator. Die Kopplung durch ein Loch wird zu Verlusten führen.
Ein kleines Loch ist zwar zu bevorzugen, hat aber den Nachteil, dass die Divergenz des
121
4 Quasioptische Komponenten
Pseudo-Strahles gross ist. Ist dagegen das Loch gross, so wird automatisch der Spiegel
verkleinert, was auch als Spiegelverlust bezeichnet werden kann. Es ist im Prinzip auch
möglich quasioptisch einzukoppeln, etwa durch halbdurchlässige Folien. Es ist in allen
Fällen schwierig einen quantitativen Ausdruck für die Kopplungsverluste αcoup anzugeben. Eine Zusammenstellung der möglichen Verlustmechanismen bei einer Einkopplung
über ein Loch gibt Figur 4.54.19
Abbildung 4.54: Verluste bei Einkopplung in einen offenen Resonator.
Weitere Verluste können auch dadurch entstehen, dass die Reflektivität der Spiegel
nicht ideal ist. Ein Effekt, der bereits im Abschnitt 4.1.2 diskutiert wurde. Für einen
Spiegel mit Oberflächenwiderstand Rs können wir den Verlust bei senkrechtem Einfall
abschätzen mit
4Rs
αm = 1 − |rn.i. |2 =
= 4 [πν*0 ρ]0.5 .
(4.268)
Z0
Eine andere Art von Verlust durch Absorption tritt auf, wenn das Medium zwischen
den Spiegeln nicht Vakuum ist, sondern durch ein Gas oder ein Material mit kleinem
Absorptionskoeffizienten gefüllt ist. In diesem Falle erhalten wir pro Durchgang einen
Verlust von
αa = αL
(4.269)
wobei α die Absorption pro Weglänge des Mediums ist.
19
gemäss R.Clarke and C.Rosenberg, Fabry-Perot and open resonators at microwave and millimetre
wave frequencies, 2-300GHz, Journal of Physics E: Scientific Instruments, Vol. 15, pp.9-24,1982.
122
4 Quasioptische Komponenten
4.5.9 Güte des Resonators, Q
Die Güte eines Resonators, d.h. die Qualität mit der eine Resonanz bestimmt werden
kann, wird mit dem Faktor Q beschrieben. Dieser Faktor wird in der Literatur meistens
beschrieben als
Q =
=
mittlere gespeicherte Energie
Energieverlust pro Radian
(4.270)
ω0 · mittlere gespeicherte Energie
.
Energieverlust pro Sekunde
(4.271)
Das lässt sich auch schreiben als
Q=
ω0
,
Bruchteil der pro Sekunde verlorenen Energie
(4.272)
wobei ω0 = 2π ν0 die Kreisfrequenz bei Resonanz ist. Wenn wir wieder annehmen, dass
die gespeicherte Energie aus vor und zurück reflektierten Wellen zwischen den Spiegeln
besteht, so ist die Anzahl der Einwegdurchgänge pro sec gleich c/L. Damit ist der Bruchteil der pro sec verloren gegangener Energie c/L mal der Verlust pro Durchgang. Somit
ist Q
2πν0 L
Q=
(4.273)
αt c
wobei wir mit αt den gesamten Bruchteil der Energie, der pro Durchgang verloren geht,
bezeichnen. Im Falle von mehreren Verlustmechanismen ist αt die Summe der einzelnen
Mechanismen
αt = αd + αm + αa + αcoup .
(4.274)
Dementsprechend können wir einen Qi -Wert für jeden Verlust definieren
1
αi c
=
.
Qi
2πν0 L
(4.275)
Der totale Q-Wert wird dann die reziproke Summe sein
1
1
1
1
1
=
+
+
+
.
Qt
Qd Qm Qa Qcoup
(4.276)
Wird der Qcoup -Wert für die Kopplung bei dieser Summierung ausgeschlossen, so spricht
man vom unbelasteten Q-Wert (engl. unloaded Q), andernfalls vom belasteten Q-Wert.
In der Literatur werden Q-Werte in der Grösse von 105 und höher angegeben.
123