5 Konstruktion der Winkelhalbierenden als Makro

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Dr. Hermann Vogel
DGS-Praktikum
5 Winkelhalbierende
5 Konstruktion der Winkelhalbierenden als Makro
Gegeben ist der Winkel =<)BAC eines Dreiecks ABC. Gesucht ist eine Konstruktion der
Winkelhalbierenden w allein mit Zirkel und Lineal.
Führe die Konstruktion von w wie unten angegeben durch.
Was ergibt sich, wenn man statt der beiden Kreise um B durch B’ bzw. um B’ durch B zwei
kongruente Kreise um B bzw. B’ mit festem Radius nimmt ? Was, wenn man w als Verbindung von A und E statt als Verbindung von E und D verwendet ?
Wählt man den festen Radius zu klein und öffnet dann den Winkel, so existieren u.U. die
Punkte D und E nicht mehr (reell) und die Konstruktion bricht bei GeoGebra ab. Da
Cinderella über das Komplexe rechnet, gibt es die Verbindungsgerade der konjugiert
komplexen Punkte aus, siehe Anmerkung. Wählt man w=AE, so fallen A und E im Fall, dass
=60° ist, zusammen und definieren daher keine Verbindungsgerade.
Um eine Konstruktion als Makro verwenden zu können, muss diese allgemeingültig sein.
Die DGS-Programme stellen viele Konstruktionen zur Verfügung, für die man mit Zirkel und
Lineal mehrere Konstruktionsschritte benötigt. Man kann aber auch selbst für aufwändigere
Konstruktionen Makros als eigene Werkzeuge definieren, die zu gegebenen Startobjekten
die Zielobjekte der Konstruktion bestimmen, indem man:
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5 Winkelhalbierende
1) bei GeoGebra unter „Werkzeug/Neues Werkzeug erstellen“ zunächst aus einer Liste
die Ausgabe-Objekte, dann die Eingabe-Objekte in der gewünschten Reihenfolge auswählt und dann einen Werkzeug-Namen und Werkzeug-Hilfe sowie ggfs. ein Werkzeugsymbol für ein Button einträgt. Das Werkzeug steht dann mit einem Werkzeug-Button in
der Werkzeugleiste zur Verfügung.
Über Werkzeuge/Werkzeuge verwalten kann man das Makro z.B. als wiha.ggt abspeichern und dieses Makro durch Drag&Drop in ein neues GeoGebra-Fenster ziehen.
Dann steht es auch dort zur Verfügung. So kann man eine Datenbank mit eigenen
Makros erstellen. Über Werkzeuge/Werkzeugleiste anpassen kann man einzelne
Werkzeuge löschen oder hinzunehmen und so die Leiste jahrgangsbezogen gestalten.
2) bei Cinderella die Startobjekte (Punkte!) und die Zielobjekte im Zugmodus bei gedrückter Shift-Taste markiert und mit „Strg C“ und „Strg V“ die Konstruktion kopiert, vgl.
Bearbeiten. Man erhält eine 1 zu 1-Kopie der ausgewählten Objekte (die Bezeichnung
werden soweit möglich mit Strich übernommen) und kann die Startobjekte mit dem
Schraubenschlüssel mit den gewünschten Objekten identifizieren. Dieses Kopieren kann
man als eigenes Werkzeug definieren mit „Strg+Umschalt+N“. Dabei wird ein Button
mit den Start- und Zielobjekten erzeugt. Das „Ankleben“ der Kopie an die gewünschten
Punkte erfordert einige Übung.
Achte auf die Reihenfolge der Objekte: Hier Punkt B auf dem einen Schenkel, dann Scheitel
A und dann Punkt C auf dem zweiten Schenkel. Konstruiere die dritte Winkelhalbierende.
Erzeuge ein Werkzeug für den Schwerpunkt oder des Inkreises eines Dreiecks.
Anmerkung zur Berechnung der Schnittpunkte zweier Kreise:
Schiebe Kreise auseinander
und wieder zusammen
Bei Cinderella tauschen D und E
die Seiten, bei GeoGebra nicht !
Die Hessenormalform der Geraden g in Figur (3) liefert den Abstand d = |AF| von A zu g.
Nur für d  r1 gibt es Schnittpunkte (Fallunterscheidung). Nach Pythagoras gilt in Δ AFD:
e = |FD| =
1
2
2
=> OD  OA  AF  FD mit AF 
d
| AB |
AB und FD 
B y  A y 

 .
| AB |  A x  B x 
e
Bei Cinderella werden die Punkte D und E vertauscht, wenn man die Kreise soweit auseinander schiebt, dass die Schnittpunkte verschwinden (konjugiert komplex werden), und dann
wieder zusammenschiebt. Cinderella ändert dabei das Vorzeichen von e und erreicht so
Kontinuität, vgl. Kreisschnitt.xyz und Koppelkurve.xyz. Bei GeoGebra ist D stets derjenige
Schnittpunkt, der in Richtung von A nach B auf der rechten Seite liegt; E liegt immer links.
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6 Schwerpunkt
6 Werkzeug für Schwerpunkt eines Dreiecks
Den Schwerpunkt S eines Dreiecks ABC erhält man zum einen als Schnittpunkt zweier
Seitenhalbierender zum anderen analytisch als S=1/3 (A+B+C).
Neben der Konstruktion kann man bei beiden Programmen S über die Koordinaten analytisch bestimmen, wobei Cinderella die CindyScript-Festlegung S.xy=1/3(A+B+C); bei der
Definition eines Werkzeugs leider nicht übernimmt. Das selbst definierte Werkzeug „Schwerpunkt“ erhält in der Werkzeugleiste automatisch ein eigener Button und kopiert die Startund Zielobjekte. Mit Hilfe des Schraubenschlüssels kann man die Startobjekte A’, B’, C’ mit
den Punkten D, E, F identifizieren, um den Schwerpunkt S’ des Dreiecks DEF zu erhalten.
Beim File 6-Schwerpunkt.ggb wird S analytisch über die Koordinaten bestimmt. Nach Wahl
der Start- und Zielobjekte kann man bei GeoGebra auch ein eigener Button für das Werkzeug definieren, vgl. 6-Schwerpunkt-Button.ggb und Schwerpunkt-Button.png. Dieses
erscheint direkt in der Werkzeugleiste. Speichere das Makro z.B. als Schwerpunkt.ggt ab.
Der Schwerpunkt der Schwerpunkte der drei Teildreiecke ABS, BCS, CAS ist der Schwerpunkt S des Ausgangsdreiecks ABC.
Öffne ein neues GeoGebra-Fenster und lade die Makros wiha.ggt und Schwerpunkt.ggt.
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Farbsäume
Makros für Farbsäume, farbige Texte
Um in der Figur zur Zentrischen Streckung die einzelnen Strecken durch „Farbsäume“ hervorzuheben, muss man diese als Strecken definieren und dazu deren Anfangs- und Endpunkt konstruieren/definieren. Entsprechend benötigt man bei der Figur zum Peripheriewinkelsatz farbige Kreisbogen, um zu kennzeichnen: „Über dem Bogen AD gilt: 1 = 2 1“.
Bei GeoGebra kann man dazu wie folgt Makros definieren, vgl. Offset-Strecke.ggb und
Offset-Bogen.ggb.
Statt Aʹ bei Offset-Strecke auf der Normalen zur Geraden a=AB im Abstand d von A zu konstruieren, wird Aʹ = A + d / Abstand[A, B] (y(B) - y(A), x(A) - x(B)) und analog Bʹ definiert.
Bei Aufruf des Makros wird nach Eingabe der Endpunkte (z.B. C und) der Abstand d abgefragt. Je nach Vorzeichen von d liegt der Farbsaum rechts oder links von der Strecke CD.
Bei Offset-Bogen wird der Punkt Bʹ einfach definiert als Bʹ = B + d / Abstand[A, B] (B - A)
und der Bogen für den Farbsaum als Kreisbogen[A, B', C] . Bei Aufruf des Makros wird
nach Eingabe des Kreismittelpunktes und der Punkte auf dem Kreis der Abstand d abgefragt. Je nach Vorzeichen von d liegt der Farbsaum außerhalb oder innerhalb des Kreises.
Bei Cinderella erzeugt man Farbsäume am einfachsten mit CindyScript. Dazu später mehr.
Die farbige Formel in obiger Figur erhält man als LaTeX Formel mit dem Befehl
\frac{ \textcolor{0,135,0}{\overline{AB}}}{\textcolor{red}{\overline{AD}}}\;=\;
\frac{ \textcolor{blue}{\overline{AC}}}{\textcolor{magenta}{\overline{AE}}}
wobei neben festen Farbbezeichnungen auch der Rot-, Grün- und Blau-Anteil angegeben
werden kann, vgl. Texteditor und Objekteigenschaften -> Farbe.
Um bei der Ausgabe von Werten in Texten Ausdrücke der Art „+-1“ zu vermeiden, ersetzt
man im Texteditor das Objekt „a“ durch „Wenn[a < 0, "−" + (abs(a)), "+" + a]“, vgl.
Vorzeichen.ggb.
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7 Koppelkurve
7 Eulergerade
7 Kontinuität am Beispiel Koppelkurve
Ein Gelenkviereck besteht aus drei Stäben fester Länge a=|AB|, b=|BC| und c=|CD|, die
beweglich in den festgehaltenen Punkten A und D gelagert und durch Gelenke in B und C
miteinander verbunden sind. Betrachtet man den Mittelpunkt F von B und C, so durchläuft
dieser eine so genannte Koppelkurve, vgl. 7-Koppelkurve-Lsg.xyz.
Da der Schnittpunkt C von kb und kc bei GeoGebra nicht nach unten „durchschlagen“ kann
(er bleibt immer auf der selben Seite des Vektors von B nach D, d.h. links davon), erhält man
nur einen Teil der Koppelkurve. Den zweiten Teil der Kurve erhält man mit dem zweiten
Schnittpunkt C’ der beiden Kreise.
Da Cinderella über das Komplexe rechnet und damit Kontinuität ermöglicht, durchläuft C
die Koppelkurve vollständig. Betrachte auch die Animation von C.
Automatisches Beweisen am Beispiel Eulergerade
Die Verbindungsgerade e des Umkreismittelpunkts M und des Höhenschnittpunkts H enthält den Schwerpunkt S des Dreiecks ABC. Man nennt e auch Eulergerade.
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7 Koppelkurve
7 Eulergerade
Öffnet man bei Cinderella vor der Konstruktion der Schnittpunkte D = ma  mb ,
E = ha  hb und F = sa  sb sowie der Verbindungsgerade e = DE unter Ansichten das
Informationsfenster, so gibt Cinderella (nach der jeweiligen Konstruktion) in der „Console“
aus, dass die Punkte jeweils auf der dritten Geraden liegen sowie auch F auf der Geraden e
liegt, betrachte 7-Eulergerade.cdy. Beachte hier die fortlaufende alphabetische Bezeichnung der konstruierten Punkte, d.h. D statt M, E statt H und F statt S.
Cinderella überprüft im Hintergrund stets Identitäten und Inzidenzen von Objekten. Das
gelingt, da die Koordinaten von Punkten und Koeffizienten von Geraden bei euklidischen
Konstruktionen stets Lösungen linearer oder quadratischer Gleichungen sind (Schnitt zweier
Geraden, Verbindungsgerade zweier Punkte, Schnitt Gerade-Kreis, Schnitt zweier Kreise).
Hinter Aussagen über Identitäten oder Inzidenzen geometrischer Objekte stecken daher
algebraische Gleichungen, die unabhängig von den Ausgangsdaten der Basisobjekte (hier
A, B, C) sind. Da algebraische Ausdrücke identisch sind, wenn sie an genügend vielen
Stellen gleich sind, überprüft Cinderella diese Übereinstimmung mittels randomisierter
Verfahren (Beachte: ein Polynom n-ten Grades Pn(x) mit n+1 verschiedenen Nullstellen ist
identisch Null).
Da diese „Überprüfung“ jedoch nur mit endlicher Rechengenauigkeit erfolgt, liefert dieses
Verfahren allerdings nur eine starke Evidenz für eine geometrische Aussage.
GeoGebra überprüft die Beziehung von zwei Objekten und gibt bei Wahl von S und e an,
dass S auf e liegt, aber auch bei Wahl von H und cʹ, dass H (momentan) auf cʹ liegt aber
nicht allgemein. Das erkennt man aber auch beim Verschieben der Ausgangspunkte A, B, C.
und nach Anklicken von
„Mehr“
Insofern lohnt es sich, beim Auftreten von „zufälligen“ Inzidenzen von Objekten bei Variation
einer Konstruktion, darüber nachzudenken, ob das immer so sein muss. Diese ermöglicht
das Entdecken von Sachverhalten. Der exakte Beweis ist aber noch zu führen.
Zum Beweis obiger Aussagen:
Klar ist die Konstruktion und Eigenschaft des Umkreismittelpunkts M und des Schwerpunkts S
Die Höhen des Seitenmittendreiecks AʹBʹCʹ sind die Mittellote des Dreiecks ABC, die sich in
M schneiden. Damit schneiden sich in allen Dreiecken die Höhen in einem Punkt, dem
Höhenschnittpunkt H
Da das Seitenmittendreieck AʹBʹCʹ aus dem Dreieck ABC durch zentrische Streckung aus
dem Schwerpunkt S hervorgeht, liegen M, S, H kollinear => Aussage der Eulergeraden e.
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Peripheriewinkelsatz
Peripheriewinkelsatz (Umfangswinkelsatz)
Zunächst wird ein Kreis mit festem Mittelpunkt M und
festem Radius r gezeichnet. Auf der Kreislinie werden zwei
Punkte A, B fixiert (rechte Maustaste – Eigenschaften –
Objekt fixieren) und die zugehörigen Kreisbögen AB
(durchgehende Linie) und BA (gestrichelt) eingetragen (die
Kreislinie selbst sollte dann unsichtbar gemacht werden –
z.B. rechte Maustaste – Objekt anzeigen).
Ein Punkt C wird auf den Bogen BA gesetzt und der
Umfangswinkel <)ACB (Bezeichnung  ) gemessen.
Bewegt man C auf dem Bogen BA, so zeigt sich, dass die
Größe des Winkels unverändert bleibt.
Schließlich vergleicht man  mit dem Mittelpunktswinkel <)AMB (Bezeichnung  ) und erhält
folgende Vermutung:
Der Mittelpunktswinkel  (zum Kreisbogen AB) ist doppelt so groß wie der (bzw. die)
Umfangswinkel  (über dem Bogen AB).
Der Beweis kann in folgenden zwei Schritten erfolgen:
Im ersten Schritt erkennt man, dass die Aussage in zwei
Spezialfällen zutrifft und zwar, wenn C=C’ bzw. C=C’’,
d.h., wenn M auf einem Schenkel von  liegt. Betrachte
Außenwinkelsatz im gleichschenkligen Dreieck MBC’ bzw.
AMC’’ mit  als Außenwinkel.
Im zweiten Schritt wird der allgemeine Fall durch Eintrag
des Durchmessers MC auf obige Spezialfälle reduziert,
d.h. im vorliegenden Fall der Bogen AB in zwei Teilbögen
AD und DB zerlegt über denen die Aussage gültig ist.
Durch Kombination der beiden speziellen Aussagen
erhält man die gewünschte Aussage für den Fall, dass C
auf dem Bogen CʹCʹʹ liegt, als Summe der Teilwinkel.
In den Fällen, dass C auf den Bögen BCʹ oder CʹʹA liegen,
sind die Differenzen der Teilwinkel zu nehmen.
D.h. der Beweis erfordert eine Fallunterscheidung, die
auch in den Figuren berücksichtigt werden muss.
Dazu muss man bei GeoGebra z.B. den Bogen AD
abhängig von der Lage von C z.B. wie folgt definieren:
AD = Wenn[ y(C) > y(C'), Kreisbogen[M, A'', D''], Wenn[x(C) > 0, Kreisbogen[M, D'', A''],
Kreisbogen[M, A'', D''] ] ]
Dabei ist hier M=(0,0) gesetzt und Aʹʹ und Dʹʹ sind die um 0.1 nach außen versetzten Punkte
A bzw. D. Die zugehörigen Texte werden über Eigenschaften -> Erweitert unter den entsprechenden Bedingungen angezeigt oder ausgeblendet, vgl. Peripheriewinkelsatz.ggb.
Bei Cinderella wird der Farbsaum über CindyScript bereits so erzeugt, dass diese Fallunterscheidung nicht eigens zu berücksichtigen ist, vgl. Peripheriewinkelsatz.cdy.
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Kreistangenten
Konstruktion der Kreistangenten
Da Cinderella stets die Inzidenzen der neu konstruierten Objekte mit den vorhandenen
überprüft (Automatischer Beweiser), werden gleiche Objekte identifiziert, d.h. nur einmal als
Objekt in die Objektliste übernommen. Dies ermöglicht Aufgabenstellungen, bei denen der
Lösungsweg unterstützt und die Korrektheit der Ergebnisse überprüft wird.
Dazu erstellt man zunächst die Lösung der Aufgabe, macht anschließend alle erforderlichen
Konstruktionsobjekte unsichtbar (bis auf die nötigen Objekte der Aufgabenstellung) und
speichert die Figur dann ab, vgl. Kreistangenten-Aufgabe.cdy.
Öffnet man diese Figur und beginnt mit der Konstruktion, so werden die neukonstruierten
Objekte mit den Versteckten verglichen. Bei Übereinstimmung erscheinen dann die Objekte
automatisch mit der Bezeichnung und dem Layout der versteckten Objekte. Das gilt auch
bei einer alternativen Konstruktion, womit die Korrektheit dieses Weges überprüft wird.
Alternativer Lösungsweg nach Euklid
Lösungsweg der versteckt wurde
Wie findet man beim Lösungsweg nach Euklid die zweite Lösung?
Über CindyScript kann man mit
if(Objekt.visible, ... , … )
vorbereitete Informationen (Texte) einblenden,
z.B. mit Text2 dass es eine weitere Lösung gibt,
oder auch eine zusätzliche Fragestellung mit
weiteren Objekten Text1.
Die Texte und die zusätzlichen Objekte werden
beim Start der Aufgabe ausgeblendet, siehe
Scripting -> Initialisierung:
Text1.visible=false;
Text2.visible=false;
apply([P',G1,G2,g],#.visible=false);
Scripting -> Zeichnen:
if(t1.visible & t2.visible,
Text1.visible=true;
Text2.visible=false;
apply([P',G1,G2,g],#.visible=true)
,
if(t1.visible % t2.visible,
Text2.visible=true
,
Text2.visible=false
);
);
Die zusätzliche Fragestellung führt auf die Kreisinversion, die „Geraden und Kreise“ auf
„Geraden und Kreise“ abbildet. Dass das Bild der Geraden g ein Kreis durch M ist, lässt
sich elementargeometrisch mit Hilfe von Ähnlichkeiten und dem Satz von Thales begründen.
Bei GeoGebra könnte man die versteckte Figur (oder nur die Lösungsobjekte) über eine
Schaltfläche einblenden und mit den selbst konstruierten Objekten vergleichen lassen, vgl.
Kreistangenten-Aufgabe.ggb. Die Korrektheit der Eukildschen Lösung wird allerdings in
der Version GeoGebra 5.0.82.0 noch nicht erkannt. Probier es aus. Problematisch sind
zudem Umbenennungen, die nicht in GeoGebra-Skript übernommen werden, weswegen die
Lösungsobjekte mit „L“ versehen wurden, siehe Kreistangenten-Lsg.ggb.
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