Übung 18 [Kompatibilitätsmodus]

03.05.2011
Übung 18a
sin ( 2x ) , cos ( 2x)
Analysis, Abschnitt 2.6, Folie 17
Rechenformeln mit trigonometrischen Funktionen
•
sin ( x + y ) = sin ( x ) . cos ( y ) + cos ( x ) . sin ( y )
•
sin ( x - y ) = sin ( x ) . cos ( y ) - cos ( x ) . sin ( y )
•
cos ( x + y ) = cos ( x ) . cos ( y ) - sin ( x ) . sin ( y )
•
cos ( x - y ) = cos ( x ) . cos ( y ) + sin ( x ) . sin ( y )
Additionstheoreme
sin ( 2x ) = sin ( x + x ) = sin ( x ) . cos ( x ) + cos ( x ) . sin ( x ) = 2 . sin ( x ) . cos ( x )
cos ( 2x ) = cos ( x + x ) = cos ( x ) . cos ( x ) - sin ( x ) . sin ( x ) = cos 2 ( x ) - sin 2 ( x )
= 2 . cos 2 ( x ) - 1
= 1 - 2 . sin 2 ( x )
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 18 Folie 1
Übung 18a
sin ( 3x ) , cos ( 3x)
sin ( 3x ) = sin ( 2x + x ) = sin ( 2x ) . cos ( x ) + cos ( 2x ) . sin ( x )
= 2 . sin ( x ) . cos ( x ) . cos ( x ) +
(2 . cos 2 ( x ) - 1) . sin ( x )
= 4 . sin ( x ) . cos 2 ( x ) - sin ( x )
= 3 . sin ( x ) - 4 . sin 3 ( x )
cos ( 3x ) = cos ( 2x + x ) = cos ( 2x ) . cos ( x ) - sin ( 2x ) . sin ( x )
=
(1 -
2 . sin 2 ( x )) . cos ( x ) - 2 . sin ( x ) . cos ( x ) . sin ( x )
= cos ( x ) - 4 . sin 2 ( x ) . cos ( x )
= - 3 . cos ( x ) + 4 . cos 3 ( x
)
= - 3 . cos ( x ) + 3 . cos 3 ( x ) + cos 3 ( x )
= - 3 . cos ( x ) . (1 - cos 2 ( x )) + cos 3 ( x )
= - 3 . cos ( x ) . sin 2 ( x ) + cos 3 ( x )
( benutzt in Analysis 3.3, Folie 9 )
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 18 Folie 2
1
03.05.2011
Übung 18a
sin ( 4x ) , cos ( 4x)
sin ( 4x ) = sin ( 2 . 2x )
=
2 . sin ( 2x ) . cos ( 2x )
= 4 . sin ( x ) . cos ( x ) . (cos 2 ( x ) - sin 2 ( x ))
= 4 . sin ( x ) . cos 3 ( x ) - 4 . sin 3 ( x ) . cos ( x )
cos ( 4x ) = cos ( 2 . 2x )
= 2 . cos 2 ( 2x ) - 1
2
2
= 2 . (2 . cos 2 ( x ) - 1) - 1
= 2 . (1 - 2 . sin 2 ( x )) - 1
= 8 . cos 4 ( x ) - 8 . cos 2 ( x ) + 1
= 8 . sin 4 ( x ) - 8 . sin 2 ( x ) + 1
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 18 Folie 3
Übung 18a
Für die trigonometrischen Funktionen gelten also u.a. die folgenden Rechenformeln:
sin ( 2x ) = 2 . sin ( x ) . cos ( x )
cos ( 2x ) = cos 2 ( x ) - sin 2 ( x ) = 2 . cos 2 ( x ) - 1 = 1 - 2 . sin 2 ( x )
sin ( 3x ) = 3 . sin ( x ) - 4 . sin 3 ( x )
cos ( 3x ) = 4 . cos 3 ( x ) - 3 . cos ( x )
sin ( 4x ) = 4 . sin ( x ) . cos 3 ( x ) - 4 . sin 3 ( x ) . cos ( x )
cos ( 4x ) = 8 . cos 4 ( x ) - 8 . cos 2 ( x ) + 1 = 8 . sin 4 ( x ) - 8 . sin 2 ( x ) + 1
Entsprechende Rechenformeln gelten auch für die hyperbolischen Funktionen:
sinh ( 2x ) = 2 . sinh ( x ) . cosh ( x )
cosh ( 2x ) = cosh 2 ( x ) + sinh 2 ( x ) = 2 . cosh 2 ( x ) - 1 = 1 + 2 . sinh 2 ( x )
sinh ( 3x ) = 3 . sinh ( x ) - 4 . sinh 3 ( x )
cosh ( 3x ) = 4 . cosh 3 ( x ) + 3 . cosh ( x )
sinh ( 4x ) = 4 . sinh ( x ) . cosh 3 ( x ) + 4 . sinh 3 ( x ) . cosh ( x )
cosh ( 4x ) = 8 . cosh 4 ( x ) - 8 . cosh 2 ( x ) + 1 = 8 . sinh 4 ( x ) + 8 . sinh 2 ( x ) + 1
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 18 Folie 4
2
03.05.2011
Übung 18b
α.)
sin ( x ) . sin ( y )
=
1 .
( cos ( x - y ) - cos ( x + y ) )
2
Analysis, Abschnitt 2.6, Folie 17
•
cos ( x + y ) = cos ( x ) . cos ( y ) - sin ( x ) . sin ( y )
•
cos ( x - y ) = cos ( x ) . cos ( y ) + sin ( x ) . sin ( y )
1 .
( cos ( x - y ) - cos ( x + y ) )
2
=
=
=
1 .
cos ( x - y ) 2
1 .
cos ( x + y )
2
1 .
( cos ( x ) . cos ( y ) + sin ( x ) . sin ( y ))
2
1 .
( cos ( x ) . cos ( y ) - sin ( x ) . sin ( y ))
2
sin ( x ) . sin ( y )
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 18 Folie 5
Übung 18b
β .)
cos ( x ) . cos ( y )
=
1 .
( cos ( x - y ) + cos ( x + y ) )
2
Analysis, Abschnitt 2.6, Folie 17
•
cos ( x + y ) = cos ( x ) . cos ( y ) - sin ( x ) . sin ( y )
•
cos ( x - y ) = cos ( x ) . cos ( y ) + sin ( x ) . sin ( y )
1 .
( cos ( x - y ) + cos ( x + y ) )
2
=
=
=
1 .
1 .
cos ( x - y ) +
cos ( x + y )
2
2
1 .
( cos ( x ) . cos ( y ) + sin ( x ) . sin ( y ))
2
1 .
+
( cos ( x ) . cos ( y ) - sin ( x ) . sin ( y
2
))
cos ( x ) . cos ( y )
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 18 Folie 6
3
03.05.2011
Übung 18b
γ.)
sin ( x ) . cos ( y )
1 .
( sin ( x + y ) + sin ( x - y ) )
2
=
Analysis, Abschnitt 2.6, Folie 17
•
sin ( x + y ) = sin ( x ) . cos ( y ) + cos ( x ) . sin ( y )
•
sin ( x - y ) = sin ( x ) . cos ( y ) - cos ( x ) . sin ( y )
1 .
( sin ( x + y ) + sin ( x - y ) )
2
=
=
1 .
1 .
sin ( x + y ) +
sin ( x - y )
2
2
=
1 .
( sin ( x ) . cos ( y ) + cos ( x ) . sin ( y ))
2
1 .
+
( sin ( x ) . cos ( y ) - cos ( x ) . sin ( y ))
2
sin ( x ) . cos ( y )
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 18 Folie 7
Übung 18b
δ.)
sin ( x ) + sin ( y )
2 . sin
=
(x+y )
2
. cos
(x- y )
2
Analysis, Abschnitt 2.6, Folie 17 bzw. γ)
sin ( x ) . cos ( y )
2 . sin
( x+y )
2
. cos
1 .
sin
2
(
=
1 .
( sin ( x + y ) + sin ( x - y ) )
2
(x- y )
2
x+y
2
=
2.
=
sin ( x ) + sin ( y )
)
+
(x- y )
2
+ sin
(x+y )
2
-
(x - y )
2
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 18 Folie 8
4
03.05.2011
Übung 18b
ε.)
cos ( x ) + cos ( y )
2 . cos
=
(x+y )
2
. cos
(x - y )
2
Analysis, Abschnitt 2.6, Folie 17 bzw. β )
1 .
cos ( x ) . cos ( y ) =
( cos ( x + y ) + cos ( x - y ) )
2
2 . cos
( x+y )
2
. cos
1 .
cos
2
(x- y )
2
( x+y )
=
2.
=
cos ( x ) + cos ( y )
2
+
(x - y )
2
+ cos
(x+y )
2
-
(x- y )
2
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 18 Folie 9
Übung 18c
Analysis, Abschnitt 2.6, Folie 18
Rechenformeln mit trigonometrischen und arcus - Funktionen
•
sin ( - x ) = - sin ( x ) , d.h. sin ist ungerade. gilt nach Vorlesung
•
cos ( - x ) = cos ( x ) , d.h. cos ist gerade.
•
tan ( - x ) = - tan ( x ) , d.h. tan ist ungerade.
•
cot ( - x ) = - cot ( x ) , d.h. cot ist ungerade.
•
arcsin ( - x ) = - arcsin ( x ) , d.h. arcsin ist ungerade.
•
arccos ist nicht symmetrisch. nichts zu beweisen
gilt nach Vorlesung
•
arctan ( - x ) = - arctan ( x ) , d.h. arctan ist ungerade.
•
arccot ist nicht symmetrisch.
•
tan ( x + π ) = tan ( x ) , d.h. tan ist
π - periodisch. gilt nach Vorlesung
•
cot ( x + π ) = cot ( x ) , d.h. cot ist
π - periodisch. gilt nach Vorlesung
•
tan ( x +
•
cot ( x +
π
2
)
= - cot ( x )
2
)
= - tan ( x )
π
nichts zu beweisen
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 18 Folie 10
5
03.05.2011
Übung 18c
•
tan ( - x ) = - tan ( x ) , d.h. tan ist ungerade.
•
cot ( - x ) = - cot ( x ) , d.h. cot ist ungerade.
•
arcsin ( - x ) = - arcsin ( x ) , d.h. arcsin ist ungerade.
•
arctan ( - x ) = - arctan ( x ) , d.h. arctan ist ungerade.
Analysis, Abschnitt 1.3, Folie 26
3.
Sind f1 und f2 gerade sowie g1 und g2 ungerade, so sind auch
f1 + f2 , f1 - f2 , f1 . f2 ,
f1
, g1 . g2 und
f2
f1
sowie g1 + g2 , g1 - g2 , f1 . g1 ,
4.
g1
und
g1
gerade
g2
g1
ungerade.
f1
Die Umkehrfunktion zu einer ungeraden Funktion ist ebenfalls ungerade.
Da sin ungerade und cos gerade ist, sind nach 3. tan und cot als Quotient
einer geraden und einer ungeraden Funktion ebenfalls ungerade.
Da sin und tan ungerade sind, sind nach 4. auch arcsin und arctan ungerade.
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 18 Folie 11
Übung 18c
•
•
tan ( x +
cot ( x +
tan ( x +
cot ( x +
π
2
)
= - cot ( x )
2
)
= - tan ( x )
π
π
2
π
2
)
sin ( x +
=
cos ( x +
)
cos ( x +
=
sin ( x +
π
2
)
2
)
π
π
=
2
)
2
)
π
cos ( x )
=
- cot ( x )
=
- tan ( x )
- sin ( x )
=
- sin ( x )
cos ( x )
Analysis, Abschnitt 2.6, Folie 3
cos (a +
sin ( a +
π
2
π
2
)
= - sin ( a )
)
= cos ( a )
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 18 Folie 12
6
03.05.2011
Übung 18c
Analysis, Abschnitt 2.6, Folie 19
Weitere Rechenformeln
•
arcsin ( x ) =
π
- arccos ( x )
2
•
sin ( arccos ( x ))
=
1 - x2
•
tan ( arccot ( x ))
=
1
x
•
cos ( arcsin ( x ))
=
1 - x2
•
cot ( arctan ( x ))
=
1
x
•
cos ( arctan ( x ))
=
•
sin ( arccot ( x ))
=
1
1+ x2
•
sin ( arctan ( x ))
1+ x2
x
=
•
cos ( arccot ( x ))
=
1+ x2
•
tan ( arcsin ( x ))
•
cot ( arccos ( x ))
=
1 - x2
•
x
1 - x2
1 - x2
tan ( arccos ( x ))
x
1+ x2
x
=
1
=
•
x
1 - x2
cot ( arcsin ( x ))
=
x
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 18 Folie 13
Übung 18c
•
cos ( arcsin ( x ))
1 - x2
=
cos 2 ( x ) + sin 2 ( x ) = 1
cos 2 ( x ) = 1 - sin 2 ( x )
Durch Einsetzen von arcsin ( x ) in dieses Gleichung erhält man
cos 2 ( arcsin ( x )) = 1 - sin 2 ( arcsin ( x ))
cos ( arcsin ( x ))
ε
-π π
;
2
2
=
+
= 1 - x2
+
...
1 - x2
= W arcsin
>0
Es gilt also:
cos ( arcsin ( x )) = +
1 - x2
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 18 Folie 14
7
03.05.2011
Übung 18c
•
cos ( arctan ( x ))
1
=
1+ x2
Analysis, Abschnitt 2.5, Folie 13
Zu Übung 15c:
Analog zum Beweis der Formel
tanh 2 ( x )
1 - tanh 2 ( x )
1
erhält man auch die Formel
1 - tanh 2 ( x )
= sinh 2 ( x )
= cosh 2 ( x )
( s.o. )
.
Analysis, Abschnitt 2.6, Folie 21
tan 2 ( x )
1 + tan 2 ( x )
= sin 2 ( x )
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 18 Folie 15
Übung 18c
•
cos ( arctan ( x ))
1
=
1+ x2
Es gilt:
1
1 + tan 2 ( x )
1
=
1 +
sin 2 ( x )
cos 2 ( x )
=
1
cos 2 ( x )
cos 2 ( x )
sin 2 ( x )
+
cos 2 ( x )
1
= cos 2 ( x )
=
1
+
...
cos 2 ( x )
cos ( x ) =
+
1
1 + tan 2 ( x )
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 18 Folie 16
8
03.05.2011
Übung 18c
•
cos ( arctan ( x ))
1
=
1+ x2
cos ( x ) =
1
+
1 + tan 2 ( x )
Durch Einsetzen von arctan ( x ) in dieses Gleichung erhält man
cos ( arctan ( x ))
ε
-π π
;
2
2
=
1
1
+
=
+
1 + tan 2 (( arctan ( x ))
1+ x2
= W arctan
>0
Es gilt also
cos ( arctan ( x ))
= +
1
1+ x2
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 18 Folie 17
Übung 18c
•
sin ( arccot ( x ))
1
=
1+ x2
tan 2 ( x )
1 + tan 2 ( x )
= sin 2 ( x )
1
Erweitern
mit cot 2 ( x )
cot 2 ( x ) + 1
sin ( x )
=
+
= sin 2 ( x )
+
...
1
cot 2 ( x ) + 1
Durch Einsetzen von arccot ( x ) in diese Gleichung erhält man
1
1
sin ( arccot ( x )) = +
= +
cot 2 ( arccot ( x )) + 1
x2 + 1
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 18 Folie 18
9
03.05.2011
Übung 18c
•
sin ( arccot ( x ))
1
=
1+ x2
sin ( arccot ( x ))
1
+
=
x2 + 1
0;π
ε
= W arccot
> 0
sin ( arccot ( x ))
Es gilt also
= +
1
1+ x2
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 18 Folie 19
Übung 18c
•
cos ( arccot ( x ))
x
=
1+ x2
1
= cos 2 ( x )
1 + tan 2 ( x )
cot 2 ( x )
cot 2 ( x ) + 1
Erweitern
mit cot 2 ( x )
cos ( x )
=
+
= cos 2 ( x )
+
...
cot ( x )
cot 2 ( x ) + 1
Durch Einsetzen von arccot ( x ) in diese Gleichung erhält man
cos ( arccot ( x ))
=
+
cot ( arccot ( x ))
cot 2 ( arccot ( x )) + 1
=
+
x
x2 + 1
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 18 Folie 20
10
03.05.2011
Übung 18c
•
cos ( arccot ( x ))
x
=
cos ( arccot ( x ))
=
+
1+ x2
x
x2 + 1
ε
0;π
= W arccot
> 0 ?
Für x < 0 gilt:
arccot ( x ) ε
π ;π ,
2
cos ( arccot ( x )) < 0 .
also
arccot ( x ) ε
Für x > 0 gilt:
0;
π
2
,
cos ( arccot ( x )) > 0 .
also
Es gilt also
< 0 für x < 0
> 0 für x > 0
cos ( arccot ( x ))
x
= +
1+ x2
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 18 Folie 21
Übung 18c
•
tan ( arcsin ( x ))
=
1 - x2
tan ( arcsin ( x ))
•
tan ( arccos ( x ))
tan ( arccos ( x ))
=
Analysis, Abschnitt 2.6, Folie 18
x
sin ( arcsin ( x ))
cos ( arccos ( x ))
1 - x2
Analysis, Abschnitt 2.6, Folie 18
1 - x2
sin ( arccos ( x ))
=
1 - x2
=
=
x
=
cos ( arcsin ( x ))
x
cos ( arcsin ( x ))
•
•
sin ( arccos ( x ))
=
1 - x2
1 - x2
=
x
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 18 Folie 22
11
03.05.2011
Übung 18c
•
cot ( arccos ( x ))
Analysis, Abschnitt 2.6, Folie 18
x
=
1 - x2
cot ( arccos ( x ))
=
1
x
=
tan ( arccos ( x ))
1 - x2
tan ( arccos ( x ))
•
=
x
1 - x2
Analysis, Abschnitt 2.6, Folie 18
•
cot ( arcsin ( x ))
cot ( arcsin ( x ))
1 - x2
=
=
tan ( arcsin ( x ))
•
x
=
x
1 - x2
1
tan ( arcsin ( x ))
1 - x2
=
x
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 18 Folie 23
Übung 18c
•
tan ( arccot ( x ))
tan ( arccot ( x ))
•
=
=
cot ( arctan ( x ))
=
cot ( arctan ( x ))
=
1
x
1
cot ( arccot ( x ))
=
1
x
1
x
1
tan ( arctan ( x ))
=
1
x
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 18 Folie 24
12
03.05.2011
Übung 18d
α.)
arcsin ( cos ( x ))
Dieser Term kann nicht vereinfacht werden, indem man folgendermaßen
cos durch sin ersetzt:
arcsin ( cos ( x ))
= arcsin (
+
1 - sin 2 ( x )
)
=
?
Stattdessen ersetzt man arcsin durch arccos :
Analysis, Abschnitt 2.6, Folie 18
•
arcsin ( cos ( x ))
=
π
2
- arccos ( cos ( x ))
π
arcsin ( x ) =
π
=
2
- x
0;π
gilt nur für x ε
- arccos ( x )
2
!
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 18 Folie 25
Übung 18d
α.)
arcsin ( cos ( x ))
=
π
2
- arccos ( cos ( x ))
π
=
2
- x
0;π
gilt nur für x ε
!
Analysis, Abschnitt 2.6, Folie 9
Fettnäpfchen
W arccos
D cos
cos ( arccos ( x ) ) = x
gilt zwar für alle x ε D arccos =
arccos ( cos ( x ) ) = x
gilt aber nicht für alle x ε D cos = R ,
-1 ; 1
sondern nur für
xε
.
0;π
.
Es gibt keine für alle x ε R anwendbare Ersatzformel .
Umformen von Gleichungen:
cos ( x ) = a
x =
+
arccos ( a ) + k . 2π
für
-1 <a <1
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 18 Folie 26
13
03.05.2011
Übung 18d
α.)
arcsin ( cos ( x ))
arcsin ( cos ( x ))
=
π
2
- arccos ( cos ( x ))
gilt nur für x ε
Für
xε
-π;0
arcsin ( cos ( x ))
π
=
2
- x
0;π
!
gilt:
=
arcsin ( cos ( - x ))
=
π
2
- (-x)
=
π
2
+ x
0;π
ε
Für andere Werte von x addiert oder subtrahiert man so oft 2π , bis man im
Intervall
-π;0
oder
0;π
ist, und wendet dann die entsprechende
Formel an.
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 18 Folie 27
Übung 18d
α.)
arcsin ( cos ( x ))
arcsin ( cos ( x ))
=
arcsin ( cos ( x ))
=
π
2
π
2
- x
für x ε
0;π
+ x
für x ε
-π;0
Für andere Werte von x addiert oder subtrahiert man so oft 2π , bis man im
Intervall
-π;0
oder
0;π
ist, und wendet dann die entsprechende
Formel an.
Beispiel
x = 10 ε
3π ; 4π
arcsin ( cos ( 10 )) =
arcsin ( cos ( 10 - 4π ))
ε
=
π
2
+ ( 10 - 4π )
= 10 -
7π
2
-π;0
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 18 Folie 28
14
03.05.2011
Übung 18d
α.)
arcsin ( cos ( x ))
Allgemein gilt:
5π
- x
2
für x ε
2π ; 3π
- 3π
+ x
2
für x ε
π ; 2π
- x
für x ε
0;π
+ x
für x ε
-π;0
- 3π
- x
2
für x ε
- 2π ; - π
5π
+ x
2
für x ε
- 3π ; - 2π
π
arcsin ( cos ( x ))
2
=
π
2
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 18 Folie 29
Analysis, Abschnitt 2.6, Folie 3
Übung 18d
α.)
( Alternative )
sin ( a +
arcsin ( cos ( x ))
arcsin ( cos ( x ))
=
arcsin ( sin ( x +
gilt nur für x +
π
2
π
))
2
ε
=
x+
-π π
;
2
2
π
2
)
= cos ( a )
π
2
, also für x ε
-π;0
.
Analysis, Abschnitt 2.6, Folie 7
Fettnäpfchen
W arcsin
D sin
sin ( arcsin ( x ) ) = x
gilt zwar für alle x ε D arcsin =
arcsin ( sin ( x ) ) = x
gilt aber nicht für alle x ε D sin = R ,
sondern nur für
-1 ; 1
xε
.
-π π
;
2
2
.
Es gibt keine für alle x ε R anwendbare Ersatzformel .
Umformen von Gleichungen:
für
-1 <a <1
sin ( x ) = a
x = arcsin ( a ) + k . 2π
x =
π - arcsin ( a ) + k . 2π
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 18 Folie 30
15
03.05.2011
Übung 18d
β .)
Analysis, Abschnitt 2.6, Folie 18
arccos ( sin ( x ))
•
arccos ( sin ( x )) =
π
2
π
arcsin ( x ) =
- arcsin ( sin ( x ))
π
=
- arccos ( x )
2
- x
2
-π π
;
2
2
gilt nur für x ε
Analysis, Abschnitt 2.6, Folie 3
sin ( a +
arccos ( sin ( x ))
=
arccos ( cos ( x -
gilt nur für x -
π
2
ε
π
))
2
0;π
=
x-
π
2
)
= cos ( a )
π
2
, also für x ε
π ; 3π
2
2
.
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 18 Folie 31
Übung 18d
β .)
arccos ( sin ( x ))
Allgemein gilt:
5π
2
für x ε
5π 7π
;
2
2
5π - x
2
für x ε
3π 5π
;
2
2
x -
π
x arccos ( sin ( x ))
=
2
für x ε
π ; 3π
2
2
für x ε
-π π
;
2
2
3π
2
für x ε
- 3π - π
;
2
2
- 3π
- x
2
für x ε
- 5π - 3π
;
2
2
π
2
- x
x +
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 18 Folie 32
16
03.05.2011
Übung 18d
Analysis, Abschnitt 2.6, Folie 23
4 Graphen
-
π
y
arcsin (sin ( x ))
2
π
x
2
arccos (cos ( x ))
y
π
x
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 18 Folie 33
Übung 18e
Analysis, Abschnitt 2.6, Folien 25 und 26
Harmonische Schwingungen
Eine harmonische Schwingung kann ausgedrückt werden durch
•
eine reine sinus - Schwingung
f ( x ) = A . sin ( ωx + φ1 )
Dabei heißen
•
eine reine cosinus-Schwingung
f ( x ) = A . cos ( ωx + φ2 )
•
A die Amplitude
•
ω die Kreisfrequenz
•
eine Überlagerung einer sinusund einer cosinus - Schwingung
ohne Phasenverschiebung:
f ( x ) = a . sin ( ωx ) + b . cos ( ωx )
•
φ1 bzw. φ2 die
Phasenverschiebung
Umrechnungsformeln
φ1 = φ2 +
π
a = A . cos ( φ1 )
2
b = A . sin ( φ1 )
A
=
φ1 =
a2 + b2
arctan (
b
a
)
für a > 0
arctan (
b
a
)+π
für a < 0
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 18 Folie 34
17
03.05.2011
Übung 18e
Analysis, Abschnitt 2.6, Folien 25 und 26
f ( x ) = a . sin ( ωx ) + b . cos ( ωx )
f ( x ) = 3 . sin ( 2x ) + 4 . cos ( 2x )
= A . sin ( ωx + φ1 )
a = 3 , b = 4
A
=
A
32 + 42
φ1 = arctan (
4
3
=
)
f ( x ) = 5 . sin ( 2x + arctan (
a2 + b2
=
5
φ1 =
4
3
arctan (
b
a
)
für a > 0
arctan (
b
a
)+π
für a < 0
))
Diese Funktion ist eine reine sinus - Schwingung mit Amplitudenfaktor 5 .
Sie hat daher den Wertebereich
Wf =
-5 ; 5
.
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 18 Folie 35
18