Einführung in die Spieltheorie

Dr. Florian Englmaier
Übung Wettbewerbstheorie und -politik
1
WS 08/09
Basak Akbel
Handout zu Übungsblatt 1: Einführung
Die Industrieökonomik beschäftigt sich mit
•
•
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dem Marktverhalten und der internen Organisation von Unternehmen. (Preiswettbewerb,
Marktzutrittsverhalten, Produktdiff. etc.)
der Markteffizienz (Auswirkungen von Kartellen, Fusionen etc.)
staatlicher Regulierung
Als Methode zur Analyse von solchem strategischen Verhalten verwenden wir die
Spieltheorie. In der Unternehmenspraxis müssen die meisten Unternehmen im Gegensatz
zum reinen Monopol oder zur vollständigen Konkurrenz die Reaktionen der anderen
Unternehmen zu ihren eigenen strategischen Entscheidungen über die Menge, den Preis, die
Qualität, den Werbeausgaben etc. miteinbeziehen.
Einführung in die Spieltheorie:
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•
Spieltheorie benötigen wir für die Analyse von strategischem Verhalten.
Klassifizierung von Spielen:
- statische versus dynamische Spiele
- Spiele mit vollständiger versus unvollständiger Information
Statische Spiele
Spiel, in dem zwei oder mehrere Parteien simultan entscheiden müssen, welche Aktion (aus
einer Vielzahl von möglichen Aktionen) sie wählen.
Ein solches Spiel ist durch die folgenden drei Bestandteile charakterisiert:
•
•
•
einer Menge von Spielern i = 1,...,n
einer Menge von möglichen Strategien für jeden Spieler i, si ∈ S1 (Strategieraum Si )
einer Auszahlungsfunktion, die angibt, welche Auszahlung ( pay-off) ein Spieler erhält in
Abhängigkeit davon, welche Strategien von allen Spielern gewählt worden sind: ui (si, s-i)
s-i : Kurzschreibweise für Strategientupel der Gegenspieler von i
s-i = (s1,..., si-1, si+1, ...sn)
Spiel in Normalform
Die Normalform eines Spiels spezifiziert die Menge der Spieler, die Strategienräume und die
Auszahlungsfunktionen in Abhängigkeit von allen möglichen Strategienkombinationen.
Eine andere Form der Darstellung von Spielen ist die „extensive Form“, die wir bei
dynamischen Spielen benützen werden.
• Was ist nun die Lösung eines Spiels?
• Können wir plausible Voraussagen darüber machen, welcher Akteur welche Aktion im
Gleichgewicht wählen wird?
• Gibt es plausible Anforderungen, die ein GG erfüllen sollte?
Dr. Florian Englmaier
Übung Wettbewerbstheorie und -politik
SPIELER 1
Oben
Unten
2
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Basak Akbel
SPIELER 2
Links
(1;3)
(2;1)
Rechts
(0;1)
(1;0)
Dominante Strategien
Angenommen, beide Spieler müssen gleichzeitig und unabhängig voneinander ihre Strategie
auswählen. Was ist dann die optimale Strategie für Spieler 1?
ÖSpieler 1 verfügt über eine dominante Strategie s , wenn diese Strategie eine streng beste
Antwort gegen alle möglichen Strategietupel s ist, d.h. u (s , s ) > u (s , s ) ∀ s ∈ S ,
s ≠s
i
*
-i
i
i
i
i
*
-i
i
i
-i
i
-i
*
Wenn eine dominante Strategie existiert, wird ein rationaler Spieler sie immer wählen. Ganz
gleich, was er über das Verhalten seiner Gegenspieler annimmt, si* ist immer optimal.
Optimale Strategie für Spieler 1:
• Wenn Spieler 2 gemäß der folgenden Auszahlungsmatrix „Links“ spielt, ist „Unten“
besser als „Oben“.
• Wenn Spieler 2 „Rechts“ spielt, ist „Unten“ besser als „Oben“.
ÖEs ist eine dominante Strategie für Spieler 1, „Unten“ zu spielen.
=>Für Spieler 2 ist eine dominante Strategie, „Links“ zu spielen.
SPIELER 1
Oben
Unten
SPIELER 2
Links
(1;3)
(2;1)
Rechts
(0;1)
(1;0)
Iterierte Eliminierung von streng dominierten Strategien, Rationalisierbarkeit
∈
Def.: Eine Strategie si von Spieler i ist streng dominiert, falls eine Strategie si*
Si
existiert, die für jede mögliche Strategienkombination der Gegenspieler echt besser ist als si.
Eine streng dominierte Strategie ist nicht rationalisierbar, d.h. sie ist nie eine beste Antwort,
ganz gleich, welche Strategien man von seinen Gegenspielern erwartet.
1\2
Oben
Unten
Links
1, 0
0, 3
Mitte
1, 2
0, 1
Rechts
0, 1
2, 0
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Basak Akbel
„Rechts“ wird streng dominiert durch „Mitte“
Ö Ein rationaler Spieler 2 wird „Rechts“ nicht wählen.
Ö Wenn Spieler 1 weiß, dass Spieler 2 rational ist, kann er „Rechts“ eliminieren. Dann ist
für ihn „Unten“ streng dominiert.
Ö Wenn Spieler 2 weiß, daß Spieler 1 rational ist und weiß, dass Spieler 1 weiß, daß
Spieler 2 rational ist, kann er „Unten“ eliminieren. Dann ist für ihn „Links“ streng
dominiert.
Ö „Oben“, „Mitte“ wird gespielt.
Allerdings führt diese Methode der Eliminierung von streng dominierten Strategien nur bei
einer kleinen Zahl von Spielen zu einer Verminderung der Anzahl an möglichen
Gleichgewichten.
Nash-Gleichgewicht
=> Ein Nash-Gleichgewicht (s1*, s2*, ..., sn*) ist eine Kombination von Strategien (eine für
jeden Spieler) mit der Eigenschaft, dass für jeden Spieler die von ihm gewählte Strategie
eine beste Antwort auf die von den anderen Spielern gewählten Strategien ist. (beste
Antwort auf beste Antwort)
∀i : ui ( si* , s−*i ) ≥ ui ( si , s−*i )∀si ∈ S i
Das Nash-GG ist also eine Strategienkombination, die selbst-durchsetzend ist, d.h. es hat kein
Spieler einen Anreiz, davon abzuweichen. Manchmal haben diese Spiele kein Nash-GG, ein
Nash-GG oder auch mehrere Nash-GGe.
Cournot-Nash-Gleichgewicht
Das Cournot-Nash-Gleichgewicht ist ein solches GG. In diesem CN-GG setzt jedes
Unternehmen seine Outputmenge, gegeben der Outputmenge des Konkurrenten. Beim CNGG hat dann kein Unternehmen mehr einen Anreiz, abzuweichen, da jedes Unternehmen
eben das beste macht, gegeben der Outputmenge des Rivalen.
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GG in dominanten Strategien
Ein spezielles Nash-GG ist ein Gleichgewicht in dominanten Strategien. Hier hat kein
Spieler mehr einen Anreiz, von seiner Strategie abzuweichen, egal was der andere macht.
Dabei heißt die dominante Strategie: Ich tue das Beste was ich kann, egal was der andere tut.
Beispiel:
Angenommen, Löwenbräu und Augustiner entscheiden, ob sie eine Werbekampagne
durchführen sollen. Die Profitabilität der Werbekampagne hängt sowohl von den
Auszahlungen (direkt) als auch von den Strategien des anderen ab:
Löwenbräu \ Augustiner
Werbekampagne
keine Werbekampagne
Werbekampagne
10, 5
6, 8
keine Werbek.
15, 0
10, 2
Welche Strategie soll Löwenbräu nun wählen und welche soll Augustiner wählen? Existiert
ein Nash-GG?
Ein Nash-GG in dominanten Strategien ist auch das bekannte Gefangenendilemma. Das
Gefangenendilemma ist dabei eine Parabel, die das Scheitern von Kooperation und
Koordination sehr gut erklärt. Die gleiche Spielstruktur findet sich in vielen ökonomischen
und politischen Problemen wieder. Beispiele:
ÖKartellverhalten:
Jedes Kartellmitglied hat einen Anreiz, von der Preisabsprache
abzuweichen und seinen Preis zu senken, obwohl alle besser gestellt sind, wenn alle den
Preis hoch halten.
ÖÖffentliche Güter: Niemand möchte zur Bereitstellung etwas beitragen, obwohl es allen
besser geht, wenn jeder sich beteiligt.
Allerdings kann das Gefangenendilemma überwunden werden, wenn
Ödie Parteien Verträge schreiben können, die ihr Verhalten binden,
Ödie Parteien sehr oft miteinander interagieren (wiederholtes Spiel)
Nicht jedes Spiel hat für jeden Spieler eine dominante Strategie:
Trotzdem existiert im folgenden Spiel ein Nash-GG.
Löwenbräu \ Augustiner
Werbekampagne
keine Werbekampagne
Werbekampagne
10, 5
6, 8
keine Werbek.
15, 0
20, 2
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Es gibt auch Spiele mit mehreren Nash-GG:
Die Spieler sind zwei „Cereal“-Produzenten: Kellogg und General Mill, die beide ein neues
Produkt auf den Markt bringen wollen. Die Auszahlungen sind dann höher, wenn beide nicht
das gleiche Produkt einführen:
General Mills\ Kellog
Weizenkleie
Kornflakes
Weizenkleie
-4, -4
8, 8
Kornflakes
8, 8
-4, -4
Sequentielle Spiele: Dynamische Spiele mit vollständiger Information
Bisher hatten wir Situationen betrachtet, in denen beide Parteien simultan über ihre Strategie
entscheiden müssen. Jetzt betrachten wir Spiele, in denen eine Partei zuerst am Zug ist. Der
zweite Spieler beobachtet diesen Zug und entscheidet erst dann über seine eigene Strategie.
Um die zeitliche Struktur zum Ausdruck zu bringen, werden wir sequentielle Spiele mit
einem Spielbaum beschreiben:
Die extensive Form eines Spiels spezifiziert:
1. die Menge der Spieler,
2. die wählbaren Strategien der Spieler:
2a) zu welchem Zeitpunkt welcher Spieler am Zug ist,
2b) welche Aktionen einem Spieler zur Verfügung stehen, wenn er am
Zug ist,
2c) was ein Spieler weiß, wenn er am Zug ist,
3. die Auszahlungsfunktion für jeden Spieler für jede mögliche Kombination von Zügen
In vielen Spielen gibt es exogene Unsicherheit. Wir können das modellieren, indem wir einen
zusätzlichen Spieler, die „Natur“, einführen, die aus der Menge der möglichen Zustände der
Welt einen nach einer gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung auswählt.
Rückwärtsinduktion: Ein sequentielles Spiel wird von hinten durch Rückwärtsinduktion
gelöst.
A
L
R
B
B
L
R
L
R
1
3
0
1
0
0
2
1
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Basak Akbel
Spieler B:
Wenn A „Links“ gewählt hat, wird B „Links“ spielen.
Wenn A „Rechts“ gewählt hat, wird B „Rechts“ spielen.
Spieler A:
Wenn A „Links“ spielt, wird B „Links“ spielen und A bekommt 1.
Wenn A „Rechts“ spielt, wird B „Rechts“ spielen und A bekommt 2.
Ö Nash-GG: A wird „Rechts“ spielen und B wird darauf mit „Rechts“ reagieren.
Dieses Spiel hat noch ein zweites Nash-Gleichgewicht:
• B spielt „Links“ unabhängig davon wie A gespielt hat.
• A spielt ebenfalls „Links“.
Wir überprüfen nun, ob dieses Gleichgewicht tatsächlich ein Nash-GG ist
In diesem GG droht B damit „Links“ zu spielen. A glaubt die Drohung und spielt auch
„Links“.
Dieses Gleichgewicht ist zwar ein Nash-GG, aber es ist nicht sehr überzeugend. A sollte
voraussehen, daß B´s Drohung nicht glaubwürdig ist. Nachdem A einmal „Rechts“ gewählt
hat, sollte B seine Drohung vergessen und optimal mit „rechts“ reagieren.
Das zweite Gleichgewicht ist nicht „teilspielperfekt“ (Selten).
Teilspielperfekte Gleichgewichte
Definition (Reinhard Selten): Ein Nash-GG ist teilspielperfekt, wenn die Strategien der
Spieler in jedem Teilspiel ein Nash-GG bilden.
Ein Teilspiel eines Spiels in extensiver Form
• beginnt in einem Entscheidungsknoten K einer einelementigen Informationsmenge
• beinhaltet alle Entscheidungs- und Endknoten, die K nachfolgen, aber keine Knoten, die
K nicht nachfolgen,
• durchtrennt keine nachfolgenden Informationsmengen.
Intuitiv ist ein Teilspiel einfach ein Teil des gesamten Spiels, der in einem Knoten beginnt, an
dem die gesamte bisherige Geschichte des Spiels common knowledge ist.