Die letzte Eintragung ins Gaußsche Tagebuch (9

Die letzte Eintragung ins Gaußsche Tagebuch (9. Juli 1814)
Eine Bemerkung von einigen Zeilen mit einer fast 200-jährigen Nachfolgegeschichte:
Eintrag 146, S. 81
Beschreibung des Problems:
Es handelt sich bei diesem Problem um die Anzahl der Lösungen der Gleichung
x≡x 2  y 2 x 2 y 2
nach Primzahlkongruenzen im Bereich (Ring) der Gaußschen Zahlen Z[i], der aus
allen Zahlen a+bi besteht, wobei a und b ganze Zahlen sind, d.h. 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3
usw..
1859
In
dem
als
Bernhard Riemann
Riemanns Werke handeln von der Anzahl der Primzahlen unter
einer gegebenen Größe.
dieser Arbeit studiert Riemann ( der Nachfolger Dirichlets) auf
Gaußschen Lehrstuhl in der Mathematik) die heute nach ihm
benannte Zetafunktion.
ζ  s =1−s 2−s 3−s ......
Funktion einer komplexen Variablen s.
Zum Beispiel s=2
1 1 1 1
ζ  2 =1 2  2  2  2 . . . . . . .
2 3 4 5
Er definiert sie zunächst für alle komplexen Zahlen s ( die obige Reihe ist nur für
reelle Zahlen größer als 1 sinnvoll)
Er beweist die Funktionalgleichung.
Er stellt die heute sogenannte Riemannsche Vermutung auf, die wohl berühmteste
unbewiesene Vermutung der Zahlentheorie: Alle sog. nichtoffensichtlichen
1
Nullstellen der Zetafunktion liegen auf der Gerade σ = it der komplexen
2
Zahlenebene.
Heutzutage hat man dies für Millionen Nullstellen dieser Funktion mit Hilfe des
Computers nachgewiesen, der allgemeine Beweis steht aber noch aus!!
Henri
Henri
19.ten
und in
Poincaré (1854-1912)
Poincaré ist der wohl berühmteste Mathematiker des ausgehenden
Jahrhunderts, Vetter des mehrfachen französischen
Staatspräsidenten R. Poincaré. Er war vor allem in der Analysis
der theoretischen Physik tätig. Er schreibt in seinem damals
weit verbreiteten wissenschaftsphilosophischen Werk
„ Wissenschaft und Methode“ über die Zahlentheorie
(=Arithmetik) und über voraussichtliche
Weiterentwicklungen:
Hierhin kommt der Abschnitt die Arithmetik (deutsche
Ausgabe Seite 29/30, 1. Buch , 2. Kapitel)
„Das erste Beispiel, das mir in den Sinn kommt, ist die Theorie der
Kongruenzen, bei denen man...
... vielen Fragen in der unbestimmten Analysis sein.“
Dies ist wie die folgende Entwicklung zeigt, durchaus prophetisch und in jedem Falle
eine Weiterschreibung der Fragestellung von Gauß.
Emil Artin
E.
der
(1898-1962)
Artin war neben H. Hasse und E. Noether einer der Begründer
sogenannten „modernen Algebra“ in den 20er Jahren des
letzten Jahrhunderts.
Das Ziel
dieser Neubegründung, das später von der französischen
Bourbaki - Gruppe fortgesetzt wurde, war eine Begründung der
Algebra (bzw. der gesamten Mathematik) aus wenigen
grundlegenden Prinzipien. In seiner Dissertation 1921, die
erst 1924 veröffentlicht wurde, überträgt Artin die
Definition der Riemannschen Zetafunktion auf
sogenannte Kongruenzfunktionenkörper, wie sie etwa
bei der letzten Gaußschen Eintragung ins Tagebuch
eine Rolle spielen. Er formuliert das Analogon der
Riemannschen
Vermutung für diese neuen
Zetafunktionenen.
Erich
E.
Hecke (1887-1947)
Hecke war Schüler von David Hilbert in Göttingen. Er war ein
bedeutender Zahlen- und Funktionentheoretiker des vorigen
Jahrhunderts, der die Riemannsche Zetafunktion in
verschiedener Hinsicht verallgemeinerte. Insbesondere
bewies er eine Funktionalgleichung für sog. L-Reihen mit
Größencharakteren, die die Funktionalgleichung der
Riemannschen Zetafunktion verallgemeinert.
Er
4.
Helmut Hasse (1898-1979)
beweist 1934 in Göttingen das von E. Artin ausgesprochene
Analogon der Riemannschen Vermutung. Des Weiteren
behandelt er den Fall der von Gauß betrachteten Gleichung
Grades zwischen x und y im Gebiet der Kongruenzen.
Hasse formuliert weitere Varianten von Zetafunktionen. Das
Studium dieser Zetafunktionen und ihrer
Funktionalgleichungen führt A. Wiles 1995 zum Beweis
der Fermatschen Vermutung
Andre Weil (1906-1998)
A. Weil beweist das Analogon der Riemannschen Vermutung im
Sinne E. Artins für alle eindimensionalen
Kongruenzfunktionenkörper. Dabei muss er die Fundamente
der sog. Algebraischen Geometrie, d.h. derjenigen
geometrischen Gebilde, die durch algebraische Objekte
(Polynome) gegeben werden, auf die Situation endlicher Körper
(=Rechenbereiche) übertragen. Die Durchführung des von H.
Poincaré oben angeregten Programms war ein weiterer
Teil seiner Arbeit. Im Weiteren formulierte A. Weil eine
Verallgemeinerung, der von E. Artin ausgesprochenen
Vermutung auf
Kongruenzfunktionenkörper höheren
Grades.
P.
Pierre Deligne (*1944)
Deligne beweist 1973 die Riemannsche Vermutung in der
von E. Artin bzw. A.Weil formulierten Version. Dies kann
als eine Erfüllung des Poincaréschen Programms
angesehen werden.
Max Deuring (1907-1984)
Max Deuring gehörte zum Kreis um Emmy Noether in Göttingen um 1930. Er
beschäftigte sich insbesondere mit elliptischen Funktionenkörpern. In den 50er
Jahren studierte er Situationen, die ganz genau den Gaußschen Aufzeichnungen im
Tagebuch entsprechen. Er betrachtet die von Hasse eingeführten Zetafunktionen im
Falle elliptischer Funktionenkörper mit komplexer Multiplikation und beweist, dass sie
nichts anderes sind als L-Reihen mit Größencharakteren im Sinne von Erich Hecke.
Damit ist er in der Lage, die Funktionalgleichung dieser Zetafunktionen zu gewinnen.
Der wesentliche Schritt beim Beweis sind entsprechende Aussagen wie die von
Gauß in der letzten Eintragung im Tagebuch.