Vorlesung an der Universität Würzburg

Einführung in die Kosmologie
Vorlesung an der Universität Würzburg
Jens Niemeyer
Lehrstuhl für Astronomie
Universität Würzburg
Inhaltsverzeichnis
1
Einführung
1.1 Die Säulen der Urknalltheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Das Universum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Konventionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Homogene Kosmologie
2.1 Das Friedmann-Robertson-Walker (FRW) Universum . . . . . . . . . .
2.1.1 Die Robertson-Walker Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Zusammenhang zwischen Dichte und Krümmung . . . . . . . .
2.2 Wichtige Längen- und Zeitskalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Hubbleradius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Krümmungsradius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Teilchenhorizont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Alter des Universums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Kosmologische Entfernungsmaße . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.6 Das Hubble-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Thermische Entwicklung des Universums . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Bedingung für thermisches Gleichgewicht . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Temperaturabängigkeit von ρ und p . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Neutrino-Entkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.5 Das Baryonen-Photonen-Verhältnis η . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Primordiale Nukleosynthese (BBN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Nukleares Statistisches Gleichgewicht (NSE) . . . . . . . . . .
2.4.2 Vorbedingungen (T 1 MeV, t 1 s) . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Ausfrieren der Neutronen und Protonen (T ≈ 0.8 MeV, t ≈ 1 s)
2.4.4 Nukleosynthese (T ≈ 0.3 . . . 0.1 MeV, t ≈ 1 . . . 3 min) . . . . .
2.4.5 Beobachtungen und Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Das Ende der Jugend: von der Strahlung zum Galaxienstaub . . . . . .
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43
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2
INHALTSVERZEICHNIS
2.5.1
2.5.2
3
4
Übergang von Strahlungs- zu Materiedominanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rekombination und Photonen-Entkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
47
Inhomogene Kosmologie
3.1 Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Newtonsche Störungsanalyse der Jeans-Instabilität . . . . .
3.2.1 Der Dichtekontrast . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Jeans-Analyse mit statischem Hintergrund . . . . . .
3.2.3 Jeans-Analyse mit expandierendem Hintergrund . .
3.2.4 Eigenschaften der Lösungen . . . . . . . . . . . . .
3.3 Kosmologische Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Ansätze der kosmologischen Störungstheorie . . . .
3.3.2 Eichungen, Weltlinien und Hyperflächen . . . . . .
3.3.3 Die Störungsgleichungen für mitbewegte Beobachter
3.3.4 Adiabatische Störungen . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.5 Die Krümmungsstörung . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.6 Nichtadiabatische Störungen . . . . . . . . . . . . .
3.4 Vergleich mit Beobachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Gaußsche Zufallsfelder . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Glätten kleiner Störungen . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Die Transferfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4 Das Materie-Leistungsspektrum . . . . . . . . . . .
3.4.5 Anisotropien in der Hintergrundstrahlung . . . . . .
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Inflation
4.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Motivation und Definition . . . . .
4.1.2 Skalarfeld-Inflation . . . . . . . . .
4.1.3 Slow-Roll Inflation . . . . . . . . .
4.2 Verlauf der Inflation . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Anfang . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Länge . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Ende . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Erzeugung von Störungen . . . . . . . . . .
4.3.1 Zusammenhang zwischen R und δφ
4.3.2 Die Inflatonstörung . . . . . . . . .
4.3.3 Das inflationäre Störungsspektrum .
4.3.4 Der Spektralindex . . . . . . . . .
4.3.5 Jenseits der Slow-Roll-Näherung .
4.3.6 Tensorstörungen . . . . . . . . . .
4.4 Epilog: Ewige Inflation . . . . . . . . . . .
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1
EINFÜHRUNG
3
Abbildung 1: Wichtigste Methoden zur
Messung astronomischer Entfernungen.
1
Einführung
1.1
Die Säulen der Urknalltheorie
Der Begriff “Urknall” (big bang) geht auf Fred Hoyle zurück, der sich damit über dieses Modell
lustig machen wollte (er hat es bis zu seinem Tod in 2001 nicht akzeptiert).
Das Urknallmodell macht die folgende Aussage:
Das Universum befand sich vor endlicher Zeit (ca. 14 Gyrs) in einem extrem heißen und dichten
Zustand und expandiert seitdem, wobei es sich abkühlt und verdünnt.
Es ist konsistent mit allen bisherigen Beobachtungen und dient als Grundlage für die gesamte
moderne Kosmologie. Alle Konkurrenzmodelle (z.B. das “steady state universe”) müssen große
Verrenkungen machen, um alle Beobachtungen erklären zu können.
Die zentralen Beobachtungen, die das Urknallmodell stützen, sind:
1. Die gleichförmige Expansion des Universums.
Nachgewiesen 1929 durch Edwin Hubble mit Hilfe von Cepheiden-Entfernungsmessungen.
Siehe Abb. (1) für eine Zusammenfassung der Methoden zur Entfernungsmessung
Wichtigster Parameter: Die Hubble-Konstante H0 , die die derzeitige Expansionsrate des
Universums angibt.
Hubble fand das (lineare) Hubble-Gesetz, das die Rotverschiebung z (für kleine Abstände
über die Dopplerverschiebung als Fluchtgeschwindigkeit interpretierbar) mit dem Abstand
d verbindet:
H0 d = cz
(1.1)
Mehr dazu in Kap. (2.42).
2. Thermische elektromagnetische Strahlung, die in allen Richtungen die gleiche Temperatur
besitzt (kosmische Hintergrundstrahlung); Abb. (2).
1
EINFÜHRUNG
4
Vorausgesagt von Gamow (1946), aber damals nicht ernst genommen.
Gefunden 1965 durch Arno Penzias und Robert Wilson als Störeffekt während ihrer Arbeit
an Antennenkalibrierungen bei den Bell-Labs. Gleichzeitig (und völlig unabhängig) liefen
Experimente an, die nach genau dieser Strahlung suchen sollten.
1992 zeigt der Satellit COBE die exakte Schwarzkörperstrahlung bei T ' 2.73 K und
findet erstmals kleine (∼ 10−5 ) Temperaturanisotropien, die schon seit ca. 1965 vermutet
wurden.
3. Die Entstehung leichter Elemente im frühen Universum (primordiale Nukleosynthese),
die die beobachteten Verhältnisse richtig voraussagt.
Erste Berechnung der Elemententstehung im jungen Universum durch George Gamow
(Alpher, Bethe & Gamow 1948). Quantitative Vorhersagen durch numerische Rechnungen
von Wagoner, Hoyle & Fowler 1969. Wichtigste Ergebnisse:
• Es existieren nur ≤ 3 leichte Neutrinosorten.
• Der Anteil der baryonischen Materie liegt (in einem mehr oder weniger flachen Universum) nur im Prozentbereich.
Nachweis von primordialem Deuterium in Ly-α-Wolken durch Tytler & Burles (1998)
bisher genaueste Messung des Baryonenanteils.
Bem.: An dieser Stelle ist es vielleicht angebracht, auf ein paar häufig auftretende Missverständnisse hinzuweisen:
1. Der Urknall war keine Explosion im üblichen Sinne, weil er nicht an einem bestimmten
Punkt im Raum auftrat, sondern an allen Orten gleichzeitig. Das Universum kann problemlos zur Zeit des Urknalls eine unendliche räumliche Ausdehnung gehabt haben –
selbst wenn alle Punkte um uns herum in einem beliebig kleinem Volumen komprimiert
waren, können unendlich viele Punkte außerhalb dieses Volumens gewesen sein.
2. Die Expansion des Universums bedeutet nicht, dass sich alle Strukturen des Universums
(inkl. Galaxien, Sonnensysteme, wir selbst etc.) gleichförmig vergrößern! Die kosmische
Expansion bezieht sich ausschließlich auf (gravitativ oder sonstwie) ungebundene Systeme.
1.1.1
Das Universum
Für die Physik auf sehr großen Skalen, d.h. bei sehr großen Abständen, gelten eine Reihe praktischer Vereinfachungen:
1. Da alle anderen Kräfte entweder kurzreichweitig (starke/schwache WW) oder abgeschirmt
(elektromagnetische WW) sind, dominiert allein die Gravitationswechselwirkung.
1
5
EINFÜHRUNG
Abbildung 2: Himmelsaufnahme der kosmischen Hintergrundstrahlung durch den WMAP-Satelliten. Die Störungen haben eine Amplitude von 10−5 .
2. Die “Körnigkeit” der Materieverteilung kann vernachlässigt werden, so dass man die Materie als isotrope (keine ausgezeichnete Richtung) und homogene (kein ausgezeichneter
Punkt) Flüssigkeit betrachten kann (Abb. (2)).
3. Das gleiche gilt für die Geschwindigkeit der Materie, die von allen Orten aus gleich aussehen muss.
Aus (3) folgt, dass
v(t) = H(t)r
(1.2)
(v: Geschwindigkeitsvektor, r: Ortsvektor, t: Zeit). Die Funktion H(t) ist der Hubbleparameter, er hat die Einheit 1/Zeit.
Da v = ṙ bekommt man durch Integration:
r = a(t)x
ȧ
H(t) =
a
(1.3)
a(t) ist der sog. Skalenfaktor des Universums.
Die Koordinaten x sind zeitlich konstant für jeden Massepunkt – man kann sie sich als feste
Markierungen von Galaxien vorstellen. Sie heißen “mitbewegte Koordinaten”.
Alles Interessante steckt also in der Funktion a(t). Ihre Dynamik wird durch die Allgemeine Relativitätstheorie bestimmt, man kann sie aber auch (natürlich mit Einschränkungen) aus
Newtonscher Sicht erklären.
1
6
EINFÜHRUNG
Die kinetische und potentielle Energie eines Massepunktes (Galaxie etc.) ist
1
mv 2
2
2
1
ȧ
=
m
a(t)2 x2
2
a
GM m
Epot = −
r
V ρ(t)Gm
= −
r
4πGm
= −
ρ(t) a(t)2 x2
3
innerhalb einer Kugel mit Radius r = a(t)x und mittlerer Dichte ρ(t).
Nehmen wir an, dass die Summe aus kinetischer und potentieller Energie konstant ist:
Ekin =
(1.4)
1 2 4πG
ȧ −
ρ(t) a(t)2 = konstant
2
3
(1.5)
2
ȧ
k
8πG
H (t) ≡
ρ(t) − 2
=
a
3
a
(1.6)
oder
2
Gl. (1.6) heißt Friedmanngleichung und ist trotz der Newtonschen Herleitung auch in der ART
gültig, wenn ρ für die gesamte Energiedichte der Materie steht (nicht nur die Ruhemassendichte).
In dimensionsloser Schreibweise lautet Gl. (1.6):
Ω−1=
k
H 2 a2
(1.7)
mit dem Dichteparameter:
Ω≡
8πGρ
3H 2
(1.8)
Die Statistik der Mikrowellenhintergrund-Fluktuationen weist darauf hin, dass Ω ' 1 bzw. k '
0.
Aus Entfernungs- und Rotverschiebungsmessungen von veränderlichen Sternen und Supernovae wissen wir durch Gl. (1.2), dass der heutige Hubbleparameter (t = t0 )
H0 ' 71
km
s Mpc
(1.9)
ist (1 Mpc ≈ 3 × 1024 cm, “Megaparsec”).
Aus H0 erhält man eine Zeit- und eine Längenskala. Die Zeitskala (“Hubblezeit”) ist eine grobe
Abschätzung für das Alter des Universums:
tH ∼ H0−1 ∼ 1010 Jahre
(1.10)
1
7
EINFÜHRUNG
Die Längenskala ctH (“Hubblelänge”) entspricht ungefähr der Strecke, die Licht seit t = 0
zurückgelegt hat und begrenzt damit das der Beobachtung zugängliche Universum:
lH ∼ cH0−1 ∼ 3000 Mpc
(1.11)
Die Anzahldichte n von (nichtrelativistischen) Teilchen mit Ruhemasse mc2 kT wird durch
die kosmische Expansion im Verhältnis 1/V ∼ a−3 verdünnt. Das gleiche gilt deshalb für ihre
Energiedichte, ρmat ∼ nmc2 .
Bei masselosen bzw. ultrarelativistischen (mc2 kT ) Teilchen muss man zusätzlich beachten,
dass ihre Wellenlänge λ im Verhältnis zu a gedehnt (“rotverschoben”) wird. Die Energiedichte
ist deshalb ρrad ∼ nhc/λ ∼ a−4 .
Da die Strahlungsenergiedichte ρrad ∼ T 4 ist, folgt, dass T ∼ a−1 . Dementsprechend (weil
H > 0) war das Universum früher kleiner, dichter und heißer. Das ist der Ursprung des Wortes
“Urknall”.
Im sehr frühen Universum muss die Energiedichte von Strahlung dominiert gewesen sein. Man
kann leicht abschätzen, wann der Übergang von Strahlungs- zu Materiedominanz stattgefunden
hat:
• Heute misst man eine thermische kosmische Hintergrundstrahlung mit T ∼ 2.7 K (Abb. (2));
das entspricht der Energiedichte ρrad (t0 ) ∼ 5.7 × 10−13 erg/cm3 bzw. der Massendichte
ρrad /c2 ∼ 5.7 × 10−34 g/cm3 .
• Die heutige Massendichte ist ρmat (t0 ) ∼ 10−30 g/cm3 ∼ 1.7 × 103 ρrad /c2 .
• Aus ρmat /ρrad ∼ a ∼ T −1 folgt, dass Materie begann, über Strahlung zu dominieren, als
das Universum um den Faktor ∼ 1.7 × 103 kleiner und heißer war als heute.
Die Größe des Universums zur Zeit t relativ zur heutigen wird oft direkt durch die Rotverschiebung z der damals ausgesandten Strahlung ausgedrückt:
1+z ≡
λ0
a0
=
λt
a(t)
(1.12)
Betrachten wir jetzt die Zeitentwicklung von a. Wir wissen heute, dass die Konstante k in
Gl. (1.6) sehr klein bzw. = 0 ist. Mit ρ ∼ a−3 in der materiedominierten Phase liefert Gl. (1.6):
2/3
t
a(t) =
,
t0 = (6πGρ0 )−1/2
(1.13)
t0
wenn a0 = a(t0 ) ≡ 1.
Natürlich ist das Universum nicht völlig homogen, denn auf kleinen Skalen existieren Strukturen wie Galaxien, Galaxienhaufen usw. Sie sind nach heutiger Meinung durch den Kollaps
kleiner Dichtestörungen in der kosmischen Flüssigkeit entstanden (Abb. (2)).
Um zu sehen, wie diese Störungen in der materiedominierten Phase (ρ ∼ a−3 ) anwachsen,
schreiben wir Gl. (1.6) um, indem wir beide Seiten nach der Zeit ableiten und ausnützen, dass
ρ̇ = −3Hρ.
1
8
EINFÜHRUNG
Ein paar Umformungen ergeben:
4πGρa
3 2
1
= −
2
9t0 a2
ä = −
(1.14)
Jetzt führen wir kleine Störungen des Skalenfaktors ein indem wir a durch a + δa ersetzen und
linear in δa entwickeln:
d2 (δa)
δa
4
=
dt2
9t20 a3
4 δa
(1.15)
=
9 t2
Gl. (1.15) hat die anwachsende Lösung δa ∝ t4/3 ∝ a2 . Die entsprechenden Dichtestörungen
verhalten sich wie
δa
δρ
= −3
ρ
a
∝ a
(1.16)
Sie wachsen also mit der Zeit an.
Diese Störungen sind nichts anderes als Potentialmulden der Gravitationsenergie. Eine Störung
mit der Größe R und Amplitude δρ entspricht dem Gravitationspotential (∇2 φ ∼ R−2 φ ∼ δρ):
φ ∝ R2 δρ
∝ a2 ρ a
∝ const
(1.17)
wegen ρ ∝ a−3 für Materie.
Das Gravitationspotential der Störungen ist also zeitlich konstant. Wir können es deshalb mit
Hilfe der gemessenen Geschwindigkeitsdispersion in Galaxienhaufen, vcluster ∼ 103 km/s,
abschätzen:
GM
2
φ'
' vcluster
(1.18)
R
Da Photonen, die aus einer Potentialmulde herausklettern, Energie verlieren (Gravitationsrotverschiebung), wirken sich die Störungen auf die Temperatur der oben erwähnten kosmischen
Hintergrundstrahlung aus:
δT
T
δν
ν
φ
' 2
c
v
2
cluster
'
c
−5
' 10
'
(1.19)
2
9
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Diese Temperaturstörungen werden tatsächlich beobachtet, siehe Abb. (2).
Wenn die Dichtestörungen ausreichend groß sind, kollabieren sie durch ihre eigene Schwerkraft
und werden zu gebundenen Systemen. Der Kollaps wird erst aufgehalten, wenn das Gas nicht
mehr schnell genug kühlen kann und einen Gegendruck aufbaut. Dies signalisiert die Entstehung von Galaxien.
1.1.2
Konventionen
Der allgemeinen Konvention in der Hochenergiephysik und Kosmologie folgend, verwenden
wir im folgenden natürliche Einheiten, in denen c = ~ = k = 1 ist. Damit folgt, dass es nur
noch eine fundamentale Einheit gibt: Energie.
Es gilt:
[Energie] = [Masse] = [Temperatur] = [Länge]−1 = [Zeit]−1
(1.20)
Energie
Temperatur
Masse
Länge
Zeit
Anzahldichte
Massendichte
Megaparsek
1 GeV
1 GeV
1 GeV
1 GeV−1
1 GeV−1
1 GeV3
1 GeV4
1 Mpc
=
=
=
=
=
=
=
=
1.6022 × 10−3 erg
1.1605 × 1013 K
1.7827 × 10−24 g
1.9733 × 10−14 cm
6.5822 × 10−25 s
1.3014 × 1041 cm−3
2.3201 × 1017 g cm−3
1.5637 × 1038 GeV−1
Tabelle 1: Wichtigste Umrechnugsfaktoren für natürliche Einheiten.
Des weiteren werden wir die Summenkonvention verwenden, in der implizit über gleiche Indizes in Produkten summiert wird. Dabei laufen griechische Indizes (meistens µ, ν) von 0 . . . 3
(“Raumzeit”) und lateinische Indizes (meistens i, j) von 1 . . . 3 (“Raum”).
2
2.1
2.1.1
Homogene Kosmologie
Das Friedmann-Robertson-Walker (FRW) Universum
Die Robertson-Walker Metrik
In Kap. (1.1.1) haben wir die Dynamik des Universums auf sehr großen Skalen aus der Sicht
der Newtonschen Physik beschrieben und damit Gl. (1.6) für den Skalenfaktor a(t) hergeleitet.
In diesem Kapitel kehren wir zu der gleichen Fragestellung zurück, behandeln sie aber jetzt
mit der derzeit besten Theorie für die Physik der Raumzeit, Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie (ART). Dabei werden wir Gl. (1.6) wiederfinden (sonst würde niemand das Newtonsche
Argument benützen. . . ) und um weitere Gleichungen für die Energieerhaltung und Beschleunigung der Expansion erweitern.
Um das Universum mathematisch beschreiben zu können, machen wir, wie in Kap. (1.1.1), zwei
wichtige Annahmen über die Welt auf sehr großen Skalen:
2
10
HOMOGENE KOSMOLOGIE
1. Gravitation dominiert über alle anderen Kräfte (weil nicht abschirmbar).
2. Die Materie ist räumlich homogen und isotrop verteilt (“Kosmologisches Prinzip” oder
“Kopernikanisches Prinzip”). Zeitlich gilt das natürlich nicht – die beobachtete Expansion
des Universums zeichnet eine Zeitrichtung aus (deshalb ist das Universum keine maximal
symmetrische Mannigfaltigkeit).
1.
Wir müssen im Rahmen der ART arbeiten, d.h. die Metrik spielt eine zentrale Rolle.
Sehr salopp gesprochen ist die Metrik ein Tensor, der den Abstand zwischen den Punkten der
4-dimensionalen Raumzeit wiedergibt. Sie lässt sich durch ein 4-dimensionales Linienelement
ausdrücken.
2. Wir können diese Symmetrien ausnützen, um einen einfachen allgemeinen Ansatz für die
Metrik zu bekommen
die Robertson-Walker Metrik. Sie ist die allgemeinste Form einer
Raumzeit mit isotropen und homogenen Raumsektionen.
Isotropie bedeutet, dass es für einen Beobachter keine ausgezeichnete Richtung gibt, d.h. der
Himmel sieht in alle Richtungen gleich aus. Das wird am eindrucksvollsten von der kosmischen
Mikrowellen-Hintergrundstrahlung (CMBR) demonstriert, die auf 10−5 genau überall die gleiche Temperatur (ca. 2.73 K) hat (Abb. (2)).
(Eine Mannigfaltigkeit M ist isotrop um einen Punkt p wenn für alle Vektorenpaare V, W ∈
Tp M eine Isometrie φ von M existiert, so dass der Pushforward von V unter φ zu W parallel
ist.)
Homogenität besagt, dass kein Punkt im Raum ausgezeichnet ist (für alle p, q ∈ M existiert
eine Isometrie, die p auf q abbildet). Dem Kopernikanischen Prinzip zufolge sollten auch Beobachter in anderen Galaxien die Isotropie der CMBR sehen – damit ist das Universum auch
räumlich homogen.
Bem.: Es gibt sowohl isotrope Räume, die nicht homogen sind, als auch umgekehrt. Finden Sie
Beispiele!
Diese beiden Anforderungen führen dazu, dass das Universum in raumartige, maximal symmetrische Hyperflächen aufgeblättert werden kann. Wir schreiben unsere Raumzeit deshalb als
R×Σ, wobei R die Zeitrichtung darstellt und Σ eine maximal symmetrische 3-Mannigfaltigkeit
ist.
Die Metrik hat dann die Form:
ds2 = gµν dxµ dxν
= −dt2 + R2 (t)dσ 2
(2.1)
mit der zeitartigen Koordinate t und dem Skalenfaktor R(t), der die “Größe” von Σ zur Zeit t
beschreibt.
dσ 2 ist die Metrik auf Σ:
dσ 2 = γij (u) dui duj
(2.2)
2
11
HOMOGENE KOSMOLOGIE
mit den Koordinaten (u1 , u2 , u3 ) auf Σ. Diese Koordinaten werden mitbewegte Koordinaten
genannt.
Für eine maximal symmetrische Metrik gilt (vgl. Gl. (3.106) im ART-Skript):
(3)
Rijkl = k(γik γjl − γil γjk ) ,
(2.3)
mit der Konstanten
k =(3) R/6
(2.4)
Der Riccitensor ist dann
(3)
Rjl = 2kγjl .
(2.5)
Ein maximal symmetrischer Raum ist natürlich auch kugelsymmetrisch. Genau wie im Fall der
Schwarzschildmetrik lässt sich die Metrik in die Form
dσ 2 = γij dui duj
= e2β(r̄) dr̄2 + r̄2 dΩ2
(2.6)
bringen, wobei dΩ2 = dθ2 + sin2 θ dφ2 die übliche Metrik auf der 2-Kugel ist.
Die Komponenten des Riccitensors lauten (ART-Gl. (7.16) mit α = 0 und ∂0 β = 0):
2
∂1 β
r̄
= e−2β (r̄∂1 β − 1) + 1
= [e−2β (r̄∂1 β − 1) + 1] sin2 θ .
(3)
R11 =
(3)
R22
R33
(3)
(2.7)
Aus Gl. (2.5) folgt dann durch Auflösen nach β(r̄)
1
β = − ln(1 − kr̄2 ) .
2
(2.8)
und damit die Metrik auf Σ:
dr̄2
dσ =
+ r̄2 dΩ2 .
(2.9)
2
1 − kr̄
Aus Gl. (2.4) wissen wir, dass k ein Maß für die Krümmung (und damit die Größe) der räumlichen Hyperflächen ist. Man kann k deshalb auf
2
k ∈ {+1, 0, −1}
(2.10)
normieren und damit die physikalische Größe in dem Skalenfaktor R(t) absorbieren.
Für k = −1 haben die Raumsektionen Σ konstante negative Krümmung (“offen” bzw. hyperbolisch), für k = +1 positive Krümmung (“geschlossen” bzw. sphärisch) und für k = 0
verschwindende Krümmung (“flach” bzw. euklidisch). Siehe Abb. (3).
Die Geometrie der Raumsektionen wird deutlicher durch die Wahl einer neuen Radialkoordinate χ, definiert durch
dr̄
dχ = √
(2.11)
1 − kr̄2
2
12
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Abbildung 3: Mögliche Geometrien der
Raumsegmente einer isotropen und homogenen Raumzeit: geschlossen, offen und
flach.
welches integriert werden kann zu
r̄ = Sk (χ)
mit


sin(χ)
Sk (χ) ≡ χ

sinh(χ)
,
,
,
(2.12)
k = +1
k=0
k = −1
(2.13)
und damit
dσ 2 = dχ2 + Sk2 (χ)dΩ2 .
(2.14)
Im flachen Fall k = 0 ist die Metrik auf Σ
dσ 2 = dχ2 + χ2 dΩ2
= dx2 + dy 2 + dz 2
(2.15)
wie erwartet.
Im geschlossenen Fall k = +1 finden wir
dσ 2 = dχ2 + sin2 χdΩ2 ,
(2.16)
also die Metrik auf der 3-Kugel.
Schließlich liefert der offene Fall k = −1:
dσ 2 = dχ2 + sinh2 χdΩ2 ,
der Metrik auf einem 3-Hyperboloid.
(2.17)
2
13
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Die vollständige Robertson-Walker Metrik lautet:
dr̄2
2
2
2
2
2
ds = −dt + R (t)
+ r̄ dΩ
1 − kr̄2
(2.18)
Noch haben wir keinen Gebrauch von der Einsteingleichung gemacht; sie wird uns die Dynamik
von R(t) liefern.
Die Transformationen
R → λ−1 R
r̄ → λr̄
k → λ−2 k
(2.19)
lassen Gl. (2.18) invariant, so dass wir andere Normierungen der Koordinatenfunktionen wählen
können.
In dem Fall, in dem k auf die Werte {+1, 0, −1} normiert wird, hat der Skalenfaktor die Einheit
einer Länge und die Radialkoordinate r̄ (oder χ) ist dimensionslos.
Alternativ arbeitet man häufig mit dem dimensionslosen Skalenfaktor
a(t) ≡
R(t)
,
R0
(2.20)
der Koordinate mit Einheit [Länge]
r ≡ R0 r̄
(2.21)
−2
und dem (nicht normierten!) Krümmungsparameter mit Einheit [Länge ]
κ≡
k
.
R02
(2.22)
Damit wird die Robertson-Walker-Metrik zu
dr2
ds = −dt + a (t)
+ r2 dΩ2
1 − κr2
2
2
2
(2.23)
Manchmal ist eine andere Zeitkoordinate, die sog. konforme Zeit η, nützlich. Sie wird definiert
durch dη = dt/a(t), so dass die gesamte Zeitabhängigkeit in dem konformen Faktor a2 (η)
steckt:
dr2
2
2
2
2
2
ds = a (η) −dη +
+ r dΩ
(2.24)
1 − κr2
Bem.: Unsere Symmetrieannahmen beschränken sich auf das lokale Universum, während obige Aussagen topologischer Natur sind. Die globale Topologie des Universums kann natürlich
anders aussehen, z.B. erlaubt k = 0 auch einen 3-Torus, oder k = −1 eine nicht-einfachverbundene kompakte Mannigfaltigkeit. Wir können also streng genommen nichts über die
(Un)endlichkeit des Universums aussagen.
2
14
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Wir können jetzt die Komponenten des Zusammenhangs und des Krümmungstensors ausrechnen. Mit ȧ ≡ da/dt sind die Christoffelsymbole durch
Γ011 =
aȧ
1 − κr2
Γ111 =
κr
1 − κr2
Γ022 = aȧr2
Γ033 = aȧr2 sin2 θ
ȧ
a
= −r(1 − κr2 ) sin2 θ
Γ101 = Γ110 = Γ202 = Γ220 = Γ303 = Γ330 =
Γ122 = −r(1 − κr2 )
Γ212 = Γ221 = Γ313 = Γ331
Γ233 = − sin θ cos θ
Γ133
1
=
r
Γ323 = Γ332 = cot θ
(2.25)
gegeben.
Die nichtverschwindenden Komponenten des Riccitensors lauten
ä
a
aä + 2ȧ2 + 2κ
=
1 − κr2
2
= r (aä + 2ȧ2 + 2κ)
= r2 (aä + 2ȧ2 + 2κ) sin2 θ ,
R00 = −3
R11
R22
R33
und der Ricciskalar ist
R=
2.1.2
6
(aä + ȧ2 + κ) .
2
a
(2.26)
(2.27)
Kinematik
Bevor wir uns der Dynamik des Skalenfaktors zuwenden können wir die Eigenschaften von
geodätischen Beobachtern im Friedmann-Robertson-Walker (FRW)-Universum untersuchen.
Es gibt zwar eine Menge raumartiger Killingvektoren aber leider keinen zeitartigen Killingvektor, der uns so etwas wie eine erhaltene Energie definieren könnte. Allerdings gibt es einen
Killingtensor.
Sei U µ = (1, 0, 0, 0) die 4-Geschwindigkeit eines mitbewegten Beobachters. Dann erfüllt der
Tensor
Kµν = a2 (gµν + Uµ Uν )
(2.28)
die Killing-Gleichung ∇(σ Kµν) = 0.
Für ein Teilchen mit der 4-Geschwindigkeit V µ = dxµ /dλ ist die Größe
K 2 = Kµν V µ V ν = a2 [Vµ V µ + (Uµ V µ )2 ]
(2.29)
deshalb entlang Geodäten eine Erhaltungsgröße.
Betrachten wir zunächst massive Teilchen. Dann ist Vµ V µ = −1 oder
(V 0 )2 = 1 + |V~ |2 ,
mit |V~ |2 = gij V i V j .
(2.30)
2
15
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Aus Uµ V µ = −V 0 folgt mit Gl. (2.29):
|V~ | =
K
.
a
(2.31)
Das Teilchen “bremst ab” in Bezug auf die mitbewegten Koordinaten.
Etwas ähnliches passiert mit lichtartigen Geodäten. Für Vµ V µ = 0 besagt Gl. (2.29)
Uµ V µ =
K
.
a
(2.32)
Die Frequenz eines Photons, die ein mitbewegter Beobachter misst, ist ω = −Uµ V µ . Wird
es mit der Frequenz ω1 emittiert, beobachtet man es später, wenn das Universum inzwischen
expandiert ist, mit der geringeren Frequenz ω0 :
ω0
a1
=
.
ω1
a0
(2.33)
Dieser Effekt wird Rotverschiebung genannt und durch den Parameter z,
λ 0 − λ1
λ1
a0
=
−1,
a1
z ≡
(2.34)
parametrisiert.
Die Rotverschiebung eines Objekts, dessen zur Zeit te emittiertes Licht uns heute erreicht, ist
also
ω(te )
1
1+z =
=
(2.35)
ω0
a(te )
Weil die Rotverschiebung implizit die Zeit te festlegt, wird z häufig als alternative (weil direkt
messbare) Zeitkoordinate verwendet.
Die Rotverschiebung ist nichts anderes als die Ausdehnung des Universums zur Zeit der Lichtemission relativ zur heutigen (z.B. z = 1 entspricht halber Größe usw.).
Betrachte ein Ensemble von dN Teilchen mit der Verteilungsfunktion f (x, p, t):
dN = f dV d3 p
(2.36)
Aus dV ∝ a3 , d3 p ∝ a−3 und dN =const folgt, dass f erhalten bleibt.
Gleiches gilt für das Planckspektrum masseloser Teilchen. Die spektrale Energiedichte I(ω) ist
definiert als
I(ω)dωdΩ = ~ω f p2 dpdΩ
= ~4 f ω 3 dωdΩ
d.h. I(ω)/ω 3 ∝ f bleibt erhalten.
(2.37)
2
16
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Das Planckspektrum hat die Form I(ω) = ω 3 G(ω/T ). Das bedeutet, dass die spektrale Form
während der kosmologischen Expansion erhalten bleibt und dass die Temperatur mit T ∝ 1/a
abfällt:
(2.38)
T ∝ a−1
Zum Schluss muss noch einmal betont werden, dass es sich bei der Rotverschiebung nicht um
den konventionellen Dopplereffekt, nicht einmal den relativistischen, handelt, sondern um eine
Eigenschaft von Geodäten im FRW-Universum. Dieses häufige Missverständnis wurzelt in der
Tatsache, dass die Analogie bei kleinen Abständen (und nur dort) ganz gut funktioniert.
Schreiben wir dazu die RW-Metrik Gl. (2.18) in der Form
ds2 = −dt2 + a2 (t)R02 dχ2 + Sk2 (χ)dΩ2 .
(2.39)
Dann können wir die instantane physikalische Entfernung dP zur Zeit t zwischen uns (χ = 0)
und einer Galaxie bei der mitbewegten Koordinate χ definieren:
dP (t) = a(t) R0 χ
(2.40)
Wie wir in Kap. (2.2.5) sehen werden, ist diese “Entfernung” nicht messbar, statt dessen gibt es
eine Anzahl wohldefinierter kosmologischer Entfernungsmaße, die aber alle im Limes kleiner
Abstände mit dP identisch sind.
Die aus der Rotverschiebung erhaltene “Geschwindigkeit” ist dann einfach
v ≡ d˙p
= ȧ R0 χ
ȧ
=
dp
a
(2.41)
Zur heutigen Zeit ausgewertet ist dies nichts anderes als das berühmte Hubblegesetz aus Gl. (1.1)
v = H0 dp
(2.42)
wenn man die Rotverschiebung durch den Dopplereffekt interpretiert.
2.1.3
Dynamik
Bevor wir uns an die Zeitentwicklung von a(t) wagen, können wir vieles aus dem Verhalten
von Materie in einem FRW-Universum lernen. Man beschreibt sie durch eine ideale Flüssigkeit, d.h. Materie, die in ihrem Ruhesystem isotrop ist. Dieser Begriff ist sehr allgemein und
beinhaltet u.a. Gas, Strahlung und “Staub” aus Galaxien.
Für praktische Zwecke ist eine ideale Flüssigkeit eine solche, die im Ruhesystem vollständig
durch ihre Energiedichte ρ und ihren Druck p beschrieben werden kann.
Dafür braucht man den Energie-Impulstensor T µν (die “4-Impuls-Flussdichte”). Homogenität
macht T µν diagonal und Isotropie bedeutet, dass die räumlichen Komponenten identisch sind.
2
17
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Im lokalen Intertialsystem ist also:

T µν
ρ
 0
=
 0
0
0
p
0
0
0
0
p
0

0
0 

0 
p
(2.43)
Die kovariante Verallgemeinerung davon lautet:
Tµν = (ρ + p)Uµ Uν + pgµν
(2.44)
(U µ ist die 4-Geschwindigkeit). Gl. (2.44) ist durch die Tensorenschreibweise offensichtlich
kovariant und geht im lokalen Inertialsystem (U µ = (1, 0, 0, 0), g µν = η µν ) in Gl. (2.43) über.
Die Flüssigkeit ist im mitbewegten Bezugssystem in Ruhe, weil dort sowohl die Flüssigkeit als
auch die Metrik isotrop sind. Die 4-Geschwindigkeit ist also
U µ = (1, 0, 0, 0) ,
(2.45)


ρ 0 0 0

0
 .
=
0
gij p 
0
(2.46)
und der Energie-Impulstensor wird zu
Tµν
Mit einem hochgezogenen Index erhält dies die einfache Form
T µ ν = diag(−ρ, p, p, p) .
(2.47)
T = T µ µ = −ρ + 3p .
(2.48)
Die Spur ist
Energie- und Impulserhaltung werden durch die verschwindende kovariante Divergenz von T µν
ausgedrückt:
∇µ T µν = 0
(2.49)
Die ν = 0–Komponente von Gl. (2.49) liefert:
0 = ∇µ T µ 0
= ∂µ T µ 0 + Γµµ0 T 0 0 − Γλµ0 T µ λ
ȧ
= −∂0 ρ − 3 (ρ + p) .
a
(2.50)
Diese Beziehung spiegelt die Energieerhaltung in einem homogenen, isotropen Universum wieder:
ȧ
ρ̇ = −3 (ρ + p)
(2.51)
a
2
18
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Bem.: Wenn Ihnen die Herleitung von Gl. (2.51) zu kompliziert war, können Sie versuchen, das
gleiche Ergebnis mit Hilfe des 1. Hauptsatzes der Wärmelehre herzuleiten: dE ≡ d(ρa3 ) =
−pda3 .
Mit der einfachen, aber häufig gültigen Parametrisierung der Zustandsgleichung der Komponente i des Universums:
pi = wi ρi
(2.52)
wird Gl. (2.51) zu
ρ̇i
ȧ
= −3 (1 + wi )
ρi
a
und lässt sich integrieren (wenn w =i const):
(2.53)
ρi = ρi0 a−3(1+wi )
≡ ρi0 a−ni
(2.54)
Z.B. gilt in der materiedominierten Phase des Universums, wenn die Ruhemassendichte nichtrelativistischer Teilchen über die Strahlungsenergiedichte dominiert (T 4 ρ):
p ∼ nT ρ
(2.55)
und damit w ' 0.
Für den Fall der Strahlung bzw. ultrarelativistischen Materie betrachten wir den Energie-Impulstensor
des elektromagnetischen Feldes:
T µν =
1
1
(F µλ F ν λ − g µν F λσ Fλσ ) .
4π
4
(2.56)
Die Spur davon ist
1
1
µλ
λσ
T µ=
F Fµλ − (4)F Fλσ = 0 .
4π
4
Aus Gl. (2.48) folgt daher für die Zustandsgleichung der Strahlung:
µ
1
p= ρ.
3
Die wichtigsten Fälle in der Kosmologie sind:
Strahlung:
Materie (“Staub”):
Vakuumenergiedichte:
wi = 13
wi = 0
wi = −1
(2.57)
(2.58)
ρ ∝ a−4
ρ ∝ a−3
ρ = const
(2.59)
Bem.: In der letzten Zeile von Gl. (2.59) kann man von rechts nach links argumentieren: weil
die Vakuumenergiedichte per Definition konstant ist, muss w = −1 sein. Später werden wir
sehen, dass die “kosmologische Konstante” tatsächlich diese Eigenschaft hat.
2
19
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Gl. (2.54) zeigt auch, dass diejenigen Materieanteile mit dem größten w am stärksten durch
die Expansion verdünnt (“rotverschoben”) werden. Umgekehrt ausgedrückt dominiert in der
Frühzeit des Universums das größte w (laut Gl. (2.59) ist das die Strahlung), während das kleinste w (Vakuumenergie) erst vor kurzem eine relevante Größenordnung erhalten haben kann.
Wir benötigen noch eine Gleichung für a(t), um ρ(t), p(t) bestimmen zu können. Diese bekommen wir aus den Einstein-Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie.
Die Zeitabhängigkeit des Skalenfaktors folgt aus den Einsteinschen Feldgleichungen:
1
Gµν ≡ Rµν − Rgµν = 8πGTµν
2
(2.60)
G, die Newtonsche Gravitationskonstante, wird übriges von Teilchenphysikern gerne durch
die (reduzierte) Planckmasse Mpl = (8πG)−1/2 ∼ 1018 GeV ausgedrückt.
Die Einsteingleichung kann ebenso in der Form
1
Rµν = 8πG Tµν − gµν T .
(2.61)
2
geschrieben werden (ART-Gl. (4.45)).
Die µν = 00-Gleichung lautet
ä
− 3 = 4πG(ρ + 3p) ,
a
und die µν = ij-Gleichungen liefern (wegen Isotropie nur eine Gleichung):
2
ȧ
ä
k
+2
+ 2 2 = 4πG(ρ − p) .
a
a
a
(2.62)
(2.63)
Mit Gl. (2.62) können die ä-Terme in Gl. (2.63) eliminiert werden und wir erhalten
2
ȧ
κ
8πG
ρ− 2
=
a
3
a
(2.64)
ä
4πG
=−
(ρ + 3p) .
a
3
(2.65)
und
Sie sind die Friedmann-Gleichungen, unsere alten Bekannten aus der Newtonschen Diskussion in Kap. (1.1.1).
Darin wird die Ausdehnungsrate des Universums durch den Hubble-Parameter beschrieben:
H=
ȧ
a
(2.66)
Bem.: Aufgrund der kontrahierten Bianci-Identität (∇µ Gµν = 0) sind nur zwei der Gleichungen
(2.51),(2.64) und (2.65) voneinander unabhängig.
2
20
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Gl. (2.65) besagt, dass alle Arten der Materie mit w > −1/3 abbremsend wirken, während
w < −1/3 die Expansion beschleunigt.
Eine schon von Einstein vorgeschlagene Erweiterung der Einsteingleichung ist die Kosmologische Konstante Λ, die in der Form Λgµν zur linken Seite von Gl. (2.60) addiert wird.
Wir können Λ auch einfach als Bestandteil der kosmologischen Flüssigkeit ansehen, indem
wir den Λ-Term in (2.60) auf die rechte Seite holen und als Teil des Energie-Impulstensors
interpretieren:
Λ
Λ
=
Tµν
gµν
8πG
(2.67)
= ρΛ gµν
In dieser Interpretation ist Λ ein Maß für die Vakuumenergiedichte der Raumzeit, und damit ein Fall für die Quantengravitation. Wir lernen also durch Beobachtung des ganz Großen
(Kosmologie) etwas über die Eigenschaften des ganz Kleinen (Quantenstruktur der Raumzeit).
Vergleichen wir (2.44) und (2.67), finden wir
pΛ = −ρΛ
(2.68)
d.h. w = −1, wie wir in (2.59) für die Vakuumenergiedichte vorausgesagt haben. Im Weiteren
wird angenommen, dass Λ einen Teil von ρ und p ausmacht und deshalb nicht mehr explizit in
den dynamischen Gleichungen erwähnt.
Aus (2.65) folgt schließlich, dass eine positive Vakuumenergiedichte beschleunigend wirkt.
Dieser Effekt wurde mit großer Wahrscheinlichkeit vor kurzem nachgewiesen; man findet:
1/4
ρΛ ∼ 10−3 eV
(2.69)
1/4
Dagegen liefert die Quantenfeldtheorie die naive Abschätzung ρΛ ∼ Mpl = 1018 GeV. Der
gemessene Wert von ρΛ ist also ca. 120 Größenordnungen zu klein – ein Problem, das sich nicht
einfach auf Beobachtungsfehler abschieben lässt.
Die QFT-Abschätzung beruht auf der Existenz der Nullpunktenergie von quantenmechanischen
Oszillatoren, deren Beiträge aufsummiert werden:
X Z ΛU V d2 k 1
th
ρV =
~ωi (k)
3 2
(2π)
0
i
~Λ4U V X
=
(2.70)
(−1)F Ni + O(m2i Λ2U V )
2
16π
i
Wählt man die Planckskala als UV-Cutoff, ΛU V = MP l , findet man
ρth
' 1.4 × 1074 GeV4 = 3.2 × 1091 g/cm3 ,
V
obs
ρV ' 0.7 ρc = 0.66 × 10−29 g/cm3 = 2.9 × 10−11 eV4 .
(2.71)
Jetzt sind wir in der Lage, die Zeitabhängigkeit von ρ und p auszurechnen. Dies geschieht am
einfachsten durch Integration von Gl. (2.66):
Z a(t)
da
t=
(2.72)
aH
0
2
21
HOMOGENE KOSMOLOGIE
wobei wir a(t = 0) = 0 angenommen haben. H(a) folgt wiederum aus der FriedmannGleichung (2.64) wenn ρ(a) bekannt ist.
Für allgemeine ρ(a) lässt sich das Integral nur numerisch lösen, aber die relevantesten Fälle
lassen sich durch ein flaches Universum und Zustandsgleichungen mit konstantem w ((2.54)
und (2.59)) abdecken. Dann folgt für ρ ∝ a−n :
a(t) ∝ t2/n
2.1.4
,
n = 3(1 + w)
(2.73)
Zusammenhang zwischen Dichte und Krümmung
Der Dichteparameter Ω ist definiert als
8πG
ρ
3H 2
ρ
=
ρcrit
Ω =
(2.74)
mit der kritischen Dichte ρcrit :
3H 2
(2.75)
8πG
Der Grund für die Bezeichnung “kritische Dichte” wird klar, wenn man die Friedmann-Gleichung
(2.64) umschreibt zu:
κ
Ω−1 =
H 2 a2
≡ −Ωκ
∝ ȧ−2
(2.76)
ρcrit =
In der zweiten Zeile haben wir die Krümmung ebenfalls durch einen Dichteparameter parametrisiert, obwohl sie natürlich eine ausgezeichnete Rolle einnimmt. Dies entspricht einer “Zustandsgleichung” von w = −1/3 bzw. n = 2.
Ω setzt sich – ebenso wie ρ – aus Beiträgen von Materie, Strahlung und Vakuumenergie zusammen:
X
Ω = Ωm + Ωr + ΩΛ =
Ωi
(2.77)
i
Gl. (2.76) wird auch häufig als Summenregel geschrieben:
X
Ωi ≡ Ω + Ω κ = 1
(2.78)
i(κ)
Der Index i(κ) besagt, dass über alle i und κ summiert wird.
Das Vorzeichen von κ, und damit die Krümmung der RW-Raumzeit, ist also durch die Dichte ρ
im Verhältnis zu ρcrit festgelegt:
ρ < ρcrit ⇔ Ω < 1 ⇔ κ < 0 ⇔
“offen”
ρ = ρcrit ⇔ Ω = 1 ⇔ κ = 0 ⇔
“flach”
ρ > ρcrit ⇔ Ω > 1 ⇔ κ > 0 ⇔ “geschlossen”
(2.79)
2
HOMOGENE KOSMOLOGIE
22
Abbildung 4: Wahrscheinlichkeitskontouren der WMAP-Ergebnisse in der Ωm - ΩΛ -Ebene, allein (links oben)
und kombiniert mit anderen CMB-Messungen (rechts oben), der Hubble-Konstanten des HST-Key-Projects (links
unten) und den SN Ia-Daten (rechts unten). Die gestrichelte Linie zeigt Ω0 = 1. Aus Spergel et al. (2003).
Die rechte Seite von (2.76) ist zeitabhängig. Damit ist auch Ω zeitabhängig, es sei denn, die
rechte Seite von Gl. (2.76) verschwindet. Ω = 1 (d.h. das flache Universum) ist also ein Fixpunkt der Friedmann-Dynamik.
Selbst wenn Λ > 0 war unser Universum bis vor kurzem materie- oder strahlungsdominiert.
Aus Gl. (2.65) folgt dann, dass ȧ mit der Zeit kleiner wird, d.h. die Expansion verlangsamt sich.
Laut Gl. (2.76) wird also |Ω − 1| = |Ωκ | mit der Zeit größer. Ω = 1 ist demnach ein instabiler
Fixpunkt.
Alles deutet darauf hin, dass unser Universum tatsächlich flach ist (Ω0 = 1). Die Frage, warum
wir uns auf einem instabilen Fixpunkt befinden, ist als das sog. Flachheitsproblem bekannt.
Offensichtlich lässt es sich durch eine hypothetische Beschleunigungsphase im frühen Universum (w < −1/3 ä > 0) lösen, die sog. Inflation.
Die beste Messung der räumlichen Geometrie des Universums und damit von Ω0 erlaubt die
Mikrowellen-Hintergrundstrahlung (anschaulich: erstes Maximum des Leistungsspektrums =
Horizontlänge während der Rekombination von H, deren gemessener Winkeldurchmesser von
2
23
HOMOGENE KOSMOLOGIE
3
2.5
u
Bo
2
∞
ce
0
1.1 1.
0.8
0.9
n
t 0H
0
ating
eler
c
c
A
ating
eler
c
e
D
Expansion
Recollapse
Cl
os
0.5
e
d
Op
en
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0.7
0.6
1.5
ΩΛ
=
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
ΩM
Abbildung 5:
Dynamik des FRWUniversums in der Ωm - ΩΛ -Ebene.
der Krümmung abhängig ist); mehr dazu in Kap. (3.4.5). Das wahrscheinlich robusteste Ergebnis des WMAP-Satelliten ist, dass unser Universum mit hoher Wahrscheinlichkeit räumlich flach
ist:
Ω0 = 1.02 ± 0.02
(2.80)
(vgl. Abb. (2), Abb. (17) und Abb. (4)).
Für die Klassifizierung der Zukunft unseres Universums genügt es, die Beiträge von Ωm und ΩΛ
zu vergleichen (womit Ωκ = 1 − Ωm − ΩΛ festgelegt ist), weil Ωr schon jetzt vernachlässigbar
klein ist.
Wegen ΩΛ ∝ Ωκ a2 ∝ Ωm a3 werden Krümmung und Materie in einem ewig expandierenden
Universum zunehmend unwichtiger (und umgekehrt bei zukünftigem Kollaps).
Ist Λ > 0 entwickelt sich das Universum asymptotisch zur de Sitter-Raumzeit, bei Λ < 0 zur
Anti-de Sitter-Raumzeit. (Da wir aber nicht wissen, was Λ ist, wissen wir auch nicht, was es
in Zukunft treiben wird.)
Im (Ωm , ΩΛ )-Diagramm in Abb. (5) sind die wichtigsten Eigenschaften der Dynamik des FRWUniversums zusammengefasst:
• Die Linie ΩΛ = 1 − Ωm bezeichnet das räumlich flache Universum, Ωκ = 0.
• Oberhalb der Linie ΩΛ = Ωm /2 ist wegen Gl. (2.65) ä > 0, d.h. das Universum beschleunigt, unterhalb der Linie bremst es ab.
2
24
HOMOGENE KOSMOLOGIE
• Das Alter des Universums t0 , normiert auf die Hubblezeit H0−1 , folgt aus dem Integral
Z1
t0 H0 =
da [1 + Ωm (1/a − 1) + ΩΛ (a2 − 1)]−1/2
(2.81)
0
(folgt aus Gl. (2.97) in Kap. (2.2)). Oberhalb der Linie t0 H0 = ∞ müsste das Universum
in der Vergangheit einen “Rückprall” erlitten haben, was durch die Beobachtungen von
Objekten bei großer Rotverschiebung ausgeschlossen ist.
• Für ΩΛ < 0 wird das Universum in jedem Fall rekollabieren. Allerdings kann das auch
bei ΩΛ > 0 passieren, wenn Ωm so groß ist, dass es die endgültige Dominanz von ΩΛ
verhindert.
Um die Trennlinie zwischen ewiger Expansion und Kollaps zu finden beginnen wir mit
der Feststellung, dass H für einen Kollaps das Vorzeichen wechseln muss. Dies geschieht
bei dem Skalenfaktor a∗ , gegeben durch:
H2 = 0 =
8πG
−2
ρm0 a−3
∗ + ρΛ0 + ρκ0 a∗
3
(2.82)
Division durch H0 und verwenden von Ωκ0 = 1 − Ωm0 − ΩΛ0 ergibt:
ΩΛ0 a3∗ + (1 − Ωm0 − ΩΛ )a∗ + Ωm0 = 0
(2.83)
Die Frage nach Werten von (Ωm0 , ΩΛ0 ), bei denen diese kubische Gleichung für a∗ eine
Lösung besitzt, liefert das Ergebnis:
(
0
, h 0 ≤ Ωm0
≤1 i
(2.84)
ΩΛ0 ≥
4π
m0
+
, Ωm0 > 1 .
4Ωm0 cos3 31 cos−1 1−Ω
Ωm0
3
Abb. (6) fasst die aktuelle Beobachtungssituation für unser Universum zusammen. Die aktuellen
best-fit Werte der WMAP-Mission für die Parameter des Standardmodells des Universums finden
Sie in Tabelle 2.
2.2
2.2.1
Wichtige Längen- und Zeitskalen
Hubbleradius
Die meistgebrauchte Längen- bzw. Zeitskala der Kosmologie ist der Hubbleradius,
dH ≡ H −1
(2.85)
(heute H0−1 ) bzw. die Hubblezeit tH ≡ H −1 (heute H0−1 ). In dieser Zeit bzw. über diese Strecke
werden kosmologische Effekte (Expansion, Krümmung) spürbar.
Der Hubbleradius ist ein scheinbarer Horizont, also eine Einhüllende von “trapped surfaces”.
Er wird deshalb auch “Hubblehorizont” genannt.
2
25
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Abbildung 6: Zusammenfassung der wichtigsten Beobachtungseergebnisse in der Ωm
- ΩΛ -Ebene, zusammen mit hoffnungsfrohen Projektionen für zukünftige Messungen der SNAP und PLANCK-Missionen. Aus
astro-ph/0502139.
Es hat sich eingebürgert, H0 in Einheiten von 100 km s−1 Mpc−1 zu schreiben und dadurch den
dimensionslosen Parameter h einzuführen:
H0 ≡ 100 h km s−1 Mpc−1
H0−1 = 3000 h−1 Mpc
H0−1 = 9.773 h−1 Gyr
(2.86)
Erst in den vergangenen 5-10 Jahren wurde es möglich, h mit einer Genauigkeit von einigen
Prozent zu messen, vorher lagen die Ungewissheiten im 100 % Bereich.
Der derzeitige best fit an die Messungen des WMAP-Satelliten ergibt:
h = 0.71 ± 0.04
(2.87)
Weitere gängige Messmethoden verwenden die Leuchtkraftentfernung von Cepheiden und Supernovae, den Sunyaev-Zeldovich-Effekt und Laufzeitunterschiede im Gravitationslinseneffekt.
2
26
HOMOGENE KOSMOLOGIE
physical quantity
total density
baryonic matter
cosmological constant
cold dark matter
hot dark matter
sum of neutrino masses
CMB temperature
baryon to photon ratio
baryon to matter ratio
spatial curvature
rate of expansion
age of the universe
age at decoupling
age at reionization
spectral amplitude
spectral tilt
spectral tilt variation
tensor-scalar ratio
reionization optical depth
redshift of equality
redshift of decoupling
width of decoupling
redshift of reionization
symbol
Ω0
ΩB
ΩΛ
ΩM
2
P Ων h
mν (eV)
T0 (K)
η × 1010
ΩB /ΩM
ΩK
h
t0 (Gyr)
tdec (kyr)
tr (Myr)
A
ns
dns /d ln k
r
τ
zeq
zdec
∆zdec
zr
WMAP
1.02 ± 0.02
0.044 ± 0.004
0.73 ± 0.04
0.23 ± 0.04
< 0.0076 (95% c.l.)
< 0.23 (95% c.l.)
2.725 ± 0.002
6.1 ± 0.3
0.17 ± 0.01
< 0.02 (95% c.l.)
0.71 ± 0.03
13.7 ± 0.2
379 ± 8
180 ± 100
0.833 ± 0.085
0.98 ± 0.03
−0.031 ± 0.017
< 0.71 (95% c.l.)
0.17 ± 0.04
3233 ± 200
1089 ± 1
195 ± 2
20 ± 10
Planck
0.7%
0.6%
0.5%
0.6%
1%
1%
0.1%
0.5%
1%
0.5%
0.8%
0.1%
0.5%
5%
0.1%
0.2%
0.5%
5%
5%
5%
0.1%
1%
2%
Tabelle 2: Parameter des Standardmodells der Kosmologie für die Hintergrundraumzeit, den Energie-Materieinhalt
und das Spektrum der Krümmungsstörungen. Angegeben sind die Ergebnisse des ersten Jahres der WMAPSatellitenmission (mit 1 σ-Fehlern) und die angestrebte Genauigkeit des PLANCK-Satelliten.
2.2.2
Krümmungsradius
Wie man an den Komponenten des Riccitensors in Gl. (2.26) erkennen kann, werden räumliche
Krümmungseffekte bei ca. r ∼ |κ|−1/2 relevant.
Damit kann man den Krümmungsradius des Universums definieren:
dcurv = a(t)|κ|−1/2
H −1
= p
|Ω − 1|
(2.88)
In offenen Universen ist der Krümmungsradius also immer größer als der Hubbleradius.
2.2.3
Teilchenhorizont
Eine der fundamentalen Fragen in der Kosmologie ist diejenige nach dem Bereich des Universums, der sich in kausalem Kontakt befindet. Mit anderen Worten, wie weit war ein anderer
2
27
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Beobachter zur Zeit t = 0 von uns entfernt, wenn uns ein Lichtsignal, das damals ausgesandt
wurde, heute erreicht? Diese Größe wird der Teilchenhorizont dhor genannt.
Der Teilchenhorizont existiert, weil seit der Urknallsingularität nur eine endliche Zeit vergangen
ist, in der sich Photonen ausbreiten konnten.
Der physikalische Abstand zum Horizont hängt über das Linienelement, Gl. (2.23), mit dem
Koordinatenabstand rhor zusammen:
Z rhor
Z rhor
dr
√
√
dhor =
grr dr = a(t)
(2.89)
1 − κr2
0
0
Das Integral über r auf der rechten Seite (mit der unbekannten Integrationsgrenze rhor ) lässt
sich in ein Integral über t umformen. Dafür nützen wir aus, dass sich Licht auf dem Lichtkegel
ds2 = 0 (und ohne Einschränkung dΩ = 0) ausbreitet:
Z rhor
Z t
dr
dt̃
√
=
(2.90)
1 − κr2
0
0 a(t̃)
Der Teilchenhorizont zur Zeit t ist also durch
Z
dhor (t) = a(t)
0
t
dt̃
a(t̃)
(2.91)
gegeben.
Bem.: In der konformen Form der Metrik (2.24) für das flache RW-Modell ist die kausale Struktur besonders klar, weil sich Licht auf 45-Grad–Linien in der r − η–Ebene ausbreitet. Die Entfernung zum Teilchenhorizont ist hier einfach dhor (t) = R(t)[η(t) − η(t = 0)].
Wenn a(t) ∝ t2/n (siehe Gl. (2.73)), dann ist dhor für n > 2 (bzw. w > −1/3; vgl. Gl. (2.65))
endlich und
n
dhor (t) =
t
(2.92)
n−2
Wenn dhor (t0 ) endlich ist, ist unser Vergangenheits-Lichtkegel durch einen Teilchenhorizont begrenzt, d.h. keine Informationen aus größeren Entfernungen können uns bisher erreicht haben.
Das gilt, obwohl alle physikalischen Abstände bei a → 0 gegen 0 gehen.
Insbesondere ist es schwer zu verstehen, warum Gebiete ausserhalb von dhor (t), beispielsweise zur Zeit der Rekombination, im thermischen Gleichgewicht sind, wie es die Hintergrundstrahlung andeutet – das ist das sog. Horizontproblem. Genau wie das Flachheitsproblem
(Kap. 2.1.4) lässt es sich durch eine frühe Phase mit w < −1/3 beheben.
2.2.4
Alter des Universums
Das Alter t(z) des Universums bei einer bestimmten Rotverschiebung kann man direkt aus
Gl. (2.72) ausrechnen:
Z a(z)
da
t(z) =
(2.93)
aH
0
2
28
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Abbildung 7: Kausale Struktur des Universums ohne (links) und mit (rechts) Inflation. Die vertikale Zeitachse
ist die sog. konforme Zeit η, definiert durch dη = dt/a(t). Ohne Inflation entspricht t = 0 einem endlichen
η, die Inflation verschiebt t = 0 zu η → −∞. Damit überschneiden sich die Rückwärts-Lichtkegel der letzten
Streufläche und das Horizontproblem wird gelöst.
wobei a(z) = (1 + z)−1 aus der Definition der Rotverschiebung (2.35) folgt.
Um den Hubbleparameter in diesem Integral auszuwerten, schreiben wir die Friedmanngleichung wie in Gl. (2.78) als
8πG X
H2 =
ρi
(2.94)
3
i(κ)
wobei wir wie in Gl. (2.54) annehmen, dass sich alle Komponenten wie
ρi (z) = ρi0 (1 + z)ni
(2.95)
entwickeln.
Mit anderen Worten,
H(z) = H0 E(z)
,

1/2
X
E(z) ≡ 
Ωi0 (1 + z)ni 
(2.96)
i(κ)
Damit wird aus Gl. (2.93):
t(z) =
H0−1
Z
z
∞
dz 0
(1 + z 0 )E(z 0 )
(2.97)
Dabei kann man die vereinfachende Näherung machen, dass die jeweils letzte Phase der Evolution (Strahlung, Materie, etc.) zu allen Zeiten galt, da (zumindest bei n > 2) dieser Bereich das
Integral dominiert.
Für ein fast flaches Universum (Ω0 − 1 1) ist das Ergebnis:
−1/2
t ' (2/n) H0−1 (1 + z)−n/2 Ω0
(2.98)
2
29
HOMOGENE KOSMOLOGIE
mit n aus Gl. (2.73). Das heutige Alter, t0 , ist also etwas geringer als die heutige Hubblezeit
H0−1 .
Für das heutige Alter findet man somit
t0 = 6.52 h−1 Gyr
(2.99)
Das ist nur am untersten Ende der zugelassenen Werte für h mit dem Alter der ältesten Kugelsternhaufen vereinbar.
Dieses Problem wird gelöst, wenn tatsächlich eine positive kosmologische Konstante existiert,
wie jüngste Messungen andeuten. Dann ist das Alter erheblich größer, wie in Abb. (6) deutlich
wird und mit Gl. (2.81) ausgerechnet werden kann.
Der derzeitige best fit an die Messungen des WMAP-Satelliten ergibt:
t0 = 13.7 ± 0.2 Gyr
2.2.5
(2.100)
Kosmologische Entfernungsmaße
In einer allgemeinen gekrümmten Raumzeit macht das Konzept der Entfernung zweier Beobachter zu einer festen Zeit keinen Sinn. Im FRW-Universum existiert zumindest eine globale
Zeit, so dass die Entfernung entlang einer Kurve auf t =const Hyperflächen zwar definiert, aber
leider nicht messbar ist.
• Die mitbewegte Entfernung χ kennen wir bereits aus Gl. (2.14). Auf (radialen) lichtartigen Geodäten gilt, wie immer, ds2 = 0 = −dt2 + a2 R02 dχ2 und deshalb
Z
dt
−1
χ = R0
a
Z
da
= R0−1
2
a H(a)
Z
dz 0
= R0−1
H(z 0 )
Z
dz 0
−1 −1
= R0 H0
(2.101)
E(z 0 )
mit E(z) aus Gl. (2.96).
Da χ selbst keine Messgröße ist, besteht seine Hauptaufgabe in seiner Verknüpfung mit
den kosmologischen Parametern, die in die Berechnung der letzten Zeile einfließen.
• Die Leuchtkraftentfernung wird analog zum statischen euklidischen Fall durch
r
L
dL =
(2.102)
4πF
definiert, wobei L die Leuchtkraft einer geeigneten Standardkerze und F der gemessene
Strahlungsfluss ist.
2
30
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Betrachten wir den Fluss einer (monochromatischen) Quelle im Abstand χ. Aus Gründen
der Photonenzahlerhaltung müssen alle emittierten Photonen schließlich eine Kugelschale mit der Oberfläche A(χ) in diesem Abstand durchströmen. (Im Minkowskiraum wäre
A(χ) einfach 4πd2 , daher die Definition von dL .)
Der Fluss wird aber durch zwei Effekte verringert: Einmal durch die Vergrößerung des
Zeitintervalls δt ∼ 1/a, mit dem die Photonen durch die expandierende Schale strömen,
und zum zweiten durch die Abnahme der Photonenenergie ∼ a (die Rotverschiebung der
Strahlung).
Insgesamt ergibt sich eine Abschwächung um den Faktor a2 = (1 + z)−2 :
F=
L
A(χ)(1 + z)2
(2.103)
A(χ) folgt aus dem Koeffizienten von dΩ in Gl. (2.14) (mit R(t) = R0 , weil wir die
Photonen jetzt und hier beobachten):
A(χ) = 4πR02 Sk2 (χ)
(2.104)
dL = (1 + z)R0 Sk (χ)
(2.105)
Mit Gl. (2.102) folgt deshalb:
Um mit dL arbeiten zu können, muss noch die explizite Erwähnung von χ eliminiert werden. Das geschieht allgemein mit Hilfe von Gl. (2.101). Damit wird dL eine Funktion von
Ωm und ΩΛ , die dadurch durch Messung von dL (z) mit geeigneten Standardkerzen (z.B.
SNe Ia) bestimmt werden können:
Z
dz 0
−1 −1
dL (z) = (1 + z)R0 Sk R0 H0
(2.106)
E(z 0 )
(Für k = 0 kürzt sich R0 glücklicherweise heraus.)
Der Krümmungsparameter Ωκ0 = −k/R02 H02 kann entweder direkt durch Messung der
Raumkrümmung oder indirekt durch Bestimmung der Gesamtdichte Ω0 = 1 − Ωκ0 bestimmt werden. Wegen R0 = H0−1 |Ωκ0 |−1/2 ist der folgende Ausdruck für dL vollständig
durch observable Größen determiniert:
Z
p
H0−1
dz 0
Sk
dL (z) = (1 + z) p
|Ωκ0 |
E(z 0 )
|Ωκ0 |
(2.107)
Gl. (2.107) ist von zentraler Bedeutung für die moderne Kosmologie, da mit ihrer Hilfe
alle Ωi0 in E(z) durch Messungen der Leuchtkraftentfernung mehrer Objekte (bei vielen
z) bestimmt werden können.
2
31
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Abbildung 8: Drei kosmologische Entfernungsmaße in einem flachen expandierenden Universum (Bezeichnungen wie im
Text). Die Linienpaare zeigen jeweils ein
reines Materieuniversum (dünne Linien)
und eines mit 70 % kosmologischer Konstante (dicke Linien). Bei fester Rotverschiebung sind die Entfernungen in einem
Λ-Universum größer als ohne Λ.
• Die Winkelentfernung ist wieder in Analogie zum euklidischen Raum definiert, indem
die physikalische Größe D mit einer Quelle mit dem von ihr aufgespannten Winkel θ
verglichen wird:
D
dA =
(2.108)
θ
Der beobachtete Winkeldurchmesser folgt aus Gl. (2.14):
D
R(tem )Sk (χ)
= (1 + z)−1 R0 Sk (χ)
θ =
dA
(2.109)
Es gilt deshalb:
dL = (1 + z)2 dA
(2.110)
Abb. (8) zeigt, dass alle Entfernungsmaße für ein flaches Universum mit Vakuumenergie-Beitrag
größer sind als ohne. Der Grund liegt an der langsameren Expansion zu früheren Zeiten, so
dass die Photonen in einem Λ-Universum länger unterwegs sind
Objekte erscheinen leuchtschwächer bei gleicher Rotverschiebung.
2.2.6
Das Hubble-Gesetz
Gl. (2.107) sollte für kleine z wieder in das gute alte Hubble-Gesetz übergehen. Um dies zu
überprüfen, entwickeln wir den Skalenfaktor bis zur dritten Ordnung,
a(t)
q0
j0
= 1 + H0 (t − t0 ) − H02 (t − t0 )2 + H03 (t − t0 )3 + O(t − t0 )4 ,
a0
2!
3!
wobei
ä
(t0 )
q0 ≡ −
aH 2
X
1
=
(1 + 3wi )Ωi
2 i
(2.111)
2
32
HOMOGENE KOSMOLOGIE
1
ΩM − ΩΛ ,
2 ...
a
≡ +
(t0 )
aH 3
X
1
(1 + 3wi )(2 + 3wi )Ωi
=
2 i
= ΩM + ΩΛ
=
j0
(2.112)
Hier wurde der Abbremsungsparameter q0 eingeführt, dessen Vorzeichenkonvention (und Name) nur noch historische Bedeutung haben – eine Beschleunigung hatte niemand erwartet. Der
Koeffizient der dritten Ordnung, j0 , wird im Englischen “jerk” genannt.
Eingesetzt in Gl. (2.107) findet man das Hubble-Gesetz:
1
1
H0 dL (z) = z + (1 − q0 ) z 2 − (1 − q0 − 3q02 + j0 ) z 3 + O(z 4 ) .
2
6
(2.113)
Der erste Term auf der rechten Seite ergibt (wenn man c wieder an seine rechtmäßige Stelle
setzt) das lineare Hubble-Gesetz Gl. (1.1), das für z 1 gültig ist und bei größeren Rotverschiebungen durch weitere Terme korrigiert werden muss. Der kubische Term (O(z 3 )) wurde
erstmals 2004 signifikant gemessen (Riess et al. 2004).
Häufig sieht man in der astronomischen Literatur, dass Entfernungen in Einheiten von [h−1
Mpc] angegeben werden. Das zeigt, dass eigentlich nur die Rotverschiebung z bekannt ist
und die Entfernung aus dem Hubble-Gesetz Gl. (1.1) und der Parametrisierung der HubbleKonstanten H0 , Gl. (2.86), ausgerechnet wurde.
Wenn das Universum heute beschleunigt expandiert, muss es früher einmal materie- bzw. strahlungsdominiert gewesen sein und abgebremst haben. Den Umkehrpunkt wird durch die Zeit,
oder Rotverschiebung, gegeben, zu der der Abbremsungsparameter verschwindet:
q(z) = −1 + (1 + z)
mit
d
ln H(z) = 0 ,
dz
h
i1/2
Rz
dz 0
0
H(z) = H0 Ωm (1 + z)3 + Ωx e3 0 (1+wx (z )) 1+z0 + Ωκ (1 + z)2
,
(Hier wird der Beitrag der “Dunklen Energie” durch Ωx und wx parametrisiert.)
Für konstantes w folgt die “Umkehrrotverschiebung” zc aus
1 h Ωm + (1 + 3w) Ωx (1 + z)3w i
q(z) =
= 0,
2 Ωm + Ωx (1 + z)3w + Ωκ (1 + z)−1
1
(3|w| − 1)Ωx 3|w|
zc =
− 1,
Ωm
welches im Falle einer reinen kosmologischen Konstante
2Ω 1/3
Λ
zc =
−1
ΩM
(2.114)
(2.115)
(2.116)
(2.117)
2
HOMOGENE KOSMOLOGIE
33
Abbildung 9: Die gesamte thermische Entwicklung des Universums gemäß Fermilab.
ergibt.
Setzt man hier ΩΛ ' 0.7 and Ωm ' 0.3 ein, findet man zc ' 0.6, in sehr guter Übereinstimmung
mit den Beobachtungsergebnissen (Riess et al. 2004).
2.3
Thermische Entwicklung des Universums
Mit dem Reheating (bzw. Preheating) nach der Inflation beginnt die thermische Phase der Kosmologie (dem “Urknall” im eigentlichen Sinne), in der dem Universum eine Temperatur T (t)
zugeordnet werden kann. Heute ist dies die Temperatur der Hintergrundstrahlung: T0 = 2.73 K.
Ab jetzt wird implizit mit einem räumlich flachen Universum gerechnet (k = 0 in Gl. (2.64)).
Abgesehen davon, dass neueste Messungen genau diesen Fall nahelegen, ist diese Näherung
im frühen Universum, mit dem wir uns jetzt beschäftigen, auch im Falle eines offenen oder
geschlossenen Universums mit Ω0 = O(1) sehr gut (warum?).
2
34
HOMOGENE KOSMOLOGIE
2.3.1
Bedingung für thermisches Gleichgewicht
Die Temperaturentwicklung des Universums ist wegen T ∝ a−1 durch die Hubblerate gegeben:
Ṫ
= −H
T
(2.118)
Solange die Wechselwirkungen zwischen den Teilchen schnell genug sind, um mit der Expansion Schritt zu halten, durchläuft das Universum eine Abfolge von Zuständen im (nahezu)
thermischen Gleichgewicht.
Dazu müssen wir die Wechselwirkungsrate Γ von Teilchen mit der Anzahldichte n, dem Streuquerschnitt σ und der mittleren Geschwindigkeit |v|,
Γ ∼ nσ|v|
mit der Expansionsrate H vergleichen.
Betrachte den häufigen Fall Γ ∝ T n . Dann stößt ein Teilchen ab der Zeit t
Z ∞
Nww =
Γ(t̃)dt̃
t
1
Γ
=
|t
n−2 H
(2.119)
(2.120)
Mal in einem strahlungsdominierten Universum.
Wenn n > 2 ist die Zahl der Stöße für Γ ≈ H kleiner als 1. Deshalb können wir annehmen,
dass sich Teilchen mit Γ H im thermischen Gleichgewicht mit dem Universum befinden,
solche mit Γ H nicht (sie “frieren aus”).
Für relativistische Teilchen ist n ∝ T 3 und
α2
σ∼ 2
T
beim Austausch masseloser Eichbosonen (z.B. Photonen; α: Feinstrukturkonstante).
Damit ist
Γ ∼ nσ|v| ∝ α2 T
(2.121)
(2.122)
Aus ρ ∝ T 4 folgt mit der Friedmann-Gleichung (2.64), dass
H∼
so dass
T2
,
Mpl
(2.123)
Γ
α2 Mpl
∼
(2.124)
H
T
Für T . α2 Mpl ∼ 1016 GeV treten diese Wechselwirkungen also häufig auf (pro Hubblezeit),
während sie bei höheren Temperaturen ausfrieren.
2
35
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Wird die Wechselwirkung durch den Austausch massiver Eichbosonen mit Masse mX verursacht, wie z.B. durch W ± , Z 0 in der schwachen WW bei T . 300 GeV, ist
σ∼
G2X
T2
T ∝ 4
mX
2
(2.125)
wenn T . X.
2.3.2
Temperaturabängigkeit von ρ und p
Wir benötigen die Energiedichte ρ und den Druck p eines idealen Gases, das aus Teilchenspezies
i mit Anzahldichte ni , Ruhemasse mi , Temperatur Ti , chemischem Potential µi und gi inneren
Freiheitsgraden besteht; vgl. Abb. (10).
Im nichtrelativistischen Fall (mi Ti ) gilt für Fermionen und Bosonen:
3/2
mi Ti
−(mi − µi )
exp
ni = gi
2π
Ti
X
ni mi
ρ =
Spezies i
p =
X
ni Ti ρ
(2.126)
Spezies i
Für relativistische Teilchen (mi Ti ) ist
π2
g∗ T 4
30
1
π2
p =
ρ = g∗ T 4
3
90
4
4
X
7 X
Ti
Ti
gi
g∗ =
gi
+
T
8 Fermionen i
T
Bosonen i
ρ =
(2.127)
Hier bezeichnet g∗ die Gesamtzahl der effektiv masselosen (mi T ) Freiheitsgrade, siehe
Abb. (10). der Faktor 7/8 kommt von der unterschiedlichen Statistik von Bosonen und Fermionen.
Die Anzahldichte eines relativistischen Gases ist
n=
für Bosonen und
ζ(3) 3
gT
π2
(2.128)
3ζ(3) 3
gT
(2.129)
4π 2
für Fermionen (ζ ist die Riemannsche Zetafunktion und ζ(3) ≈ 1.2021).
ρ und P sind also für nichtrelativistische Teilchen exponentiell unterdrückt, d.h. wir können uns
im frühen Universum auf die relativistischen Beiträge beschränken.
n=
2
36
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Abbildung 10: Anzahl der effektiv masselosen Freiheitsgrade der Teilchen des Standardmodells als Funktion der
Temperatur. Aus Kolb & Turner S. 65.
Als Anhaltspunkt für g∗ dienen folgende Werte (die Summe beinhaltet immer nur die relativistischen Spezies):
4 1/3
T 1 MeV
γ, νe , νµ , ντ
Tν = 11
Tγ ∼ T g∗ = 3.36
−
1 ≤ T ≤ 100 MeV
γ, νe , νµ , ντ , e, e
Ti ∼ T
g∗ = 10.75
T ≥ 300 GeV
alle Tlch. des Standardmodells
Ti ∼ T
g∗ = 106.75
(2.130)
In der frühen (t ≤ 4 × 1010 s), strahlungsdominierten (a ∝ t1/2 ) Phase des Universums folgen
aus (2.64) und (2.72) folgende nützliche Beziehungen:
√ T2
H = 1.66 g∗
Mpl
0.301 Mpl
t = √
∼
g∗ T 2
T
MeV
−2
s
(2.131)
2
37
HOMOGENE KOSMOLOGIE
2.3.3
Entropie
Zu fast allen Zeiten im frühen Universum herrschte thermisches Gleichgewicht (Kap. 2.3.1), so
dass die Entropie pro mitschwimmendem Volumenelement erhalten blieb. Dieser Wert ist eine
nützliche Größe zum Verständnis der thermischen Entwicklung.
Der zweite Hauptsatz der Wärmelehre, angewandt auf ein mitschwimmendes Volumenelement
V = a3 , besagt (wir machen die Näherung |µ| T ):
dE = d(ρV ) = T dS − pdV ,
(2.132)
so dass
1
(d[(ρ + p)V ] − V dp)
T
Die Energieerhaltungsgleichung (2.51) kann auch als
dS =
adρ + 3(ρ + p)da = 0
(2.133)
(2.134)
geschrieben werden.
Mit dV = d(a3 ) = 3a2 da folgt dann aus Gl. (2.133), dass
dS = 0
(2.135)
Das ist nicht weiter verwunderlich, weil wir ja ursprünglich von einer idealen Flüssigkeit ausgegangen waren.
Die Integrabilitätsbedingung
∂2S
∂2S
=
(2.136)
∂T ∂V
∂V ∂T
liefert eine Beziehung der Zustandsvariablen ρ, p und T :
T
dp
=ρ+p
dT
Anders ausgedrückt,
dp =
ρ+p
dT ,
T
(2.137)
(2.138)
welches wir in (2.133) substituieren können:
1
1
d[(ρ + p)V ] − 2 (ρ + p)V dT
T
T (ρ + p)V
+ const
= d
T
dS =
(2.139)
Bis auf eine additive Konstante ist die Entropie in einem mitschwimmenden Volumenelement
also durch
(ρ + p) 3
S=
a
(2.140)
T
gegeben.
2
38
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Wir definieren die Entropiedichte s als
s=
ρ+p
T
(2.141)
Sie ist durch relativistische Teilchen dominiert, so dass aus Gl. (2.127) folgt:
s=
2π 2
g∗S T 3 ,
45
wobei
g∗S =
X
gi
Bosonen i
Ti
T
3
3
Ti
7 X
gi
+
8 Fermionen i
T
(2.142)
(2.143)
(hier geht die Summe nur über Teilchen im thermischen Gleichgewicht).
Da s ∝ a−3 können wir die Gesamtzahl der Teilchen in einem mitschwimmenden Volumenelement, N = n a3 , durch s ausdrücken:
n
(2.144)
N≡
s
Wenn keine Prozesse auftreten, die Teilchen vernichten oder erzeugen, ist N konstant. Im relativistischen Fall (T m, |µ|) gilt:
45 ζ(3)g
N=
(2.145)
2π 4 g∗S
Für nichtrelativistische Teilchen (T m) findet man:
m 3/2
45g
−(m − µ)
N= √
exp
,
(2.146)
T
4 2π 5 g∗S T
sie verschwinden also exponentiell bei fallender Temperatur.
Ein wichtiger Fall ist die Baryonenzahl NB :
NB =
nb − nb̄
nB
=
,
s
s
(2.147)
die in Abwesenheit baryonenzahlverletzender Wechselwirkungen in einem mitschwimmenden
Volumenelement konstant ist.
Aus der Entropieerhaltung (2.140) folgt mit Hilfe von Gl. (2.142), dass g∗S T 3 a3 während der
Expansion des Universums konstant bleibt. Das bedeutet, dass die Temperatur wie
T ∝
1
1/3
g∗S a
(therm. Gleichgewicht)
(2.148)
abfällt.
1/3
Wenn g∗S konstant ist, erhalten wir das vertraute Ergebnis T ∝ a−1 . Der Faktor g∗S tritt auf,
weil Teilchensorten, die nichtrelativistisch werden und verschwinden, ihre Entropie an die übrigen relativistischen Teilchen abgeben.
2
39
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Dies gilt nicht für masselose Teilchen, die vom thermischen Gleichgewicht entkoppeln (Γ . H)
und deshalb nicht an dem Entropietransfer teilnehmen. Für sie gilt ab der Entkopplung T ∝ a−1 ,
wie am Ende von Kap. (2.1.2) gezeigt wurde. Konkret:
ae
T = Te
(masselos, entkoppelt)
(2.149)
a
wenn sie bei der Temperatur Te entkoppeln.
Zum Schluss betrachten wir massive, nichtrelativistische Teilchen, die bei Te , ae etc. entkoppeln. Ihr Impuls wird mit |p| ∝ a−1 rotverschoben, so dass für die kinetische Energie
a 2
e
E kin = Eekin
(2.150)
a
gilt.
Da die Verteilungsfunktion f (E kin /T ) invariant bleibt (Kap. 2.1.2), folgt
a 2
e
(massiv, entkoppelt)
(2.151)
T = Te
a
Wir fassen zusammen, dass für Teilchen, die beim Entkoppeln entweder sehr relativistisch
(m Te ) oder sehr nichtrelativistisch (m Te ) sind, die Gleichgewichtsverteilung erhalten
bleibt und die Temperatur mit entweder T ∝ a−1 (relativistisch) oder T ∝ a−2 (nichtrelativistisch) abfällt. Wenn m ≈ Te haben die Teilchen in der Regel keine Gleich-gewichtsverteilung.
2.3.4
Neutrino-Entkopplung
Das Ausfrieren relativistischer Teilchen vom thermischen Gleichgewicht kann gut anhand der
Neutrino-Entkopplung demonstriert werden. Bei sehr hohen Temperaturen werden sie durch
ν̄ν ↔ e+ e− usw. im thermischen Gleichgewicht gehalten.
Der Streuquerschnitt ist σ ∼ G2f T 2 (Gl. 2.125) mit der Fermikonstanten Gf , und ihre Anzahldichte skaliert mit n ∝ T 3 .
Damit ist die Wechselwirkungsrate
Γ = nσ|v| ∼ G2f T 5
(2.152)
und mit (2.64) (H 2 Mpl2 ∼ T 4 ) ist
Γ
G2f T 5
∼ 2
∼
H
T /Mpl
T
1 MeV
3
.
(2.153)
Bei T ∼ 1 MeV entkoppeln die (leichten) Neutrinos also vom kosmischen Plasma. Danach fällt
die Neutrinotemperatur mit Tν ∝ a−1 ab.
Kurz nach der ν-Entkopplung fällt die Temperatur unter die Ruhemasse von e+ -e− -Paaren,
deren Entropie an die Photonen übertragen wird (aber nicht an die entkoppelten Neutrinos!).
Wie verhält sich die effektive Anzahl der Freiheitsgrade für die Berechnung der Entropie g∗S ?
Für T & me± sind Photonen (g = 2) und e± -Paare (g = 4) im thermischen Gleich-gewicht,
entsprechend ist g∗S = 11/2 (Gl. 2.143).
2
40
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Bei T . me± bleiben nur die Photonen übrig, also ist g∗S = 2.
Für Teilchen im thermischen Gleichgewicht ist g∗S T 3 a3 erhalten (2.148), deshalb muss T 3 a3
nach der e± -Vernichtung um einen Faktor
g∗S (vorher)
11
=
g∗S (nachher)
4
(2.154)
größer sein als vorher.
Damit können wir die heutige (a = 1) Temperatur der Neutrino-Hintergrundstrahlung aus derjenigen der Photonen-Hintergrundstrahlung (T ∼ 2.74 K) berechnen:
1/3
T
11
=
= 1.4
(2.155)
Tν
4
und somit ist Tν ∼ 1.96 K.
2.3.5
Das Baryonen-Photonen-Verhältnis η
Das Verhältnis der Anzahldichten von Baryonen und (Hintergrunds-)Photonen im Universum
ist ein fundamentaler kosmologischer Parameter. Er hängt, wie wir hier sehen werden, mit der
Entropiedichte des Universums zusammen.
Wir definieren
nB
η=
(2.156)
nγ
mit der Baryonen-Anzahldichte nB (vgl. 2.147) und der Photonen-Anzahldichte nγ (2.128).
Aus Gl. (2.142) für die Entropiedichte und Gl. (2.128) erkennt man, dass
s = 1.8g∗S nγ
(2.157)
ist und damit
η = 1.8g∗S
n B
s
= 1.8g∗S NB
(2.158)
(siehe 2.147).
Wie wir in Kap. (2.3.4) gesehen haben, wächst z.B. während der e± -Vernichtung die Zahl der
Photonen in einem mitschwimmenden Volumenelement Nγ = a3 nγ um den Faktor 11/4 an
(weil g∗S um diesen Faktor absinkt), und somit ist auch η nicht konstant. Später ist allerdings
g∗S = const und damit ist
n B
= const
(2.159)
η∼7
s
Wie man leicht mit Hilfe von Gl. (2.74) und (2.86) ausrechnen kann, hängt die heutige Baryonendichte ΩB (der Anteil von Baryonen am heutigen Ω0 ) folgendermaßen mit η zusammen:
η ∼ 2.68 × 10−8 ΩB h2
(2.160)
2
41
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Da ΩB maximal O(1) sein kann, sehen wir schon hier, dass die Entropie pro Baryon s/nB & 109
sehr hoch ist (zum Vergleich: in der Sonne ist nγ /nB ∼ 10−2 ). Das ist ausschlaggebend für die
Ergebnisse der primordialen Nukleosynthese, mit deren Hilfe η sehr genau bestimmt werden
kann.
2.4
2.4.1
Primordiale Nukleosynthese (BBN)
Nukleares Statistisches Gleichgewicht (NSE)
Ein wichtiges Konzept für die BBN und die nukleare Astrophysik im Allgemeinen ist das nukleare statistische Gleichgewicht (NSE).
Nach (2.126) gilt für die Anzahldichte des Isotops A(Z) mit der Massenzahl A und Kernladung
Z im kinetischen Gleichgewicht:
3/2
mA T
µA − m A
nA = gA
exp
(2.161)
2π
T
Im chemischen Gleichgewicht (schnelle Umwandlung von n und p in A(Z) im Vgl. mit H)
stehen zudem die chemischen Potentiale im Zusammenhang:
µA = Zµp + (A − Z)µn
(2.162)
Da Gl. (2.161) auch für nn und np gilt, kann man dann exp(µA /T ) durch nn und np ausdrücken.
Schließlich findet man:
BA
Z A−Z
nA ∝ np nn exp
(2.163)
T
mit der nuklearen Bindungsenergie von A(Z),
BA ≡ Zmp + (A − Z)mn − mA
(2.164)
Der sog. Massenanteil XA dient als relatives Maß für den Beitrag von A(Z) an der Gesamtmasse
der Baryonen:
X
nA A
XA ≡
Xi = 1
(2.165)
nN
i
Dabei wird nA A auf die Nukleonendichte
nN = nB = nn + np +
X
(nA A)i
(2.166)
i
normiert.
Mit Hilfe der Definition von η, Gl. (2.156), erhalten wir für Isotope im NSE:
BA
A−1
Z
A−Z
exp
XA ∝ η
Xp Xn
T
(2.167)
Damit ist klar, dass die Häufigkeit schwerer Isotope durch die hohe Entropie des Universums
(d.h. wegen η 1) stark unterdrückt war. Unterhalb von einigen MeV wären schwerere Kerne
energetisch günstiger, aber die Entropie bevorzugt freie Nukleonen.
2
42
HOMOGENE KOSMOLOGIE
2.4.2
Vorbedingungen (T 1 MeV, t 1 s)
Da praktisch alle vorhandenen Neutronen zu 4 He verbraucht werden, ist das Verhältnis von p
und n zur Zeit der primordialen Nukleosynthese (BBN) besonders wichtig.
n und p gehen durch die schwache Wechselwirkung ineinander über:
n ↔ p + e− + ν̄e
νe + n ↔ p + e−
e+ + n ↔ p + ν̄e
(2.168)
(2.169)
(2.170)
(2.171)
Im chemischen Gleichgewicht ist
nn
np
Ggw
Q
= exp −
T
(2.172)
mit
Q ≡ mn − mp = 1.293MeV
(2.173)
Um herauszufinden, wann dieses Verhältnis ausfriert, benötigen wir die Wechselwirkungsrate
Γpe→νn . Sie ähnelt derjenigen für Neutrinostreuung Gl. (2.152) und verhält sich für kleine und
große Temperaturen wie:
Q
(T /me )3
exp −
Γpe→νn =
,
T Q, me
τn
T
7π
=
(1 + 3ga2 ) G2f T 5
(2.174)
,
T Q, me
60
wobei τn ≈ 10.5 min/ ln(2) die mittle Zerfallszeit freier Neutronen und ga ≈ 1.26 die Axialvektorkopplung von Nukleonen bezeichnen.
Vergleicht man Γ wieder mit der Expansionsrate H ∼ 5.5T 2 /Mpl (2.131), findet man
3
T
Γ
∼
(T & me )
(2.175)
H
0.8 MeV
d.h. bei Temperaturen oberhalb von ca. 0.8 MeV befinden sich n und p im Gleichgewicht
(2.172).
Kurz vor dem Beginn der BBN finden wir also folgende Situation:
1. Das Universum ist strahlungsdominiert (w = 1/3).
2. Die relativistischen Freiheitsgrade sind: e± , γ und drei leichte (m . 1 MeV) Neutrinos.
Das ergibt g∗S ∼ g∗ = 10.75.
3. Die leichten Elemente sind im NSE, aber mit sehr kleinen Häufigkeiten aufgrund des kleinen Wertes von η (Gl. 2.167):
Xn ≈ Xp = 0.5
XA≥2 ≤ 10−11
(2.176)
(2.177)
2
43
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Abbildung 11: Der Verlauf des NeutronenProtonen-Verhältnisses nach dem Einfrieren im Vergleich zum Gleichgewichtswert
(aus Kolb & Turner, S. 90).
2.4.3
Ausfrieren der Neutronen und Protonen (T ≈ 0.8 MeV, t ≈ 1 s)
Kurz nachdem die Neutrinos ausgefroren sind (Kap. 2.3.4) und die γ-Temperatur durch Vernichtung der e± -Paare um den Faktor (11/4)1/3 erhöht wurde, frieren die schwachen Wechselwirkungen ein, die n und p im Gleichgewicht gehalten hatten (Kap. 2.4.2).
Gl. (2.172) liefert bei dieser Temperatur den Wert
1
nn
≈
np
6
(2.178)
Nach dem Ausfrieren bleibt dieser Wert nicht konstant, weil freie Neutronen mit der Halbwertszeit ln(2)τn zerfallen (Abb. 11).
2.4.4
Nukleosynthese (T ≈ 0.3 . . . 0.1 MeV, t ≈ 1 . . . 3 min)
Zu diesem Zeitpunkt ist das n/p-Verhältnis auf ca. 1/7 abgefallen. Zum Vergleich, der Gleichgewichtswert aus Gl. (2.172) bei T = 0.3 MeV ist 1/74. Das macht deutlich, wie sensitiv die
Vorhersagen der BBN auf den Zeitpunkt des Ausfrierens von n und p sind.
Bei T ≈ 3 MeV ist im NSE X4 → 1. Dieser Wert kann jedoch nicht erreicht werden, weil
die zur Produktion von 4 He nötigen leichteren Isotope (D, 3 H und 3 He) nicht in ausreichendem
Maße zur Verfügung stehen. Das liegt u.a. an ihrem geringen NSE-Maseanteil von Xi . 10−12 .
Erst bei T ≈ 0.1 MeV wird das Deuterium-Nadelör durchbrochen und praktisch alle noch
vorhandenen Neutronen werden zu 4 He gebunden. Der resultierende Masseanteil von He kann
2
44
HOMOGENE KOSMOLOGIE
deshalb leicht abgeschätzt werden:
4n4
nN
4(nn /2)
=
nn + np
2(nn /np )
=
1 + (nn /np )
1
=
4
X4 ≈
(2.179)
Obwohl die Bindungsenergien der höheren α-Elemente (12 C, 16 O,usw.) größer sind als die von
4
He werden diese Isotope praktisch nicht produziert, weil die Coulomb-Abstoßung die jew. Produktionsraten minimiert (außerdem fehlt die triple-α-Reaktion wegen der geringen Nukleonendichte).
Es werden Spurenanteile von 7 Li produziert (X7 ≈ 10−9 ), sowie geringe Mengen an unverbranntem D und 3 He hinterlassen (X2,3 ≈ 10−4 ).
2.4.5
Beobachtungen und Interpretation
Was können wir aus der BBN lernen? Aus der obigen Diskussion wird klar, dass die Vorhersagen der BBN für die primordialen Häufigkeiten von D, 4 He und 7 Li besonders sensitiv auf
folgende physikalischen Parameter sind:
√
1. g∗ : Da H ∝ g∗ T 2 führt z.B. eine Erhöhung von g∗ bei gleicher Temperatur zu schnellerer Expansion, und damit zu einem früheren Einfrieren von n und p (Γ ∝ T 5 ∼ H
1/6
Teinfrier ∝ g∗ ).
Damit ist das n/p-Verhältnis beim Ausfrieren höher (vgl. Gl. 2.172) und somit auch später
bei der Nukleosynthese. Dies erhöht den vorhergesagten Wert von 4 He, da alle vorhandenen n verbraucht werden (Gl. 2.179).
Dieser Zusammenhang erlaubte Hoyle & Tayler schon 1964, die Anzahl leichter Neutrinosorten auf Nν ≤ 4 festzulegen, lange vor den Beschleunigerdaten über die Z 0 -Zerfallsbreite.
Auch heute noch ist die BBN eine wichtige Hürde für neue Theorien, die zusätzliche
leichte Teilchen vorhersagen.
2. η ∝ ΩB h2 : Im NSE ist XA ∝ η A−1 für die Häufigkeit des Isotops A(Z). Deshalb führt ein
höheres η zu früherer und verstärkter Produktion von D, 3 H und 3 He und damit früherer
Nukleosynthese von 4 He, d.h. bei etwas höherem n/p.
X4 ist nicht besonders sensitiv auf Änderungen von η, weil sich das n-p-Verhältnis zu
dieser Zeit nicht mehr stark ändert. Aber die Mengen an übriggelassenen D und 3 He sinken
stark mit steigendem η aufgrund der η-Abhängigkeit der Reaktionsraten, die diese Isotope
zu 4 He verbrennen.
2
HOMOGENE KOSMOLOGIE
45
Abbildung 12: Vergleich von Theorie und
Beobachtung der primordialen Isotope D,
3
H, 3 He und 4 He. Der vertikale Balken
zeigt den Bereich des Überlapps.
Insbesondere jüngste Messungen von D-Absorptionslinien in weit entfernten Wasserstoffwolken, die von Quasaren durchleutet werden, lassen eine genaue Analyse von η und damit
von ΩB h2 zu (Abb. 12).
Das Ergebnis ist erstaunlich konsistent mit völlig unabhängigen Resultaten aus dem CMBRAnisotropiespektrum!
Die Diskrepanz zwischen dem Wert für die Baryonendichte, der aus der primordialen Nukleosynthese folgt,
ΩB ≈ 0.05
(2.180)
und der gesamten Materiedichte von Ωm ≈ 0.3 (z.B. aus Röntgenbeobachtungen von Galaxienhaufen) ist das stärkste Argument für die Existenz von ca. Ωdm ≈ 0.25 an nichtbaryonischer,
nichtrelativistischer Materie, der sog. dunklen Materie.
Die Beobachtung der Produkte der primordialen Nukleosynthese ist mit zahlreichen systematischen Unsicherheiten behaftet, die stark von der späteren Evolution der jew. Häufigkeiten
abhängen. Doch dabei wurden in den letzten Jahren durch Benutzung der 10m-Klasse optischer
Teleskope (Keck, VLT) und des HST große Fortschritte erzielt, weil man in immer weiteren
Entfernungen suchen kann (und damit zu früheren Zeiten).
Hier ein kurzer Überblick:
Deuterium:
Das “Baryometer” D wird heutzutage hauptsächlich in entfernten (z & 3) Wasserstoffwolken, den sog. “Lyman- α-Wolken”, beobachtet. Auch hier sind die Messungen sehr
2
46
HOMOGENE KOSMOLOGIE
kompliziert, weil die Kernmassenverschiebung der D-Absorptionslinie gegenüber der HLinie nicht einfach von einer Dopplerverschiebung der H-Linie zu unterscheiden ist. Aber
zumindest hat man nicht das Problem der galaktischen D-Messungen, dass D in der Vorhauptreihenentwicklung von Sternen in 3 He umgewandelt wird.
Helium-4:
Auch hier muss man in möglichst großer Entfernung suchen, um Verschmutzung durch
stellares 4 He zu vermeiden. Man benutzt hierfür die Emissionslinien der optischen Rekombinationslinien von 4 He in metallarmen extragalaktischen H II-Regionen.
Helium-3:
3
He+ wird ebenfalls in metallarmen H II-Regionen beobachtet, allerdings mit Radioteleskopen (das äquivalent zur 21 cm-Linie von H). 3 He wird in massereichen Sternen zu
4
He verbrannt, in massearmen Sternen kann unvollständiges H-Brennen dagegen zu einer
relativen Anreicherung von 3 He führen.
Lithium-7:
7
Li wird in der Sternentwicklung abgereichert, während Spallation bei der Kollision von
kosmischer Stahlung mit der interstellaren Materie 7 Li produziert werden kann. Man beobachtet es am besten in den Absorptionsspektren von heißen, metallarmen Pop II Halosternen. Die genaue Modellierung dieser Sterne und ihrer Atmosphären ist hierfür besonders
wichtig.
2.5
Das Ende der Jugend: von der Strahlung zum Galaxienstaub
2.5.1 Übergang von Strahlungs- zu Materiedominanz
Als das Universum ca. 1000 Jahre alt war, begann die Materie (bzw. “Staub”, also alles Nichtrelativistische) aufgrund ihrer langsameren Rotverschiebung die Gesamtenergiedichte zu dominieren.
Damit begann auch die Epoche der Strukturentstehung durch Gravitationskollaps von Dichtefluktuationen. Um diesen Zeitpunkt abzuschätzen, müssen wir die heutigen Energiedichten
von relativistischer und nichtrelativistischer Materie ausrechnen und blauverschieben, bis sie
identisch sind.
Da heute die Photonen- und Neutrinotemperaturen unterschiedlich sind (Kap. 2.3.4), unterscheiden sich auch g∗ und g∗S . Mit Hilfe von Gl. (2.127) und Gl. (2.143) finden wir
g∗ (heute) = 3.36
,
g∗S (heute) = 3.91
(2.181)
Daraus lassen sich die heutige Strahlungs-Energiedichte (Photonen + 3 Neutrinosorten) und ihr
Anteil an Ω berechnen (Gl. 2.127,2.64):
ρr ≈ 8 × 10−34 g cm−3
Ωr h2 ≈ 3.24 × 10−5
(2.182)
2
47
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Auf der anderen Seite ist die heutige Energiedichte in nichtrelativistischer Materie, ausgedrückt
durch ihren Anteil an Ω:
ρm ≈ 1.9 × 10−29 Ωm h2 g cm−3
(2.183)
Da ρr ∝ a−4 und ρm ∝ a−3 ist (mit T0 ∼ 2.75 K)
ρr
1
=
= 1 + zr→m ≈ 2.3 × 104 Ωm h2
ρm
aeq
Teq = T0 (1 + zeq ) ≈ 5.5 Ωm h2 eV
2 −1 −1/2
H0 Ωm (1 + zeq )−3/2
teq ≈
3
≈ 1.4 × 103 (Ωm h2 )−1/2 Jahre
(2.184)
(Für schnelle Abschätzungen kann man mit h ' 0.7 und Ωm ' 0.3 rechnen.)
Der Hubbleparameter in der Zeit des Übergangs folgt aus der Friedmann-Gleichung:
H(a) = H0 (Ωr a−4 + Ωm a−3 )1/2
aeq 1/2
1/2 −3/2
= H0 Ωm
a
1+
a
Der mitbewegte Hubbleradius a−1 dH , mit dH aus Gl. (2.85), ist dann
a−1 dH =
(2.185)
1
aH(a)
aeq −1/2
1/2
= H0−1 Ω−1/2
a
1
+
m
a
Zur Zeit des Materie-Strahlungsübergangs (a = aeq ) wird dies zu
H0−1 −1/2 1/2
√ Ωm aeq
2
' 12 (Ωm h)−1 h−1 Mpc .
(2.186)
a−1
eq dH (aeq ) =
(2.187)
Diese Längenskala spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der Strukturentstehung, wie wir
später sehen werden.
2.5.2
Rekombination und Photonen-Entkopplung
Eine weitere entscheidende Phase im Leben des jungen Universums war die Entkopplung der
Photonen von der Materie. Seitdem bewegen sich Photonen praktisch frei durch das Universum.
Damit begann gewissermaßen die “dunkle Zeit” der Kosmologie, die erst mit der Entstehung
der ersten Sterne endete.
Wie gehabt, vergleicht man die Wechselwirkungsrate Γγ mit der Expansionsrate H, um den
Zeitpunkt der Entkopplung zu berechnen. In diesem Fall wird die Wechselwirkung von Photonen mit Materie durch Thomsonstreuung an freien Elektronen mit der Anzahldichte ne dominiert:
Γγ ≈ ne σT
,
σT = 6.65 × 10−25 cm2
(2.188)
2
48
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Abbildung 13: Während der Rekombination bildeten sich Wasserstoff- und Heliumatome aus den Atomkernen und freien Elektronen. Anschließend konnten sich Photonen praktisch ungehindert ausbreiten.
Damit ist klar, dass zur Zeit der Rekombination der Elektronen und Nukleonen zu Atomen die
Anzahldichte ne , und damit Γγ , praktisch verschwanden. Liefe dieser Prozess im thermischen
Gleichgewicht ab, könnte er durch die Sahagleichung Gl. (2.189) beschrieben werden.
Genauer gesagt, ne = nb Xe wobei die Ionisationsrate Xe im thermischen Gleichgewicht durch
die Saha-Gleichung gegeben ist:
3/2
1 − Xe
T
Be
∝η
exp
(2.189)
2
Xe
me
T
Die Herleitung von Gl. (2.189) verläuft genau wie beim NSE (Kap. 2.167), im Exponentialfaktor steht diesmal natürlich die Bindungsenergie von Wasserstoff, Be = 13.6 eV.
Mit Gl. (2.156) und Trek = T0 (1 + zrek ) findet man, dass die Rekombination ungefähr bei der
Rotverschiebung
zrek ≈ 1300
(2.190)
stattfand.
Dies entspricht
Trek = T0 (1 + zrek ) ≈ 3575K ≈ 0.3eV
(2.191)
Trek ist fast eine Größenordnung kleiner als Be aufgrund der kleinen Vorfaktoren in Gl. (2.189).
Damit kann man schließlich die Zeit und Temperatur der Photonen-Entkopplung bestimmen,
definiert wie immer durch Γγ ∼ H. Für eine genaue Rechnung ist hier allerdings das Lösen der
Boltzmann-Gleichung unvermeidbar.
Tatsächlich liefert die Sahagleichung zwar eine Beschreibung der anfänglichen Abweichungen
von der vollständigen Ionisierung, aber schon bald darauf werden Nichtgleichgewichtseffekte
wichtig. Einer davon ist die Tatsache, dass die Rekombinationsphotonen selbst so energetisch
sind, dass sie sofort wieder zu Ionisation führen. Der Schlüssel sind verbotene 2-PhotonenÜbergange, die niederenergetische Photonen erzeugen. Sie sind sehr langsam und führen zu
einer starken Abweichung von den Vorhersagen der Sahagleichung.
3
49
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
Durch Lösung der Ratengleichungen
R findet man das interessante Ergebnis, dass die optische
Tiefe für Thomsonstreuung, τ = ne σT dr, unabhängig von den kosmologischen Parametern
ist:
z 14.25
τ (z) = 0.37
(2.192)
1000
τ (z) variiert stark mit der Rotverschiebung. Daraus folgt, dass die Verteilungsfunktion für die
Rotverschiebung, bei der die Photonen das letzte Mal gestreut haben, P (z)dz ∼ exp(−τ )dτ ,
ein scharfes Maximum besitzt. Sie lässt sich gut durch eine Gaußverteilung mit
hzrek i = 1100
,
σz = 80
(2.193)
fitten (vgl. Tabelle 2).
Das ist die sog. letzte Streufläche, deren Struktur man heute in der Hintergrundstrahlung beobachten kann.
3
Inhomogene Kosmologie
3.1
Überblick
Das heutige Universum ist auf kleinen Skalen sehr inhomogen (Galaxien, Sterne, Planeten,
. . . ). Nur auf Skalen & 100 Mpc ist das Universum “glatt” und kann durch ein FRW-Modell
beschrieben werden.
Die mittlere Dichte von Galaxien ist ca. 105 mal, diejenige von Galaxienhaufen ca. 103 mal
höher als die mittlere Dichte des Universums ρ̄.
Die Temperatur-Anisotropien in der kosmischen Hintergrundstrahlung haben eine Amplitude
von ca. 10−4 , und die Dichteschwankungen sind von der gleichen Größenordnung. Zur Zeit der
Rekombination (T ≈ 0.26 eV, a ≈ 10−3 ) als die kosmische Hintergrundstrahlung “frei” wurde
war das Universum offensichtlich wesentlich homogener als heute.
Wie hat sich das Universum vom damaligen Zustand in den heutigen entwickelt? Das folgende
Bild ist heute das allgemein anerkannte Standard-Szenario:
• Kleine, primordiale Dichtestörungen wachsen durch die Gravitations- (Jeans)-Instabilität
zu den heutigen Galaxien, Haufen, etc. an, nachdem sie “in den Horizont eintreten”,
d.h. nachdem ihre Ausdehnung kleiner wird als die Horizontlänge (siehe Abb. 14).
• Dichtestörungen stoßfreier Materie (kalte dunkle Materie (CDM)) beginnen anzuwachsen, sobald das Universum materiedominiert ist. Heiße dunkle Materie (z.B. leichte Neutrinos) ist zu diesem Zeitpunkt noch relativistisch, so dass die Störungen “ausgewaschen”
werden, im Widerspruch zu den Beobachtungen.
• Baryonische Inhomogenitäten können erst nach der Rekombination anwachsen, weil sie
vorher an das Photonengas gekoppelt sind
ihre Jeanslänge ist größer als der Horizont.
3
50
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
Abbildung 14:
Physikalische Größe
λphys ∝ a einer Störung im Vergleich zum
Hubbleradius H −1 ∝ an/2 (Kap. 2.2).
Nach dem “Break Away”, d.h. wenn die
Störung nichtlinear wird und sich von der
kosmischen Expansion abkoppelt, bleibt
λphys praktisch konstant (aus Kolb &
Turner, S. 326).
• Die “Anfangsdaten” der Strukturentstehung müssen also zum Zeitpunkt der Materiedominanz spezifiziert werden. Ein solches Modell besteht aus einer Wahl der Komposition des
Universums (z.B. ΩCDM , Ωb , Ων , ΩΛ , . . . ) sowie des Spektrums und der Art (Gauß/nichtGauß, adiabatisch/nicht-adiabatisch) der Störungen.
• Die Komposition kann durch verschiedene Techniken gemessen werden (CMBR, kosmologische Standardkerzen, Galaxienverteilung,. . . ), die Eigenschaften der Störungen folgen
aus dem Inflationsszenario und müssen natürlich mit den Messungen konsistent sein.
Die nächsten Kapitel über Strukturentstehung werden wie folgt strukturiert sein:
1. Auf Skalen kleiner als die Horizontskala genügt eine Newtonsche Behandlung der Gleichungen. Deshalb werden wir die (linearisierte) Newtonsche Dynamik kleiner Störungen
zuerst für den statischen und anschließend für den expandierenden Hintergrund herleiten. Aus dieser sog. Jeans-Analyse lernt man, wann und wie schnell die Fluktuationen
anwachsen, nachdem sie in den Horizont eingetreten sind.
2. Durch Berechnen der baryonischen Jeansmasse stellt man fest, dass baryonische Fluktuationen erst nach der Rekombination anfangen können, zu wachsen.
3. Störungen auf kleinen Skalen werden durch stoßfreie und diffusive Dämpfung am Anwachsen gehindert. Die jeweiligen Skalen können relativ einfach abgeschätzt werden.
4. Für Skalen jenseits des Horizonts (bzw. Hubbleradius) sowie zum Vergleich mit den von
der Inflation produzierten Störungen ist die relativistische Störungstheorie notwendig.
Diese wird kurz vorgestellt und die wesentlichen Resultate zusammengefasst.
3
51
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
5. Schließlich läßt sich das Störungsspektrum für die verschiedenen kosmologischen Modelle skizzieren und mit den Beobachtungen vergleichen.
3.2
3.2.1
Newtonsche Störungsanalyse der Jeans-Instabilität
Der Dichtekontrast
Der Dichtekontrast ist ein dimensionsloses Maß für die Amplitude einer Störung:
δρ(x)
ρ̄
ρ(x) − ρ̄
=
ρ̄
δ(x) ≡
(3.1)
Dabei ist x die mitbewegte Ortskkordinate.
Da wir an der Dynamik kleiner (linearer) δs interessiert sind und sich lineare Differentialgleichungen einfach in Fourierkomponenten zerlegen lassen, brauchen wir die Fouriertransformierte von δ:
Z
V
δ(x) =
δk e−ikx d3 k
3
(2π)
V
Z k
1
δ(x)eikx d3 x
(3.2)
δk =
V
V
Die mitbewegte Wellenzahl k = |k|, die oben eingeführt wurde, ist über den Skalenfaktor mit
der physikalischen Wellenzahl κ verbunden:
κ(t) =
k
a(t)
(3.3)
Genau wie x ist auch k zeitunabhängig. Man kann es als “Markierung” von Strukturen, die zu
einer bestimmten Zeit t die charakteristische (Wellen)länge
l = a(t) λ = a(t)
2π
k
(3.4)
haben, verstehen.
Bem.: Wir beschränken uns vorläufig auf den Newtonschen Fall. In der ART ist δ keine eichinvariante Grösse, d.h. man kann durch eine lokale Eichtransformation (xµ → xµ + µ ) immer
δ(x) = 0 erreichen. Mit diesen Feinheiten beschäftigen wir uns später.
3
52
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
3.2.2
Jeans-Analyse mit statischem Hintergrund
Sobald Inhomogenitäten ins Spiel kommen, werden Beschleunigungen durch Druckgradienten
wichtig, d.h. man betreibt Hydrodynamik. Die grundlegenden Gleichungen der Hydrodynamik
idealer Flüssigkeiten sind die Eulergleichungen, die die Masse- und Impulserhaltung wiederspiegeln:
∂ρ
+ ∇(ρv) = 0
∂t
∂v
1
+ (v∇)v = − ∇p − ∇φ
∂t
ρ
∆φ = 4πGρ
(3.5)
Die letzte Gleichung ist die natürlich die Poissongleichung für das Gravitationspotential φ (wie
gesagt, wir bleiben hier beim Newtonschen Fall). v bezeichnet die lokale Geschwindigkeit der
Flüssigkeit.
Die Euler- und Poissongleichungen sind gekoppelte partielle Differentialgleichungen für die
Variablen ρ, v und φ, wobei ρ und p durch die Zustandsgleichung verbunden sind (z.B. Gl.
2.52).
Insbesondere sind die Gleichungen nichtlinear durch den Trägheitsterm ((v∇)v) in der Impulsgleichung. Das führt zu der faszinierenden Komplexität der Lösungen (z.B. Turbulenz),
macht sie aber bis auf wenige (weitgehend langweilige) Ausnahmefälle analytisch unlösbar.
Um festzustellen, ob eine einfache Lösung (z.B. ρ, p =const, v = 0) stabil ist oder ob kleine Abweichungen sofort anwachsen, verwendet man die lineare Stabilitätsanalyse. Dabei
schreibt man:
ρ
p
v
φ
=
=
=
=
ρ + δρ
p + δp
v + δv
φ+Φ
(3.6)
Dabei werden die Störungen δρ, δp, δv und Φ als klein im Vergleich zu den Hintergrundwerten angenommen. Dann kann man die Gleichungen (3.5) als Taylorreihe schreiben, in der alle
Terme quadratischer und höherer Ordnung in den Störungen vernachlässigt werden (Linearisierung):
∂δρ
+ ρ(∇δv) = 0
∂t
∂δv
c2
= − s ∇δρ − ∇Φ
∂t
ρ
∆Φ = 4πGδρ
(3.7)
Die Größe cs in der linearisierten Impulsgleichung ist die adiabatische Schallgeschwindigkeit
3
53
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
(wir betrachten nur adiabatische Störungen):
1/2
∂p
cs =
∂ρ S=const
(3.8)
Wir nehmen außerdem an, dass es keine räumlichen Variationen der Zustandsgleichung gibt, so
dass
δp
c2s =
(3.9)
δρ
Gl. (3.7) kann zu einer einzigen linearen PDGl zweiter Ordnung für δρ umgeformt werden:
∂ 2 δρ
− c2s ∆δρ = 4πGρδρ
2
∂t
(3.10)
Ausgedrückt durch den Dichtekontrast (3.1) und angenommen, dass δ̄ρ = 0, lautet Gl. (3.10):
∂2δ
− c2s ∆δ = 4πGρδ
∂t2
(3.11)
Gl. (3.11) hat ganz offensichtlich die Form einer Wellengleichung. Aufgrund ihrer Linearität
läßt sie sich leicht mit dem Ansatz ebener monochromatischer Wellen lösen:
δ(r, t) = Ae−i(κr−ωt)
(3.12)
Die Frequenz ω muss dabei die Dispersionsrelation
ω 2 = c2s κ2 − 4πGρ
(3.13)
erfüllen.
Wenn ω imaginär ist, zeigt Gl. (3.12), dass exponentiell wachsende Moden existieren. Dies ist
gleichbedeutend mit einer Instabilität des Systems, in diesem Fall der Jeans-Instabilität. Reale
Frequenzen führen hingegen zu oszillierenden Moden, den Schallwellen.
Man sieht in Gl. (3.13), dass ω unterhalb einer kritischen Größe der Wellenzahl imaginär wird.
Dieser Wert wird Jeans-Wellenzahl genannt:
s
4πGρ
κJ =
(3.14)
c2s
Entsprechend ist die Jeanslänge definiert,
λJ =
2π
κJ
(3.15)
Störungen mit größerer Wellenlänge wachsen bzw. zerfallen exponentiell mit der sog. dynamischen Zeitskala,
1
τd ∼ √
(3.16)
4πGρ
3
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
54
Anhand von Gl. (3.16) findet man auch eine physikalische Interpretation der Jeans-Instabilität:
wenn die dynamische (oder Freifall-)Zeitskala einer Dichtestörung kleiner wird als die Schalllaufzeit, mit der die Druck-Rückstellkraft kommuniziert wird (τs ∼ λ/cs ), kollabiert die Störung.
Schließlich kann man die minimale Masse berechnen, die durch die Jeans-Instabilität kollabiert,
die sog. Jeansmasse. Es ist die Masse innerhalb einer Kugel mit dem Radius λJ /2:
3
4π λJ
MJ =
ρ
3
2
s
π 5 c6s
=
(3.17)
36 G3 ρ
Bem.: Die Eulergleichungen beschreiben Flüssigkeiten im lokalen thermischen Gleichgewicht,
d.h. solche mit lokalen Wechselwirkungen. Stoßfreie Medien, wie evtl. dunkle Materie aus
WIMPs oder MACHOs, sind im strikten Sinne keine Flüssigkeiten. Man kann aber zeigen,
dass die stoßfreie Dämpfung auch hier eine Jeans-Wellenzahl der Form (3.14) voraussagt, in
der die Schallgeschwindigkeit durch die Geschwindigkeitsdispersion ersetzt wird.
3.2.3
Jeans-Analyse mit expandierendem Hintergrund
Nach dieser Aufwärmübung wenden wir uns dem kosmologisch relevanten Fall zu, in dem
die Hintergrundlösung expandiert. Die zwei wesentlichen Unterschiede zur Betrachtung des
Jeansproblems in Kap. (3.2.2) sind:
1. Die Expansion des Hintergrunds führt eine neue Längen- bzw. Zeitskala ein: die Horizontskala H −1 . Weit innerhalb des Horizonts (l H −1 ) kann weiterhin mit Newtonscher
Gravitationstheorie gerechnet werden, außerhalb müssten wir im Rahmen der ART arbeiten relativistische Störungstheorie, deren Ergebnisse unten nur kurz zusammengefasst
werden.
2. Wir müssen die verschiedenen Komponenten des Universums sorgfältig unterscheiden.
Störungen in der Strahlungs-Energiedichte wachsen
ihre Jeanslänge immer
√ nicht an, weil
λJ ∼ H −1 ; Gl. (3.15)). Ähnliches
vergleichbar mit der Horizontlänge ist (cs = 1/ 3
gilt für Störungen in der baryonischen Komponente (H, He, etc.) vor der Rekombination
als Folge ihrer starken Kopplung an die Photonen durch Thomsonstreuung. Störungen
der (kalten) dunklen Materie hingegen können schon anwachsen, sobald das Universum
materiedominiert ist.
3
55
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
Wir machen den Ansatz (r(t) = a(t)x ist die physikalische Koordinate):
ρ = ρ(t0 ) a(t)−3
dr
ȧ
v =
= r = Hr
dt
a
4π
∆φ =
Gρ r
(3.18)
3
Dabei gehorcht H der Friedmann-Gleichung (man kann sie für ein ungestörtes, Newtonsches
Universum übrigens aus den Eulergleichungen (3.5) herleiten). Im inhomogenen Fall definieren
wir H wie folgt:
1
H = ∇v
(3.19)
3
mit
∂
1 X
ei
(3.20)
∇≡
a i
∂xi
Gl. (3.18) macht offensichtlich nur auf Skalen innerhalb des Horizonts Sinn, da die Geschwindigkeit für r ≥ H −1 größer als die Lichtgeschwindigkeit wird. Eine weitere Erinnerung, dass
Newtonsche Theorie nur innerhalb des Horizonts funktioniert.
Mit dem gleichen Störungsansatz (3.6) wie in Kap. (3.2.2) findet man folgende linearisierte
Gleichungen:
∂δρ
+ 3Hδρ + v∇δρ + ρ∇δv = 0
∂t
∂δv
c2s
+ Hδv + (v∇)δv = − ∇δρ − ∇Φ
∂t
ρ
(3.21)
∆Φ = 4πGδρ
Wir können Gl. (3.21) vereinfachen, indem wir von partiellen zu vollständigen Zeitableitungen,
sowie von der Orts- zur Wellenzahldarstellung (vgl. Gl. 3.2) übergehen. In unserem Fall gilt:
dδρ
∂δρ
δ̇ρ ≡
=
+ v∇δρ
(δv ebenso)
dt
∂t
k
∇ → −i
(3.22)
a
Des weiteren ersetzen wir wieder δρ durch δ, wobei wir jetzt natürlich berücksichtigen müssen,
dass ρ ∼ a−3 auch zeitabhängig ist und damit
ρ δ̇ = (δρ). + 3Hρ δ
(3.23)
Insgesamt wird (3.21) zu:
i
kvk = 0
a
i
i
+ Hvk = c2s kδk + kΦk
a
a
4πGρ 2
= − 2 a δk
k
δ̇k −
v̇k
Φk
(3.24)
3
56
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
Anders ausgedrückt,
δ̇k = −3 δHk
(3.25)
und, im flachen Universum,
2
2
k
δk = −
Φk
(3.26)
3 aH
Genau wie im statischen Fall kann das Gleichungssystem (3.24) in eine PDGl zweiter Ordnung
für δ umgeformt werden (ab hier lassen wir den Index k weg):
2 2
cs k
δ̈ + 2H δ̇ +
− 4πGρ δ = 0
(3.27)
a2
Sie lässt sich mit Bessel-Funktionen lösen, jedoch sind wir nur an einigen einfachen Grenzfällen
interessiert.
3.2.4
Eigenschaften der Lösungen
Statischer Grenzfall:
Wie erwartet, reduziert sich Gl. (3.27) zu (3.10) im Fall a =const. Ebenso sieht man, dass
die Jeans-Wellenzahl
kJ = a κJ
(3.28)
(vgl. 3.14) hier eine ähnliche Rolle spielt wie im statischen Fall.
Der Unterschied zwischen dem statischen und dem expandierenden Fall liegt im Auftreten
des Hubble-Dämpfungsterms 2H δ̇ im expandierenden Universum. Die Interpretation ist
einfach: Je schneller das Universum expandiert, desto stärker wird das Anwachsen von
Störungen gedämpft.
Baryonische Materie:
Es ist sinnvoll, die Jeansmasse (3.17) für Baryonen (d.h. Gas, aus dem Sterne, Galaxien,
etc. werden) getrennt zu betrachten:
3
4π π
MJB =
ρB
(3.29)
3
κJ
Wir können sie mit der baryonischen Horizontmasse vergleichen, d.h. der Masse an Baryonen, die sich zu einem gegebenen Zeitpunkt innerhalb des Horizonts (dhor ∼ t, Gl. 2.92)
befindet:
4π
MhorB =
ρB t3
(3.30)
3
wobei t aus Gl. (2.98) folgt.
Wegen t ∝ H −1 ∝ ρ−1/2 und κJ ∝ ρ1/2 (Gl. 3.14) hängt das Verhältnis der baryonischen
Jeans- und Horizontmassen praktisch nur von der Schallgeschwindigkeit ab:
MJB
∝ c3s
MhorB
(3.31)
3
57
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
Vor der Rekombination sind die Baryonen an die Photonen gekoppelt und “spüren” deren Druckkräfte, d.h. c2s = 1/3. Gl. (3.15) liefert in diesem Fall die Abschätzung , dass
λJ ∼ H −1
alle Sub-Horizontskalen sind stabil. Wenn man alle konstanten Faktoren
in (3.31) berücksichtigt, findet man, dass die baryonische Jeansmasse größer ist als die
baryonische Horizontmasse (MJB /MhorB ≈ 26). Das bedeutet, dass keine der Moden, die
einer Newtonschen Analyse zugänglich sind, instabil werden.
Baryonische Störungsmoden innerhalb des Horizonts gehorchen vor der Rekombination
näherungsweise der Bewegungsgleichung Gl. (3.27) mit vernachlässigtem Gravitationsterm:
c2 k 2
δ̈ + 2H δ̇ + s 2 δ = 0
(3.32)
a
Modenpaare mit entgegengesetztem k bilden stehende Wellen:
δk (t)eikx + δ−k (t)e−ikx = Ak cos(ωk t + αk ) cos(kx + βk ) .
(3.33)
Die räumlichen Phasen βk sind zufallsverteilt, im Gegensatz zu den zeitlichen Phasen αk ,
die in der Theorie der Inflation aus der Tatsache folgen, dass zum Eintritt in den Horizont
nur noch die anwachsenden Moden der Krümmungsstörung vorhanden sind.
Dies ist einer der Gründe, warum die Beobachtung kohärenter Oszillationen im CMBRLeistungsspektrum als starke Bestätigung der Inflationstheorie interpretiert wird.
Nach der Rekombination ist die Schallgeschwindigkeit der Baryonen mit der Temperatur
TB gegeben durch:
5 TB
3 m
5 T2
=
3 m Trek
c2s =
Im zweiten Schritt wurde in Gl. (3.34) TB durch
a 2
rek
TB = Trek
a
2
T
= Trek
Trek
(3.34)
(3.35)
ersetzt, weil nach der Rekombination TB ∝ a−2 während die Photonentemperatur T ∝ a−1
(Kap. 2.3.3). (Um genau zu sein, bleibt TB ∼ T bis z ∼ 100 durch freie Elektronen.)
In Zahlen ausgedrückt ist die baryonische Jeansmasse nach der Rekombination:
z 3/2
MJB ≈ 1.3 × 105 (ΩB h2 )−1/2
M
1100
Das ist ungefähr die Masse von Kugelsternhaufen.
(3.36)
3
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
58
Baryonische Störungen können also erst nach der Rekombination anfangen zu wachsen,
während CDM-Störungen schon vorher, mit Beginn der materiedominierten Phase, zu
wachsen beginnen. Sie fallen jedoch schnell in die Potentialmulden der dunklen Materie
und holen diese nach ein paar Hubblezeiten wieder ein.
Nach der Rekombination (z < zrek ) nimmt die Schallgeschwindigkeit der Baryonen schlagartig ab, so dass die Störungen kollabieren können. Dabei “fallen” sie in die Potentialmulden der dunklen Materie, deren Störungen schon früher (z = zeq , siehe weiter unten) zu
wachsen beginnen konnten. Kurze Zeit später hat der baryonische Dichtekontrast denjenigen der dunklen Materie “eingeholt”.
Bem.: Modelle ohne einen signifikanten Anteil an kalter dunkler Materie haben große Probleme, den heutigen Dichtekontrast baryonischer Materie zu erklären, weil der oben beschriebene
Effekt fehlt.
Kalte dunkle Materie:
Im Falle kalter (= nichtrelativistischer) dunkler Materie (z.B. WIMPs, MACHOs) können
wir den cs -Term in Gl. (3.27) vernachlässigen, weil p ρ bzw. cs 1 gilt.
• Materiedominierte Epoche (z < zeq ): Für ein flaches, materiedominiertes Universum
(H = 2/3t, ρ = (6πGt2 )−1 ) lautet Gl. (3.27):
4
2
δ̈ + δ̇ − 2 δ = 0
(3.37)
3t
3t
Gl. (3.37) hat eine wachsende und eine abfallende Lösung:
2/3
t
δ+ (t) = δ+ (t0 )
t0
∼ a(t)
−1
t
δ− (t) = δ− (t0 )
(3.38)
t0
wobei t0 eine (vorläufig beliebige) Anfangszeit ist. Zu späten Zeiten ist nur die wachsende Mode wichtig.
Wir sehen hier den wesentlichen Unterschied zur Jeans-Instabilität im statischen Hintergrund:
Die Expansion des Hintergrunds schwächt die Instabilität ab und führt zu algebraischem Anwachsen anstelle des exponentiellen Wachstums.
• Strahlungsdominierte Epoche
(z > zeq ): Betrachten wir den Fall mehrerer KompoP
nenten ρj , so dass ρ = ρj . Dann wird die Evolutionsgleichung für eine nichtrelativistische Komponente i zu
X ρj c2s,i k 2
δj = 0
(3.39)
δ̈i + 2H δ̇i + 2 δi − 4πGρ
a
ρ
j
3
59
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
Nehmen wir jetzt an, i stünde für die nichtrelativistische (= kalte) dunkle Materie
während der strahlungsdominierten Phase (also ρi ρ, cs = 0 und H = 1/2t). Aus
Gl. (3.39) folgt wenn die Stahlung homogen ist (δγ = 0; genauer: MJγ ist immer
O(Mhorγ ):
1
δ̈i + δ̇i = 0
(3.40)
t
Man sieht sofort, dass nur Störungen mit δ̇i (t0 ) 6= 0 wachsen können, und selbst diese
nur logarithmisch:
t
δi (t) = δi (t0 ) 1 + a ln
(3.41)
t0
Das Ergebnis ist also: Dichtestörungen auf Sub-Horizontskalen in der strahlungsdominierten Phase des frühen Universums wachsen nicht an.
Störungen außerhalb des Horizonts:
Hierfür benötigen wir die relativistische Störungstheorie, die in den folgenden Kapiteln
eingeführt wird. Ihre wichtigsten Ergebnisse lassen sich recht schnell zusammenfassen.
Man kann eine Größe Φk definieren, die sich genau wie die Potentialstörung in Gl. (3.24)
und Gl. (3.26) verhält, und folgendes zeigen:
Φk ist außerhalb des Horizonts nur eine Funktion von w, d.h. es ist konstant in Phasen mit
konstanter Zustandsgleichung.
(Das gleiche gilt übrigens für Φk innerhalb des Horizonts in der materiedominierten Phase, wie Sie selbst überprüfen können. Davon haben wir schon in Kap. (1.1.1) Gebrauch
gemacht!)
Aus Gl. (3.24) findet man durch Einsetzen von ρ(a) ∝ a−3(1+w) für die jeweilige Epoche:
δksh (a)
∝a
1+3w
=
a2
a
(strahlungsdominierte Phase)
(materiedominierte Phase)
(3.42)
für Störungen außerhalb des Horizonts (die abfallenden Moden verhalten sich immer wie
δ ∝ t−1 ).
In der materiedominierten Phase wachsen die Störungen für druckfreie Materie inner- und außerhalb des Horizont also gleich schnell an, während Subhorizontstörungen in der strahlungsdominierten Phase nicht wachsen sie werden gegenüber den Superhorizontstörungen um den
Faktor (aeintritt /aeq )2 unterdrückt.
3.3
3.3.1
Kosmologische Störungstheorie
Ansätze der kosmologischen Störungstheorie
Die Newtonsche Behandlung der Störungen wird für Skalen außerhalb des Horizonts (k . aH)
ungültig.
3
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
60
Da die kosmologischen Strukturen, die wir heute beobachten, alle irgendwann in den Horizont eingetreten sind, müssen wir ihre frühere Entwicklung mit Werkzeugen aus der ART
untersuchen.
Dies gilt insbesondere, wenn wir ihren Ursprung im sehr frühen Universum (z.B. in der
Inflation) verstehen wollen.
Es gibt, grob gesprochen, zwei verschiedene Methoden, dieses Problem anzugehen:
1. Metrische Störungstheorie:
Dieser Ansatz basiert auf einem globalen Koordinatensystem für die gestörte Raumzeit.
Die Störungen werden durch Funktionen in der Metrik parametrisiert:
ds2 = (1 + h00 ) dt2 + 2h0i dtdxi − a2 (t)(δij + hij )dxi dxj
(3.43)
Ignoriert man Photonendiffusion und Freemstreaming stoßfreier Teilchen, werden die Störungen im Energie-Impulstensor durch δρ, δp und δU µ = (0, v i ) definiert, wobei v i die 3Geschwindigkeit der Flüssigkeit im gewählten Koordinatensystem ist.
Die linearisierten Einsteingleichungen wurden zuerst von Lifschitz (1946) hergeleitet und
analysiert. Man findet, dass die folgenden Moden entkoppeln und unabhängig propagieren:
• δρ, δp und der rotationsfreie Anteil von v i
Skalarmoden.
• Der Rotationsanteil von v i , also die verallgemeinerte Vortizität
Vektormoden.
• Der spurfreie transverse Anteil von hij (Gravitationswellen)
Tensormoden.
Vortizität zerfällt mit der kosmischen Expansion (ersichtlich aus Gl. 3.24) und wird während
der Inflation nicht produziert. Wir werden sie ab jetzt ignorieren.
Tensormoden werden in manchen Inflationsmodellen in geringem Maße erzeugt, können
aber in absehbarer Zeit wahrscheinlich nicht nachgewiesen werden. Sie sind eichunabhängig.
Skalarmoden sind im wesentlichen für die Dichtestörungen verantwortlich, die die großskalige Struktur des Universums produzieren. Sie werden im Inflationsszenario von Quantenfluktuationen produziert und sind eichabhängig.
Die übrigen Freiheitsgrade von (3.43) müssen durch die Wahl einer Eichung (Kap. 3.3.2)
festgelegt werden.
Der metrische Formalismus wurde im Prinzip vollständig von Lifschitz (1946) in der
sog. synchronen Eichung ausgearbeitet. Dieser Ansatz wird u.a. in Kolb & Turner verwendet.
Die heute beliebteste Variante ist der sog. eichinvariante Formalismus, eingeführt von
Bardeen (1980) und weiterentwickelt u.a. von Kodama & Sasaki und Mukhanov (siehe
z.B. Mukhanov et al., Phys. Rep. 215, 203 (1992)). Hier werden Größen vermischt, die in
verschiedenen Eichungen definiert sind, und somit eichinvariante Gleichungen konstruiert.
3
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
61
2. Kovariante Störungstheorie:
Diese Methode wurde von Hawking (1966) eingeführt und wird u.a. von Liddle & Lyth
benützt. Hier wird kein globales Koordinatensystem eingeführt, sondern die die Tatsache ausgenützt, dass die hydrodynamischen Gleichungen entlang mitbewegter Weltlinien
sehr ähnlich den Newtonschen Eulergleichungen sind. Anschließend werden verschiedene
Weltlinien miteinander verglichen.
Für das qualitative Verständnis der Dichtefluktuationen, wie wir es hier benötigen, ist diese Methode wesentlich einfacher (siehe z.B. Liddle & Lyth). Sie erspart uns insbesondere
eine Menge allgemeinrelativister Formalitäten. Für quantitative Aussagen sowie die Behandlung von Diffusion, Freestreaming etc. ist die metrische Methode generell geeigneter,
aber eben auch umfangreicher.
3.3.2
Eichungen, Weltlinien und Hyperflächen
Im Gegensatz zur homogenen, isotropen FRW Raumzeit existiert für eine gestörte, anisotrope
Raumzeit kein ausgezeichnetes Kordinatensystem. Die einzige Anforderung ist, dass im Limes
verschwindender Störungen die RW-Metrik (2.23) erreicht wird. Die Wahl eines Koordinatensystems, das dieser Anforderung genügt, ist eine Eichung.
Jede Eichung besteht aus der Wahl von Raum- und Zeitkoordinaten. Entsprechend schneidet
man die Raumzeit in raumartige Hyperlfächen mit konstanter Zeit t (“slicing”) und reiht diese
an zeitartigen Weltlinien mit konstanter Ortskoordinate x auf (“threading”):
• Das Threading entspricht der Wahl einer Familie von Beobachtern. Mitbewegte Beobachter sind solche, in deren lokalem Inertialsystem die Geschwindigkeit der kosmischen
Flüssgkeit v verschwindet:
U µ = (1, 0, 0, 0)
(3.44)
Bei einer anderen Wahl von Beobachtern erhalten die relativistischen Eulergleichungen
nur Korrekturen zweiter Ordnung in v. Deshalb ist für Dichte- und Druckstörungen (i.A. für
skalare Störungen) das Threading irrelevant, und nur h00 in Gl. (3.43) bleibt relevant.
• Für das Slicing wählen wir hier mitbewegte Hyperflächen orthogonal zu den Weltlinien
mitbewegter Beobachter.
Als Ausnahme definieren wir später die Störungen des Inflatonfeldes auf räumlich flachen
Hyperflächen, da sie auf mitbewegten Hyperflächen verschwinden.
Die oben erwähnte synchrone Eichung entspricht der Wahl von Hyperflächen orthogonal
zu Geodäten (h00 = h0i = 0 in Gl. 3.43), die zu frühen Zeiten in mitbewegte Weltlinien
übergehen.
Störungen eines Skalars g werden von nun an mit δg(x, t) bezeichnet. Ihre Koordinaten können
mit denen der RW-Metrik identifiziert werden, da eine Berücksichtigung der Abweichungen
von RW von höherer als linearer Ordnung in den Störungen wäre (δg ist schon linear).
3
62
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
Bei gegebenem Slicing und Threading sind die Störungen als Abweichung von der Homogenität
definiert:
g(x, t) = g(t) + δg(x, t)
(3.45)
Sind sie einmal definiert, “leben” die Störungen in der ungestörten Raumzeit!
Für den Vergleich von Störungen, die auf verschiedenen Hyperflächen definiert sind, betrachtet
man die Transformation der Zeitkoordinaten:
t̃(x, t) = t + δt(x, t)
(3.46)
Die Störungen einer Größe g(t̃) sind auf den entsprechenden Hyperflächen orthogonal zu t =const
und t̃ =const definiert:
g(x, t̃(x, t)) = ḡ(t) + δg(x, t)
e
g(x, t̃) = ḡ(t̃) + δg(x,
t̃)
(3.47)
(3.48)
Setzt man Gl. (3.46) in Gl. (3.47) ein, entwickelt die linke Seite linear um t und setzt dann t = t̃,
um Hyperflächen mit gleichen ḡ zu verleichen, findet man:
e
δg(x,
t) = δg(x, t) − ġ δt(x, t)
3.3.3
(3.49)
Die Störungsgleichungen für mitbewegte Beobachter
Wir machen in den folgenden Kapiteln die Annahme, dass keine anisotropen Spannungen auftreten, d.h. dass die kosmische Flüssigkeit exakt ideal ist. Dies ist nur näherungsweise korrekt
und muss verallgemeinert werden, wenn Diffusions- und Freestreamingeffekte wichtig werden.
Die dynamischen Gleichungen auf mitbewegten Hyperflächen (orthogonal zu den Weltlinien
mitbewegter Beobachter) folgen wie in Kap. (2.1) aus der Energie-Impulserhaltung und den
Einstein-Gleichungen:
• Aus ∇µ T µ0 = 0 folgt die Kontinuitätsgleichung (2.51):
dρ
= −3H(ρ + p)
dτ
(3.50)
H ist lokal definiert durch Gl. (3.19), in der der ∇-Operator auf die Raumkoordinaten des
lokalen Intertialsystems wirkt. Die Zeitableitung ist bezüglich der Eigenzeit τ mitbewegter
Beobachter.
• Aus ∇µ T µi = 0 folgt die relativistische Eulergleichung:
a≡
dU
∇p
=−
dτ
ρ+p
(3.51)
a ist die lokale Beschleunigung durch den Druckgradienten. Gl. (3.51) ist nichts weiter als
die ART-Version des Newtonschen Gesetzes.
3
63
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
• Die Einstein-Gleichungen liefern die Raychaudhuri-Gleichung:
dH
4πG
1 ∆p
= −H 2 −
(ρ + 3p) −
dτ
3
3 ρ+p
(3.52)
Der Laplace-Operator ∆ ist wiederum im lokalen Inertialsystem definiert.
Gl. (3.52) geht im homogenen Fall (∆p = 0) in die Beschleunigungsgleichung des FRWModells Gl. (2.65) über. Zusammen mit der Kontinuitätsgleichung läßt sich, wie in Kap. (2.1)
gezeigt, die Friedmann-Gleichung (2.64) herleiten. Und das alles, ohne zuerst die globale
RW-Metrik eingeführt zu haben!
Wir betrachten jetzt wieder kleine Abweichungen vom homogenen und isotropen Hintergrund:
ρ(x, t) = ρ̄(t) + δρ(x, t)
p(x, t) = p̄(t) + δp(x, t)
H(x, t) = H̄(t) + δH(x, t)
(3.53)
(Kurz nach ihrer Definition lassen wir die Mittelungsstriche auch schon wieder weg).
Wie gesagt, leben lineare Störungen in der ungestörten Raumzeit. Deshalb können wir wieder
die physikalischen Koordinaten r = a(t)x einführen und H wie gewohnt durch ȧ/a ausdrücken.
Die Zeitkoordinate t ist konstant auf mitbewegten Hyperflächen – das definiert die mitbewegte Eichung. t ist in der Regel nicht identisch zur lokalen Eigenzeit τ , weil die mitbewegten
Beobachter durch Druckgradienten beschleunigt werden und sich deshalb nicht auf Geodäten
bewegen (das wäre die synchrone Eichung).
Mit anderen Worten, die Eigenzeit entwickelt sich zwischen den Flächen t =const lokal unterschiedlich schnell, weil manche Weltlinien beschleunigt werden.
Betrachten wir einen Punkt der Raumzeit, in dessen lokalem Inertialsystem x0µ = (τ, x0i ) die
3-Geschwindigkeit verschwindet. In seiner Umgebung ist die 4-Geschwindigkeit in erster Ordnung (|v| 1):
dx0µ
U 0µ =
= (1, v) .
(3.54)
dτ
Die Zeitkoordinate t ist so definiert, dass U 0µ orthogonal zu den Flächen mit konstantem t ist.
U 0µ ist somit proportional zum 4-Gradient von t:
f Uµ0 =
∂t
.
∂x0µ
(3.55)
Kontraktion beider Seiten von Gl. (3.55) mit U 0µ zeigt, dass in erster Ordnung
f=
und Ableiten nach x0ν liefert:
dt
,
dτ
∂(f Uµ0 )
∂(f Uν0 )
=
.
∂x0µ
∂x0ν
(3.56)
(3.57)
3
64
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
Mit ν = 0 und µ = i findet man
∂f
= −ai f
∂x0i
(3.58)
mit der Beschleunigung
ai =
∂vi
,
∂τ
(3.59)
aus Gl. (3.51).
Damit ist in linearer Ordnung
δp
f =C 1+
ρ+p
(3.60)
C = 1 entspricht der Normierung von t auf den Mittelwert von τ auf jeder Hyperfläche.
Dies bedeutet, dass
dt
δp
=1+
,
(3.61)
dτ
ρ+p
so dass für eine gestörte Größe g in erster Ordnung gilt:
d(g + δg)
δp
= ġ + (δg). + ġ
dτ
ρ+p
(3.62)
(der Punkt steht, wie immer, für d/dt).
Die linearisierten Gleichungen, die aus der gestörten Kontinuitäts- und Raychaudhuri-Gleichung
folgen, sind deshalb (in Fourierkomponenten ausgedrückt):
(δρk ). = −3(ρ + p)δHk − 3Hδρk
.
(δHk )
4πG
1
= −2HδHk −
δρk +
3
3
2
k
δpk
a
ρ+p
(3.63)
Wenn wir wieder den Dichtekontrast δ = δρ/ρ einführen und in Gl. (3.63) δHk eliminieren,
erhalten wir wie zuvor eine Gleichung zweiter Ordnung für δ:
2
3
k
δpk
−2
2
2
−1
2
H δ̈k + [2 − 3(2w − cs )]H δ̇k − (1 − 6cs + 8w − 3w ) δk = −
(3.64)
2
aH
ρ
mit w = p/ρ und c2s = ṗ/ρ̇.
Die entsprechende nichtrelativistische Gleichung (3.27) erhält man, wie erwünscht, im Grenzfall w 1, c2s 1 und k aH (damit cs k/aH =O(1)).
Die rechte Seite von Gl. (3.64) kann auf Skalen weit außerhalb des Horizonts (k aH) vernachlässigt werden, solange δp/δρ =O(1) (damit beide Seiten O(δ) sind). Störungen, die diese Bedingung erfüllen, werden adiabatisch genannt. Sie wird verletzt von nichtadiabatischen
(sog. isocurvature) Störungen, die in den einfachsten Inflationsmodellen nicht erzeugt werden.
Wir wenden uns deshalb zuerst der genaueren Definition adiabatischer Störungen zu.
3
65
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
3.3.4
Adiabatische Störungen
In vielen Fällen sind folgende vereinfachende Annahmen für Skalen weit außerhalb des Horizonts gültig:
1. Betrachtet man mittlere Größen, die über einen Bereich weit größer als der Horizont gemittelt wurden, entwickelt sich jede mitbewegte Region von etwas geringerer Ausdehnung
als die Mittelungslänge wie ein ungestörtes FRW-Universum.
2. Diese FRW-Universen sind identisch, wenn ihre Zeitkoordinaten auf Hyperflächen mit
konstantem Inflatonfeld φ synchronisiert werden und die Vakuumfluktuationen anderer
Skalarfelder irrelevant sind.
Die erste Annahme ist notwendig, damit man überhaupt von FRW-Kosmologie reden kann, und
damit unkritisch.
Der zweite Teil der zweiten Annahme gilt für einfache Inflationsmodelle, kann aber auch verletzt werden. Deshalb ist die Existenz nichtadiabatischer Störungen letztendlich eine Beobachtungsfrage. Der erste Teil ist nur eine geeignete Eichung.
Zusammen genommen besagen beide Aussagen, dass sich eine Größe g(τ ) entlang mitbewegter
Weltlinien als Funktion der Eigenzeit τ überall identisch entwickelt. Auf Hyperflächen konstanter Eigenzeit ist g folglich homogen (δgτ = 0).
Wählt man ein anderes Slicing (z.B. mitbewegt), um einfachere Gleichungen zu bekommen,
folgt für die Störung aus Gl. (3.49):
δgt = −ġ(t)δt
(3.65)
δg/ġ ist deshalb für alle Größen g identisch und kann z.B. durch die Energiedichte ausgedrückt
werden:
δg
δρ
=
(3.66)
ġ
ρ̇
Das gleiche gilt für die Fouriermoden, solange man kleinere Wellenlängen (größere Wellenzahlen) als die Mittelungsskala betrachtet:
δgk
δρk
=
ġ
ρ̇
(3.67)
Gl. (3.67) wird die allgemeine adiabatische Bedingung genannt, da sich jedes unabhängige
Universum adiabatisch entwickelt.
Wenn g für die Dichte ρi einer Teilchensorte i steht (und wir δi = δρi /ρi definieren), können
wir die Kontinuitätsgleichung (3.50), die ja für alle is einzeln gilt, für ρ̇i einsetzen:
δi
δ
=
1 + wi
1+w
(3.68)
In der strahlungsdominierten Zeit ist w = 1/3. Für relativistische Teilchen ist
δi = δ
(Strahlung) ,
(3.69)
3
66
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
für nichtrelativistische Teilchen (CDM, Baryonen) ist
δi =
3
δ
4
(Materie) .
(3.70)
Für g → p liefert Gl. (3.67):
δpk
δρk
=
ṗ
ρ̇
(3.71)
bzw.
δpk
ṗ
(3.72)
= ≡ c2s
δρk
ρ̇
Diese Beziehung hatten wir schon vorher zur Definition der Schallgeschwindigkeit verwendet
(Gl. 3.9), jetzt gilt sie allerdings auch außerhalb des Horizonts. Sie zeigt, dass für adiabatische
Störungen mit k aH die rechte Seite von Gl. (3.64) tatsächlich vernachlässigbar klein ist.
Die Vernachlässigbarkeit des Druckgradienten außerhalb des Horizonts nützen wir jetzt aus, um
eine wichtige (weil konstante) Größe zu definieren, die Krümmungsstörung.
3.3.5
Die Krümmungsstörung
Anstatt zu versuchen, Gl. (3.64) zu lösen, kann man bei adiabatischen Störungen zurück zu
einem System erster Ordnung gehen, indem man den verschwindenden Druckgradienten auf
großen Skalen ausnützt.
Dafür nehmen wir an, dass die räumliche Krümmung auf mitbewegten Hyperflächen im Mittel
verschwindet (K̄ = 0) und führen die Krümmungsstörung R ein.
Betrachten wir die Friedmann-Gleichung mit der kleinen Krümmung δK:
H 2 (x, t) =
Wir definieren R durch:
8πG
δK
ρ(x, t) − 2
3
a
2 2
a ∆R = δK
3
(3.73)
(3.74)
bzw. in Fourierkomponenten:
2
− k 2 Rk = δKk
(3.75)
3
R ist ein Maß für die räumliche Krümmung auf mitbewegten Hyperflächen. Man kann zeigen
(z.B. Liddle & Lyth), dass dort für den räumlichen Ricciskalar gilt:
2
k
(3)
R=4
R
(3.76)
a
Man kann weiterhin zeigen, dass
R = H δt ,
wenn δt die Zeitverschiebung von räumlich flachen zu mitbewegten Hyperflächen ist.
(3.77)
3
67
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
Wenn δp = 0 geht die Raychaudhuri-Gleichung (3.52) in die ungestörte Beschleunigungsgleichung (2.65) über. Zusammen mit der Kontinuitätsgleichung (3.50) folgt daraus die FriedmannGleichung mit konstanter Krümmung. Deshalb ist δK = const wenn δp = 0, und damit auch
R = const.
Die gestörte und linearisierte Version von Gl. (3.73) lautet:
2
8πG
2 k
2HδHk =
δρk −
Rk
(3.78)
3
3 a
Mit Gl. (3.78) können wir in Gl. (3.63) δHk durch Rk ersetzen. Dabei verwenden wir die
Definition des gestörten Gravitationspotentials, Gl. (3.26):
5 + 3w
2 −1
H Φ̇k +
Φk = −(1 + w) Rk
3
3
(3.79)
Wenn Rk = const und w = const hat Gl. (3.79) die Lösung
Φk = −
3 + 3w
Rk
5 + 3w
(3.80)
Die allgemeine Lösung ist Gl. (3.80) plus die Lösung der homogenen Gleichung, die aber zeitlich abfällt und uns deshalb nicht weiter interessiert.
Mit Hilfe von Gl. (3.26) haben wir jetzt einen Zusammenhang zwischen dem Dichtekontrast δk
und der Krümmungsstörung hergestellt. Zu zeigen ist noch die Eigenschaft, die R so wichtig
macht: R ≈ const weit außerhalb des Horizonts. Damit kann der Dichtekontrast zu späten
Zeiten mit der Krümmungsstörung zu sehr frühen Zeiten (Inflation) in Verbindung gebracht
werden.
Multipliziert man Gl. (3.73) mit a2 und leitet nach der Zeit ab, findet man mit Gl. (3.50) und
(3.52):
δpk
(3.81)
Ṙk = −H
ρ+p
Um zu sehen, ob sich Rk während einer Hubblezeit signifikant ändert, muss man Ṙk /Rk mit
H vergleichen:
"
#
2
1
2 δpk
k
Φk
Ṙ =
(3.82)
HRk
3 δρk
aH
(1 + w)Rk
Wir wissen schon von Gl. (3.72), dass δpk /δρk = O(1). Der letzte Term in eckigen Klammern
wird besonders gefährlich, wenn w ≈ −1, wie es während der Inflation der Fall ist.
Durch Tayorentwicklung um w = −1 bekommen wir aus Gl. (3.80):
3
Φk = − (1 + w) Rk
2
(3.83)
Damit ist gezeigt, dass Ṙk /HRk 1 für k aH. Mit anderen Worten, die Krümmungsstörung
ist für adiabatische Störungen außerhalb des Horizonts konstant.
Gl. (3.80) ist also in zwei Fällen gültig:
3
68
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
1. In der strahlungsdominierten Phase weit außerhalb des Horizonts (k aH). Dann ist:
2
Φk = − Rk (initial)
3
(3.84)
2. In der materiedominierten Phase auf Skalen oberhalb der Jeanslänge (inner- und außerhalb
des Horizonts), wenn δpk = 0:
3
Φk = − Rk (final)
5
(3.85)
Dies ist das Ergebnis, das wir für die Herleitung von Gl. (3.42) vorweg genommen hatten.
3.3.6
Nichtadiabatische Störungen
Bisher wurden nichtadiabatische (isocurvature) Störungen ignoriert. Bei diesen handelt es sich
um Störungen der Anzahldichte verschiedener Teilchensorten im Verhältnis zur Photonendichte, deren resultierende Gesamtstörung der Energiedichte (und damit der Krümmung) auf mitbewegten Hyperflächen verschwindet (deshalb “isocurvature”).
Man definiert die Entropiestörung der Teilchensorte i als:
δ(ni /nγ )
(ni /nγ )
δni δnγ
=
−
ni
nγ
δi − 34 δγ
=
3
δ − 34 δγ
4 i
Si =
(Materie)
(Strahlung)
(3.86)
Die Si müssen im allgemeinsten Fall zusammen mit R kurz vor dem Horizonteintritt spezifiziert
werden.
Ein Beispiel für die Erzeugung nichtadiabatischer Störungen durch die Inflation ist die Existenz eines weiteren Feldes, z.B. des Axionfeldes. Dessen Quantenfluktuationen können unter
bestimmten Umständen bis zur QCD-Zeit (T ∼ 100 MeV) überleben. Dort erhalten sie eine
Masse und werden zu nichtadiabatischen Störungen.
Der Beitrag nichtadiabatischer Störungen zur CMBR-Anisotropie ist 6 × größer als derjenige von R. Bei gegebener CMBR-Normierung ist deshalb die resultierende Dichtestörung 6 ×
geringer. Da reine adiabatische Störungen beides sehr gut erklären können, sind reine nichtadiabatische Störungen ausgeschlossen. Ein Beitrag bis zu ∼50 % ist erlaubt, aber nicht nötig.
3.4
3.4.1
Vergleich mit Beobachtungen
Gaußsche Zufallsfelder
Beim Vergleich von Theorie und Beobachtung betrachtet man die statistischen Eigenschaften
der Störungen in der CMBR-Temperatur, Galaxienverteilung etc. Sei g eines dieser Störungsfelder, und gk seine Fourierkomponenten.
3
69
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
Wenn die Fourierentwicklung in einem kubischen Volumen V mit periodischen Randbedingungen durchgeführt wird, nimmt k diskrete Werte kn an. Wir schreiben:
gkn = Rn + i In
(3.87)
Wenn die Fourierkomponenten von g unabängig und ihre Phasen gleichförmig zufallsverteilt
sind, ist g gaußverteilt. Dieser Fall ist sowohl der einfachste, als auch der derzeit von den
Beobachtungen begünstigste.
In diesem Fall ist
1 ∗
hgkn gkn0 i = δnn0 σn2 ,
(3.88)
2
weil
hgk∗ −n gkn i = hgk2 n i = 0
(3.89)
aufgrund der zufallsverteilten Phasen.
Oben wurde die Varianz
1
σn2 = hRn2 i = hIn2 i = h|gkn |2 i
2
definiert. σn ist die Dispersion.
Der Ensemble-Mittelwert von g 2 (x) ist
X
hg 2 (x)i =
h|gkn |2 i
(3.90)
n
= 2
X
σn2
(3.91)
n
Die Eigenschaften eines gaußverteilten Feldes können vollständig durch sein Leistungsspektrum (power spectrum) oder einfach Spektrum beschrieben werden. Wir definieren das Spektrum von g als
V
Pg (k) ≡ 2 k 3 h|gkn |2 i
(3.92)
2π
Im Kontinuumslimes wird
Z
Z
(2π)3 X
3
→ d k = 4π
k 2 dk
(3.93)
V
n
mit k = |k| (da wir nur an rotationsinvarianten Feldern interessiert sind) und damit:
σg2 (x) ≡ hg 2 (x)i
Z∞
dk
=
Pg (k)
k
0
Z∞
Pg (k) d ln k
=
0
(3.94)
3
70
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
Oft findet man die alternative Definition
Pg (k) ≡ V h|gkn |2 i
2π 2
=
Pg (k)
k3
Damit ist
σg2 (x)
1
= 2
2π
Z∞
Pg (k) k 2 dk
(3.95)
(3.96)
0
Mit Gl. (3.88) und (3.92) kann man auch die Zweipunkt-Korrelationsfunktion
ξ(x1 , x2 ) ≡ hg(x1 )g(x2 )i
(3.97)
durch Pg ausdrücken.
Mit x = |x1 − x2 | ist
d3 k
Pg (k) eik(x1 −x2 )
4πk 3
Z1
Z∞
1
dk
Pg (k)
eikx cos θ d cos θ
=
2
k
Z
ξ(x1 , x2 ) =
−1
0
Z∞
Pg (k)
=
sin(kx) dk
kx
k
(3.98)
0
3.4.2
Glätten kleiner Störungen
An Gl. (3.94) sehen wir, dass der Mittelwert von g divergiert, falls Pg nicht für große und
kleine k verschwindet. Das Problem bei k → ∞ löst man durch Glättung (bzw. Filterung)
der kleinskaligen Störungen, das bei k → 0 durch Betrachten eines endlichen Volumens und
Gebrauch der Ergodizität (siehe Liddle & Lyth).
Anstelle von g(x) definieren wir die geglättete Funktion
Z
1
g(Rf , x) ≡
W (|x0 − x|/Rf ) g(x0 ) d3 x0
(3.99)
Vf
W ist eine Glättungsfunktion mit dem Volumen
Z
Vf =
W (x/Rf ) d3 x ,
(3.100)
die die Eigenschaften W = 1 für x/Rf 1 und W = 0 für x/Rf 1 besitzt.
Beliebte Beispiele sind die Zylinderfunktion (W (x/Rf ≤ 1) = 1, W (x/Rf > 1) = 0, Vf =
4πRf3 /3) und der Gaußfilter (W (x/Rf ) = exp(−x2 /2Rf2 ), Vf = (2π)3/2 Rf3 ).
3
71
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
Aus dem Faltungstheorem folgt für die Fouriertransformierte:
g(Rf , k) = W (kRf ) g(k)
(3.101)
wenn W (kRf ) die mit Vf−1 normierte Fouriertransformation von W (x/Rf ) bezeichnet (z.B. W (kRf ) =
exp(−k 2 Rf2 /2) für den Gaußfilter). Man sieht, dass die Glättung die hohen Fouriermoden “abschneidet”.
Der Mittelwert der geglätteten Funktion ist
σg2 (Rf ) ≡ hg 2 (Rf , x)i
Z∞
dk
=
W 2 (kRf ) Pg (k)
k
(3.102)
0
Wenn Pg (k) eine wachsende Funktion von k ist, hat W 2 Pg ein Maximum in der Gegend von
kf ∼ 1/Rf . Damit ist
σg2 (Rf ) ≈ Pg (kf )
(3.103)
Das Spektrum an der Stelle kf ist ein Maß für den gemittelten Dichtekontrast innerhalb des
mitbewegten Volumens Vf .
3.4.3
Die Transferfunktion
Für den Vergleich von Theorie und Beobachtung brauchen wir eine Vorhersage für die Abhängigkeit der heutigen (z = 0) Störungsamplituden von ihrer typischen Ausdehnung bzw. von k.
Man definiert eine Abbildung der Störungsamplitude auf Superhorizontskalen bei großen z,
δksh (a), auf das heutige δk0 durch die sog. (lineare) Transferfunktion T (k):
δk0 D(a) ≡ T (k) δksh (a)
(3.104)
D(a) = a1+3w ist der lineare Wachstumsfaktor auf Superhorizontskalen aus Gl. (3.42). Er ist
unabhängig von k
er beeinflusst nur die Höhe, nicht die Form des Spektrums.
Man sieht sofort, dass der Übergang von Strahlungs- zu Materiedominanz bei z = zeq eine
besondere Skala auszeichnet: alle Störungen, die vorher in den Horizont eintraten, wurden bis
zu diesem Zeitpunkt an ihrem weiteren Wachstum gehindert, während diejenigen außerhalb des
Horizonts weiterwuchsen.
Die mitbewegte Wellenzahl, die beim Übergang in den Horizont eintrat, ist das Inverse des
mitbewegten Hubbleradius zu dieser Zeit, Gl. (2.187):
keq ≡ aeq Heq
= aeq dH (aeq )−1
' 0.083 (Ωm h) h Mpc−1
(3.105)
Wie schon im Zusammenhang mit Gl. (3.42) angesprochen wurde, sind (durch die Beziehungen
keintritt = aeintritt H(aeintritt ) und H ∝ a−2 ) alle effektiv druckfreien Störungen (z.B. CDM) mit
keintritt > keq um den Faktor (aeintritt /aeq )2 = (keq /keintritt )2 kleiner.
3
72
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
Wem das nicht reicht, der kann die Rechnung explizit durchführen. Für sehr große Skalen,
die erst während der Materiedominanz in den Horizont eintraten (k < keq ), ist Φ0k = Φsh
k
(Gl. (3.85)) und deshalb (mit Gl. (3.26)):
2
2
k
0
δk = −
Φ0k
3 a0 H 0
2
2 k
Φsh
= −
k
3 H0
2 2
2
k
aH
= −
Φsh
k
3 aH
H0
2
k
2
(aa−3(1+w)/2 )2 Φsh
= −
k
3 aH
2
2
k
= −
D−1 (a) Φsh
k
3 aH
= δksh (a) D−1 (a)
(3.106)
und deshalb
T (k < keq ) = 1 .
(3.107)
Störungen der Materiedichte, die noch während der Strahlungsdominanz in den Horizont eintraten (d.h. solche mit kleinerer Wellenlänge, k > keq ), konnten hingegen bis zum StrahlungsMaterie-Übergang nicht (oder nur wenig) anwachsen:
2
2
keq
0
δk D(aeq ) = δk (aeq ) = −
Φeq
k
3 aeq Heq
2
2
k
a<a
= δk (a < aeq ) = −
Φk eq
3 aH
"
# 2
2
2
2
k
keq
aH
eq
Φk
= −
3 aH
k
aeq Heq
2
keq
= δksh
D−1 (a/aeq )
(3.108)
k
sh
weil Φeq
k = Φk , und damit
2
keq
.
(3.109)
T (k > keq ) =
k
Gl. (3.41) erlaubt eine etwas genauere Aussage, derzufolge die Transferfunktion noch eine logarithmische Korrektur erhält, T (k) ∝ k −2 ln k.
Eine genaue Berechnung der Transferfunktion auf allen Skalen erfordert die Berücksichtigung
des Druckgradienten und der nichtidealen Flüssigkeitseffekte (Freestreaming der dunklen Materie und Neutrinos, Photonen- und damit vebundene Baryonendiffusion). Das macht man meistens numerisch oder mit Hilfe von Parametrisierungen.
3
73
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
Für unsere Zwecke reicht die folgende Zusammenfassung:
• Für kalte dunkle Materie (CDM) gilt:
T (k) = 1
2
keq
T (k) ≈
k
,
k < keq
,
k > keq
(3.110)
Der Übergang ist fließend.
• Früher wurde auch heiße dunkle Materie (HDM), z.B. aus massiven Neutrinos, diskutiert. Da Neutrinos in diesem Fall vor dem Strahlungs-Materie-Übergang noch relativistisch wären, würden sie durch Freestreaming alle Störungen auswaschen (T (k > keq ) ∼
exp(−k)). Das ist heute durch Beobachtungen praktisch ausgeschlossen.
• Der Vollständigkeit halber: es gibt noch gemischte Modelle, die mehr als eine Sorte dunkler Materie (CHDM, “Cold-Hot-Dark-Matter”) oder warme dunkle Materie mit m ∼ 1
keV (so dass Skalen unterhalb ∼ 1 Mpc relativistisch in den Horizont eintraten) postulieren. Sie sind weder nötig noch attraktiv, aber deshalb nicht unbedingt falsch.
• Das heutige best fit-Modell ist das sog. ΛCDM-Modell mit ΩΛ ∼ 0.7. Damit ändert sich
gegenüber dem klassischen CDM-Modell der Wert von keq und die Normierung des Spektrums.
3.4.4
Das Materie-Leistungsspektrum
Die Aussagen in Kap. (3.4.3) über den Zusammenhang von primordialen und heutigen Störungen lassen sich einfach in solche über das Spektrum umformen. Aus Gl. (3.104) folgt für das
Spektrum des Materie-Dichtekontrasts:
4
4
k
Pδ (k, t) =
T 2 (k) PR (k)
25 aH
4
k
2
=
T 2 (k) δH
(k)
(3.111)
aH
Dabei wurde die Größe
4
PR (k)
(3.112)
25
eingeführt, die in etwa dem mittleren quadratischen Dichtekontrast beim Horizonteintritt (k =
aH) entspricht (daher der Index H).
Gewöhnlich macht man den Ansatz
2
(k) ≡
δH
PR (k) ∝ k n−1
n ist der Spektralindex.
(3.113)
3
74
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
Bem.: Die Schreibweise n − 1 ist historisch begründet, weil nach der früher geläufigeren Definition des Spektrums, Gl. (3.95), Pδ ∝ k n außerhalb des Horizonts ist (Gl. 3.111).
Der Wert n = 1 entspricht einem primordialen Spektrum, das nicht von k abhängt; man sagt,
das Spektrum ist skaleninvariant. Es wurde zuerst von Harrison (1970) und Zel’dovich (1970)
vorgeschlagen, da es als einziges die Möglichkeit bietet, Störungen aller Skalen beim Horizonteintritt klein zu machen.
Das Harrison-Zel’dovich (HZ) Spektrum ist nicht nur aus ästhetischer Sicht ausgezeichnet, es
liefert außerdem eine hervorragende Übereinstimmung mit den Beobachtungen und wird von
der Theorie der Inflation vorhergesagt.
Der best fit für den Spektralindex n aus Messungen des WMAP-Satelliten ist
n = 0.98 ± 0.03
(3.114)
(vgl. Tabelle 2).
Jetzt sind wir in der Lage, die lineare Theorie mit Beobachtungen zu vergleichen. Dabei ist zu
beachten, dass Beobachtungen nur statistische Aussagen machen können, die zumeist in der
Form von Pδ präsentiert werden.
Das Leistungsspektrum ist über Gl. (3.98) mit der Zweipunkt-Korrelationsfunktion verknüpft,
welche z.B. mit Hilfe von großen Galaxiensurveys (z.B. 2dFGRS, SDSS) bestimmt werden
kann (das ist leichter gesagt als getan, muss hier aber reichen).
Uns interessiert an dieser Stelle nur die k-Abhängigkeit von Pδ , nicht die absolute Amplitude.
Dafür genügt es, die Potenzen von k zu zählen:
Pδ ∝ k −3 Pδ
∝ k T 2 (k) PR (k)
∝ T 2 (k) k n
(3.115)
mit Gl. (3.113).
Mit einem skaleninvarianten Spektrum, n ' 1, und der Transferfunktion aus Kap. (3.4.3) liefert
Gl. (3.115):
k
k < keq
Pδ (k) ∝
(3.116)
−3
k
k > keq
Abb. (15) zeigt die gemessenen Daten und die vollständige theoretische Vorhersage (inkl. Normierung und detaillierter Transferfunktion) für Pδ (k).
3.4.5
Anisotropien in der Hintergrundstrahlung
Die gleichen Störungen, die später zu Galaxien und Galaxienhaufen anwachsen, spiegeln sich in
kleinen Temperaturanisotropien in der kosmischen Mikrowellenhintergrundstrahlung (CMBR)
wieder. Da sich Photonen seit der Rekombination bei z = zrek praktisch frei bewegen, lässt sich
das Problem auf Störungen auf der letzten Streufläche, Gl. (2.193), reduzieren.
Folgende Effekte tragen zur Entstehung von Temperaturstörungen bei, vgl. Abb. (16):
3
75
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
Abbildung 15: Das Spektrum des MaterieDichtekontrasts Pδ (k) , theoretisch (für das
ΛCDM-Modell mit Ωm = 0.28, ΩΛ =
0.72, h = 0.72) und beobachtet.
Sachs-Wolfe-Effekt:
Dieser Effekt dominiert auf sehr großen Skalen, genauer gesagt für Winkeldurchmesser
θ & θrek (Gl. (4.5)). Er beruht auf Gravitationseffekten durch Potentialstörungen auf der
letzten Streufläche:
1. Die Photonen verlieren Energie, wenn sie eine Potentialstörung verlassen, und werden
daduch gekühlt. Diese sog. Gravitationsrotverschiebung hat die Amplitude δT /T =
φ/c2 = φ.
2. Die Potentialstörungen verursachen eine relativistische Zeitdilatation, so dass wir an
diesen Stellen auf eine frühere und damit heißere Phase des Universums blicken. Da
δt/t = φ und T ∝ 1/a ∝ t−2/3 , liefert dieser Effekt einen entgegengerichteten Term
der Größe δT /T = −(2/3)φ.
Insgesamt erhalten wir für den Sachs-Wolfe-Effekt:
δT 1
= φ
T SW 3
(3.117)
Dopplereffekt:
Ein weiterer Beitrag wird durch die Streuung der Photonen an Plasma mit der Pekuliarge-
3
76
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
schwindigkeit δv produziert. Ist r der Einheitsvektor in Sichtrichtung, lautet dieser Term:
δv · r
δT =
= δv · r
T doppler
c
(3.118)
Der Dopplereffekt wird ungefähr bei θ ' θrek wichtig und führt zu einem Anwachsen
des Leistungsspektrums der Temperaturanisotropien bei der entsprechenden Wellenzahl.
Sofort anschließend wird er auf kleinen Skalen (größeren Wellenzahlen) von adiabatischen
Effekten dominiert.
Adiabatische Effekte:
Im Prinzip sollten Störungen in der Photonen-Anzahldichte, nγ ∝ T 3 zu Temperaturstörungen der Größe
δnγ
δT
1
=
(3.119)
= δ
T
3nγ
3
Da die letzte Streufläche durch eine konstante Temperatur, nämlich diejenige der Wasserstoffrekombination, definiert ist, erscheint das Auftreten von Temperaturstörungen durch
lokale Dichteschwankungen eigentlich paradox. Dass sie dennoch erscheinen, liegt daran,
dass dichtere (heißere) Regionen später rekombinieren
sie sind weniger rotverschoben
sie erscheinen heißer.
Aus T ∝ a−1 folgt
δT
T
δa
a
δnγ
=
3nγ
= −
(3.120)
wegen nγ ∝ a−3 .
In linearer Ordnung ist der adiabatische Beitrag also identisch mit der naiven Abschätzung
weiter oben:
δT 1
(3.121)
= δ
T ad 3
Skalen mit Winkeldurchmesser θ . θrek befanden sich zur Zeit der Rekombination innerhalb
des Horizonts
sie waren in kausalem Kontakt. Hier müssen weitere Effekte berücksichtigt
werden:
1. Störungen in der Strahlungsflüssigkeit sind durch Photonendiffusion gegenüber denjenigen der Baryonen gedämpft (Silk-Dämpfung).
3
77
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
Abbildung 16:
Illustration der physikalischen
Ursachen
für
CMBRTemperaturanisotropien.
Neben
den
im Text beschriebenen Effekten treten
weitere Störungen durch zeitabhängige
Potentiale
(Rees-Sciama-Effekt)
und
Streuung an heißen Elektronen (SunyaevZel’dovich-Effekt) entlang der Sichtlinie
auf.
2. CDM-Störungen wachsen nach zeq an, während baryonische Störungen noch bis zrek an
den Strahlungsdruck gekoppelt sind und deshalb um den Faktor ∼ (1 + zeq )/(1 + zrek ) ∼
10 unterdrückt sind. In dieser Phase oszilliert das gekoppelte Baryonen-Photonengas als
Schallwellen
man sieht akustische Oszillationen im CMBR-Spektrum.
Die Kombination verschiedener Effekte auf Skalen . θrek ist zu kompliziert, um mit analytischen Methoden berechnet werden zu können. Man behilft sich mit numerischen Lösungen der
Boltzmann-Gleichung für den Photonentransport, z.B. mit dem Standardprogramm CMBFAST.
Qualitativ sind CMBR-Spektren gekennzeichnet durch:
• Ein nahezu flaches Sachs-Wolfe-Plateau auf sehr großen Skalen.
• Ein Anwachsen bei der Multipolzahl (entspricht k bei Kugelflächenfunktionen) l ' 100
wenn Doppler- und adiabatische Prozesse wichtig werden.
Dies geschieht bei θ ' θrek , welches nach Gl. (4.5) primär von Ω0 abhängt
Die Lage des ersten Doppler- (oder akustischen) Maximums ist ein gutes Maß für die
räumliche Krümmung des Universums.
Wie in Kap. (2.1.4) erwähnt wurde, sind die aktuellen Ergebnisse konsistent mit einem
flachen Universum, Ω0 = 1.
• Eine Reihe von Oszillationen bei größeren l (kleine θ), deren Amplitude auf kleineren Skalen zunehmend stärker durch die endliche Breite der letzten Streufläche σz (Gl. (2.193))
gedämpft werden.
Die Lage und relative Höhe der akustischen Peaks hängt im Prinzip von allen wesentlichen
kosmologischen Parametern ab. Dies ist der Grund für den gewaltigen Aufwand, der in den
vergangenen 10 Jahren (und weiter bis zum Start des PLANCK-Satelliten der ESA ca. 2007)
betrieben wurde bzw. wird, um das CMBR-Spektrum zu vermessen.
Die Übereinstimmung dieser Messungen mit den theoretischen Voraussagen ist sicherlich einer
der Höhepunkte der modernen Kosmologie. Seit den Ergebnissen des WMAP-Satelliten (siehe
Abb. (17)) ist keine theoretische Kurve mehr nötig, um die Form des Spektrums bis zum zweiten
akustischen Peak klar zu erkennen!
4
78
INFLATION
Abbildung 17: WMAP-Leistungsspektrum
der CMB-Anisotropien. Die durchgezogene Linie zeigt das Best-Fit-Universum mit
ΩΛ = 0.73 ± 0.04, Ωb = 0.044 ± 0.004
(konsistent mit der primordialen Nukleosynthese) und Ωm = 0.27 ± 0.04 (konsistent mit Galaxiensurveys) (Tegmark et al.
2004).
4
Inflation
4.1
4.1.1
Einführung
Motivation und Definition
In Kap. (2.1.3) wurden einige Probleme des heißen Urknallmodells angesprochen. Hier eine
kurze Wiederholung und Erweiterung:
1. Flachheitsproblem:
Aus der Friedmann-Gleichung (2.64) folgt für den Dichteparameter Ω (Gl. 2.76):
Ω−1=
k
H 2 a2 R02
∝ ȧ−2
(4.1)
Der Term aH = ȧ kann laut Gl. (2.65) bei Strahlungs- oder Materiedominanz (konkret:
für w > −1/3) nur mit der Zeit kleiner werden, also wächst jede Abweichung des Dichteparameters Ω von 1 (Flachheit) mit der Zeit an.
Zum Beispiel muss, um das heutige Universum zu erklären, zur Zeit der primordialen
Nukleosynthese (t ∼ 1 s) gegolten haben:
|Ω − 1| . 10−16
(4.2)
Das Flachheitsproblem kann genauso gut auch “Altersproblem” genannt werden, denn die
Frage, warum unser Universum so alt ist (im Vergleich zu beispielsweise der Planckzeit),
4
79
INFLATION
Abbildung 18: Der Hubbleradius zur Zeit
der Rekombination entspricht in etwa dem
Winkeldurchmesser des Mondes.
ist äqivalent dazu, warum es so flach ist (im Vergleich von Krümmungsradius und Plancklänge).
2. Horizontproblem:
Das Horizontproblem folgt z.B. aus Gl. (2.92) und besagt, dass für w > −1/3 der in
kausalem Kontakt stehende Bereich des Universums begrenzt ist.
Wieder ein Beispiel: Da zrek zeq kann man die physikalische Länge des Teilchenhorizonts, Gl. (2.91), gut mit reiner Materiedominanz (n = 3 in Gl. (2.92)) abschätzen:
2
−1/2
dhor (zrek ) =
(1 + zrek )−3/2 Ω0
(4.3)
H0
mit Gl. (2.98).
Der Winkeldurchmesser, den Regionen mit diesem physikalischen Durchmesser bei zrek
heute am Himmel einnehmen, ist
dhor (zrek )
dA
mit der Winkelentfernung dA aus Gl. (2.108).
Schließlich liefert Gl. (2.109) bei z 1 näherungsweise:
2
dA (z) '
HΩz
r0 0
Ω0
θrek '
' 2◦
zrek
θrek =
(4.4)
(4.5)
Zur Zeit der Rekombination wären im Falle w > −1/3 seit dem Urknall nur Gebiete von
ca. 2 Winkelgrad Durchmesser kausal gekoppelt (Abb. (18)). Auf der anderen Seite ist die
Temperatur des CMBR in allen Richtungen bis auf 10−4 exakt identisch.
4
80
INFLATION
Eine andere Formulierung des Horizontproblems ist, dass der mitbewegte Hubbleradius
(aH)−1 = ȧ−1 aufgrund Gl. (2.65) für w > −1/3 mit der Zeit anwächst. Deshalb stehen
im Laufe der Zeit immer größere Gebiete in kausalem Kontakt.
3. Problem der Relikte:
Wenn der Heiße Urknall bei sehr hohen Temperaturen begann, können evtl. Relikte früherer Phasen bis in die Gegenwart überleben und u.U. zu Widersprüchen mit den Beobachtungen führen. Beispiele:
• Historische Wichtigkeit haben magnetische Monopole, die in spontanen Symmetriebrechungen während der GUT-Phase entstanden sein könnten. Ihre Abwesenheit
war eines der Hauptargumente für Inflation in Guths (1981) klassischer Veröffentlichung.
• Heute wird das Gravitino, der Spin-3/2 Supergravitationspartner des Gravitons, als
das größte Problem angesehen. Seine Masse ist in den meisten SUGRA Modellen
ca. 100 GeV. Sie geraten in Konlikt mit der primordialen Nukleosynthese, falls der
heiße Urknall früher als T & 109 GeV begonnen hat.
• Die Superstring-Theorie sagt die Existenz von Moduli-Feldern voraus, deren Massen
und Wechselwirkungsraten denen der Gravitinos ähnlich sind, und damit auch ihre
Konsequenzen.
• Neben den oben erwähnten Monopolen treten in manchen Szenarios auch topologische Defekte höherer Dimension auf, wie z.B. kosmische Strings etc. Sie bereiten nur
Probleme, wenn ihre Energie pro Einheitslänge ca. 1016 GeV übersteigt.
Wie zuerst von Guth (1981) erkannt wurde (obwohl schon andere, wie z.B. Starobinsky, schon
früher mit ähnlichen Ideen gearbeitet haben), löst man alle Probleme auf einen Schlag mit Hilfe
der Inflation.
Im Laufe der Zeit haben sich drei – wegen Gl. (2.65) äquivalente – Definitionen der Inflation
eingebürgert:
1. Inflation, Definition I:
Inflation ist eine Epoche, in der das Universum beschleunigt expandiert:
ä > 0
(4.6)
2. Inflation, Definition II:
Inflation ist eine Epoche, in der der mitbewegte Hubbleradius abnimmt:
d 1
<0
dt aH
(4.7)
Das bedeutet, dass das beobachtbare Universum, in mitbewegten Koordinaten betrachtet,
kleiner wird. Mit anderen Worten, mitbewegte Wellenlängen verlassen während der Inflation den Horizont. Siehe Abb. (19).
4
81
INFLATION
Abbildung 19: Der mitbewegte Hubbleradius nimmt während der Inflation ab (mitbewegte Skalen “verlassen den Horizont”)
und danach wieder zu (mitbewegte Skalen
“treten in den Horizont ein”).
3. Inflation, Definition III:
Inflation ist eine Epoche, in der
ρ + 3p < 0
(4.8)
bzw. w < −1/3 für eine Zustandsgleichung der Form (2.52). Da wir in der Regel ρ ≥ 0
annehmen, ist dies gleichbedeutend mit der Forderung nach p < 0.
Inzwischen sollte klar sein, warum damit das Flachheits- und das Horizontproblem gelöst werden können. Das Problem der Relikte wird durch die “Verdünnung” aller Teilchenfelder aufgrund der starken Zunahme von a gelöst (natürlich nur für Relikte, die vor der Inflation produziert wurden).
Schon kurz nach ihrer Einführung wurde erkannt, dass die Inflation noch einen weiteren nützlichen “Nebeneffekt” hat: Sie erlaubt die Vorhersage von kleinen Inhomogenitäten auf dem flachen und homogenen Hintergrund als Folge von Quantenfluktuationen während der Inflation.
Dies ist heute ihre wahrscheinlich wichtigste Eigenschaft.
Diese kleinen Störungen liefern die “Anfangsbedingungen” für die Entstehung von Strukturen
(Galaxien, Galaxienhaufen usw.) im Universum, siehe Kap. (3). Konkrete Voraussagen der Inflation sind, dass die Störungen nahezu skaleninvariant, adiabatisch (keine Entropiestörungen)
und gaußverteilt sind.
4.1.2
Skalarfeld-Inflation
Die Eigenschaft P < 0 wird generisch von homogenen Skalarfeldern erfüllt. Deshalb wenden
wir uns jetzt den Eigenschaften kosmologischer Skalarfelder zu.
4
82
INFLATION
Bisher sind zwar noch keine Skalarfelder (Spin-0) in der Natur entdeckt worden, aber Theoretiker lieben sie dennoch. Zum einen braucht man sie zur Massenerzeugung durch spontane
Symmetriebrechung (Higgs), zum anderen wimmelt es in supersymmetrischen Modellen geradezu von ihnen.
Die Lagrangedichte L eines Skalarfeldes φ mit Potential V ist gegeben durch
1
Lφ = g µν ∂µ φ∂ν φ − V (φ)
(4.9)
2
Gl. (4.9) ist die einzige Funktion von φ und Ableitungen erster Ordnung von φ (damit die
Bewegungsgleichungen maximal Ableitungen zweiter Ordnung enthalten), die im lokalen Orthonormalsystem (gµν → ηµν ) lorentzinvariant wird.
Aus der Lagrangedichte gewinnt man allgemein die Wirkung:
Z
√
S = d4 x −g L
(4.10)
√
( −gd4 x ist das 4-dimensionale Volumenelement).
Das Wirkungsprinzip besagt, dass die Variation von S bezüglich der Koordinaten φ und ∂µ φ
verschwinden muß:
Z
√
∂L
∂L
4
δS =
d x −g
δφ +
δ(∂µ φ)
∂φ
∂(∂µ φ)
Z
Z
√
√
∂L
∂
∂
∂L
∂L
4
4
=
d x −g
−
δφ
δφ + d x −g µ
∂φ ∂xµ ∂(∂µ φ)
∂x
∂(∂µ φ)
= 0
(4.11)
Der zweite Schritt folgt durch partielle Integration.
Durch die Annahme δφ = 0 an den Integrationsgrenzen verschwindet der zweite Term in der
zweiten Zeile von Gl. (4.11), so dass:
∂
∂L
∂L
−
=0
(4.12)
∂φ ∂xµ ∂(∂µ φ)
Mit L = Lφ aus Gl. (4.9) folgt daraus die Bewegungsgleichung für Skalarfelder:
φ + V 0 (φ) = 0
(4.13)
wobei V 0 für die Ableitung nach φ steht und der d’Alembert-Operator ist, für den gilt:
φ = g µν ∇µ ∂ν φ
√
1
= √ ∂µ [ −g g µν ∂ν φ]
−g
(4.14)
Im speziellen Fall des FRW-Universums mit der Metrik (2.23) und verschwindenden räumlichen Feldgradienten wird aus Gl. (4.13):
φ̈ + 3H φ̇ + V 0 (φ) = 0
(4.15)
4
83
INFLATION
Gl. (4.15) beschreibt die Zeitentwicklung eines klassischen, homogenen Skalarfeldes im FRWUniversum. In der Inflationstheorie liefert sie eine der klassischen Hintergrundsgleichungen.
Ein weiterer wichtiger Fall ist der eines freien, massiven Skalarfeldes auf Skalen innerhalb des
Horizonts. Dann ist der H-Term vernachlässigbar und V = m2 φ2 /2 und es folgt:
φ̈ − ∆φ + m2 φ = 0
(4.16)
Dies ist die Klein-Gordon-Gleichung.
Es fehlt uns noch die Energiedichte und der Druck von Skalarfeldern. Dazu brauchen wir den
Energie-Impulstensor Tµν . Wir erhalten ihn wieder aus dem Wirkungsprinzip.
Die Einstein-Hilbert-Wirkung folgt aus der Lagrangedichte
1
L = Mpl2 R + Lmat
2
(4.17)
Hier steht R für den Ricciskalar (Vorsicht: Verwechslungsgefahr mit dem Skalenfaktor!) und
Lmat bezeichnet den Materieanteil der Lagrangedichte (z.B. Lφ ).
Variiert man die Wirkung nach gµν folgen aus Gl. (4.17) die Einstein-Gleichungen (2.60) mit
Tµν = 2
∂Lmat
− gµν Lmat
∂g µν
Mit Lmat = Lφ aus Gl. (4.9) folgt aus Gl. (4.18) der Energie-Impulstensor von φ:
1 αβ
Tµν = ∂µ φ∂ν φ − gµν g ∂α φ∂β φ − V (φ)
2
(4.18)
(4.19)
Druck und Dichte sind im lokalen Ruhesystem definiert, in dem gµν = ηµν und die Impulsdichte T 0i = −φ̇∂i φ verschwindet (und damit die räumlichen Gradienten; das legt den Begriff
“mitbewegt” für Skalarfelder fest).
Dort sind:
1 2
φ̇ + V (φ)
2
1 2
=
φ̇ − V (φ) δij
2
ρφ = T00 =
pφ δij = Tij
(4.20)
Bei einem langsam variierenden Skalarfeld (φ̇2 V ) ist also tatsächlich pφ ≈ −ρφ und damit
Definition III (4.8) erfüllt.
4.1.3
Slow-Roll Inflation
Betrachten wir den Fall eines einzelnen, homogenen Skalarfeldes φ im frühen Universum, das
über alle anderen evtl. vorhandenen Felder dominiert. Wir nennen φ das Inflatonfeld.
Wenn φ nicht ganz homogen ist oder nicht vollständig über alles andere dominiert, aber die
Bedingungen für Inflation gegeben sind (weff < −1/3), dann werden diese Eigenschaften nach
4
84
INFLATION
kurzer Inflationszeit gegeben sein. Das selbe gilt für die Vernachlässigung des Krümmungsterms in der Friedmann-Gleichung.
Die Friedmann-Gleichung (2.64) wird in diesem Fall zu:
1
1 2
2
H =
φ̇ + V (φ)
(4.21)
3Mpl2 2
Wir führen jetzt eine wichtige Näherung ein, die sog. Slow-Roll-Näherung. Darin vernachlässigt
man φ̇2 gegenüber V in Gl. (4.21), sowie φ̈ gegenüber 3H φ̇ und V 0 in Gl. (4.15):
H2 '
V (φ)
3Mpl2
3H φ̇ ' −V 0 (φ)
(4.22)
Genauer gesagt, man definiert die Slow-Roll-Parameter
Mpl2 V 0 2
(φ) ≡
2
V
00
V
(4.23)
η(φ) ≡ Mpl2
V
und vernachlässigt, in nullter Ordnung, Terme der Ordnung O(, |η|).
1 und |η| 1 sind notwendige Bedingungen für die Slow-Roll-Gleichungen (4.22), wie
man durch Einsetzen erkennen kann.
Allerdings sind sie nicht hinreichend für die Gültigkeit von Gl. (4.22), weil die volle Gl. (4.15)
zweiter Ordnung in der Zeitableitung ist und Gl. (4.23) nur die Form des Potentials einschränkt.
Es ist deshalb möglich, Anfangswerte für φ̇ derart zu wählen, dass die Slow-Roll-Gleichungen
(4.22) nicht gültig sind. Man benötigt eine weitere Eigenschaft neben der Flachheit des Inflatonpotentials (ausgedrückt durch 1 und |η| 1).
Diese Eigenschaft ist dadurch gegeben, dass die Lösungen von (4.22) als Attraktoren wirken:
Lösungen, die anfänglich die Slow-Roll-Bedingungen verletzen, tendieren dazu, sich ihnen anzunähern.
Man kann die Attraktoreneigenschaft (zumindest linear) beweisen, aber sie ist auch anschaulich
zu verstehen: der H-Term in Gl. (4.15) wirkt als Dämpfungsterm ( vgl. Störungstheorie!). Bei
großem H (bzw. V (φ)) bewegt sich φ wie ein Pendel in Honig.
Die Slow-Roll-Bedingungen sind hinreichend für Inflation. Definition I (4.6) besagt, dass
ä
= Ḣ + H 2 > 0
a
Ḣ
− 2 < 1
H
< 1
(4.24)
(Für den letzten Schritt muss einfach H 2 in Gl. (4.22) nach der Zeit abgeleitet werden.)
Die Slow-Roll-Bedingungen sind andererseits nicht notwendig für Inflation. Es existieren inflationierende Lösungen ohne Slow-Roll, allerdings zumeist nur sehr kurze.
4
85
INFLATION
4.2
Verlauf der Inflation
Ein Inflationsmodell besteht aus einem geeigneten Potential und einer Möglichkeit, die Inflation
zu beenden und das Universum “aufzuheizen”. Letzteres ist dabei wesentlich besser verstanden
als der Beginn der Inflation.
4.2.1
Anfang
Man geht (mit wichtigen Ausnahmen!) davon aus, dass die Inflation in der Nähe der Planckskala
begann:
V 1/4 (φi ) ∼ Mpl
(4.25)
In dieser Phase ist die geläufige Vorstellung, dass das Universum ein “chaotischer” (A. Linde)
Schaum ist, in dem φ an manchen Stellen homogen genug ist, um eine Inflationslösung zu
erlauben.
Früher lässt sich das Universum nicht ohne Quantengravitation beschreiben. Wenn die Inflation
später beginnt, würde ein geschlossenes Universum innerhalb einer Planckzeit kollabieren.
Ein Grund, warum Gl. (4.25) für offene und geschlossene Universen gelten sollte, ist die Zerstörung
der Homogenität von φ durch propagierende Inhomogenitäten.
Diese breiten sich ∼ mit Lichtgeschwindigkeit aus. Ein Bereich, der zur Zeit t1 homogen ist,
“überlebt” bis t2 nur, wenn seine anfängliche Ausdehnung größer ist als
Zt2
r(t1 ) = a(t1 )
dt
a
t1
a(t
Z 2)
= a(t1 )
da
a2 H
a(t1 )
1
(wenn Inflation bei t1 beginnt)
H(t1 )
a(t1 )
1
∼
(wenn Inflation bei t2 beginnt)
a(t2 )H(t2 )
H(t1 )
∼
(4.26)
In den unteren Zeilen wurde das Intergral an der unteren bzw. oberen Grenze ausgewertet und
Definition II (4.7) verwendet.
Die zweite Zeile von Gl. (4.26) zeigt auch, dass das Horizontproblem von der Inflation nicht
vollständig gelöst, sondern nur abgemildert wird. Es bleibt die Ungewissheit, welche kausale
Struktur das Universum vor der Inflation hatte (ebenso bleibt die anfängliche Singularität nach
dem Penrose-Hawking-Theorem).
4
86
INFLATION
4.2.2
Länge
Die Länge der inflationären Phase drückt man durch die Anzahl der e-Faltungen aus:
af
N ≡ ln
ai
a
Zf
da
=
a
ai
Ztf
=
H dt
ti
1
' − 2
Mpl
Zφf
V
dV
V0
(4.27)
φi
mit Hilfe von Gl. (4.22).
Um das Horizont- und Flachheitsproblem zu lösen, braucht man N ≈ 62 . . . 70.
4.2.3
Ende
Das Ende der Inflation wird erreicht, wenn die Slow-Roll-Bedingung verletzt wird:
(φf ) = (φ(tf )) ∼ 1
(4.28)
Dies geschieht bei ausreichend kleinem V (φ). Nachdem φ langsam das Potential “heruntergerollt” ist, wird der Dämpfungsterm in Gl. (4.15) kleiner und φ beginnt, um das Minimum von
V zu oszillieren.
Wenn man Gl. (4.15) mit φ̇ multipliziert und über eine (∼ sinusförmige) Schwingungsperiode
T mittelt, findet man (wegen hφ̇2 iT ' ρφ und hV 0 φ̇iT ' 0):
ρ̇φ + 3Hρφ = 0
(4.29)
Das ist identisch zur Evolution von Materie (w = 0) nach Gl. (2.51), so dass die Energiedichte
nach der Inflation zunächst mit ρ ∼ a−3 abnimmt.
Jetzt muss man den Zerfall des Inflatons in andere Teilchen berücksichtigen. Ist die Kopplung
schwach (z.B. beim ausschließlichen Zerfall in Fermionen), läßt sich der Zerfall phänomenologisch durch die Kopplungskonstante Γφ beschreiben:
ρ̇φ + (3H + Γφ )ρφ = 0
(4.30)
Ein interessanterer Fall ist der schnelle Zerfall, wenn auch bosonische Kanäle vorhanden sind.
Dann kann es zu parametrischen Resonanzen kommen, durch die φ innerhalb weniger Oszillationen in Bosonen mit enormen nichtthermischen Besetzungszahlen zerfällt. Diese thermalisieren anschließend durch weitere Zerfälle.
4
87
INFLATION
Abbildung 20: Klassifikation von geeigneten Potentialen für das Inflatonfeld nach
dem typischen Wertebereich für φ.
Die (ältere) Theorie des langsamen, thermischen Zerfalls wird Reheating, die des resonanten
Zerfalls Preheating genannt. Ihre genaue Berechnung erfordert die Spezifizierung des Teilchenmodells (z.B. MSSM).
Eines der wesentlichen Ziele ist die Berechnung der endgültigen Temperatur nach der Thermalisierung, die den heißen Urknall einläutet, und die damit verbundene Häufigkeit evtl. Relikte.
4.2.4
Beispiele
Beispiel 1: massives Skalarfeld
Betrachten wir das freie, massive Skalarfeld mit
1
V (φ) = m2 φ2
2
1. Die Slow-Roll-Parameter (4.23) sind
Mpl2
=η=2 2
φ
(4.31)
(4.32)
2. Daraus folgt für das Ende der Inflation:
(φf ) = 1
φ2f = 2Mpl2
(4.33)
3. φi folgt aus der gewünschten Länge der Inflation, Gl. (4.27):
N=
φ2i
1
−
& 60
2
4Mpl 2
φi & 16Mpl
(4.34)
4
88
INFLATION
4. Mit der Einschränkung aus Gl. (4.25) folgt:
m∼
Mpl
16
(4.35)
Bem.: Man kann die gleiche Übung für V = λφ4 /4 machen – probieren Sie’s aus.
Beispiel 2: Power-law inflation:
Im Grenzfall sehr hoher Potenzen in V erhält man eines der wenigen exakt lösbaren Modelle:
r
2 φ
V (φ) = V0 exp −
(4.36)
p Mpl
Gl. (4.21) und (4.15) haben die Lösung:
a = a0 tp
s
p
2p Mpl ln
φ =
t
V0
p(3p − 1) Mpl
!
(4.37)
Die Slow-Roll-Parameter sind
1
p
2
η =
p
=
(4.38)
Inflation findet also statt, wenn p > 1.
4.3
Erzeugung von Störungen
Eine wichtige Eigenschaft der Inflationstheorie ist ihre Fähigkeit, den Ursprung kleiner Fluktuationen auf einem nahezu völlig homogenen und isotropen Hintergrund zu erklären. Diese
Fluktuationen sieht man als Anisotropien im Mikrowellen-Hintergrund; sie bilden den Keim
der großskaligen Struktur der Galaxien und Galaxienhaufen.
Die Argumentation läuft ungefähr wie folgt:
1. Quantenfluktuationen des Inflatonfeldes δφ führen zu Unterschieden in der zeitlichen Synchronisierung mitbewegter Hyperflächen und damit zu (adiabatischen) Krümmungsstörungen (in der mitbewegten Eichung).
2. Kleine Inflatonstörungen benehmen sich lokal wie masselose, freie Skalarfelder. Deren
Fourierkomponenten sind unabhängig und gehorchen harmonischen Oszillatorgleichungen.
4
89
INFLATION
Abbildung 21: Vergleich der Mechanismen für Hawkingstrahlung (links) und Inflationsstörungen (rechts). In beiden Fällen
wandeln sich virtuelle Teilchen durch die
Eigenschaften der Raumzeit in reale Teilchen um. Im Fall der Inflation geschieht
dies durch kausale Trennung der Partner
außerhalb des Hubbleradius.
3. In der semiklassischen Näherung werden die Inflatonstörungen quantisiert, während der
homogene Anteil von φ (das “Kondensat”) klassisch beschrieben wird. Die Quantisierung
führt zu Nullpunktsschwingungen der Fouriermoden, die beim Austritt aus dem Horizont
“einfrieren”.
4. Aufgrund von Gl. (4.24) bleibt H während der Slow-Roll-Phase nahezu konstant. Deshalb
ist auch die Amplitude der Nullpunktsschwingungen beim Horizontaustritt fast zeitunabhängig. Damit wird das Störungsspektrum skaleninvariant.
5. Die Amplitude der Störungen erlaubt außerdem eine Abschätzung des Wertes von H
während der Inflation.
4.3.1
Zusammenhang zwischen R und δφ
Wie gehabt, zerlegen wir das Inflatonfeld in einen homogenen Anteil und eine kleine Störung:
φ(x, t) = φ(t) + δφ(x, t)
(4.39)
Hierfür wählen wir räumlich flache Hyperflächen. Die übliche Wahl mitbewegter Hyperflächen
ist nicht möglich, weil dort die Impulsdichte verschwindet (vgl. die Herleitung von Gl. 4.20)
und mit ihr die räumlichen Gradienten von φ. Auf mitbewegten Hyperflächen ist also δφ = 0.
Die Zeitverschiebung beim Übergang von räumlich flachen zu mitbewegten Hyperflächen ist
nach Gl. (3.49) für jede Fourierkomponente:
δt = −
Im Slow-Roll-Limit wird δt singulär.
δφk
φ̇
(4.40)
4
INFLATION
Der Zusammenhang zur Krümmungsstörung wird durch Gl. (3.77) hergestellt :
H
Rk = −
δφk
φ̇
t=t∗
90
(4.41)
Dabei wird Gl. (4.41) zur Zeit t∗ ausgewertet, ein paar e-Faltungen nach dem Austritt der Mode
k aus dem Horizont. Zu dieser Zeit ist δφk fast konstant und klassisch, und daher wohldefiniert.
Andererseits ist Rk ab dann bis zum späteren Horizonteintritt konstant (im Gegensatz zu δφk ).
Uns bleibt also die Berechnung von δφk zur Zeit t∗ .
4.3.2
Die Inflatonstörung
Setzt man Gl. (4.39) in Gl. (4.13) ein, erhält man nach Linearisierung und Fouriertransformation
(zur Erinnerung: δφ lebt in der ungestörten FRW-Metrik):
" #
2
k
(δφk ).. + 3H(δφk ). +
+ m2 δφk = 0
(4.42)
a
mit m2 (t) ≡ V 00 .
Bem.: In der Herleitung von Gl. (4.42) wird ein Term erster Ordnung, (δ)φ(t), vernachlässigt.
Das ist eine Konsequenz der Slow-Roll-Näherung |η| 1.
Innerhalb bis kurz außerhalb des Horizonts (k ∼ aH) ist der Masseterm aufgrund der SlowRoll-Bedingung 1 (4.23) klein gegenüber dem ersten Term in Klammern:
2
k
..
.
(δφk ) + 3H(δφk ) +
δφk = 0
(4.43)
a
Sehr weit innerhalb des Horizonts (k aH) ist auch der Dämpfungsterm klein, und Gl. (4.42)
wird zur harmonischen Oszillatorgleichung:
2
k
..
(δφk ) +
δφk = 0
(4.44)
a
Wir brauchen δφk zr Zeit t∗ , also kurz außerhalb des Horizonts. Dafür ist Gl. (4.43) eine gute
Näherung.
Die Quantisierung von δφ verläuft ebenfalls im Fourierraum und ist, aufgrund von Gl. (4.44),
sehr ähnlich zu derjenigen eines harmonischen Oszillators.
Wir zerlegen δφk in zwei linear unabhängige Lösungen von Gl. (4.43) (wir dürfen das, weil sie
eine DGl 2. Ordnung ist):
δφk (t) = wk (t)ak + wk (t)∗ a†−k
(4.45)
4
91
INFLATION
Die Faktoren ak und a†−k sind bisher nichts weiter als konstante komplexe Amplituden. wk (t)
ist eine Lösung der Modengleichung:
2
k
ẅk + 3H ẇk +
wk = 0
(4.46)
a
Das Skalarfeld δφ wird quantisiert, indem man das Feld und seinen konjugierten Impuls zu
hermiteschen Operatoren ernennt, die den kanonischen Vertauschungsrelationen gehorchen.
Äquivalent dazu werden ak und a†−k zu Operatoren (den bekannten Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren der Teilchenzahldarstellung), die den Vertauschungsrelationen
[ak , a†k0 ] = δkk0
,
[ak , ak0 ] = 0
(4.47)
gehorchen.
Darüber hinaus gilt die Wronski-Bedingung für die Modenfunktionen wk :
wk ẇk∗ − ẇk wk∗ = i V −1
(4.48)
Sie liefert die Normierung von wk und damit eine der zwei nötigen Bedingungen zur Lösung
von Gl. (4.46).
Die andere Bedingung liefert die Phase von wk . Sie entspricht der Wahl eines Vakuums von
δφk . Das Vakuum ist derjenige Zustand |0i, der von ak vernichtet wird:
ak |0i = 0
(4.49)
Aus Gl. (4.45) folgt daher, dass eine andere Wahl der Phase von wk auch anderen ak und a†−k
entspricht. Deshalb gilt Gl. (4.49) für einen anderen Zustand.
Bem.: Im Minkowski-Raum ist das kein Problem, weil alle Vakua bis auf eine unitäre Transformation gleich sind (eine Folge der globalen Lorentz-Invarianz). In gekrümmten und nichtstationären Raumzeiten gilt dies nicht mehr, da die Festlegung der Phase koordinatenabhängig ist
und damit nicht unbedingt konstant sein muß. Das Vakuum des einen ist für andere Beobachter
u.U. ein angeregter Zustand. Das führt zu lustigen Phänomenen wie der Hawking-Strahlung
und dem Unruh-Effekt.
Wir wählen ein Vakuum, das auf sehr kleinen Skalen (bzw. bei sehr hohen Impulsen, p = κ =
k/a H) mit dem Minkowski-Vakuum identisch ist. Letzteres ist definiert durch
1
e−iκt
2Vphys κ
wk = p
(Vphys = a3 V ).
Diejenige Lösung von Gl. (4.46), die für κ H in Gl. (4.50) übergeht, ist:
H
k
ik
wk = √
i+
exp
aH
aH
2V k 3
(4.50)
(4.51)
(dabei wurde H ≈ const angenommen, was aufgrund der Slow-Roll-Bedingung möglich ist).
4
92
INFLATION
4.3.3
Das inflationäre Störungsspektrum
Der Vakuum-Erwartungswert der Inflatonfluktuation ist mit Hilfe von Gl. (4.45) und Gl. (4.49):
h0|δφ2k |0i = |wk |2
(4.52)
Real- und Imaginärteil von δφk haben unabhängige Wahrscheinlichkeitsverteilungen (für k aH das Betragsquadrat der Grundzustands-Wellenfunktion eines harmonischen Oszillators).
Ihre Phasen sind unkorreliert. Damit ist das Störungsfeld gaußverteilt.
Zur Zeit t = t∗ kurz nach dem Horizontaustritt (k ≈ aH) liefert Gl. (4.51):
h0|δφ2k |0it∗ =
H 2 (t∗ )
2V k 3
(4.53)
Das Spektrum folgt aus Gl. (3.92):
Pφ (k, t∗ ) =
H(t∗ )
2π
2
(4.54)
In der Slow-Roll-Näherung ändert sich H zwischen dem Horizontaustritt und t∗ nur vernachlässigbar wenig, und wir können schreiben:
2
H
Pφ (k, t∗ ) =
(4.55)
2π k=aH
d.h. H wird an der Stelle k = aH ausgewertet.
Gl. (4.41) liefert das Spektrum der Krümmungsstörungen:
2 2
H
H
PR (k) =
2π k=aH
φ̇
(4.56)
Mit Hilfe der Slow-Roll-Gleichungen (4.22) und (4.23) wird daraus:
1
12π 2 Mpl6
1
=
24π 2 Mpl4
PR (k) =
V3
V 02
V
(4.57)
Ausgedrückt durch den Dichtekontrast beim Horizonteintritt δH definiert in Gl. (3.112) wird
Gl. (4.57) zu:
1
V3
75π 2 Mpl6 V 02
1
V
=
4
150π 2 Mpl δH (k) =
(4.58)
4
93
INFLATION
Messungen der CMBR-Anisotropie auf sehr großen Skalen (k ' kpivot ≡ 7.5a0 H0 ) durch den
COBE-Satelliten liefern den Wert:
δH (kpivot ) = 1.91 × 10−5
unter der Annahme reiner adiabatischer Störungen.
Damit erhalten wir aus Gl. (4.58):
1/4
V
= 0.027Mpl
= 6.6 × 1016 GeV
(4.59)
(4.60)
Gl. (4.60) ist eine wichtige Einschränkung für die Wahl eines geeigneten Inflatonpotentials.
Da aber immer . 1 gilt, sieht man auch, dass die Energieskala der Inflation, V 1/4 , einige
Größenordnungen unter der Planckskala liegen muß.
Bem.: Welche Konsequenzen hat Gl. (4.60) für die Potentiale V = m2 φ2 /2 und V = λφ4 /4?
4.3.4
Der Spektralindex
Wir definieren den effektiven Spektralindex n(k) als
n(k) − 1 ≡
d ln PR
d ln k
(4.61)
Wenn n(k) ≈const in einem Bereich von k folgt daraus der Ansatz, den wir in Gl. (3.113)
gemacht haben.
Wir berechnen n(k) im Rahmen der Slow-Roll-Näherung an der Stelle k = aH. Hier gilt wegen
Gl. (4.22) und (4.23):
d ln k =
=
'
'
'
'
1
d(aH)
aH
1
(ȧH + aḢ) dt
aH
1
ȧH(1 − ) dt
aH
H dt
3H 2
− 0 dφ
V
V
− 2 0 dφ
Mpl V
(4.62)
4
94
INFLATION
Daraus kann man die Ableitungen der Slow-Roll-Parameter ausrechnen:
d
= 2η − 42
d ln k
dη
−
= −2η + ξ 2
d ln k
dξ 2
= −4ξ 2 + ηξ 2 + σ 3
−
d ln k
−
(4.63)
(4.64)
(4.65)
mit
V 0 V 000
V2
V 02 V 0000
(4.66)
σ 3 ≡ Mpl6
V3
Diese Slow-Roll-Hierarchie kann fortgesetzt werden, wobei jede neue Gleichung einen neuen
Parameter der Ordnung
dn+1 V
Mpl2n V −n (V 0 )n−1
(4.67)
dφn+1
einführt.
Mit Gl. (4.57) und (4.63) erhält man:
ξ 2 ≡ Mpl4
n − 1 = −6 + 2η
(4.68)
Damit ist gezeigt, dass die Inflation aufgrund der Slow-Roll-Bedingung ein nahezu skaleninvariantes Störungsspektrum produziert. Der physikalische Grund dafür ist, dass sich H – und
damit die Amplitude der Störungen – kaum änderte während die heute beobachteten Skalen den
Horizont verließen.
4.3.5
Jenseits der Slow-Roll-Näherung
Das Störungsspektrum kann auch ohne die Entwicklung nach Slow-Roll-Parametern berechnet
werden, d.h. im Rahmen reiner linearer Störungstheorie.
Dafür definiert man die Größen
u ≡ a δφ
aφ̇
z ≡
H
Damit ist u nach Gl. (4.41) ein Maß für die Krümmungsstörung:
u = −z R
(4.69)
(4.70)
Durch Ableitung von Gl. (3.81) nach der Zeit erhält man mit Hilfe von Gl. (3.78) und (3.63) in
konformer Zeit:
z 00
00
2
u + k −
u=0
(4.71)
z
4
95
INFLATION
(0 ≡ ∂/∂τ = a∂/∂t).
In konformer Zeit verschwindet der H-Dämpfungsterm, deshalb wird die Ähnlichkeit zum harmonischen Oszillator (hier mit zeitabhängigem Masseterm) noch deutlicher.
Wie in Kap. (4.3.2) wählt man eine Lösung w von Gl. (4.71), die für große Impulse das
Minkowski-Vakuum (4.50) repräsentiert.
Außerhalb des Horizonts hat sie die Eigenschaft:
w
→ const
z
(4.72)
d.h. sie “friert ein”.
Das Spektrum folgt wieder aus Gl. (3.92):
k3
PR (K) = 2 2 |w(k)|2
2π z
(4.73)
Man kann Gl. (4.71) auch herleiten, indem man die lineare Störungsentwicklung direkt in der
Wirkung durchführt. Dann findet man – nach sehr langer Rechnung – eine Wirkung für u:
Z
1
z 00 2
3
02
2
Su =
dτ d x u − (∇u) + u
(4.74)
2
z
4.3.6
Tensorstörungen
Ebenso wie skalare Krümmungsstörungen werden während der Inflation auch Tensorstörungen
(Gravitationswellen) produziert. Sie werden durch die räumliche Metrikstörung hij , definiert in
Gl. (3.43), beschrieben.
Tensormoden sind spurfrei und transversal:
δ ij hij = 0
∂i hij = 0
(4.75)
Das bedeutet, dass man ihre Fourierkomponenten in zwei Polarisationen aufteilen kann:
×
hij = h+ e+
ij + h× eij
(4.76)
+
×
×
mit e+
xx = −eyy = 1, exy = eyx = 1 und allen anderen Komponenten = 0 wenn k = (0, 0, kz ).
Aus der Einstein-Hilbert-Wirkung (4.17) folgt, dass die Größen
Mpl
ψ+,× ≡ √ h+,×
2
(4.77)
die Wirkung eines freien, masselosen Skalarfeldes haben.
Deshalb können wir Gl. (4.55) direkt für das Spektrum von ψ übernehmen und erhalten damit
für das Spektrum von h+,× :
2
2
H
Pgrav = 2
(4.78)
Mpl 2π k=aH
4
96
INFLATION
Der Tensor-Spektralindex ngrav ist ähnlich zu Gl. (4.61) definiert, allerdings ohne den historischen Ballast “−1”:
d ln PR
ngrav (k) ≡
(4.79)
d ln k
Damit folgt aus Gl. (4.62):
ngrav = −2
(4.80)
also wieder ein fast skaleninvariantes Spektrum.
Eine weitere wichtige Beziehung folgt aus der Tatsache, dass Tensor- und (adiabatische) Skalarmoden einen unterschiedlichen Beitrag zu den Temperaturstörungen des CMB liefern. Man
kann zeigen, dass
δT (grav)
r≡
' 12.4
(4.81)
δT (adiab)
Mit Gl. (4.80) ergibt diese Beziehung die sog. Konsistenzrelation:
r = −6.2ngrav
(4.82)
und damit einen Zusammenhang der Tensor- und Skalarspektren. Das ist eine Konsequenz der
Tatsache, dass beide Moden durch das gleiche Potential V produziert werden.
Es ist allerdings fraglich, ob man das Tensorspektrum in den nächsten Jahrzehnten messen kann.
Außerdem können weitere Freiheitsgrade (z.B. mehrere Inflatonfelder) die Konsistenzrelation
verletzen.
4.4
Epilog: Ewige Inflation
Zum Abschluss noch eine wahrhaftig weitreichende Konsequenz des Inflationsszenarios.
Der Begriff “Ewige Inflation” (eternal inflation) geht auf Vilenkin und Linde zurück und drückt
aus, dass der weitaus größte Teil des Universums nie die Inflation beendet.
Dies folgt aus der Tatsache, dass das Inflatonfeld im Laufe einer Hubblezeit Vakuum-Quantenfluktuationen
mit der rms-Amplitude ∆vac = H/2π durchlebt, während seine klassische Änderung ∆class =
φ̇/H beträgt.
Das Verhältnis beider Beiträge ist nichts anderes als die Störungsamplitude in der Slow-RollNäherung:
∆vac
H H
=
∆class
2π φ̇
1/2
= PR (k)k=aH
(4.83)
Dieses Verhältnis war klein, als die heute sichtbaren Skalen den Horizont verließen. Früher,
oder in anderen Bereichen des Universums, kann es aber genauso gut & 1 gewesen sein.
Eine genauere Analyse zeigt, das der bei weitem größte Volumenanteil des Universums nie das
Minimum von V erreicht, weil φ durch Quantenfluktuationen schneller das Potential “hochgekickt” wird, als es herunterrollen kann.
4
INFLATION
97
Unser beobachtbares Hubblevolumen könnte also eine kleine Insel in einem ewig inflationären
Universum sein. Diese Feststellung hat nicht nur philosophische Bedeutung, denn sie erlaubt
auch eine (ansatzweise) Quantifizierung des “anthropischen Prinzips”, das gerne zur Erklärung
der (heutigen) Beschleunigung des Universums herangezogen wird.