Anhang

A Topologische Räume, metrische
Räume und normierte Räume
In diesem Anhang sind einige Grundbegrie der Analysis kurz zusammengestellt. Für
eine ausführlichere Darstellung sei auf die Standardliteratur verwiesen, z.B.
•
H. Amann, J. Escher: Analysis I, Birkhäuser Verlag.
•
K. Jänich: Topologie, Springer Verlag.
•
D. Werner: Einführung in die höhere Analysis, Springer Verlag.
A.1 Topologische Räume
Ein Topologie auf einer Menge T ist ein
oene Mengen) mit den Eigenschaften
(O1)
∅
und
T
System
τ
von Teilmengen von
T
(genannt
sind oen;
(O2) der Durchschnitt zweier oener Mengen ist oen;
(O3) die Vereinigung beliebig vieler oener Mengen ist oen.
Man nennt dann
(T, τ ) einen topologischen
Raum. Topologische Räume wurden zuerst
von F. Hausdorff (1868 - 1942) betrachtet
Durch vollständige Induktion folgt aus (O2), dass der Schnitt endlich vieler oener
Mengen wieder oen ist.
A eines
T \ A oen
Eine Teilmenge
topologischen Raumes
Komplement
ist. Es gelten also
(A1)
∅
und
T
(T, τ )
heiÿt
abgeschlossen,
wenn ihr
sind abgeschlossen.
(A2) Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
(A3) Der Schnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
Im Allgemeinen gibt es Mengen, die weder oen noch abgeschlossen sind, und es kann
vorkommen, dass eine Menge sowohl oen als auch abgeschlossen ist.
Sei
(T, τ )
ein topologischer Raum und
M=
M ⊆ T.
\
Der
A⊇M
A
c
C. Kaiser 13. Oktober 2009
abgeschlossen
A - 1
Abschluss von M
A.
ist
(A.1)
Das
Innere von M
ist
[
int M =
O.
(A.2)
O⊆M
O
Ein Element von
int M
heiÿt
oen
innerer Punkt
von
Umgebung von t, wenn t ein innerer Punkt von U
M.
U von T
M ist
Eine Teilmenge
ist. Der
Rand von
heiÿt
∂M = M \ int M.
Ein Element von
Es ist klar, dass
int M
∂M
M
heiÿt
(A.3)
Randpunkt von M .
die kleinste abgeschlossene Menge ist, die
die gröÿte oene Menge, die in
M
M
enthalten ist. Der Rand
umfasst. Genauso ist
∂M
ist wegen
∂M = M ∩ (T \ int M )
abgeschlossen. Genau dann ist
M = int M )
M
(A.4)
abgeschlossen (bzw. oen), wenn
M = M
(bzw.
ist.
(T, τ ) ein topologischer Raum und D und M Teilmengen von T . D heiÿt dicht in
M , falls M ⊆ D. Im Fall M = T sagt man auch einfach, D sei dicht. T heiÿt separabel,
falls es eine abzählbare dichte Teilmenge von T gibt.
Seien
Sei
(T, τ )
ein topologischer Raum und
S ⊆ T.
Dann heiÿt
τ |S = {O0 ∩ S : O0 ∈ τ }
(A.5)
Relativtopologie oder Spurtopologie von τ auf S . Ist O ∈ τ |S , so nennt man O
relativ oen in S , und S \ O heiÿt relativ abgeschlossen in S . Es ist klar, dass τ |S
die
wirklich eine Topologie auf
S
ist.
Ein zentraler topologischer Begri ist der der Kompaktheit. Ein topologischer Raum
heiÿt
kompakt,
(Oi ) eine FamilieSoener Mengen
Oi1 , . . . , Oin mit T = nk=1 Oik .
Mit anderen Worten, wenn
existieren endlich viele
Eine Folge
t ∈ T,
(tn )
T
wenn jede oene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt.
in einem topologischen Raum
wenn jede Umgebung von
dann Grenzwert von
t
T
heiÿt
mit
T =
konvergent
alle bis auf endlich viele Punkte
S
i∈I
Oi
ist, so
gegen einen Punkt
tn
enthält.
t
heiÿt
(tn ). Im Allgemeinen ist der Grenzwert t einer Folge (falls existent)
nicht eindeutig bestimmt.
(T, τ ) heiÿt
in T jeweils
Hausdor-Raum
und
τ
Hausdor-Topologie,
disjunkte Umgebungen besitzen. Ist
(T, τ )
wenn verschiedene Punkte
ein Hausdor-Raum, so ist der
Grenzwert einer konvergenten Folge eindeutig bestimmt.
Seien
heiÿt
(T1 , τ1 )
Umgebung von
c
(T2 , τ2 ) topologische Räume und f : T1 → T2 eine Abbildung. f
t ∈ T1 , wenn für jede Umgebung V von f (t) das Urbild f −1 (V ) eine
t ist. f heiÿt stetig auf T1 , wenn f an jedem Punkt t ∈ T1 stetig ist.
und
stetig bei
C. Kaiser 13. Oktober 2009
A - 2
A.1.1 Satz Für eine Abbildung f zwischen topologischen Räumen T1 und T2 sind die
folgenden Bedingungen äquivalent.
1. f ist stetig.
2. Für alle oenen Mengen O ⊆ T2 is f −1 (O) oen in T1 .
3. Für alle abgeschlossenen Mengen A ⊆ T2 ist f −1 (A) abgeschlossen in T1 .
4. Für alle Mengen M ⊆ T1 gilt f (M ) ⊆ f (M ).
Ist
T1
f : T1 → T2
t ∈ T1 , so impliziert die Konvergenz von (tn ) gegen t in
(f (tn )) gegen f (t) in T2 . Die Umkehrung dieser Aussage ist im
stetig bei
die Konvergenz von
Allgemeinen falsch.
Ein topologischer Raum heiÿt
disjunkten Teilmengen
normal, wenn es zu je zwei nichtleeren abgeschlossenen
A, B ⊆ T
oene disjunkte Teilmengen
U ⊇A
und
V ⊇B
gibt.
A.1.2 Lemma von Urysohn Sei T ein normaler topologischer Raum und A, B abgeschlossene, disjunkte Teilmengen von T . Dann existiert eine stetige Funktion f : T →
[0, 1] mit f |A = 0 und f |B = 1.
A.2 Metrische Räume
Eine Menge
(s, t, u
∈M
M,
versehen mit einer Abbildung
mit den Eigenschaften
beliebig)
(M1)
d(s, t) ≥ 0,
(M2)
d(s, t) = d(t, s),
(M3)
d(s, u) ≤ d(s, t) + d(t, u)
(M4)
d(s, t) = 0 ⇐⇒ s = t,
heiÿt
d : M ×M → R
(Dreiecksungleichung),
metrischer Raum. Die Abbildung d heiÿt Metrik. Metrische Räume wurden zuerst
von M. R. Fréchet (1878 - 1973) untersucht.
In einem metrischen Raum
(M, d)
betrachten wir die Kugeln
Ur (t) = {s ∈ M : d(s, t) < r}.
(A.6)
τ = {O ⊆ M : ∀t ∈ O ∃r > 0 Ur (t) ⊆ O}
(A.7)
Dann ist
eine Hausdor-Topologie auf
M,
genannt die von
d
induzierte Topologie. Wir fassen
einen metrischen Raum stillschweigend als topologischen Raum, versehen mit der von
der Metrik induzierten Topologie, auf.
Eine Folge
(tn )
in einem metrischen Raum
(M, d)
∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N
c
C. Kaiser 13. Oktober 2009
A - 3
ist konvergent gegen
d(tn , t) ≤ ε.
t ∈ M,
falls
(A.8)
Da die induzierte Topologie Hausdorsch ist, ist der Grenzwert
A.2.1 Satz Sei f
t
eindeutig bestimmt.
: M1 → M2 eine Abbildung zwischen metrischen Räumen. Dann sind
äquivalent:
1. f ist stetig bei t0 .
2. ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀t ∈ M1
d1 (t, t0 ) < δ =⇒ d2 (f (t), f (t0 )) < ε.
3. Für alle Folgen (tn ) in M1 gilt: tn → t0 =⇒ f (tn ) → f (t0 ) .
Eine Metrik induziert nicht nur eine topologische Struktur, sondern auch eine unifor-
me Struktur, die sich in den Begrien Cauchyfolge, Vollständigkeit und gleichmäÿiger
Stetigkeit manifestiert. Diese Begrie haben kein Gegenstück in der Theorie der topologischen Räume. Es ist zu beachten, dass verschiedene Metriken auf einer Menge zwar
dieselbe Topologie, aber unterschiedliche uniforme Strukturen erzeugen können.
Cauchyfolge in einem metrischen Raum (M, d) ist durch die Forderung
Eine
∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n, m ≥ N
d(tn , tm ) ≤ ε
(A.9)
vollständig, wenn jede Cauchyfolge konvergiert.
Eine Abbildung f : M1 → M2 heiÿt gleichmäÿig stetig, wenn
deniert. Ein metrischer Raum heiÿt
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀s, t ∈ M1
d1 (s, t) < δ =⇒ d2 (f (s), f (t)) < ε.
Bei der Denition der Stetigkeit darf
gleichmäÿigen Stetigkeit hat man
δ
δ
vom betrachteten Punkt
unabhängig von
t
t0
(A.10)
abhängen. Bei der
zu wählen. Im Gegensatz zur
Stetigkeit handelt es sich hier also um eine globale Eigenschaft.
A.3 Normierte Räume
Sei
K=R
oder
K = C und X ein K-Vektorraum.
∈ X , λ ∈ K)
Eine Abbildung
k·k : X → R
mit den
Eigenschaften (x, y
(N1)
kxk ∈ [0, ∞),
(N2)
kλxk = |λ|kxk,
(N3)
kx + yk ≤ kxk + kyk
(N4)
kxk = 0 ⇔ x = 0.
heiÿt
(Dreiecksungleichung),
Norm auf X . Das Paar (X, k·k) heiÿt normierter Raum. Jede Norm deniert eine
Metrik
d
auf
X
durch
d(x, y) = kx − yk.
Diese Metrik heiÿt die von der Norm
k·k
(A.11)
induzierte Metrik. Spricht man in einem nor-
mierten Raum z.B. von Konvergenz, so ist die Konvergenz bzgl. der von der Norm
induzierten Metrik gemeint.
c
C. Kaiser 13. Oktober 2009
A - 4
Ein vollständiger normierter Raum heiÿt
A.3.1 Beispiel
Sei
S
Banachraum.
eine beliebige nichtleere Menge und
beschränkten Funktionen
f : S → K.
Auf
`∞ (S)
`∞ (S) der K-Vektorraum aller
ist durch
kf k∞ = sup |f (s)|
(A.12)
s∈S
eine Norm deniert, die sogenannte Supremumsnorm.
(`∞ (S), k·k∞ ) ist sogar vollständig, also ein Banachraum: Sei dazu
∞
Cauchyfolge in ` (S). Für jedes s ∈ S gilt
Der normierte Raum
(fn )
eine
|fn (s) − fm (s)| ≤ kfn − fm k∞ .
Also ist
(fn (s))
eine Cauchyfolge in
ist eine Funktion
von
(fn )
f :S→K
K
(A.13)
und besitzt daher einen Grenzwert
f (s).
Damit
deniert, die nach Konstruktion der punktweise Grenzwert
ist.
Es bleibt zu zeigen, dass
Sei hierzu
ε>0
f ∈ `∞ (S)
ist und dass
vorgegeben. Wir wählen
n0 ∈ N
kfn − fm k∞ ≤ ε
(fn )
bzgl.
k·k∞
gegen
f
konvergiert.
so, dass
∀n, m ≥ n0 .
(A.14)
Insbesondere ist
|fn (s) − fm (s)| ≤ ε
m→∞
Der Grenzübergang
∀n, m ≥ n0
∀s ∈ S.
(A.15)
liefert
|fn (s) − f (s)| ≤ ε
∀n ≥ n0
∀s ∈ S.
(A.16)
Hieraus folgt einerseits
|f (s)| ≤ |fn0 (s)| + ε ≤ kfn0 k∞ + ε
und damit die Beschränktheit von
f.
∀s ∈ S
(A.17)
n ≥ n0 ,
(A.18)
Andererseits ist
kfn − f k∞ = sup |fn (s) − f (s)| ≤ ε
s∈S
d.h.
(fn )
konvergiert gegen
f
bzgl. der Supremumsnorm.
Es sei noch angemerkt, dass die Konvergenz in der Supremumsnorm
ÿige Konvergenz auf
c
C. Kaiser 13. Oktober 2009
S
ist.
A - 5
k·k∞
die gleichmä-
B Maÿ- und Integrationstheorie
Im folgenden sind einige Ergebnisse aus der Maÿ- und Integrationstheorie zusammengestellt, die wir im Laufe der Vorlesung brauchen werden. Für die Beweise der Sätze sei
auf die zahlreichen Lehrbücher zum Thema verwiesen, z.B.
•
J. Elstrodt: Maÿ- und Integrationstheorie. 3., erweiterte Au., Springer 2002.
•
F. Jones: Lebesgue integration on Euclidean space, Jones and Bartlett Publishers
1993.
Zur Motivation erinnern wir uns zunächst an die Idee des Riemann-Integrals, benannt
nach B. Riemann (1826-1866). Wir betrachten eine beschränkte Funktion
[0, ∞).
Für jede Zerlegung
Z
des Intervalls
[a, b]
f : [a, b] →
Ik bilden
in endlich viele Teilintervalle
wir die Unter- und Obersummen
UR (f, Z) =
X
λ(Ik ) inf f (x),
x∈Ik
k
Hierbei bezeichne
λ(Ik )
die Länge des Intervalls
f Riemann-integrierbar
supZ UR (f, Z).
dann heiÿt
durch
OR (f, Z) =
Ik .
Ist
und man deniert
X
λ(Ik ) sup f (x).
k
x∈Ik
supZ UR (f, Z) = inf Z OR (f, Z),
Rb
das Riemann-Integral
a f (x)dx
Die Konstruktion des Riemann-Integrals ist einfach und anschaulich. Allerdings hat
dieser Integralbegri (mindestens) einen entscheidenden Nachteil: Die Kriterien für die
Vertauschung von Limes und Integral sind unbefriedigend. Deshalb verwenden wir das
etwas allgemeinere Lebesgue-Integral. Es ist nach H. Lebesgue (1875-1941) benannt.
Die Grundidee des Lebesgue'schen Integralbegris besteht darin, den Bildbereich der
f in Teilintervalle zu zerlegen. Sei hierzu n ∈ N und Jn,k = [ nk , k+1
n ) für
k = 0, 1, 2, . . . . Nun betrachten wir die Urbildmengen der Intervalle Jn,k unter f , also die
k
k+1
−1 (J
Mengen En,k = f
n,k ) = {x ∈ [a, b] : n ≤ f (x) < n }. Wenn wir nun die Länge
von Ek,n messen können, dann können wir die Lebesgue'schen Unter- und Obersummen
Funktion
UL (f, n) =
∞
X
k=0
k
λ(En,k ) ,
n
hinschreiben. Da die Mengen
Ek,n
OL (f, n) =
∞
X
k=0
λ(En,k )
k+1
n
im allgemeinen sehr kompliziert aussehen können,
ist a priori nicht klar, wie man die Länge einer solchen Menge messen kann. Deshalb
wenden wir uns zuerst dem Begri der Messbarkeit von Mengen zu.
c
C. Kaiser 13. Oktober 2009
B - 1
B.1 Messbarkeit
Als Motivation für den Begri der Messbarkeit betrachten wir zunächst die Menge
reellen Zahlen. Ziel ist es, möglichst vielen Teilmengen von
Ist
mit
R
R der
eine Länge zuzuordnen.
A eine solche messbare Teilmenge von R, dann bezeichnen wir die Länge von A
λ(A). Wir wollen folgende aus der Anschauung motivierte Forderungen an unseren
Längenbegri stellen:
1. Für ein Intervall
λ([a, b]) = b − a.
[a, b]
mit
b≥a
ist es einfach, seine Länge anzugeben: wir setzen
(Insbesondere hat ein Punkt
{a}
die Länge 0.)
A, B zwei disjunkte Teilmengen von R, deren Längen wir schon kennen, dann
λ(A ∪ B) = λ(A) + λ(B) sein. Etwas allgemeiner: Sind A1 , A2 , . . . abzählbar
viele paarweise disjunkte Teilmengen von R, deren Länge bekannt ist, dann soll
P∞
S
λ( ∞
j=1 λ(Aj ) sein. Man sagt, die Länge soll σ -additiv sein. (Insbej=1 Aj ) =
sondere hat dann jede abzählbare Teilmenge von R Länge 0.)
2. Sind
soll
3. Ist
A ⊆ B,
dann fordern wir
λ(B \ A) = λ(B) − λ(A).
4. Die Länge einer Menge soll sich nicht ändern, wenn man die Menge verschiebt
(Translationsinvarianz).
Man kann zeigen, dass man nicht jeder Teilmenge von
R
eine Länge zuordnen kann, so
dass die genannten Forderungen erfüllt sind. Deshalb werden wir uns auf eine Teilmenge
der Potenzmenge von
Borel'sche
R
zurückziehen, auf die nach E. Borel (1871-1956) benannte
σ -Algebra.
Messbare Mengen
Wir führen zunächst den Begri der
B.1.1 Denition
Ω
Sei
Ω
σ -Algebra
eine Menge und
A
über einer Menge
Ω
ein.
eine Teilmenge der Potenzmenge
P(Ω)
von
mit
(1)
∅ ∈ A,
(2)
A ∈ A ⇒ Ω \ A ∈ A,
S
A1 , A2 , · · · ∈ A ⇒ j∈N Aj ∈ A.
(3)
Dann heiÿt
A σ -Algebra
über
Ω.
Jede Menge in
A
heiÿt
A-messbar.
σ -Algebren über einer Menge Ω sind {∅, Ω} und P(Ω). Zu
σ -Algebra. Weiter ist der Schnitt
von σ -Algebren über Ω stets wieder eine σ -Algebra über Ω (Beweis?). Als wichtiges
Beispiel betrachten wir die schon oben erwähnte Borel'sche σ -Algebra B über R. Sie
ist deniert als der Schnitt über diejenigen σ -Algebren, die alle endlichen Teilintervalle
von R enthalten. B wird auch die σ -Algebra der Borelmengen genannt.
Die einfachsten Beispiele von
jeder Menge
c
Ω
existiert also immer mindestens eine
C. Kaiser 13. Oktober 2009
B - 2
B.1.2 Übungsaufgabe
(a)
Ω ∈ A,
(b)
Sei
Ω
eine Menge und
A ⊆ P(Ω)
A, B ∈ A ⇒ A \ B ∈ A,
B.1.3 Übungsaufgabe
Seien
Ω1 , Ω2
σ -Algebra. Dann gilt:
T
A1 , A2 , · · · ∈ A ⇒ j∈N Aj ∈ A.
(c)
f : Ω1 → Ω2
Mengen und
−1 (A )
(a) Ist A2 eine σ -Algebra über Ω2 , dann ist f
2
Algebra über
(b) Ist
über
A1
eine
eine Funktion.
{f −1 (A)
=
: A ∈ A2 }
eine
σ-
Ω1 .
eine
σ -Algebra über Ω1 , dann ist {B ∈ P(Ω2 ) : f −1 (B) ∈ A1 } eine σ -Algebra
Ω2 .
Nun kommen wir zur Denition des Maÿes.
B.1.4 Denition
(1)
µ(∅) = 0,
(2)
µ
A
σ -additiv,
ist
Dann heiÿt
Sei
µ
eine
d.h.
σ -Algebra
über einer Menge
A1 , A2 , · · · ∈ A
disjunkt
(a) Sei
Ω
ein Menge und
µ : P(Ω) → [0, ∞]
(
|A|,
µ(A) =
∞,
(Ω, P(Ω), µ)
A
(b) Sei
eine
ein Maÿraum.
σ -Algebra
heiÿt
B
(Ω, A, δx )
ein Maÿraum.
die Borel'sche
δx
j∈N Aj )
=
mit
P
j∈N µ(Aj ).
gegeben durch
endlich,
Zählmaÿ auf Ω.
Ω
und
(
1,
δx (A) =
0,
Dann ist
A
µ : A → [0, ∞]
sonst.
über einer Menge
durch
(c) Sei
µ
falls
und
S
Maÿ auf A und (Ω, A, µ) heiÿt Maÿraum.
B.1.5 Beispiel
Dann ist
⇒ µ(
Ω
heiÿt
x ∈ Ω.
Sei
δx : A → {0, 1}
gegeben
x ∈ A,
x∈
/ A.
Dirac-Maÿ.
σ -Algebra über R. Dann existiert genau ein Maÿ β : B → [0, ∞]
mit den zusätzlichen Eigenschaften
β
(3)
β((a, b)) = β([a, b]) = b − a,
(4)
β ist translationsinvariant, d.h. für alle x ∈ R und alle A ∈ B ist β(x+A) = β(A).
heiÿt
Lebesgue-Borel-Maÿ
auf
falls
R.
a < b,
Das Lebesgue-Borel-Maÿ erfüllt also alle vier in
der Einleitung genannten Forderungen für einen Längenbegri . Für den nicht ganz
einfachen Beweis der Existenz und Eindeutigkeit von
β
verweisen wir auf die angegebene
Literatur.
Sei
(Ω, A, µ)
Gibt es eine
eine Maÿraum. Eine Menge
µ-Nullmenge N ,
c
C. Kaiser 13. Oktober 2009
heiÿt
µ-Nullmenge,
µ-fast
alle ω ∈ Ω.
(a) Die abzählbare Vereinigung von
B - 3
µ(N ) = 0 ist.
ω ∈ Ω \ N gilt,
falls
so dass eine gewisse Eigenschaft für alle
dann sagt man, diese Eigenschaft gilt für
B.1.6 Übungsaufgabe
N ∈A
µ-Nullmengen
ist wieder
eine
µ-Nullmenge.
A ⊆ R abzählbar,
(b) Ist
dann ist
A
eine
β -Nullmenge.
Nun könnte man erwarten, dass jede Teilmenge einer
µ-Nullmenge
ebenfalls Maÿ 0 hat.
Aber im Allgemeinen gehört nicht einmal jede solche Teilmenge zur dem Maÿ zugrundeliegenden
σ -Algebra. Ein Beispiel hierfür ist die Borel'sche σ -Algebra B . Deshalb führen
wir die Denition eines vollständigen Maÿraumes ein (nicht zu verwechseln mit einem
vollständigen metrischen Raum!): Ein Maÿraum
Teilmenge einer
µ-Nullmenge
zu
A
(Ω, A, µ)
heiÿt
vollständig,
falls jede
gehört.
B.1.7 Satz und Denition Sei
(Ω, A, µ) ein Maÿraum und N = {N ⊆ A : A ∈
A, µ(A) = 0} die Menge aller Teilmenge von µ-Nullmengen. Deniere Ae := {A ∪ N :
A ∈ A, N ∈ N } und µ
e : A → [0, ∞] mit µ
e(A ∪ N ) = µ(A) für A ∈ A, N ∈ N .
e
eµ
Dann ist A eine σ -Algebra über Ω, µe ist wohldeniert und (Ω, A,
e) ist ein vollständiger
Maÿraum, genannt die Vervollständigung von (Ω, A, µ).
σ -Algebra über R heiÿt σ -Algebra der Lebesguemessbaren Mengen über R und wird mit L bezeichnet. Man kann zeigen, dass L eine
e heiÿt Lebesgue-Maÿ und wird
echte Teilmenge von P(R) ist. Das zugehörige Maÿ β
mit λ bezeichnet.
Die Vervollständigung der Borel'schen
Messbare Funktionen
Wir kommen nun zum zentralen Begri einer messbaren Funktion.
B.1.8 Denition
Sei
(a) Eine Funktion
Ω
eine Menge und
f : Ω → [−∞, ∞]
A
heiÿt
eine
σ -Algebra
A-messbar
über
Ω.
−1 ([a, b))
, falls f
∈A
für
−∞ ≤
a < b ≤ ∞.
(b) Eine Funktion
f :Ω→C
heiÿt
A-messbar,
falls
Re f
und
Im f A-messbar
sind.
B -messbar (L-messbar) sagen wir auch Borel-messbar (Lebesgue-messbar). Ist
f : R → [−∞, ∞] bzw. f : R → C Borel-messbar, dann ist f Lebesgue-messbar, da B
eine Teilmenge von L ist. Ist f : R → C stetig, dann ist f Borel-messbar, also auch
Statt
Lebesgue-messbar.
B.1.9 Satz Sei Ω eine Menge und A eine σ-Algebra über Ω.
(a) Sind f, g : Ω → [−∞, ∞] A-messbar und ist α ∈ C, dann sind auch αf , f + g , f · g ,
|f |, max{f, g}, min{f, g} A-messbar.
(b) Sind fn : Ω → [−∞, ∞] A-messbar, dann sind supn∈N fn , inf n∈N fn , lim supn→∞ fn ,
lim inf n→∞ fn A-messbar. Insbesondere ist limn→∞ fn A-messbar, falls dieser Limes
punktweise in [−∞, ∞] existiert.
c
C. Kaiser 13. Oktober 2009
B - 4
B.1.10 Denition
Sei
A
eine
σ -Algebra
über der Menge
Ω.
(a) Eine Funktion der Gestalt
(
1,
χA (x) =
0,
heiÿt
x∈A
x∈Ω\A
Indikatorfunktion der Menge AP
⊆ Ω.
(b) Eine Funktion der Gestalt
Treppenfunktion.
φ =
n
k=1 αk χAk mit
αk ∈ C
und
Ak ∈ A
heiÿt
A-
B.1.11 Satz Sei A eine σ-Algebra über einer Menge Ω. Dann gilt:
(a) A-Treppenfunktionen sind A-messbar.
(b) Ist f : Ω → [−∞, ∞] bzw. f : Ω → C A-messbar, dann existiert eine Folge (φn ) von
A-Treppenfunktionen mit f (x) = limn→∞ φn (x) für alle x ∈ Ω.
(c) Ist f : Ω → [0, ∞] A-messbar, dann kann (φn ) aus (b) so gewählt werden, dass
0 ≤ φ1 ≤ φ2 ≤ . . . .
(d) Ist f : Ω → C A-messbar und beschränkt, dann kann (φn ) aus (b) so gewählt werden,
dass φn → f gleichmäÿig in Ω.
Beweisidee:
φn : Zerlege [0, n) in Intervalle Ik,n der Länge
P 2 −1 k
k
k+1
Ek,n := {x ∈ Ω : n ≤ f (x) < n } und φn = nk=0
n χEk,n .
(b) Ist f : Ω → [−∞, ∞], wende (c) auf f+ = max{f, 0} und f− = max{−f, 0}
Ist f : Ω → C, betrachte Re f und Im f .
B.2 Das
(c) Konstruktion von
1
n , setze
an.
µ-Integral
In diesem Abschnitt sind die wichtigsten Denitionen und Sätze über das
µ-Integral
enthalten. Auf Beweise wird verzichtet. Man ndet sie in der angegebenen Literatur.
Integrierbarkeit
Sei
(Ω, A, µ)
µ-Integral zunächst für nichtnegative
A-Treppenfunktion mit αk ≥ 0 für alle k ,
ein Maÿraum. Wir denieren das
Treppenfunktionen: Ist
f=
Pn
k=1 αk χEk
dann setzen wir
Z
f dµ :=
Ω
eine
n
X
αk µ(Ek ) ∈ [0, ∞].
k=1
Die Denition ist unabhängig von der Wahl der Darstellung von
A-messbaren Funktion f : Ω → [0, ∞] zu. Nach
(φn ) von Treppenfunktionen mit 0 ≤ φ1 ≤ φ2 ≤ . . .
Nun wenden wir uns einer beliebigen
Satz B.1.11 gibt es dann eine Folge
c
C. Kaiser 13. Oktober 2009
f.
B - 5
R
f = limn→∞ φn . Die Zahlenfolge ( Ω φn dµ)n∈N ist monoton wachsend und hat daher
einen Grenzwert in [0, ∞]. Wir denieren
Z
Z
φn dµ.
f dµ := lim
und
n→∞ Ω
Ω
Die Denition ist unabhängig von der Wahl der Folge
(φn ).
Für den Beweis dieser nicht
trivialen Aussage verweisen wir auf die angegebene Literatur.
Nun denieren wir den Begri der
B.2.1 Denition
(Ω, A, µ) ein Maÿraum.
f : Ω → [0, ∞] heiÿt µ-integrierbar,
Sei
(a) Eine Funktion
R
Ω f dµ
<∞
µ-Integrierbarkeit.
gilt.
f : Ω → R
(b) Eine Funktion
max{−f, 0} µ-integrierbar
µ-integrierbar,
heiÿt
f A-messbar
f+ = max{f, 0}
ist und
und
f− =
sind. In diesem Fall
Z
Z
Z
f+ dµ −
f dµ :=
f− dµ.
Ω
Ω
Ω
(c) Eine Funktion
falls
falls
f : Ω → C heiÿt µ-integrierbar, falls Re f
Z
Z
Z
f dµ :=
Re f dµ + i Im f dµ.
und
Im f µ-integrierbar
sind. In diesem Fall
Ω
Wir sagen, eine auf
Lebesgue-Maÿes
λ
R
Ω
Ω
denierte Funktion ist
Lebesgue-integrierbar, falls sie bzgl. des
integrierbar ist. Es folgen zwei wichtige Sätze (ohne Beweis).
B.2.2 Satz Sei (Ω, A, µ) ein Maÿraum und f : Ω → C eine Funktion. Dann sind folgende
Aussagen äquivalent.
(1) f ist µ-integrierbar.
(2) f ist A-messbar und |f | ist µ-integrierbar.
(3) f ist A-messbar und es gibt ein µ-integrierbares g : Ω → [0, ∞) mit |f | ≤ g .
B.2.3 Satz Sei (Ω, A, µ) ein Maÿraum.
(a) Sind f, g : Ω → C µ-integrierbar und ist α ∈ C, dann sind auch αf , f + g µintegrierbar und
Z
Z
αf dµ = α
Ω
Z
f dµ,
Z
f + gdµ =
Ω
Ω
Z
Z
f dµ ≤
Ω
gdµ.
Ω
(c) Ist f : Ω → C µ-integrierbar, dann
Z
Z
f dµ ≤
|f |dµ.
Ω
c
C. Kaiser 13. Oktober 2009
f dµ +
Ω
(b) Sind f, g; Ω → R µ-integrierbar und f ≤ g , dann ist
Ω
B - 6
Z
gdµ.
Ω
(d) Sei f : Ω → [0, ∞] A-messbar. Dann ist
µ-fast alle x ∈ Ω.
R
Ω f dµ
= 0 genau dann, wenn f (x) = 0 für
B.2.4 Substitution
dann sind
Sei b ∈ R und a ∈ R \ {0}. Ist f : R → C Lebesgue-integrierbar,
f (· − b) und f (a·) Lebesgue-integrierbar und es gilt
Z
Z
Z
Z
1
f (a·)dλ =
f dλ
und
f (· − b)dλ =
f dλ.
|a| R
R
R
R
B.2.5 Riemann-Integral und Lebesgue-Integral
Riemann-integrierbar, dann ist
fe : R → C,
(a) Ist
deniert durch
f : [a, b] → C (eigentlich)
fe = f auf [a, b] und fe = 0
sonst, Lebesgue-integrierbar und
Z
b
Z
f (x)dx =
fedλ.
a
R
(Vorsicht! Diese Aussage gilt nicht für uneigentliche Riemann-Integrale!) Ist
Lebesgue-integrierbar, schreiben wir ab jetzt
(b) Sei
f
R f (x)dx für
f :R→C
R
R f dλ.
die Dirichlet'sche Sprungfunktion, d.h.
(
1,
f (x) =
0,
Dann ist
R
x ∈ Q,
x ∈ R \ Q.
R
und
R f dλ = 0.
f : R → R Lebesgue-integrierbar
λ(Q) = 0, da Q abzählbar ist.
funktion und
f ist L-Treppenf |[0,1] nicht Riemann-
Denn:
Andererseits ist
integrierbar.
Konvergenzsätze
Es folgen drei wichtige Konvergenzsätze, die Bedingungen dafür angeben, wann man
Limes und Integration vertauschen kann.
B.2.6 Lemma von Fatou Sei (Ω, A, µ) ein Maÿraum. Sind fn : Ω → [0, ∞] A-messbar,
so gilt
Z
Z
lim inf fn dµ ≤ lim inf
Ω n→∞
n→∞
fn dµ.
Ω
B.2.7 Satz von der monotonen Konvergenz (Beppo Levi) Sei
(Ω, A, µ) ein Maÿraum. Sind fn : Ω → [0, ∞] A-messbar mit 0 ≤ f1 ≤ f2 ≤ . . . und f (x) := limn→∞ f (x) ∈
[0, ∞], dann ist f A-messbar und
Z
Z
lim
fn dµ =
f dµ.
n→∞ Ω
Ω
B.2.8 Satz von der majorisierten Konvergenz (Lebesgue) Sei (Ω, A, µ) ein Maÿraum.
Sind fn , f : Ω → C A-messbar und f (x) = limn→∞ fn (x) für µ-fast alle x ∈ M . Falls
c
C. Kaiser 13. Oktober 2009
B - 7
die Funktionen fn µ-integrierbar sind und ein µ-integrierbares g : Ω → [0, ∞) existiert
mit |fn (x)| ≤ g(x) für alle n ∈ N und µ-fast alle x ∈ Ω, dann ist f µ-integrierbar und
Z
Z
lim
n→∞ Ω
f dµ.
fn dµ =
Ω
Als Anwendung betrachten wir Maÿe mit Dichten.
B.2.9 Maÿe mit Dichten
Sei
(Ω, A, µ)
ein Maÿraum und
ρ : Ω → [0, ∞]
eine
A-
messbare Funktion. Dann wird durch
Z
Z
ν(A) =
ρ · χA dµ,
ρdµ =
A
A ∈ A,
Ω
A deniert. Hierbei folgt die σ -Additivität aus dem Satz von der monotonen
Konvergenz B.2.7. Ebenfalls mit Satz B.2.7 kann man zeigen, dass für eine A-messbare
Funktion f : Ω → C gilt: Ist f · ρ µ-integrierbar, dann ist f ν -integrierbar und
Z
Z
f dν =
f · ρ dµ.
ein Maÿ auf
Ω
Ω
Eine weitere Anwendung ist die folgende Übungsaufgabe.
B.2.10 Übungsaufgabe∗
ist
f :R→C
Ist
k:R→C
Lebesgue-integrierbar mit
beschränkt, Lebesgue-messbar und stetig in
Z
lim
r↓0
x−y
1
r k( r )f (y)dy
x ∈ R,
R
R k(x)dx
=1
und
dann gilt
= f (x).
R
Produktmaÿ und Satz von Fubini
Auf dem Kreuzprodukt zweier Maÿräume soll ein Maÿ deniert werden mit der Eigenschaft, dass das Maÿ des Kreuzproduktes zweier meÿbarer Mengen gerade das Produkt
der Maÿe der entsprechenden Mengen ist. Wir denieren zunächst den Begri der
σ-
Endlichkeit eines Maÿraumes.
B.2.11 Denition
mit
µ(Ek ) < ∞
Der Maÿraum
Eine Maÿraum
und
S∞
k=1 Ek = Ω
(R, L, λ)
ist
(Ω, A, µ)
heiÿt
σ -endlich,
falls eine Folge
(Ek ) ⊆ A
existiert.
σ -endlich,
da
R=
S
k∈N [−k, k].
B.2.12 Satz und Denition Seien (Ω1 , A1 , µ1 ), (Ω2 , A2 , µ2 ) σ-endliche Maÿräume. Sei
A1 ⊗A2 die von den Mengen A1 ×A2 , A1 ∈ A1 , A2 ∈ A2 erzeugte σ -Algebra auf Ω1 ×Ω2 .
Dann existiert genau ein Maÿ µ : A1 ⊗ A2 → [0, ∞] mit µ(A1 × A2 ) = µ(A1 )µ(A2 ). µ
heiÿt Produktmaÿ von µ1 und µ2 und wird mit µ1 ⊗ µ2 bezeichnet.
c
C. Kaiser 13. Oktober 2009
B - 8
(R2 , L ⊗ L, λ ⊗ λ) bezeichnen wir mit (R2 , L2 , λ2 ). Induktiv
d ∈ N. Eine Funktion f : Rd → C heiÿt dann
d
d
Lebesgue-integrierbar, falls f L -messbar bzw. λ -integrierbar
Die Vervollständigung von
d
d d
deniert man (R , L , λ ) für jedes
Lebesgue-messbar bzw.
ist.
Es folgen die Sätze von Tonelli und Fubini, die Bedingungen für die Vertauschung der
Integrationsreihenfolge bei Mehrfachintegralen angeben.
B.2.13 Satz von Tonelli Die Funktion f : Ω1 ×Ω2 → [0, ∞] sei A1 ⊗AR2 -messbar. Dann
ist x 7→ f (x, y) A1 -messbar für fast alle y ∈ Ω2 . Auÿerdem ist y 7→ Ω1 f (x, y)dµ1 (x)
A2 -messbar und
Z Z
Z
f (x, y)dµ1 (x) dµ2 (y).
f d(µ1 ⊗ µ2 ) =
Ω1 ×Ω2
Ω2
Ω1
B.2.14 Satz von Fubini Die Funktion f : Ω1 × Ω2 → C sei µ1 ⊗ µ2 -integrierbar.
Dann
R
ist x 7→ f (x, y) µ1 -integrierbar für fast alle y ∈ Ω2 . Auÿerdem ist y 7→
µ2 -integrierbar und
Z Z
Z
Ω2
f (x, y)dµ1 (x)
f (x, y)dµ1 (x) dµ2 (y).
f d(µ1 ⊗ µ2 ) =
Ω1 ×Ω2
Ω1
Ω1
Es folgt noch ein Satz über das Lebesgue-Maÿ
λd .
B.2.15 Satz Das Lebesgue-Maÿ λd ist regulär, d.h. für jede Borelmenge A ⊆ Rd gilt
λd (A) = inf{λd (O) : A ⊆ O, O oen}
= sup{λd (K) : K ⊆ A, K kompakt}.
c
C. Kaiser 13. Oktober 2009
B - 9
(B.1)
C Die Lebesgue-Räume
C.1
p-integrierbare
Im folgenden ist
C.1.1 Denition
(Ω, A, µ)
Für
Lp(µ)
Funktionen
ein Maÿraum und
p ∈ (0, ∞)
K=R
oder
K = C.
denieren wir
L (Ω, A, µ) := {f | f : Ω → K A − messbar,
p
Z
|f |p dµ < ∞}
(C.1)
Ω
Statt
L p (Ω, A, µ)
wird in der Regel
Zuerst beobachten wir, dass
L p (µ)
L p (Ω, µ)
oder
L p (µ)
geschrieben.
bzgl. der punktweise denierten algebraischen Ope-
rationen
(f + g)(ω) = f (ω) + g(ω),
(λf )(ω) = λf (ω)
(C.2)
ein Vektorraum ist. Nur die Invarianz unter Summen ist nicht oensichtlich (auÿer im
Fall
p = 1).
Da für komplexe Zahlen die Ungleichung
|x + y| ≤ |x| + |y| ≤ 2 max{|x|, |y|}
gilt, folgt für
f, g ∈
p ∈ (0, ∞)
Z
Z
|f (ω) + g(ω)|dµ(ω) ≤
2p max{|f (ω)|p , |g(ω)|p }dµ(ω)
Ω
Ω
Z
p
≤2
(|f (ω)|p + |g(ω)|p )dµ(ω)
Ω
Z
Z
p
p
p
=2
|f | dµ +
|g| dµ < ∞,
Ω
also
(C.3)
L p (µ) und
f + g ∈ L p (µ).
(C.4)
Ω
(Man beachte, dass alle Integranden wirklich
A-messbar
sind.)
Wir haben also gezeigt:
C.1.2 Satz Der Raum L p (µ) ist für jedes p ∈ (0, ∞) ein K-Vektorraum.
Wir setzen
Z
kf kL p (µ) = kf kp =
Dann erfüllt
k·kp
|f |p dµ
1/p
,
f ∈ L p (µ).
c
p<1
p = 1 ist die Dreip > 1 zu beweisen.
die Eigenschaften (N1) und (N2) einer Norm. Für
ecksungleichung (N3) oensichtlich. Ziel ist es nun, (N3) auch für
(Für
gilt (N3) im Allgemeinen nicht.)
C. Kaiser 13. Oktober 2009
(C.5)
Ω
C - 1
C.2 Einige Ungleichungen
Wir beweisen zunächst folgenden Hilfssatz.
C.2.1 Lemma Es seien
Dann gilt
Proof
λ1 , . . . , λn > 0 mit
Pn
k=1 λk
= 1 und a1 , . . . , an ≥ 0 gewählt.
aλ1 1 · · · aλnn ≤ λ1 a1 + · · · + λn an .
Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit
Da die Logarithmus-Funktion
log : (0, ∞) → R
a1 , . . . , a n > 0
annehmen.
konkav ist, gilt
n
log(λ1 a1 + · · · + λn an ) ≥ λ1 log a1 + · · · + λn log an = log(aλ1 1 · · · aλn ).
Nun folgt die Behauptung aus der Monotonie der Logarithmus-Funktion.
Für
1
n erhalten wir insbesondere
λ1 = · · · = λn =
1
(a1 · · · an ) n ≤
1
(a1 + · · · + an ),
n
die Ungleichung zwischen dem geometrischen und arithmetischen Mittel.
Die erste wichtige Ungleichung in der Theorie der
p-integrierbaren
Funktionen ist die
Höldersche Ungleichung. Sie ist nach O. Hölder (1859 - 1937) benannt.
C.2.2 Höldersche Ungleichung Sei
p ∈ (1, ∞) und q =
p
q
1
f ∈ L (µ) und g ∈ L (µ) ist f g ∈ L (µ), und es gilt
p
p−1 ,
also
1
p
+
1
q
kf gk1 ≤ kf kp kgkq .
Proof
= 1. Für
(C.6)
f ∈ L p (µ) und g ∈ L q (µ). Wir schreiben A = kf kp and B = kgkq . Ist
A = 0 oder B = 0, so gilt f = 0 oder g = 0 µ-fast überall und es ist nichts zu zeigen.
Ist A 6= 0 und B 6= 0, so wenden wir Lemma C.2.1 an mit
Seien
1
1
λ1 = , λ2 = ,
p
q
n = 2,
Wir erhalten für
Ω
R
bzgl
µ
AB
C. Kaiser 13. Oktober 2009
|f (ω)|p
Ap
1/p |g(ω)|q
Bq
1/q
≤
ω ∈ Ω.
1 |f (ω)|p 1 |g(ω)|q
+
.
p Ap
q Bq
liefert
Ω |f g|dµ
c
|f (ω)|p
|g(ω)|q
,
a
=
,
2
Ap
Bq
ω∈Ω
|f (ω)| · |g(ω)|
=
AB
Integration über
a1 =
1
≤
p
R
p
Ω |f | dµ
Ap
1
+
q
R
q
Ω |g| dµ
Bq
C - 2
=
1 1
+ = 1.
p q
Also folgt
Z
kf gk1 =
|f g|dµ ≤ AB = kf kp kgkq
Ω
und damit die Behauptung.
Mit Hilfe der Hölderschen Ungleichung können wir nun die Dreiecksungleichung (N3)
auch für
p > 1
beweisen. Diese Ungleichung ist nach H. Minkowski (1864 - 1909)
benannt.
C.2.3 Minkowskische Ungleichung Für 1 ≤ p < ∞ und f, g ∈ L p (µ) ist
kf + gkp ≤ kf kp + kgkp .
Proof
1
p
+
1
q
Der Fall
= 1).
p=1
(C.7)
p ∈ (1, ∞), f, g ∈ L p (µ)
ist klar. Seien also
und
q=
p
p−1 (also
Unter Verwendung der Hölderschen Ungleichung erhalten wir
kf + gkpp =
Z
|f + g|p dµ ≤
Z
(|f | + |g|)|f + g|p−1 dµ
Ω Z
ZΩ
p−1
=
|f ||f + g| dµ +
|g||f + g|p−1 dµ
Ω
Ω
Z
≤
1/p Z
p
p−1 q
|f | dµ
|f + g|
Ω
1/q
dµ
Ω
Z
|g|p dµ
+
(C.8)
1/p Z
|f + g|
Ω
= kf kp + kgkp
p−1 q
1/q
dµ
Ω
Z
p
(p−1)/p
|f + g| dµ
Ω
= (kf kp + kgkp )kf + gkp−1
p .
kx + ykp < ∞ ist, können wir durch
p−1
gkp dividieren und erhalten die gewünschte Ungleichung.
Da wir auch Abschnitt C.1 bereits wissen, dass
kf +
Damit ist bewiesen, dass
k·kp
für
p ∈ [1, ∞)
die Eigenschaft (N3) erfüllt.
Wir zeigen noch zwei Folgerungen der Hölderschen Ungleichung.
C.2.4 Korollar Sei 1 < p < ∞ und q =
p
p−1 ,
kf kp =
d.h. p1 + 1q = 1. Dann gilt für alle f ∈ L p (µ)
sup
g∈L q (µ), kgk≤1
Proof
fg ∈
Für
g ∈ L q (µ)
L 1 (µ) und
C. Kaiser 13. Oktober 2009
kgkq ≤ 1
(C.9)
Ω
folgt aus der Hölderschen Ungleichung, dass
Z
Z
f g dµ ≤
|f g|dµ ≤ kf kp kgkq ≤ kf kp
Ω
c
mit
Z
f g dµ
Ω
C - 3
(C.10)
und damit die Ungleichung
≥.
Wir zeigen noch die Abschätzung
g
≤.
Hierzu denieren wir zu
f ∈ L p (µ)
eine Funktion
durch
h(ω) =
Dann ist
Für
Ist
h
messbar und
kf kp = 0
kf kp > 0,
ist
R
(
0,
q
Ω |h| dµ
khkq = 0
so setzen wir
f (ω) = 0,
f (ω)
p−1 ,
|f (ω) |f (ω)|
=
und es gilt
g=
p
Ω |f | dµ
R
R
=
R
kf kp =
(C.11)
f (ω) 6= 0.
Ω f h dµ.
Ω f h dµ.
h
. Dann ist
kf kp−1
p
kgkq = 1
und
R
Ω f gdµ
= kf kp .
C.2.5 Minkowskische Integralungleichung Es seien (Ω1 A1 , µ1 ) und (Ω2 , A2 , µ2 ) σendliche Maÿräume. Die Funktion f : Ω1 × Ω2 → [0, ∞] sei A1 ⊗ A2 -messbar und
p ∈ [1, ∞). Dann
R ist Dann ist y 7→ kf (·, y)kp A2 -messbar.
Ist zusätzlich Ω2Rkf (·, y)kp dµ2 (y) < ∞, so ist y 7→ f (x, y) µ2 -integrierbar für µ1 -fast
alle x ∈ Ω1 , x 7→ Ω2 f (x, y)dµ2 (y) ist µ1 -messbar und
Z
Ω2
Proof
Der Fall
f (·, y)dµ2 (y)
Z
≤
L p (µ1 )
p=1
Ω2
f (·, y) p
dµ2 (y)
L (µ1 )
(C.12)
ist eine direkte Folgerung aus den Sätzen von Tonelli und Fubini
(B.2.13 und B.2.14).
Sei nun
p ∈ (1, ∞).
Wir nehmen zunächst
f ≥ 0
an. Der Satz von Tonelli B.2.13,
p
p
angewandt auf die Funktion f , ergibt, dass die Funktion f (·, y) für jedes y ∈ Ω2
R
p
A1 -messbar ist und dass y 7→ Ω1 |f (x, y)| dµ1 (x) und damit auch y 7→ kf (·, y)kp =
1/p
R
p
A2 -messbar ist.
Ω1 |f (x, y)| dµ1 (x)
Sei jetzt
[0, ∞]
c :=
R
1
durch (
p
Ω2 kf (·, y)kp dµ2 (y)
+ 1q = 1)
< ∞.
Wir denieren eine Funktion


0,
g(x, y) = f (x, y)kf (·, y)k−1/q
,
p


∞,
Dann ist
g A1 ⊗ A2 -messbar
kf (·, y)kp = 0,
0 < kf (·, y)kp < ∞,
kf (·, y)kp = ∞.
und es gilt für jedes
f (x, y) ≤ g(x, y)kf (·, y)k1/q
p
g : Ω1 × Ω2 →
(C.13)
y ∈ Ω2
for
µ1 -fast
alle
x ∈ Ω1
(C.14)
und
kg(·, y)kp = kf (·, y)kp kf (·, y)k−1/q
= kf (·, y)k1/p
p
p .
c
C. Kaiser 13. Oktober 2009
C - 4
(C.15)
Mit der Hölderschen Ungleichung folgt
Z
Z
g(x, y)kf (·, y)k1/q
p dµ2 (y)
f (x, y) dµ2 (y) ≤
F (x) :=
Ω2
Ω2
(C.16)
1/q
Z
1/q
kf (·, y)kp dµ2 (y)
≤ kg(x, ·)kp
= kg(x, ·)kp c
Ω2
und mit dem Satz von Tonelli
kF kpp
Z
≤
kg(x, ·)kpp cp/q dµ1 (x)
p−1
Ω1
Z
Z
=c
p−1
ZΩ2
=c
= cp−1
ZΩ2
Z
=c
Ω1
p−1
Z
g(x, y)p dµ2 (y)dµ1 (x)
Ω2
g(x, y)p dµ1 (x)dµ2 (y)
Ω1
(C.17)
kg(·, y)kpp dµ2 (y)
kf (·, y)kp dµ2 (y) = cp .
Ω2
F (x) < ∞
x ∈ Ω1 .
Insbesondere ist
µ1 -fast
alle
für
µ1 -fast
alle
x ∈ Ω1 ,
d.h.
f eine allgemeine reellwertige (bzw. komplexwertige)
f+ − f− mit f+ , f≥ 0 (bzw. f = Re f + Im f ).
Ist
f (x, ·)
ist
µ2 -integrierbar
Funktion, so zerlegen wir
für
f =
C.3 Vollständigkeit
Im Allgemeinen besitzt
k·kp
nicht die Eigenschaft (N2) und ist daher auch keine Norm,
sondern lediglich eine Halbnorm, d.h.
k·kp
erfüllt (N1), (N2) und (N3), aber nicht (N4).
Genauso wie im Falle einer Norm kann man auch hier eine Funktion
kf − gkp
dp
durch
dp (f, g) =
denieren. Diese Funktion erfüllt die Eigenschaften (M1), (M2) und (M3) einer
Metrik. Jedoch ist die Eigenschaft (M4) möglicherweise verletzt. Eine solche Funktion
heiÿt Pseudometrik. Analog wie in metrischen Räumen kann man Cauchyfolgen und
Vollständigkeit auch in pseudometrischen Räumen denieren.
Die im nächsten Satz ausgedrückte Vollständigkeit des Raumes
L p (µ)
ist eines der
Kernresultate der Lebesgueschen Integrationstheorie, das sie vor der Riemannschen auszeichnet.
C.3.1 Theorem Für p ∈ [1, ∞) ist L p (µ) ein vollständiger halbnormierter Raum.
Wir beweisen zunächst ein Lemma, das in jedem halbnormierten Raum gilt.
C.3.2 Lemma Für einen halbnormierten Raum (X, k·k) sind äquivalent:
(i) X ist vollständig.
c
C. Kaiser 13. Oktober 2009
C - 5
(ii) Jede
d.h. für jede Folge (xk ) in X mit
P
P∞ absolut konvergente Reihe konvergiert,
K
kx
k
<
∞
existiert
ein
x
∈
X
mit
x
−
k
k=1 xk → 0 für K → ∞.
k=1
Im Allgemeinen ist der Grenzwert
Proof
(i)
⇒
x
nicht eindeutig bestimmt!
P
(xk ) eine Folge in X mit ∞
k=1 kxk k < ∞.
bzgl. k·k, denn für K < N gilt
(ii): Sei
eine Cauchyfolge
Dann ist
PK
k=1 xk K
N
N
K
N
X
X
X
X
xk −
xk = xk ≤
kxk k.
k=1
k=1
k=K+1
k=K+1
PK
X vollständig ist, ist
k=1 xk K konvergent und es folgt (ii).
(ii) ⇒ (i): Sei (xn ) eine Cauchyfolge in X bzgl. k·k. Zu k ∈ N wähle Nk ∈ N
Da
kxn − xm k ≤ 2−k
(xnk )
Also gibt es eine Teilfolge
Für
yk = xnk+1 − xnk
0 = lim ky −
K→∞
K
X
∀n, m ≥ Nk .
mit
kxnk+1 − xnk k ≤ 2−k
P∞
daher
k=1 kyk k < ∞.
ist
mit
∀k ∈ N.
Nach (ii) existiert ein
y∈X
mit
yk k = lim ky − (xnK+1 − xn1 )k = lim k|xnK+1 − (y + xn1 )k.
K→∞
k=1
K→∞
(xnk ). Da eine
(ε/2-Argument),
Also konvergiert die Teilfolge
Cauchyfolge, die eine konvergente Teilfolge
besitzt, selbst konvergiert
folgt die Konvergenz von
(xn )
und damit
(i).
Beweis von Satz
P C.3.1
und sei
P∞
(fk ) eine Folge in L p (µ) mit A :=
k=1 kfk kp < ∞
n
p
p
k=1 |fk | ∈ L (µ) (L (µ) ist ein Vektorraum!). Dann gilt mit der
gn =
Sei
Dreiecksungleichung
kgn kp ≤
n
X
kfk kp ≤ A.
k=1
Die Funktion
P∞
x 7→ g(x) = k=1 |fk (x)| ∈ [0, ∞] ist µ-messbar nach Satz B.1.9. Nach
(gkp ) monoton gegen g p und der Satz von der monotonen Kon-
Konstruktion konvergiert
vergenz B.2.7 liefert
Z
p
Z
g dµ = lim
Ω
Insbesondere ist
existiert eine
c
gp
(und daher auch
µ-Nullmenge N ,
C. Kaiser 13. Oktober 2009
n→∞ Ω
so dass
p
gnp dµ = lim gn p ≤ Ap .
n→∞
P∞
g = P
k=1 |fk |) µ-fast überall endlich, d.h. es
g(x) = ∞
k=1 |fk (x)| < ∞ für alle x ∈ Ω \ N . Da
C - 6
C
vollständig ist, existiert nach Lemma C.3.2
f (x) :=
∞
X
x ∈ Ω \ N.
fk (x),
k=1
f (x) = 0 für x ∈ N , dann ist f : Ω → C µ-messbar.
Konstruktion ist |f | ≤ g , also
Z
Z
p
g p dµ ≤ Ap .
|f | dµ ≤
Setzen wir noch
Nach
Ω
Ω
f ∈ L p (µ)
. Pn
zeigen noch f −
k=1 fk p → 0 für n → ∞:
0 auf der Nullmenge N . Dann gilt hn → 0 und
Also ist
Wir
und
0 ≤ hn ≤
X
∞
p
|fk |
Sei
P
p
hn = ∞
k=n+1 fk
auf
Ω\N
≤ gp.
k=n+1
Wegen
R
Ωg
p dµ
≤ Ap
ist
gp
Lebesgue-integrierbar. Also impliziert der Satz von der
dominierten Konvergenz B.2.8
p Z
n
X
f −
fk =
p
k=1
X
p
Z
∞
fk dµ =
hn dµ → 0.
Ω k=n+1
Ω
Mit Lemma C.3.2 folgt die Behauptung.
C.4 Der Raum
L ∞ (µ)
Wir werden nun die Skala der
L ∞ (µ) = {f : Ω → C : f
setzen. Für
f ∈ L ∞ (µ)
L p -Räume
ist
(nach oben) abschlieÿen, indem wir
A − messbar, ∃α ≥ 0 : µ({|f | > α}) = 0}
denieren wir
kf kL ∞ = inf{α ≥ 0 : µ({|f | > α}) = 0}.
Da für
f, g ∈ L ∞ (µ)
und
L ∞ (µ) ein Vektorraum und k·kL ∞
kf kL ∞ =
C. Kaiser 13. Oktober 2009
ω∈Ω\N
C - 7
(C.20)
eine Halbnorm ist. Oenbar ist
sup |f (ω)|.
inf
N ∈A
µ(N )=0
c
(C.19)
α, β ≥ 0
µ({|f | > α}) = 0, µ({|g| > β}) = 0 =⇒ µ({|f + g| > α + β}) = 0
gilt, sieht man, dass
(C.18)
(C.21)
k·kL ∞
p = 1 der
Daher wird
auch wesentliche Supremumsnorm genannt. Damit kann man den
Grenzfall
Hölderschen Ungleichung formulieren:
f ∈ L 1 (µ), g ∈ L ∞ (µ) =⇒ f g ∈ L 1 (µ), kf gk1 ≤ kf k1 kgkL ∞ .
(C.22)
L ∞ (µ) zeigen. Zunächst beobachten wir, dass
0
das Inmum in (C.21) angenommen wird: Zu k ∈ N wählen wir Nullmengen Nk ∈ A
S
1
0
0
mit kf kL ∞ ≥ supω ∈N
/ k0 |f (ω)| − k und setzen dann N =
k Nk . Dann ist kf kL ∞ =
supω∈Ω\N 0 |f (ω)|.
Wir wollen nun die Vollständigkeit von
Sei nun
(fn )
eine Cauchyfolge in
L ∞ (µ).
Wir wählen Nullmengen
kfn − fm kL ∞ = sup |fn (ω) − fm (ω)|
Nn,m ∈ A,
∀n, m ∈ N.
so dass
(C.23)
ω ∈N
/ n,m
Für die Nullmenge
N=
S
n,m Nn,m ist dann erst recht
kfn − fm kL ∞ = sup |fn (ω) − fm (ω)|
∀n, m ∈ N.
(C.24)
ω ∈N
/
L ∞ -Norm und ≥, weil Nn,m ⊆ N .) Für gn = χS\N fn
erhält man fn = gn µ-fast überall. gn ist beschränkt und messbar auf S , und (gn ) ist
∞
∞
insbesondere eine Cauchyfolge in ` (Ω). Nach A.3.1 ist (` (Ω), k·k∞ ) vollständig, d.h.
∞
(gn ) konvergiert bzgl. k·k∞ gegen ein g ∈ ` (Ω). Es bleibt zu zeigen, dass (fn ) bzgl. der
Halbnorm k·kL ∞ gegen g konvergiert:
(Hier gilt ≤ nach Denition der
kfn − gkL ∞ ≤ sup |fn (ω) − g(ω)| = sup |gn (ω) − g(ω)| = kgn − gk∞ → 0.
(C.25)
ω∈Ω
ω ∈N
/
Wir halten das Hauptergebnis dieses Abschitts in einem Satz fest.
C.4.1 Theorem
(L ∞ (µ), k·kL ∞ ) ist ein vollständiger halbnormierter Raum.
C.5 Die Räume
Lp (µ)
L p (µ)
für p ∈ [1, ∞] betrachtet. Ist µ
k·kp sogar eine Norm. Im Allgemeinen ist das aber
falsch. Für das Lebesguemaÿ auf R gilt zum Beispiel kχ{0} kL p = 0, obwohl χ{0} nicht
p
die Nullfunktion ist. Zum halbnormierten Raum L (µ) kann man jedoch auf folgende
Bisher haben wir die halbnormierten Räume
z.B. das Zählmaÿ auf
N,
so ist
Weise einen normierten Raum assoziieren.
Sei
N
der Kern von
k·kp ,
also
N = {f ∈ L p (µ) : kf kL p = 0}.
L p -Halbnorm und Satz B.2.3 (d) besteht N genau aus allen messp
die µ-fast überall verschwinden. Auf dem Quotientenraum L (µ) =
Nach Denition der
baren Funktionen,
c
(C.26)
C. Kaiser 13. Oktober 2009
C - 8
L p (µ)/N ,
der aus den Äquivalenzklassen
[f ] = f + N , f ∈ L p (µ)
besteht, ist dann die
Abbildung
[f ] 7→ k[f ]kLp := kf kL p
(C.27)
k·kLp . Darüber
hinaus gilt auch (N4), denn k[f ]kLp = 0 bedeutet f ∈ N und deshalb [f ] = [0]. Also
p
ist k·kLp eine Norm. Schlieÿlich überträgt sich auch die Vollständigkeit von L (µ) auf
Lp (µ), denn ([fn ]) ist eine Cauchyfolge (bzw. konvergent) in Lp (µ) genau dann, wenn
(fn ) eine Cauchyfolge (bzw. konvergent) in L p (µ) ist.
wohldeniert. Die Halbnormeigenschaften übertragen sich von
k·kL p
auf
Also gilt:
C.5.1 Theorem Für
raum.
p ∈ [1, ∞] ist Lp (µ), versehen mit der Norm k·kLp , ein Banach-
Im praktischen Umgang mit
Lp -Räumen
ist es üblich, in der Notation nicht zwischen
Funktionen und ihren Äquivalenzklassen zu unterscheiden. Man schreibt also
statt
[f ] ∈
f ∈ Lp (µ)
Lp (µ). In der Regel ist dies unproblematisch, sofern man sich stets bewuÿt
ist, dass man es eigentlich mit Funktionenklassen zu tun hat. Zum Beispiel ist
keine wohldenierte Abbildung auf
f 7→ f (0)
L1 (R)!
C.6 Dichte Teilräume
In diesem Abschnitt werden zwei Sätze über die Dichtheit von gewissen Teilmengen in
L p -Räumen
gezeigt. Der erste der beiden Sätze ist allgemeiner Natur.
C.6.1 Satz Ist p ∈ [1, ∞] und f ∈ Lp (µ), so existiert eine Folge (fn ) von Treppenfunktionen mit kfn − f kLp → 0. Mit anderen Worten liegen die Treppenfunktionen dicht in
Lp (µ).
Proof
Für
f ∈ L p (µ)
p = ∞
folgt der Satz sofort aus Satz B.1.11 (d). Sei nun
p < ∞
und
zunächst reellwertig und nichtnegativ. Dann existiert nach Satz B.1.11 (c)
Treppenfunktionen
fn
mit
0 ≤ f1 ≤ f2 ≤ . . . ,
die punktweise gegen
f
konvergieren.
Wegen
|f − fn |p ≤ (|f | + |fn |)p ≤ (2|f |)p
und
f ∈ L p (µ),
(C.28)
folgt mit dem Satz von Lebesgue B.2.8
Z
kf − fn kp =
1/p
p
|f − fn | dµ
→ 0.
(C.29)
Ω
Ist
f
reellwertig, so schreibt man
gezeigte auf
c
f+
und
f−
C. Kaiser 13. Oktober 2009
f = f+ − f−
an. Für komplexwertige
mit
f
C - 9
f+ , f− ≥ 0
und wendet das eben
betrachtet man
Re f
und
Im f .
Wir wenden uns nun einem Resultat für den Raum
Lp (Rd ) = Lp (Rd , λd )
mit
p ∈ [1, ∞)
zu. Um den Satz formulieren zu können, benötigen wir noch folgende Denition.
Ist
T
ein topologischer Raum und
f :T →K
eine Funktion, so nennt man die abge-
schlossene Menge
supp(f ) := {t ∈ T : f (t) 6= 0}
den
(C.30)
Träger von f . Der Vektorraum aller stetigen Funktionen f : Rd → K mit kompaktem
Träger wird mit
Cc (Rd )
bezeichnet.
C.6.2 Satz Ist 1 ≤ p < ∞ und f
kf − fn kLp
Proof
∈ Lp (Rd ), so existiert eine Folge (fn ) in Cc (Rd ) mit
→ 0. Mit anderen Worten liegt Cc (Rd ) dicht in Lp (Rd ), falls p < ∞.
Wir betrachten zuerst den Fall einer Indikatorfunktion
schränkten Borelmenge
A.
f = χA
mit einer be-
Wegen der Regularität des Lebesguemaÿes (Satz B.2.15)
δ > 0 eine kompakte Menge K und eine beschränkte oene Menge O mit
λn (O \ K) < δ p wählen. Nun gestattet das Lemma von Urysohn A.1.2,
d
eine stetige Funktion φ : R → [0, 1] mit φ(x) = 1 auf C und φ(x) = 0 auÿerhalb von O
d
n
1/p < δ .
zu konstruieren. Insbesondere ist φ ∈ Cc (R ) und kχA − φkp ≤ (λ (O \ C))
können wir zu
K⊆A⊆O
und
A eine Borelmenge mit λn (A) < ∞, approximieren wir A von innen durch An = A ∩
Bn (0). Der Satz von der monotonen Konvergenz (B.2.7) liefert dann kχA − χAn kp → 0.
Eine Anwendung der Minkowskischen Ungleichung und Schritt 1 ergibt, dass zu δ > 0
d
eine Funktion φ ∈ Cc (R ) mit kχA − φkp < δ existiert.
Pm
n
p
d
Ist f eine Treppenfunktion in L (R ), so kann man f =
j=1 αj χAj mit λ (Aj ) < ∞
d
schreiben. Nun wählen wir zu ε > 0 Funktionen φj ∈ Cc (R ) mit kχAj − φj kp <
Pm
ε/(n|αj |). Dann gilt für φ = j=1 αj φj ∈ Cc (Rd )
Ist
kf − φkp ≤
m
X
|αj |kξAj − φj kp ≤ ε.
(C.31)
j=1
Eine Anwendung von Satz C.6.1 schlieÿt den Beweis ab.
C.7 Die Faltung
C.7.1 Satz und Denition Sei f, g ∈ L1 (Rd ).
(a) Die Funktion y 7→ f (x − y)g(y) ist für fast alle x ∈ Rd Lebesgue-integrierbar. Daher
ist
Z
f (x − y)g(y)dy
h(x) :=
Rd
wohldeniert für fast alle x ∈ Rd . h heiÿt
bezeichnet.
c
C. Kaiser 13. Oktober 2009
Faltung
C - 10
von f und g und wird mit f ∗ g
(b) f ∗ g ∈ L1 (Rd ) mit kf ∗ gkL1 ≤ kf kL1 kgkL1 .
Proof
Seien
f, g ∈ L 1 (Rd ).
(x, y) 7→ f (x − y)g(y) ist Lebesgue-messbar.
x 7→ |f (x − y)g(y)| für fast alle y ∈ Rd Lebesgue-
Die Funktion
Nach dem Satz von Tonelli B.2.13 ist
messbar und es gilt
Z
Z
Z
|f (x − y)||g(y)|dx dy
|f (x − y)g(y)|d(x, y) =
R2d
d
d
d
ZR
d
ZR
Rd
Rd
ZR ZR
|f (x − y)|dx|g(y)|dy
=
|f (x)|dx|g(y)|dy = kf k1 kgk1 < ∞.
=
(x, y) 7→ f (x − y)g(y)
Daher ist
Lebesgue-integrierbar. Mit dem Satz von Fubini B.2.14
folgt dann:
d
y 7→ f (x,
und
R y)g(y)
R ist für fast alle x ∈ RR Lebesgue-integrierbar
R
(b) khk1 =
Rd | Rd f (x − y)g(y)dy|dx ≤ Rd Rd |f (x − y)||g(y)|dy dx = kf k1 kgk1 .
(a)
h als Funktionenenklasse
1
d
f, g ∈ L (R ) abhängt.
Wir bemerken noch, dass
Vertreter von
C.7.2 Übungsaufgabe
∗
Die Verknüpfung
in
distributiv (bzgl. der Addition). Insbesondere
in
L1 (Rd )
nicht von der Wahl der
L1 (Rd ) ist kommutativ, assoziativ und
1
d
ist L (R ) eine kommutative Banachal-
gebra.
C.7.3 Young'sche Ungleichung Sei p ∈ [1, ∞), f
∈ Lp (Rd ) und g ∈ L1 (Rd ), dann ist
f ∗ g in Lp (Rd ) und es gilt kf ∗ gkLp ≤ kf kLp kgkL1 .
Proof
Nach dem Satz von Tonelli B.2.13 ist
x 7→ |f (x − y)|p |g(y)|
für fast alle
y ∈ Rd
Lebesgue-messbar und es gilt
Z
|f (x − y)|p |g(y)|d(x, y) =
R2d
Z
Rd
Z
Z
|f (x − y)|p |g(y)|dx dy
Rd
Z
|f (x − y)|p dx|g(y)|dy
=
Rd
Z
Rd
Z
=
Rd
Rd
|f (x)|p dx|g(y)|dy = kf kpp kgk1 .
y 7→ |f (x − y)| für fast alle x ∈ Rd in Lp (Rd , |g(y)|dy). Weiter ist 1 ∈
Lq (Rd , |g(y)|dy), da g ∈ L1 (Rd ) ( p1 + 1q = 1). Also gilt mit der Hölderschen Ungleichung
Insbesondere ist
Z
Z
|f (x − y)||g(y)|dy ≤
Rd
c
C. Kaiser 13. Oktober 2009
p
1/p Z
|f (x − y)| |g(y)|dy
Rd
1 · |g(y)|dy
Rd
C - 11
1/q
für fast alle
x ∈ Rd
kf ∗
und daher
gkpp
Z
Z
p/q
≤
Rd
Rd
|f (x − y)|p |g(y)|dy dxkgk1
= kf kpp kgkp1 .
C.8 Approximative Identität
C.8.1 Denition
Funktionen
kr ∈
Eine
approximative Identität
2.
Rd
kr (t)dt = 1
3. Für beliebiges
C.8.2 Beispiel
{kr }r>0
Rd
ist eine Familie
{kr }r>0
von
L1 (Rd ) mit den folgenden drei Eigenschaften:
c>0
1. Es existiert eine Konstante
R
auf
Sei
für alle
δ>0
kkr kL1 (Rd ) ≤ c
mit
r > 0.
R
gilt
δ≤|x| |kr (x)|dx
k ∈ L1 (Rd ) mit
R
→0
für
für alle
r → 0.
k(x)dx = 1 und kr (x) =
Rd
r > 0.
1
x
rn k( r ),
r > 0. Dann ist
eine approximative Identität.
C.8.3 Beispiel
k(x) = e−π|x|
2
x ∈ Rd .
R
Rd k(x)dx = 1. Wir
d = 1:
Z
2 Z Z
Z Z
2
2
2
2
−πx2
e
dx =
e−πx e−πy dydx =
e−π(x +y ) dydx
R
R R
R R
Z 2π Z ∞
2
=
e−πr rdrdσ = 1.
Sei
,
Dann ist
zeigen dies
zuerst für
0
Für beliebiges
(C.32)
0
d ∈ N gilt
Z
Z
Z
2
2
−π|x|2
e
dx =
. . . e−π(x1 +···+xd ) dx1 . . . dxd
Rd
R
R
Z
=
e
−πt2
(C.33)
d
dt = 1
R
Nun können wir Beispiel C.8.2, um eine approximative Identität
{kr }r>0
zu erhalten.
C.8.4 Theorem Sei {kr }r>0 eine approximative Identität auf Rd .
1. Ist f ∈ Lp (Rd ) für ein 1 ≤ p < ∞, dann gilt kkr ∗ f − f kLp (Rd ) → 0 für r → 0.
2. Ist f stetig auf der kompakten Teilmenge K von Rd , so folgt kkr ∗f −f kL∞ (K) → 0
für r → 0.
C.8.5 Lemma Ist f
∈ Lp (Rd ) für ein 1 ≤ p < ∞, so gilt für den Translationsoperator
τs , deniert durch τs f = f (· − s) für s ∈ Rd , dass
Z
1
p
p
|f (t − s) − f (t)| dt
kτs f − f kLp =
−→ 0
(C.34)
Rd
c
C. Kaiser 13. Oktober 2009
C - 12
für s → 0.
Proof
p
d
d
Sei p ∈ [1, ∞), f ∈ L (R ) und ε > 0. Da nach Satz C.6.2 Cc (R ) dicht liegt
p
d
d
d
in L (R ), existiert eine stetige Funktion g : R → C mit kompaktem Träger K in R
d
mit kg − f kLp < ε. Sei nun s ∈ R mit |s| ≤ 1. Dann existiert eine kompakte Teilmenge
K 0 von Rd , so dass g(t − s) − g(t) = 0 ist für alle t auÿerhalb von K 0 . Auÿerdem ist
|g(t − s) − g(t)|p ≤ (2kgkL∞ )p für alle t ∈ K 0 . Also folgt
B.2.8
Z
|g(t − s) − g(t)|p dt → 0
mit dem Satz von Lebesgue
(C.35)
Rd
s → 0. Daher existiert ein δ ∈ (0, 1) so, dass für
kτs g − gkLp < ε richtig ist. Damit folgt für diese s auch
für
alle
|s| < δ
die Abschätzung
kτs f − f kLp ≤ kτs f − τs gkLp + kτs g − gkLp + kg − f kLp < 3ε.
Beweis von Satz C.8.4 Da
R
r > 0, folgt
Z
(kr ∗ f )(t) − f (t) = (kr ∗ f )(t) − f (t)
kr (s)ds
d
R
Z
=
kr (s)(f (t − s) − f (t))ds
Rd
kr (x)dx = 1
(C.36)
für jedes
(C.37)
Rd
(a) In (C.37) wenden wir die
Lp -Norm
an und verwenden die Minkowskische Integra-
lungleichung C.2.5:
kkr ∗ f − f k
Lp
p 1
Z Z
p
dt
=
k
(s)(f
(t
−
s)
−
f
(t))ds
r
Rd Rd
Z
1
Z
p
p
≤
|kr (s)|
|f (t − s) − f (t)| dt ds.
Rd
Zu
ε>0
wählen wir
δ>0
(C.38)
Rd
mit
|s| < δ
kτs f − f kLp < ε.
=⇒
(C.39)
Die Eigenschaft (i) einer approximativen Identität liefert nun
Z
|kr (s)| kτs f − f kLp ds < cε.
(C.40)
|s|<δ
Nach Eigenschaft (iii) können wir
R
δ≤|s| |kr (s)|ds
<ε
n0 ∈ N
wählen, so dass für
die Abschätzung
gilt. Dies impliziert nun
Z
Z
|kr (s)|kτs f − f kLp ds ≤
δ≤|s|
c
n ≥ n0
C. Kaiser 13. Oktober 2009
|kr (s)|ds2kf kLp < 2εkf kLp .
δ≤|s|
C - 13
(C.41)
(b) Den Fall
Da
f
p=∞
beweist man ähnlich, wobei man folgende Beobachtung benutzt.
auf der kompakten Menge
K
gleichmäÿig stetig ist, können wir zu
nden mit
|s| < δ =⇒ |f (t − s) − f (t)| <
für alle
ε>0
ein
ε
2c
δ>0
(C.42)
t ∈ K.
C.8.6 Satz Ist φ : Rd → C eine stetig dierenzierbare Funkton mit kompaktem Träger
und f ∈ Lp (Rd ), so ist φ ∗ f ebenfalls stetig dierenzierbar mit
∂j (φ ∗ f ) = (∂j φ) ∗ f,
wobei ∂j die j -te partielle Ableitung
dann auch φ ∗ f .
Proof
mit
j ∈ {1, . . . , d}
0 < |h| ≤ 1 gilt:
Sei
und
ej
der
(φ ∗ f )(x + hej ) − (φ ∗ f )(x)
=
h
∂
∂xj
j -te
Z
d
ZR
=
d
ZR
→
(C.43)
bezeichne. Hat f einen kompakten Träger,
Einheitsvektor in
Rd .
Für
x ∈ Rd
φ(x + hej − y) − φ(x − y)
f (y) dy
h
φ(y + hej − y) − φ(y)
f (x − y) dy
h
(∂j φ)(y) f (x − y) dy
für
h∈R
und
(C.44)
h→0
Rd
nach dem Satz von Lebesgue B.2.8. Der Satz ist anwendbar, da die Integranden punktweise konvergieren (φ ist partiell dierenzierbar) und eine integrierbare Majorante besitzen (φ hat kompakten Träger und Anwendung des Mittelwertsatzes). Also ist
φ∗f
partiell dierenzierbar und es gilt
∂j (φ ∗ f ) = (∂j φ) ∗ f.
Die Stetigkeit von
dass
∂j φ
∂j (φ ∗ f )
(C.45)
folgt mit dem Satz von Lebesgue. Hierbei verwendet man,
stetig ist und kompakten Träger hat.
Wir setzen
D(Rd ) = {φ ∈ C ∞ (Rd ) : supp(φ)
wobei
C ∞ (Rd )
kompakt},
den Raum aller beliebig häug dierenzierbaren Funktionen auf
(C.46)
Rd
be-
zeichnet. Für höhere partielle Ableitungen benutzen wir die Multiindexschreibweise
Dα φ = ∂1α1 . . . ∂dαd φ,
wobei
∂j =
α = (α1 , . . . , αd ) ∈ Nd0
∂
∂xj sei.
Hiermit erhalten wir eine einfache Folgerung aus Satz C.8.6
c
C. Kaiser 13. Oktober 2009
C - 14
(C.47)
C.8.7 Korollar Ist φ ∈ D(Rd ) und f
alle α ∈
Nd0
∈ Lp (Rd ), so ist φ ∗ f ∈ C ∞ (Rd ) und es gilt für
Dα (φ ∗ f ) = (Dα φ) ∗ f.
(C.48)
Hat f kompakten Träger, dann auch φ ∗ f .
C.8.8 Beispiel
Dann deniert
Sei
(
e−1/t ,
ψ(t) =
0,
φ(x) = ψ(1 − |x|2 )
t>0
t ≤ 0.
eine Funktion in
(C.49)
D(Rd ).
C.8.9 Satz Sei
1 ≤ p < ∞ und f ∈ Lp (Rd ). Dann existiert eine Folge (fn ) in D(Rd )
mit kfn − f kp → 0. Mit anderen Worten liegt D(Rd ) dicht in Lp (Rd ), falls p < ∞.
Proof
gn = f χ{kxk≤n} . Nach
dem Satz von Beppo Levi B.2.7 gilt kgn − f kp → 0. Zu ε > 0 wähle nun N ∈ N so
R
d
groÿ, dass kgN − f kp ≤ ε. Sei φ ∈ D(R ) nichtnegativ mit
Rd φ(x)dx = 1. (Ein solches φ existiert nach Beispiel C.8.8.) Nach Satz C.8.4 gilt für hinreichend kleine r > 0
kφr ∗ gN − gN kp ≤ ε und deshalb kφr ∗ gN − f kp ≤ 2ε. (Hierbei ist φr wie in Beispiel
d
C.8.2 deniert.) Wie in Korollar C.8.7 beobachtet, liegt φr ∗ gN in D(R ).
c
Die gesuchte Folge kann so konstruiert werden. Setze
C. Kaiser 13. Oktober 2009
15