Lernzettel zu Wellen

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PHYSIX
1. Die Entstehung einer Welle auf einem linearen Oszillator beschreiben
- Eine (z.B.) mechanische Welle ist eine räumliche Erscheinung, die aus vielen gekoppelten
(z.B. durch Bänder) Oszillatoren besteht.
- Wird nun ein Oszillator in Schwingung versetzt, so fängt auch das benachbarte Pendel an zu
schwingen.
- Dabei sind die Oszillatoren das Medium, in dem sich die Welle ausbreitet. Die Fortpflanzung
oder Ausbreitung der Schwingung ist dann die eigentliche Welle.
- Der Anstoß des ersten Oszillators kann dabei sinusförmig erfolgen um eine gleichmäßige
Welle zu erhalten
2. Die Wellengleichung der fortschreitenden Sinus-Welle herleiten
- Ziel der Wellengleichung ist es, sowohl:
o Die Schwingung eines Oszillators
o Sinusförmige Welle
In eine Gleichung zu bringen.
Dabei wird die sinusförmige Schwingung durch sinusförmige Schwingung des ersten
Oszillators erreicht.
Zunächst gilt:
2𝜋
𝑠 0, 𝑡 = 𝑠 ∗ sin⁡
( ∗ 𝑡)
𝑇
2𝜋
𝑠 𝑥1 , 𝑡 = 𝑠 ∗ sin( ∗ (𝑡 − 𝑡1 )
𝑇
2𝜋
2𝜋
𝑠 𝑥1 , 𝑡 = 𝑠 ∗ sin( ∗ 𝑡 −
∗ 𝑡1 )
𝑇
𝑇
Auslenkung-Zeit Gesetz eines Oszillators am
Punkt 0.
Auslenkung-Zeit Gesetz eines Oszillators am
Punkt 𝑥1 . Dabei muss 𝑡1 subtrahiert werden,
da der Oszillator zu einem späteren
Zeitpunkt erfasst wird.
1. Klammer auflösen
𝑥
𝑥
2. Da 𝑐 = 𝑡 1  𝑡1 = 𝑐1
1
𝜆
𝑇
𝑥 1 ∗𝑇
𝜆
3. Da 𝑐 =
4. 𝑡1 =
Kürzen
 einsetzen:
𝑡 𝑥1 ∗ 𝑇
−
)
𝑇 𝜆∗𝑇
𝑡 𝑥1
Da diese Gleichung für JEDEN Punkt x gilt
𝑠 𝑥1 , 𝑡 = 𝑠 ∗ sin(2𝜋
−
)
𝑇 𝜆
folgt: 𝑥1 = 𝑥
𝑡 𝑥
𝑠 𝑥, 𝑡 = 𝑠 ∗ sin(2𝜋
− )
𝑇 𝜆
Diese Wellengleichung wird nun folgendermaßen interpretiert:
𝑠 𝑥1 , 𝑡 = 𝑠 ∗ sin(2𝜋
-
Wenn x fester Wert ist, dann folgt:
o
-
𝑠 𝑡 = 𝑠 ∗ sin(2𝜋
𝑡
𝑇
− 𝑘 ) Dieses stellt das Auslenkungs – Zeit Gesetz an der Stelle x
dar und gibt somit die Auslenkung eines Oszillators zu jedem beliebigen Zeitpunkt t
an. Es wird nur EIN Oszillator betrachtet.
Wenn t fester Wert ist, dann folgt:
o
𝑥
𝑠 𝑥 = 𝑠 ∗ sin(2𝜋 𝑘 − 𝜆 ) Dieses stellt das Auslenkungs-Positions-Gesetz zum
festen Zeitpunk t dar und gibt somit die Position JEDES Oszillators zu diesem
Zeitpunkt an. Man betrachtet dabei die GANZE Welle (Foto) zum Zeitpunkt t.
© Stefan Pielsticker und Hendrik-Jörn Günther
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3. Begriffe der Wellenlehre erläutern
1
𝑓
-
Schwingungsdauer 𝑇 =
-
Wellengeschwindigkeit 𝑐 =
-
Wellenlänge 𝜆  Abstand zweier benachbarter Maxima (oder der Abstand zweier
Oszillatoren, die den selben Abstand zueinander haben.)
𝑥1
𝑡1
𝜆
=𝑇 =𝜆∗𝑓
Wellenlänge
Die Pfeile geben die Position des jeweiligen Oszillators zum nächsten Zeitpunkt an.
Phase: 𝜑 Winkelgröße der Elongation eines Oszillators am Zeitpunkt t.
4. Wellenlängen von Wasserwellen bestimmen
- Man nehme einen Klick-o-mat und mache ein Foto und misst mit Hilfe eines
Zentimetermaßes den Abstand zweier Amplituden
- ODER: man erzeuge eine stehende Welle (siehe Punkt 9)
5. Transversalwelle und Longitudinalwelle unterscheiden
- Transversalwellen: Oszillatoren schwingen senkrecht zur Wellenausbreitungsrichtung
- Longitudinalwellen: Oszillatoren schwingen parallel zur Wellenausbreitungsrichtung
6. Polarisation von Wellen erläutern
- Man nehme einen Polarisator (2 Stangen, die man parallel zueinander aufstellt)
- Bei der Untersuchung von Wellen auf Transversalität (denn nur Transversalwellen kann man
polarisieren) lässt man die Welle durch einen Polarisator laufen und anschließend durch
einen zweiten. Steht der zweite Polarisator senkrecht zum ersten, so wird jede
Transversalwelle ausgelöscht. Longitudinalwellen können sich ungehindert durch beide
Polarisatoren bewegen.
- Den zweiten Polarisator nennt man auch Analysator, da erst dieser über die Welle
entscheidet.
7. Beispiele für Wellen nennen und einordnen:
- Wasserwellen
Ebene Welle
Räumliche Welle
- Wasserwelle
- Ultraschall
- Seilwelle
- Elektromagnetische Wellen
- Mechanische Welle
- Schallwellen
- Mikrowellen
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8.
-
Fallunterscheidung für die Reflexion von Wellen treffen
Man unterscheidet bei der Reflexion von Wellen zwischen:
Festes Ende (letzter Oszillator fest) und loses Ende (letzter Oszillator beweglich)
Es sei zu beachten, dass beim festen Ende ein Phasensprung stattfindet. Unter Phasensprung
versteht man die Reflexion der Welle, wobei die Phase um 180° gedreht wird. Beim losen
Ende wiederum kann man sich das Szenario wie bei einem Spiegel vorstellen wo die Figur,
die beim Auftreffen genau gleich reflektiert wird, OHNE gedreht zu werden (Drehung bei
Festen Ende).
9. Das Zustandekommen stehender Wellen erklären
- Stehende Wellen entstehen aus der Überlagerung zweier gegenläufiger Wellenmit gleicher
Frequenz und gleiche Phase. Diese können entweder durch Reflexion oder durch zwei
verschiedene Erreger entstehen
- Dabei entstehen Knotenpunkte, an denen sich die Amplituden der aufeinandertreffenden
Wellen aufheben
- Die minimal erforderliche Länge des Wellenträgers kann bei einer stehenden Welle
folgendermaßen berechnet werden:
-
𝑛∗𝜆
2
o
Reflexion am festen Ende: 𝐿 =
o
Reflexion am losen Ende: 𝐿 = 𝑛 + 2 ∗ 2
1
𝜆
Dabei ist die Amplitude immer auf einer viertel Wellenläge(jeweils ungerade, also ¼ und ¾)
befinden sich Amplituden
Bei 0/4 und 2/4 und 4/4 befinden sich jeweils Knotenpunkte
Auf einem Wellenleiter mit stehender Welle kann keine Energie transportiert werden.
10. Interferenz zweier fortschreitender Wellen beschreiben
- Treffen an einer Stelle eines Wellenträgers (z.B. Wasser) mehrere Wellen aufeinander, so
addieren sich dort die Elongationen der Schwingungen. Nach dem Zusammentreffen laufen
die Wellen allerdings ungestört weiter. Die ungestörte Überlagerung mehrerer Wellen (egal
welcher Elongation und Frequenz) nennt man auch Interferenz.
- Treffen Wellen mit gleicher Wellenlänge und Frequenz (Wellenlänge) aufeinander, so
ergeben sich Interferenzstrukturen (Interferenzbilder)
11. Rotierenden Phasenzeiger bei der Erklärung der Überlagerung von Wellen anwenden
- Unter einem rotierenden Phasenzeiger versteht man die Projektion des Einheitskreises auf
eine Ebene :
Dabei ist der Winkel der Phasenwinkel und der Zeiger der Phasenzeiger.
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Treffen nun Wellen aufeinander, so muss man die einzelnen Phasenzeiger der jeweiligen
Welle vektoriell addieren und man erhält die Elongation des Oszillators an diesem Punkt:
Phasenzeiger der
zweiten Welle
Resultierende
Auslenkung
Phasenzeiger der
ersten Welle
Somit lässt sich auch die Auslenkung bei der Überlagerung erklären. Bei der stehenden Welle:
12. An einer stehenden Welle Wellenlängenmessungen durchführen
- Der Abstand zweier benachbarter Knotenpunkte ist gleich der halben Wellenlänge. Bsp.:
𝜆
2
= 1,7 𝑐𝑚 somit ist die Wellenlänge 3,4cm.
Wellenart
Kurvenbild
Fortschreitende Welle
Das Bild der Welle verschiebt
sich mit der Geschwindigkeit
c in Richtung der
Wellenausbreitungsrichtung
Bewegungsamplitude
Alle Oszillatoren haben
nacheinander die selbe
maximale Auslenkung und
Nulldurchgang
Stillstandsmoment
Es gibt keinen Moment des
absoluten Wellenstillstands
Elongationsbetrachtung In keinem Moment ist die
Auslenkung überall null
Ruhepunkte
Alle Punkte der Welle sind
immer in Bewegung
Phasenzeiger innerhalb Alle Phasenzeiger
einer Wellenlänge
unterscheiden sich in ihrer
Phase, sind jedoch gleich
lang
Energiebetrachtung
Die Energie schreitet fort
Geschwindigkeit der
Alle Oszillatoren haben die
Oszillatoren im
selbe ´Geschwindigkeit
Nulldurchgang
Stehende Welle
Das Bild Bleibt an einer Stelle. Oszillatoren schwingen
auf der Stelle
Die Bewegungsamplitude ist immer unterschiedlich.
Am größten ist sie in der Tälern, bzw. Bergen, an den
Knotenpunkten hingegen null, in einer Phase haben
alle Oszillatoren die Auslenkung null
Die Welle steht, wenn alle Oszillatoren ihre Spezifische
Amplitude erreicht haben
Beim Nulldurchgang haben alle Oszillatoren die
Auslenkung null
Die Knoten der Welle stehen, haben also keine
Bewegung
Alle Zeiger zwischen Zwei Knotenpunkten haben die
selbe Phase, sind jedoch unterschiedlich lang
Die Energie bleibt im Wellenträger  Speicher (Laser)
Unterschiedliche Geschwindigkeiten, an den Knoten
null bis maximal an den Bäuchen
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13. Interferenz zweier Elementarwellen erläutern und quantitativ zur Wellenlängenbestimmung
auswerten
- Zwei Erreger erzeugen mit der selben Frequenz Elementarwellen
- Die Wellen überlagen sich, ohne das sie sich dadurch gegenseitig beeinflussen
- Dabei verändert sich nicht die Welle, sondern lediglich die Folgeerscheinungen
- Durch Überlagerung kann es zu veränderten Wellenstrukturen, sogenannten
Interferenzbilder kommen
- Je näher die Erreger aneinander sind, desto deutlichere Strukturen ergeben sich
- Es gibt Bereiche in denen sich die Phasenzeiger beider Wellen zu Null addieren und
Bereiche, in denen sich die Phasenzeiger addieren, sodass sich eine größere Amplitude
ergibt.
- Dies kann man dazu nutzen die Wellenlänge der fortschreitenden Welle zu ermitteln.
- Man sucht sich einen Punkt mit maximaler Intensität
- Nun bestimmt man jeweils den Abstand zu den beiden Erregern und bildet die Differenz
von beiden
- Dieser Abstand wird Gangunterschied genannt
- Um nun die Wellenlänge zu ermitteln, muss noch der Grad des Maximums bestimmt
werden und dann durch diesen geteilt werden
- Den Grad bestimmt man, in dem man die Anzahl der stark schwingenden Bereiche vom
nullten Maximum bis zum Bereich des Punktes zählt.
- Das Nullte Maximum ist der Bereich mit der größten Amplitude, der senkrecht zur
direkten Verbindung zwischen den Erregern steht.
- Dabei ist zu beachten, dass nicht das Nullte Maximum gewählt werden darf, da hier der
Gangunterschied null ist, bzw. nicht durch null geteilt werden darf
14. Den Gangunterschied erläutern
- Der Gangunterschied ist die Differenz der Abstände zu den beiden Erregern
15. Die Phasendifferenz erläutern
- Die Phasendifferenz beschreibt die konstante Differenz der Phasenwinkel an einem
Punkt von zwei mit gleicher Frequenz erregten überlagerten Wellen.
16. Beugung erläutern
Trifft eine Wellenfront auf ein Hindernis, so breitet sich die Welle auch in die Bereiche
aus, die im geometrischen Schattenbereich des Objektes liegen
- Dies geschieht nach dem Huygensschen Prinzip in Form von Elementarwellen
- Die Energie Verteilt sich in alle Bereiche des Wellenfeldes
17. Das Huygenssche Prinzip darstellen und anwenden
- Laut Huygens kann jeder Punkt einer Wellenfront als Ausgangspunkt einer Kreiswelle
(Elementarwelle) betrachtet werden.
- Alle neuen Elementarwellen stellen wiederum eine Wellenfront aus vielen einhüllenden
Elementarwellen dar.
- Anzuwenden ist dies, wenn eine Wellenfront auf ein Hindernis trifft und die
resultierende Welle ermittelt werden soll.
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18. Die Reflexion von ebenen Wellenfronten nach dem Huygensschen Prinzip erklären
- Trifft eine Wellenfront auf ein Hindernis, so kann man die reflektierte Welle so auffassen,
dass sich an jedem Reflexionspunkt Elementarwellen ausbilden, die sich in alle
Richtungen ausbreiten.
- Alle Elementarwellen zusammen bilden dann eine einschließende Welle, die die Struktur
einer Wellenfront hat
19. Das Huygenssche Prinzip auf die Betrachtung von allen möglichen Wegen erweitern
- Trifft eine Wellenfront auf einen unendlich langen Reflektor, so bilden sich an allen
Stellen Elementarwellen aus.
- Diese verlaufen kreisförmig und erreichen somit jeden Punkt im Wellenfeld und
beeinflussen somit den dortigen Phasenzeiger
- Diese Reflexion weicht von den sonstigen optischen Betrachtungen ab, bei denen gilt:
Einfallswinkel = Ausfallswinkel
20. Die rotierenden Phasenzeiger als 𝜆-Zähler interpretieren
- Eine Umdrehung des Phasenzeigers ist eine Wellenlänge
- Folglich entsprechen mehrere Umdrehungen mehreren Wellenlängen und eine halbe um
Umdrehung einer halben Wellenlänge
21. Die Empfangsintensität in einem Punkt eines Interferenzfeldes bei einem punktförmigen
Sender bestimmen
- Es wird die Entfernung über einen Reflexionspunkt von Sender zum Empfänger
bestimmt
- Diese wird durch die Wellenlänge geteilt, wobei jedoch nur die Nachkommastellen für
den Phasenzeiger entscheidend sind, da die Ganzzahlen immer einer kompletten
Zeigerumdrehung entsprechen.
- Dies wiederholt man nun für beliebig viele Reflexionspunkte
- Alle erhaltenen Phasenzeiger werden vektoriell addiert, sodass sich eine Cornu-Spirale
ergibt
- Der sich letztlich ergebende Vektor zeigt die Phase des Oszillators am Punkt des
Empfängers im Wellenfeld an  resultierender Phasenzeiger
- Die Intensität ergibt sich als Quadrat aus dem resultierenden Phasenzeiger
22. Die Cornu-Spirale für Wellenempfängerorte zeichnen und das Zustandekommen erläutern
- Um eine Cornu-Spirale zu erhalten, werden die Phasenzeiger aus dem obigen Versuch
vektoriell addiert.
- Dabei ergeben sich zwei Spiralen mit einer Verbindung
- Auffällig ist, dass die Phasenzeiger, bei denen die Laufzeit der Welle am geringsten ist,
die Intensität am meisten beeinflussen
23. Das Fermatsche Prinzip erläutern und den Zusammenhang mit der Cornu-Spirale darstellen
- Das Fermatsche Prinzip sagt aus, dass die Wellen mit der geringsten Laufzeit, den
größten Einfluss an der Intensität haben
- Übertragen auf die Cornu-Spirale heißt das, dass die Vektoren, die zwischen den beiden
Spiralen liegen, den größten Einfluss auf die Intensität haben.
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-
Man betrachtet also Praktisch nur die Reflexionswege, die nahe dem kürzesten Weg, also
Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel liegen.
24. Die Intensitätsänderung der reflektierten Welle beim ausgekratzten Spiegel gegenüber dem
vollständigen Spiegel deuten.
- Wenn man die Stellen auf dem Spiegel entfernt, wo sich ein nach unten gerichteter
Phasenzeiger ergeben würde, so erhält man nach vektorielle Addition einen bis zu 5x
längeren resultierenden Phasenzeiger
- Damit erhöht sich die Intensität deutlich.
- Man erreicht dadurch, dass immer die selben „Wellenzustände“ also Phasenzeiger am
Empfangspunkt ergeben und sich somit keine Auslöschung (oder nur sehr geringe) ergibt
25. Den Fresnelschen Doppelspiegelversuch beschreiben und qualitativ deuten
- Beim Fresnelschen Doppelspiegelversuch ist es das Ziel, aus Licht Interferenzmuster zu
erhalten
- Dazu braucht man eine Lichtquelle, die Licht mit einer konstanten Wellenlänge
ausstrahlt.
- Beim Doppelspiegelversuch wird aus einer Lichtquelle ein Lichtpunkt auf einen
Doppelspiegel projiziert, dessen Spiegelflächen um etwas weniger als 180° zueinander
aufgestellt sind um zwei „virtuelle“ Lichtquellen zu erhalten, die sehr nach beieinander
sind.
- Da die Lichtstrahlen reflektiert werden und man davon ausgeht, dass Licht eine
elektromagnetische Welle ist, erwartet man Interferenzmuster, die man auch tatsächlich
mit Hilfe einer Linse beobachten kann
- Dabei muss der Abstand zwischen dem Spiegel und der Lichtquelle sehr groß sein
(mehrere Meter)
- Die Linse sollte möglichst nah vor der Lichtquelle stehen (Lampe) damit ein starker
Lichtkegel auf den Spalt, der als Lichtquelle dient, entsteht.
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