2. Serie - EAH Jena

Mathematik III f u
• r MT
WS 2016/2017
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2. Übungsserie: Kon…denzintervalle, Parametertests, einfaktorielle ANOVA
1. Die Messung des Bleigehalts von 40 Proben ergab folgende Werte (in %)
17.3
13.8
18.7
16.4
12.9
15.3
19.3
14.1
16.6
18.5
18.5
14.9
16.5
16.7
10.3
17.5
21.4
16.8
16.3
14.9
15.9
15.1
20.5
16.8
17.4
15.4
16.5
15.5
14.5
15.5
15.3
17.5
17.1
15.5
14.8
14.3
17.0
16.2
15.4
16.2
Bestimmen Sie ein zweiseitiges sowie ein einseitiges, nach oben o¤enes Kon…denzintervall zur Sicherheit
0.99 für den mittleren Bleigehalt. Welche Schlussfolgerung ziehen Sie daraus?
Anleitung MATLAB
Datenvektor a2_1 (Spaltenvektor)
Schätzung von Mittelwert und Standardabweichung: m = mean(a2_1);s = std(a2_1)
(1
) Quantil der t-Verteilung mit n FG: q = tinv(1
; n)
q1 = tinv(0.995,39), q2 = tinv(0.99,39)
s
zweiseitiges 0.99-KI: m q1 p
n
s
einseitiges 0.99-KI: (m q2 p ; 1)
n
oder mit Matlab- Kommando:
[m, s, mci, sci] = norm…t(a2_1,alpha) schätzt Mittelwert, Standardabweichung und die zweiseitigen
(1–alpha)-Kon…denzintervalle für beide Parameter der NV
2. Eine neue Sorte von Reagenzgläsern soll bezüglich ihrer Schmelztemperatur mit einer gebräuchlichen
Sorte, bei der die mittlere Schmelztemperatur 745 C beträgt, verglichen werden. Bei der neuen Sorte
werden in einer Stichprobe folgende Werte ermittelt
675
720
621
653
750
631
742
828
715
611
790
671
820
730
650
785.
Die Messwerte können als normalverteilt angenommen werden.
a) Bestimmen Sie ein zweiseitiges Kon…denzintervall zur Sicherheit 0.95 für die mittlere Schmeztemperatur der neuen Sorte und vergleichen Sie die Grenzen mit dem Wert der alten Sorte.
b) Überprüfen Sie durch Anwendung eines geeigneten Tests bei Risiko 0.05 die Hypothese, dass die
Schmelztemperatur der neuen Sorte 745 C beträgt.
Anleitung MATLAB
a) Datensatz a2_2 erstellen (Spaltenvektor), dann weiter wie Aufgabe 1
b) Einstichproben-T-Test: [h p ci stats]=ttest(a2_2,m0) mit m0 = 745
oder Testgröß
e programmieren: n = size(a2_2,1), m = mean(a2_2), s = std(a2_2), q =
tinv(0.975,n-1)
H0 : = 745
m m0
p
T =
s= n
Ablehnung, wenn jT j > q
oder Berechnung des p-Werts: p = 1 tcdf (jT j ; n 1) und Vergleich mit 0.025 (Risiko wird auf
beide Seiten verteilt)
3. Bei spektrometrischen Untersuchungen der Verunreinigung von Reinstmetallen wurden für zwei verschiedene Chargen in einer Reihe von Analysen folgende Messwerte erhalten
Charge 1 0.75 0.82 0.92 0.88 1.10 0.95 1.15 1.07 1.06 0.98
.
Charge 2 0.89 0.93 1.07 0.98 1.25 1.06 1.12 1.22 1.14 1.17
1
Unter Annahme der Normalverteilung prüfe man auf dem Signi…kanzniveau 5%, ob der Verunreinigungsgrad beider Proben der gleiche ist. (vorher Gleichheit der Varianzen prüfen!)
Anleitung MATLAB
Daten in Matrix a2_3 vom Typ 10x2, 1. Spalte: x1 = a2_3(:,1), 2. Spalte: x2 = a2_3(:,2)
Vortest zum Vergleich der Varianzen: [h p ci stats]=vartest2(x1,x2)
Vergleich der Erwartungswerte bei gleichen Varianzen: [h p ci stats]=ttest2(x1,x2, ’vartype’,’equal’)
4. Zur Messung des Graphitanteils von Stahlproben auf der Basis ebener Schnitte kommen zwei Messverfahren zum Einsatz: Messung des Flächenanteils durch Bildanalyse oder Bestimmung des Längenanteils
auf Messlinien. Bei Probemessungen zum Vergleich der Genauigkeit beider Methoden erhielt man
Linienmethode: n1 = 9; s1 = 0:012
Flächenmethode: n2 = 10; s2 = 0:025:
Die Messwerte können jeweils als normalverteilt vorausgesetzt werden. Ist der Genauigkeitsunterschied
zwischen beiden Messverfahren bei Risiko = 0:05 signi…kant?
Anleitung MATLAB
Urdaten (nicht verbunden) stehen nicht zur Verfügung, daher Testgröß
e programmieren
H0 : 12 = 22
Testgröß
e: T = s1^2=s2^2
Ablehnbereich ( = 0:05): T < …nv(0.025,8,9) oder T > …nv(0.975,8,9)
5. Die Gewichtszunahme von Ratten bei Fütterung ohne bzw. mit Zugabe eines Hormons in 2 Zyklen
über einen bestimmten Zeitraum ergab folgende Werte
Tier Nr
1
2
3
4
5
6
7
8
Behandlung 1 10.1 7.3 12.6 6.1
2.2 10.6 11.2 4.8
Behandlung 2 15.3 3.6 16.5 13.3 3.3 8.2
10.7 3.6
Testen Sie unter Voraussetzung der NV, ob ein signi…kanter Ein‡uss des Hormons vorliegt, Risiko
0.05.die Daten können als normalverteilt vorausgesetzt werden.
Anleitung MATLAB
verbundene Daten, daher Einstichproben-T-Test auf den Vektor d der Di¤erenzen pro Tier anwenden
Daten in Matrix a2_5 vom Typ 8x2
Di¤erenzen pro Tier: d = a2_5(:,1) - a2_5(:,2)
H0 : d = 0
[h p ci stats]=ttest(d,0)
oder mit selbst programmierter Testgröß
e
md = mean(d);sd = std(d)
Testgröß
e: T = md=(sd=sqrt(n))
Ablehnbereich ( = 0:05): jT j > tinv(0.975,7)
6. Die Wirksamkeit von 2 Medikamenten bei der Therapie desWeitwinkelglaukoms soll verglichen werden.
Dabei werden vergleichbar schwer erkrankte Patienten zufällig in zwei Gruppen eingeteilt und in jeder
der Gruppen eins der Mittel verabreicht 120 min nach Verabreichung erhält man folgende Änderung
des Augeninnendrucks
Pilocarpin 2.2 2.2 2.3 2.4 2.4 2.1 2.7 2.6 2.4 2.5 2.6 2.3 2.1 2.0 2.5 2.3
Chibro-T
2.6 2.8 3.1 3.3 2.9 2.5 2.8 2.9 3.1 3.2 3.2 3.0 2.7 3.0 3.0 2.7
a) Berechnen Sie unter Voraussetzung der NV für jedes Medikament ein 95%-Kon…denzintervall für
die mittlere Änderung des Innendrucks.
b) Testen Sie unter Voraussetzung der NV zur Sicherheit 0.95, ob sich die beobachtete Wirkung beider
Medikamente signi…kant unterscheidet.
Hilfsgröß
en
Mittelwert Standardabw.
Pilocarpin n1 = 16 2.350
0.2000
Chibro-T
n2 = 17 2.953
0.2503
Anleitung MATLAB
nicht verbundene Daten, daher Zweistichproben-T-Test
Achtung: separate Datenvektoren x1, x2, da verschiedene Länge der Stichproben
2
3.4
a) [m1, s1, mci1, sci1] = norm…t(x1,alpha) und [m2, s2, mci2, sci2] = norm…t(x2,alpha)
b) wie Aufgabe 3
7. In einem Schulversuch wurde ein neues Sto¤gebiet in Biologie mit 4 verschiedenen Unterrichtsmethoden vermittelt. Dazu wurde eine Klasse von 24 Schülern in 4 Gruppen unterteilt, wobei darauf
geachtet wurde, dass in jeder Gruppe leistungsstarke und -schwache Schüler vertreten waren. Anhand
der erreichten Punkte eines Wissenstests ist der Erfolg der Methoden zu beurteilen. Testen Sie unter
Voraussetzung der Normalverteilung, ob es einen signi…kanten Unterschied zwischen dem Erfolg der
Methoden gibt ( = 0:05).
erreichte Punkte
Methode 1 41 38 42 34 30 37
Methode 2 79 69 63 72 76 58
Methode 3 62 81 70 75 78 71
Methode 4 74 76 69 77 66 81
Bei Berechnung zu Fußkönnen Sie folgende Hilfsgröß
en verwenden
Gesamtmittel: 63:292 , Gesamtvarianz: s2y = 277:52
Methode A: y1 = 37
Methode B: y2 = 69:5
Methode C: y3 = 72:833
Methode D: y4 = 73:833
Anleitung MATLAB
Datenmatrix a2_7 aus Tabelle, aber transponiert, damit Werte der gleichen Methode/Stufe als Spaltenvektor stehen
[p,t] = anova1(a2_7)
8. Untersuchen Sie, ob ein Zusammenhang zwischen den Rauchgewohnheiten und dem IQ besteht. Folgender Datensatz enthält den IQ, erhoben in einer zufälligen Stichprobe aus der Grundgesamtheit der
Männer der Altersklasse 31-50 Jahre. Die IQ-Werte in den Gruppen können dabei als normalverteilt
mit gleichen Varianzen angenommen werden.
Nichtraucher mäß
ige Raucher starke Raucher sehr starke Raucher
131
87
101
112
108
124
76
70
100
91
92
92
85
66
79
70
82
77
77
95
114
108
106
95
105
116
108
118
80
86
87
119
84
123
82
99
97
113
90
86
100
93
88
113
118
124
101
93
148
97
129
147
146
Deskriptive Statistiken
3
NR
moderat
stark
sehr stark
total
n1 = 24
n2 = 11
n3 = 13
n4 = 5
n= 53
Mittelwert
107.75
98.45
93.85
87.70
100.5283
Standardabweichung
20.549
18.986
15.572
17.950
19.712
Anleitung MATLAB
Datenvektor (Spalte) a2_8 durch Aneinanderhängen aller Spalten derTabelle,
Gruppenzuordnung mittels Gruppierungsvektor g=[ones(24,1);2*ones(11,1);3*ones(13,1);4*ones(5,1)];
p=anovan(a2_8,g,’display’,’on’)
oder Programmieren zu Fuß
p = 4;
n1 = 24; n2 = 11; n3 = 13; n4 = 5; n = n1 + n2 + n3 + n4;
m1 = mean(a2_8(1:24)); s1 = std(a2_8(1:24))
m2 = mean(a2_8(25:35)); s2 = std(a2_8(25:35))
m3 = mean(a2_8(36:48)); s3 = std(a2_8(36:48))
m4 = mean(a2_8(49:53)); s4 = std(a2_8(49:53))
SSY = (n-1)*std(a2_8)^2 ;
genauer ist die direkte Berechnung der Quadratsummen: SSY = sum((a2_8-mean(a2_8)).^2)
SSE = (n1-1)*s1^2+(n2-1)*s2^2+(n3-1)*s3^2+(n4-1)*s4^2
MSE = SSE/(n-p-1)
SSA = SSY - SSE
MSA = SSA/(p-1)
T= MSA/MSE
Schwellwert = …nv(0.95,(p-1),(n-p-1))
9. Ein Chemiker untersucht die Anwendbarkeit eines neu entwickelten Polymers zur Decontamination
von Wasser. Die Versuche werden auf 5 Temperaturstufen durchgeführt. Folgende Tabelle enthält den
Anteil beseitigter Verschmutzung bei jeder Temperaturstufe.
Temperaturstufen
I
II III IV V
50 36 49 47 55
51 42 51 49 60
49 38 53 51 62
48 39 53 52 63
50 37 52 50 59
51 40 50 51 61
a) Berechnen Sie die Varianzzerlegung und den Globaltest auf einen signi…kanten Temperature¤ekt
(Risiko 0.05).
b) Prüfen Sie die Voraussetzung der Varianzhomogenität.
c) Zwischen welchen Temperaturstufen gibt es signi…kante Unterschiede? Verwenden Sie den Tukey
Test für paarweise Vergleiche (versuchsweises Risiko 0.05).
Anleitung MATLAB
Datenmatrix a2_9 wie in Tabelle
a) anova1(a2_9)
b) aus Datenmatrix Vektor erzeugen mit a2_9v = reshape(a2_9,30,1)
Gruppierungsvariable: g=[ones(6,1); 2*ones(6,1);3*ones(6,1);4*ones(6,1);5*ones(6,1)]
Bartlett-Test auf Varianzhomogenität: vartestn(a2_9v,g)
c) damit der PostHoc-Test berechnet werden kann, ist bei ANOVA ein 3. Ausgabeparameter st zu
belegen, der dann an multcompare übergeben wird: [p,t,st] = anova1(a2_9);
[c] = multcompare(st,’display’,’on’);
4
10. Folgende Tabelle enthält die erreichten Punkte eines Tests zur Gedächtnisleistung von Versuchspersonen, die 3 Arten von Schockbehandlungen unterzogen wurden.
Behandlung 1 Behandlung 2 Behandlung 3
5
4
5
6
3
6
9
8
1
3
10
7
1
8
5
2
9
8
7
6
7
2
7
3
4
9
3
2
0
a) Prüfen Sie auf Varianzhomogenität.
b) Untersuchen Sie, ob ein signi…kanter Behandlungse¤ekt besteht.
c) Im Fall eines signi…kanten Globaltests …nden Sie mit der Bonferroni-Methode sowie mit dem TukeyTest die Behandlungen, die sich bei versuchsbezogenem = 0:05 sign…kant unterscheiden.
Anleitung MATLAB
Daten: a2_10 mit allen Werten in einer Spalte, Gruppierungsvektor g=[ones(12,1);2*ones(9,1);3*ones(8,1)]
a) vartestn(a2_10,g)
b) [p t stats]=anovan(a2_10,g)
c) [c, m]=multcompare(stats) für Tukey-Test (Standardmethode) bzw.
[c,m]=multcompare(stats,’ctype’,’bonferroni’)
11. Drei homogene Gruppen von Forellen wurden unter sonst gleichen Bedingungen mit einem herkömmlichen Futter gefüttert, wobei Gruppe A nur das Futter bekam, Gruppe B einen nicht hormonellen
Zusatzsto¤ und Gruppe C einen hormonellen Zusatzsto¤. Unterscheidet sich das Wachstum zwischen
den Fütterungsarten signi…kant bei Irrtumswahrscheinlichkeit 0.05?
Untersuchen Sie bei einem signi…kanten Globaltest, zwischen welchen Fütterungsarten signi…kante Unterschiede bestehen.
Kontrolle Zusatz 1 Zusatz 2
18
25
24
15
22
24
15
23
26
17
21
24
17
22
27
16
24
22
Deskriptive Statistiken
Mittelwert Standardabweichung
Kontrolle 16:333
1:211
Zusatz 1
22:714
1:380
Zusatz 2
25:0
1:414
total
21:222
3:889
Anleitung MATLAB
analog Aufgabe 10
12. Wasserproben von 4 Seen wurden auf Phosphorgehalt untersucht (in parts per million). Man erhielt
folgende Mittelwerte über jeweils 20 Proben
x1 = 0:02
x2 = 0:01
x3 = 0:001
x4 = 0:05:
Die Varianzzerlegung ergab folgendes Ergebnis
5
Source
A
Error
Total
SS
0.0272
0.2280
0.2552
DF
3
76
79
MS
0.0091
0.0030
F
3.0333
a) Kann man signi…kante Unterschiede des mittleren Phosphorgehalts zwischen den Seen …nden? (Risiko 0.05).
b) Untersuchen Sie bei signi…kantem Globaltest, zwischen welchen Seen signi…kante Unterschiede bestehen.
Anleitung MATLAB
keine Urdaten, aber aus ANOVA-Tabelle sind die Testgröß
e sowie die FG für den Schwellwert des
F-Tests entnehmbar
Schwellwert mit Quantil …nv(0:95; 3; 76)
a) Schwellwert mit Quantil …nv(0:95; 3; 76)
b) Di¤erenzen sind signi…kant,
r fallsr
M SE
1
1
+
jyi yk j > qp;N p;1
2
ni
nk
6