Gitterschwingungen - Dieter W. Heermann

Theoretische Festkörperphysik Prof. Heermann
1.3
17
Gitterschwingungen
Wir betrachten nun ein Gitter aus Kernen und Elektronen. Die HamiltonFunktion besteht aus den folgenden Anteilen:
1. Kinetische Energie der Kerne.
2. Wechselwirkung zwischen den Kernen, deren Positionen durch
gegeben sind.
i
R
3. Wechselwirkung zwischen Kernen und Elektronen.
4. Wechselwirkung zwischen Elektronen.
5. Kinetische Energie der Elektronen.
Angenommen, dass die Elektronen stets im Grundzustand
Dann
sind.
hängen die Terme 2. bis 5. nur von den Positionen der Kerne Ri ab. (Für
einen typischen Isolator benötigt man einige eV, um ein Elektron aus dem
Grundzustand anzuregen; dagegen ist die typische Schwingungsenergie ≤ 50
meV.)
Damit können wir annehmen, dass die Energie des Systems nur von
i abhängt.
R
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18
1.3.1
Isolatoren
Wir schreiben also für die Hamilton-Funktion:
H = TKern + U
=
wobei U
i
R
i
R
1 p2i
i ,
+U R
2 i 2Mi
die Wechselwirkung von den Termen 2. bis 5. umfasst.
Wir starten zunächst mit einer klassischen Rechnung. Danach betrachten
wir das Problem mit der Quantisierung.
Abbildung 1.7: Einheitszelle und die Atome
Die Vektoren des Bravais-Gitters seien mit an bezeichnet. Die Atome
innerhalb der Einheitszelle haben den Index j. Sei ujn die Verschiebung des
j-ten Atomes in der n-ten Zelle bzgl. des mittleren Wertes des Atoms und
uαjn := (ujn )α .
Dann ist
U
= U0 +
∂U
∂uαjn
jnα
uαjn +
jnαj n β
+
α β
Aαβ
jnj n ujn uj n
=0
jnαj n βj n γ
uαjn uβj n uγj n + O(4).
Typischerweise schmilzt ein Kristall, wenn die Verschiebung uαjn von
der Ordnung von einigen Prozent der interatomaren Abstände wird. Damit
können wir die Terme dritter und höherer Ordnung weglassen und verbleiben bei der harmonischen Näherung. Aus der Vertauschbarkeit der zweiten
Ableitung von U ist es klar:
βα
Aαβ
jnj n = Aj n jn .
Wegen der Periodizität des Gitters ist
αβ
Aαβ
an − an = Aβα
an − an .
jnj n = Ajj jj Theoretische Festkörperphysik Prof. Heermann
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Damit ergibt sich die Bewegungsgleichung:
Mj üαjn = Kraft auf das i-te Atom
∂U
= − α
∂ujn
= −
j n β
Aαβ
an − an uβj n .
jj Wir können den folgenden Ansatz verwenden:
uαjn = e−iωt+ikan Vjα ,
wobei wir periodische Randbedingungen annehmen. Damit folgt
−Mj ω 2 Vjα = −
j n β
= −
jβ
wobei
Aαβ
an − an e−ik(an −an ) Vjβ
jj β
Gαβ
jj k Vj ,
Gαβ
jj k :=
Aαβ
an ) eikan .
jj (
an
Gαβ
jj k heißt dynamische Matrix des Kristalls.
Die Vjα sind die Eigenvektoren der dynamischen Matrix.
Es gilt:
Aαβ (an ) ei(k+bl )an = Gαβ k ,
Gαβ k + bl =
jj
jj
jj
an
wobei bl reziproke Gittervektoren und blan = δnl sind.
Daraus folgt:
⎧
⎨ ω 2 k + bl
= ω2
⎩ V α k + bl
= V α k
j
j
Also: Wir brauchen uns lediglich auf die erste Brillouin-Zone zu beschränken.
Als Beispiel betrachten wir nun eine lineare Kette, d.h.
1. nächste Nachbarn-Wechselwirkung: 12 η (un − un−1 )2
2. eindimensionale Bewegung
3. einheitliche Masse
4. einheitliche Federkonstante η.
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Die Hamiltonfunktion kann man wie folgt darstellen:
H
=
=
def
=
1
1 pn 2
η (un − un−1 )2
+ U0 +
2 n 2M
2 n
1 pn 2
1 2
η un − 2un un−1 + uu−1 2
+ U0 +
2 n 2M
2 n
1 pn 2
1
+ U0 +
Ann un un
2 n 2M
2 n,n
mit Definitionen:
A(0) := Ann := 2η
A(a) := An,n−1 := −η =: A(−a)
=⇒
G(k) = A(0) + e−ika A(a) + eika A(−a)
= 2η − η e−ika + eika
Abbildung 1.8: Dispersionskurve für Phononen (Schwingung) für 1-D-Kette
Somit lautet die Bewegungsgleichung:
ω 2 (k) = 2η(1 − coska) = 4ηsin2
=⇒
ka
2
ka η sin ω=4
M
2
Wenn der eindimensionale Kristall N Atome besitzt (man kann es als N
Elementarzellen mit einem Atom verstehen), dann gibt es N Moden (N
k-Vektoren) in der ersten Brillouin-Zone, d.h. eine Mode pro Freiheitsgrad.
In drei Dimensionen haben wir 3 Freiheitsgrade pro Atom.
=⇒ Insgesamt gibt es 3 N Moden in der ersten Brillouin-Zone, für den Fall
mit “einem Atom pro Einheitszelle”.
=⇒ Es gibt also 3 Moden zu jedem k-Vektor.
Wenn es 2 Atome mit je 3 Freiheitsgraden in der Einheitszelle gibt, dann
gibt es 6 Freiheitsgrade pro Einheitszelle. Weiter enthält der Kristall N
Einheitszellen.
=⇒ N k-Vektoren in der ersten Brillouin-Zone sowie 6 Moden pro k-Vektor.
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21
Abbildung 1.9: Dispersionskurve für die akustischen Zweige der Phononen
Abbildung 1.10: Dispersionskurve für die optischen Zweige der Phononen
1.3.2
Quantisierung
Zunächst machen wir hier eine Wiederholung über die zweite Quantisierung:
• Vielteilchensystem
• Vollständiges ONS (Orthonormales System) von Wellenfunktionen (Einteilchenwellenfunktion): {φα (r)}
• Vielteilchenwellenfunktion ψi :
ψi :=
(±)N φα (r1 ) φβ (r2 ) φγ (r3 ) · · ·
P ermutation
+ Bosonen
− Fermionen
N Ordnung der Permutation
Bosonen:
1. |0 ist definiert als Vakuum — der Zustand ohne Teilchen
2. Der Zustand |Nα , Nβ , Nγ · · · habe Nα Teilchen im Zustand φα , Nβ
Teilchen im Zustand φβ , · · ·
3. Definition der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren:
aγ |Nα , Nβ , Nγ · · · :=
Nγ |Nα , Nβ , Nγ − 1 · · ·
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22
a+
γ |Nα , Nβ , Nγ · · · :=
|Nα , Nβ , Nγ · · ·
=
Nγ + 1 |Nα , Nβ , Nγ + 1 · · ·
Nα
(a+
α)
√
Nα !
a+
β
Nβ Nβ !
a+
γ
Nγ
Nγ !
|0
4. Nγ := a+
γ aγ
ist der Besetzungszahloperator.
Weiter kann man auch zeigen:
1. aγ , aγ = 0
+
2. a+
γ , aγ = 0
3. aγ , a+
γ = δγγ Fermionen:
1. Die Definition von Vakuum und anderen Zuständen ist gleich wie bei
Bosonen.
2. Erzeugungs- und Vernichtungsoperator: b+ , b
b |0 = 0, b |1 = |0
b+ |0 = |1 , b+ |1 = 0
3. Die Operatoren
sind antikommutativ:
+ +
bγ , bγ = bγ , bγ = 0
bγ , b+
γ = δγγ Wir betrachten nun wieder unser Problem
H=
p2nj
nj
2Mj
+
1 α α
Aαβ
jnj n ujn uj n + · · ·
2 njαn j β
Zunächst beschäftigen wir uns mit der linearen Kette:
H=
p2n
1 +
Ann un un
2M
n
2 nn β
Betrachte pn und un als Operatoren, die den folgenden kommunitativen
Regeln genügen:
[pn , pn ] = [un , un ] = 0
[un , pn ] = ih̄δnn
mit Fouriertransformation:
un :=
pn :=
1
√
N
1
√
N
eikan uk
k∈1.BZ
k∈1.BZ
e−ikan pk
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23
und inverse Transformation:
1 −ikan
√
e
un
N n
1 ikan
√
e
pn
N n
uk :=
pk :=
Drücken wir nun H durch uk und pk aus:
H =
p2n
n
=
=
+
2M
1 Ann un un
2 nn β
1 1 −i(k+k )an
1 e
pk pk +
Ann
ei(kan +k an )
N n 2M kk
2N nn
kk 1 1
pk p−k +
G(−k)uk u−k
2M k
2 k
Bemerkung über die Herleitung oben:
1 −i(k+k )an
e
= δk,−k
N n
Ann = A (an − an )
eikan +ik an = eik(an −an ) eian (k +k)
A (an − an ) eik(an −an ) = G(−k)
an −an
mit
G(k) = G(−k) = M ω 2 (k)
Daraus folgt:
H=
pk p−k
⎡
k
2M
+
1
k
2
M ω 2 (k)uk u−k
[uk , uk ] = 0, [pk , pk ] = 0
⎢ [u , p ] = ih̄δ ⎢ k k
kk
⎢ +
⎣ uk = u−k
p+
k = p−k
Definiere nun
a+
k
"
:=
"
ak :=
M
2h̄ωk
M
2h̄ωk
ωk n−k −
i
pk
M
i
p−k
ωk nk +
M
=⇒
"
nk =
(Erzeugungsoperator)
(Vernichtungsoperator)
h̄ ak + a+
−k
2M ωk
"
pk = i
h̄ωk M +
ak − a−k
2
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24
=⇒
⎫
+
⎬
[ak , ak ] = a+
k , ak = 0
Boson-Kommutationsregeln (Phononen)
⎭
ak , a+
k = δkk Damit können wir H als
H =
a+
k ak +
k
=
1
h̄ωk
2
Nk +
k
1
h̄ωk
2
schreiben.
Verallgemeinern wir das Problem im dreidimensionalen Raum:
1
ujn = √
N
eikan vjn uks ,
k∈1.BZ,s
wobei j der Zweigindex ist und vjn die Richtung beschreibt. Analog zu der
linearen Kette bekommen wir
"
uks =
h̄
+
a
+
a
ks
−ks .
2M c ωks
M c ist die Masse der Einheitszelle. Und die Kommutationsregeln sind:
+
[aks , ak s ] = a+
ks , ak s = 0
aks , a+
k s = δkk δss
Damit können wir H durch:
H=
a+
ks aks
ks
1
+
h̄ωks
2
ausdrücken. Dies ist die Hamiltonfunktion für nicht wechselwirkende Bosonen in der Harmonischen Approximation. Phononen sind Quasiteilchen.
Wir betrachten weiter den Term nächsthöherer Ordnung:
H = ··· +
= ··· +
1
B αβγ uα uβ uγ 6 αβγjnj n j n jnj n j n jn j n j n
1
αβγ
Bjnj
ei[kan +k a n +k a n ] ·
n j n
6 αβγjnj n j n
aks +
a+
−ks
ak s +
a+
−k s
k
sk s k s
γ
α β
ak s + a+
−k s vjn vj n vj n
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25
(Sei am ein Bravais-Gitter-Vektor, dann ist
αβγ
αβγ
Bjnj
n j n = Bjn+m,j n +m,j n +m )
1
αβγ
−an+m ,an +m ,an +m Bjnj
n j n ·
6
ei[k(an +am )+k (a n +am )+k (a n +am )] ·
H = ··· +
k
sk s k s
aks + a+
−ks
= ··· +
ak s + a+
−k s
γ
α β
ak s + a+
−k s vjn vj n vj n
ei(k+k +k ) .
am
Typische Terme sind von der Form aks ak s a+
k s (drei Phononenprozesse).
Falls die Impulserhaltung k + k + k = 0 gelten würde, dann würde einer
der Vektoren außerhalb der ersten Brillouin-Zone liegen. Der resultierende
Impuls muss in der ersten BZ liegen, deswegen soll ein Umklapp-Prozess
stattfinden.
Abbildung 1.11: Normaler Prozess für Phononen in der ersten Brillouin-Zone
26
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Abbildung 1.12: Umklapp-Prozess für Phononen in der ersten Brillouin-Zone
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1.3.3
27
Spezifische Wärme
Betrachten wir nochmal die Energie in der harmonischen Approximation:
Em =
1
nks +
h̄ωks
2
ks
|m = nk1s1 , nk1 s1 , · · ·
&
Die Phononen sind Bosonen und somit keine Erhaltungsgröße. Betrachten
wir ein Kanonisches Ensemble. Die Wahrscheinlichkeit für den Zustand |m
ist
e−βEm
1
Pm = ' −βEn = e−βEm
Z
ne
mit
Z :=
e−βEn .
n
(
Die mittlere Besetzungszahl bzgl. des Vektors k und des s-ten Zweigs nks
ist:
(
& 1
(Bose-Statistik)
nks =
nks = βε
e ks − 1
m
&
Wie ist die Energie als Funktion der Temperatur für einen Kristall?
)
HT
=
k∈1.BZ,s
(
=
1
Nks +
h̄ωks
2
&
Nks
k∈1.BZ,s
HT =
T
1
+
h̄ωks
2
1
eβεks − 1
k∈1.BZ,s
*
+
1
h̄ωks
2
in der harmonischen Approximation.
HT
kT h̄ωks
• T →∞
≈
k,s
=
k,s
max
:
1
1
1
1
1 − βh̄ωks + (βh̄ωks )2 + · · · +
h̄ωks
βh̄ωks
2
12
2
1
kB T + o
T
= 3N rkB T
'
r: Anzahl der Atome in der Elementarzelle, r = 3r
'
N : Anzahl der Vektoren in der ersten Brillouin-Zone, k∈1.BZ = N
Daraus folgt:
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28
Cv = 3N rkB + O
1
T2
• T → 0: Wir brauchen nur kleine ω’s zu berücksichtigen. Mit der Approximation
ωks ≈ cs k
(cs : Schallgeschwindigkeit)
folgt:
HT
=
k∈1.BZ,s
1
eβh̄cs k − 1
+
1
h̄cs k
2
≈
3 h̄cs k
V d3 k
(2π)3 s=1 BZ eβh̄cs k − 1
=
V
(kT )4
(2π)3
∞
0
(Der konstante Anteil ist weggelassen.)
1
x3
dΩdx
(h̄cs )3 ex − 1
=const
Daraus folgt:
H ∼ T 4 ,
Cv ∼ T 3
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1.3.4
29
Debye-Modell
Unser Ziel ist nun, ein Modell zu entwickeln, das den Temperaturverlauf, zumindest für ein Kristall mit einatomiger Elementarzelle, einigermaßen korrekt wiedergibt. Es soll zwischen der Tief- und Hochtemperatur interpoliert
werden. Wir machen dazu die folgenden Annahmen:
1. Das System habe nur drei akustische Phononenzweige und keine optischen Zweige (wird durch 4. kompensiert).
2. Für alle akustischen Zweige gilt: ωks = c · k (Isotropie der Ausbreitungsgeschwindigkeit für den gesamten Frequenzbereich).
3. Wähle c, so dass
3
1
4π
=
c3
3 s=1
dΩ
c3s (θ, ρ)
4. Um das Hochtemperaturverhalten richtig zu berücksichtigen, wird die
Summe über k nicht über die erste Brillouin-Zone, sondern über eine
Kugel im k-Raum mit Radius kD (Debye-Vektor) erstreckt, so dass
V 4 3
πk
(2π)3 3 D
= Nr
Anzahl der Punkte im k-Raum innerhalb der Kugel
(2π)3
V : Volumen pro Wellenvektor
4
3
3 πkD : Kugelvolumen
im k Raum
'
Damit: k,s → Summation über dieselbe Zahl von Moden wie im
eigentlichen Kristall.
Abbildung 1.13: Intervall ∆k im k-Raum
Wir betrachten nun die Zustandsdichte im Phononenspektrum: D(E)∆E =
Anzahl der Zustandsdichte im Intervall ∆E Im Debye-Modell ist:
E = h̄ω = h̄kc
und
∆E = h̄c∆k
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30
Abbildung 1.14: Dispersionskurve mit dem Debye-Modell
Die Zustandsdichte im Intervall ∆E :
D(E)∆E =
=
drei Phononenzweige
V
·
3
·4πk2 ∆k
(2π)3
V
E 2 ∆E
3
·
4π
(2π)3
h̄2 c2 h̄c
=⇒
D(E) ∼ E 2
Abbildung 1.15: Zustandsdichte mit dem Debye-Modell
Experimentell sieht die Zustandsdichte wie Abbildung 1.16 aus. Wegen
Normierung soll die Fläche zwischen E = 0 und E = ED in Abb. 1.15 und
Abb. 1.16 gleich sein. Wir haben
HT
=
k∈1.BZ,s
h̄ck
−1
eβh̄ck
=
3 kD
h̄ck
V d3 k
3
βh̄ck
(2π) s=1 0 e
−1
=
3 · 4π
V
(kB T )4 3 3
3
(2π)
h̄ c
Bezeichnung:
ωD := ckD Debye-Frequenz
xD
0
(
d3 k =
x3
dx,
ex − 1
dΩdk)
x := βh̄ck,
xD :=
h̄ckD
kB T
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31
Abbildung 1.16: Experimentale Zustandsdichte
D
θD := h̄ω
kB Debye-Temperatur
D
Damit: xD = θTD , θD = h̄ck
kB
Also:
HT = 9N rkB T
T
θD
3 0
h̄ckD
T
x3
dx
−1
ex
Bei höherer Temperatur ist k klein:
0
θD
T
x3
dx −→
ex − 1
Dagegen ist bei tiefer Temperatur
Konstante. Daraus folgt:
θD
T
0
h̄ckD
T
1
x3
dx =
x
3
θD
T
3
−→ ∞ und das Integral ist eine
9
Hochtemperatur : H ∼ N rkB T, Cv ∼ Konstante
3
T ief temperatur : H ∼ T 4 , Cv ∼ T 3
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32
1.3.5
Langreichweitige Ordnung (LRO)
Hier handelt es sich um eine Frage: Können die Schwingungen das Kristallgitter zerstören?
Dazu betrachten wir die mittlere( quadratische
Abweichung der Atome von
&
2
ihren Gleichgewichtspositionen: ujn .
Zunächst gilt:
1 ikan
=√
e
N ujn
k,s
+
vjn
Einheitsvektor
h̄
2M c ωks
,1/2
aks + a+
−ks
=⇒
u2jn =
1 i(kan +k a n )
vjn vj n ·
e
N k,s k ,s
+
h̄
2M c
mit
1
ωks ωk s
,1/2
aks + a+
−ks
ak s + a+ −k
s
ak s + a−k s+ = aks ak s + aks a+ + a+ ak s + a+ a+ und weiter ist
(
T r u2jn e−βH
&
u2jn =
−ks −k s
−ks
−k s
,
,
T r (e−βH )
wobei H die Hamiltonfunktion in der harmonischen Näherung ist.
Nun sei
|m = nks , nk1 s1 , · · ·
=⇒
−β
(nks + 12 )ωks +
e−βH |m = e
Wegen der Orthonormalität gilt:
bzw. m| aks ak s
Damit folgt:
(
u2jn
&
e−βH
)
[a,a+ ]
=
|m = 0.
&
nk
1 s1
1 s1
=
(
h̄
1 vjn (k, s)vjn (−k, s)
N 2M c
+
|m .
= 0,
1
ωks ω−ks
,1/2
2a+ aks
ks
+1
(
& 1
1 h̄
vjn (k, s)vjn (−k, s) c
Nks +
.
N M ωks
2
=
1
e
βh̄ω
ks −1
1
βh̄ωks
1
βh̄cs k ,
da wir nur die langreichweitige
Ordnung berücksichtigen (k und ω sind in diesem Fall klein).
Damit gilt in D-Dimension:
(
ks
&
Nun Nks
+···
m| a+ a+ e−βH |m
−ks −k s
ks
ωks =ω−ks
+ 12 ωk
u2jn
&
∼
vjn (k, s)vjn (−k, s)
(
&
Nks +
s
∼
s
1
vjn (k, s)vjn (−k, s) 2 dD k
k
1
2
D
d k
ωks
*
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33
• D=3:
- d3 k
- k2
∼
dk, beschränkt, da Integral nur auf der 1. B.Z.
2
k
k2
• D=2:
- kdk
0 k 2 , singulär bei 0
• D=2:
- dk
0 k 2 , singulär bei 0
Ergebnis:
• Niederdimensionale Systeme (D = 1 oder 2): kurzreichweitige Ordnung, aber keine langreichweitige Ordnung.
• Hochdimensionale Systeme (D = 3 oder größer): langreichweitige Ordnung
(
&
Betrachten wir noch u2jn innerhalb des Debye-Modells (D = 3)
(
u2
kD
nk + 12
h̄
2
3
4πk
dk
(2π)3 ρ0 0
ωk
x
x
9h̄2 T 2 θ
+
dx
3
mkθD
ex − 1 2
0
&
=
=
(Wir benutzen wegen der angenommenen Isotropie v(k) = v(−k) = 1 und
setzen x := βh̄kc.)
Bei höherer Temperatur:
T θD :
θD /T
x
0
1
1
+
dx x
e −1 2
θD /T
x
0
=⇒
(
&
u2 Bei tiefer Temperatur: Wir können
(
=⇒
(
&
u2 =
&
u2 =
Es ist die Nullpunkt-Bewegung.
9h̄2 T
2
mkB θD
1
ex −1
vernachlässigen.
9h̄2 T 2 1
mkB θ 3 4
θ
T
2
9 h̄2
= Konstante
4 mkB θ
θ
1 1
+
dx =
x 2
T