Frage 1 / Ca. 86% G -i Ca. 1% G -i - 4π Ca. 9% G i Ca. 5% G

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Frage 1
Genau die korrekten Antworten:
e−5πi/2 =
√
Ca. 86%
ca.
85% -- Keine Antwort:
ca.
0%.
−i
Richtig.
Ca. 1%
−i − 4π
Nein. Zwar ist e−5πi/2 = e3πi/2−4πi , aber die Exponentialfunktion ist periodisch mit
Periode 2πi, der Wert ändert sich also nicht.
Ca. 9%
i
Nein. Dies wäre eiπ/2 = e5πi/2 .
Ca. 5%
− √12 −
√i
2
Nein. Dies entspricht e3πi/4 bzw. e−5πi/4 .
Wenn man mit positiven Vielfachen von i im Exponenten vertrauter ist, sollte man
entweder ausreichend oft 2πi addieren, oder aber die Regel e−ix = e1ix verwenden.
2
Frage 2
Genau die korrekten Antworten:
ca.
85% -- Keine Antwort:
ca.
0%.
92% -- Keine Antwort:
ca.
0%.
eπi/3 =
Ca. 4%
1
2
−
√
3
2 i
Nein. Dies entspricht e−πi/3 .
Ca. 8%
√
3
2
+
i
2
Nein. Dies entspricht eπi/6 .
Ca. 1%
√
2
2
+
√i
2
Nein. Dies ist eπi/4 .
√
Ca. 85%
1
2
+i
√
3
2
Richtig.
Ca. 2%
− 12 + i
√
3
2
Nein. Dies ist e2πi/3 .
Frage 3
Genau die korrekten Antworten:
ca.
7 exp( 9π
4 i) =
Ca. 4%
7i
Nein. Dies entspricht 7eπi/2 = 7e9πi/2 .
√
Ca. 93%
√7
2
+ i √72
Richtig.
Ca. 1%
−7
Nein. Dies entspricht 7eπi = 7e9πi .
Ca. 2%
1
2
√
14(1 + i)
Nein. Der F aktor 1 + i ist zwar richtig, aber der andere F aktor stimmt nicht.
3
Frage 4
Genau die korrekten Antworten:
ca.
56% -- Keine Antwort:
ca.
14%.
−3i + 4 =
Ca. 2%
25e
3πi
4
Nein. H ier stimmt weder B etrag noch A rgument.
Ca. 21%
5ei arctan 3/4
Nein. Dies ist 4 + 3i.
√
Ca. 57%
5e−i arctan 4/3
Richtig
Ca. 7%
5e
−4πi
3
Nein. Dies wäre 2i
D ie U mrechnung von z + x + iy in die D arstellung z + reiϕ erfolgt gemäss r2 = x2 + y 2
und tan ϕ = y/x, wobei man bei letzterem noch den Q uadranten beachten muss.
Frage 5
Genau die korrekten Antworten:
ca.
85% -- Keine Antwort:
ca.
−2 + 2i =
Ca. 2%
4e−
4πi
3
Nein. Der B etrag stimmt schon nicht. Dies wäre 4 − 12 + i
Ca. 8%
√
√
8eπi
√
Nein. Dies wäre − 8i.
Ca. 85%
√ πi
2 2e3 4
Richtig.
Ca. 3%
8e−
Nein. Dies wäre
πi
4
√8 (1
2
− i) =
√
2(2 − 2i).
4
√
3
2
.
1%.
Frage 6
Genau die korrekten Antworten:
ca.
92% -- Keine Antwort:
ca.
0%.
(1 + i)20 =
Ca. 2%
256 + 256i
Nein. Das stimmt schon betragsmässig nicht.
Ca. 3%
512i
Nein. Das stimmt schon betragsmässig nicht.
√
Ca. 92%
−1024
Richtig.
Ca. 3%
−2048i
Nein. Das stimmt schon betragsmässig nicht.
N atürlich kann man den B inomischen Satz für die 18. P otenz verwenden. D ie weitaus
effi zientere H erangehensweise ist aber die D arstellung in Exponentialform zu verwenden:
π 20
10π
(1 + i)20 = 21/2 ei 4
= 210 ei 2 = 210 eπi = −1024 .
A lternativ kann man in diesem B eispiel die B eobachtung (1 + i)2 = 2i benutzen, und
damit (1 + i)20 = (2i)10 = 210 i10 = −210 herleiten.
5
Frage 7
Genau die korrekten Antworten:
e
−3 1π1
i
ca.
90% -- Keine Antwort:
ca.
1%.
=
Ca. 4%
3π
e− 1 1 i
−e 1 1 i
e− 1 1 i
Nein.
Ca. 5%
3π
Nein.
Ca. 3%
3π
Nein.
√
Ca. 90%
3π
e 11 i
Richtig.
F ür reelle Z ahlen x gilt allgemein eix = e−ix . D ies lässt sich leicht über die Eulersche
Formel eix = cos x + i sin x bestätigen.
6
Frage 8
Genau die korrekten Antworten:
ca.
75% -- Keine Antwort:
ca.
1%.
e5−2i =
Ca. 1%
e−5−2i
Nein.
Ca. 19%
e−5+ 2i
Nein.
Ca. 4%
−e5−2i
Nein.
√
Ca. 75%
e5+ 2i
Richtig.
F ür zwei beliebige komplexe Z ahlen z und w gilt z · w = z · w, und das komplexkonjugierte einer reellen Z ahl ist diese selbst wieder: x = x (genau genommen ist das
sogar chrakterisierend für die reellen Z ahlen, das heisst die G leichung gilt auch nur für
diese. M it diesen beiden Fakten folgt dann
e5−2i = e5 · e−2i = e2 · e2i = e5+2i .
7
Frage 9
Genau die korrekten Antworten:
|e5−2i | =
√
Ca. 84%
ca.
83% -- Keine Antwort:
ca.
1%.
e5
Richtig.
Ca. 3%
e10
Nein.
Ca. 12%
e
√
29
Nein. Zwar gilt |5 − 2i| =
reelle Zahlen.
Ca. 1%
√
29, aber die G leichung |ez | = e|z| ist nur richtig für positive
e7
Nein.
H ier benutzt man eine der wesentlichen Eigenschaften der B etragsfunktion, welche
nicht nur für reelle Z ahlen gilt, sondern sich auf komplexe überträgt: Es gilt stets
|z · w| = |z| · |w|. D amit folgt dann
|e5−2i | = |e5 | · |e2i | = e5 · 1 = e5 .
8
Frage 10
Genau die korrekten Antworten:
ca.
17% -- Keine Antwort:
ca.
2%.
W elche dieser A ussagen trifft zu?
Ca. 17%
sin x =
1
2
eix − e−ix
Das stimmt nicht ganz, es fehlt ein F aktor 1i . A nders formuliert, der Sinus ist der
Imaginärteil von eix . Diese (korrigierte) Identität ist die G rundlage für die Definition
der Sinus-F unktion für komplexe A rgumente.
√
Ca. 77%
e−ix = cosx − i sin x
Richtig. Diese stimmt überein mit der Eulerschen F ormel, wenn man dort −x statt x
einsetzt.
Ca. 16%
cos3x =
1
2
e3ix − e−3ix
Nein. B eim K osinus betrachtet man die Summe der Exponentialfunktionen.
√
Ca. 54%
sin 2 x = − 14 e2ix − 2 + e−2ix
Richtig. Dies stellt einen einfachen Weg dar, die A dditionstheoreme für den doppelten bzw. halben Winkel herzuleiten, oder aber Potenzen von Sinus/K osinus durch
Sinus/K osinus von V ielfachen des Winkels auszudrücken. Dazu muss man dann Realund/oder Imaginärteil solcher Identitäten auswerten.
√
Ca. 27%
2ix
1+ e
cotx = −i 1−e
2ix
Richtig.
Ca. 7%
ei sin x = sin x − i cosx
Nein. Sieh dir die G leichung noch mal etwas genauer an. Stichwort Eulersche F ormel.
L ediglich die Formel für den K o-T angens benötigt eine etwas ausführlichere Rechnung.
Einsetzen der G leichungen für Sinus und K osinus ergibt
cot x =
e2ix + 1
eix + e−ix
1 + e2ix
cos x
=
i
.
= i ix
=
−i
sin x
e − e−ix
e2ix − 1
1 − e2ix
9
Frage 11
Genau die korrekten Antworten:
ca.
17% -- Keine Antwort:
ca.
1%.
W elche dieser G leichungen stim m t?
Ca. 40% Im z = 12 z − z
F ast. Es fehlt der F aktor i im Nenner. Diese Identiät ist eine der wichtigsten Eigenschaften des Imaginärteils.
Ca. 13%
Im (z · w) = Im (z)Im (w)
Nein. Das Produkt der Imaginärteile ist ein Summand des Realteils des Produktes:
Re (zw) = R e(z)Re (w)−Im (z)Im (w)
Ca. 20%
und
2
z · z = (R e z) − (Im z)
Im (zw) = R e(z)Im (w)+Im (z)Re (w) .
2
F ast: Das V orzeichen stimmt nicht. Das Q uadrat des B etrages eine komplexen Zahl ist
die Summe der Q uadrate von Real- und Imaginärteil.
√
Ca. 47%
z 2 − z 2 = 4iR e (z)Im (z)
|ez | = eR e z
Richtig.
√
Ca. 66%
Richtig. Nicht zu verwechseln mit der U ngleichung |ez | ≤ e|z| , die mit A usnahme
positiver reeller Zahlen eine eher grobe A bschätzung liefert.
A lle diese A ussagen lassen sich über die Standarddarstellung z = x+iy leicht nachrechnen. U nter anderem gilt
|ez | = |ex+iy | = |ex eiy | = |ex | · |eiy | = ex · 1 = ex .
Frage 12
Genau die korrekten Antworten:
ca.
65% -- Keine Antwort:
ca.
1%.
W elche A ussage ist richtig? D ie A bbildung z 7
→ (−i) · z ist
Ca. 6%
Ca. 17%
Ca. 6%
√
Ca. 67%
Ca. 6%
eine D rehung um
π
2.
eine Spiegelung an der reellen A chse.
eine Spiegelung an der im aginären A chse.
eine D rehung um − π2 .
nichts von alledem .
D ass es eine D rehung ist, ist anhand der Exponentialdarstellung z = reiϕ leicht nachzuπ
vollziehen, denn man erhält (−i)·z = rei(ϕ− 2 ) , der Winkel ist entsprechend abzulesen.
Eine Spiegelung an der reellen A chse ist nichts weiteres als komplexe K onjugation,
also z = x+iy 7
→ x−iy, und die Spiegelung an der imaginären A chse ist das zugehörige
G egenstück x + iy 7
→ −x + iy. B eides ist also falsch.
10
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