Prof. Daniel Hägele, Ruhr-Universität Bochum WS 2010/11

Physik I für Studierende der Biochemie, Chemie und Geowissenschaften
(Prof. Daniel Hägele, Ruhr-Universität Bochum WS 2010/11)
Aufgabenblatt 10 & 11 (25.01.2011)
Abgabe: Bis Freitag 04. Februar 11.00 Uhr
Bitte Name, Matrikelnummer, Studienfach und Gruppenleiter angeben.
Aufgabe 10.1 Schmelzwärme
(3 Punkte)
Ein 10 cm langer Aluminiumstab mit einem Querschnitt von 1 cm2 verbinde ein Reservoir, das auf einer konstanten
Temperatur von 100 ◦ C gehalten wird, mit einem Behälter mit einem Wasser-Eis-Gemisch. Welche Zeit wird benötigt,
um 10 g des Eises zu schmelzen? (Man betrachte nur den Wärmestrom im Stab; der Stabmantel sei gegenüber
Wärmeaustausch isoliert. Es sei λAl =0,48 cal/(cm s K), die Schmelzwärme des Eises sei 80 cal/g.
(Hinweis: 1 cal = 4,18 J)
Lösung:
Der Wärmestrom I ist nach Vorlesung
I=λ
A ∆T
.
l
Mit den gegebenen Werten folgt
I = 4, 8 cal/s
Da die Schmelzwärme des Eises 80 cal/g beträgt, ist eine Zeit
t = 80 cal/g · 10 g/I = 166 s
nötig, um 10 g Eis zu schmelzen.
Aufgabe 10.2 Wärmeleitung
(3 Punkte)
Ein Wohnraum der Grundfläche 4 m×3 m und Höhe 2,8 m besitzt zwei in einer Ecke zusammenstoßende Außenwände
von 30 cm Dicke aus Ziegelmauerwerk (λ1 = 1, 2 · 10−4 kcal/(m s K)). Die eine enthält ein Fenster von 2 m×1,5 m
aus einer Glasscheibe (λ2 = 2, 1 · 10−4 kcal/(m s K)) von 8 mm Dicke. Berechnen Sie die Wärmemenge, die die
Heizung stündlich an diesen Raum abgeben muss, wenn die Innentemperatur konstant 16 ◦ C betragen soll und außen
eine Temperatur von -4 ◦ C herrscht.
Lösung:
Für den Wärmestrom I gilt nach Vorlesung bei Parallelschaltung
µ
¶
Q
λ1 A1
λ 2 A2
I=
= ∆T
+
t
l1
l2
Folglich ist die zu berechnende Wärmemenge
µ
Q = t∆T
λ2 A2
λ1 A1
+
l1
l2
¶
Die Wandfläche (ohne Fensterfläche) ist
A1 = (4 m + 3 m) · 2, 8 m − 2 m · 1, 5 m = 16, 6 m2 ,
die Fensterfläche beträgt
A2 = 2 m · 1, 5 m = 3 m2 .
2
Mit der gegebenen Temperaturdifferenz ∆T = 20 K und Zeit t = 3600 s folgt Q = 6148 kcal.
Aufgabe 10.3 Van-der-Waals-Gleichung
(4 Punkte)
Am kritischen Punkt (Tc , pc , Vc ) besitzt die pV -Kurve eines durch die Van-der-Waals-Gleichung beschriebenen realen
Gases einen Sattelpunkt. Drücken Sie Tc , pc und Vc durch die van-der-Waals-Koeffizienten a und b aus.
Lösung:
Die van-der-Waals-Gleichung lautet
¶
µ
aν 2
p + 2 · (V − νb) = ν R T ,
V
woraus mit dem molaren Volumen Vm = V /ν folgt
p=
a
RT
−
.
Vm − b Vm2
An einem Sattelpunkt nehmen sowohl die erste als auch die zweite Ableitung den Wert Null an. Also müssen am
kritischen Punkt (mit T = Tc , p = pc und V = Vc ) für ein Mol eines Gases die folgenden drei Gleichungen erfüllt sein
R Tc
a
− 2
Vc − b Vc
∂p
R Tc
2a
= 0=−
+ 3
2
∂V
(Vc − b)
Vc
2 R Tc
6a
∂2p
= 0=−
− 4
2
3
∂V
(Vc − b)
Vc
pc =
Auflösen dieser Gleichungen nach den kritischen Größen liefert
8a
27 b R
a
=
27 b2
= 3b
Tc =
pc
Vc
Aufgabe 11.1 Adiabatische Expansion von Luft
(4 Punkte)
Eine bestimmte Menge Luft expandiere reversibel und adiabatisch von P1 =2 atm und V1 = 2 ` bei 20◦ C auf das
doppelte Volumen. Für Luft ist der Adiabatenkoeffizient κ = 1, 4. Berechnen Sie
(a) den Enddruck P2 ,
(b) die Endtemperatur T2 und
(c) die vom Gas verrichtete Volumenarbeit.
Lösung:
(a)
Bei der reversiblen adiabatischen Expansion bleibt P V κ konstant. Dann gilt
P1 V1κ = P2 V2κ
oder
µ
P2 = P1
V1
V2
¶κ
.
3
Setzt man die gegebenen Werte ein, ergibt sich
µ
P2 = 2 atm ·
2`
4`
¶1,4
= 0, 758 atm.
(b)
Die Temperatur kann nach
T1 V1κ−1 = T2 V2κ−1
berechnet werden, daraus ergibt sich
µ
T2 = T1
V1
V2
¶κ−1
µ
= 293 K
2`
4`
¶1,4−1
= 222 K = −51◦ C.
(c)
Die adiabaische Volumenarbeit ergibt sich zu:
Wadiabatisch = CV ∆T = CV (T2 − T1 )
Mit dem idealen Gasgesetz pV = νRT und der Beziehung νR = CP − CV wird daraus
µ
¶
P2 V2 − P1 V1
CV
=
(P2 V2 − P1 V1 ).
Wadiabatisch = CV
νR
CP − CV
Kürzen von CV und einsetzen von κ = CP /CV führt auf
Wadiabatisch =
P2 V2 − P1 V1
0, 758 atm · 4 ` − 2 atm · 2 `
=
= −2, 42 ` · atm.
κ−1
1, 4 − 1
Aufgabe 11.2 Energieabgabe einer Person
(4 Punkte)
(a) Berechnen Sie die von einer Person in einem Raum von 20◦ C netto abgestrahlte Leistung. Die Hautfläche, die
wie ein schwarzer Strahler wirke, sei 1,4 m2 groß, und die Körperoberfläche habe die Temperatur 33◦ C=306 K.
(b) Die Energieabgabe ist recht groß. Wodurch kann der große Energieverlust vermindert werden?
(c) Berechnen Sie die Wellenlänge λm des Strahlungsmaximums.
Lösung:
(a)
Pnetto = Pemittiert − Pabsorbiert = σA(T 4 − T04 ),
wobei σ = 5, 6703 · 10−8 W · m−2 · K−4 die Stefan-Boltzmann-Konstante ist. Somit folgt
Pnetto = 5, 67 · 10−8 W · m−2 · K−4 · 1, 42 m2 · [(306)4 − (293)4 K4 = 111 W
(b)
Durch das Tragen von Kleidung.
(c)
Nach dem Wienschen Verschiebungsgesetz gilt:
λm =
2, 898 mm · K
2, 898 mm · K
=
= 9, 47 · 10−6 m = 9470 nm.
T
306 K