Vortrag zu Laufenden Kopplungen

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Running Coupling Constants
Laufende Kopplungskonstanten
Daniel Gütersloh
Vortrag zur Vorlesung Teilchenphysik für Fortgeschrittene
January 12, 2011
Daniel Gütersloh
Running Coupling Constants
Die fundamentalen Kräfte
1
LQED = ψ̄ (iγµ ∂ µ − m) ψ − q ψ̄γ µ ψ Aµ − F µν Fµν
4
8
8
X
1X
LQCD = ψ̄ (iγµ ∂ µ − m) ψ −
gs ψ̄γµ Ta ψ Gµa −
Gaµν Gaµν
4
a=1
a=1
Standard Modell: QFT / Eichtheorie mit Lagrangedichte LSM
Fordere Invarianz unter lokaler Eichtransformation der Felder
U(1) : ψ 0 = e iq(x) ψ ⇒ elektromagnetische Kraft (QED)
SU(2) : ⇒ schwache Kraft (Diskussion in der Vorlesung)
SU(3) : ψ 0 = e igs a (x)Ta ψ ⇒ starke Kraft (QCD)
d.h. Wechselwirkungsterme im Lagrangian
el. Ladung des Fermions q, starker Kopplungsparameter gs
sind freie Paramtere der Theorie ⇒ Messen!
Warum stark, schwach? → u.a. relative Größe des
Kopplungsparameters!
Konvention: Summen xµ x µ :=
P
µ
xµ x µ , Natürliche Einheiten c ≡ ~ ≡ 0 ≡ 1
Daniel Gütersloh
Running Coupling Constants
Die Kopplungskonstanten
q
√
√
γ
αEM =
q2
4π
q
√
αEM
αS
αW
g
W±
mit q = Zf · e
αW =
2
gW
4π
αS =
gS2
4π
Fundamentales Prinzip Störungstheorie: Perturbative
Reihenentwicklung für α hinreichend klein
Jede Observable (z.B. Wirkunsgquerschnitt σ) als Potenzreihe
in Kopplungskonstanten darstellbar √
Feynman Regeln: Kopplungsparameter
α → Vertex Faktoren
Sind die Kopplungs-”Konstanten” wirklich konstant?
Fermion-Ladungszahl Zf
Elementarladung e = 1.602 · 10−19 C
Daniel Gütersloh
Running Coupling Constants
(makrosk. Prozesse)
Auflösungsvermögen bei Streuexperimenten
∆Impuls · ∆Ort ≈
~
2
e−
e−
p
p0
γ
P
Untersuchung der Kopplungskonstanten mit Streuexperimenten
(hier z.B. t-Kanal Prozess)
Optik: Photon Impuls |~q | ∝ λ
ˆ Auflösungsvermögen
Wellenlänge ≈
q 2 = (p − p0 )2
−Q2 = q 2 < 0
P
Allgemein Auflösungsvermögen
abhängig von 4er-Impuls-Übertrag
Q 2 ≈ (∆Impuls)2 bei Streuung
Heisenbergsche Unschärferelation lässt
erkennen:
Q 2 groß ⇒ Hohe Auflösung /
Kleiner Abstand
Q 2 klein ⇒ Geringe Auflösung /
Großer Abstand
0
Daniel Gütersloh
Running Coupling Constants
Sind die Kopplungs-Konstanten konstant?
Messprozess
Thomoson Streuuung:
τ -Zerfälle:
PETRA:
Z 0 -Zerfälle:
√
Q2
0 eV−1 eV
1.78 MeV = Mτ ±
45 GeV
91 GeV = MZ 0
αEM
1
≈ 137
/
1
≈ 129
1
≈ 128
αS
/
0.330 ± 0.014
/
0.1184 ± 0.0007
Kopplungen sind freie Parameter der Theorie
aber: Laufen der Kopplungen mit Q 2 durch Theorie bestimmt
→ Renormierung
Warum wurde Effekt nicht schon von Coulomb oder bei
Thomson Streuung oder dem Millikan Versuch entdeckt?
→ Effekt gering nicht auf kleinen Energieskalen erkennbar
Die Kopplungen sind Q 2 abhängig!
Daniel Gütersloh
Running Coupling Constants
Vakumpolarisation in der QED anschaulich
e−
e
e
−
e
-
-
e
e+
e−
e
e
e
e+
e
e+
e
e
e
e
-
+
-
+
-
e−
e
+
+
+
+
e
-
-
freies Elektron im Vakuum immer von E-Feld / Photon Wolke
umgeben
Quantenfluktuation auf Skala ∆t · ∆E ≥
~
2
QED Vakuum Polarisation: virtuelle Photonen, e + /e − Paare
Ausrichtung wie Dipole ⇒ Dielektrikum ⇒ Abschirmung der
Ladung (Screening)
Entstehung schwerer Fermion Paare m > me z.B. µ− /µ+
unwahrscheinlicher
Daniel Gütersloh
Running Coupling Constants
Vakumpolarisation in der QED anschaulich
Untersuchung der Ladung durch Streuung mit einer
Testladung 4er-Impuls Übertrag Q
Großer Abstand R ⇒ Q 2 klein ⇒ Abschirmung groß
⇒ αQED klein (kleine Wellenlänge misst weniger Abschirmung)
Kleiner Abstand R ⇒ Q 2 groß ⇒ Abschirmung klein
⇒ αQED groß (große Wellenlänge misst abgeschirmte Ladung)
Effektive Kopplungskonstante α Q 2 bzw. Ladung q Q 2
Daniel Gütersloh
Running Coupling Constants
Renormierung der QED
Ziel: Herleitung einer Formel für laufende Kopplungen
Betrachte: Lepton Streuung über t-Kanal (z.B Elektron, Muon Streuung)
Nutze Feynman Regeln, betrachte Störungstheorie höherer Ordung
l
l
e
γ
q
Leading Order / Tree Level
−ig
−iM = [ū(p 0 )ieγ µ u(p)] q2µν [. . . ie . . . ]
Vakumpolarisation: Fermion Loops im Propagator mit k beliebig
e
Weitere Loop Korrekturen sind von der Ordnung O e 4
l
l
e
γ
q
e
e
k−q
e
k
q
NLO Loop Korrektur
−ig µµ0
×
−iM = [ū(p 0 )ieγ µ u(p)]
2
q R
0
4
d k
× (−1) R4 (2π)
ieγ µ
4 Sp
−igν 0 ν
×
[. . . ie . . . ]
q2
Konvention: ∂/ := γ µ ∂µ
µ
p
/ := γ pµ
Daniel Gütersloh
i(/
k +m)
k 2 −m2
i q −/k +m 0
(/
)
ieγ ν (q−k)2 −m2
Q 2 := −q 2 > 0
Running Coupling Constants
Renormierung der QED
Feynman Rules
Daniel Gütersloh
Running Coupling Constants
Renormierung der QED
Berücksichtige die Loop Korrekturen → effektiver Propagator
−igµν
q2
→
wobei Iµν
−ig 0 0 0 −igν 0 ν
−ig
µµ
Iµ ν
+ O e 4 ≡ q 2µν 1 − I q 2 + O e 4
+
q2
q2
R
k +m)γν (/
q −/
k +m))
d 4 k Sp (γµ (/
:= −e 2 R4 (2π)
≡ −igµν q 2 I q 2
4
(k 2 −m2 )((q−k)2 −m2 )
−igµν
q2
R 1
3
2
divergiert logarithmisch! nicht wie intuitiv ∝
/ |k|
2 |k| d (|k|) ∝ |k|
Wähle Cutoff bei M wegen uv-Divergenz, später M → ∞
R M2 1
R1
e2
e2
d k 2 − 2π
2 0 z(1 − z) ln 1
12π 2 m2 k 2
h
i
e2
M2
≡ limM→∞ 12π
− f q 2 = ∞ wobei f
2 ln
2
 2 2 m2 2
q
2
e
e
M
 12π2 ln m2 + 60π2 m2 Q klein
Q 2 ≡ −q 2
q2 , M 2 =
2
2
 e ln M
Q 2 groß
2
2
I q 2 = limM→∞
I
12π
−q
−
q2
q 2 z(1−z)
m2
<∞
dz
I q2 , M 2 ∈ O e 2
eR := e 1 − 12 I (q 2 ) + O e 2 ⇒ eR2 = e 2 1 − 22 I (q 2 ) + O e 4
−igµν
q2
→
2
−igµν eR
q2
e2
Daniel Gütersloh
+ O e4
Running Coupling Constants
Renormierung der QED
eR2 ≡ e
−igµν
q2
2
1−
→
I (q 2 )
−igµν eR2
q2 e 2
+O e
+O
4
e4
eR
e
e
e
+ O e4
e
e
−
!
I q2
!
e
e
e
eR
!
!!
e2R = e2 1 − I q2 + O e4
Renormierung anschaulich: Ersetze e durch eR
Physikalische Observablen sind endlich d.h gemessen wird:
Renormierte / physikalische Ladung eR q 2 (enthält alle Loop
Korrekturen) und ist Funktion von q 2
Absorbiere Divergenz in ”nackter” Ladung e
=
ˆ Kopplung Fermion-Photon Vertex-Faktor
(ohne weitere Loop Korrekturen)
e nicht endlich ⇒ Störungsreihe divergiert / hat unendliche Koeffizienten
Idee der Renormierung: Reparametrisiere Störungsreihe mit gemessener
physikalischer Ladung bei Renormierungskala µ2 → endliches Ergebnis
Wir werden
sehen: Eleminieren der nackten Ladung e durch Messung
eR µ2 löst Unendlichkeits-Problem
berücksichtige jetzt alle Loop Korrekturen:
eR
e
e
e
e
−
=
e
e
+
e
e
e
eR
Daniel Gütersloh
e
Running Coupling Constants
e
e
−...
Rechnung QED Laufende Kopplungen
eR
eR
e
e
2
1
=
+
−
+
−
1
+...
=
1
eR
e
eR
−
−
e
2
3
eR2 q 2 = e 2 1 − I (q 2 ) + I (q 2 ) − I (q 2 ) + . . . =
e2
1−(−I (q 2 ))
=
e2
1+I (q 2 )
Geometrische Reihen-Formel (Konvergenz sei erfüllt)
Messung bei µ2 um nackte Ladung e bzw. koppl. Konstante α0 zu eleminieren
und physikalische Kopplungskonstante bei q 2 zu bestimmen
2 e2
M
e2
Rechnung für große Q 2 : I (q 2 ) = 12π
2 ln
α0 = 4π
−q 2
Q 2 ≡ −q 2
α0
α(q 2 )
α q
= 1 + I q2 = 1 +
2
α0
3π
ln
M2
Q2
α0 =
α(q 2 )
=
( ) ln M 2 α q2
1− 3π
h 2
2 i
α(q )α(µ )
−
ln M
− ln M
= α µ2
3π
µ2
Q2
2
2
Q2
α q
2
α(µ2 )
( ) ln M 2
α µ2
1− 3π
µ2
2
=
1−
α(µ )
( ) ln Q 2
α µ2
3π
µ2
Ausdruck unabhängig von M also limM→∞ ausführbar, Term bleibt endlich!
Daniel Gütersloh
Running Coupling Constants
Experimenteller Nachweis: αEM Messung bei LEP
Bhabha Streuung: e + + e − → e + + e −
im CMS Mandelstam Variable (ultrarelativistisch)
t = −Q 2 ≈ − 2s (1 − cos (θ)) ≈ − 4s θ2
2
Strahlungskorrekturen
dσ 0
dt
δZ , δγ Korrektur wegen s-Kanal Prozess mit γ bzw. Z 0
=
4πα2
0
t2
Bhabha Streuung σ gut bekannt ⇒ Wird genutzt
um Beschleuniger Luminosität L zu messen
⇒ Man kann also nicht absoluten Wert αQED
messen ohne unabhängige L Messung
α q2 =
α(µ2 )
2
ln Q2
α(µ2 )
1− 3π
bei Q 2 groß
µ
Daniel Gütersloh
L3
2
2
2.10GeV < -Q < 6.25GeV
12.25GeV2 < -Q2 < 3434GeV2
2
2
2
1800GeV < -Q < 21600GeV
QED
0.8
0
α0 Feinstrukturkonst.
+ −
α x 100
Messung u.a. bei kleinen Q 2 d.h. kleinem θ
möglich mit Kleinwinkel Kalorimeter
Wirkungsquerschnitt
0
α(t) 2
∂σ
= dσ
(1 + )(1 + δγ ) + δZ
∂t
dt
α
+ −
e e →e e
0.75
α=constant=1/137.04
1
10
10
2
2
10
3
2
-Q (GeV )
Q 2 groß ⇒ Kleiner Abstand ⇒
Abschirmung klein ⇒ αQED groß
Q 2 klein ⇒ Großer Abstand ⇒
Abschirmung groß ⇒ αQED klein
Running Coupling Constants
10
4
Anmerkungen: QED Laufende Kopplungen
e
+
=
ˆ
e
e
e
e
OPAL
Ratio Data / Theory (Δα=0)
e
1.007
OPAL fit
1.006
Theoretical predictions
Δα = 0
Δα = Δαee
Δα = Δαlep
Δα = Δαlep + Δαhad
1.005
1.004
1.003
1.002
Bis jetzt nur Loop Korrekturen
diskutiert.
∃ Vertex Korrekturen O e 2 heben sich
auf wegen Ward Identitäten (Bedingung
dass Theorie renormierbar)
1.001
aber ∃ Einfluss auf Masse (wird auch
renormiert), magnetisches Moment des
Elektrons
0.997
1
0.999
0.998
0.996
0.995
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
2
-t (GeV )
Erklärt warum g -Faktor aus Dirac
Gleichung nur ≈ 2
Bis jetzt nur e + /e − Loops. Berücksichtige Fermionen mit m > me !
Laufende QED Kopplung erklärt Lamb-Shift bei Wasserstoff
Energieniveaus
Daniel Gütersloh
Running Coupling Constants
Vakumpolarisation in der QCD anschaulich
Vakumpolarisation: Quark Antiquark-Paare
q/q̄ ⇒ Abschirmung der Farbladung
Alles genau wie bei QED? Nein! Gluonen
(Selbst WW) ⇒ Gluon-Loops möglich
Effektiv: Ladung bevorzugt von
Ladung gleicher Farbe umgeben
⇒ Ladungsverstärkung (Antiscreening)
Q 2 groß ⇒ Kleiner Abstand ⇒ αs klein
Q 2 klein ⇒ Großer Abstand ⇒ αs groß
Daniel Gütersloh
Running Coupling Constants
Renormierung der QCD
√
αS,R
√
αS
1
=
√
αS,R
√
−
q̄
q
−
+...
Laufende starke Kopplung
αS (µ2 )
2
αS Q 2 =
Q
2
1+β0 αS (µ ) ln
β0 =
αS
33−2Nf
12π
mit
µ2
(1-Loop-Approximation)
Ähnliches Renormierungs-Verfahren wie bei QED Renormierung
Achtung: QCD Nicht Abelsche Eichtheorie ⇒ Gluon Selbst WW
Renormierung: Absorbiere Divergenz wieder in Ladungen / Kopplung
aber: in QCD andere Koeffizienten der Störungsreihe
Nf Q 2 = Anzahl aktiver Quark Flavour bei Q 2
2
= Anzahl aller Quarksorten mit mquark
≤ Q 2 Bsp. Nf (91 GeV)2 = 5
Screening: Nf verschiedene Quark Loops, Anti-Screening: Gluon Loops
Nf ≤ 16 Gluon Beitrag überwiegt Antiscreening (in SM erfüllt, max. 6
Quark Flavour)
Kopplungskonstante αs entwickelt sich genau umgekehrt als in QED
αs Q 2 , Nf Funktion sollte stetig sein ∀Nf Q 2 (matching)
αs (µ2 = MZ2 0 ) bei Z 0 Masse MZ 0 ist oft Renormierungs-Referenzsgröße
Daniel Gütersloh
Running Coupling Constants
Confinement & Asymptotic Freedom
0.5
July 2009
α s(Q)
Deep Inelastic Scattering
e+e– Annihilation
Heavy Quarkonia
0.4
αS Q 2 ≡
β0 ln
1
Q2
Λ2
Λ2 =
µ2
exp(1/(β0 αs (µ2 )))
Asymptotische Freiheit: Bei Prozessen mit großem
Impulsübertrag Q 2 d.h. Auflösung sehr kleiner
Abstände
x wird die starke Kopplungskonstante
αS Q 2 und damit die Wechselwirkung zwischen
Quarks beliebig klein ⇒ Quarks quasi frei für
Q 2 → ∞ (Nobelpreis 2004)
0.3
0.2
0.1
QCD
1
α s (Μ Z) = 0.1184 ± 0.0007
10
Q [GeV]
100
Confinement: Bei Prozessen mit kleinem
Impulsübertrag Q 2 d.h. schlechter Auflösung und
damit großen Abständen x wird
starke
Wechselwirkung d.h. αS Q 2 beliebig stark.
/ freie Farbladungen d.h. alle Teilchen
⇒∃
makroskopisch farbneutral gebunden
Quarks nicht trennbar (”Energiestrafe” so hoch,
dass Paarbildung günstiger), Bildung von Hadronen
Nicht perturbativer Bereich! Beschreibung ohne
Störungsth.: Gitter Eichtheorie
Daniel Gütersloh
Running Coupling Constants
αs Messung bei PETRA (JADE Experiment)
e−
√
αEM
e+
q
γ
Jet1
√
ZQ αEM
1
q2
q̄
Jet2
q
e−
√
αEM
e+
γ
√
Jet1
αS
√
ZQ αEM
1
q2
q̄
Jet3
Jet2
Entdeckung des Gluons: 3 Hadron-Jet Ereignis bei PETRA
σ
Neue Observable z.B. 3 Jet-Rate R3 αS Q 2 := σ3-jet
tot
2
Abhängig von αS Q 2 wobei Q 2 = ECMS
=s
Prozesse mit mehr Jets beobachtbar!
Nutze Messung von Jet-Raten zur αS Bestimmung
Wie erkennt man überhaupt einen Jet? → Jet Algorithmen
Daniel Gütersloh
Running Coupling Constants
Durham Jet Algorithmus
Definiere alle Teilchen i als Proto-Jets
Maß für ”Abstand” zweier Jets: Durham Jet Resolution
2
Variable (Ei Jetenergie θij Winkel zwischen Jets i, j s = ECMS
)
yij :=
2 min(Ei2 ,Ej2 )
s
(1 − cos (θij ))
Clustering: Falls yij < ycut vereinige Proto-Jets i,j:
pijµ = piµ + pjµ
4er-Impuls Summe definiert neuen Proto-Jet
ycut willkürlich gewählter Cutoff
kleine Abstände θij , kleine Energien Ei ⇒ yij klein ⇒ werden
zu einem Jet zusammengefasst
Verfahren iterativ anwenden mit verbleibenden Proto-Jets
Abbruchbedingung: ∀ yij > ycut ⇒ Verbleibende Proto-Jets
y groß Æ weniger Jets
y klein Æ mehr Jets
sind physikalische Jets
Anzahl Jets abhängig von ycut
cut
Daniel Gütersloh
Running Coupling Constants
cut
0.5
4-Jet-Rate
4-Jet-Rate
PETRA: αs aus Fit an Messung R4 (ycut )
0.45
0.4
0.35
JADE
Preliminary
0.4
0.35
0.3
0.25
0.5
JADE
Preliminary
2
χ (αS ) =
0.3
34.6 GeV
0.25
0.2
0.2
0.15
0.15
0.1
0.1
fit
range
0.05
0
-5
10
Prüfgröße der Statistik χ2 :
0.45
10
-4
10
-3
10
-2
ycut
35.0 GeV
-1
ycut
0
-5
10
R4,theo,ycut (αS )) − R4,exp,ycut
∆R4,exp,ycut 2
4-Jet Ereignisrate
fit
range
0.05
10
X
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
ycut
R4 αS Q 2 = s , ycut :=
σ4-jet
σtot
R4 (ycut ) Kurve wird bei verschiedenen ECMS bestimmt
αS ist Parameter in (bekannter) Theorie von R4,theo,αS (ycut )
Intuitiv klar: ycut → 0: alle Teilchen Jets
ycut → ∞: Nur 1 Jet ⇒ R4 → 0
Fit gut ⇔ χ2 klein ⇔ quadratische Abweichung von Theorie und
Experiment klein
jede Abweichung gewichtet mit Reziprok des experimentellen Fehlers
Minimiere also χ2 (αS ) Fit mit freiem Parameter αs (ECMS ) und 4
Jet-Rate als Observablen R4,exp,ycut
Daniel Gütersloh
Running Coupling Constants
2
60
1/α
1/α
Laufende Kopplungen & GUT: STM vs. SUSY
EM
50
60
1/αEM
MSSM
50
40
40
1/αW
W
30
30
20
20
10
10
1/αS
S
0
0
5
10
15
10
0
0
5
log Q
10
15
10
log Q
Extrapolieren der SM Messungen ⇒ Vorraussagen für exp. unzugängliche Q
Kopplungen bei ≈ 1015 GeV nahezu gleich. Grand Unification? Nein!?
Grand Unified Theory: Vereinheitlichung der fundamentalen Kräfte in eine
gemeinsame Eichgruppe, mit einheitlicher Kopplung
Supersymmetrie: Viele neue Teilchen ⇒ Einfluss auf Renormierung
⇒ Vereinheitlichung der Kopplung!
Daniel Gütersloh
Running Coupling Constants
Zusammenfassung
Kopplungen von Energieskala des Prozesses Q 2 abhängig!
0.5
+ −
+ −
e e →e e
2
L3
2
2
2.10GeV < -Q < 6.25GeV
12.25GeV2 < -Q2 < 3434GeV2
2
2
2
1800GeV < -Q < 21600GeV
QED
α x 100
0.8
July 2009
α s(Q)
Deep Inelastic Scattering
e+e– Annihilation
Heavy Quarkonia
0.4
0.3
0.75
0.2
α=constant=1/137.04
1
10
10
2
2
10
3
10
4
2
-Q (GeV )
Quantenelektrodynamik
α(µ2 )
α q 2 = α(µ2 ) Q 2 1−
3π
ln
0.1
QCD
1
bei Q 2 groß
α s (Μ Z) = 0.1184 ± 0.0007
10
Q [GeV]
Quantenchromodynamik
αS Q 2 ≡ 33−2Nf 1 Q 2 12π
µ2
Daniel Gütersloh
100
Running Coupling Constants
ln
Λ2
Literatur:
1
P. Schleper, ”Vorlesungsskript: E-Teilchen für Fortgeschrittene”,
Uni Hamburg 2011
2
F. Halzen & A. Martin, ”Quarks and Leptons. Introductory Course
in Modern Particle Physics”, (Wiley, 1984)
3
R.K. Ellis et al. , ”QCD and Collider Physics” Camebridge
Monographs on particle physics, nuclear physics and cosmology 8
4
M. Peskin D. Schroeder, ”An introduction to Quantum Field
theory”, Westview Press
5
G. Abbiendi et al. , ”Measurement of the running of the QED
coupling in small-angle Bhabha scattering at LEP”, OPAL Col.
6
”Measurement of the Running of the Electromagnetic Coupling at
Large Momentum-Transfer at LEP”, L3 Col.
7
S. Bethke, ”The 2009 World Average of αS ”
8
J. Schieck, ”Measurement of the Strong Coupling Constant αS from
the Four-Jet Rate in e+e-. Annihilation using JADE data”
MPP-2004-99
Daniel Gütersloh
Running Coupling Constants
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