Die Geometrie von Eichfeldern - Institut für Theoretische Physik I

Die Geometrie von Eichfeldern
Dr. R. Grauer
Institut für Theoretische Physik I
Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf
WS 1994/95
Inhaltsverzeichnis
1 Differentialgeometrische Grundlagen
1.1 Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . .
1.2 Tensoren und Differentialformen . . . .
1.3 Pseudo–Riemannsche Mannigfaltigkeiten
1.4 Symplektische Mannigfaltigkeiten . . . .
1.5 Lie–Gruppen . . . . . . . . . . . . . . .
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1
1
7
14
18
19
2 Hauptfaser– und assoziierte
2.1 Motivation . . . . . . . .
2.2 Faserbündel . . . . . . . .
2.3 Hauptfaserbündel . . . . .
2.4 Assoziierte Bündel . . . .
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27
27
27
32
34
Theorie von Zusammenhängen
Zusammenhänge und Krümmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kovariante Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Zusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
36
43
45
4 Reine Eichfelder
4.1 Elektromagnetische Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Yang–Mills–Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
49
50
3 Die
3.1
3.2
3.3
Bündel
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1
1.1
Differentialgeometrische Grundlagen
Mannigfaltigkeiten
Die elementaren Objekte in der Differentialgeometrie sind Mannigfaltigkeiten und Abbildungen
zwischen Mannigfaltigkeiten.
Definition 1.1 Sei M ein topologischer Raum. Eine Karte (lokales Koordinatensystem) ist ein
Paar (U, φ), bestehend aus einer offenen Menge U ∈ M und einem Homöomorphismus
φ : U → φ(U ) ⊂ Rm ,
wobei φ(U ) eine offene Teilmenge des Rm ist. M heißt Mannigfaltigkeit der Dimension m,
wenn eine Familie A = {(Ui , φi )}i∈I von Karten existiert, so daß die {Ui }i∈I M überdecken.
Diese Familie A bildet dann einen Atlas für M. Seien (Ui , φi ), (Uj , φj ) zwei Karten mit Uij :=
Ui ∩ Uj 6= ∅, dann ist
φij := φi ◦ φ−1
j : φj (Uij ) → φi (Uij )
ein Homöomorphismus. Die Abbildungen φij heißen Übergangsfunktionen des Atlasses A.
Uj
Ui
φi
φj
φij
Glattheitseigenschaften werden nun durch die Übergangsfunktionen definiert. Sind die φij Cp –
p
Diffeomorphismen (also φij und φ−1
ij sind C ), 0 < p ≤ ∞, dann ist A ein differenzierbarer
Atlas der Klasse Cp . Zwei differenzierbare Atlanten heißen kompatibel, wenn deren Vereinigung
wieder einen differenzierbaren Atlas der Klasse Cp bildet. Sei A ein differenzierbarer Atlas der
Klasse Cp . Die Äquivalenzklasse der zu A kompatiblen Atlanten heißt die durch A bestimmte
differenzierbare Struktur der Klasse Cp . Eine Mannigfaltigkeit M zusammen mit einer differenzierbaren Struktur heißt eine differenzierbare Mannigfaltigkeit.
Die Karten erlauben es, die Differenzierbarkeit von Abbildungen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten zu definieren.
Definition 1.2 Seien M, N differenzierbare Mannigfaltigkeiten und f : M → N. f heißt differenzierbar, wenn für jedes Paar von Karten (U, φ) von M und (V, ψ) von N mit f (U ) ⊂ V der
Repräsentant ψ◦f ◦φ−1 von f differenzierbar ist. Die Menge der glatten Funktionen (p = ∞) von
M nach N wird mit F(M, N) bezeichnet. Wenn N = R ist, so schreibt man F(M). Eine bijektive
differenzierbare Abbildung f ∈ F(M, N) heißt Diffeomorphismus, wenn f −1 differenzierbar
ist.
M
N
f
ψ
φ
ψf φ
Definition 1.3 Sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Teilmenge S ⊂ M heißt Untermannigfaltigkeit von M, wenn ∀x ∈ S eine Karte (U, φ), x ∈ U existiert mit der Eigenschaft:
i) φ(U ) ⊂ Rl × Rn ,
l + n = m = dim M
ii) φ(U ∩ S) = φ(U ) ∩ (Rl × {b}) für ein b ∈ Rn .
Bezeichnet man mit π1 die Projektion auf den ersten Faktor, so ist (U ∩ S, π1 ◦ φ) eine Karte bei x. Die Sammlung all dieser Karten bildet einen Atlas, die S zu einer differenzierbaren
Mannigfaltigkeit machen.
Wir kommen nun zum Begriff der Mannigfaltigkeit mit Rand. Dazu sei Rn+ := {x =
(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn |xn ≥ 0} und Rn0 := {x ∈ Rn |xn = 0}. Rn0 heißt der Rand von Rn+ . Sei
U eine offene Teilmenge von Rn+ in der relativen Topologie. ∂U := U ∩ Rn0 heißt der Rand von
U und Int U := U \ ∂U heißt das Innere von U . Sei M ein topologischer Raum. Eine Karte mit
Rand ist ein Paar (U, φ), wobei U eine offene Menge von M ist und φ : U → φ(U ) ⊂ Rn+ ein
Homöomorphismus auf die offene Teilmenge φ(U ) von Rn+ ist. Analog erhält man einen Atlas
mit Rand und eine Mannigfaltigkeit mit Rand. Der Rand ∂M einer Mannigfaltigkeit mit
Rand M ist die Teilmenge aller Punkte x ∈ M, für die eine Karte (U, φ) existiert und für die
x ∈ U und φ(x) ∈ Rn0 gilt. Das Innere von M ist die Menge Int M := M \ ∂M. ∂M und Int M
sind Mannigfaltigkeiten ohne Rand der Dimensionen n − 1 und n.
Beispiel 1.1 Die Sphäre S n ist die durch
S n := {(x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Rn+1 | x21 + . . . + x2n+1 = 1}
definierte Teilmenge des Rn+1 . Betrachte
φ1 : S n \ {(0, . . . , 0, 1)} → Rn
µ
¶
x1
xn
φ1 (x1 , . . . , xn+1 ) :=
,...,
1 − xn+1
1 − xn+1
und
φ2 : S n \ {(0, . . . , 0, −1)} → Rn
¶
µ
xn
x1
,...,
.
φ2 (x1 , . . . , xn+1 ) :=
1 + xn+1
1 + xn+1
n
n
Dann ist die Übergangsabbildung φ2 ◦ φ−1
1 : R \ {(0, . . . , 0)} → R \ {(0, . . . , 0)} gegeben durch
φ2 ◦
φ−1
1 (y1 , . . . , yn )
=
µ
yn
y1
,..., 2
y12 + . . . + yn2
y1 + . . . + yn2
¶
und macht S n zu einer glatten (p = ∞) differenzierbaren Mannigfaltigkeit.
Sei
Dn := {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn | x21 + . . . + x2n ≤ 1}
die Einheitskugel in Rn . Dn ist eine Mannigfaltigkeit mit Rand ∂Dn = S n−1 .
Beispiel 1.2 Sei f : Rn → R eine glatte Abbildung und sei S := f −1 (0). Weiter sei S 6= ∅
und die Jacobische habe an jeder Stelle x ∈ S den Rang 1. Dann existiert für jedes x ∈ S ein
k, 1 ≤ k ≤ n, so daß
∂f
6= 0 .
∂xk
Aus dem impliziten Funktionensatz folgt die Existenz einer glatten Bijektion einer Umgebung
von x in S auf eine Umgebung von (x1 , . . . , x̂k , . . . , xn ) ∈ Rn−1 (das Zeichenˆbedeutet “weglassen”). Die Bijektion bildet eine Karte bei x und die Menge all dieser Karten bildet einen Atlas,
der S zu einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit macht.
Für die Sphäre S n gilt:
S n = f −1 (0) ,
wobei f : Rn+1 → R durch f (x1 , . . . , xn+1 ) = x21 + . . . + x2n+1 − 1 definiert ist.
Beispiel 1.3 Wir betrachten die in Rn+1 \{0} definierte Äquivalenzrelation. Zwei Punkte x, y ∈
Rn+1 \ {0} heißen äquivalent, wenn ein λ ∈ R \ {0} existiert mit x = λy. Mit [x] wird die
Äquivalenzklasse, die x enthält, bezeichnet und mit RPn die Menge
RPn := {[x]| x ∈ Rn+1 \ {0}} .
Mit Ui , i ∈ {1, . . . , n + 1} bezeichnen wir die durch
Ui := {[(x1 , . . . , xn+1 )] ∈ RPn | xi 6= 0}
definierten Teilmengen von RPn . Die Abbildungen φi : Ui → Rn
φi ([x]) =
µ
x1
xn+1
,...,
xi
xi
¶
bilden einen Atlas. Die differenzierbare Mannigfaltigkeit RPn wird n–dimensionaler projektiver Raum genannt. RPn ist also die Mannigfaltigkeit der 1–dimensionalen Vektorunterräume
(Linien durch den Ursprung) in Rn+1 . Die obige Konstruktion kann man auf den Fall p–
dimensionaler Vektorunterräume verallgemeinern. Die Mannigfaltigkeiten der p–Ebenen in Rn+p
heißen Grassmann–Mannigfaltigkeiten Gp (Rn+p ).
Beispiel 1.4 Seien M, N differenzierbare Mannigfaltigkeiten und seien (U, φ), (V, ψ) zwei Karten
von M und N. Sei φ × ψ definiert durch
φ × ψ : U × V → φ(U ) × ψ(V ) ⊂ Rm × Rn
φ × ψ(x, y) = (φ(x), ψ(y)) .
Das Paar (U ×V, φ×ψ) bildet eine Karte. Die dadurch entstehende differenzierbare Struktur heißt
Produktmannigfaltigkeit M×N. Analog definiert man die Produktmannigfaltigkeiten M1 ×. . . Mn
endlich vieler differenzierbarer Mannigfaltigkeiten. Ein Beispiel ist der n–dimensionale Torus
T n := |S 1 × .{z
. . × S 1}.
n–mal
Beispiel 1.5 Sei M (m, n; R) die Menge aller reellen m × n Matrizen. Die Abbildung
φ : M (m, n; R) → Rmn
φ(A) = (a11 , . . . , amn ) ,
A = (aij )
ist eine Karte, die M (m, n; R) zu einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit der Dimension mn
macht. Sei M (n, R) = M (n, n; R) und sei S(n, R) (bzw. A(n, R)) die Menge aller symmetrischen (antisymmetrischen) n × n Matrizen. S(n, R) und A(n, R) sind Untermannigfaltigkeiten
von M (n, R) der Dimensionen n(n+1)/2 bzw. n(n−1)/2. Analog ist die Menge M (m, n; C) aller
komplexen m × n Matrizen eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension 2mn. Die Abbildung det : M (n, R) → R ist glatt. Daher ist det−1 (R \ {0}) eine offene Untermannigfaltigkeit
von M (n, R) und wird mit GL(n, R) bezeichnet. Sie bildet bzgl. der Matrixmultiplikation eine
Gruppe und wird reelle allgemeine lineare Gruppe genannt. Ähnlich definiert man die komplexe
allgemeine lineare Gruppe GL(n, C).
Wir kommen nun zu dem wichtigen Begriff des Tangentialvektors. Sei M eine differenzierbare
Mannigfaltigkeit und seien (U, φ), (V, ψ) zwei Karten von M an der Stelle p ∈ M. Die Tripel
(φ, p, u), (ψ, p, v), u, v ∈ Rm heißen äquivalent, wenn
D(ψ ◦ φ−1 )(φ(p))u = v .
Ein Tangentialvektor zu M an der Stelle p ist die Äquivalenzklasse [φ, p, u] solcher Tripel. Das
entspricht der Definition: “Ein Vektor ist ein Vektor, wenn er sich wie ein Vektor transformiert.”
Ähnlich kann man einen Vektor auch als Äquivalenzklasse parametrisierter Kurven C(s), s ∈
I ⊂ R auf M definieren. Zwei Kurven C1 , C2 sind dabei äquivalent, wenn
d
d
φ(C1 (s))|s=0 = φ(C2 (s))|s=0 .
ds
ds
Die Menge der Tangentialvektoren bei p ∈ M wird mit Tp M bezeichnet und ist ein Vektorraum
isomorph zu Rm . Dieser Raum wird Tangentialraum zu M an der Stelle p genannt. Die Menge
TM =
[
Tp M
p∈M
heißt Tangentialraum (Tangentialbündel) zu M. Einen Tangentialvektor [φ, p, u] kann man
auch mit der Richtungsableitung
up : F(U ) → R
up (f ) = D(f ◦ φ−1 )(φ(p))u
identifizieren. Sei dim M = m und φ : q → (x1 , . . . , xm ) eine Karte bei p. Dann bezeichnet man
die Tangentialvektoren zu den Koordinatenkurven bei p mit ∂i , i = 1, . . . , m. Diese bilden eine
Basis von Tp M.
Ein Vektorfeld X auf M ist eine glatte Abbildung X : M → TM, so daß X(p) ∈ Tp M , ∀p ∈
M. Die Menge aller Vektorfelder auf M wird mit χ(M) bezeichnet. In einer Karte nimmt ein
Vektorfeld X die Gestalt X = X i ∂i an. Seien X, Y ∈ χ(M), dann ist der Kommutator von
X, Y durch
[X, Y ] := X ◦ Y − Y ◦ X
definiert. In einer Karte hat der Kommutator die Gestalt
"
#
∂Y k j ∂X k j
X −
Y ∂k .
[X, Y ] =
∂xj
∂xj
χ(M) hat die Struktur einer Lie–Algebra, die wie folgt definiert ist.
Definition 1.4 Ein reeller Vektorrraum V mit einer bilinearen Operation (X, Y ) → [X, Y ]
heißt Lie–Algebra, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind.
i) [X, Y ] = −[Y, X]
ii) [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0 (Jacobi Identität) .
Seien V, W Lie–Algebren. Eine lineare Abbildung f
: V
→ W heißt Lie–Algebra–
Homomorphismus, wenn
f ([X, Y ]) = [f (X), f (Y )] .
Wir kommen nun zu den Begriffen Submersion und Immersion. Dazu sei zunächst f ∈ F(M, N).
Die Linearisierung von f bei p (Pushforward) ist die Abbildung f∗ (p)
f∗ (p) : Tp M → Tf (p) N
f∗ (p)(up )g = up (g ◦ f ) ∀g ∈ F(V ) , V ⊂ N .
Die Abbildung heißt Submersion an der Stelle p ∈ M, wenn der Rang von f∗ (p) gleich dim N
ist. f heißt Submersion, wenn f Submersion für alle p ∈ M ist.
Ein Punkt q ∈ N heißt regulärer Wert von f , wenn ∀p ∈ f −1 (q) die Funktion f eine Submersion
bei p ist. Nach Definition sind alle Punkte von N \ f (M) regulär.
Satz 1.1 Seien M, N differenzierbare Mannigfaltigkeiten und q ∈ N ein regulärer Wert von f ∈
F(M, N). Dann ist f −1 (q) eine Untermannigfaltigkeit von M und ∀p ∈ f −1 (q) ist Tp (f −1 (q)) =
Kern f∗ (p).
Eine Abbildung f heißt Immersion bei p ∈ M, wenn der Rang von f∗ (p) gleich dim M ist.
Lokal ist eine Immersion ein Diffeomorphismus auf eine Untermannigfaltigkeit von N. f muß
jedoch nicht injektiv sein. Selbst wenn f eine injektive Immersion ist, muß f (M) keine Untermannigfaltigkeit von N sein. Eine injektive Immersion f heißt Einbettung, wenn f (M) eine
Untermannigfaltigkeit von N ist.
1.2
Tensoren und Differentialformen
Sei V ein Vektorraum und V ∗ sein Dualraum. Mit Trs (V ) wird der Tensorraum über V vom Typ
(r, s) bezeichnet:
∗
Trs (V ) = V
⊗ .{z
. . ⊗ V} ⊗ V
⊗ .{z
. . ⊗ V ∗} .
|
|
r–mal
s–mal
Dies führt unmittelbar auf den Begriff des Tensorbündels Trs M auf M
Trs M =
[
Trs (Tp M) .
p∈M
Trs (M) ist vom kontravarianten Grad r und kovarianten Grad s. Eine glatte Abbildung
t : M → Trs M
heißt Tensorfeld vom Typ (r, s) auf M, wenn t(p) ∈ Trs (Tp M), ∀p ∈ M. Trs (Tp M) kann mit dem
Raum der multilinearen Abbildungen wie folgt identifiziert werden. Das Element
u1 ⊗ . . . ⊗ ur ⊗ α1 ⊗ . . . ⊗ αs ∈ Trs (Tp M)
entspricht der multilinearen Abbildung
(Tp M)∗ × . . . × (Tp M)∗ × (Tp M) × . . . × (Tp M) → R
|
{z
}
|
{z
}
r–mal
s–mal
1
r
1
(β , . . . , β , v1 , . . . , vs ) 7→ β (u1 ) . . . β r (ur )α1 (v1 ) . . . αs (vs ) .
Wenn dim M = m, so gilt dim Trs (Tp M) = mr+s und T10 M = TM. Der Raum T∗ M := T01 M
heißt Kotangentialraum von M. Wir definieren T00 (Tp M) := R. Also ist T00 M = M × R und ein
Tensorfeld vom Typ (0, 0) ist ein Element aus F(M). Ein Tensorfeld vom Typ (r, 0) (bzw. (0, r))
heißt kontravariantes (kovariantes) Tensorfeld vom Grad r.
Ein kovariantes Tensorfeld α vom Grad r heißt symmetrisch, wenn ∀p ∈ M
α(p)(v1 , . . . , vr ) = α(p)(vσ(1) , . . . , vσ(r) ) ∀vi ∈ Tp M ,
wobei σ eine beliebige Permutation der Indizes bedeutet. Entsprechend heißt ein kovariantes
Tensorfeld α antisymmetrisch, wenn ∀p ∈ M
α(p)(v1 , . . . , vr ) = sign(σ) α(p)(vσ(1) , . . . , vσ(r) ) ∀vi ∈ Tp M .
Es ist klar, wie die antisymmetrischen Tensorfelder zu konstruieren sind. Sei α ein beliebiges
kovariantes Tensorfeld vom Grad r, so erhält man ein antisymmetrisches Tensorfeld Aα durch
folgende Vorschrift:
Aα :=
1 X
sign(σ) α ◦ σ .
r! σ
Diese Vorschrift gestattet es uns, ein Produkt — das ∧–Produkt — zwischen zwei antisymmetrischen Tensorfeldern α, β vom Grad r bzw. s einzuführen:
α ∧ β :=
(r + s)!
A(α ⊗ β) .
r! s!
Offenbar gilt
α ∧ β = (−1)rs β ∧ α .
Wir definieren A0 M := M × R und für k ≥ 1
Ak M :=
[
Ak (Tp M) ,
p∈M
wobei
Ak (Tp M) := T∗p M ∧ . . . ∧ T∗p M
{z
|
k–mal
}
den Vektorraum der äußeren k–Formen auf T∗p M darstellt. Eine glatte Abbildung
α : M → Ak M
heißt eine k–Form auf M, wenn α(p) ∈ Ak (Tp M), ∀p ∈ M. Der Raum der k–Formen wird mit
Λk (M) bezeichnet. Durch das ∧–Produkt erhalten wir eine äußere (Graßmann–) Algebra
Λ(M)
Λ(M) :=
∞
M
Λk (M) .
k=0
Sei dim M = m und {e1 , . . . , em } eine Basis für T∗p M. Dann ist
{ei1 ∧ . . . ∧ eik }1≤i1 <...ik ≤m
eine Basis von Ak (Tp M). Daraus folgt, daß
k
dim A M =
Ã
m
k
!
.
Aus der Antisymmetrie folgt, daß Λk (M) = {0} für k > m. Eine m–Form ν heißt Volumen–
Form auf M, wenn ∀p ∈ M, ν(p) 6= 0. Eine Mannigfaltigkeit nennt man orientierbar, wenn
eine Volumen–Form auf M existiert. Zwei Volumen–Formen ν, ω auf M heißen äquivalent,
wenn eine Funktion f ∈ F(M) existiert, so daß ω = f ν und f (p) > 0, ∀p ∈ M. Eine Orientierung einer orientierbaren Mannigfaltigkeit M ist eine Äquivalenzklasse [ν] von Volumen–
Formen auf M. Das Paar (M, [ν]) wird orientierte Mannigfaltigkeit gennannt. Eine Karte
φ : q 7→ (x1 (q), . . . , xm (q)) von (M, [ν]) heißt positiv orientiert, wenn dx1 ∧. . .∧dxm ∈ [ν]. Hierbei
ist (dxi ) die zu (∂i ) duale Basis: dxi (∂j ) = ∂j (dxi ) = hdxi , ∂j i = δji . Sei (M, [ν]) eine orientierte
Mannigfaltigkeit mit Rand und sei A = {φi : Ui → φ(Ui ) ⊂ Rm
+ | i ∈ I} ein Atlas positiv
orientierter Karten. Die durch die Formen (−1)m dx1 ∧ . . . ∧ dxm−1 erzeugte Orientierung heißt
induzierte Orientierung auf ∂M.
Wir kommen nun zu dem wichtigen Begriff des Pullbacks. Dazu sei f ∈ F(M, N). Die Funktion
f induziert eine Abbildung
f ∗ : Λ(N) → Λ(M) ,
genannt Pullback, der wie folgt definiert ist. Für α ∈ Λ0 (N) = F(N) definieren wir
f ∗ α := α ◦ f ∈ Λ0 (M) = F(M) .
Für α ∈ Λk (N), k ≥ 1 ist f ∗ α ∈ Λk (M) wie folgt definiert:
(f ∗ α)(p)(u1 , . . . , uk ) := α(f (p))(f∗ (p)u1 , . . . , f∗ (p)uk ) .
Wenn f : M → N ein Diffeomorphismus ist und X ∈ χ(N), dann kann man auch den Pullback
f ∗ X ∈ χ(M) von X definieren:
f ∗ X = f∗−1 ◦ X ◦ f
f ∗ v(p)(g) = [f∗−1 v(f (p))](g) = v(f (p))(g ◦ f −1 ) .
Wenn f diffeomorph ist, kann man die Definition des Pullbacks auf Tensorfelder vom Typ (r, s)
erweitern. Sei zum Beispiel X1 , . . . , Xr ∈ χ(N) und α1 , . . . , αs ∈ Λ1 (N), so gilt
f ∗ (X1 ⊗ . . . ⊗ Xr ⊗ α1 ⊗ . . . ⊗ αs ) = f ∗ X1 ⊗ . . . ⊗ f ∗ Xr ⊗ f ∗ α1 ⊗ . . . ⊗ f ∗ αs .
Sei X ∈ χ(M) und p ∈ M. Eine Integralkurve von X durch p ist die glatte Kurve
c: R⊃I→M ,
c(0) = p
und
ċ(t) := X(c(t)) , ∀t ∈ I .
Ein lokaler Fluß von X ist die Abbildung
F : I ×U →M ,
wobei U eine offene Umgebung von p ist, so daß ∀q ∈ U die Abbildung
Fq : t 7→ F (t, q)
eine Integralkurve von X durch q ist. Die Abbildung
Ft (q) = F (t, q) , ∀q ∈ U
ist ein Diffeomorphismus von U auf eine offene Menge Ut von M.
Integralkurven und Pullback gestatten es nun die Lie–Ableitung von Tensoren zu definieren.
Definition 1.5 Sei X ∈ χ(M) und sei η ein Tensorfeld vom Typ (r, s) auf M. Die Lie–
Ableitung LX η von η in Richtung X ist das Tensorfeld vom Typ (r, s)
(LX η)(p) =
d
[(Ft∗ η)(p)]|t=0 , ∀p ∈ M
dt
wobei F : I × U → M der lokale Fluß von X bei p ist.
Schauen wir uns das noch einmal genauer an. Die Lie–Ableitung einer Funktion ergibt die
Richtungsableitung. In lokalen Koordinaten ergibt sich
LX f (p) =
d
∂f i
f (Ft (p)) =
X (φ(p)) .
dt
∂xi
Für ein Vektorfeld ergibt sich folgendes Bild:
In lokalen Koordinaten folgt:
d
Y (Ft (p))(g ◦ Ft−1 )|t=0
dt
´
³
´
³
d
= Y i Ftj (x) ∂i g Ft−1 k (x)
|t=0
dt
i
k
∂Y
∂X
=
X j ∂i g − Y i ∂k g
j
i
∂x
# ∂x
"
i
i
∂X j
∂Y
Xj −
Y ∂i g
=
j
∂x
∂xj
LX Y (p)(g) =
=⇒ LX Y = [X, Y ] .
Die Lie–Ableitung einer 1–Form α stellt sich wie folgt dar:
α(q)
Ft*(α)(p)
q=Ft(p)
p
α(p)
In lokalen Koordinaten folgt:
d
[α (Ft (p)) F∗ t u]|t=0
dt
i
d h ³ j ´
=
αi Ft (x) (F∗ t u)i
|t=0
dt
i
∂αi j i
d ∂Ft j
=
X u + αi
u |t=0
j
∂x
dt ∂xj
∂X i j
∂αi j i
X
u
+
α
u
=
i
∂xj
∂xj
LX α(p)u =
"
∂αi j ∂X j
X +
αj
=⇒ LX α =
∂xj
∂xi
#
dxi .
Insbesondere ergibt sich für die Basisvektoren:
LX ∂xi = −
∂X j
∂xj ,
∂xi
LX dxi =
∂X i j
dx .
∂xj
Die Lie–Ableitung ist additiv und erfüllt die Leibnitz–Produkt–Regel. Dadurch lassen sich leicht
Koordinatenausdrücke für beliebige Tensorfelder berechnen.
Beispiel 1.6 Sei t = tijk (x) ∂xi ⊗ dxj ⊗ dxk . Dann folgt:
∂tijk (x)
∂X l
j
k
i
∂x
⊗
dx
⊗
dx
−
t
(x)
∂xl ⊗ dxj ⊗ dxk
i
jk
∂xl
∂xi
∂X k
∂X j
∂xi ⊗ dxj ⊗ dxl
+ tijk (x) l ∂xi ⊗ dxl ⊗ dxk + tijk (x)
l
∂x
∂x
"
#
∂tijk (x)
∂X i
∂X l
∂X l
l
i
i
= Xl
− tjk (x) l + tlk (x) j + tjl (x) k ∂xi ⊗ dxj ⊗ dxk .
∂xl
∂x
∂x
∂x
LX t|x = Xl
Wir kommen nun zu einem weiteren wichtigen Operator, dem äußeren Differentialoperator.
Definition 1.6 Der äußere Differentialoperator vom Grad 1 ist die folgende Abbildung
d : Λ(M) → Λ(M) auf der Graßmann-Algebra Λ(M). Für Funktionen f ∈ Λ0 (M) ist df ∈ Λ1 (M)
durch
df X = Xf
definiert. Für ω ∈ Λk (M), k > 0 ist dω die (k + 1)–Form
dω(X0 , . . . , Xk ) =
k
X
(−1)i Xi (ω(X0 , . . . , X̂i , . . . , Xk ))
i=0
+
X
(−1)i+j ω(LXi Xj , X0 , . . . , X̂i , . . . , X̂j , . . . , Xk ) .
0≤i<j≤k
( ˆ bedeutet wieder “weglassen”.)
Aus der Definition folgt
d(α ∧ β) = (dα) ∧ β + (−1)k α ∧ dβ ,
wenn α ∈ Λk (M), β ∈ Λ(M) und außerdem gilt
d2 := d ◦ d = 0 .
In lokalen Koordinaten folgt für eine k–Form α
X
α=
αi1 ,...,ik dxi1 ∧ . . . ∧ dxik
i1 <...<ik
der Ausdruck
dα =
m
X
X
(∂j αi1 ,...,ik )dxj ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik .
j=1 i1 <...<ik
Man kann auch genau umgekehrt vorgehen und die äußere Ableitung über die folgenden Eigenschaften definieren:
i) d ist linear: d(α + β) = dα + dβ, d(λα) = λdα, λ ∈ R
ii) d(α ∧ β) = dα ∧ β + (−1)k α ∧ dβ, α ∈ Λk (M)
iii) d2 = 0
iv) df : df X = X f .
Satz 1.2 Die Eigenschaften i) − iv) bestimmen eindeutig den äußeren Differentialoperator d.
Eine k–Form α ∈ Λ(M) heißt geschlossen, wenn dα = 0. Sie heißt exakt, wenn α = dβ. Jede
exakte Form ist geschlossen, aber die Umkehrung gilt in der Regel nur lokal (Poincaré Lemma).
Die Form β wird dann das Potential zu α genannt.
Definition 1.7 Sei X ∈ χ(M) und α ∈ Λ(M). Die innere Multiplikation iX α von α mit X ist
wie folgt definiert. Für α ∈ Λ0 (M) ist iX α = 0. Sei α ∈ Λk (M), k ≥ 1, dann ist iX α ∈ Λk−1 (M)
gegeben durch
iX α(X1 , . . . , Xk−1 ) = α(X, X1 , . . . , Xk−1 ) .
Im folgenden Satz sind einige Eigenschaften der Operatoren LX , d, und iX zusammengefaßt.
Satz 1.3 Seien M, N differenzierbare Mannigfaltigkeiten.
i) d(f ∗ α) = f ∗ (dα), f ∈ F(M, N), α ∈ Λ(M)
ii) [X, Y ] = LX Y , X, Y ∈ χ(M)
iii) LX = iX ◦ d + d ◦ iX auf Λ(M)
iv) d ◦ LX = LX ◦ d auf Λ(M)
v) i[X,Y ] = LX ◦ iY − iY ◦ LX auf Λ(M).
Sei (M, [ν]) eine orientierte Mannigfaltigkeit der Dimension m und ω eine m–Form auf M mit
kompaktem Träger supp ω. Wir können nun das Integral von ω bzgl. des Volumens ν
Z
ω dν
M
µ
oder einfach
Z
ω
¶
definieren. Sei (U, φ) eine positiv orientierte Karte mit supp ω ⊂ U . Das Integral
Z
φ∗ ω dx1 . . . dxm
hängt nicht von der Wahl der positiv orientierten Karte ab. Also können wir definieren:
Z
ω :=
Z
φ∗ ω dx1 . . . dxm .
Für eine beliebige m–Form mit kompaktem Träger wählen wir einen Atlas A = {(Ui , φi ) | i ∈ I}
positiv orientierter Karten und eine dazu passende glatte Zerlegung der Eins F = {fi | i ∈ I}.
Jetzt können wir das Integral von ω auf M durch
Z
ω=
definieren.
XZ
i∈I
fi ω
Satz 1.4 (Stokes) Sei (M, [ν]) eine orientierte m–dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand und
ω eine (m − 1)–Form auf M mit kompaktem Träger. Dann gilt
Z
dω =
M
Z
i∗ ω ,
∂M
wobei i : ∂M −→ M die kanonische Injektion ist.
(Man schreibt oft
1.3
R
∂M ω
anstelle von
R
∗
∂M i ω.)
Pseudo–Riemannsche Mannigfaltigkeiten
Sei g ein Tensorfeld vom Typ (0, 2). g heißt nicht–degeneriert, wenn für jedes p ∈ M gilt
g(p)(u, v) = 0 , ∀v ∈ Tp M =⇒ u = 0 .
Ein symmetrisches, nicht–degeneriertes Tensorfeld g ∈ T02 M heißt Pseudo–Metrik auf M. Jedes
g(p) definiert dann ein inneres Produkt auf Tp M. Sei (∂1 , . . . , ∂m ) eine Basis von Tp M bzgl. einer
lokalen Karte bei p. Sei
g(p)(∂i , ∂i ) > 0 für i ≤ r
g(p)(∂i , ∂i ) < 0 für i > r .
Dann besitzt g(p) die Signatur (r, s) und den Index ig = s mit r + s = m = dim M. Wenn
s = 0, also g(p) positiv definit ist, so nennen wir (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit.
Ist s = 1, so sprechen wir von einer Lorentz–Mannigfaltigkeit.
Die Pseudo–Metrik g induziert ein inneres Produkt auf allen Tensorräumen (das wir auch mit
g bezeichnen werden). Sei dazu U eine offene Teilmenge von M und
α=
X
αi1 ,...,ik dxi1 ∧ . . . ∧ dxik ,
β=
X
βi1 ,...,ik dxi1 ∧ . . . ∧ dxik
i1 <...<ik
i1 <...<ik
zwei k-Formen auf U , dann ist das innere Produkt g(α, β) wie folgt definiert. Mit gij bezeichnen
wir die Matrix gij = g(∂i , ∂j ) und g −1 sei dessen Inverse. Mit g i1 ,...,ik ;j1 ,...,jk bezeichnen wir die
Determinante der k × k Matrix, die man erhält, wenn man die Reihen i1 , . . . , ik und die Spalten
j1 , . . . , jk von g −1 nimmt. Dann ist
g(α, β) :=
X
αi1 ,...,ik β i1 ,...,ik
X
g i1 ,...,ik ;j1 ,...,jk βj1 ,...,jk .
i1 <...<ik
mit
β i1 ,...,ik :=
j1 <...<jk
Lokale Ausdrücke werden besonders einfach, wenn man eine lokale Karte hat, in der die Matrix
von g diagonal ist. Solche Karten existieren immer und werden orthogonale Koordinaten genannt.
Sei (M, g) eine orientierte, pseudo–Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Orientierung [ν]. Die metrische Volumenform µ ist durch µ = ν/|g(ν, ν)|1/2 gegeben. Diese gestattet es uns, den
Hodge ∗ Operator
∗ : Λ(M) −→ Λ(M)
auf der Graßmann–Algebra Λ(M) zu definieren. Sei dazu β ∈ Λk (M), 0 ≤ k ≤ m. Dann ist
∗β ∈ Λm−k (M) eindeutig bestimmt durch
α ∧ ∗β = g(α, β) µ , ∀α ∈ Λk (M) .
Daraus folgt, daß
∗ ∗ α = (−1)ig +k(m−k) α , ∀α ∈ Λk (M) ,
wobei ig der Index von g ist. Insbesondere folgt
∗µ = (−1)ig , ∗1 = µ .
Der ∗–Operator ist linear. Also genügt es, den Ausdruck für ∗(dxi1 ∧. . .∧dxik ) anzugeben. Lokal
gilt für die metrische Volumenform µ
µ = | det g|1/2 dx1 ∧ . . . ∧ dxm .
Daraus folgt die lokale Darstellung
∗(dxi1 ∧ . . . ∧ dxik ) = | det g|1/2
X
(−1)j1 +...jk +
k(k+1)
2
j1 <...<jk
· g j1 ,...,jk ;i1 ,...,ik dx1 ∧ . . . ∧ dxˆj1 ∧ . . . ∧ dxˆjk ∧ . . . ∧ dxm .
Definition 1.8 Sei (M, g) eine m–dimensionale orientierte pseudo–Riemannsche Mannigfaltigkeit vom Index ig . Das Kodifferential δ ist die lineare Abbildung δ : Λ(M) −→ Λ(M) vom
Grad −1, die auf Λk (M) durch
δ := (−1)ig +mk+m+1 ∗ d ∗
definiert ist.
Für Funktionen f ∈ Λ0 (M) gilt δf = 0. Weiterhin gilt wieder
δ 2 := δ ◦ δ = 0 .
Sei in lokalen orthogonalen Koordinaten die k–Form α
α=
X
αi1 ,...,ik dxi1 ∧ . . . ∧ dxik
i1 <...<ik
gegeben. Dann ergibt sich für δα:
X
δα = −| det g|−1/2
gi1 i1 · · · gik−1 ik−1
i1 <...<ik−1
· ∂j (αj,i1 ,...,ik−1 | det g|1/2 ) dxi1 ∧ . . . ∧ dxik−1 .
α heißt kogeschlossen, wenn δα = 0 und koexakt, wenn α = δβ. Jede koexakte Form ist kogeschlossen, aber die Umkehrung gilt in der Regel nur lokal.
Das äußere Differential und das Kodifferential stehen im Zusammenhang mit den bekannten
Operatoren grad, rot, div und Laplace. Dazu betrachten wir die Abbildung
g ♭ : χ(M) −→ Λ1 (M)
u 7→ g(u, ·) .
Da g nicht–degeneriert ist, ist g ♭ ein Isomorphismus und wir können g ♯ := (g ♭ )−1 : Λ1 (M) −→
χ(M) definieren. Lokal gilt:
g ♭ (X i ∂i ) = Xj dxj ,
Xj = X i gij
g ♯ (αj dxj ) = αi ∂i ,
αi = αj g ij .
Diese Operation läßt sich leicht auf beliebige Tensorfelder erweitern. Der Gradient auf einer
pseudo–Riemannschen Mannigfaltigkeit ist die Abbildung grad : F(M) −→ χ(M)
grad := g ♯ ◦ d .
In einer lokalen Karte haben wir
grad f = g ij
∂f
∂j .
∂xi
Die Divergenz div : χ(M) −→ F(M) ist die durch
div := −δ ◦ g ♭
definierte Abbildung. In lokalen Koordinaten ergibt sich
³
div X = | det g|−1/2 ∂i | det g|1/2 X i
´
.
Der Hodge–deRham–Operator ∆ : Λ(M) −→ Λ(M) ist die durch
∆ := dδ + δd
definierte Abbildung. Der klassische Laplace–Operator div grad für Funktionen entspricht hier
−∆.
Die Rotation rot : χ(M) −→ χ(M) auf einer 3–dimensionalen pseudo–Riemannschen Mannigfaltigkeit ist die Abbildung
rot := g ♯ ◦ ∗ d ◦ g ♭ .
In lokalen orthogonalen Koordinaten erhalten wir:
rot X = (−1)ig |det g|−1/2{[∂2 (g33 X 3 ) − ∂3 (g22 X 2 )]∂1
+[∂3 (g11 X 1 ) − ∂1 (g33 X 3 )]∂2
+[∂1 (g22 X 2 ) − ∂2 (g11 X 1 )]∂3 } .
Die bekannten klassischen Ergebnisse
A = grad φ =⇒ rot A = 0 und B = rot A =⇒ div B = 0
folgen aus d2 = 0.
Beispiel 1.7 Die Maxwell Gleichungen sind durch
div B = 0
rot E = −
∂B
∂t
div E = ρ
rot B = J +
∂E
∂t
gegeben. In der Minkowski–Raum–Zeit können sie auch durch eine 2–Form F beschrieben werden, deren Komponenten durch
Fk4 = Ek , 1 ≤ k ≤ 3 ,
F12 = B3 ,
F23 = B1 ,
gegeben sind. Die Maxwell–Gleichungen lauten nun
dF = 0 ,
δF = j ,
wobei j = (J, ρ) die Stromdichte 1–Form ist.
F31 = B2
1.4
Symplektische Mannigfaltigkeiten
Sei M eine m–dimensionale Mannigfaltigkeit und ω ∈ Λ2 (M) eine nichtdegenerierte 2–Form.
Diese existiert nur, wenn die Dimension der Mannigfaltigkeit gerade ist: m = 2n. ω induziert
eine lineare Abbildung
ω ♭ (p) : Tp M −→ T∗p M
ω ♭ (p)(u)(·) = ω(p)(u, ·) .
Da ω nichtdegeneriert ist, ist ω ♭ ein Isomorphismus und wir bezeichnen mit ω ♯ dessen Inverses.
Seien α, β 1–Formen; die Klammer von α und β ist die 1–Form
[α, β] := ω ♭ ([ω ♯ (α), ω ♯ (β)]) .
Definition 1.9 Eine symplektische Struktur auf einer Mannigfaltigkeit M ist eine geschlossene, nicht–degenerierte 2–Form ω. Eine symplektische Mannigfaltigkeit ist ein Paar
(M, ω), wobei ω eine symplektische Struktur auf M ist.
Beispiel 1.8 Sei Q eine n–dimensionale Mannigfaltigkeit und P = T∗ Q der Kotangentialraum
von Q. P trägt eine natürliche symplektische Struktur, die im folgenden beschrieben wird. Sei
Θ die durch
Θ(αp )(X) = αp (ψ∗ (X)) , ∀αp ∈ T∗ Q ,
X ∈ Tαp P
definierte 1–Form auf P , wobei ψ die kanonische Projektion von P auf Q ist. Wir definieren
ω = −dΘ. Θ heißt kanonische 1–Form und ω kanonische symplektische Struktur auf
T∗ Q. Nach Definition ist ω exakt und daher geschlossen. Die Nichtdegeneriertheit folgt aus den
lokalen Ausdrücken für ω in einem speziellen Koordinatensystem, dem kanonischen Koordinatensystem, das wie folgt definiert ist. Seien {q i } lokale Koordinaten bei p ∈ Q. Dann gilt
für jedes αp ∈ P lokal: αp = pi dq i . Benutzen wir die pi , q i als Koordinaten auf P , so schreibt
sich die kanonische 1–Form als
Θ = pi dq i
und die kanonische symplektische Struktur ω ist durch
ω = −d(pi dq i ) = dq i ∧ dpi
gegeben, woraus auch die Nichtdegeneriertheit folgt. Die Komponenten von ω in diesem Koordinatensystem sind durch die Matrix
(ωij ) =
Ã
0 I
−I 0
!
gegeben, wobei I (bzw. 0) die n × n Einheits– (bzw. Null–) Matrix bedeutet.
Der nächste Satz garantiert, daß lokal jede symplektische Mannigfaligkeit wie T∗ Q aussieht.
Satz 1.5 (Darboux) Sei ω eine nicht–degenerierte 2–Form auf einer 2n–dimensionalen Mannigfaltigkeit M. ω ist symplektisch genau dann, wenn jedes p ∈ M eine Umgebung U mit Koordinaten
(q 1 , . . . , q n , p1 , . . . , pn ) besitzt, so daß
ω|U = dq i ∧ dpi .
In klassischen Hamiltonschen Systemen bezeichnet man mit Q den Konfigurationsraum und
mit P den dazugehörigen Phasenraum. Sei (M, ω) eine symplektische Mannigfaltigkeit. Dann
heißen die durch den Satz von Darboux garantierten Karten symplektische Karten und die
entsprechenden Koordinaten (q i , pi ) kanonische Koordinaten. Ein Vektorfeld X ∈ χ(M)
heißt hamiltonsch (bzw. lokal hamiltonsch), wenn ω ♭ (X) exakt (bzw. geschlossen) ist. Für
Hamiltonsche Vektorfelder existiert also ein H ∈ F(M) mit
ω ♭ (X) = dH .
Die Funktion H heißt Hamilton–Funktion zu X. Umgekehrt sei H ∈ F(M) gegeben. Dann ist das
zugehörige Vektorfeld XH durch ω ♯ (dH) gegeben. Die Integralkurven von XH beschreiben die
Entwicklung des durch die Hamiltonfunktion beschriebenen klassischen mechanischen Systems.
In einem lokalen kanonischen Koordinatensystem ergeben sich die Integralkurven als Lösungen
der klassischen Hamilton–Gleichungen
∂H
dq i
=
,
dt
∂pi
dpi
∂H
=− i .
dt
∂q
Seien f, g ∈ F(M). Die Poissonklammer von f und g ist die Funktion
{f, g} := ω(Xf , Xg ) .
Sei X ein Hamiltonsches Vektorfeld mit Fluß Ft . Dann lauten die Hamilton Gleichungen:
d
(f ◦ Ft ) = {f ◦ Ft , H} .
dt
1.5
Lie–Gruppen
Definition 1.10 Eine Lie–Gruppe G ist eine Mannigfaltigkeit mit einer verträglichen Gruppenstruktur, das heißt, die Gruppenmultiplikation und die Bildung des Inversen sind glatte Operationen. Seien G, H Lie-Gruppen; ein Lie–Gruppen–Homomorphismus f : G −→ H ist
ein glatter Gruppen–Homomorphismus von G in H, das heißt, f ist glatt als Abbildung zwischen
den Mannigfaltigkeiten und f (ab) = f (a)f (b), ∀a, b ∈ G. Isomorphismen und Automorphismen
sind ähnlich definiert.
Eine Untergruppe H einer Lie-Gruppe G wird Lie–Untergruppe genannt, wenn die natürliche
Injektion i : H −→ G eine Immersion ist. Wenn H eine abgeschlossene Untergruppe von G ist,
dann ist H eine Untermannigfaltigkeit von G und damit eine Lie–Untergruppe von G (Cartan).
Beispiel 1.9 Die Einschränkung der Determinante auf GL(n, R) ist glatt
det : GL(n, R) −→ R \ 0 = GL(1, R)
und ein Lie-Gruppen Homomorphismus. Daraus folgt, daß der Kern dieser Abbildung det−1 ({1})
eine abgeschlossene Untergruppe von GL(n, R) ist, die spezielle reelle lineare Gruppe
SL(n, R) genannt wird:
SL(n, R) := {A ∈ GL(n, R) | det A = 1} .
Analog folgt, daß die spezielle komplexe lineare Gruppe
SL(n, C) := {A ∈ GL(n, C) | det A = 1}
eine Lie–Untergruppe von GL(n, C) ist.
Die orthogonale Gruppe O(n)
O(n) := {A ∈ GL(n, R)|AAt = 1}
ist die Fixpunktmenge der Automorphismen von GL(n, R), die durch A 7→ (At )−1 definiert
sind. Damit ist O(n) eine Lie–Untergruppe von GL(n, R). Die spezielle orthogonale Gruppe
SO(n) ist durch
SO(n) := O(n) ∩ SL(n, R)
definiert. Analog ist die unitäre Gruppe U (n)
U (n) = {A ∈ GL(n, C) | AA† = 1}
eine Lie–Untergruppe von GL(nC) und die spezielle unitäre Gruppe SU (n) ist durch
SU (n) := U (n) ∩ SL(n, C)
gegeben.
Eine Lie–Gruppen– (Links-) Wirkung (oder G–Wirkung) einer Lie–Gruppe G auf eine
Mannigfaltigkeit M ist eine glatte Abbildung
L : G × M −→ M ,
so daß
Lg : M −→ M ,
Lg (x) = L(g, x) (= gx)
ein Diffeomorphismus von M, ∀g ∈ G ist und
∀g1 , g2 ∈ G ,
Lg1 g2 = Lg1 ◦ Lg2 ,
Le = id
gilt, wobei e die Identität von G ist. Die Abbildung L induziert eine Abbildung L̂ : G −→
Dif f (M), g 7→ Lg . Die obige Bedingung ist dann äquivalent dazu, daß die Abbildung L̂ einen
Gruppen–Homomorphismus darstellt.
Die Bahn von x ∈ M unter der G–Wirkung ist die Teilmenge {gx | g ∈ G} von M. Die Menge
der Bahnen unter der G–Wirkung auf M wird mit M/G bezeichnet. Eine G–Wirkung auf M heißt
transitiv, wenn es nur eine Bahn gibt. Sei x ∈ M; die Isotropie–Gruppe Hx der G–Wirkung
ist durch
Hx = {g ∈ G | gx = x}
definiert. Wenn G transitiv auf M wirkt, dann ist Hx ∼
= Hy , ∀x, y ∈ M. Bezeichne H die
Isotropie–Gruppe zu einem beliebigen Punkt in M; dann ist M diffeomorph zu G/H, wenn G
transitiv wirkt. Diese Mannigfaltigkeit wird homogener Raum von G genannt. Ist insbesondere H eine abgeschlossene Untergruppe von G, so ist H eine Lie–Untergruppe und der
Quotientenraum G/H mit der natürlichen transitiven Wirkung von G ein homogener Raum von
G.
Beispiel 1.10 Die Drehgruppe SO(n + 1) von Rn+1 wirkt auf die Sphäre S n transitiv. Die
Isotropie–Gruppe an (1, 0, . . . , 0) kann man mit SO(n) identifizieren. Also ist die Sphäre S n ein
homogener Raum der Gruppe SO(n + 1):
S n = SO(n + 1)/SO(n) .
Eine G-Wirkung auf M heißt frei, wenn aus gx = x für ein x ∈ M folgt, daß g = e ist. Das
bedeutet, daß Hx = {e}, ∀x ∈ M ist. Eine G-Wirkung heißt effektiv, wenn aus gx = x, ∀x ∈ M
folgt, daß g = e.
Ein Vektorfeld X ∈ χ(M) heißt invariant unter der G–Wirkung auf M (oder G-invariant),
wenn
(Lg )∗ ◦ X = X ◦ Lg , ∀g ∈ G .
Das bedeutet, daß das folgende Diagramm kommutiert:
TM
(Lg)*
TM
X
X
M
Lg
M
Anders ausgedrückt, X ist G-invariant, wenn
(Lg )∗ X = X , ∀g ∈ G .
G–invariante Tensorfelder und Differentialformen kann man nun ganz analog über den Pullback
definieren.
Rechtswirkungen werden dementsprechend definiert.
Wir betrachten nun das wichtige Beispiel, bei der die Mannigfaltigkeit gleich der Lie–Gruppe
ist und die Wirkung durch die Linksmultiplikation gegeben ist.
Ein Vektorfeld X ∈ χ(G) heißt linksinvariant, wenn es invariant unter der Wirkung der
Linksmultiplikation ist. Die Menge der linksinvarianten Vektorfelder formen eine (endlich–
dimensionale) Lie–Unteralgebra der Lie–Algebra χ(G). Diese wird Lie–Algebra der Gruppe
G genannt und mit G bezeichnet. Der Tangentialraum Te G zu G an der Identität e ist isomorph
zu G. Dazu sei C ∈ Te G; dann definieren wir das linksinvariante Vektorfeld XC auf G durch
XC (g) := (Lg )∗ (C) , ∀g ∈ G ,
wobei Lg : G −→ G die Linkswirkung durch g darstellt. Für A, B ∈ Te G ist die Lie–Klammer
[A, B] durch
[A, B] := [XA , XB ](e) ∈ Te G
definiert, wobei XA , XB die zu A, B korrespondierenden linksinvarianten Vektorfelder sind.
Seien G, H Lie–Gruppen und G, H die zugehörigen Lie–Algebren. Sei f : G → H ein Lie–
Gruppen–Homomorphismus und sei f∗ : G → H die durch
f∗ (XA ) := XÂ , Â := f∗ (e)(A) ∈ Te H
definierte Abbildung. Dann ist f∗ ein Lie–Algebra–Homomorphismus von G nach H.
Sei Ei , 1 ≤ i ≤ m, eine Basis der Lie–Algebra G. Dann gilt
[Ej , Ek ] = cijk Ei .
Die Konstanten cijk werden Strukturkonstanten von G bzgl. der Basis {Ei } genannt. Sie
bestimmen die Lie–Algebra und erfüllen die Bedingungen
i) cijk = −cikj
ii) cijk clim + cikm clij + cimj clik = 0
(Jacobi) .
Ein Element A ∈ G erzeugt eine globale 1–Parameter–Gruppe φt von Diffeomorphismen auf
G, die durch den globalen Fluß φ(t, g) auf A bestimmt ist. Also ist φt (e) die Integralkurve
des linksinvarianten Vektorfeldes A durch e. φt (e) ist eine 1–Parameter–Untergruppe von G.
Umgekehrt bestimmt eine 1–Parameter–Untergruppe φt ein eindeutiges Element A ∈ G, das
durch die Tangente zu φt bei e ∈ G gegeben ist. Wir definieren die Abbildung exp : G → G
durch
exp : A 7→ φ1 (e) .
Die Abbildung exp wird Exponentialabbildung genannt und stimmt mit der üblichen Exponentialfunktion auf Matrizengruppen überein. Es gilt
exp(tA) = φt (e) .
Sei V ein Vektorraum und sei die Wirkung Lg : V −→ V linear. Dann wird der Homomorphismus
G −→ GL(V ), g 7→ Lg eine Darstellung von G genannt. Zwei Darstellungen G −→ GL(V ),
g 7→ Lg und G −→ GL(Ṽ ), g 7→ L̃g heißen äquivalent, wenn es einen linearen Isomorphismus
T : V −→ Ṽ gibt, so daß gilt:
L̃g = T ◦ Lg ◦ T −1
∀g ∈ G .
Die adjungierte Wirkung Ad von G auf sich ist durch die Abbildung
Ad : G −→ Aut G ,
Ad(g) : G −→ G ,
Ad(g)h = ghg −1
definiert. Diese Wirkung induziert eine Wirkung ad von G auf G, die die adjungierte Darstellung von G auf G genannt wird. Aus der Identifikation von Te G mit G folgt
ad : G −→ GL(G) ,
ad g = Ad∗ (g)(e) .
Bildet man nun die Ableitung dieser Abbildung, so erhält man die adjungierte Darstellung
Ad von G auf G:
Ad : G −→ gl(G) , Ad(X)(·) = [X, ·] .
Hierbei ist gl(G) die Lie–Algebra der linearen Abbildungen von G mit dem Lie–Produkt
[M, N ] = M ◦ N − N ◦ M ,
∀M, N ∈ gl(G) .
In analoger Weise lassen sich koadjungierte Darstellungen auf G ∗ definieren.
Beispiel 1.11 Die Lie–Gruppe G = GL(n, R) ist eine offene Teilmenge des n2 –dimensionalen
Vektorraums der n × n Matrizen M (n, R). Dann ist TG = GL(n, R) × M (n, R) und die Lie–
Algebra von GL(n, R) kann mit M (n, R) als Vektorraum identifiziert werden. Sei A ∈ M (n, R);
dann ist das linksinvariante Vektorfeld zu A durch
XA : GL(n, R) −→ GL(n, R) × M (n, R) ,
XA (g) = (g, gA)
definiert. Also ist die Lie–Algebra–Struktur gerade durch den Kommutator definiert. Dasselbe
gilt natürlich auch für GL(n, C). Die Exponentialabbildung vereinfacht sich in diesem Fall zu
der gewöhnliche Exponentialfunktion
exp(A) = I +
A A2
+
+ ... .
1!
2!
Mit det(exp A) = exp(tr(A)) folgt, daß
sl(n, R) := {A ∈ M (n, R) | tr(A) = 0}
die Lie–Algebra zu SL(n, R) ist. Analog folgt
sl(n, C) := {A ∈ M (n, C) | tr(A) = 0}
als Lie–Algebra zu SL(n, C).
Beispiel 1.12 Sei gk die kanonische Pseudo–Metrik auf Rn mit der Signatur n − k:
gk =
Ã
Ik
0
0 −In−k
!
.
Sei O(k, n − k) die Gruppe der linearen Transformationen A auf Rn mit gk (Ax, Ay) =
gk (x, y) , ∀x, y ∈ Rn , das heißt
At gk A = gk .
Daraus folgt, daß det A = ±1, ∀A ∈ O(k, n−k). SO(k, n−k) ist die Untergruppe von O(k, n−k)
mit det A = 1. (Wir schreiben O(n) = O(n, 0), SO(n) = SO(n, 0).) Sei f : GL(n, R) −→ S(n, R)
die Abbildung
f (A) = At gA .
Die Abbildung f ist glatt und damit ist f −1 ({gk }) abgeschlossen. Also ist O(k, n−k) = f −1 ({gk })
eine Lie–Untergruppe von GL(n, R). Für jedes A ∈ GL(n, R) betrachten wir die lineare Abbildung Df (A) auf M (n, R):
Df (A)B = B t gk A + At gk B , ∀B ∈ M (n, R) .
Also gilt für den Kern
KernDf (In ) = {B ∈ M (n, R) | B t gk = −gk B} .
Damit ist der Rang von f an der Stelle In maximal (und gleich n(n + 1)/2 = dim S(n, R)) und
f eine Submersion an der Stelle Ik . Also kann man die Lie–Algebra o(k, n − k) von O(k, n − k)
mit dem Kern Df (In ) identifizieren
o(k, n − k) = {B ∈ M (n, R) | B t gk = −gk B} .
Die Lie–Algebra zu SO(k, n − k) ist dann gegeben durch
so(k, n − k) = {B ∈ o(k, n − k) | tr(B) = 0} .
Beispiel 1.13 Sei gk die Sequilinearform auf C
gk (x, y) = x̄1 y1 + . . . x̄k yk − x̄k+1 yk+1 − . . . x̄n yn
der Signatur n − k. Sei U (k, n − k) die Gruppe der linearen Abbildungen mit gk (Ax, Ay) =
gk (x, y), ∀x, y ∈ Cn . Dann folgt analog zum vorigen Beispiel als Lie–Algebra
u(k, n − k) = {B ∈ M (n, C) | B † gk = −gk B}
zu U (k, n − k) und als Lie–Algebra zu SU (k, n − k) = U (k, n − k) ∩ SL(n)
su(k, n − k) = {B ∈ u(k, n − k) | tr(B) = 0} .
Beispiel 1.14 Sei ω die kanonische symplektische Struktur auf R2n , dessen Matrix–Darstellung
durch
ω=
Ã
0 I
−I 0
!
gegeben ist. Sei SP (n, R) die Gruppe der linearen Abbildungen A von R2n mit ω(Ax, Ay) =
ω(x, y), ∀x, y ∈ R2n . Diese Gruppe wird reelle symplektische Gruppe genannt. Wir betrachten die Abbildung f : GL(2n, R) −→ A(2n, R) mit
f (A) = At ωA .
Die Lie–Algebra sp(n, R) = f −1 ({ω}) ist dann
sp(n, R) = {B ∈ M (2n, R) | B t ω = −ωB}
mit dim sp(n, R) = n(2n + 1). Analoges gilt für die Komplexifizierung.
2
2.1
Hauptfaser– und assoziierte Bündel
Motivation
Verallgemeinerung des topologischen Produkts:
Möbius–Band
2.2
Zylinder
Faserbündel
Definition 2.1 Ein differenzierbares Faserbündel E über B ist ein Quadrupel ζ
=
(E, B, π, F ), wobei E, B, F differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind und die Abbildung π : E → B
die folgende lokale Trivialitätseigenschaft besitzt:
Es existiert eine offene Überdeckung {Ui }i∈I von B und eine Familie von Diffeomorphismen
ψi : Ui × F −→ π −1 (Ui ) , ∀i ∈ U
(π ◦ ψi )(x, g) = x , ∀(x, g) ∈ Ui × F .
Die Familie {(Ui , ψi )}i∈I heißt lokale Trivialisierung des Bündels ζ. E heißt der Bündelraum,
B die Basis, π die Bündelprojektion von E auf B und F die typische Faser. Ex = π −1 (x)
heißt Faser von E über x ∈ B.
Ein Bündel τ = (B × F, B, π, F ), bei dem π die Projektion auf den ersten Faktor ist, heißt
triviales Bündel.
Aus der lokalen Trivialitätseigenschaft folgt, daß ∀x ∈ U, ∀i ∈ I die Abbildung ψi,x : F → Ex ,
g 7→ ψi (x, g) ein Diffeomorphismus ist. Sei Uij = Ui ∩ Uj 6= ∅. Die Funktionen ψi,j mit
ψij : Uij −→ Dif f (F ) ,
−1
ψij (x) = ψi,x
◦ ψj,x
werden Übergangsfunktionen genannt. Sie erfüllen die Kozyklus–Bedingung
ψij (x) ◦ ψjk (x) ◦ ψki (x) = idF , ∀x ∈ Uijk = Ui ∩ Uj ∩ Uk 6= ∅ .
Man kann auch umgekehrt vorgehen. Seien eine Basis B, eine typische Faser F und Übergangsfunktionen {ψij }, die die Kozyklus–Bedingung erfüllen, gegeben. Dann kann man daraus ein
Faserbündel konstruieren.
¨
Ein Bündelmorphismus f von ζ = (E, B, π, F ) nach ζ ′ = (E ′ , B ′ , π ′ , F ′ ) ist eine differenzierbare Abbildung f : E → E ′ , so daß die Fasern von E glatt auf die Fasern von E ′ abgebildet
werden. Dadurch wird eine glatte Abbildung f0 : B → B ′ induziert, so daß das folgende Diagramm kommutiert:
E
f
E’
π
π’
B
f0
B’
ζ ist ein Unterbündel von ζ ′ , wenn B = B ′ , f0 = idB und f injektiv ist.
Sei ζ = (E, B, π, F ) ein Faserbündel und h ∈ F(M, B), wobei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist, dann wird der Pullback
h∗ ζ = (h∗ E, M, h∗ π, F )
von ζ auf M wie folgt definiert. h∗ E ist die Teilmenge M × E, die aus den Paaren (p, a) ∈ M × E
besteht, für die h(p) = π(a) gilt. Also erhält man h∗ E dadurch, daß man zu jedem Punkt p ∈ M
die Faser π −1 (h(p)) anheftet. Die Abbildung h∗ π ist die Einschränkung auf h∗ E der natürlichen
Projektion von M × E auf M . Die Abbildung h liftet also zu einer eindeutigen Bündelabbildung
ĥ : h∗ E → E, so daß das folgende Diagramm kommutiert:
^
h*E
h
E
π
h*π
M
h
B
Sei ζ = (E, B, π, F ) ein Faserbündel. Eine glatte Abbildung s : B → E heißt Schnitt des
Faserbündels, wenn π ◦ s = idB . Wir bezeichnen mit Γ(B) den Raum der Schnitte von E über
B. Sei U ⊂ B eine offene Teilmenge; dann bezeichnen wir mit Γ(E|U ) die Menge der Schnitte
des Bündels ζ eingeschränkt auf U . Wenn p ∈ U und s ∈ Γ(E|U ), dann wird s lokaler Schnitt
bei p genannt.
Sei ζ = (E, B, π, F ) ein Faserbündel und sei G eine Lie–Gruppe. Ist G eine Untergruppe von
Dif f (F ), so daß für jede Übergangsfunktion ψij von ζ, ψij (x) ∈ G, ∀x ∈ G gilt und ψij eine
glatte Abbildung von Uij nach G ist, so nennt man ζ ein Faserbündel mit Strukturgruppe
G.
¨
Definition 2.2 Ein Faserbündel ζ = (E, B, π, F ) mit Strukturgruppe G heißt reelles (bzw.
komplexes) Vektorbündel vom Rang n, wenn F ein reeller (komplexer) Vektorraum der
Dimension n und G = GL(n, R) (bzw. GL(n, C)) ist.
Beispiel 2.1 Möbius–Band
Der Basisraum ist der Einheitskreis S 1 . Diese wird durch zwei offene Mengen U1 , U2 überdeckt:
U1 = {x | 0 < x <
3π
} ,
2
U2 = {x | π < x <
5π
} .
2
Die typische Faser ist ein offenes Intervall I ⊂ R. Der Durchschnitt U1 ∩ U2 zerfällt in zwei
disjunkte Anteile V und W :
V = {x | π < x <
3π
} ,
2
W = {x | 0 < x <
π
} .
2
Sei p = (x, y) ein Element auf dem Möbius–Band. Damit wird π(p) = x. Sei nun π(p) ∈ V .
Dann setzen wir
ψ1 (p) = (π(p), y)
ψ2 (p) = (π(p), y)
=⇒ ψ12 = 1 .
Für π(p) ∈ W setzen wir
ψ1 (p) = (π(p), y)
ψ2 (p) = (π(p), −y)
=⇒ ψ12 = −1 .
Die Strukturgruppe {1, −1} ist die Symmetriegruppe der Ordnung 2.
Beispiel 2.2 Kleinsche Flasche. Dieselbe Prozedur wie im vorigen Beispiel. Jedoch ist die typische Faser jetzt durch den Einheitskreis S 1 gegeben.
Das Produkt von Vektorräumen läßt sich auch auf Faserbündel übertragen, indem man punktweise das Produkt auf jeder Faser betrachtet. Insbesondere kann man das Bündel
(Ak B) ⊗ E
¨
konstruieren. Die Schnitte dieses Bündels heißen k–Formen auf B mit Werten im Vektorbündel E oder einfach vektorbündelwertige k–Formen. Wir schreiben Λk (B, E) für den
Raum der Schitte Γ((Ak B) ⊗ E). Insbesondere gilt Λ0 (B, E) = Γ(E). Wenn E ein triviales
Vektorbündel mit Faser V ist, dann bezeichnet man Λk (B, E) als vektorwertige k–Formen und
schreibt auch Λk (B, V ).
Zum Beispiel ist eine Riemannsche Metrik auf M ein glatter Schnitt des Vektorbündels S 2 (TM)
auf M. Das ist das Bündel, dessen Fasern über x ∈ M der Vektorraum S 2 (Tx M) der symmetrischen bilinearen Abbildungen von Tx M × Tx M nach R ist. Allgemeiner sei E ein reelles (bzw.
komplexes) Vektorbündel auf M. Dann ist eine Riemannsche (Hermitesche) Metrik auf E ein
glatter Schnitt s des Vektorbündels S 2 (E) auf M, so daß s(x) eine bilineare (sequilineare) symmetrische (Hermitesche), positiv definite Abbildung auf Ex × Ex nach R (bzw. C) ∀x ∈ M ist.
Ein Riemannsches (Hermitesches) Vektorbündel ist ein Paar (E, s), bei dem E ein reelles (bzw.
komplexes) Vektorbündel und s eine Riemannsche (bzw. Hermitesche) Metrik auf E ist.
Seien V1 , V2 , V3 Vektorräume und h : V1 × V2 → V3 eine bilineare Abbildung. Sei α ∈ Λp (B, V1 ),
β ∈ Λq (B, V2 ); dann definieren wir α ∧h β ∈ Λp+q (B, V3 ) wie folgt. Sei {ui } eine Basis von V1
und {vj } eine Basis für V2 . Dann gilt
α = α i u i , β = β j vj ,
mit αi ∈ Λp (B), β j ∈ Λq (B). Wir definieren
α ∧h β := αi ∧ β j h(ui , vj ) .
Beispiel 2.3 Sei V1 = V2 = V3 = V und h die Lie–Klammer. Dann bezeichnet man α ∧h β mit
[α, β]:
[α, β] = αi ∧ β j [ui , uj ] = ckij αi ∧ β j uk ,
wobei ckij die Strukturkonstanten der Lie–Algebra V sind.
Sei V1 = V2 = V , V3 = R, B eine pseudo–Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Metrik g und h eine
symmetrische Bilinearform. Für jedes x ∈ B wird dann der Raum Λkx (B, V ) ein pseudo–innerer
Produktraum mit dem pseudo–inneren Produkt
hα, βi(g,h) := hαi , β j ig h(ui , uj ) , α, β ∈ Λkx (B, V ) ,
wobei h , i das durch g induzierte pseudo–innere Produkt auf Λkx (B) ist. Wenn B kompakt ist
und vg die Volumen–Form bezeichnet, dann können wir dieses lokale Produkt integrieren, um
ein pseudo–inneres Produkt auf Λk (B, V ) zu erhalten:
hhα, βii(g,h) :=
Z
B
hαi , β j ig h(ui , uj )dvg , α, β ∈ Λk (B, V ) .
¨
Ein Beispiel einer natürlichen symmetrischen Bilinearform auf einer Lie–Algebra V ist durch
K(X, Y ) := T r(AdX ◦ AdY ) , ∀X, Y ∈ V
gegeben. Diese Form K wird Killing–Form genannt. Wenn cijk die Strukturkonstanten von V
bzgl. einer Basis Ei bezeichnen, so gilt
K(X, Y ) = crik ckjr X i Y j .
Weiterhin ist K genau dann nicht–degeneriert, wenn die Determinante der Matrix {crik ckjr } nicht
verschwindet.
Definition 2.3 Eine Lie–Unteralgebra G1 der Lie–Algebra G ist die Menge aller Elemente g ∈
G, die einen Unterraum von G bilden und für die gilt: [g1 , g2 ] ∈ G1 , ∀g1 , g2 ∈ G1 . Ein Ideal I ist
die Unteralgebra von G, so daß ∀g ∈ G , ∀j ∈ I : [g, j] ∈ I.
Eine Lie–Algebra heißt halb–einfach, wenn sie keine nichttrivialen Abelschen Ideale besitzt.
Satz 2.1 (Cartan) K ist nicht–degeneriert, genau dann wenn V halb–einfach ist.
Satz 2.2 (Weyl) Sei G eine halb–einfache Lie–Algebra einer zusammenhängenden Lie–Gruppe
G. Dann ist K genau dann negativ definit, wenn G kompakt ist.
In diesem Fall ist h := −K ein inneres Produkt auf G mit dem man eine Energie auf α ∈
Λk (B, V ) definieren kann:
||α|| :=
q
|hhα, αii(g,h) | .
Wir werden dies benötigen, um Yang–Mills–Wirkungsfunktionale einzuführen.
Beispiel 2.4 Sei TM der Tangentialraum einer m–dimensionalen Mannigfaltigkeit M und π :
TM → M die kanonische Projektion. Dann ist (TM, M, π, Rm ) ein Vektorbündel vom Rang
m, das Tangentialbündel genannt wird. Eine k–dimensionale Distribution auf M ist ein
Vektorbündel vom Rang k über M, das ein Unterbündel des Tangentialbündels von M ist.
¨
2.3
Hauptfaserbündel
Definition 2.4 Ein Faserbündel ζ = (P, M, π, F ) mit einer Strukturgruppe G heißt Hauptfaserbündel über M mit Strukturgruppe G, wenn F eine Lie–Gruppe ist und G die Lie–Gruppe
der Diffeomorphismen h von F ist, für die gilt:
h(g1 g2 ) = h(g1 )g2 .
Die Abbildung h 7→ h(e), bei der e die Identität auf F ist, ist ein Isomorphismus von G mit F .
Ein Hauptfaserbündel über M mit Strukturgruppe G wird mit P (M, G) bezeichnet.
F
Px
P
ψi,x
ψij ∈ G ⊂ Diff(F)
ψj,x-1
M
x ∈ Ui ∩ Uj
Wir definieren die folgende natürliche Rechtswirkung ρ von G auf P durch
−1
ρ(ux , g) = ψi,x (ψi,x
(ux )g) ,
ux ∈ Px ,
g∈G .
Diese Wirkung ist eine freie Rechtswirkung, denn sei ρ(ux , g) = ux für ein ux ∈ Px . Dann folgt
−1
−1
ψi,x
(ux )g = ψi,x
(ux ) und damit g = e. Außerdem gilt, daß die Bahnen von ρ die Fasern von
π : P → M sind:
ψi,x-1
vx
g2
=⇒ ρ(ux , g1−1 g2 ) = vx
ux
ψi,x-1
g1
Also kann man π mit der kanonischen Projektion P → P/G identifizieren. Weiter gilt offenbar
−1
−1
ψi,x
(ρ(ux , g)) = ψi,x
(ux )g , ∀ux ∈ Px ,
g∈G .
Damit können wir eine alternative Definition von Hauptfaserbündeln angeben.
¨
Definition 2.5 Ein Hauptfaserbündel P (M, G) mit Strukturgruppe G über M ist ein Faserbündel (P, M, π, G) mit einer freien Rechtswirkung ρ von G auf P , so daß gilt:
i) Die Bahnen von ρ sind die Fasern von π : P → M, das bedeutet, daß π mit der natürlichen
Projektion von P → P/G identifiziert werden kann.
ii) Für alle lokalen Trivialisierungen ψi : Ui × G → π −1 (U ) gilt
−1
−1
ψi,x
(ρ(ux , g)) = ψi,x
(ux )g , ∀ux ∈ Px ,
g∈G .
Als nächstes geben wir ein Beispiel eines Hauptfaserbündels, das zu jeder Mannigfaltigkeit existiert.
Beispiel 2.5 (Frame–Bündel) Sei M eine m–dimensionale Mannigfaltigkeit. Ein Frame u =
(u1 , . . . , um ) an einer Stelle x ∈ M ist eine (geordnete) Basis des Tangentialraums Tx M. Sei
Lx (M) = {u | u ist ein Frame bei x ∈ M} ,
L(M) =
[
Lx (M) .
x∈M
Wir definieren die Projektion
π : L(M) → M ,
u 7→ x , wobei u ∈ Lx (M) ⊂ L(M) ist .
Die allgemeine lineare Gruppe GL(m, R) wirkt frei auf L(M) von rechts:
i
(u, g) 7→ ug := (ui g1i , . . . , ui gm
) , g = (gji ) ∈ GL(m, R) .
L(M)(M, GL(M, R)) ist ein Hauptfaserbündel über M mit Strukturgruppe Gl(m, R). Das
Hauptfaserbündel wird Frame–Bündel von M genannt.
Seien P (M, G) und Q(N, H) zwei Hauptfaserbündel. Ein Hauptfaserbündelhomomorphismus von Q(N, H) in P (M, G) ist ein Bündelhomomorphismus f : Q → P verbunden mit einem
Lie–Gruppen–Homomorphismus γ : H → G, so daß gilt:
f (ρQ (u, h)) = ρP (f (u), γ(h)) , ∀u ∈ Q , h ∈ H .
f ist dann äquivariant bzgl. γ. Ein Bündelisomorphismus f : P → P , der äquivariant bzgl.
der Identität ist, wird Hauptfaserbündelautomorphismus genannt. Die Menge aller Hauptfaserbündelautomorphismen von P ist eine Untergruppe von Dif f (P ) und wird mit Aut(P )
bezeichnet.
Wenn f : Q → P eine Einbettung und γ injektiv ist, dann spricht man von einer Einbettung
von Q in P . Die induzierte Abbildung f0 : N → M ist dann ebenfalls eine Einbettung. Wenn
¨
M = N und f0 = idM , dann wird das Hauptfaserbündel Q ein reduziertes Unterbündel von
P oder eine Reduktion der Strukturgruppe G auf H genannt. Die Strukturgruppe G des
Hauptfaserbündels P (M, G) heißt reduzierbar auf eine Untergruppe H ⊂ G, wenn P (M, G)
eine Reduktion von G auf H erlaubt. Zum Beispiel kann das Frame–Bündel L(M)(M, Gl(m, R))
auf ein Unterbündel O(M)(M, O(m, R)) mit Strukturgruppe O(m, R) reduziert werden. Das
Bündel O(M)(M, O(m, R)) wird orthonormales Frame–Bündel von M genannt. Wenn die Mannigfaltigkeit M orientierbar ist, dann kann die Strukturgruppe O(m, R) auf SO(m, R) reduziert
werden. Dieses spezielle orthonormale Frame–Bündel wird mit SO(M)(M, O(m, R)) bezeichnet.
Sei P (M, G) ein Hauptfaserbündel. Die Wirkung ρ von G auf P definiert für jedes u ∈ P die
Abbildung ρu : G → P , ρu (g) = ρ(u, g). Diese induziert einen injektiven Homomorphismus
der Lie–Algebra G von G in χ(P ). Sei dazu A ∈ G und at = exp(tA) die durch A erzeugte
1–Parameter–Untergruppe von G. Wenn man die Wirkung ρ von G auf exp(tA) einschränkt, so
erhält man die glatte Kurve
ρu (exp(tA)) = ρ(u, exp(tA))
durch u ∈ P . Den Tangentialvektor zu dieser Kurve an der Stelle u ∈ P bezeichnen wir mit Ãu .
Das fundamentale Vektorfeld Ã ∈ χ(P ) von A ∈ G ist durch die Abbildung
u 7→ Ãu = (ρu (e))∗ A
gegeben. Die Abbildung ρ̃ : G → χ(P ), A 7→ Ã ist ein injektiver Lie–Algebra–Homomorphismus.
Da G auf P frei wirkt, folgt aus A 6= 0, daß Ãu 6= 0, ∀u ∈ P .
Ã besitzt eine andere wichtige Eigenschaft. Dazu benötigen wir zuerst die folgende Definition.
Definition 2.6 Ein Vektorfeld Y ∈ χ(P ) wird vertikales Vektorfeld genannt, wenn Yu tangential zur Faser durch u, ∀u ∈ P ist. Mit V(P ) wird die Menge aller vertikalen Vektorfelder auf P
bezeichnet. V ist eine Lie–Unteralgebra von χ(P ).
Da G vertikal auf P wirkt, folgt, daß Ã ein vertikales Vektorfeld ist und daß die Abbildung ρ̃
ein Lie–Algebra–Isomorphismus zu V(P ) ist. Dies induziert eine Trivialisierung des vertikalen
Bündels V(P ) ∼
= P × G.
2.4
Assoziierte Bündel
Sei P (M, G) ein Hauptfaserbündel und G wirke von links auf eine Mannigfaltigkeit F :
l : G × F −→ F , (g, f ) 7→ l(g, f ) .
Diese Wirkung induziert eine Rechtswirkung R auf P × F :
³
´
R : (P × F ) × G −→ (P × F ) , ((u, f ), g) 7→ ρ(u, g), l(g −1 , f )
.
¨
Die Wirkung R ist frei und der Quotientenraum (P × F )/R wird mit P ×l F oder E(M, F, l, P )
(oder einfach E) bezeichnet. Mit O : P ×F −→ E, (u, f ) 7→ O(u, f ) =: [u, f ] wird die Projektion
auf die Bahnen von R bezeichnet. Man hat also das folgende kommutative Diagramm
PxF
p1
P
π
E
πE
M
wobei πE : E → M durch [u, f ] → π(u) definiert ist und p1 die Projektion auf den ersten Faktor
darstellt. (E, M, πE , F ) ist ein Faserbündel über M mit typischer Faser F . Man nennt P ×l F
(oder E(M, F, l, P )) das zu P assoziierte Faserbündel mit typischer Faser F . Wenn F ein
Vektorraum ist, so wird E das zu P assoziierte Vektorbündel mit typischer Faser F genannt.
Beispiel 2.6 Sei Ad die adjungierte Wirkung von G auf sich selber:
Ad(g)h = ghg −1 , ∀g, h ∈ G .
Dann ist P ×Ad G ein Bündel von Lie–Gruppen, das zu P assoziiert ist und mit Ad(P ) bezeichnet
wird.
Weiter sei ad die adjungierte Wirkung von G auf ihre Lie–Algebra G:
ad(g) = (Ad(g))∗ (e) .
Dann ist P ×ad G ein Bündel von Lie–Algebren, das zu P assoziiert ist und mit ad(P ) bezeichnet
wird.
Beispiel 2.7 Sei M eine m–dimensionale Mannigfaltigkeit. Das Tangentialbündel TM von M
ist ein assoziiertes Bündel von L(M) mit Faser Rm . Die Linkswirkung l ist durch die Darstellung
von GL(m, R) auf Rm gegeben:
TM = E(M, Rm , l, L(M)) .
¨
3
Die Theorie von Zusammenhängen
3.1
Zusammenhänge und Krümmungen
Sei P (M, G) ein Hauptfaserbündel mit Strukturgruppe G über einer Mannigfaltigkeit M der
Dimension m.
Definition 3.1 Ein Zusammenhang Γ in P (M, G) ist eine m–dimensionale Distribution H :
u 7→ Hu P auf P , so daß die folgenden Bedingungen für alle u ∈ P erfüllt sind:
i) Tu P = Vu P ⊕Hu P , wobei Vu P = Kern(π∗u ) der vertikale Unterraum des Tangentialraums
Tu P ist;
ii) Hρg (u) P = (ρg )∗ Hu P , ∀g ∈ G, wobei ρg die Rechtswirkung von G auf P bezeichnet.
Hu P (oder einfach Hu ) wird der horizontale Unterraum von Tu P genannt. Die Vereinigung HP
der horizontalen Unterräume wird Horizontalbündel von P genannt. Entsprechend wird die
Vereinigung V P der vertikalen Unterräume Vu P (oder einfach Vu ) als Vertikalbündel bezeichnet. Ein Vektorfeld X ∈ χ(P ) heißt vertikal, wenn X(u) ∈ Vu P , ∀u ∈ P und horizontal, wenn
X(u) ∈ Hu P , ∀u ∈ P . Die Bedingung i) erlaubt für jedes X ∈ Tu P eine Zerlegung in einen
vertikalen v(X) ∈ Vu und einen horizontalen h(X) ∈ Hu Anteil. Sei X ∈ χ(P ) ein Vektorfeld
auf P . Dann sind
v(X) : P −→ TP ,
u 7→ v(X(u))
h(X) : P −→ TP ,
u 7→ h(X(u))
auch in χ(P ). Die Abbildung
π∗u : Hu → Tπ(u) M
ist ein Isomorphismus. Für X ∈ χ(M) ist der Lift von X in P das eindeutige horizontale
Vektorfeld X h ∈ χ(P ) für das π∗ X h = X gilt. X h ist invariant unter der Wirkung von G auf P .
Umgekehrt ergibt sich jedes unter der Wirkung von G invariante horizontale Vektorfeld als Lift
eines X ∈ χ(M).
Im folgenden Satz sind einige Eigenschaften zusammengefaßt.
Satz 3.1 Sei P (M, g) ein Hauptfaserbündel mit einem Zusammenhang Γ. Seien X, Y ∈ χ(M)
und F ∈ F(M); dann gilt:
i) X h + Y h = (X + Y )h ,
ii) (π ∗ f )X h = (f X)h ,
iii) h([X h , Y h ]) = [X, Y ]h .
¨
¨
Eine glatte Kurve c in P (das heißt, c ist eine glatte Funktion von einem offenen Intervall I ⊂ R
in P ) heißt horizontale Kurve, wenn ċ(t) ∈ Hc(t) , ∀t ∈ I. Ein Schnitt s ∈ Γ(P ) heißt parallel,
wenn
s∗ (Tx M) ⊂ Hs(x) , ∀x ∈ M .
Das bedeutet, daß s ◦ c eine horizontale Kurve für jede Kurve c in M ist. Sei x : [0, 1] → M
eine Kurve in M und w0 ∈ P , π(w0 ) = x(0). Dann existiert eine eindeutige horizontale Kurve
w : [0, 1] → P , so daß w(0) = w0 und
π (w(t)) = x(t) , ∀t ∈ [0, 1] .
Die Kurve w in P heißt horizontaler Lift der Kurve x mit Startpunkt w0 ∈ P . Sei P0 (bzw. P1 )
die Faser von P über x(0) (bzw. x(1)). Dann induziert der horizontale Lift von x nach P einen
Diffeomorphismus von P0 mit P1 , der Parallelverschiebung entlang x genannt wird. Wenn x eine
Schleife (geschlossene Kurve) bei p ∈ M ist, also p = x0 = x1 , so induziert der horizontale Lift von
x in P einen Automorphismus der Faser π −1 (p). Die Menge all’ dieser Automorphismen bildet
eine Gruppe, die sogenannte Holonomiegruppe Φ(p) des Zusammenhangs Γ bei p ∈ M. Die
Teilmenge von Φ(p), die zu Parallelverschiebungen entlang von Schleifen gehören, die homotop
zur konstanten Schleife bei p sind, bilden eine Untergruppe von Φ(p). Sie wird eingeschränkte
Holonomie–Untergruppe Φ0 (p) des Zusammenhangs Γ bei p ∈ M genannt. Sei u ∈ π −1 (p). Dann
bestimmt jedes α ∈ Φ(p) (bzw. Φ0 (p)) eindeutig ein g ∈ G, so daß α(u) = ug. Die Abbildung
α 7→ g von Φ(p) (bzw. Φ0 (p)) nach G ist ein Isomorphismus auf eine Untergruppe Hu (bzw.
Hu0 ) von G, die Holonomiegruppe (bzw. eingeschränkte Holonomiegruppe) des Zusammenhangs
Γ bei u ∈ P genannt wird.
Wir besprechen nun zwei wichtige Eigenschaften eines Zusammenhangs, die oft als Definition
genommen werden. Dazu definieren wir eine 1–Form ω ∈ Λ1 (P, G) auf P mit Werten in der
Lie–Algebra G mit Hilfe des Zusammenhangs Γ wie folgt:
ωu (Xu ) = ρ̃−1
u (v(Xu )) , ∀u ∈ P , ∀Xu ∈ Tu P .
Hierbei ist ρ̃ : G → V(P )u der durch die Wirkung von G auf P induzierte Isomorphismus. Man
schreibt auch
ω(X) = ρ̃−1 (v(X)) .
Die 1–Form ω heißt Zusammenhangs–1–Form des Zusammenhangs Γ. Aus der Definition
von ω folgt
ω(Ã) = A , ∀A ∈ G .
¨
Aber es gilt zusätzlich
(ρa )∗ ω = ad(a−1 )ω ,
∀a ∈ G ,
das heißt, daß das folgende Diagramm kommutiert:
Diese Gleichung kann auch wie folgt geschrieben werden:
ωua ((ρa )∗ Xu ) = ad(a−1 )(ωu (Xu )) , ∀X ∈ χ(P ) .
Aber auch diese Gleichung bedarf noch einiger Erklärung. Zunächst einmal gilt v((ρa )∗ Xu ) =
(ρa )∗ v(Xu ). Dies ist eine unmittelbare Konsequenz der Definition eines Hauptfaserbündels (Bedingung ii)).
Das Vektorfeld v(X) erzeugt einen Fluß auf der Faser Pπ(u) . Sei h̃(t) die Lösung zu
d
dt h̃(t)
=
v(Xh̃(t) ), h̃(0) = u. Zu dieser Kurve gehört nun eine Kurve h(t) in der Strukturgruppe, so daß
h̃ = uh(t), h(0) = e. ωu (Xu ) ist dann durch ḣ|t=0 gegeben.
Satz 3.2 Ein Vektorfeld X erzeuge die lokale Gruppe gt . Dann erzeugt f∗ X einer diffeomorphen
Abbildung f die lokale Gruppe f ◦ gt ◦ f −1 .
Denn aus der Kettenregel folgt
d
d
(f ◦ gt (x)) = f∗ gt (x) = f∗ X(x) .
dt
dt
Mit x = f −1 (y) folgt die Behauptung.
¨
¨
In unserem Fall ist der Diffeomorphismus die Rechtswirkung ρa . Damit folgt also
i
d h −1
= (ρa )∗ v(Xu ) .
u(a h(t)a)
|t=0
dt
Nun ist ωua ((ρa )∗ Xu ) gegeben durch
ωua ((ρa )∗ Xu ) =
d −1
(a h(t)a)|t=0 .
dt
Für die rechte Seite gilt nun
d −1
(a h(t)a)|t=0 = ad(a−1 )(ωu (Xu )) .
dt
Damit folgt die alternative Definition eines Zusammenhangs:
Definition 3.2 Ein Zusammenhang in P (M, G) ist eine 1–Form ω ∈ Λ1 (P, G), für die gilt:
ω(Ã) = A , ∀A ∈ G
(ρa )∗ ω = ad(a−1 )ω ,
(1)
∀a ∈ G .
(2)
Hat man nun eine 1–Form ω gegeben, die diese Bedingungen erfüllt, so können wir die Distribution H : u 7→ Hu durch
Hu := {Y ∈ Tu P | ωu (Y ) = 0}
definieren.
Wir kommen nun zu einer weiteren Eigenschaft eines Zusammenhangs. Betrachten wir dazu
die lokale Darstellung des Bündels P (M, G). Sei ω ein Zusammenhang auf P (M, G) und sei
{(Ui , ψi )}i∈I eine lokale Darstellung des Bündels P (M, G) mit den Übergangsfunktionen ψij :
Uij → G. Sei e ∈ G die Identität von G und sei si : Ui → P ein lokaler Schnitt, der durch
si (x) = ψi (x, e)
gegeben ist. Wir definieren die Familie {ωi }i∈I von 1–Formen
Λ1 (Ui , G) ∈ ωi = s∗i (ω) ,
wobei ω ein Zusammenhang auf P ist.
Sei Θ die Maurer–Cartan–Form auf G:
Θ(g) := (Lg−1 )∗ : Tg G −→ Te G ≡ G , ∀g ∈ G .
¨
∗ Θ schreiben, so ergibt sich die Transformationsformel
Wenn wir Θij = ψij
ωj (x) = ad(ψij (x)−1 )ωi (x) + Θij (x) , ∀x ∈ Uij , ∀i, j ∈ I .
Um das einzusehen, betrachten wir
ψi−1 : π −1 (U ) → Ui × G ,
−1
ψi−1 (p) = (π(p), ψi,x
(p)) .
Dann gilt:
HF B
−1
−1
−1
−1
−1
ψi−1 (si (x)ψi,x
(p)) = (x, ψi,x
(si (x)ψi,x
(p))) = (x, ψi,x
(si (x))ψi,x
(p))
−1
= (x, eψi,x
(p)) = ψi−1 (p) mit π(p) = x .
Daraus folgt also
−1
−1
p = si (x)ψi,x
(p) und p = sj (x)ψj,x
(p)
und damit sj (x) = si (x)ψij (x).
Sei nun Y ∈ Tx M und γ : ρ → M eine Kurve mit γ̇(0) = Y . Dann folgt an der Stelle t = 0
d
d
sj (γ(t)) = [si (γ(t)) ψij (γ(t))]
dt
dt
d
d
= [si (x) ψij (γ(t))] + [si (γ(t)) ψij (x)]
dt
dt
d
−1
= [sj (x) ψij (x) ψij (γ(t))] + (ρψij (x) )∗ si∗ (Y )
dt
d
= [sj (x) exp(t(L−1
ψij (x) )∗ ψij∗ (Y ))] + (ρψij (x) )∗ si∗ (Y )
dt
sj∗ (Y ) =
Der erste Term auf der rechten Seite stellt einen vertikalen Vektor dar. Damit folgt
ωj (x) = ad(ψij (x)−1 ) ωi (x) + (L−1
ψij (x) )∗ ψij∗ .
Mit der Definition der Maurer–Cartan–Form ergibt sich dann
ωj (x) = ad(ψij (x)−1 ) ωj (x) + Θij (x) .
Hat man nun umgekehrt eine Familie {(Ui , ψi , ωi )}i∈I gegeben, die die obige Gleichung erfüllt,
dann bestimmt sich dadurch ein Zusammenhang in der folgenden Weise. Sei ψi−1 : π −1 (Ui ) →
Ui × G und seien p1 , p2 die kanonischen Projektionen von Ui × G auf den ersten bzw. zweiten
Faktor. Sei weiter
αi = (p1 ◦ ψi−1 )∗ ωi + (p2 ◦ ψi−1 )∗ Θ .
Dann ist αi ∈ Λ1 (π −1 (Ui ), G). Wir definieren ω ∈ Λ1 (P, G) durch ω = αi auf π −1 (Ui ). Das ist
wohldefiniert, denn auf π −1 (Uij ) folgt aus der obigen Bedingung, daß αi = αj gilt. Wir können
also nun die dritte äquivalente Definition eines Zusammenhangs angeben.
¨
¨
Definition 3.3 Ein Zusammenhang in dem Bündel P (M, G) ist eine Familie von Tripeln
{(Ui , ψi , ωi )}i∈I , wobei {(Ui , ψi )}i∈I eine lokale Darstellung von P und {ωi ∈ Λ1 (Ui , G)}i∈I eine
Familie von 1–Formen ist, die die Beziehung
ωj (x) = ad(ψij (x)−1 ) ωj (x) + Θij (x)
erfüllt.
Sei φ ∈ Λk (P, V ) eine k–Form mit Werten in einem endlich–dimensionalen Vektorraum V . Man
nennt φ pseudo–tensoriell vom Typ (r, V ), wenn
ρ∗a φ = r(a−1 )φ , ∀a ∈ G .
Eine Zusammenhangs–1–Form ω auf P ist pseudo–tensoriell vom Typ (ad, G). Eine Form φ ∈
Λk (P, V ) heißt horizontal, wenn
φ(X1 , . . . , Xk ) = 0
sobald ein Xi , 1 ≤ i ≤ k vertikal ist. Eine Form φ ∈ Λk (P, V ) heißt tensoriell vom Typ (r, V ),
wenn sie horizontal und pseudo–tensoriell vom Typ (r, V ) ist. Wenn eine k–Form φ ∈ Λk (P, V )
tensoriell vom Typ (r, V ) ist, dann existiert eine eindeutige k–Form sφ auf M mit Werten im
assoziierten Vektorbündel E = P ×r V , die wie folgt definiert ist:
sφ (x)(X1 , . . . , Xk ) = ũφ(u)(Y1 , . . . , Yk ) , ∀x ∈ M .
Hierbei ist u ∈ π −1 (x) und Yi ∈ Tu P , π∗ (Yi ) = Xi und ũ der durch u ∈ P induzierte Isomorphismus
ũ : F −→ Eπ(u) , ũ(f ) = O(u, f ) .
Da φ tensoriell ist, ist die Definition unabhängig von u und Yi .
Sei ω eine Zusammenhangs–1–Form auf P . Wir definieren das äußere kovariante Differential
dω : Λk (P, G) −→ Λk+1 (P, G)
auf P durch
dω α(X0 , . . . , Xk ) = dα(h(X0 ), . . . , h(Xk )) , ∀α ∈ Λk (P, G) .
Die Krümmungs–2–Form Ω ∈ Λ2 (P, G) der Zusammenhangs–1–Form ω ist durch
Ω := dω ω
¨
gegeben. Ω ist eine tensorielle 2–Form vom Typ (ad, G) und sie erfüllt die folgende Bedingung
dω(X, Y ) = Ω(X, Y ) − [ω(X), ω(Y )] .
Um diese Struktur–Gleichung zu beweisen, ist es aufgrund der Linearität hinreichend, die
folgenden 3 Fälle zu betrachten:
i) X, Y sind horizontal. Damit folgt ω(X) = ω(Y ) = 0 und h(X) = X, h(Y ) = Y .
ii) X, Y sind vertikal. Damit ist Ω(X, Y ) = 0 und
dω(X, Y ) = Xω(Y ) − Y ω(X) − ω([X, Y ]) .
ω(X) und ω(Y ) sind konstant. Damit folgt
dω(X, Y ) = −ω([X, Y ]) = −[ω(X), ω(Y )] .
iii) X ist vertikal und Y ist horizontal. Damit folgt wieder Ω(X, Y ) = 0, [ω(X), ω(Y )] = 0
und
dω(X, Y ) = −Y ω(X) − ω([X, Y ]) = −ω([X, Y ]) .
Nun gilt:
1 −1
Y −Y] ,
[X, Y ] = LX Y = lim [Ft∗
t→0 t
mit
Ft (p) = p exp(tX) .
Damit ist Ft−1 Y ein horizontales Vektorfeld und
ω([X, Y ]) = 0 .
Man schreibt auch oft
[ω(X), ω(Y )] = ω ∧ ω(X, Y ) .
Damit wird die Strukturgleichung
dω = Ω − ω ∧ ω .
Aus dieser erhält man auf dem Hauptfaserbündel P die Bianchi–Identität
dω Ω = 0 .
Diese folgt aus
dΩ = d2 ω + d(ω ∧ ω) = dω ∧ ω − ω ∧ dω
= 2dω ∧ ω = 2(Ω ∧ ω − ω ∧ ω ∧ ω)
= 2(Ω ∧ ω) .
Da ω für horizontale Vektoren verschwindet, folgt die Bianchi–Identität.
Die 1–zu–1 Korrespondenz φ 7→ sφ tensorieller Formen vom Typ (ad, G) und Formen mit Werten
im assozierten Bündel ad(P ) assoziiert zur Krümmungs–Form Ω eine eindeutige 2–Form Fω ∈
Λ2 (M, ad(P )), so daß
Fω = sΩ .
Diese 2–Form Fω heißt die zum Zusammenhang ω auf P gehörende Krümmungs–2–Form auf M.
3.2
Kovariante Ableitung
Sei P (M, G) ein Hauptfaserbündel und E(M, F, l, P ) das assoziierte Faserbündel über M mit
typischer Faser F und Wirkung l. Ein Zusammenhang Γ in P gestattet es, ein horizontales
Vektorfeld auf E zu definieren. Sei dazu w ∈ E und (u, a) ∈ O−1 (w), wobei O : P × F die
kanonische Bahn–Projektion ist. Wir definieren
fa : P −→ E , u 7→ O(u, a) ,
wobei O(u, a) die Bahn von (u, a) in E ist. Nun definieren wir Hw = Hw E ⊂ Tw E durch
Hw := (fa )∗ (Hu P ) ,
wobei Hu P der horizontale Unterraum von Tu P ist. Aus der Eigenschaft ii) der Definition des
Zusammenhangs Γ folgt, daß Hw E unabhängig von der Wahl (u, a) ∈ O−1 (u) ist und daher
wohldefiniert ist. Die Zuordnung w 7→ Hw , w ∈ H definiert einen Zusammenhang auf E. Also
kann man die Begriffe wie horizontales Vektorfeld auf E, horizontaler Lift eines Vektorfeldes
auf M, horizontale Kurve und horizontaler Lift einer Kurve einführen. Sei x : [0, 1] → M eine
Kurve in M und w0 ∈ E mit πE (w0 ) = x(0), dann existiert ein eindeutiger horizontaler Lift
w : [0, 1] → E der Kurve x mit w(0) = w0 und
πE (w(t)) = x(t) , ∀t ∈ [0, 1] .
Wenn die Kurve x die Punkte x0 und x1 verbindet, so induziert der horizontale Lift einen
Diffeomorphismus der Fasern π −1 (x0 ) und π −1 (x1 ), der Parallelverschiebung von Fasern von
E genannt wird. Sei E nun ein Vektorbündel (das heißt, die typische Faser F ist ein Vektorraum).
¨
Dann ist die Parallelverschiebung ein Isomorphismus und wir können die kovariante Ableitung
∇ẋ(t) s eines Schnittes s in Richtung des Vektors ẋ(t) berechnen:
i
1 h −1
ct,t+h (s(x(t + h))) − s(x(t)) .
h→0 h
∇ẋ(t) s = lim
Hierbei ist
−1
−1
ct,t+h : πE
(x(t)) → πE
(x(t + h))
die Parallelverschiebung entlang der Kurve x von x(t) nach x(t + h). Wenn X ∈ χ(M), so daß
x die Integralkurve von X durch x0 ist (Xx(t) = ẋ(t)), dann kann die obige Definition benutzt
werden, um die kovariante Ableitung ∇X s zu definieren.
Im folgenden Satz sind einige Eigenschaften der kovarianten Ableitung zusammengestellt.
Satz 3.3 Der Operator ∇X : Γ(E) → Γ(E) erfüllt die folgenden Beziehungen ∀X, Y ∈ χ(M),
∀f ∈ F(M) und ∀t, s ∈ Γ(E):
i) ∇X+Y s = ∇X s + ∇Y s
ii) ∇X (s + t) = ∇X s + ∇X t
iii) ∇f X s = f ∇X s
iv) ∇X (f s) = f ∇X s + (Xf )s .
Der Operator ∇ω bildet Γ(E) = Λ0 (M, E) in Λ1 (M, E) ab (∇ω schreibt man, um die Abhängigkeit von ω anzudeuten). Die Erweiterung des Operators ∇ω auf Λp (M, E) wird mit dω bezeichnet
und ist wie folgt definiert:
ω
d α(X0 , . . . , Xp ): =
p
X
(−1)j ∇Xj α(X0 , . . . , X̂j , . . . , Xp )
j=0
+
X
(−1)i+j α([Xi , Xj ], X0 , . . . , X̂i , . . . , X̂j , . . . , Xp ) .
i<j
(“ˆ” bedeutet wieder “weglassen”).
Der Operator dω heißt äußeres kovariantes Differential auf M. Wenden wir diesen Operator
auf die Krümmungs–2–Form Fω ∈ Λ2 (M, ad(p)) an, so erhalten wir die Bianchi Identität auf M
dω Fω = 0 .
¨
Nun sind wir in der Lage, eine kleine Übersetzungstabelle einzuführen.
3.3
Strukturgruppe G
Eichgruppe G
Zusammenhang ω
Eichzusammenhang
Schnitt s ∈ Γ(P )
globale Eichung
Schnitt t ∈ Γ(Ui , P )
lokale Eichung
t∗ ω ∈ Λ(Ui , G)
Eichpotential A
Ω = dω ω
Eichfeld auf P
Fω = sΩ ∈ Λ2 (M, ad(P ))
Eichfeld auf M, Feldstärke
Lineare Zusammenhänge
Sei L(M) das Frame–Bündel vom M. L(M) ist ein Hauptfaserbündel mit Strukturgruppe
GL(m, R). Ein Zusammenhang auf diesem Hauptfaserbündel heißt linearer Zusammenhang.
Die Zusammenhangs–1–Form ω ist eine 1–Form auf L(M) mit Werten in gl(m, R). Wir bezeichnen mit {uij | i, j = 1, 2, . . . , m} die natürliche Basis von gl(m, R), wobei uij die Matrix ist, deren
einziges nicht–verschwindendes Element gleich 1 an der i–Spalte und j–ten Reihe ist. Lokal gilt
dann
ω = Γijk dxj uki .
Die Funktionen Γijk heißen Christoffel Symbole des linearen Zusammenhangs Γ. Für die
kovariante Ableitung ergibt sich in lokalen Koordinaten
∇∂i ∂j = Γkij ∂k ,
woraus sofort für allgemeine Vektorfelder folgt
∇u v =
∂v i j
u ∂i + Γijk uj v k .
∂xj
Ein Frame induziert einen Isomorphismus
ũ : Rm −→ Tπ(u) M .
Sei X ∈ Tu L(M); dann definieren wir die 1–Form θ ∈ Λ1 (L(M), Rm ) durch
θu (X) = ũ−1 (π∗ (X)) .
¨
θ ist eine tensorielle 1–Form auf L(M) vom Typ (l, Rm ), wobei l die definierende Darstellung
von GL(m, R) ist. Die Form wird kanonische oder Soldering–Form genannt.
Lineare Zusammenhänge sind durch die Existenz der Soldering–Form von anderen Hauptfaserbündels ausgezeichnet. Zusätzlich zur Krümmungs–2–Form Ω = dω ω hat man die Torsions–
2–Form ϑ = dω θ ∈ Λ2 (L(M), Rm ). Ein Zusammenhang ω heißt torsionsfrei, wenn die Torsions–
2–Form ϑ = dω θ = 0 verschwindet.
Sei ω ein linearer Zusammenhang auf einer m–dimensionalen Mannigfaltigkeit, also ein Zusammenhang auf dem Hauptfaserbündel der Frames L(M). Sei x ∈ M, Xx , Yx ∈ Tx M. Wir
betrachten das Element
ũ(ϑ(Xu∗ , Yu∗ )) ∈ Tx M ,
wobei u ∈ L(M)x ist und Xu∗ , Yu∗ Elemente von Tu L(M) sind, für die gilt: π∗ Xu∗ = Xx , π∗ Yu∗ = Yx .
ũ(ϑ(Xu∗ , yu∗ )) hängt nicht von der Wahl von u, Xu∗ , Yu∗ ab. Daher definiert
T (Xx , Yx ) := ũ(ϑ(Xu∗ , Yu∗ )) , Xx , Yx ∈ Tx M
ein Tensorfeld T ∈ Γ(T21 (M)), das Torsion genannt wird. Analog ist die Krümmung das
Tensorfeld R ∈ Γ(T31 (M)), das durch
R(Xx , Yx )Zx := ũ[Ω(Xu∗ , Yu∗ )(ũ−1 (Zx ))] ,
∀x ∈ M, Xx , Yx , Zx ∈ Tx M definiert ist. Mit Hilfe der kovarianten Ableitung ∇ = ∇ω lassen sich
Torsion und Krümmung wie folgt schreiben:
T (X, Y ) = ∇X Y − ∇Y X − [X, Y ]
R(X, Y )Z = [∇X , ∇Y ]Z − ∇[X,Y ] Z .
Lokal folgt mit X = X i ∂i , Y = Y j ∂j
T (X, Y ) = (Γkij − Γkji )X i Y j ∂k
und damit
Tijk = dxk (T (∂i , ∂j )) = Γkij − Γkji .
Also ist ein linearer Zusammenhang torsionsfrei, genau dann, wenn die Christoffel Symbole in
den unteren Indizes symmetrisch sind. Analog erhält man für die Krümmung
l
Rijk
:= dxl (R(∂j , ∂k )∂i ) = ∂j Γlki − ∂k Γlji + Γljr Γrki − Γlkr Γrji .
Wir sehen, daß
l
l
Rijk
= −Rikj
¨
und für einen torsionsfreien Zusammenhang gilt:
l
l
l
Rijk
+ Rkij
+ Rjki
=0 .
Durch Kontraktion erhält man das Ricci–Tensorfeld Ric ∈ Γ(T02 (M)):
Ric(Xx , Yx ) := dxk (R(∂k , Xx )Yx ) ,
∀x ∈ M, Xx , Yx ∈ Tx M. Die Komponenten des Ricci–Tensors sind durch
k
Rij := Ric(∂i , ∂j ) = Rjki
gegeben. Wenn M eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ist, so kann die Strukturgruppe GL(m, R)
auf die orthogonale Gruppe O(m, R) reduziert werden. Analog kann die Strukturgruppe auf
die Lorentz–Gruppe reduziert werden, wenn M eine Lorentz–Mannigfaltigkeit ist. Die Frames
im reduzierten Bündel heißen lokale Inertialsysteme. Der Zusammenhang und die Krümmung
können als Gravitationspotential und Gravitationsfeld interpretiert werden.
Ein linearer Zusammenhang ω auf einer pseudo–Riemannschen–Mannigfaltigkeit (M, g) heißt
metrischer Zusammenhang, wenn die Metrik g kovariant konstant ist, das heißt ∇ω g = 0.
Anders ausgedrückt bedeutet dies, daß die Metrik invariant unter Paralleltransport ist. Unter
allen metrischen Zusammenhängen existiert ein eindeutiger torsionsfreier metrischer Zusammenhang λ, der Levi–Civita–Zusammenhang genannt wird. Die Krümmungs–2–Form Fλ des
Levi–Cevita–Zusammenhangs λ wird mit R bezeichnet und heißt Riemannsche Krümmung
auf M. Lokal sind die Christoffel Symbole eines Levi–Civita Zusammenhangs durch die Metrik
g wie folgt gegeben
1
Γkij = g hk (∂j gih − ∂i gjh − ∂h gij ) .
2
Die skalare Krümmung ist die Funktion S ∈ F(M), die durch
S = g ij Rij
definiert ist. Sei p ein 2–dimensionaler Unterraum von Tx M und sei {e1 , e2 } eine orthonormale
Basis für p. Die Größe
κ(p) := e♭1 (R(e1 , e2 )e2 )
hängt nicht von der Wahl der orthonormalen Basis {e1 , e2 } ab und wird Schnittkrümmung
von p genannt.
Der lokale Ausdruck für die kovariante Ableitung
∇X Y = (∂j Y i X j + Γijk X j Y k )∂i ,
X, Y ∈ χ(M)
¨
zeigt, daß ∇X Y nur von X an der Stelle x abhängt. Also kann man die kovariante Ableitung
eines Vektorfeldes X entlang einer Kurve c : I → M als
DX
: I −→ TM ,
dt
DX
= (∇ċ X)(c(t))
dt
definieren. Ein Vektorfeld X heißt autoparallel entlang c, wenn (∇ċ X) = 0. Eine Geodäte
ist eine Kurve γ in M, die autoparallel zu sich selber ist: ∇γ̇ γ̇ = 0. Der lokale Ausdruck für
Geodäten ist gegeben durch
γ̈ + Γijk γ̇ j γ̇ k = 0 .
Die pseudo–Riemansche Geometrie kann man nicht abschließen, ohne auf die Einsteinschen
Feldgleichungen einzugehen. Dazu folgen wir den Weg von Hilbert (1915) und formen aus der
Metrik den einzigen Skalar, der linear in den zweiten Ableitungen des metrischen Tensors ist,
keine höheren als zweite Ableitungen enthält und der in der flachen Raumzeit verschwindet. Die
eindeutige Größe, die man erhält, ist die skalare Krümmung S. Dann formen wir das invariante
Integral
1
I=
16π
Z
p
S − det g d4 x
und variieren bzgl. der Metrik δg. Die Variantion des Integrals ist dann durch
1
δI =
16π
Z
Eµν δg µν
p
− det g d4 x
gegeben. Hierbei ist E der Einstein–Tensor
1
E = Ric − Sg .
2
Aus der Forderung, daß I ein Extremum bzgl. Variationen der Metrik sein soll, folgen die Einsteinschen Feldgleichungen für den leeren Raum
E=0 .
Wenn wir einen Quellterm zulassen, so ergibt sich
E = −T ,
wobei T der Energie–Impuls–Tensor ist. ρ = T (u, u) ergibt gerade die Massen–Energie–Dichte,
die von einem beliebigen Beobachter mit 4–Geschwindigekeit u gesehen wird.
4
4.1
Reine Eichfelder
Elektromagnetische Felder
Das quellenfreie elektromagnetische Feld ist ein Eichfeld mit Eichgruppe U (1). Sei P (M4 , U (1))
ein Hauptfaserbündel über dem Minkowski–Raum M4 . Jedes Hauptfaserbündel über M4 ist trivial: P (M4 , U (1)) = M4 × U (1). Die Lie–Algebra u(1) von U (1) kann man mit iR identifizieren.
Also kann man eine Zusammenhangs–1–Form auf P als iω, ω ∈ Λ1 (P ) schreiben. Das Eichfeld
kann dann als iΩ, Ω ∈ Λ2 (P ) dargestellt werden. Die Bianchi–Identität dΩ = 0 ist eine unmittelbare Konsequenz davon. Das Bündel ad(P ) ist ebenfalls trivial und wir haben ad(P ) = M4 ×u(1).
Also kann das Eichfeld Fω ∈ Λ2 (M4 , ad(P )) auf der Basis M als iF , F ∈ Λ2 (M4 ) geschrieben
werden. Benutzt man die globale Eichung s : M4 → P , s(x) = (x, 1), ∀x ∈ M4 , so kann man
die Zusammmenhangs–1–Form iω von P auf M4 zurückziehen und erhält das Eichpotential
iA = is∗ ω. Man hat also ein globales Potential A ∈ Λ1 (M4 ) und ein dazugehörendes Eichfeld
F = dA. Die Bianchi–Identität dF = 0 für F folgt sofort.
Eine Eichtransformation f ist ein Schnitt von M4 × U (1). Sie ist vollständig bestimmt durch die
Funktion ψ ∈ F(M4 ), so daß
f (x) = (x, eiψ(x) ) ∈ M4 × U (1) ,
x ∈ M4 .
Sei iÃ das Potential nach der Wirkung der Eichtransformation f auf iA. Dann gilt
iÃ = e−iψ (iA)eiψ + e−iψ deiψ =⇒ Ã = A + dψ .
Ein Zusammenhang ω auf P (M, U (1)) heißt Maxwell–Zusammenhang, wenn er die eichinvariante Maxwell–Wirkung AM (ω)
1
AM (ω) = 2
8π
Z
M
|F |2x dνg
minimiert. |F | ist die durch die Lorentz–Metrik auf M4 und dem trivialen inneren Produkt auf
u(1) induzierte pseudo–Norm.
Variieren wir AM (ω) bezüglich ω : ωs = ω + sω̃, so erhält man
d
d
AM (ωs )|s=0 =
ds
ds
Z
=
=
ZM
M
Z
M
|F + sdω̃|2 dνg
|s=0
hF, dω̃idνg
hδF, ω̃idνg ,
woraus sich die Euler–Lagrange–Gleichungen
δF = 0
ergibt. Die Maxwell–Gleichungen für das Vakuum ergeben sich also aus der Bianchi–Identität
und den Euler–Lagrange–Gleichungen der Maxwell–Wirkung.
Sei ψ ein Schnitt eines Vektorbündels auf M mit typischer Faser C und Strukturgruppe U (1)
(man denke an die Schrödingergleichung). Dies ist ein zu P (M, U (1)) assoziertes Bündel mit der
Linkswirkung
g ∈ U (1) ⊂ C .
l(g)z = gz ,
In lokalen Koordinaten ergibt sich dann als kovariante Ableitung
∇µ = ∂µ − ieAµ .
4.2
Yang–Mills–Felder
Sei M eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit und sei P (M, G) ein Hauptfaserbündel über M
mit G als Eichgruppe. Sei ω ein Eichzusammenhang auf P . In einer lokalen Eichung t ∈ Γ(U, P )
erhält man das lokale Eichpotential
At = t∗ ω ∈ Λ1 (U, G) = Λ1 (U, ad(p)) .
Das Eichfeld Fω ist die eindeutige 2–Form auf M mit Werten in ad(P ):
Fω = sΩ ,
wobei Ω die Krümmung des Eichzusammenhangs ω ist. In der lokalen Eichung t können wir
schreiben
1
Fω = dω At = dAt + [At , At ] .
2
Die Yang–Mills–Wirkung AY M ist durch
AY M (ω) =
1
8π
Z
M
|Fω |2x dvg
gegeben. Hierbei ist |...|x die durch die Killing–Form definierte Energie. Die Yang–Mills–
Gleichungen erhält man ganz analog wie bei den elektromagnetischen Feldern aus der Bianchi–
Identität und den Euler–Lagrange–Gleichungen:
dFω = 0
(Bianchi)
δFω = 0
(Euler–Lagrange) .
Die zweite Gleichung ist äquivalent mit d ∗ F = 0, da δ = ± ∗ d∗ gilt. In lokalen orthonormalen
Koordinaten nehmen die Yang–Mills–Gleichungen folgende Form an:
∂Fij
+ [Ai , Fij ] = 0 ,
∂xi
wobei die Komponenten Fij der 2–Form Fω durch
Fij =
∂Aj
∂Ai
− j + [Ai , Aj ]
∂xi
∂x
gegeben sind. Die Yang–Mills–Gleichungen sind also ein System nichtlinearer partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung.
Sei M nun eine kompakte, orientierte Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension 4. Dann sind
spezielle Lösungen durch die sogenannten selbst–dualen (anti–dualen) Lösungen gegeben, die
durch
∗Fω = Fω
(∗Fω = −Fω )
charakterisiert sind. Diese Lösungen werden Instantonen (bzw. anti–Instantonen) genannt.
Wir definieren den selbst–dualen und anti–dualen Anteil von Fω durch:
1
Fω+ := (Fω + ∗Fω ) ,
2
1
Fω− := (Fω − ∗Fω ) .
2
Die Zahl
k := −
1
8π 2
Z
Spur(F ∧ F ) =
M
1
8π 2
Z
M
(|Fω+ |2 − |Fω− |2 )
wird Instantonen–Zahl genannt. Sie entspricht der zweiten Chern–Klasse k = −c2 (P )[M].
Aus
AY M (ω) =
1
8π 2
Z
M
(|Fω+ |2 + |Fω− |2 )
folgt, daß die Instantonen bzw. anti–Instantonen absolute Minima der Yang–Mills–Wirkung
darstellen.
Für k = 1, G = SU (2) wurde eine 5–Parameter–Lösung (4*Ort, 1*Skalierung) von Belavin, Polyakov, Schwarz und Tyupkin (BPST–Instanton, 1975) gefunden. Später wurde von ‘tHooft (1976)
eine 5k–Parameter Lösung (4k*Ort, k*Skalierung) gefunden. Eine (8k − 3) Parameter–Lösung
wurde von Atiyah, Hitchin, Drinfeld und Manin (1978) angegeben. Dies ist die allgemeinste
Lösung, was aus dem Atiyah–Singer–Index Theorem folgt.
Literatur
[1] R. Abraham and J. Marsden, Foundations of Mechanics, W. A. Benjamin, New York, 1980.
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[19] N. E. Steenrod, The Topology of Fibre Bundles, Princeton University Press, Princeton, 1951.
Index
äußerer Differentialoperator, 11
G–Wirkung, 20
äußeres kovariantes Differential, 41
Geodäte, 48
äußeres kovariantes Differential, 44
geschlossen, 12
Gradient, 16
adjungierte Darstellung, 23
Graßmann–Algebra, 8
adjungierte Wirkung, 23
assoziierte Faserbündel, 35
halb–einfach, 31
assoziierte Vektorbündel, 35
Hamilton–Gleichungen, 19
Atlas, 1
hamiltonsch, 19
Atlas mit Rand, 3
Hauptfaserbündel, 32
autoparallel, 48
Hodge–deRham–Operator, 16
Holonomiegruppe, 37
Bündelprojektion, 27
homogener Raum, 21
Bündelraum, 27
horizontal, 36
Bahn, 21
Horizontalbündel, 36
Basis, 27
horizontaler Lift, 37
Bianchi Identität, 44
Bianchi–Identität, 42
Immersion, 6
induzierte Orientierung, 9
Darstellung, 23
innere Multiplikation, 13
Diffeomorphismus, 2
Integralkurve, 9
differenzierbar, 2
Isotropie–Gruppe, 21
differenzierbare Mannigfaltigkeit, 1
differenzierbare Struktur, 1
k–dimensionale Distribution, 31
Divergenz, 16
k–Form, 8
kanonische Koordinaten, 19
effektiv, 21
Karte, 1
Einbettung, 6
Karte mit Rand, 2
Einstein–Tensor, 48
Killing–Form, 31
Einsteinsche Feldgleichungen, 48
koadjungierte Darstellungen, 24
Energie, 31
Kodifferential, 15
exakt, 12
koexakt, 16
Exponentialabbildung, 23
kogeschlossen, 16
Faserbündel, 27
Kommutator, 5
Faserbündel mit Strukturgruppe G, 28
kovariante Ableitung, 44
Frame, 33
Levi–Civita–Zusammenhang, 47
Frame–Bündel, 33
Lie–Ableitung, 10
freie Wirkung, 21
Lie–Algebra, 6
fundamentales Vektorfeld, 34
Lie–Gruppe, 19
Lie–Untergruppe, 20
G-invariant, 21
53
Lift, 36
symplektische Karten, 19
linksinvariant, 22
symplektische Mannigfaltigkeit, 18
lokale Trivialisierung, 27
symplektische Struktur, 18
lokale Trivialitätseigenschaft, 27
lokaler Fluß, 9
lokaler Schnitt, 28
Tangentialbündel, 31
Tangentialraum, 5
Tensorbündel, 7
Mannigfaltigkeit, 1
Tensorfeld, 7
Mannigfaltigkeit mit Rand, 3
tensoriell, 41
Maxwell–Wirkung, 49
Torsion, 46
Maxwell–Zusammenhang, 49
transitiv, 21
metrische Volumenform, 15
triviales Bündel, 27
metrischer Zusammenhang, 47
typische Faser, 27
orientierbar, 8
Übergangsfunktionen, 27
orientierte Mannigfaltigkeit, 8
unitäre Gruppe, 20
Orientierung, 8
Unterbündel, 28
orthogonale Gruppe, 20
Untermannigfaltigkeit, 2
Parallelverschiebung, 43
vertikal, 36
Poissonklammer, 19
Vertikalbündel, 36
Pseudo–Metrik, 14
vertikales Vektorfeld, 34
pseudo–tensoriell, 41
Volumen–Form, 8
Pullback, 9
Pushforward, 6
Rand, 3
reduziertes Unterbündel, 34
reelle symplektische Gruppe, 25
Riemannsche Krümmung, 47
Riemannsche Mannigfaltigkeit, 14
Rotation, 17
Schnitt, 28
Schnittkrümmung, 47
skalare Krümmung, 47
Soldering–Form, 46
spezielle komplexe lineare Gruppe, 20
spezielle orthogonale Gruppe, 20
spezielle reelle lineare Gruppe, 20
spezielle unitäre Gruppe, 20
Struktur–Gleichung, 42
Strukturkonstanten, 23
Submersion, 6
Zusammenhang, 36, 39, 41, 45
Zusammenhangs–1–Form, 37

Die Geometrie von Eichfeldern - Institut für Theoretische Physik I

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