Aufgaben: Algebraische Umformungen

Aufgaben: Algebraische Umformungen
(1) Vereinfachen Sie ggfl. die folgenden Ausdrücke und lösen Sie danach die entsprechenden linearen bzw. quadratischen Gleichungen in der reellen Variablen x:
(a) mit x 6= 1, x 6= 3:
x+1 x+3
+
= −2
x−1 x−3
L = {0, 2}
(b) mit x 6= 1, x 6= 2:
1
1
7
+
=
x−1 x−2
12
L = { 10
, 5}
7
(c) mit a, b > 0
√
√
a + b · x2 − (2a + b)x + a a + b = 0
√
a
L = { √a+b
, a + b}
(2) Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke:
(a) mit a 6= 0, ±1
1 + a
1−a
−
1 − a 3
a
·
+ −a
1+a
4a 4
(b) mit a 6= 0, ±2 (Hinweis: Betrachten Sie den Ausdruck als
Sie A, B, C, D separat)
1+ a1
1
a
·
2 +2
a−2
+ a 2a
2
1
a
a2 + a1
1
a
·
2
2−a
a
2−a
−
+
A C
·
B D
L = {3}
und berechnen
a
2+a
2
2+a
L = {1}
(c) mit a > 0:
1
2
a0,25 + a0,75
2
− a1,5 (1 + a−0,5 )
√
L = { 14 a}
(d) mit m, n 6= 0 und m 6= −n
3mn
− 1−mn
2
3
13(1+mn)
mn
− 3 − 25
6
:
m+n
2m
m+n
2n
−
−
2n
m+n
2m
m+n
L = {m
}
n
1
Aufgaben: Polynomen
(3) Multiplizieren Sie die folgenden Polynome aus:
(a) (x3 − 2x + 4)(3 − 98 x)
− 89 x4 + 3x3 +
(b) (x3 + x2 + 1)(1 − x2 )
√ √
√
(c) ( 4 2x + 2)( 3 2x − √12 )
16 2
x − 86
x+
9
9
5
4
3
12
−x − x + x + 1
2
x + (25/6 − 2−1/4 )x − 1
7/12 2
(4) Berechnen Sie die folgenden Potenzen. Sie
die folgende Formel benutzen,
dürfen
n
n!
wobei n! = n(n − 1)(n − 2) · 2 · 1 und k = k!(n−k!) ist:
n X
n n−k k
n
(a + b) =
a b
k
k=0
(a) 1022 = (100 + 2)2
10.404
(b) (x − 2)3
x3 − 6x2 + 12x − 8
(c) (2x + 1)4
16x4 + 32x3 + 24x2 + 8x + 1
(d) (x + 1)5
x5 + 5x4 + 10x3 + 10x2 + 5x + 1
(5) Führen Sie die folgenden Divisionen mit Rest durch:
(a) 345:16 (Division zwischen ganzen Zahlen)
(b) x3 − x2 + 1 : x + 3
Quotient = 21, Rest = 9
x3 − x2 + 1 = (x2 − 4x + 12)(x + 3) − 35
(c) x3 + 1 : x − 1
x3 + 1 = (x2 + x + 1)(x − 1) + 2
(d) x5 + 5x3 − x : x2
x5 + 5x3 − x = (x3 + 5x)x2 − x
(6) Raten Sie eine Nullstelle der folgenden Polynome:
(a) x3 − 8
3
2
2
(b) x + x + x − 3
1
(c) x3 + 1
−1
(d) x10 + x4
0
(7) Zerlegen Sie die folgenden Polynome mit Hilfe der folgenden bekannten Formeln:
an − 1 = (a − 1)(an−1 + an−2 + . . . + a2 + a + 1)
an − 1 = (a + 1)(an−1 − an−2 + . . . − a2 + a − 1) für n gerade
an + 1 = (a + 1)(an−1 − an−2 + . . . + a2 − a + 1) für n ungerade
(a) 2x2 − 8
2(x + 2)(x − 2)
3
(x − 2)(x2 + 2x + 4)
(b) x − 8
(c) x5 + 32
(x + 2)(x4 − 2x3 + 4x2 − 8x + 16)
(d) a3 x3 − b6
(ax − b2 )(a2 x2 + ab2 x + b4 )
2