Diskretisierungsverfahren für partielle Differentialgleichungen

Diskretisierungsverfahren für
partielle Differentialgleichungen
Hermann G. Matthies
Institut für Wissenschaftliches Rechnen
TU Braunschweig
+
+
Übersicht I
• Herleitung aus Erhaltungssätzen
Differential- und Integralform
Beispiele
• Materialgesetze
Typen von partiellen
Differentialgleichungen (pDgln)
• Anfangs- und Randbedingungen
• Charakteristiken
• Elliptische Gleichungen
typische Lösungen
• Parabolische Gleichungen
typische Lösungen
• Hyperbolische Gleichungen
typische Lösungen
• Dispersionsrelationen
Verallgemeinerungen
+
1
+
+
Übersicht II
• Gewichtete Residuen — Schwache Form
FDM, FVM, FEM, Kollokation,
• Gewichtete Residuen —
Fehlerabschätzungen
• Konvergenz, Konsistenz, Stabilität
• Num. Methoden für parabolische pDgln
explizite — implizite Verfahren
Stabilität, Steifigkeit
• Num. Methoden für die Wellengleichung
explizite — implizite Verfahren
Stabilität, numer. Dispersion
• Num. Methoden für die Transportgleichung
Stromlinien — Upwinding
Stabilität, numer. Diffusion
• Ausblicke , Nichtlineare Probleme
Schwierigkeitsstufen
+
2
+
+
Herleitung
Beispiel Wärmeleitung
Energieerhaltung — Leistungsbilanz
Temperatur T (t, x)
Funktion von Zeit t und Ort x
Änderung der inneren Energie:
∂
(cρ(T )T (t, x)) dV
R1 =
V ∂t
c - Wärmekapazität — ρ - Dichte
Von außen einfließend:
Z
R2 = −
Z
q(T, ∇T )T · n(x) dS
∂V
q(T, ∇T ) - Wärmestrom
Im Inneren erzeugt:
R3 =
Z
V
ρh(t, x, T ) dV
h(t, x, T ) - Leistungsdichte der Erzeugung
Leistungsbilanz: R1 = R2 + R3
+
3
+
+
Bilanzgleichung
Eingesetzt:
∂
(cρT ) dV = −
q T · n dS +
ρh dV
V ∂t
∂V
V
Gaußscher Integralsatz:
Z
Z
Z
∂
(cρT ) dV = −
∇T · q dV +
ρh dV
V ∂t
V
V
Da Kontrollvolumen V beliebig:
Z
Z
Z
∂
(cρT ) + ∇T · q = ρh.
∂t
Allgemein
u - betrachtete Größe
p - Strom/Flux von u
j - Erzeugung/Vernichtung von u
∂u
dV =
u̇ dV
V ∂t
ZV
u̇ dV
Z
Z
V
+
= −
= −
Z
Z∂V
pT · n dS +
∇T · p dS +
V
u̇ = −∇T · p + j
Z
ZV
V
j dV
j dV
4
+
+
Flux-Beschreibung
Wie hängt q von T, ∇T ab?
q = −k∇T
+ v(cρT )
(Diffusion)
(Konvektion)
k - Wärmeleitfähigkeit
v - Strömungsgeschwindigkeit
∂
(cρT ) − ∇T · (k∇T ) + ∇T · (vcρT ) = ρh
∂t
Mit Massenerhaltung
ρ̇ + ∇T · (ρv) = 0
und α = k/(cρ) und η = h/c erhält man:
Ṫ − α∆T + v T · ∇T = η
Allgemeine Konvektions-Diffusionsgleichung:
u̇ + ∇T · p = j
mit p(u, ∇u) = −α∇u + vu
u̇ − ∇T · (α∇u) + ∇T · (vu) = j
Diffusionsgleichung bei v = 0 und
Transportgleichung bei α = 0.
+
5
+
+
Beispiele
Größe
Flux
Erzeugung
Allgemein
u
p
j
Temperatur cρT
−k∇T + v(cρT )
ρh
Masse
ρ
vρ
0
Ladung
%
−ς∇%
0
Stoff
ζ
−D∇ζ + vζ
0
Impuls
ρv
−σ
f
Bei Impulserhaltung, z.B.
w - kleine Auslenkung einer Membran und
v = ẇ - Geschwindigkeit
Spannung σ = µ∇w
ergibt Wellengleichung:
ρẅ − µ∆w = f
Bei Newtonschem Fluid
Spannung σ = µ∇sv
ergibt Navier-Stokes-Gleichung
(mit substantieller Ableitung).
+
6
+
+
Nichtlinearitäten
Die Abhängigkeit von p und j von der Lösung
u wird durch sog. Materialgleichungen beschrieben. Wichtig ist hier der 2. Hauptsatz der Thermodynamik.
Material-Nichtlinearität
p bzw. α, v und j können (nichtlinear) von u
abhängen.
Koeffizienten α können negativ werden (Instabilität), z.B. Entfestigung, Delaminierung, Rißbildung; oder anders lokal (quasistationär) den 2.
Hauptsatz verletzen, z.B. nichtassoziative Plastizität. Führt zu Lokalisierung (starke Lösungsgradienten in kleinen räumlichen Bereichen).
Geschwindigkeit v kann von u abhängen, kann
zu “shocks” führen.
Geometrische Nichtlinearität
Substantielle Ableitung oder Lösungsgebiet Ω
hängt von u ab, z.B. freie Ränder, oder u ist Verformung / Geschwindigkeit. Geometrische Instabilität (Knicken, Beulen etc.), allgem. Lösungsverzweigungen, Umkehrpunkte.
+
7
+
+
Gleichungstypen
Diffusionsgleichung (parabolisch):
u̇ − α∆u = j
Transportgleichung (hyperbolisch):
u̇ + v T · ∇u = j
Advektions-Diffusionsgleichung (parabolisch):
u̇ − α∆u + v T · ∇u = j
Wellengleichung (hyperbolisch):
ẅ + [ν ẇ + κw] − c2∆w = g
Wellengleichung höherer Ordnung
z.B. Platte, Balken (parabolisch!):
ẅ + Φ∆2w = g
Stationäre oder statische Gleichung
wenn ẅ = 0 oder u̇ = 0 (elliptisch):
−α∆u = j oder Φ∆2w = g
+
8
+
+
Anfangs- und Randwerte
Anfangsbedingungen:
(nur im instationären Fall)
Am Anfang u im Gebiet vorgegeben
bei Diffusions- oder Transportgleichung
oder w und ẇ = v vorgegeben
bei Wellengleichung.
Randbedingungen:
bei unendlichem Gebiet:
Verschwinden von u und p im Unendlichen
bei endlichem Gebiet:
Diffusions- und Wellengleichung
am Rand entweder u oder p vorgegeben,
oder eine Kombination aus beiden
für die gesamte betrachtete Zeitdauer;
bei Transportgleichung kann nur
am Einströmrand etwas vorgegeben werden
+
9
+
+
Charakteristiken I
Sei allgemein
Lu = Au,rr + 2Bu,rs + Cu,ss = 0
Sucht man nach Lösungen der Form
u(r, s) = φ(αr + βs)
(Konstant auf der Geraden αr + βs = const)
so erhält man
00
00
00
Lu = Aα2φ + 2Bαβφ + Cβ 2φ = 0
00
Interessanter Fall φ (αr + βs) 6= 0 ⇒
"
α
β
#T
A
B
B
C
!"
#
α
=: Q(α, β) = 0
β
Quadratische Form hat reelle Eigenwerte λ1, λ2
det Q = λ1λ2 = AC − B 2
• det Q > 0 ⇒ keine reellen Lsg. (α, β)
aber zwei konjugiert komplexe
Q = const beschreibt eine Ellipse
• det Q = 0 ⇒ eine reelle Lösung
Q = const beschreibt eine Parabel
• det Q < 0 ⇒ zwei reelle Lösungen
Q = const beschreibt eine Hyperbel
+
10
+
+
Charakteristiken II
• Im hyperbolischen Fall
u(r, s) = φ(α1r + β1s) + ψ(α2r + β2s)
• Im parabolischen Fall
u(r, s) = φ(αr + βs) + (αr + βs)ψ(αr + βs)
• Im elliptischen Fall
u(r, s) = φ(αr + βs) + ψ(α∗r + β ∗s)
Geraden αr+βs = const heißen Charakteristiken
Koorinatentransformationen ξ(r, s) und η(r, s)
ũ(ξ(r, s), η(r, s)) = u(r, s)
Lũ = Ãũ,ξξ + 2B̃ũ,ξη + C̃ũ,ηη + . . .
wobei für neue Koeffizienten gilt:
Ã
B̃
B̃
Ã
!
=
ξr
ηr
ξs
ηs
!T
A
B
B
C
!
ξr
ηr
ξs
ηs
!
2
)
det Q̃ = det Q (det ∂(ξ,η)
∂(r,s)
Vorzeichen unabhängig von Koordinaten
Kurven ζ(r, s) = 0 mit Q(ζr , ζs) = 0 heißen
Charakteristiken
+
11
+
+
Charakteristiken III
Anfangswerte entlang einer Kurve,
gegeben u und ur , us entlang ξ(r, s) = const.
Koordinaten ξ und η entlang ξ(r, s) = const
ũηη zweite “innere” Ableitung aus Daten
ũξξ zweite “äußere” Ableitung aus pDgl
Lũ = Ãũ,ξξ + 2B̃ũ,ξη + C̃ũ,ηη + . . . = 0
Da à = Q(ξr , ξs), so ist pDgl nach ũ,ξξ
auflösbar, falls Kurve keine Charakteristik.
Dann ermitteln aller anderen Ableitungen,
lokale Entwicklung der Lösung in Potenzreihe
(Satz von Cauchy-Kowalewski)
⇒ Über Charakteristik kann
die zweite Ableitung unstetig sein
(schwache Unstetigkeit)
Unstetigkeit der 1. Ableitung oder Funktion
über beliebige Kurven.
+
12
+
+
Stationäre (elliptische) Gleichung
einfachster Fall: Für 0 ≤ x ≤ 1
00
−αu (x) = f (x)
mit Randbedingung: u(0) = u(1) = 0
Lösungsansatz u(x) = sin(kx)
P
oder besser u(x) = bl sin(kl x);
aus Randbedg.: kl = lπ, l ≥ 1.
00
daher −αu (x) = −k2 sin(kx)
Fourier-(Sinus)-Entwicklung von f :
P
f (x) = al sin(lπx)
ergibt für Lösungskoeffizienten: bl = al /(kl2α)
Fourier-Transformation “diagonalisiert” die
partielle Differentialgleichung.
00
Grundlösung (in 1-D): −αG (x, y) = δ(y − x)
G(x, y) = y(1 − x) für 0 ≤ y ≤ x und
G(x, y) = x(1 − y) für x ≤ y ≤ 1
R1
erfüllt: u(x) = 0 G(x, y)f (y)dy.
In 2-D: G(x, y) = ln |x − y|/2π,
in 3-D: G(x, y) = 1/(4π|x − y|).
+
13
+
+
Diffusionsgleichung
einfachster Fall: Für 0 ≤ x ≤ 1
00
u̇(t, x) − αu (t, x) = 0
mit Anfangsbedingung: u(0, x) = u0(x)
und Randbedingung: u(t, 0) = u(t, 1) = 0
Idee Produktansatz u(t, x) = A(x)B(t)
00
A(x)Ḃ(t) − αA (x)B(t) = 0
00
Ḃ(t)
A (x)
−α
=0
B(t)
A(x)
Dies ist nur möglich, wenn
00
Ḃ(t)
A (x)
=α
= −κ2
B(t)
A(x)
−κ2 t
Damit: Ḃ(t) = −κ2B(t) ⇒ B(t) = e
00
und αA (x) = −κ2A(x) ⇒ A(x) = sin √κα x
√
und Eigenwerten κl = lπ α
Lösung
!
2
κ
u(t, x) = sin √ x e−κ t
α
zeitlich abklingende räumliche Welle
+
14
+
+
Besondere Lösungen
Jede Linearkombination ist auch Lösung:
u(t, x) =
∞
X
al Al (x)Bl (t) =
l=1
∞
X
2
κ
al e−κl t sin √ l x
α
l=1
!
Kurzwellige Komponenten klingen schneller ab!
Andere Darstellung mit Grundlösung:
(für Gebiet −∞ < x < +∞)
G(t, x) = √
1
exp
4απt
−x2
!
4αt
(Lösung für u0(x) = δ(x))
Eigenschaften:
Z +∞
−∞
G(t, x) dx = 1
und
lim
Z +∞
t→+0 −∞
+
G(t, x)g(x) dx = g(0)
15
+
+
Grundlösung
Damit Darstellung:
u(t, x) = √
Z +∞
1
u0(ξ) exp
4απt −∞
−(x − ξ)2
!
4αt
dξ
Qualitative Eigenschaften:
• Störungen breiten sich unendlich schnell aus
• Falls u0(x) > 0, so ist auch u(t, x) > 0
• Lösungen kontrahieren,
Gleichung ist dissipativ
• Kurzwellige Komponenten
klingen schneller ab
Zwei Lösungen u1 und u2, φ = u1 − u2:
1 d R +∞ kφ(t, x)k2 dx = R φ̇φ dx
2 dt −∞
R
α (∆φ)φ dx
+
=
= −α (∇φ)2 dx < 0
R
16
+
+
Transportgleichung
einfachster Fall: Für −∞ ≤ x ≤ ∞
0
u̇(t, x) + vu (t, x) = 0
mit Anfangsbedingung: u(0, x) = u0(x)
Idee Produktansatz u(t, x) = A(x)B(t)
0
A(x)Ḃ(t) + vA (x)B(t) = 0
0
Ḃ(t)
A (x)
+v
=0
B(t)
A(x)
Dies ist nur möglich, wenn
0
Ḃ(t)
A (x)
= −v
= κ = −ikv
B(t)
A(x)
Damit: Ḃ(t) = κB(t) ⇒ B(t) = eκt = e−ikvt
0
und A (x) = ikA(x) ⇒ A(x) = eikx
Mit Dispersionsrelation ω(k) = kv (k = 2π/λ)
u(t, x) = eik(x−vt) = ei(kx−ω(k)t)
zeitliche und räumliche Welle
Allgemeine Lösung z.B. durch Überlagerung
(Fourier-Integral)
+
17
+
+
Lösungseigenschaften
Man sieht allgemeine Lösung:
u(t, x) = u0(x − vt)
• Störungen breiten sich mit
endlicher Geschwindigkeit v aus
( Charakteristiken x − vt = const. )
• Energieerhaltung:
Abstand zweier Lösungen bleibt konstant
• Falls u0(x) > 0, so ist auch u(t, x) > 0
Zwei Lösungen u1 und u2, φ = u1 − u2:
1 d R +∞ kφ(t, x)k2 dx = R φ̇φ dx
2 dt −∞
R
0
−v φ φ dx
R
=
0
= v φφ dx = 0
v kann von u abhängen
Überschneiden von Charakteristiken
führt zu “shocks”
+
18
+
+
Erhaltungsgleichungen
Gleichungen in Erhaltungsform:
∂ u(t, x) + ∂ f (u(t, x)) = h(u).
∂t
∂x
Sieht für u(t, x(t)) aus wie
d u(t, x(t)) = ∂ u(t, x(t)) + ∂ u(t, x(t))ẋ(t)
dt
∂t
∂x
0
Hyperbolisch wenn f (u) reell diagonalisierbar;
Eigenwerte = Ausbreitungsgeschwindigkeiten.
Gleichung für Charakteristiken:
0
ẋ(t) = f (u)
u̇(t) = h(u)
Hieraus Charakteristikenmethode als Verfahren:
Schwache
Lösung: (für iglatte ϕ):
R∞R h ∂
∂
0 Ω uR∂t ϕ + f (u) ∂x ϕ dx dt =
− Ω ϕ(0, x)u0(x) dx
Bei Unstetigkeit / shock:
Rankine-Hugeniot-Sprungbedingung
ẋ(t)(u+ − u−) = f+ − f−
Nicht unbedingt eindeutig,
daher Entropiebedingung
0
0
f (u−) > ẋ(t) > f (u+)
+
19
+
+
Wellengleichung
einfachster Fall: Für 0 ≤ x ≤ 1
00
2
ü(t, x) − c u (t, x) = 0
mit Anfangsbedingungen:
0
u(0, x) = u0(x) sowie u (0, x) = v0(x)
und Randbedingung: u(t, 0) = u(t, 1) = 0
Idee Produktansatz u(t, x) = A(x)B(t)
00
A(x)B̈(t) − c2A (x)B(t) = 0
00
A (x)
B̈(t)
2
−c
=0
B(t)
A(x)
Dies ist nur möglich, wenn
00
A (x)
B̈(t)
= c2
= −ω 2
B(t)
A(x)
Damit: B̈(t) = −ω 2B(t) ⇒ B(t) = eiωt 00
und c2A (x) = −ω 2A(x) ⇒ A(x) = sin ωc x
und Eigenwerten ωl = lπc
Mit Dispersionsrelation ω(k) = ±ck
ω
u±(t, x) = sin
x eiωt = sin(±kx)eiωt
c
zeitliche und räumliche Welle
+
20
+
+
Allgemeine Lösung
Jede Linearkombination ist auch Lösung.
Lösung erfüllt Randbedingungen.
Anfangsbedingung durch Fourier(Sinus)-Analyse
u0(x) =
∞
X
al sin(kl x)
l=1
Umschreiben der Gleichung:
∂2
∂2
!
∂
∂
2
−c
u=
−c
2
2
∂t
∂x
∂t
∂x
∂
∂
+c
u = 0,
∂t
∂x
Produkt von Transportgleichungen.
Schreibweise als Transportgleichung:
"
∂
u̇
0
∂t cu
#
=
0
c
c
0
!
"
∂
u̇
0
∂x cu
#
Allgemeine Lösung (für −∞ ≤ x ≤ ∞):
u(t, x) = F+(x + ct) + F−(x − ct)
Anfangsbed. u(0, x) = u0(x) = F+(x) + F−(x)
0
und u̇(0, x) = v0(x) = c(F+(x) − F−0(x))
Andere
Schreibweise: u(t, x) =
h
i
1 u (x − ct) + u (x + ct) + R x+ct v0 (ξ) dξ
0
0
x−ct
2
c
+
21
+
+
Impulslösung
Lösung für u0(x) = δ(x):
1
u(t, x) = [δ(x + ct) + δ(x − ct)]
2
Zwei scharfe Fronten!
Ähnlich in 3 Dimensionen: (r2 = x2 + y 2 + z 2)
∂u
1 ∂
2
2
2
r
+ ... ;
ü = c ∆u = c
2
r ∂r
∂r
äquivalent mit
∂2
∂2
2
(ru) = c
(ru),
2
2
∂t
∂r
d.h. Lösung für u0(r) = δ(r) = δ(x)δ(y)δ(z) ist:
1
u(t, (x, y, z)) = u(t, r) =
[δ(r + ct) + δ(r − ct)]
2r
(Huygens’sches Prinzip)
gilt nicht in 2 Dimensionen!
denn mit r 2 = x2 + y 2
1∂
∂u
ü = c2∆u = c2
r
+ ... .
r ∂r
∂r
+
22
+
+
Qualitative Eigenschaften
• Störungen breiten sich mit
endlicher Geschwindigkeit ±c aus
Charakteristiken x − ct = const. und
x + ct = const.
• Einflußbereich von
x − ct bis x + ct
• Energieerhaltung:
Abstand zweier Lösungen bleibt konstant,
da Produkt zweier Transportgleichungen
Zwei Lösungen u1 und u2, φ = u1 − u2:
1 d R +∞ (kφ̇(t, x)k2
2 dt −∞
0 0
0
+kcφ(t, x) k2) dx
00
0 0
= (φ̇φ̈ + c2φ̇ φ ) dx = c2 (φ̇φ + φ̇ φ ) dx
R d
0
0 (φ̇φ ) dx
= c2(φ̇φ ) +∞
= c2 dx
−∞ = 0
R
+
R
23
+
+
Gruppengeschwindigkeit
Zeitlich-räumliche Welle u = ei(kx−ωt)
Phasengeschwindigkeit:
ω(k)
=: cp(k)
k
u(t, x) = exp(i(kx − ωt)) = exp(ik(x −
ω(k)
t))
k
Gruppengeschwindigkeit:
dω(k)
=: cg (k)
dk
Zwei benachbarte Wellen (eine Gruppe)
exp(i(kx − ωt)) und
exp(i((k + δk)x − (ω + δω)t)) überlagert:
exp(i(kx − ωt)) [1 + exp(i(δkx − δωt))]
Hochfrequente Welle mit Klammer moduliert.
Klammer ist maximal (2) wenn δk x = δω t
x
δω
dω(k)
=
≈
= cg
t
δk
dk
Mit Gruppengeschwindigkeit wird
Energie/Information transportiert.
+
24
+
+
Dispersionsrelationen I
Beispiel elastisch unterstützte Saite
00
ü − c2u + κu = f
Ansatz u(t, x) = exp(i(kx − ωt)) für f = 0
2
2 2
Einsetzen ergibt
q −ω + c k + κ = 0
d.h. ω(k) = ± c2k2 + κ
ω hängt nichtlinear von k ab,
√
und ω(0) = κ 6= 0
κ
ω(k)
= cp(k) = c 1 + 2 2 > c,
k
c k
limk→∞ cp(k) = c und limk→0 cp(k) = ∞.
r
c
dω(k)
= cg (k) = q
< c < cp(k),
κ
dk
1 + c2 k 2
limk→∞ cg (k) = c und limk→0 cg (k) = 0.
Informationstransport beschränkt schnell,
darum hyperbolisch
+
25
+
+
Dispersionsrelationen II
Beispiel Balkenschwingung
ü + ΦuIV = f
Ansatz u(t, x) = exp(i(kx − ωt)) für f = 0
Einsetzen ergibt −ω 2 + Φk4 = 0
d.h. ω(k) = ±Φk2
ω hängt nichtlinear von k ab.
ω(k)
= cp(k) = Φk
k
limk→∞ cp(k) = ∞ und limk→0 cp(k) = 0.
dω(k)
= cg (k) = 2Φk = 2cp(k)
dk
limk→∞ cg (k) = ∞ und limk→0 cg (k) = 0.
Informationstransport beliebig schnell,
darum parabolisch
+
26
+
+
Verallgemeinerungen I
Diffusionsgleichung (parabolische pDgl)
u̇(t, x) − α∆u(t, x) = f (t, x)
stellvertretend für u̇ + Au = f
mit selbstadjungiertem positiv definitem
Differentialoperator A(= −α∆)
Bei gewöhnlichen Dgl entspricht dem
u̇ + Au = f mit
symmetrischer positiv definiter Matrix A
Transportgleichung (hyperbolische pDgl)
u̇(t, x) + (v T · ∇)u(t, x) = f (t, x)
stellvertretend für u̇ + Su = f
mit schiefsymmetrischem
Differentialoperator S(= (v T · ∇))
Bei gewöhnlichen Dgl entspricht dem
u̇ + Su = f mit
schiefsymmetrischer Matrix S
Diffusiver und konvektiver Transport
können zusammen vorhanden sein:
Mischformen
+
27
+
+
Verallgemeinerungen II
Wellengleichung (hyperbolische pDgl)
ü(t, x) − c2∆u(t, x) = f (t, x)
stellvertretend für ü + Au = f
mit selbstadjungiertem positiv definitem
Differentialoperator A(= −c2∆)
Bei gewöhnlichen Dgl entspricht dem
ü + Au = f mit
symmetrischer positiv definiter Matrix A
Umformulieren in System 1. Ordnung:
A
0
0
I
!
"
#
∂ u
+
∂t v
0
−A
A
0
!"
#
"
u
0
=
v
f
#
entspricht verallgemeinerter Transportgleichung
Mẇ + Sw = g
mit symmetrischer positiv definiter Matrix M,
und schiefsymmetrischer Matrix S
Operatoren A, S bzw. A, S und M können auch
nichtlinear sein.
+
28
+
+
Anforderungen an Diskretisierung
Minimalforderungen
Konvergenz ⇔ Konsistenz und Stabilität
Wünschenswert
Genauigkeit und Effektivität
Qualitative Eigenschaften
• Positivität
• Kontraktivität bei dissipativer Gl.
• richtiges Verhältnis Diffusion /
Konvektion (Péclet-Zahl)
• richtige Ausbreitungsgescwindigkeit
Phasen- bzw. Gruppengeschwindigkeit
Dispersionsrelation
• Energieerhaltung bei konservativer Gl.
+
29
+
+
Finite Differenzen (FDM)
Gebiet Ω wird mit (meist zumindestens logisch)
gleichmäßigem Gitter überzogen. Differentialqoutienten werden an jedem Gitterpunkt durch Differenzenquotienten ersetzt:
Vorwärts genommene Differenz:
∂u + O(h)
=
4hu := u(s+h)−u(s)
h
∂s
Rückwärts genommene Differenz:
∂u + O(h)
∇hu := u(s)−u(s−h)
=
h
∂s
Zentrale Differenz:
1 4 u + ∇ u := u(s+h)−u(s−h) = ∂u + O(h2 )
h )
2( h
2h
∂s
Zweite zentrale Differenz:
∂ 2 u + O(h2 )
+
4h∇hu := u(s+h)−2u(s)+u(s−h)
h2
∂s2
Fünf-Punkte-Stern:
∆u = (4h,r ∇h,r + 4h,s∇h,s)u + O(h2)
Im Vordergrund stehen Gitterpunkte, nicht damit assoziierte “Kästchen” (Elemente, Volumina) oder Kanten. Entsprechend ist FDM-Software
aufgebaut.
Wird sehr umständlich für “krumme” Ränder
und / oder hohe Genauigkeit.
+
30
+
+
Gewichtete Residuen
Wärmeleitung in Ω aus Bilanzgleichung
Differentialform: u̇ − α∆u + v T · ∇u = f˜ in Ω;
nT · ∇u = fˆhauf Γn
i
T
Residuum u̇ − α∆u + v · ∇u − f˜
mit w gewichtet:
R
Ω
h
i
u̇ − α∆u + v T · ∇u − f˜ w dV = 0
(∗)
u muß alle Randbedingungen erfüllen.
Partielle Integration:
R
R
T
∇w dV + Ω v T · ∇u wdV =
Ω u̇w dV + Ω α(∇u)
R
R
ˆ
˜
(∗∗)
Ω f w dV + Γn f w dS
R
u muß nur wesentliche (essentielle / kinematische) Randbedingungen erfüllen, natürliche (dynamische) Randbedingungen ergeben sich für
die Lösung von selbst.
+
31
+
+
Schwache Form
Schreibweise als Skalarprodukt
R
v(x)w(x) dV =: hv, wi und
Ω
R
R
˜
ˆ
f
(x)w(x)
dV
+
Ω
Γn f (x)w(x) dS =: hf |wi
Demnach starke
∀w hu̇, wi + hAu, wi = hf |wi
(∗)
oder schwache Form
∀w hu̇, wi + a(u, w) = hf |wi
(∗∗)
der Operatordifferentialgleichung u̇ + Au = f
Bilinearform a(v, w) ensteht aus
R
partieller Integration von (Av)w dV .
Produkt-Ansatz für
P
u(t, x) ≈ uh(t, x) = aj (t)ϕj (x)
wird Gleichung nicht erfüllen.
Gleichung (*) oder (**) muß nur für endlich
viele Testfunktionen ψk (x) gelten:
∀k hu̇h, ψk i + a(uh, ψk ) = hf |ψk i
(∗h)
∀k hu̇h, ψk i + hAuh, ψk i = hf |ψk i
(∗∗h)
+
32
+
+
Diskrete Gleichungen
Bei N Ansatzfunktionen ϕj , j = 1, . . . , N
und N Testfunktionen ψk , k = 1, . . . , N
(räumlicher Teil der Diskretisierung)
erhält man System gew. Dgl. in t:
MU̇ (t) + AU (t) = F (t),
mit
U (t) = [. . . , aj (t), . . .]T , F (t) = [. . . , hf, ψk i, . . .]T
und Steifigkeits- und Massenmatrix
Akj = a(ϕj , ψk ), Mkj = hϕj , ψk i bzw.
Akj = hAϕj , ψk i Mkj = hϕj , ψk i
Massenmatrix wird oft diagonal vereinfacht
(mass lumping)
Im stationären Fall: AU = F.
Mögliche Ansatzfunktionen ϕj :
• globale Funktionen, z.B. sin(jx), xj etc.
(klassischer Galerkin-Ansatz)
• Finite Elemente (FEM) —
stückw. Polynome
• klassische Galerkin Ansätze auf Teilgebieten
(Elementen) — spektrale Elemente
+
33
+
+
Testfunktionen
Mögliche Testfunktionen ψk :
• ähnlich wie Ansatzfunktionen
⇒ Petrov-Galerkin-Verfahren
• Ansatzfunktionen ψk = ϕk
Galerkin-Bubnov bzw. Ritz-Galerkin-Verf.
⇒ klassische FEM
• Delta Funktionen δ(xk ) — Kollokation
mit spektralen Elementen
⇒ Spektralverfahren
• Charakteristische Funktionen ψk = χvk
Gebietskollokation —
mit FEM-Ansatz
⇒ Finite Volumen Methode (FVM)
• ψk = Aϕk ⇒ kleinste Fehlerquadrate
• Kombination aus ϕk und Aϕk
+
34
+
+
Finite Volumen (FVM)
Finite Volumen Methode = Gebietskollokation
und stückweise Polynome (FE-Ansätze)
In (∗h) wähle ψ = χV (charakteristische Funktion eines Kontrollvolumens V ⊂⊂ Ω), Gauß’schen
Satz anwenden:
Z
V
u̇ dV −
Z
∂V
(α(∇u) + uv )T · n dS =
Z
V
f˜dV
erfüllt diskrete Erhaltungsgleichung.
Für u kann nun ein geeigneter Ansatz gewählt
werden. Weitere Näherungen nötig zur “Rekonstruktion” der Flüsse. Hiervon hängt Verfahren
entscheidend ab, insbesondere bei Konvektionstermen (Schlagworte:
ENO — “essentially no oscillation”;
TVD — “total variation diminishing”)
(Bill Morton: “All we need is to recover.”)
R
Häufige Approximation: V φ dV ≈ φ(xc)vol(V )
Im Vordergrund stehen Volumen und ihre Ränder.
Entsprechend ist FVM-Software aufgebaut.
+
35
+
+
Kollokation / Spektralverfahren
Testfunktionen sind Deltafunktionen
⇒ in Kollokationspunkten gilt pDGl. exakt.
In (∗h) wähle ψk = δxk
∀k
u̇(xk ) − α∆u(xk ) + v(xk )T · ∇u(xk ) = f˜(xk )
Für u kann nun ein geeigneter Ansatz gewählt
werden. Er muß sehr glatt sein, damit δxk auf
eine stetige Funktion wirkt. Beliebt sind Polynome oder andere glatte Funktionen, z.B. Funktionen die schnelle Transformation in neue Basis
ermöglichen — Fourier, Čebyšev ... ⇒ spektrale
Verfahren.
Stückweise auf Teilgebieten
⇒ spektrale Elemente
Im Vordergrund stehen die Kollokationspunkte
und Definitionspunkte für Ansatzfunktionen.
+
36
+
+
Finite Elemente (FEM)
Finite Elemente Methode = stückweise PolynoS
me auf Teilgebieten (Elementen) Ω = Ωh
In (∗∗h) wähle ψk = ϕk :
Z
Ω
u̇ϕk dV +
Z
Ω
(−α∆u+v T·∇u)ϕk dV =
Z
Ω
f˜ϕk dV
erfüllt pDgl. im gewichteten Mittel.
Integrale werden “elementweise” berechnet
R
PR
Ω φ dV =
Ωh φ dV
Integrationen werden auf ein “Urelement” transformiert und numerisch ausgeführt. Transformation kann dieselben Ansatzfunktionen benutzen
⇒ Isoparametrische Elemente.
Im Vordergrund stehen die Elemente.
Entsprechend ist FEM-Software aufgebaut.
+
37
+
+
Fehlerabschätzungen
FDM ⇒ klassische Taylor-Entwicklung
Lösung muß sehr glatt sein.
Gewichtete Residuen können mit
funktionalanalytischen Methoden abgeschätzt
werden.
Lösung ist aus einem Unterraum
k
VN ⊂ V = Wp(E)
(Ω), mit VN = span{ϕk }
z.B. für −∆u = f˜, nT · ∇u = fˆ
1
1 (Ω).
aus W2(E)
(Ω) = HE
Oft gilt zusätzliche Regularität, z.B.
f˜ ∈ H s(Ω), fˆ ∈ H (s+1/2)(∂Ω) ⇒ u ∈ H s+2(Ω)
Sei u exakte, uh approximative Lösung; Ziel ist:
ku − uhkr ≤ C inf{ku − vhkr : vh ∈ VN }
Sei Ph orthogonale Projektion auf VN ,
(Ph∗ = Ph), so ist
hAϕk , ϕj i = hAPhϕk , Phϕj i = hPhAPhϕk , ϕj i
d.h. es wird die Gleichung
PhAPhuh = Phf in VN gelöst. ⇒
uh = (PhAPh)−1Phf
+
38
+
+
Konvergenz, Konsistenz, Stabilität
Numerische Folklore:
Konvergenz ⇔ Konsistenz und Stabilität
Konsistenz:
inf{ku − vhkr : vh ∈ VN } → 0 (N → ∞) — h → 0
∀v ∈ V : kv − Phvk → 0 (N → ∞)
Stabilität: Für Rh = (PhAPh)−1 gilt:
kRhk ≤ C unabhängig von h.
Für selbstadj. pos. def. Operatoren erfüllt.
Konvergenz:
ku − uhkr → 0 (N → ∞) — h → 0
Es gilt: PhAPhuh = Phf und Au = f .
A ist stetige (beschränkte) Abb. A : V → V ∗
⇒ PhAPhu + PhA(u − Phu) = Phf
⇒ u + RhPhA(u − Phu) = RhPhf = uh
⇒ ku − uhk = kRhPhA(u − Phu)k
≤ kRhkkPhkkAkku − Phuk ≤ CkAkku − Phuk → 0
Umkehrung gilt auch.
+
39
+
+
Approximationsfehler
VN enthalte vollständige Polynome des Grades
k. Dann ist
kv − Phvks = O(hk+1−s)
Genauer gilt bei Petrov-Galerkin-Verfahren:
Sei A ein Diff.-Operator der Ordnung 2m, und
enthält WN = span{ψk } vollständige Polynome
vom Grade l, so ist
ku − uhks = O(hk+1−s) + O(hk+l−2(m−1))
Numerische Integration sollte gleiche Genauigkeit haben.
hp-Methode: Man läßt h → 0 und k → ∞. Meist
wird dies adaptiv gemacht, dazu braucht man
a posteriori Fehlerschätzer, beruhen häufig auf
einer Norm des Residuums.
Spektrale Verfahren (und auch hp-Methode)
können exponentielle Konvergenz erzielen:
ku − uhks = O(exp(−a/hj ))
+
40
+
+
Randapproximation
Betrachte −∆u = f :
am Rand polygonale Approximation ⇒
ku − uhk1 ≤ O(h3/2)
ku − uhk0 ≤ O(h2)
am Rand stückweise konstante
Approximation (durch Rechtecke): ⇒
ku − uhk1 ≤ O(h1/2)
ku − uhk0 ≤ O(h1)
am Rand stückweise quadratische
Approximation ⇒
ku − uhk1 ≤ O(h2)
ku − uhk0 ≤ O(h3)
+
41
+
+
Gleichungssysteme
Wir erhalten mit der Linienmethode:
MU̇ + AU = F ⇒ U̇ = Υ(t, U ) = M−1(F − AU )
MÜ + AU = F ⇒ Ü = Υ(t, U ) = M−1(F − AU )
MU̇ + SU = F ⇒ U̇ = Υ̂(t, U ) = M−1(F − SU )
(großes) semidiskretes System gew. Dgl.
Methoden für gew. Dgl. verwenden ?
in gewisser Hinsicht o.k., aber
qualitative Eigenschaften!
Wir wollen nicht semidiskretes System genau
lösen, sondern die partielle Dgl. Hohe zeitliche
Auflösung macht nur Sinn mit gleichzeitiger
hoher räumlicher Auflösung.
Matrizen ändern sich mit räumlicher Auflösung
⇒ Theorie für numer. Methoden für gew. Dgl.
nur beschränkt anwendbar.
+
42
+
+
Näherungsverfahren
Allgemeine Form (mit τ = ∆t):
1
(Uj+1 − Uj ) = Ψ(jτ, Uj+1, . . . , Uj+1−s, τ )
τ
Konvergenzordnung p: Uj = U (jτ ) + O(τ p)
Beispiele
• Polygonzugverfahren (Euler vorwärts):
1 (U
j+1 − Uj ) = Υ(jτ, Uj ).
τ
• Implizites Eulerverfahren (Euler rückwärts):
1 (U
j+1 − Uj ) = Υ(jτ, Uj+1 ).
τ
• Implizites Tangententrapez-Verfahren:
(Mittelpunkts-Regel für θ = 1/2)
1 (U
j+1 − Uj )
τ
= Υ (j + θ)τ, (1 − θ)Uj + θUj+1
• Sehnentrapez-Verfahren:
(Crank-Nicolson Verfahren für θ = 1/2)
1 (U
j+1 − Uj )
τ
= (1 − θ)Υ jτ, Uj + θΥ (j + 1)τ, Uj+1
+
43
+
+
Modalanalyse I
Für lineare Gleichungen
Diskretes System ist
MU̇ (t) + AU (t) = F (t)
gewöhnl. Dgl. in t
mit konstanten Koeffizienten.
Exponentielle Lösung für F = 0
U (t) = e−λtV
Einsetzen liefert:
AV = λMV
d.h. (λ, V ) müssen Eigenpaar sein
Bei geeigneter Diskretisierung
sind A und M symmetrisch positiv definit.
Es gibt vollständigen Satz
M-orthonormaler Eigenvektoren(Moden) Vm:
VjT · MVk = δjk und VjT · AVk = λj δjk > 0
PL
Ansatz U (t) = m=1 ξm(t)Vm
Meist kann L N sein.
+
44
+
+
Modalanalyse II
In die Gleichung eingesetzt:
X
ξ̇m(t)MVm + ξm(t)AVm = F (t)
m
Skalarprodukt mit Vm gibt für alle m
T · F (t).
ξ̇m(t) + λmξm(t) = φm := Vm
Dies sind L entkoppelte skalare Gleichungen.
Ähnlich bei
MÜ (t) + AU (t) = F (t)
Ansatz für F = 0: U (t) = eiωtV
Einsetzen liefert:
AV = ω 2MV
d.h. (ω 2, V ) müssen Eigenpaar sein
Ebenso ähnlich bei
MU̇ (t) + SU (t) = F (t)
(imaginäre Eigenwerte!)
+
45
+
+
Parabolische Gleichungen
Einfachster Fall: Für 0 ≤ x ≤ 1
00
u̇(t, x) − αu (t, x) = 0
mit Anfangsbedingung: u(0, x) = u0(x)
und Randbedingung: u(t, 0) = u(t, 1) = 0
Räumliche Diskretisierung mit zentralen
Differenzen oder linearen finiten Elementen
führt auf gew. Dgl. (mit h := ∆x):
α
U̇ = − 2 AU,
h
wobei


2
−1
0
...
0


2
−1
 −1



 0

... ... ...


A= .
;
 ..






−1
2
−1 
0
...
0
−1
2
Eigenwerte von (α/h2)A wachsen wie O(h−2)!
Beide θ-Verfahren ergeben mit τ := ∆t:
i
τ h
Uj+1 = −α 2 (1 − θ)AUj + θAUj+1 + Uj ,
h
und mit ν = ατ /h2:
(I + νθA)Uj+1 = (I − ν(1 − θ)A)Uj
+
46
+
+
Stabilitätsanalyse
von Neumann Stabilitätsanalyse
Auch hier hilft Exponentialansatz:
Uj,n = Gj exp(inkh)
(Wellenzahl k = 0 . . . 2π/2h = πN )
Frage: Ist |G| < 1 ? (stabile Lösung)
Frage: Ist G > 0 ? (nicht oszillierende Lösung)
Man erhält
4ν sin2(kh/2)
G=1−
.
2
1 + 4θν sin (kh/2)
Für ν > 0 ist immer G ≤ 1.
1 .
G > 0 (keine Oszillation) für ν < 4−4θ
1 .
Für θ < 1/2 stabile Lösung für ν < 2−4θ
Für θ ≥ 1/2 ist die Lösung immer stabil.
Für θ > 0 ist Verfahren implizit,
hat unendliche Ausbreitungsgeschwindigkeit.
Für θ < 1/2 Verfahren bedingt stabil
(Begrenzung für τ ),
für θ ≥ 1/2 unbedingt stabil
(keine Begrenzung für τ ).
+
47
+
+
Steifigkeit
Allgemeiner für Modalgleichung (Testgleichung)
ξ̇(t) = −λξ(t)
Da A positiv definit ⇒ λ > 0. Bei feinerer
räumlicher Diskretisierung λmax → ∞
Wie verhalten sich Näherungsverfahren?
Modalgleichungen haben Lösungen wie
ξ(t) = Ce−λt
Schnell abklingende (steife) Lösungen
Numerische Lösung soll qualitativ
wie exakte Lösung sein.
Lösung der Testgleichung mit Trapezregel:
ξj+1 = ξj − τ λ((1 − θ)ξj + θξj + 1)
und demnach mit z = −λτ
1 + (1 − θ)z
ξj+1 =
ξj = R(z)ξj = Rj (z)ξ1
1 − θz
+
48
+
+
Absolute Stabilität
R ⊂ C Gebiet der absoluten Stabilität,
wenn für z ∈ R : ∀j : kξj k ≤ C.
Verfahren heißt nullstabil wenn 0 ∈ R
(Notwendig für Konvergenz)
z ∈ R ⇔ |R(z)| ≤ 1
Verfahren absolut stabil (A-stabil), falls
{z ∈ C : Re(z) ≤ 0} ⊂ R
Wenn zeitkontinuierliche Lösung abklingt, dann
auch die zeitdiskrete.
Anwendung A-stabiler Verfahren auf parabolische Gl. ergibt unbedingt stabile Verfahren, τ
kann unabhängig von der räumlichen Diskretisierung gewählt werden.
+
49
+
+
A-Stabilität
Implizit Euler ist A-stabil,
Explizit Euler nicht.
Trapezregeln sind A-stabil für θ ≥ 1/2
A-stabiles Mehrschrittverfahren
hat Ordnung p ≤ 2.
Explizite Runge-Kutta-Verfahren
sind nicht A-stabil.
Explizite Mehrschrittverfahren
sind nicht A-stabil.
+
50
+
+
L-Stabilität
Bei RK-Verfahren für Testgleichung:
ξj+1 = R(z)ξj ⇒ ξj = R(z)j ξ0
A-stabiles RK-Verfahren ist L-stabil, falls
lim
Re(z)→−∞
|R(z)| = 0
d.h. kurzwellige Anteile werden schneller gedämpft
(verschwinden nach einigen Schritten).
Euler implizit ist L-stabil.
Trapezregeln sind nicht L-stabil.
(für kein θ < 1)
+
51
+
+
B-Stabilität
Falls für je zwei Lösungen V, W
des Systems Ẇ = Υ(t, W ) gilt:
∀t̃ ≥ t :
kV (t̃) − W (t̃)k ≤ kV (t) − W (t)k
dann heißen die Lösungen kontraktiv.
Dgl. Ẇ = Υ(t, W ) heißt dissipativ, falls
∀(t, V, W ) (Υ(t, V ) − Υ(t, W ))T · (V − W ) ≤ 0
Parabolische Gleichungen sind dissipativ,
die Lösungen kontraktiv.
Lineare Testgleichung unzureichend.
Nichtlinearitäten erfordern B-Stabilität
B-Stabilität
Exakte Lösung kontraktiv
⇒ Numerische Lösung kontraktiv
Tangententrapezregel ist für θ > 1/2
B-stabil (also auch Euler implizit)
+
52
+
+
Explizit - Implizit Parabolisch
Explizite Verfahren sind sehr einfach,
(und sicher) keine Gleichungslösung,
keine Konvergenzprobleme.
Aber Zeitschritt wird von Stabilität diktiert.
Positivität / keine Oszillation
noch schärfere Grenzen
Implizite Verfahren brauchen Gleichgs.löser,
steife Probleme — Newton-ähnliche
Verfahren im nichtlinearen Fall.
Implizite Verfahren können A-, L- und B-stabil
sein (implizit Euler) — bessere Dämpfung
kurzwelliger Anteile, Kontraktivität —
explizite Verfahren nicht
Implizite Verfahren haben unendl.
Ausbreitungsgeschwindigkeit, explizite nicht.
Explizite Verfahren brauchen “mass lumping”
+
53
+
+
Wellen/Schwingungsgleichungen
Einfachster Fall: Für 0 ≤ x ≤ 1
00
ü(t, x) − c2u (t, x) = 0
mit Anfangsbedingung . . .
und Randbedingung: u(t, 0) = u(t, 1) = 0
Räumliche Diskretisierung wie bei
parabolischer Gleichung führt auf:
c2
Ü = − 2 AU.
h
Eigenwerte von (c2/h2)A sind wie O(h−2)!
Bei diesen part. Dgl. wird meist das
semidiskrete System nicht in ein doppelt
großes erster Ordnung umgewandelt.
Zentraler Differenzenquotient:
Zeitschrittweite τ :
Ün(t) ≈
+
Un(t + τ ) − 2Un(t) + Un(t − τ )
τ2
54
+
+
Zentrale Differenzen
Ergibt insgesamt mit Uj ≈ U (jτ ):
Uj+1 = −r2AUj + Uj−1
mit der Courant-Zahl r = cτ /h
das zentrale Differenzen Verfahren.
von Neumann Stabilitätsanalyse
Auch hier hilft Exponentialansatz:
Uj,n = Gj exp(inkh)
(Wellenzahl k = 0 . . . 2π/2h = πN )
Einsetzen und ausrechnen liefert:
G + G−1 = 2 − 4r 2 sin2(kh/2)
|G| < 1 erfordert für reelle k (Wellen)
r2 <
1
⇒ |G| = 1
2
sin (kh/2)
immer erfüllt für r = cτ /h < 1.
Courant-Friedrichs-Lewy-(CFL)-Bedingung
Die Welle darf in einem Zeitschritt nicht weiter
als bis ins nächste Element kommen.
+
55
+
+
Numerische Dispersion
Schreibt man Gj = exp(−ijωτ ), so erhält man
cos(ωτ ) = 1 − r 2(1 − cos(kh)).
Hieraus dann ωnum(k), hängt von r ab!
⇒ Numerische Dispersion!
Dämpfung und Phasenfehler
Exakte Dispersionsrelation ist ωex(k) = ck.
|G| heißt “algorithmic damping ratio”
ωnum(k)/ωex(k) heißt “relative celerity”
Euler vorwärts auf U̇ = V
und V̇ = −c2/h2AU angewendet:
Uj+2 = 2Uj+1 − (I − r2A)Uj
von Neumann Stabilitätsanalyse:
|G|2 = 1 + 4r2 sin2(kh/2)
immer instabil!
+
56
+
+
Unbedingt Stabile Verfahren
Oft mag man Zeitschrittbeschränkung nicht
Unbedingt stabile Verfahren
müssen implizit sein!
Beispiel: Newmark-Methode
h
Vj+1 = Vj + τ (1 − γ)V̇j + γ V̇j+1
i
i
h
2
Uj+1 = Uj + τ Vj + τ (1/2 − β)V̇j + β V̇j+1
oder mit V̇ = −c2/h2AU :
h
i
2
Vj+1 = Vj + −r /τ A (1 − γ)Uj + γUj+1
h
i
2
Uj+1 = Uj + τ Vj − r A (1/2 − β)Uj + βUj+1
Explizit für β = 0 (und “mass lumping”)
Zentrale Differenzen für β = 0 und γ = 1/2.
Stabil für γ ≥ 1/2
Implizit für β > 0
1 (γ + 1 )2 .
Unbedingt stabil für β ≥ 4
2
Trapezregel für γ = 2β = 1/2.
+
57
+
+
Explizit-Implizit Hyperbolisch
Explizite Verfahren sind sehr einfach,
(und sicher) keine Gleichungslösung,
keine Konvergenzprobleme.
Aber Zeitschritt wird von Stabilität diktiert.
Nicht so schlimm wie im parabolischen Fall
Implizite Verfahren brauchen Gleichgs.löser,
steife Probleme — Newton-ähnliche
Verfahren im nichtlinearen Fall.
Implizite Verfahren können
hochfrequente Oszillationen
wirkungsvoll dämpfen.
Implizite Verfahren haben meist
numerische Dissipation
Explizite Verfahren haben endl.
Ausbreitungsgeschwindigkeit,
implizite “verschmieren”.
Explizite Verfahren brauchen “mass lumping”
+
58
+
+
Transportgleichung
Einfachster Fall: Für −∞ < x < ∞
0
u̇(t, x) − cu (t, x) = 0
mit Anfangsbedingung . . .
1. Idee (Upwinding):
Uj+1,n − Uj,n
Uj,n+1 − Uj,n
−c
τ
h
von Neumann Stabilitätsanalyse:
=0
G = 1 + r(exp(ikh) − 1)
beachten: r kann (mit c) auch negativ sein!
|G| < 1 ⇒ r ≥ 0
und
r≤1
Räumlicher Differenzenquotient muß “upwind”
sein!
Es gilt
0
u (jτ, nh) =
Uj,n+1 − Uj,n
h
h 00
+ u + O(h2)
2
00
Erster Fehlerterm ist proportional zu u ,
dadurch numerische Diffusion!
+
59
+
+
Genauere Verfahren
Zentraler Differenzenquotient:
Zeitschrittweite τ :
Un+1,j − Un−1,j
u (jτ, nh) =
+ O(h2)
2h
und damit
0
Uj+1,n − Uj,n
τ
−c
Uj,n+1 − Uj,n−1
2h
=0
von Neumann Stabilitätsanalyse
G = 1 + ir sin(kh)
immer (unbedingt) instabil!
Besser (Verfahren von Friedrichs):
Uj+1,n − 1/2(Uj,n+1 + Uj,n−1)
τ
c
+
Uj,n+1 − Uj,n−1
2h
−
= 0
60
+
+
Genauere Verfahren II
von Neumann Stabilitätsanalyse:
1
r ikh
1 r −ikh
G=
+
e
+
−
e
2
2
2 2
|G|2 = 1 − (1 − r 2) sin2(kh)
Für |r| ≤ 1 ist |G| < 1,
sowohl für c < 0 als auch für c > 0.
Verfahren guckt nach beiden Seiten.
Die Welle darf in einem Zeitschritt nicht
weiter als bis ins nächste Element kommen.
Setzen wir Gj = e−ijωτ ⇒ Wir sehen:
Verfahren hat numerische Dispersion
Es ist nur O(τ ) in der Zeit.
Geschickte zentrale Differenz in t:
ergibt Lax-Wendroff Verfahren.
+
61
+
+
Ausblick
Bei hyperbolischen Gleichungen
— Wellen- und Transportgleichung —
und bei Diffusions-Konvektionsgleichung
wird z.Z. intensiv an besseren
Verfahren gearbeitet.
Problemgebiete:
numerische Dissipation, Dispersion, Diffusion
Anpassung des Netzes an Lösung
Deformierendes Netz? Remeshing?
Lösungsansätze:
“Least-Squares-Petrov-Galerkin” Verfahren
Raum-Zeit Elemente
Galerkin auch in der Zeit
Adaptivität in Raum und Zeit
+
62
+
+
Schwierigkeitsgrade
Grobe Einteilung
mit steigendem Aufwand:
1. linear stationär (statisch)
2. linear transient (dynamisch)
3. nichtlinear stationär (statisch)
4. nichtlinear transient (dynamisch)
Einige Kriterien für Schwierigkeit:
• Stabilität (Material / Geometrie)
• Benötigte Auflösung (Wellenlänge / Netz)
• Größe der Nichtlinearität
• Stetigkeit (Lokalisierung / Shocks)
+
63
+
+
Erfolgsaussichten
Legende:
Stetigkeit
Stabilität
zeitlich (Shocks)
räumlich (Lokalisierung)
geometrisch
Material
Auflösung
Nichtlinearität
Schwierigkeit
Klassifikation:
t
x
g
ja
ja
ja
ja
ja
ja
ja
ja
ja
ja
ja
nein
nein
ja
nein
nein
ja
nein
nein nein nein
Level
m
ja
ja
ja
ja
ja
nein
nein
n
klein
moderat
groß
moderat
groß
moderat
groß
r
niedrig
niedrig
niedrig
niedrig
niedrig
hoch
hoch
-
t
x
g
m
r
n
d
d
0
1
2
2
3
3
4
Bewertung verfügbarer Software:
Level 0: einfach / kein Problem
Level 1: sehr robust
Level 2: Probleme können auftreten
Level 3: evtl. lösbar mit großer Sorgfalt
Level 4: Computer Games
+
64