Übung 9 - Universität Bonn

Physikalisches Institut
Universität Bonn
Theoretische Physik
Hausaufgabe 9
15. Juni 2016
SS 16
Übungen zur Vorlesung Quantenmechanik und statistische
Mechanik
Prof. Herbert Dreiner, PD Dr. Stefan Förste, Sebastian Belkner, René Laufenberg
http://www.th.physik.uni-bonn.de/people/sbelkner/QMSMSS16/
–Hausaufgabe–
Bis 12:00Uhr, 22. Juni 2016
H 9.1 Distanzen überbrücken
2+4.5+3.5 = 10 Punkt
Der mittlere radiale Abstand hrin,l des Eigenzustands ψn,l,m im Coulombpotential ist gegeben
durch
a0
hrin,l =
3n2 − l(l + 1) ,
(1)
2Z
wobei a0 der Bohrradius ist.
(a) Bestimme hrin,n−1 .
(b) Nutze die folgende Rekursionsrelation und berechne damit hr2 in,l , hr2 in,n−1 und (∆r)n,n−1 ,
k+1 k
(2k + 1)a0 k−1
1 − k 2 ) a20 k−2
hr
i
−
hr
i
+
k
l(l
+
1)
+
hr
in,l = 0
(2)
n,l
n,l
n2
Z
4
Z2
(c) Bestimme die relative Schwankung
∆r
hrin,n−1
für n → ∞? Interpretiere das Ergebnis.
H 9.2 Impulsverteilung
7+3 = 10 Punkte
Die Radialfunktion des Grundzustands R0 (r) im Ortsraum im Coulombpotential ist gegeben durch
1
R0 (r) = √ e−r/a0 , r = |r|.
π
(3)
(a) Bestimme die Radialfunktion im Impulsraum, R̃0 (p).
Hinweis: Schreibe die Integrale der Fouriertransformation in Kugelkoordinaten und integriere zuerst
über die Winkel. Benutze dann die partielle Integration, bevor du über r integrierst.
Hinweis: p · r = |p||r| cos ϑ, wobei ϑ der Winkel ist über den bei den Kugelkoordinaten integriert wird.
(b) Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Radialfunktion im Impulsraum, |R̃0 (p)|2 . Fertige eine Skizze an.
H 9.3 Zeeman-Effekt
1+2+2+1+2+2=10 Punkte
(a) Im Folgenden wird der Einfluss eines äußeren Magnetfeldes auf die Energiestufen des WasserstoffAtoms untersucht. Das Wasserstoffatom wird durch den Hamiltonoperator
Ĥ0 = −
1 e2
~2
∆−
2m
4π0 r
1
beschrieben. Wie in der Vorlesung wird im Folgenden soll 4π
= 1 benutzt werden. Durch
0
das äußere Magnetfeld kommt es zu einer Kopplung des Magnetfeldes mit den Drehimpulsen
q
der Elektronen. Diese Kopplung wird mit dem Term − 2m
B · L̂ beschrieben, was zum neuen
e
Hamiltonoperator
Ĥ1 = −
~2
e2
e
e
∆−
+
B · L̂ = Ĥ0 +
B · L̂
2m
r
2me
2me
führt.
1
(i) Wie lauten die Energieeigenwerte E 0 des Operators Ĥ0 ? Gib’ für gegebene Energiequantenzahl n an, welche Werte die Quantenzahlen l und ml annehmen können.
(ii) Vereinfache den Operator Ĥ1 , indem du annimmst, dass B = Be 3 . Wie lauten nun
die Energieeigenwerte E 1 des Operators Ĥ1 ? Wieso darfst du dieselben EigenfunktioeB
als
nen ψnlml benutzen, wie für Ĥ0 ? Hinweis: Schreibe zur Vereinfachung den Term 2m
e
Larmorfrequenz ωL .
(iii) Skizziere für die ersten drei Energiestufen (n = 1, n = 2, n = 3) des Operators Ĥ1
die Energieniveaus, welche nun als Aufspaltungen sichtbar werden. Warum kommt es zu
keiner Verschiebung des Energieniveaus für Drehimpulsquantenzahlen l = 0 ? Wie hoch
sind die Entartungsgrade der jeweiligen Unter-Zustände?
(b) Mit obigen Ansatz werden pro Energieniveau 2(n − 1) + 1 = 2n − 1 viele Aufspaltungen
postuliert. Man erwartet also eine ungerade Anzahl an Aufspaltungen. Tatsächlich stellt man
experimentell durch Anlegen von passenden äußeren Magnetfeldern fest, dass man eine gerade Anzahl von Unterniveaus sehen kann. Insbesondere ist auch eine Energieaufspaltung des
ersten Energieniveaus zu erkennen.
Um dies zu erklären muss der Spin herangezogen werden, welcher bereits in den mathematischen Methoden und auf Übungsblatt 7 eingeführt worden ist.
Der Operator Ĥ1 wird daher in unserem neuen Modell um eine Wirkung im Spinraum erweitert
und ein Spin-Magnetfeld-Kopplungsterm hinzugefügt. Der neue Operator soll die Form
e 1 ⊗ B · Ŝ
Ĥ2 = Ĥ1 ⊗ 1 + g
2me
mit g ≈ 2 haben. Als neue Basisfunktionen dienen
ψnlml ms = ψnlml χms
mit Spinquantenzahl ms =
± 21
1
0
und Spinzuständen χ 12 =
und χ− 12 =
.
0
1
(i) Bestimme für die beiden Spinzustände die Eigenwerte des Operators ŝ3 . Drücke die
beiden Eigenwerte durch ms aus.
(ii) Bestimme die Energieeigenwerte E 2 des Operators Ĥ2 . Nimm’ für das Magnetfeld wieder
an, dass gilt: B = Be 3 . Wieso können für H2 dieselben Eigenfunktionen wie für H1 , welche zusätzlich um die Spinfunktion erweitert
sind,
worden
verwendet werden? Hinweis:
e
ψnlml
Ĥ2 ψnlml ms = Ĥ1 ψnlml χms + g 2m
e
B · Ŝ χms
(iii) Skizziere erneut die Aufspaltungen der ersten drei Energiestufen (n = 1, n = 2, n = 3).
Gib’ zu jedem dieser Unterniveaus die Entartungsgrade an.
Ist das Ziel, für alle Energieniveaus eine gerade Anzahl an Aufspaltungen zu postulieren,
erreicht worden?
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