5 Kinematik der Starrkörperbewegung - WWW-Docs for B-TU
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35 5 Kinematik der Starrkörperbewegung Ein starrer Körper ist eine Idealisierung eines Maschinenteils, bei der man Verformungen vernachlässigt. Verbindet man mit dem Körper in einem beliebigen Bezugspunkt ein körperfestes Koordinatensystem, können sich die einzelnen materiellen Punkte des Körpers relativ dazu nicht verschieben. Daher lässt sich die Bewegung eines starren Körpers vollständig als Bewegung des körperfesten Koordinatensystems relativ zu einem Inertialsystem beschreiben. Wie bereits aus der Relativkinematik bekannt, kann die Orientierung eines bewegten Koordinatensystems durch eine orthogonale Drehungsmatrix beschrieben werden. Diese enthält 9 Richtungskosinusse, die aufgrund der Orthogonalität 6 Bindungsgleichungen unterliegen. Daher sind nur 3 Größen frei wählbar, d.h. die freie Drehbewegung eines starren Körpers hat 3 Freiheitsgrade, die z.B. durch drei hintereinandergeschaltete Elementardrehungen beschrieben werden können. Die Gesamtdrehungsmatrix ergibt sich dann als Produkt der Elementardrehmatrizen, der Winkelgeschwindigkeitsvektor als Vektorsumme der Elementarwinkelgeschwindigkeiten. Eine allgemeine Bewegung des Starrkörpers setzt sich aus der Translation des Bezugspunktes und der Drehbewegung des körperfesten Koordinatensystems um den Bezugspunkt mit jeweils 3 Freiheitsgraden zusammen, so dass der freie starre Körper insgesamt 6 Freiheitsgrade hat. Aus den Beziehungen der Relativkinematik folgen unter Berücksichtigung des Verschwindens der Relativbewegung sofort die Beziehungen der Starrkörperkinematik. Das Geschwindigkeitsfeld der allgemeinen Starrkörperbewegung lässt sich als vektorielle Überlagerung der Geschwindigkeitsfelder der Translation und der Rotation interpretieren. Bei der Translation haben alle Punkte die gleiche Geschwindigkeit wie der Bezugspunkt, bei der Rotation bewegen sich alle Punkte auf Kreisbahnen um den Bezugspunkt mit Geschwindigkeiten proportional zum Abstand vom Bezugspunkt. Bei vielen technischen Problemstellungen genügt eine ebene Betrachtung, d.h. die Translation erfolgt in einer Ebene, die Drehung um eine Achse senkrecht dazu. Jede solche ebene Bewegung kann momentan als reine Drehbewegung um einen Momentanpol aufgefasst werden, so dass die Geschwindigkeiten aller Körperpunkte senkrecht auf den Polstrahlen stehen und proportional zum Polabstand sind. Der Momentanpol ist ein mathematischer Punkt, der momentan mit dem körperfesten Punkt ohne Geschwindigkeit zusammenfällt, sich selbst i. Allg. aber sowohl relativ zum Inertialsystem als auch relativ zum körperfesten Koordinatensystem bewegt. Die Bahn des Momentanpols im Inertialsystem bezeichnet man als Spurkurve, im körperfesten Koordinatensystem als Polkurve. 36 5 Kinematik der Starrkörperbewegung 5.1 Beschreibung von Drehbewegungen Drehbewegung eines starren Körpers Bewegung eines starren Körpers um einen zusammenfallenden raum- und körperfesten Punkt O + OȀ, beschreibbar mit Mitteln der Relativkinematik r K + Sr KȀ ȱS11 S +ȧ S 21 Ȳ S31 Drehungsmatrix z S 12 S 13ȳ S 22 S 23 ȧ S 32 S 33 ȴ zȀ 9 Richtungskosinusse S ij yȀ Orthogonalität S TS + E ^ + 6 Bindungen O + OȀ Die Drehbewegung hat 3 Freiheitsgrade ³ beschreibbar durch 3 voneinander unabhängige Koordinaten xȀ x Darstellung von Drehbewegungen durch Elementardrehungen Elementardrehungen um x−Achse ȱ1 S x,a +ȧ0 Ȳ0 0 0 ȳ cos a * sin aȧ sin a cos a ȴ a z zȀ yȀ ȱaȳ a K + a KȀ +ȧ 0 ȧ Ȳ0ȴ . . um y−Achse . ȱ cos b 0 S y,b +ȧ 0 1 * sin b 0 Ȳ ȱ 0. ȳ . . b K + b KȀ +ȧbȧ Ȳ0ȴ a ³ . a x + xȀ b sin bȳ 0 ȧ cos bȴ y z zȀ y + yȀ x b ³ . xȀ b y 5 Kinematik der Starrkörperbewegung 37 ³ . um z−Achse ȱcos g * sin g 0ȳ S z,g +ȧsin g cos g 0ȧ Ȳ 0 0 1ȴ ȱ0ȳ . . g K + g KȀ +ȧ 0. ȧ Ȳgȴ g z + zȀ yȀ x g g y xȀ Jede räumliche Drehung ist darstellbar durch eine Hintereinanderschaltung von drei Elementardrehungen ³ . y (Beispiel: Eulerwinkel y ³ í ³ ö) ³ . ö z zȀ í yȀ ö í O + OȀ y y ö xȀ x y ³ . í Drehungsmatrix Multiplikation der Elementardrehmatrizen Beispiel: Eulerwinkel S + S z,yS x,íS z,ö ȱcos y +ȧsin y Ȳ 0 0 0 ȳȱcos ö *sin ö 0ȳ *sin y 0ȳȱ 1 cos y 0 ȧȧ 0 cos í *sin íȧȧsin ö cos ö 0 ȧ 0 1 ȴȲ 0 sin í cos í ȴȲ 0 0 1ȴ ȱcos y cos ö * sin y cos í sin ö +ȧsin y cos ö ) cos y cos í sin ö sin í sin ö Ȳ *cos y sin ö * sin y cos í cos ö sin y sin í ȳ *sin y sin ö ) cos y cos í cos ö *cos y sin íȧ sin í cos ö cos í ȴ 38 5 Kinematik der Starrkörperbewegung Winkelgeschwindigkeit 1.Weg: Differentiation der Drehmatrix und Rösselsprung ~ wK + . SS T + ȱ 0 ȧ wz Ȳ* wy * wz wy ȳ 0 * w xȧ 0 ȴ wx Rösselsprung ȱwxȳ w K +ȧw yȧ Ȳwzȴ 2.Weg: Addition der Elementardrehgeschwindigkeiten ³ . Beispiel: Eulerwinkel ³ . ³ . y ³ . ³ . ³ w + y)í)ö ö z in körperfesten Koordinaten: w KȀ zȀ ȱsin í sin ö ȳ . ȱ cos ö ȳ . ȱ0ȳ . +ȧsin í cos öȧy )ȧ* sin öȧí )ȧ0ȧö Ȳcos í ȴ Ȳ 0 ȴ Ȳ1ȴ ȱwxȀȳ ȱsin í sin ö ȧwyȀȧ +ȧsin í cos ö ȲwzȀȴ Ȳ cos í cos ö 0ȳȱ y ȳ . * sin ö 0ȧȧ í ȧ . 0 1ȴȲ ö ȴ yȀ ö í O + OȀ . kinematische Eulergleichungen í y y ö xȀ x ³ . í y 5 Kinematik der Starrkörperbewegung 39 5.2 Allgemeine Bewegung eines starren Körpers Zusammengesetzte Bewegung z zȀ ³ w z yȀ ³ O r OȀ(t) OȀ O + OȀ ³ v OȀ y x x räumliche Punktbewegung r OȀ(t) ³ w zȀ yȀ O x y räumliche Drehbewegung r K + Sr KȀ , S TS + E allgemeine Starrkörperbewegung z xȀ ³ r OȀ(t) OȀ ³ y v OȀ xȀ 40 5 Kinematik der Starrkörperbewegung allg. Relativkinematik ³ r +³ r OȀ ) ³ rȀ ³ ³ v +³ v OȀ ) w ³ . ³ ³ rȀ) ³ vȀ ³ ³ a + a OȀ ) w ³ rȀ) w ³ ǒw ³ r ȀǓ ) 2w ³ ³ vȀ) ³ aȀ z Starrkörper Starrkörperkinematik ³ ³ O ³ r + r OȀ ) r Ȁ ³ ³ v +³ v OȀ ) w ³ . ³ ³ ³ Q rȀ ³ ³ r ³ r OȀ rȀ ³ a + a OȀ ) w ³ rȀ) w ³ ǒw r ȀǓ ³ ³ v+³ v OȀ ) w ³ rȀ y x ³ Geschwindigkeitsfeld w v OȀ OȀ Sonderfälle: ³ ³ v OȀ + 0 Körper mit Fixpunkt ³ reine Drehbewegung w OȀ OȀ ³ ³ w + 0 ³ reine Translation v OȀ OȀ 5 Kinematik der Starrkörperbewegung 41 5.3 Ebene Bewegung In vielen Fällen genügt eine ebene Betrachtung des Systems, z.B. Bewegung in der x, y-Ebene, Drehung um die z-Achse. Drehung um einen Fixpunkt ~ v OȀ + 0 ³ v + w rȀ ³ v + wrȀ w+ w dö dt ƪrads ƫ OȀ Allgemeine Bewegung ~ v + v OȀ ) w rȀ Drehung um O’ w OȀ Translation w v OȀ = OȀ + OȀ v OȀ 42 5 Kinematik der Starrkörperbewegung Momentanpol Jede ebene Bewegung kann zu jedem Zeitpunkt als reine Drehung um einen Bezugspunkt P (Momentanpol) aufgefasst werden: ³ ³ r ȀP + w ³ v OȀ w2 Eigenschaften: Der Momentanpol verändert seine Lage sowohl bez. des raumfesten Koordinatensystems ³ Spurkurve r PK(t) + r OȀK ) rȀ PK als auch bez. des körperfesten Systems ³ Polkurve rȀ PKȀ(t) Pol- und Spurkurve berühren sich im Momentanpol und rollen aufeinander ab. Der mit dem Momentanpol zusammenfallende körperfeste Punkt hat zwar momentan ³ ³ keine Geschwindigkeit (v + 0 ), erfährt im Allgemeinen aber eine Beschleunigung P ³ ³ (a P 0 0 ). Sind für zwei körperfeste Punkte die Geschwindigkeiten bekannt, so ergibt sich der Momentanpol als Schnittpunkt der dazu jeweils Senkrechten in diesen Punkten. Die Geschwindigkeiten zweier körperfester Punkte A und B verhalten sich zueinander wie die Polabstände: v A : v B + PA : PB.