Fourier-Reihen und Fourier

Fourier-Reihen und Fourier-Transformation
Matthias Dreÿdoppel, Martin Koch, Bernhard Kreft
25. Juli 2013
Einleitung
Im Folgenden sollen dir Fourieranalyse und die Fouriertransformation erläutert und mit
Beispielen unterlegt dargestellt werden. Die Fouriertransformation erlaubt es, kontinuierliche,
aperiodische Signale oder Funktionen in ein kontinuierliches Spektrum zu zerlegen, welches
durch die Spektralfuntion beschrieben wird. Benannt ist diese Transformation nach dem Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier, der im Jahre 1822 die Fourier-Reihen einführte, ein
diskretes Analogon zur kontinuierlichen Fourier-Transformation für periodische Signale.
Inhaltsverzeichnis
1 Fourieranalyse
1.1 Der Satz von Fourier . . . . . . .
1.2 Berechnung der Koeffizienten . .
1.3 Die komplexe Reihendarstellung:
1.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . .
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1
1
1
2
2
2 Fouriertransformation (FT)
2.1 FT (1D) für Funktionen f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 FT für Funktionen f (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Abschließendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5
5
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1. Fourieranalyse
1
Seite 1 von 5
Fourieranalyse
1.1
Der Satz von Fourier
Jede periodische Funktion kann dargestellt werden als unendliche Reihe trigonometrischer
Funktionen, wenn:
T
Z
|x(t)|dt < ∞, d. h. x(t) absolut integrierbar ist
•
0
• Schwankungen von x(t) in jedem endlichen Zeitintervall T beschränkt sind
• nur endliche viele Unstetigkeitsstellen als Sprungstellen existieren.
Es gilt dann die folgende Darstellung
f (x) =
a0 X
+
(an ∗ cos(nx) + bn ∗ sin(mx))
2
(1)
mit Fourierkoeffizienten a0 , an sowie bn (siehe Folie im Anhang).
Der Beweis der Fourier-Reihe erfolgt implizit durch den Beweis der Integraldarstellungen
für die Fourierkoeffizienten.
1.2
Berechnung der Koeffizienten
Berechnung von a0 :
Dafür wird f (x) über eine gesamte Periode integriert. Hier wird o.B.d.A. die Periode von
{−π, π} gewählt.
Z
π
f (x)dx = a0 π +
−π
∞
X
Z
π
Z
π
sin(nx)dx
cos(nx)dx + bn
an
−π
−π
n=1
Hier sind Integration und Summation vertauscht worden. Dies ist auf die Stetigkeit der
Funktion innerhalb ihrer Periode (siehe Bedingung) zurückzuführen. (Bzgl. der Herleitung siehe Mathematik ”Analysis I”) Durch Integration über eine ganze Periode ergibt sich:
Z
π
Z
cos(nx)dx = 0
π
und
−π
sin(nx)dx = 0
−π
Dadurch erhalten wir für den Fourierkoeffiezienten a0 :
a0 =
1
π
Z
π
f (x)dx
(2)
−π
Berechnung der Koeffizienten an :
Dazu betrachten wir folgendes Integral:
Z
π
a0
f (x)dx =
2
−π
Z
π
cos(mx)dx +
−π
|
∞ Z
X
n=1
{z
=0
π
cos(nx)cos(mx)dx+
−π
}
Verwende nun die trigonometrische Identität:
cos(nx)cos(mx) =
Fourieranalyse
1
1
cos (n + m)x + cos (n − m)x
2
2
∞ Z
X
n=1
π
−π
sin(nx)cos(mx)dx
1.3
Die komplexe Reihendarstellung:
π
Z
Seite 2 von 5
Z
⇒
π
cos(nx)cos(mx)dx =
−π
−π
1
cos (n + m)x dx +
2
Z
π
−π
1
cos (n − m)x dx
2
Da (m + n) 6= 0, ist der erste Integrand gleich Null. Für den zweiten gilt:
π
Z
−π
Für
π
1
cos (n − m)x dx =
2
∞ Z
X
f ür m=n
0 f ür m6=n
π
sin(nx)cos(mx)dx verwendet man die folgende Identität:
−π
n=1
sin(nx)cos(mx) =
Z
1
1
sin (n + m)x + sin (n − m)x
2
2
π
⇒
sin(nx)cos(mx)dx = 0
∀n, m ∈ N
−π
Damit wird:
an =
1
π
Z
π
∀n ∈ N
f (x)cos(nx)dx
(3)
−π
Berechnung der Koeffizienten bn :
Z
π
f (x)sin(nx)dx führt analog zu:
Die Betrachtung des Integrals
−π
bn =
1.3
1
π
Z
π
∀n ∈ N
f (x)sin(nx)dx
(4)
−π
Die komplexe Reihendarstellung:
Weil Kosinus und Sinus Bestandteil der komplexen Exponentialfunktion sind (Eulersche
Formel!), existiert auch eine komplexe Reihendarstellung (siehe auch wikipedia: Fourierreihe).
f (x) = c0 e0 +
∞ X
π
π
cn ein L x + c−n e−in L x
(5)
n=1
= c0 +
|{z}
a
= 20
1.4
∞ X
n=1
π π (cn + c−n ) cos n x + i(cn − c−n ) sin n x
L
L
| {z }
| {z }
=an
=bn
Beispiele
Kippschwingung: (Sägezahn)
Die Funktion:
x
f ür −π<x<π
f (x) =
0 f ür x=−π,π
An der Symmetrie (siehe Abb. 3) sieht man sehr schön, dass die Funktion ungerade ist. Hier
reicht also die Bestimmung der Koeffizienten bn aus, weil die Fourier-Reihe eine reine
Sinus-Reihe ist.
Mit der oben hergeleiteten Formel:
Fourieranalyse
1.4
Beispiele
Seite 3 von 5
bn =
1
π
π
Z
xsin(nx)dx =
−π
2
π
Z
π
xsin(nx)dx =
0
πcos(nπ)
(−1)n+1
2
−
)=2
π
n
n
Die Fourierreihe ist somit:
f (x) =
∞
X
(−1)n+1
n=1
sin(nx)
n
Abbildung 1: n=1
Abbildung 2: n=10
Abbildung 3: n=100
Beispiel: Komplexe Fourierreihe
f (x) = he−x
0 ≤ x ≤ 2π
Aufgrund der e-Funktion ist hier die Verwendung der komplexen Reihendarstellung
effizienter!
c∓n =
=−
h
2π
Z
1
2π
2π
h e−x e∓inx dx =
0
1
1±n
h
2π
2π
Z
e−(1±in)xdx
0
e−2π e∓in2π − e0
|
{z
}
∀n∈Z
=cos(n2π)±isin(n2π) = 1
=
h(1 − e−2π )
2π
⇒ a0 = 2c0 =
1
n
∓i
1 + n2
1 + n2
h
(1 − e−2π )
π
⇒ an = (cn + c−n ) =
h
1
(1 − e−2π )
π
1 + n2
⇒ bn = i(cn + c−n ) =
h
(1 − e−2π ) i
2π
1
1
−i
−
1 + n2
1 + n2
|
|
{z
cn
}
1
1
+i
1 + n2
1 + n2
{z
c−n
}
h
n
(1 − e−2π )
2π
1 + n2
Weil die Funktion f (x) keine Symmetrieeigenschaften hat, sind alle Koeffizienten a0 , an and
bn ungleich Null.
=
−x
f (x) = he
∞
h
1 X
= (1 − e−2π )
+
π
2
n=1
=
cos(nx)
nsin(nx)
+
1 + n2
1 + n2
cos(x)
sin(x)
cos(2x)
2sin(2x)
h
1
(1 − e−2π )
+
+
+
+
+ ...
π
2
2
2
5
5
Fourieranalyse
2. Fouriertransformation (FT)
2
Seite 4 von 5
Fouriertransformation (FT)
Die Fouriertransformation ist eine Integraltransformation, die sich aus der Fourier - Reihe
durch einen Übergang von der Summation zur Integration herleiten lässt.
Die Fouriertransformation gibt es für Funktionen f (x), f (t) sowie im R3 für Funktionen f (~r).
2.1
FT (1D) für Funktionen f (x)
Wir betrachten die komplexe Reihe
n=∞
f (x) =
π
X
c±n ein 2 x
(6)
n=−∞
mit Koeffizienten
c±n =
1
2L
Z
2L
π
f (x) e∓in 2 x dx
(0 ≤ x ≤ 2L)
(7)
0
Def.: Wellenzahl k = 2π
λ
Die Wellenzahl gibt an, wie viele Schwingungen auf die Standardperiode 2π passen.
2π
π
Ist die Funktion periodisch im Intervall 0 ≤ x ≤ 2L, dann gilt: k = 2L
= L
Übergang zur Fouriertransformation:
n=∞
X
Z
π
ein 2 x
∞
−→
eikx dx
(8)
−∞
n=−∞
Aus (6) und (7) folgen das Fourier-Integral (i) und die Fourier-Transformierte (ii):
(i)
(ii)
f (x) =
f˜(x) =
1
2π
Z
Z
∞
f˜(x) eikx dx
(9)
−∞
∞
f (x)e−ikx dx = F (f (x))
(10)
−∞
Hinweis (1):
• Die Fouriertransformation besteht aus Hin- und Rücktransformation, wobei (ii) als Hinund (i) als Rücktransformation bezeichnet wird.
• Diese müssen konsistent definiert werden. Dies ist aber nicht einheitlich, so gibt es unterschiedliche Normierungsfaktoren oder es wird zum Beispiel in Amerika das Vorzeichen
des Exponenten der Exponentialfunktion in beiden Fällen umgedreht.
1 d
• Der Vorfaktor ( 2π
) wird als Normierungsvolumen bezeichnet, wobei d die Dimension
ist (hier: d = 1).
Hinweis (2):
• Der Übergang von der Fourierreihe zur Fouriertransformation impliziert auch den Übergang der periodischen Funktion (mit Periode 2L) zu einer kontinuierlichen aperiodischen
Funktion im Grenzfall L → ∞.
Fourieranalyse
2.2
FT für Funktionen f (t)
2.2
Seite 5 von 5
FT für Funktionen f (t)
In diesem Abschnitt wird die Fouriertransformation für zeitabhängige Funktionen f (t) mit der
Periode 0 ≤ t ≤ To betrachtet.
2π
Der Wellenvektor k ist dann zu ersetzen durch ω wegen :
= 2πf = ω.
T0
f (t) =
∞
Z
1
2π
f˜(ω) eiωt dω
und
(11)
−∞
1
f˜(ω) =
2π
Z
∞
f˜(t)e−iωt dt
(12)
−∞
Hinweise:
• Die Fouriertransformation erlaubt es, kontinuierliche, aperiodische Signale oder Funktionen in ein kontinuierliches Spektrum zu zerlegen.
• Die Fouriertransformation beliebiger aperiodischer Funktionen f (t) wird auch als kontinuierliche Frequenzanalyse oder Spektralanalyse bezeichnet.
• Die Fouriertransformierte heißt auch Spektralfunktion.
• Die Fourierreihe liefert eine diskrete Zerlegung für periodische Signale oder Funktionen
(vgl. Kapitel 2.3).
2.3
Abschließendes Beispiel
Wir betrachten noch einmal die bereits untersuchte Ausgleichsfunktion, jedoch dieses Mal als
zeitlich nichtperiodischer, d.h. einmaliger Vorgang:
f (t) = he−t
0≤t<∞
(13)
Die Fouriertransformation ergibt:
f˜(ω) =
Z
∞
f (t)e−iωt dt =
0
Z
∞
he−t e−iωt dt
(14)
0
∞
Z ∞
1
−t(1+iω)
−t(1+iω) =h
e
dt = h
e
−(1
+
iω)
0
0
=
h(1 − iω)
h(1 − iω)
h
1
−ω
=
=
=h
+i
1 + iω
(1 + iω)(1 − iω)
1 + ω2
1 + ω2
1 + ω2
Anmerkungen:
• Das Ergebnis ist äquivalent zum Ergebnis der Fourierreihe.
• Die c±n sind die diskreten Werte der Spektralfunktion (vgl. Gleichung 14) für ganze
1
−n
Werte von ω, d.h. c±n = h( 1+n
2 ± i 1+n2 )
• ω hat zwar die physikalische Bedeutung einer Kreisfrequenz, ist hier aber primär Integrationsvariable mit dem Wertebereich von −∞ bis ∞.
• Die Fouriertransformierte ist komplex, d.h. sie enthält Real- und Imaginärteil und kann
in Polarform geschrieben werden, z.B. in der Form = Aeiϕ0 mit Amplitude A und Phasenfaktor ϕ0 .
• Das Integral enthält zwar einen komplexen Integranden, aber die Integration erfolgt reell (Funktionentheorie: Integration in der komplexen Zahlenebene parallel zur x-Achse,
holomorphe Funtionen).
Faustregel: Ist die Integrationskonstante reell, wird i als Faktor behandelt.
Das Fourierintegral ("Rücktransformation") lautet:
f (t) = he−t =
1
2π
Z
∞
1
f˜(ω)eiωt dω =
2π
−∞
Z
∞
−∞
h
h
eiωt dω =
1 + iω
2π
Z
∞
−∞
1 − iω
dω (15)
1 + ω2
Letzter Hinweis: Die einzige Funktion, die invariant gegen Fouriertransformation ist, ist die
Gauß-Kurve. Dazu gibt es ein Zusatzmaterial.
Fourieranalyse