Trigonometrische Funktionen 1. Anwendungen a) Trigonometrie (Dreiecksberechnungen) b) Periodische Vorgänge (Schwingungen, Wellen) 2. Sinus und Cosinus Gegenkathete Ankathete Definition: geometrisch, Dreiecke im Einheitskreis: sin = --------------------------------- , cos = ------------------------------- . Hypothenuse Hypothenuse 3. Periodizität sin(x+2p) = sin(x), cos(x+2p) = cos(x). 4. Symmetrien sin – x = – sin x , cos x = cos – x 5. Beziehungen zueinander a) Phasenverschiebung: sin x + --- = cos x , 2 sin x + = – sin x , cos x + = – cos x . b) Pythagoras: sin2(x) +cos2(x) = 1 6. Additionstheoreme sin x + y = sin x cos y + cos x sin y , 7. Funktionen des doppelten Winkels sin 2x = 2 sin x cos x , 8. cos x + y = cos x cos y – sin x sin y cos 2x = cos2 x – sin2 x Funktionen des halben Winkels x 1 sin --- = +- --- 1 – cos x , 2 2 x 1 cos --- = +- --- 1 + cos x 2 2 Das richtige Vorzeichen muß entsprechend dem Wert des Arguments x/2 gewählt werden, s. Tabelle. 9. Summe von Funktionen x+y x–y sin x + sin y = 2 sin ------------ cos ------------ , 2 2 10. x+y x–y cos x + cos y = 2 cos ------------ cos ------------ 2 2 Produkte von Funktionen 1 sin x sin y = --- cos x – y – cos x + y , 2 1 cos x cos y = --- cos x – y + cos x + y 2 1 sin x cos y = --- sin x – y + sin x + y 2 11. Abgeleitete Funktionen: Tangens und Cotangens sin x cos x tan x = ---------------- , cot x = ---------------- . Beide haben die Periode p und sind ungerade. cos x sin x 12. Additionstheorem tan x + tan y tan x + y = ---------------------------------------1 – tan x tan y Trigonometrische Funktionen (1/2) A. Kilian 13. cotx Graph tanx 2 sinx cosx - -p 1 p 2 p 2 p -1 -2 14. Ausdrücken einer trigonometrischen Funktion durch eine andere sin x sin x = +- 1 – cos2 x cos x = +- 1 – sin2 x tan x = sin x ------------------------------------+- 1 – sin2 x cot x = +- 1 – sin2 x ------------------------------------sin x 15. 16. cos x tan x cot x tan x ------------------------------------+- 1 + tan2 x 1 ------------------------------------+- 1 + tan2 x 1 ------------------------------------+- 1 + cot2 x cot x ------------------------------------+- 1 + cot2 x 1 --------------cot x +- 1 – cos2 x ---------------------------------cos x cos x -------------------------------------+- 1 – cos2 x 1 ---------------tan x Vorzeichen Quadrant I. II. III. IV. sin x + + - - cos x + - - + tan x + - + - cot x + - + - Umkehrfunktionen Wegen der Periodizität der trigonometrischen Funktionen gibt es unendlich viele mögliche Umkehrfunktionen. Üblicherweise werden die Intervalle, die die Null enthalten und in denen die jeweilige Winkelfunktion monoton ist, zur Definition von arcsin, arccos, arctan und arccot verwendet. Man nennt die so gelieferten Winkel (im Bogenmaß Arcus - daher die Funktionsbezeichnungen) die Hauptwerte. Trigonometrische Funktionen (2/2) A. Kilian