Binomialmodell für Optionen

Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Binomialmodell für Optionen
Jörg Lemm
Vorlesung Finanzmathematik, WS 06/07
Universität Münster
16.11.2006, 23.11.2006, 30.11.2006
Jörg Lemm Vorlesung Finanzmathematik, WS 06/07
Binomialmodell für Optionen
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Definition Optionen
Der Käufer (Geschäftspartner in der Long-Position) einer
(europäischen) Kaufoption (Call) hat das Recht (nicht die Pflicht)
einen Basiswert (oder Underlying, z.B. eine Aktie) bei Fälligkeit
(zum Ausübungszeitpunkt T ) zum Ausübungspreis (Basispreis) K
zu kaufen.
Der Käufer (Geschäftspartner in der Long-Position) einer
(europäischen) Verkaufsoption (Put) hat das Recht (nicht die
Pflicht) einen Basiswert (oder Underlying, z.B. eine Aktie) bei
Fälligkeit (zum Ausübungszeitpunkt T ) zum Ausübungspreis
(Basispreis) K zu verkaufen.
Der Verkäufer (Stillhalter, Schreiber, Geschäftspartner in der
Short–Position) einer Option hat die Pflicht die Option einzulösen.
Bei sog. europäischen Optionen, die wir hier betrachten, hat der Käufer das
Recht nur am Zeitpunkt T , bei sog. amerikanischen Optionen hat der Käufer
das Recht jederzeit bis zur Fälligkeit T .
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Binomialmodell für Optionen
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Auszahlungsprofil Kaufoption (Käufer, call long)
100
50
0
50
100
150
200
AT
–50
max(0, AT − K )
–100
Wert einer Kaufoption mit Ausübungspreis (Basispreis) von K =110
in Abhängigkeit vom Aktienpreis AT zum Auszahlungszeitpunkt T .
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Binomialmodell für Optionen
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Auszahlungsprofil Verkaufsoption (Käufer, put long)
100
50
0
50
100
150
200
AT
–50
max(0, K − AT )
–100
Wert einer Verkaufsoption mit Ausübungspreis (Basispreis) von K =110
in Abhängigkeit vom Aktienpreis AT zum Auszahlungszeitpunkt T .
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Binomialmodell für Optionen
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Verkauf Kaufoption (Stillhalter, Schreiber, call short)
100
50
0
− max(0, AT − K )
50
100
150
200
AT
–50
–100
Verkauf einer Kaufoption mit Ausübungspreis (Basispreis) von K =110
in Abhängigkeit vom Aktienpreis AT zum Auszahlungszeitpunkt T .
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Binomialmodell für Optionen
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Verkauf Verkaufsoption (Stillhalter, Schreiber, put short)
100
50
0
− max(0, K − AT )
50
100
150
200
AT
–50
–100
Verkauf einer Verkaufsoption mit Ausübungspreis (Basispreis) von K =110
in Abhängigkeit vom Aktienpreis AT zum Auszahlungszeitpunkt T .
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Binomialmodell für Optionen
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Überblick Optionen
100
100
50
50
0
–50
50
100
150
200
0
–50
put long
–100
–100
100
100
50
0
put short
50
100
150
50
200
0
–50
–50
–100
–100
Jörg Lemm Vorlesung Finanzmathematik, WS 06/07
50
100
150
200
call long
call short
50
100
150
200
Binomialmodell für Optionen
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Kombinationen von Optionen
100
50
0
50
100
150
200
AT
–50
–100
max(0, AT − K1 ) − max(0, AT − K2 )
Beispiel Bull–Spread (bei Fälligkeit T ): Kombination einer Long–Position in
einer Kaufoption mit Basispreis K1 =60 mit einer Short–Position in einer
Kaufoption mit Basispreis K2 = 140 und gleicher Fälligkeit T .
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Binomialmodell für Optionen
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Einstufiges Binomialmodell
Wir betrachten eine einfache Welt mit einem Basiswert A, z.B.
einer Aktie, deren heutiger Wert A0 bekannt ist, und von welchem
wir annehmen, dass er nach dem nächsten Zeitschritt entweder den
Wert A1 oder den Wert A2 annehmen kann. Ein Derivat auf A
entspricht einer gegebenen Auszahlungsfunktion von A. Es hat
damit nach dem nächsten Zeitschritt entweder den Wert
D1 = D(A1 ) oder den Wert D2 = D(A2 ), seinen heutigen Wert D0
wollen wir berechnen. Dazu brauchen wir neben der Aktie eine
weitere Anlagemöglichkeit N, z.B. ein Geldkonto, von der wir
verlangen, dass diese einen von A unabhängigen Anteil besitzt und,
da wir sie auch als Referenzgröße verwenden wollen, dass sie nicht
den Wert Null annimmt, d.h. Ni 6= 0. Wir können z.B. ein
Geldkonto wählen mit Basiseinheit N0 = 1(Euro) und
deterministischem linearen Zinssatz r , d.h. N1 = N2 = (1 + r ).
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Binomialmodell für Optionen
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Einstufiges Binomialmodell: Replikationsbedingung
Wir suchen eine Mischung aus φ Anteilen des Basiswertes A (z.B.
Aktie) und ψ Anteilen des Numeraires N (z.B. Geldkonto), welche
in jeder der beiden möglichen zukünftigen Situationen genau dem
Wert des Derivats D = D(A) (z.B. einer Option) entspricht, also
φA1 + ψN1 = D1 = D(A1 )
φA2 + ψN2 = D2 = D(A2 )
(1)
Teilen durch das Numeraire mit Ni 6= 0 (Abzinsen der zukünftigen
Werte auf heute) ergibt für ai = Ai /Ni , di = Di /Ni
φa1 + ψ = d1
φa2 + ψ = d2
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Binomialmodell für Optionen
(2)
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Einstufiges Binomialmodell: Lösung
Durch Subtraktion und Addition der Gleichungen (2) folgt
d1 − d2
∆d
=
a1 − a2
∆a
d1 + d2
a1 + a2
ψ =
−φ
2
2
= d̄ − φā
∆d
ā
= d̄ −
∆a
φ =
mit ∆a = a1 − a2 (o.B.d.A. ∆a > 0) und ∆d = d1 − d2
sowie ā = (a1 + a2 )/2 und d̄ = (d1 + d2 )/2.
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Binomialmodell für Optionen
(3)
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Einstufiges Binomialmodell: Wert des Derivats
Mit den so gefundenen φ und ψ haben wir also eine Mischung aus
Basiswert und Numeraire (z.B. Aktie und Geld) gefunden, welche
in jeder (der beiden) möglichen zukünftigen Situationen dem Wert
der Option exakt entspricht. Diese Mischung muss also auch
bereits heute den gleichen Wert haben wie das Derivat, d.h
d0 = φa0 + ψ
∆d
∆d
a0 + d̄ −
ā
=
∆a
∆a
∆d
= d̄ −
(ā − a0 )
∆a
ā − a0
= d̄ −
∆d
∆a
(4)
Beobachtung: Die Übergangswahrscheinlichkeit p von A0 nach A1 ,
geht nicht direkt in die Formel ein! (Aber A0 hängt davon ab.)
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Binomialmodell für Optionen
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Erwartungswert und Standardabw. im Binomialmodell
Der Erwartungswert einer binomialverteilten Größe x unter p
Ep (x) = px1 + (1 − p)x2
(5)
ändert sich bei Übergang zu einer Wahrscheinlichkeit q wie folgt
Ep (x) − Eq (x) = (p − q)(x1 − x2 ) = (p − q)∆x.
(6)
Für die Standardabw. einer binomialverteilten Variablen erhalten
wir
q
σp (x) =
Ep (x 2 ) − Ep2 (x)
q
=
px12 + (1 − p)x22 − (px1 + (1 − p)x2 )2
q
p(1 − p)(x12 − 2x1 x2 + x22 )
=
p
p
=
p(1 − p)|x1 − x2 | = p(1 − p)|∆x|.
(7)
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Binomialmodell für Optionen
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Preis des Derivats und empirische Wahrscheinlichkeit p
Wegen ā = E 1 (a), d̄ = E 1 (d) folgt aus (6)
2
ā − Ep (a) =
2
1
− p ∆a,
2
d̄ − Ep (d) =
1
− p ∆d,
2
(8)
und damit, sowie mit (7)
ā − a0
∆d
∆a
Ep (a) + 12 − p ∆a − a0
1
= Ep (d) +
− p ∆d −
∆d
2
∆a
Ep (a) − a0 p
Ep (a) − a0
p(1 − p)∆d
∆d = Ep (d)− p
= Ep (d)−
∆a
p(1 − p)∆a
d0 = d̄ −
= Ep (d) −
∆d Ep (a) − a0
σp (d).
|∆d| σp (a)
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Binomialmodell für Optionen
(9)
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Einstufiges Binomialmodell und CAPM
Eine Gleichung der Form (9) ist uns bei der Portfoliooptimierung
nach Markowitz schon begegnet. Wenn wir für A die Gültigkeit des
CAPM annehmen, also die Risikoprämie ϑa = ϑm ρma für A auf ein
Marktportfolio beziehen können, und erkennen, dass die lineare
Transformation a → φa + ψ höchstens das Vorzeichen der
Korrelation ρma ändert, so erhalten wir die CAPM-Gleichung“
”
∆d Ep (a) − a0
d0 = Ep (d) −
σp (d)
|∆d| σp (a)
∆d
= Ep (d) −
ϑa σp (d)
|∆d|
∆d
ϑm ρma σp (d)
(10)
= Ep (d) −
|∆d|
= Ep (d) − ϑm ρm(φa+ψ) σp (d) = Ep (d) − ϑm ρmd σp (d)
mit
∆d
|∆d| ρad
= ρ(φa+ψ)d = ρdd = 1.
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Binomialmodell für Optionen
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Der Preis des Derivats als Erwartungswert
Der Preis des Derivats lässt sich weiter umschreiben
ā − a0
∆d
d0 = d̄ −
∆a
1 ā − a0
1 ā − a0
= d1
−
+
+ d2
2
∆a
2
∆a
a1 − a0
a0 − a2
+d2
= d1
a1 − a2
a1 − a2
| {z }
| {z }
q
1−q
= qd1 + (1 − q)d2 = Eq (d)
(11)
und erhält so die Form eines Erwartungswert unter der sog.
risikoneutralen (auch: risikoadjustierten) Wahrscheinlichkeit q. Die
risikoneutrale Wahrscheinlichkeit q enthält also sozusagen bereits
die Risikoprämie, so dass sich mit ihr der Preis eines Derivats
formal als Erwartungswert schreiben lässt, d.h. so als ob keine
Risikoprämie berücksichtigt werden Binomialmodell
müsste. für Optionen
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Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Risikoneutrale Wahrscheinlichkeiten im Binomialmodell
Die Größen
q=
a0 − a2
,
a1 − a2
1−q =
a1 − a0
a1 − a2
(12)
sind keine echten“ empirischen Wahrscheinlichkeiten, haben aber
”
die gleichen formalen Eigenschaften, d.h. sie addieren sich zu eins
und es gilt auch 0 ≤ q ≤ 1, denn falls nicht 0 ≤ q ≤ 1, dann liegt
a0 außerhalb des Intervalls [a1 , a2 ], d.h. die Anlage der Summe A0
in das Numeraire wäre immer besser oder immer schlechter als die
Anlage in die risikobehaftete Anlage A. Dies sollte nach dem
No–Arbitrage–Prinzip in einem hinreichend effizienten Markt nicht
vorkommen. Von der echten“ empirischen Wahrscheinlichkeit p
”
eines Kursanstiegs hängt q nur indirekt über a0 ab. Zudem sei
betont, dass q nur von a, aber nicht von der Art des Derivats
D(A) abhängt, und dass für das spezielle Derivat D = A gilt
a0 = Eq (a), d.h. a ist ein sog. Martingal.
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Binomialmodell für Optionen
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Risikoneutrale und empirische Wahrscheinlichkeit
Wegen (8) folgt im einstufigen Binomialmodell für die
risikoneutrale Wahrscheinlichkeit q
a0 − a2
a1 − a2
1 ā − a0
−
=
2
∆a
Ep (a) − a0
= p−
p∆a
= p − ϑa p(1 − p)
q =
(13)
mit der Risikoprämie (Sharpe–Ratio)
ϑa =
Ep (a) − a0
Ep (a) − a0
=p
.
σp (a)
p(1 − p)∆a
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Binomialmodell für Optionen
(14)
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Markowitz, CAPM und No–Arbitrage–Prinzip
Die Risikoprämie könnte alternativ zum No–Arbitrage–Prinzip
1. entweder durch eine Portfoliooptimierung nach Markowitz aus
Return– und Kovarianzdaten berechnet werden, oder
2. gemäß CAPM aus der Messung des ϑm eines existierenden
approximativen Marktportfolios und der Messung von ρma bzw. βa
bestimmt werden.
Das No–Arbitrage–Prinzip erfordert jedoch wesentlich weniger
Annahmen und benötigt hier z.B. nur die bekannte Größe a0 und
Schätzungen für a1 und a2 , und Abweichungen von Eq (d) sollten
aktiv vom Markt korrigiert werden. Im allgemeinen Fall, in dem ein
risikoneutrales q existiert, so dass d0 = Eq (d), ist die Risikoprämie
Ep (d) − Eq (d) auch nicht notwendig von der CAPM–Form. In
Situationen z.B., in denen das Risikomaß des CAPM E (a) − ϑa σa
nicht monoton ist, wird man erwarten, dass q eine andere Form der
impliziten Risikoprämie zugrundeliegt.
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Binomialmodell für Optionen
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Das Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein (CRR)
Wir betrachten nun ein mehrstufiges Binomialmodell, an dem an
jedem Knoten (j, k), 0 ≤ j ≤ k, 0 ≤ k ≤ n, der abgezinste Wert
Aj,k des Basiswertes im Zustand j bei Schritt k um einen festen
Faktor u steigen oder um den Faktor d fallen kann
up : Aj,(k+1) = uAj,k
down : A(j+1),(k+1) = dAj,k ,
(15)
mit d = 1/u. Als Numeraire wählen wir ein Geldkonto mit N0 = 1
und festem Zinssatz r pro Zeitschritt, d.h. N1 = N2 =1 + r . Damit
ergibt sich für die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit
q=
dA0
A0 − 1+r
a0 − a2
1+r −d
u−1−r
=
= uA
, 1−q =
. (16)
dA
0
0
a1 − a2
u−d
u−d
1+r − 1+r
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Binomialmodell für Optionen
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Risikoneutraler Erwartungswert im CRR
Wegen der k–Unabhängigkeit der u und d gilt udA0 = duA0 , d.h.
das CRR-Modell ist rekombinierend und die Reihenfolge der k
Up–Steps und n − k Down–Steps
spielt für den Endzustand keine
n
Rolle. Es gibt daher genau k verschiedene Pfade zum Endzustand
Ak,n zu gelangen. Für eine gekaufte Call–Option mit Wert
Cn (A) = max(An − K , 0) = [An − K ]+
(17)
zum Ausübungszeitpunkt n wird der risikoneutrale Erwartungswert
Cn
für deren abgezinsten Wert Eq (cn ) = Eq ( (1+r
)n ) daher
n h
i
X
n k
1
n−k
k n−k
Eq (cn ) =
q
(1
−
q)
(18)
u
d
A
−
K
0
k
(1 + r )n
+
k=0
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Binomialmodell für Optionen
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Bestimmung der minimalen Anzahl Up–Steps
Wir können in der Summe die Nullterme mit An < K weglassen,
n X
1
n k
n−k
k n−k
Eq (cn ) =
q
(1
−
q)
u
d
A
−
K
(19)
0
(1 + r )n
k
k=m
und sind die nichtlineare Funktion [· · · ]+ losgeworden, dafür startet
die Summe jetzt bei m, der kleinsten ganzen Zahl für die gilt
u m d n−m A0 ≥ K ⇔
u m
d
≥
Jörg Lemm Vorlesung Finanzmathematik, WS 06/07
ln AK0 − n ln d
K
⇔
m
≥
. (20)
A0 d n
ln u − ln d
Binomialmodell für Optionen
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Pseudowahrscheinlichkeiten
Aufteilen der Zinsfaktors im ersten Term liefert,
Eq (cn ) = A0
n
X
k=m
n
k
!
qu
1+r
k (1 − q)d
1+r
n−k
−
n
X
K
(1 + r )n
k=m
!
n k
q (1−q)n−k
k
(21)
und wegen
(1 − q)d
(1 + r − d)u + (u − 1 − r )d
qu
+
=
=1
1+r
1+r
(1 + r )(u − d)
(22)
folgt mit der Pseudowahrscheinlichkeit
0 ≤ q∗ =
Eq (cn ) = A0
uq
≤ 1,
1+r
(23)
n n X
X
n ∗k
n k
K
q (1−q ∗ )n−k −
q (1−q)n−k .
(1 + r )n
k
k
k=m
k=m
(24)
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Binomialmodell für Optionen
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Binomialverteilungsfunktion
Mit der Verteilungsfunktion Ψnq (m) einer Summe Bn von n
binomialverteilten Zufallsvariablen, die jeweils mit
Wahrscheinlichkeit q den Wert 0 und mit Wahrscheinlichkeit 1 − q
den Wert 1 annehmen
1 − P(Bn < m) = 1 − Ψn,q (m) = P(Bn ≥ m)
n X
n k
= Ψ̄n,q (m) =
q (1 − q)n−k
k
(25)
k=m
können wir für den Preis der Call–Option schreiben
Eq (cn ) = A0 Ψ̄nq∗ (m) −
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K
Ψ̄nq (m).
(1 + r )n
Binomialmodell für Optionen
(26)
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Grenzwertsatz
Nach dem Grenzwertsatz von De Moivre–Laplace
!
m − nq
Bn − nq
<p
Ψn,q (m) = P(Bn < m) = P p
nq(1 − q)
nq(1 − q)
!
!
nq − m
m − nq
=1−Φ p
(27)
−−−→ Φ p
n→∞
nq(1 − q)
nq(1 − q)
strebt die Verteilungsfunktion der standardisierten
Binomialverteilung gegen die Verteilungsfunktion der
Standardnormalverteilung
Z x
z2
1
(28)
e − 2 dz = P(z ≤ x) = 1 − Φ(−x),
Φ(x) = √
2π −∞
für standardnormalverteiltes z. Wir werden den Satz benötigen in
einer verallgemeinerten Form für von n-abhängige, aber
konvergente qn −−−→ q.
n→∞
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Binomialmodell für Optionen
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Definition des Grenzübergangs
Wir wollen für feste Ausübungszeit T , festen (exponentiellen)
Zinssatz rc und fester Volatilität σ von ln A die Zahl der
Zwischenschritte n beliebig groß werden lassen. Um diese Größen
fest zu lasssen, müssen der Zinssatz pro Schritt r und der Faktor
u = 1/d von n abhängig gewählt werden. Damit werden auch die
von r und u abhängigen Größen q(r , u) in (16), q ∗ (r , u) in (23),
m(u) in (20) n–abhängig, d.h. wir schreiben nun rn , un , qn , qn∗ ,
mn . Sei σn die Varianz von ln A pro Binomialschritt, so fordern wir
Zeit
Zins
fest
T
rc
Volatilität
σ
n–abhängig
n→∞
T
rn = e rc n q
−1
σn = σ
Jörg Lemm Vorlesung Finanzmathematik, WS 06/07
T
n
Bedingung
T /n = ∆t → 0
(1 + rn )n = e rc T
√
√
nσn = T σ
Binomialmodell für Optionen
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Veränderung der logarithmischen Schrittweite un
Mit ∆ ln An = ln √
un An −p
ln(dn An ) = ln un − ln(1/un ) = 2 ln un und
√
daher nσn = σq T = nqn (1 − qn )2 ln un folgt
√
T
σ
un = e 2 qn (1−qn ) n . Um un unabhängig von qn zu wählen,
versuchen wir stattdessen den Ansatz
σ
q
√
T
n
(29)
= e σ ∆t
√
√
welches der geforderten Bedingung nσn = T σ asymptotisch
genügen wird, falls qn (rn , un ) −−−→ 12 . Wir erhalten
un = e
n→∞
Zeit
Zins
fest
T
rc
Volatilität
σ
n–abhängig
n→∞
T
rn = e rc n q
−1
un = e
Jörg Lemm Vorlesung Finanzmathematik, WS 06/07
σ
T
n
Bedingung
T /n = ∆t → 0
(1 + rn )n = e rc T
√
√
n ln un = T σ
Binomialmodell für Optionen
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Taylorentwicklung bis zur Ordnung
Taylorentwicklung bis zur Ordnung
1
n
1
n
ergibt
1
T
+ o( ),
n r n
T
σ2 T
1
= 1+σ
+
+ o( ),
n
2 n
n
r
2
T
σ T
1
+
+ o( ),
= 1−σ
n
2 n
n
r
T
1
= 2σ
+ o( ),
n
n
rn = rc
un
dn
un − dn
mit den (trivialen) Grenzwerten rn → 0, un → 1, dn → 1.
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Binomialmodell für Optionen
(30)
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Taylorentwicklung der risikoneutralen Wahrscheinlichkeit qn
Taylorentwicklung von qn bis zur Ordnung
qn =
≈
=
1 + rn − dn
un − dn
q
1 + rc Tn − 1 + σ Tn −
q
2σ Tn
r
σ2
T rc − 2
1
+
,
2
n
2σ
σ2 T
2 n
1
n
σ
=
ergibt damit
q
T
n
+ rc −
q
2σ Tn
T
n
(31)
also wie gewünscht qn → 21 .
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σ2
2
Binomialmodell für Optionen
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Taylorentwicklung der Pseudowahrscheinlichkeit qn∗
Taylorentwicklung von qn∗ bis zur Ordnung
1
n
ergibt analog
qn un
1+r
qn
q
2
σ Tn + rc − σ2 Tn 1 + σ Tn +
q ≈
2σ Tn 1 + rc Tn
q
r
T
σ2
r
+
c
2 σ
n
T
.
≈
n
2σ 2 r
σ
1
1
T rc + 2
=
+
−−−→ .
n→∞
2
n
2σ
2
qn∗ =
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Binomialmodell für Optionen
σ2 T
2 n
(32)
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Abhängigkeit der unteren Grenze m
Für die jetzt n–abhängige untere Grenze m (20) in (24)
perhalten
wir
mit
d
=
1/u
,
also
ln
d
=
−
ln
u
,
und
ln
u
=
σ
T /n =
n
n
n
n
n
√
σ ∆t
mn =
=
ln AK0 − n ln dn
ln un − ln dn
ln AK0 + n ln un
=
n
2
=
n
2
=
n
2
2 ln un
ln AK0
+
2 ln un
ln AK0
+ q
2σ Tn
r
n ln K − ln A0
+
.
T
2σ
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Binomialmodell für Optionen
(33)
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Taylorentwicklung der unteren Grenze 1
Taylorentwicklung der bzgl. q ∗ standardisierten unteren Grenze für
den ersten Binomialterm in (24) bis zur Ordnung n1 ergibt mit (33)
und (32)
q
σ2
p n ln AK0
1
n
T rc + 2
2 +
T 2σ − n 2 +
n 2σ
mn − nqn∗
p
≈ s q
q
2
nqn∗ (1 − qn∗ )
σ2
rc + σ
1
T rc + 2
−
n 21 + Tn 2σ 2
2
n 2σ
1
2
=
1√
2
pn
T
s
q
n
1 + Tn
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ln
K
A0
−
σ
2
rc + σ2
σ
2
rc + σ2
σ
T
!
s
q
1 − Tn
Binomialmodell für Optionen
2
rc + σ2
σ
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Taylorentwicklung der unteren Grenze 2
=
2
ln AK0 − rc + σ2 T
s
s
q
q
σ2
√
rc +
1 + Tn σ 2
1 − Tn
σ T
2
rc + σ2
σ
(34)
und damit sehen wir
mn − nqn∗
p
−−−→
nqn∗ (1 − qn∗ ) n→∞
ln A
K
r T
0e c
−
√
σ T
σ2
2 T
.
(35)
Analog erhalten wir für die bzgl. q standardisierte untere Grenze
im zweiten Binomialterm in (24)
p
mn − nqn
nqn (1 − qn )
−−−→
n→∞
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ln A
K
r T
0e c
+
√
σ T
σ2
2 T
.
Binomialmodell für Optionen
(36)
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Die Black–Scholes–Merton–Formel
Der Grenzwert des Binomialmodells (26) für der Preis einer
europäischen Call–Option wird damit zur
Black–Scholes–Merton–Formel
C0 = Eq (cn ) = A0 Φ(d1 ) − e −rc T K Φ(d2 )
(37)
mit
rc T
d1 =
e
ln A0 K
√
σ T
rc T
d2 =
Φ(x) =
+
e
ln A0 K
σ2
2 T
,
2
√
−σ T
√ 2
= d1 − σ T ,
σ T
Z x
z2
1
√
e − 2 dz.
2π −∞
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Binomialmodell für Optionen
(38)
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Preis einer Kaufoption (Call long)
50
40
30
20
10
0
60
80
100
120
140
A0
–10
Preis einer Kaufoption in Abhängigkeit vom Aktienpreis A0 .
Parameter: K =110, r =10%(linear ⇒ rc ≈ 9,53%), σ=20% pro Jahr.
Call(blau), für t = 0 < T , Forward (grün: t = 0; gelb: T )
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Binomialmodell für Optionen
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Preis einer Verkaufsoption (Put long)
50
40
30
20
10
0
60
80
100
120
140
A0
–10
Preis einer Verkaufsoption in Abhängigkeit vom Aktienpreis A0 .
Parameter: K =110, r =10%(linear ⇒ rc ≈ 9,53%), σ=20% pro Jahr.
Put(rot) für t = 0 < T , Forward (grün: t = 0; gelb: T )
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Binomialmodell für Optionen
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Schranken für Optionspreise
Eine (europäische, aber auch eine amerikanische) Option kann
auch vor Fälligkeit quasi auf Pump“ ausgeübt werden. Denn die
”
Beziehungen zwischen den Preisen von Call CT ≥ 0 bzw. Put
PT ≥ 0 und den alternativen Anlagemöglichkeiten Aktie AT ≥ 0
sowie Geld KT = K ≥ 0, bzw. Forward FT = AT − K
AT − K = FT ≤ CT = [AT − K ]+ ≤ [AT ]+ = AT
K − AT = −FT ≤ PT = [K − AT ]+ ≤ [K ]+ = K
(39)
zur Zeit T müssen, so weit Arbitragemöglichkeiten ausgeschlossen
sind, zu jeder Zeit gelten, also mit C0 ≥ 0 bzw. Put P0 ≥ 0
[e
[A0 − e −rc T K ]+ = [A0 − K0 ]+ = [F0 ]+ ≤ C0 ≤ A0
−rc T
K − A0 ]+ = [K0 − A0 ]+ = [−F0 ]+ ≤ P0 ≤ K0 = e
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Binomialmodell für Optionen
(40)
−rc T
K.
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Call–Put–Parität zur Ausübungszeit T
40
20
long call(T )
0
80
90
100
110
120 130
140
150
A0
short put(T )
–20
–40
Parameter: K =110. Call, long(blau,durchgezogen), Put, short(rot,gestrichelt).
Bei t = T gilt definitionsgemäß Call(long) + Put(short) = Forward(long),
wobei Put(short) = − Put(long).
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Binomialmodell für Optionen
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Call–Put–Parität vor Ausübungzeit
40
20
forward(T )
long call(t)
0
80
forward(t)
–20
100
120
140
A0
short put(t)
–40
Parameter: K =110, r =10%(linear ⇒ rc ≈ 9,53%), σ=20% pro Jahr.
Call(blau, durchg.), Put(rot, gestr.) für t < T , Forward (grün: t = 0; gelb: T )
Wie zur Zeit T gilt auch hier Call(long) + Put(short) = Forward(long).
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Binomialmodell für Optionen
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Optionspreise nach Black–Scholes–Merton
40
20
0
80
100
120
140
A0
–20
–40
Parameter: K =110, r =10%(linear ⇒ rc ≈ 9,53%), σ=20% pro Jahr.
Call(blau), Put(rot) für t = 0 < T , Forward (grün: t; gelb: T )
Kauf(durchgez.), Verkauf(gestrichelt).
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Binomialmodell für Optionen
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Aktien–, Geld–, Termin– und Optionspreise
200
150
100
50
0
20
40
60
80 100 120 140 160 180 200
A0
–50
–100
Parameter: K =110, r =10%(linear ⇒ rc ≈ 9,53%), σ=20% pro Jahr.
Aktie(cyan), Call(blau), Put(rot) für t < T , Forward (grün: t; gelb: T ) Geld(violett: −K (t); dunkelviol.: −K (T ))
Kauf(durchgezogene Linien), Verkauf(gestrichelte Linien).
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Binomialmodell für Optionen
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Bull Spread
100
50
0
50
100
150
200
A0
–50
–100
C0 (A0 , K1 , T , rc , σ)
−C0 (A0 , K2 , T , rc , σ)
Bull–Spread (vor Fälligkeit): Kombination einer Long–Position in einer
Kaufoption mit Basispreis K1 =60 mit einer Short–Position in einer Kaufoption
mit Basispreis K2 = 140 und gleicher Fälligkeit T .
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Binomialmodell für Optionen
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Kalender–Spread
30
20
10
0
70
80
90
100
110 120
130
140
A0
–10
–20
–30
C0 (A0 , K , T2 , rc , σ)
−C0 (A0 , K , T1 , rc , σ)
Kalender–Spread (horizontaler Spread) bei Fälligkeit der Short–Position
(T1 = 0): Kombination einer Short–Position in einer Kaufoption mit Fälligkeit
T1 mit einer Long–Position in einer Kaufoption mit Fälligkeit T2 (=1) und
gleichem Basispreis K = 110.
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Binomialmodell für Optionen
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Voraussetzungen Black–Scholes–Merton–Gleichung
1. Markt lässt keine Arbitragemöglichkeit zu
2. Derivat ist eine normale, pfadunabhängige Option
3. Lognormalverteilung des Underlyingkurses
4. Zinssatz r bekannt und fest
5. Volatilität σ des Underlyings bekannt und fest
6. keine Transaktionskosten
7. zeitlich kontinuierliches Handeln möglich
8. beliebig kleine Stückelung von Underlying und Geld möglich
9. Leerverkauf des Underlyings und Geldleihe möglich
10. keine Dividenden (in dieser Fassung)
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Binomialmodell für Optionen
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Einige Internetquellen
Die Eurex (weltweit größte Terminbörse)
http://www.eurexchange.com/index.html
Chicago Board Options Exchange
http://www.cboe.com/
Onvista (Kursdaten, einschließlich Optionskennzahlen)
http://www.onvista.de/
Sal. Oppenheim (mit Optionsrechner)
http://www.oppenheim-derivate.de/
Homepage J. Kremer (Materialien und Optionsrechner)
http://www.rheinahrcampus.de/Home.1527.0.html
d-fine Consulting (Vorlesungen)
http://www.d-fine.de/ids/default.asp?TopicID=112
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Binomialmodell für Optionen
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Literatur 1
M. Adelmeyer und E. Warmuth.
Finanzmathematik für Einsteiger.
Vieweg Verlag, Wiesbaden, 2. Auflage, 2005.
Einführung in das Thema, aber mit mathematisch detaillierter Beschreibung
des Binomialmodells für Optionen.
R. Beike und J. Schlütz.
Finanznachrichten.
Schäffer–Poeschel, Stuttgart, 4. Auflage, 2005.
Ausführliche, praxisorientierte und gut lesbare Einführung
in Finanzprodukte, Märkte, Kennzahlen uvm.
H.–P. Deutsch.
Derivate und Interne Modelle.
Schäffer–Poeschel, Stuttgart, 2. Auflage, 2001.
Buch eines Physikers und Beraters mit vielen Details.
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Binomialmodell für Optionen
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Literatur 2
J. C. Hull.
Optionen, Futures und andere Derivate.
Pearson Studium, München, 6. Auflage, 2006.
Das Standardwerk zu Optionen, für Einsteiger geeignet.
J. Kremer.
Einführung in die Diskrete Finanzmathematik.
Springer Verlag, Berlin, 2006.
Umfangreiche mathematische Einführung u.a. in Binomialmodelle,
Java–Programme im Internet erhältlich.
K. Sandmann.
Einführung in die Stochastik der Finanzmärkte.
Springer Verlag, Berlin, 2. Auflage, 2001.
Umfangreiche mathematische Einführung in finanzmathematische Modelle.
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Binomialmodell für Optionen
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Literatur 3
S. E. Shreve.
Stochastic Calculus for Finance I: The Binomial Asset Pricing Model.
Springer Verlag, New York, 2005.
Einführung in die mathematische Begriffsbildung anhand des Binomialmodells.
S. E. Shreve.
Stochastic Calculus for Finance II: Continuous–Time Models.
Springer Verlag, New York, 2004.
Empfehlenswerte, gut verständliche mathematische Einführung.
J. van der Hoek und R. J. Elliott.
Binomial Models in Finance.
Springer Verlag, New York, 2006.
Recht teuer.
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Binomialmodell für Optionen
Einstufiges Binomialmodell
Mehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein
Sonstige Literatur
E. Derman.
My Life as a Quant. Reflections on Physics and Finance.
John Wiley & Sons, Inc., New York, 2004.
Erfahrungsbericht eines Phyikers an der Wall–Street.
R. Lowenstein.
When Genius Failed.
Fourth Estate, London, 2001.
Über die Long Term Capital Management (LTCM) mit den Nobelpreisträgern
Scholes und Merton als Teilhabern und ihre enormen Verluste.
F. Partnoy.
F.I.A.S.C.O.
Penguin Group, New York, 1999.
Erfahrungsbericht eines Derivatehändlers.
Jörg Lemm Vorlesung Finanzmathematik, WS 06/07
Binomialmodell für Optionen