Lösung Serie 3 (Modellieren (SIMULINK + MATLAB))

Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW)
Hochschule für Technik
Institut für Geistes- und Naturwissenschaft
Lösung Serie 3 (Modellieren (SIMULINK + MATLAB))
Dozent: Roger Burkhardt
Klasse: Studiengang ST
Büro: 4.613
Semester: 2
Modul: MDS
Datum: FS2010
1. Aufgabe
Auf eine Masse (m = 20kg, v(0) = 0 ms ) wirkt die Antriebskraft:

0N
x < 0m




250N
0m ≤ x < 10m

10m
≤ x < 20m
450N − x ∗ 20 N
FAntrieb =
m

N

100N − x ∗ 2.5 m 20m ≤ x < 40m



0N
x ≥ 40m
(a) Erstelle ein SIMULINK-Modell um die Bewegung der Masse unter Berücksichtigung
kg
von Gleitreibung (µ = 0.25) und Luftreibung (cw = 0.8, ρ = 1.29 m
3 und
A = 1m2 ) zu untersuchen.
Lösung:
• Modell:
• Graphen:
– Bewegung:
MDS
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– Kräfte:
(b) Bestimme die maximale Geschwindigkeit und die maximale Beschleunigung,
die der Körper erreicht.
Lösung:
Siehe auch entsprechendes Steuerungsskript (s serie3 aufgabe1.m):
m
vmax = 13.67
s
m
amax = 12.5 2
s
(c) Nach welcher Zeit und in welcher Entfernung zum Startpunkt kommt der
Körper zum stehen?
Lösung:
Siehe auch entsprechendes Steuerungsskript (s serie3 aufgabe1.m):
xmax = 44.33m
tmax = 6.38s
(d) Welche Arbeit1 verrichten die drei Kräfte einzeln und gesamthaft? Skizziere
zudem den zeitlichen Verlauf der geleisteten Arbeit und erkläre kurz mit Worten den Sachverhalt.
Lösung:
• Arbeit:
−
→
− →
dW = F ◦ ds
→
−
Z t
Z t
Z t
Z t
−
→
− →
→
− ds
→
− →
W (t) =
dW =
F ◦ ds =
F ◦−
v dt
F ◦ dt =
dt
0
0
0
0
• Modell: Der Integrator ”Integrator2” bestimmt die zeitabhängigen Arbeitsfunktionen!
• Graphen:
1
→
→
Arbeit (verwende einen weiteren Integrator beim Modellieren): dW =F ◦ ds⇒ W =
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R send
sstar
dW
MDS
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2. Aufgabe
)
Ein Masse (m = 1kg) sei am einen Ende einer horizontalen Feder (k = 100 N
m
angebracht. Auf der anderen Seite der Feder sei ein Motor, welcher das zweite Ende
in horizontaler Richtung auslenken kann:
xM = x
b sin (ωt)
(dabei bezeichnet x
b = 0.5m die Amplitude (maximale Auslenkung) und ω die Kreisfrequenz der Schwingung (ω = 2πf )). Zum Startzeitpunkt sei die Feder entspannt
und die Masse in Ruhe.
(a) Erstelle ein SIMULINK-Modell um die Bewegung der Masse zu untersuchen
(mit Einfluss von Gleitreibung (µ = 0.3)).
Lösung:
(b) Bestimme den zeitlichen Verlauf der Auslenkung der Masse für ω1 = 1.5 1s ,
ω2 = 8.5 1s , ω3 = 10 1s , ω4 = 11.5 1s und ω5 = 20 1s . Erkläre die gefundenen
Resultate kurz.
Lösung:
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MDS
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3. Aufgabe
Gegeben sei die folgende Anordnung:
x0
x
Auf einem Tisch liegt ein Seil (mSeil = 1.5kg, lSeil = 2m). Zwischen dem Seil und
der Tischoberfläche wirken Reibungskräfte (µgleit = 0.15, µhaf t = 0.2).
(a) Bestimme alle Kräfte, welche auf das Seil einwirken und stelle die Bewegungsgleichung auf.
Lösung:
Grundsätzlich wirken die folgenden drei Kräfte:
• Gewichtskraft des Seils: Bei der Gewichtskraft des Seils unterteilen wir
das Seil in eine liegende Hälfte mit der Länge lliegend = lSeil − x und
in eine hängende Hälfte mit lhaengend = x. Das liegende Seilstück hat
−x
Seil
die Masse mliegend = mlSeil
lliegend = mSeil lSeil
und es wirkt somit die
lSeil
Kraft Gliegend = mliegend g auf die Tischoberfläche. Das hängende Seilstück
Seil
hat die Masse mhaengend = mlSeil
x und somit wirkt die Kraft Ghaengend =
mhaengend g in x-Richtung.
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• Normalkraft: Da der Tisch das Seil (nur den liegenden Teil des Seils) halten
muss wirkt die Normalkraft N = −Gliegend auf das Seil. Somit heben sich
diese beiden Kräfte gegenseitig auf (Zwangskraft).
• Reibungskraft: Hier müssen wir zwischen Haftreibung Rhaf t ≤ N µhaf t
und Gleitreibung Rgleit = N µgleit unterscheiden. Beide Kräfte hemmen
die Bewegung und wirken daher in negative x-Richtung.
Bewegungsgleichung:
Fres = Ghaengend − R = mSeil aSeil
aSeil
x00
mSeil
lSeil − x
1
xg − mSeil
gµ
=
mSeil lSeil
lSeil
g
lSeil − x
=
x−
gµ
lSeil
lSeil
g
(1 + µ) x − gµ
=
lSeil
(b) Wie gross darf x0 (Anfangslänge des herunterhängenden Seilstücks) maximal
sein, dass das Seil noch nicht vom Tisch gleitet?
Lösung:
Damit dass Seil auf dem Tisch liegen bleibt, muss die Haftreibung grösser als
die Gewichtskraft des hängenden Seilstücks sein:
Ghaengend
mSeil
xg
lSeil
x
x (1 + µhaf t )
= Rhaf t,max
lSeil − x
= mSeil
gµhaf t
lSeil
= (lSeil − x) µhaf t
= lSeil µhaf t
1
x =
lSeil µhaf t
1 + µhaf t
1
=
2m ∗ 0.2 = 0.33333m
1 + 0.2
(c) Erstelle ein Modell um die Bewegungsgleichung numerisch zu lösen (x0 =
0.5m). Erzeuge die Graphen x (t), v (t) und bestimme die Zeit bis das Seil
ganz vom Tisch gerutscht ist.
Lösung:
• Modell:
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• Graphen:
• Zeit bis das Seil vom Tisch gerutscht ist:
tf all = 1.127
(d) Bestimme die Reibungsarbeit.
Lösung:
Die Reibungsarbeit kann man auf verschiedene Arten bestimmen:
• Energiesatz: Wir haben eine bestimmte Anfangsenergie
x0 Estart = mliegend gh + mhängend g h −
2
und eine bestimmte Endenergie
lSeil
1
2
Eend = mSeil g h −
+ mSeil vend
2
2
Da wir Reibungsverluste haben, ist die Energie am Anfang grösser als
die Energie am Ende. Die Differenz der Energien entspricht gerade den
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Reibungsverlusten:
∆WReibung
=
=
=
=
Estart − Eend
x0 lSeil
1
2
mliegend gh + mhaengend g h −
− mSeil g h −
− mSeil vend
2
2
2
lSeil − x0
mSeil
x0 lSeil
1
2
mSeil
gh +
x0 g h −
− mSeil g h −
− mSeil vend
lSeil
lSeil
2
2
2
mSeil
2
2
2 l
glSeil
− vend
Seil − gx0
2lSeil
Die Endgeschwindigkeit beträgt (mittels Simulation) vend ≈ 4.1 ms und
somit erhält man:
2
2
glSeil
− vend
lSeil − gx20
2lSeil
2
m
9.81 s2 (2m)2 − 4.1 ms (2m) − 9.81 sm2 (0.5m)2
= 1.5kg
2 (2m)
= 1.19J
∆WReibung = mSeil
• Mit einem Energiebehälter: Das Modell kann mit einem zusätzlichen Integrator ausgestattet werden, welcher die einzelnen Verluste
mSeil
lliegend gµgleit ds
lSeil
mSeil
ds
=
lliegend gµgleit v
dt
lSeil
dt
|{z}
mSeil
=
(lseil − x) gµgleit vdt
lSeil
dW = F ds =
aufsummiert. Graph für (kummulierte) Reibungsarbeit:
4. Aufgabe
Gegeben sei ein Fadenpendel:
ϕ
l
m
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(a) Bestimme alle Kräfte, die auf die Masse einwirken (mit und ohne Luftwiderstand), und stelle die Bewegungsgleichung auf.
Lösung:
Auf den Massenpunkt wirken die folgenden drei Kräfte:
• Gewichtskraft: G = mg wirkt immer nach unten.
• Seilkraft: Die Gewichtskraft kann in eine radiale Gradial = G cos (ϕ) und
eine tangentiale Komponente Gtangential = G sin (ϕ) zerlegen. Die Seilkraft
muss:
– im Stillstand gerade die radiale Komponente der Gewichtskraft aufheben. Somit gilt für die Seilkraft:
FSeil = mg cos (ϕ)
– wenn sich die Masse bewegt, muss die Seilkraft einerseits die radiale Komponente der Gewichtskraft neutralisieren und zudem noch die
Bahnrichtung verändern (Zentripedalkraft). Somit gilt:
FSeil = mg cos (ϕ) + m
v2
l
• Reibungskraft: Für die Reibungskraft gilt:
1
FLuf treibung = cw σAv 2
2
Diese Kraft wirkt der Bewegung (Geschwindigkeit) entgegen.
Die resultierende Kraft beträgt somit:
−−→
v2
1
0
− sin (ϕ)
cos (ϕ)
2
Fres =
+ mg cos (ϕ) + m
+ cw σAv
−mg
cos (ϕ)
sin (ϕ)
l
2
• Bewegungsgleichung:
– Zweidimensionale Bewegung:
−−→
−
Fres = m→
a


2
00 − mg cos (ϕ) + m vl sin (ϕ) + 21 cw σAv 2 cos (ϕ)
x


= m
1
v2
y 00
−mg + mg cos (ϕ) + m l cos (ϕ) + 2 cw σAv 2 sin (ϕ)
– Eindimensionale Bewegung:
Fres,Bahn = maBahn
1
2
−mg sin (ϕ) − cw σAvBahn
= maBahn
2
1
2
aBahn = −g sin (ϕ) −
cw σAvBahn
2m
x
1
Bahn
2
= −g sin
−
cw σAvBahn
l
2m
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(b) Erstelle das entsprechende Modell (m = 2kg, l = 1m, ϕ (0s) = ϕ0 =
A = 10cm2 , cw = 0.5).
Lösung:
(c) Erzeuge die folgenden Graphen:
• ϕ (t)
• x (t), y (t) und y (x)
• Ekin (t), Epot (t) und Eges (t)
Lösung:
• x (t), y (t) und ϕ (t):
• Bahnkurve y (x):
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π
,
4
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• Ekin (t), Epot (t) und Eges (t):
5. Aufgabe
Ein dünner Stab (mstab = 2kg, L = 1m) ist in der Mitte an einer vertikal angebrachten Schiene befestigt und kann daran gleiten (µgleit = 0.2). Der Besfestigungspunkt
,l
= 1m) gegen oben fest verbunden. Zudem kann
sei mit einer Feder (k = 500 N
m ruhe
sich der Stab um den Aufhängungspunkt frei drehen. Zum Startzeitpunkt befindet
sich die Anordnung in Ruhe und der Stab ist horizontal ausgerichtet. Nun wird am
rechten Ende des Stabes eine Masse (m = 5kg) angebracht.
y
x
ms
S
ϕ
m
(a) Bestimme alle Kräfte und Momente (bezüglich des Drehpunktes).
Lösung:
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• Translation (Kräfte auf die Stabmitte):
−
→
FG = (m + mS ) g
−
→
FF = −kx
1
0
1
0
• Rotation (Momente bezüglich S):
M = mg sin (ϕ)
(b) Erstelle ein SIMULINK-Modell um die Bewegung des Systems zu untersuchen
(Translation des Schwerpunktes und Rotation um den Schwerpunkt).
Lösung:
(c) Skizziere den zeitlichen Verlauf für:
• die Position des Schwerpunktes,
• und den Winkel ϕ
sowie die Bahnkurve, die das rechte Stabende durchfährt.
Lösung:
• Schwerpunkt:
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• Winkel:
• Bahnkurve:
6. Aufgabe
In einem vertikal stehenden quadratischen Rahmen ist ein Massenpunkt (m = 10kg)
mit vier identischen Federn (k = 1kN/m, Ruhelänge der Federn l0 = 0.5m) befestigt:
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(a) Erstelle ein Simulink-Modell um die Bewegung der Masse zu beschreiben (Anfangsbedingungen: x(0) = 0.2, y(0) = 0.3, vx (0) = vy (0) = 0).
Lösung:
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(b) Skizziere die Bahnkurve, auf welcher sich die Masse bewegt.
Lösung:
• Bahnkurve:
• Position (Koordinaten):
• Geschwindigkeit:
• Beschleunigung:
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(c) Skizziere die Graphen für kinetische und potentielle Energie, Federenergie und
Gesamtenergie.
Lösung:
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