Lösungen zu 2. ¨Ubung zur Algebra für Informatiker

Lösungen zu 2. Übung zur Algebra für Informatiker
(SS 14)
Aufgabe 1.
Sei X = Z × N und M = {(a, b) ∈ X | a 6= 0 und ggT (a, b) = 1} ∪ {(0, 1)}.
Definiere die Relation R auf X durch
(a, b) ∼ (c, d) ⇔ ad = bc.
(a) Zeigen Sie, daß R eine Äquivalenzrelation ist.
(b) Zeigen Sie, daß die Äquivalenzklassen von R in Bijektion zu M stehen.
Lösung:
(a) • Reflexiv: Es gilt (a, b) ∼ (a, b).
Denn: ab = ba.
• Symmetrisch: Aus (a, b) ∼ (c, d) folgt (c, d) ∼ (a, b).
Denn aus ad = bc folgt cb = da.
• Transitiv: Aus (a, b) ∼ (c, d) und (c, d) ∼ (e, f ) folgt (a, b) ∼ (e, f ).
Sei ad = bc und cf = de. Dann gilt c = de/f und damit ad = bde/f .
Also folgt adf = bde und damit af = be. (Beachte dabei, daß d 6= 0
und f 6= 0 gilt und daher durch d und f geteilt werden darf.)
(b) Definiere ϕ : X → M durch ϕ((0, b)) = (0, 1) und für a 6= 0 durch
ϕ((a, b)) = (a/ggT (a, b), b/ggT (a, b)). Dann ist ϕ wohldefiniert. Weiter ist
ϕ surjektiv, da ϕ((a, b)) = (a, b) für jedes (a, b) ∈ M gilt. Sei (a, b) ∈ M .
Dann ist ϕ((c, d)) = (a, b) genau dann, wenn (c, d) ∼ (a, b) gilt. Damit
induziert ϕ eine Bijektion auf den Äquivalenzklassen von R.
Aufgabe 7.
Es sei 6N0 = {0, 6, 12, . . .} = {6x | x ∈ N0 }. Entscheiden Sie, welche der
folgenden Abbildungen wohldefiniert, injektiv oder surjektiv ist.
(a) h : N0 → N0 : x 7→ x3 − x.
(b) k : N → 6N0 : x 7→ x3 − x.
Lösung:
(a) • h ist wohldefiniert: Sei x ∈ N0 . Dann ist x3 − x ∈ N0 , denn x3 − x =
x(x + 1)(x − 1) ist eine ganze Zahl und x(x − 1)(x + 1) ≥ 0, da x ≥ 0,
x + 1 ≥ 0 und x − 1 ≥ 0 für x ≥ 1 gilt.
(b)
• h ist nicht injektiv: Es gilt h(0) = h(1) = 0.
• h ist nicht surjektiv: Sei h(x) = 1. Dann gilt x(x + 1)(x − 1) = 1. Da
x, x + 1, x − 1 alles ganze Zahlen sind, würde x | 1 und damit x = 1
folgen. Aber h(1) = 0 und das ist ein Widerspruch. Also existiert kein
x ∈ N0 mit h(x) = 1.
• k ist wohldefiniert: Sei x ∈ N0 . Falls x = 0, so ist x3 − x = 0 ∈ 6N0 .
Falls x 6= 0, so ist x3 − x = x(x − 1)(x + 1) und x, x − 1, x + 1 ∈ N0 .
Eine der drei Zahlen x, x − 1, x + 1 ist durch 3 teilbar. Mindestens
eine der drei Zahlen x, x − 1, x + 1 ist gerade und damit durch 2
teilbar. Insgesamt ist x(x − 1)(x + 1) durch 6 teilbar und damit gilt
x3 − x ∈ 6N0 . Also ist k wohldefiniert.
• k ist injektiv: Für x < y ∈ N folgt k(x) = x(x + 1)(x − 1) < y(y +
1)(y − 1) = k(y).
• k ist nicht surjektiv: Sei k(x) = 12 = x(x − 1)(x + 1). Dann ist x 6= 0
und x ≤ 12. Es gilt k(1) = 0, k(2) = 6 und k(3) = 24. Da k(x) < k(y)
für x < y ∈ N, folgt damit 12 6∈ Bild(k).
Aufgabe 13.
Sei
1
3x + 4
f : R \ { } → R : x 7→
.
2
2x − 1
Zeigen Sie, daß f injektiv ist und bestimmen Sie Bild(f ). Bestimmen Sie die
Abbildung g : Bild(f ) → R \ { 21 } mit g ◦ f = id.
Lösung:
• f ist injektiv, denn
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
(3x + 4)/(2x − 1) = (3y + 4)/(2y − 1)
(3x + 4)(2y − 1) = (3y + 4)(2x − 1)
6xy − 3x + 8y − 4 = 6xy − 3y + 8x − 4
−3x + 8y = −3y + 8x
3x + 8x = 3y + 8y
11x = 11y
x=y
• Zeige: Bild(f ) = R \ {3/2}.
1. Schritt: Sei y ∈ R \ {3/2}. Schreibe y = (3x + 4)/(2x − 1). Dann
folgt y(2x − 1) = (3x + 4) und damit 2xy − y − 3x + 4 = 0. Das liefert
x(2y − 3) = y − 4 und damit x = (y − 4)/(2y − 3), falls y 6= 3/2. Also gilt
y ∈ Bild(f ).
2. Schritt: Sei y ∈ Bild(f ). Dann gilt y ∈ R. Zeige also noch, daß y 6= 3/2
gilt. Annahme: y = 3/2 = (3x + 4)/(2x − 1). Dann folgt 3x + 4 = 3x − 3/2
und damit 4 = −3/2. Das ist ein Widerspruch und es folgt y ∈ R \ {3/2}.
• Definiere g : R \ {3/2} → R durch g(y) = (y − 4)/(2y − 3) wie in der
Bestimmung von Bild(f ).
Aufgabe 19.
Seien f : M → N und g : N → M und h : N → M drei Abbildungen. Zeigen
Sie: ist f surjektiv und gilt g ◦ f = h ◦ f , so folgt g = h.
Lösung: Sei y ∈ N . Dann existiert ein x ∈ M mit f (x) = y. Es gilt dann
g(y) = g(f (x)) = h(f (x)) = h(y). Daher ist g = h.
Aufgabe 25.
Welche der folgenden Strukturen sind Monoide oder Gruppen?
(a) (N, +) oder (N, ·) oder (Z, +) oder (Z, ·).
(b) Z × N mit (a, b) ◦ (c, d) = (ad + bc, bd).
Lösung:
• (N, +) ist kein Monoid (es fehlt das neutrale Element bezüglich +).
• (N, ·) ist ein Monoid (mit neutralem Element 1), aber keine Gruppe, denn
2 hat kein Inverses.
• (Z, +) ist eine Gruppe (mit neutralem Element 0).
• (Z, ·) ist ein Monoid (mit neutralem Element 1), aber keine Gruppe, denn
2 hat kein Inverses.
• Z × N mit (a, b) ◦ (c, d) = (ad + bc, bd) ist ein Monoid, aber keine Gruppe:
(1) ◦ ist assoziativ:
((a, b) ◦ (c, d)) ◦ (e, f ) =
=
=
=
=
(ad + bc, bd) ◦ (e, f )
((ad + bc)f + bde, bdf )
(adf + bcf + bde, bdf )
(a, b) ◦ (cf + de, df )
(a, b) ◦ ((c, d) ◦ (e, f ))
(2) (0, 1) ist neutrales Element:
(0, 1) ◦ (a, b) = (0b + 1a, 1b) = (a, b) für alle (a, b).
(3) E(Z × N) = {(a, 1) | a ∈ Z} 6= Z × N, mit (a, 1)−1 = (−a, 1). Aber
zum Beispiel (1, 2) hat kein Inverses.