Leseprobe - Verlag Franz Vahlen GmbH

WiSt-Taschenbücher
Statistische Formeln und Tabellen
Kompakt für Wirtschaftswissenschaftler
von
Prof. Dr. Josef Bleymüller, Prof. Dr. Rafael Weißbach
13., überarbeitete Auflage
Verlag Franz Vahlen München 2015
Verlag Franz Vahlen im Internet:
www.vahlen.de
ISBN 978 3 8006 4962 4
Zu Inhaltsverzeichnis
schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG
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Mittelwerte
Kapitel 4
Arithmetisches Mittel µ
Bei N Einzelwerten
a1 , a2 , . . . , aN
ist das arithmetische Mittel de niert als
µ=
N
1 ∑
ai .
N i=1
Bei einer Häu gkeitsverteilung mit k verschiedenen Werten
x1 , x2 , . . . , xk
ergibt sich das (gewogene) arithmetische Mittel zu
µ=
k
1 ∑
xi hi
N i=1
bzw. µ =
k
∑
xi fi .
i=1
Bei einer Häu gkeitsverteilung klassi zierter Daten ergibt sich mithilfe der Klassenmitten
x′1 , x′2 , . . . , x′k
näherungsweise
Formeln
µ=
k
1 ∑ ′
xi hi
N i=1
bzw. µ =
k
∑
x′i fi .
i=1
Für eine Grundgesamtheit, die aus k Teilgesamtheiten mit den Umfängen
N1 , N2 , . . . , Nk und den arithmetischen Mitteln µ1 , µ2 , . . . , µk besteht, ergibt
sich das arithmetische Mittel zu
µ=
k
∑
Ni
µi
N
i=1
bzw. N =
k
∑
Ni .
i=1
Median Me und Quartile Q 1 , Q 2 und Q 3
Zunächst werden die Einzelwerte a1 , a2 , . . . , aN so umgeordnet, dass gilt
a[1] ≤ a[2] ≤ . . . ≤ a[N] .
Dann ist bei ungeradem N
8
Me = a[ N+1 ]
2
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Mittelwerte
Kapitel 4
und bei geradem N
)
(
1
] .
a[ N ] + a[ N
Me =
+1
2
2
2
Für großes N kann als Median der größte Merkmalswert a[k] verwendet werden,
für den
F(a[k] ) ≤ 0,5
gilt, wobei F(a[k] ) der Wert der Summenhäu gkeitsfunktion für a[k] ist.
Analog ist das 1. Quartil Q1 der größte Merkmalswert a[ j] , für den
F(a[ j] ) ≤ 0,25
und das 3. Quartil Q3 der größte Merkmalswert a[l] , für den
F(a[l] ) ≤ 0,75
gilt.
Bei klassi zierten Daten ergibt sich der feinberechnete Median aus der Klassenuntergrenze xui und der Klassenobergrenze xoi derjenigen Klasse i, in der die
Summenhäu gkeitsfunktion den Wert 0,5 erreicht:
Me = xui +
0,5 − F(xui ) o
(xi − xui ) .
F(xoi ) − F(xui )
Q1 = xuk +
0,25 − F(xuk ) o
(xk − xuk ) ,
F(xok ) − F(xuk )
wobei k diejenige Klasse ist, in der die Summenhäu gkeitsfunktion den Wert
0,25 erreicht, und
Q3 = xul +
Formeln
In analoger Weise ergeben sich die feinberechneten Quartile zu
0,75 − F(xul ) o
(xl − xul ) ,
F(xol ) − F(xul )
wobei l diejenige Klasse ist, in der die Summenhäu gkeitsfunktion den Wert 0,75
erreicht.
Q2 entspricht dem Median Me.
Modus Mo
Der Modus Mo ist als die häu gste Merkmalsausprägung de niert. Bei klassi zierten Daten wird als Modus die Klassenmitte der Klasse mit der größten Säulenhöhe im Histogramm gewählt.
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Mittelwerte
Kapitel 4
Geometrisches Mittel G
Bei Einzelwerten ist das geometrische Mittel de niert als
G=
√
N
a1 · a2 · . . . · aN
bzw.
log G =
N
1 ∑
log ai .
N i=1
Für Häu gkeitsverteilungen ergibt sich
√
N
G=
xh11 · xh22 · . . . · xhk k bzw.
log G =
k
k
∑
1 ∑
hi log xi =
fi log xi .
N i=1
i=1
In der folgenden Tabelle wird angegeben, bei welchen Skalenniveaus die Berechnung des entsprechenden Mittelwertes sinnvoll ist.
Mittelwerte
Skala
Nominal- Ordinal- Intervall- Verhältnisskala
skala
skala
skala
Modus
Median und Quartile
Arithmetisches Mittel
Formeln
Geometrisches Mittel
10
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
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Streuungsmaße
Kapitel 5
Varianz σ 2 und Standardabweichung σ
Bei Einzelwerten ist die Varianz de niert als
N
N
1 ∑ 2
1 ∑
(ai − µ)2 =
ai − µ2 .
N i=1
N i=1
σ2 =
Bei Häu gkeitsverteilungen erhält man die Varianz zu
k
k
1 ∑
1 ∑ 2
(xi − µ)2 hi =
xi hi − µ2
N i=1
N i=1
σ2 =


k

1 ∑ 2
=
xi hi − 

N i=1

2
k
∑
xi hi 


N 

i=1
bzw.
σ2 =
k
k
∑
∑
(xi − µ)2 fi =
x2i fi − µ2
i=1
i=1
=
k
∑
(
x2i fi
−
i=1
k
∑
)2
xi fi
.
i=1
σ2 =
=
k
k
1 ∑ ′2
1 ∑ ′
(xi − µ)2 hi =
xi hi − µ2
N i=1
N i=1
k
k
∑
∑
2
x′2
(x′i − µ)2 fi =
i fi − µ .
i=1
Formeln
Bei einer Häu gkeitsverteilung klassi zierter Daten ergibt sich die Varianz näherungsweise zu
i=1
Bei einer unimodalen (eingip igen) Verteilung und einer konstanten Klassenbreite
∆x führt die Sheppard-Korrektur zum besseren Näherungswert
(∆x)2
.
12
Für eine Grundgesamtheit, die aus k Teilgesamtheiten mit den Umfängen
N1 , N2 , . . . , Nk , den arithmetischen Mitteln µ1 , µ2 , . . . , µk und den Varianzen
σ12 , σ22 , . . . , σk2 , besteht, ergibt sich die Varianz zu
2
σkorr.
= σ2 −
σ2 =
k
k
∑
Ni 2 ∑ Ni
σi +
(µi − µ)2
N
N
i=1
i=1
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Streuungsmaße
Kapitel 5
mit
N=
k
∑
bzw. µ =
Ni
i=1
k
∑
Ni
µi .
N
i=1
Die Standardabweichung σ ergibt sich jeweils als
√
σ = σ2 .
Standardisierung
Aus den Einzelwerten a1 , a2 , . . . , aN werden die standardisierten Einzelwerte zi
nach der Formel
ai − µ
(i = 1, . . . , N)
zi =
σ
berechnet, wobei
v
u
N
N
u1 ∑
1 ∑
ai und σ = t
(ai − µ)2
µ=
N i=1
N i=1
ist.
Die standardisierten Einzelwerte zi (i = 1, . . . , N) besitzen das arithmetische
Mittel 0 und die Varianz 1.
Formeln
Variationskoef zient VC
VC =
σ
µ
bzw. VC =
σ
100%
µ
Mittlere absolute Abweichung MAD bezogen auf µ
Bei Einzelwerten ergibt sich
N
1 ∑
MAD =
|ai − µ|
N i=1
und bei einer Häu gkeitsverteilung
k
1 ∑
|xi − µ|hi
MAD =
N i=1
bzw.
12
MAD =
k
∑
i=1
|xi − µ|fi .
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Streuungsmaße
Kapitel 5
Spannweite R
Die Einzelwerte a1 , a2 , . . . , aN werden der Größe nach angeordnet, so dass gilt:
a[1] ≤ a[2] ≤ . . . ≤ a[N] .
Dann ist
R = a[N] − a[1] .
Quartilsabstand QA
QA = Q3 − Q1
Mittlerer Quartilsabstand MQA
MQA =
Q3 − Q1
2
Quartilsdispersionskoef zient QDC
Q3 − Q1
100%
Q3 + Q1
In der folgenden Tabelle wird angegeben, bei welchen Skalenniveaus eine Berechnung des entsprechenden Streuungsmaßes sinnvoll ist.
Streuungsmaße
Formeln
QDC =
Skala
Nominal- Ordinal- Intervall- Verhältnisskala
skala
skala
skala
Spannweite
×
×
×
Quartilsabstand
×
×
×
Mittlerer Quartilsabstand
×
×
×
Mittlere absolute Abweichung
×
×
Varianz, Standardabweichung
×
×
Variationskoef zient
×
Quartilsdispersionskoef zient
×
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Kapitel 6
Wahrscheinlichkeitsrechnung
A, B und E bezeichnen Ereignisse; S ist der Ereignisraum.
Klassische Wahrscheinlichkeitsde nition
Sind alle Elementarereignisse gleichmöglich, so ist
Anzahl der für A günstigen Fälle
.
W(A) =
Anzahl aller gleichmöglichen Fälle
Statistische Wahrscheinlichkeitsde nition
W(A) = lim fn (A) = lim
n→∞
n→∞
hn (A)
n
Axiomatische Wahrscheinlichkeitsde nition
Axiome von Kolmogorov:
(1) 0 ≤ W(A) ≤ 1 für A ⊂ S
(2) W(S) = 1
(3) W(A ∪ B) = W(A) + W(B) für A ∩ B = ∅
Aus Axiom (3) ergibt sich die Beziehung
W(A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An ) = W(A1 ) + W(A2 ) + . . . + W(An )
Formeln
für
Ai ∩ Aj = ∅ (i =
̸ j) .
Gegenwahrscheinlichkeit
Für A, das Komplementärereignis von A, gilt
W(A) = 1 − W(A) .
De Morgansche Gesetze
Aus den mengentheoretischen Beziehungen
A ∪ B = A ∩ B und A ∩ B = A ∪ B
lassen sich folgende Regeln ableiten:
W(A ∪ B) = 1 − W(A ∩ B)
14
W(A ∩ B) = 1 − W(A ∪ B) .
und
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Wahrscheinlichkeitsrechnung
Kapitel 6
Additionssatz
W(A ∪ B) = W(A) + W(B) − W(A ∩ B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Für W(A) > 0 ist die bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B unter der
Bedingung A de niert als
W(B/A) =
W(A ∩ B)
.
W(A)
Stochastische Unabhängigkeit
Zwei Ereignisse A, B heißen stochastisch unabhängig genau dann, wenn
W(B/A) = W(B/A) ∨ W(A/B) = W(A/B) ,
bzw. W(A ∩ B) = W(A) · W(B) gilt.
Für stochastisch unabhängige Ereignisse A, B gilt
W(A ∩ B) = W(A) · W(B) .
Formeln
Multiplikationssatz
Für stochastisch abhängige Ereignisse A, B gilt
W(A ∩ B) = W(A) · W(B/A) = W(B) · W(A/B).
Theorem von der totalen Wahrscheinlichkeit
Wenn A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An = S und Ai ∩ Aj = ∅ für i ̸= j gilt, dann ist für E ⊂ S
W(E) =
n
∑
i=1
W(Ai ) · W(E/Ai ) .
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