Partialbruchzerlegung, Integration durch Substitution

Partialbruchzerlegung, Integration
Integration-Substitution
Partialbruchzerlegung, Integration durch
Substitution
Hörsaalanleitung
Dr. E. Nana Chiadjeu
29. 05. 2013
Partialbruchzerlegung, Integration
Partialbruchzerlegung, Integration
1
Partialbruchzerlegung, Integration
2
Integration-Substitution
Integration-Substitution
Partialbruchzerlegung, Integration
Partialbruchzerlegung, Integration
1
Partialbruchzerlegung, Integration
2
Integration-Substitution
Integration-Substitution
Partialbruchzerlegung, Integration
Integration-Substitution
Partialbruchzerlegung, Integration
Aufgabe 1
Gegeben sei die Funktion
f (x) =
−3x 2 + 4x
.
(1 + x 2 )(1 − 2x)
(a) Partialbruchzerlegung:
Man bestimme reelle Zahlen a, b und c, so dass f (x) sich in
der Form
a
bx + c
f (x) =
+
1 − 2x
1 + x2
schreiben lässt.
R
(b) Man finde f (x)dx.
Partialbruchzerlegung, Integration
Integration-Substitution
Partialbruchzerlegung, Integration
Partialbruchzerlegung:
Man bestimme reelle Zahlen a, b und c, so dass f (x) sich in der Form
f (x) =
a
bx + c
+
1 − 2x
1 + x2
schreiben lässt.
f (x) =
(a − 2b)x 2 + (b − 2c)x + a + c
a(1 + x 2 ) + (1 − 2x)(bx + c)
=
2
(1 − 2x)(1 + x )
(1 − 2x)(1 + x 2 )
Koeffizientenvergleich liefert
a − 2b = −3,
b − 2c = 4
somit
f (x) =
a + c = 0 =⇒ a = 1, b = 2, c = −1 .
1
2x − 1
+
1 − 2x
1 + x2
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Integration-Substitution
Partialbruchzerlegung, Integration
Man finde
Z
R
f (x)dx.
Z −3x 2 + 4x
2x − 1
1
dx
=
dx
−
dx
(1 + x 2 )(1 − 2x)
1 + x2
1 − 2x
Z
Z
2x − 1
1
=
dx −
dx
1 + x2
1 − 2x
Z
Z
Z
2x
1
1
−2
=
dx
−
dx
−
−
dx
1 + x2
1 + x2
2
1 − 2x
Z
f (x)dx =
= ln(1 + x 2 ) − arctan(x) +
1
ln |1 − 2x| .
2
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Integration-Substitution
Integration-Substitution
Man berechne das unbestimmte Integral
Z √
e x+1 dx .
t=
√
√
dx
x + 1 =⇒ dt = √
=⇒ dx = 2 x + 1dt = 2tdt .
2 x +1
Z
Z √
x+1
dx = 2te t dt
e
Partielle Integration:
Z
u = 2t =⇒ u 0 = 2, v 0 = e t =⇒ v = e t .
Z
Z
√
x+1
t
t
e
dx = 2te dt = 2te − 2e t = 2te t − 2e t .
Mit Rücksubstitution erhalten wir
Z √
√
√
√
√
√
e x+1 dx = 2 x + 1e x+1 −2e x+1 = 2e x+1 ( x + 1−1)+K .
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Integration-Substitution
Gegeben sei die Funktion
f (x) =
x5
.
1 + x4
Berechnen Sie das√unbestimmte Integral
Substitution x = t.
Z
x5
dx
1 + x4
=
=
=
f (x) dx mit der
√
t2 t 1
√ dt
1 + t2 2 t
2
Z t=x 1
1
1−
dt
2
1 + t2
t=x 2
1
(t − arctan(t) + c)t=x 2
2
1 2
x − arctan(x 2 ) + c
2
Z
=
R
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Integration-Substitution
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Aufgabe 3
Man berechne das folgende Integral (b > a > 0):
Z a p
b2 − x 2 dx .
−a
Man setzte x = b sin(t)
x = b sin(t) =⇒
dx = b cos(t)dt
x = −a =⇒ t = arcsin(
Z
a
p
−a
a
) = − arcsin( )
b
b
Z
b2
−
x2
dx
arcsin( ba )
=
und
x
t = arcsin( )
b
a
x = a =⇒ t = arcsin( )
b
q
b2 − b2 sin2 (t) b cos(t)dt
q
b2 (1 − sin2 (t))b cos(t)dt
− arcsin( ba )
−a
Z
arcsin( ba )
=
− arcsin( ba )
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Integration-Substitution
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Aufgabe 3
Z
arcsin( ba )
=
q
1 − sin2 (t)b2 cos(t)dt
p
cos2 (t)b2 cos(t)dt
− arcsin( ba )
Z
arcsin( ba )
=
− arcsin( ba )
arcsin( ba )
Z
=
b2 cos(t) cos(t)dt
− arcsin( ba )
Z
arcsin( ba )
=
b2 cos2 (t)dt
− arcsin( ba )
Z
=
arcsin( ba )
1
1
b2 ( cos(2t) + )dt
2
2
arcsin( a )
b
1
1 b2 ( sin(2t) + t)
4
2 − arcsin( a )
− arcsin( ba )
=
b
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Integration-Substitution
Integration-Substitution
Aufgabe 3
=
=
=
=
=
a
1
1 arcsin( b )
b ( sin(2t) + t)
4
2 − arcsin( a )
b
1
a
1
a
2
b
sin(2(arcsin( )) + (arcsin( ))
4
b
2
b
1
a
1
a
− sin(2(− arcsin( ))) + (− arcsin( ))
4
b
2
b
1
a
a
b2
sin(2(arcsin( )) + (arcsin( ))
2
b
b
1
a
a
a
b2
2 · sin(arcsin( )) cos(arcsin( )) + (arcsin( ))
2
b
b
b
a
a
ab cos(arcsin( )) + b2 (arcsin( ))
b
b
2