Blatt 5

Übungen zur Algebraischen Geometrie II
Uni Frankfurt, WiSe 2013/14
16. Dezember
Prof. Dr. A. Werner
N. Shajari
Blatt 5
Hausaufgaben
Aufgabe H5.1: Vektorbündel
Definition Es sei Y ein Schema. Ein (geometrisches) Vektorbündel vom Rang n auf Y ist ein Quadrupel
(X, f, (Ui )i , (ψi )i ), das aus folgenden Daten besteht: X ist ein Schema, f : X → Y ist ein Morphismus,
(Ui )i∈I ist eine offene Überdeckung von Y, (ψi : f −1 (Ui ) → AnUi )i ist eine Familie von Isomorphismen,
so dass für alle i, j und alle offenen affinen Teilmengen V = Spec A ⊆ Ui ∩ U j der Automorphismus
n
ψ := ψ j ◦ ψ−1
einen linearen Automorphismus θ von A[x1 , . . . , xn ]
i von AV = Spec A[x1 , . . . , xn ] durch P
gegeben ist, d.h. θ(a) = a für alle a ∈ A und θ(xi ) = ai j x j für geeignete ai j ∈ A. Ein Vektorbündel über
Y sieht also lokal so aus wie der affine Raum über Y.
Ein Isomorphismus g : (X, f, (Ui )i , (ψi )i ) → (X 0 , f 0 , (Ui0 )i , (ψ0i )i ) von zwei Vektorbündeln vom Rang n ist
ein Isomorphismus g : X → X 0 der zugrunde liegenden Schemata mit f = f 0 ◦ g, so dass X, f , die aus
(Ui )i und (Ui0 )i bestehende Überdeckung von Y und die Isomorphismen (ψi )i und (ψ0i ◦ g)i ebenfalls eine
Vektorbündelstruktur auf X definieren.
Für jeden Morphismus f : X → Y ist ein Schnitt von f über einer offenen Teilmenge U ⊆ Y ein
Morphismus s : U → X mit f ◦ s = idU . Schnitte kann man in offensichtlicher Weise verkleben bzw. auf
kleinere offene Mengen einschränken. Man kann daher leicht zeigen, dass die Prägarbe U 7→ {Menge
der Schnitte von f über U} eine Garbe von Mengen auf Y ist, die wir mit S (X/Y) bezeichnen.
(i) Es sei E eine lokal freie Garbe vom Rang n auf einem Schema Y. Ferner sei S (E ) die symmetrische
Algebra von E , X sei Spec S (E ) und f sei der Projektionsmorphismus f : X → Y. Für jede offene
affine Teilmenge U ⊆ Y mit E |U frei, wählen wir eine Basis von E |U und bezeichnen den durch die
Identifikation von S (E (U)) mit O(U)[x1 , . . . , xn ] induzierten Isomorphismus mit ψ : f −1 → AnU .
Zeigen Sie, dass V(E ) B (X, f, (U), (ψ)) ein Vektorbündel vom Rang n auf Y ist, das (bis auf
Isomorphismus) nicht von den gewählten Basen der E |U abhängt. Wir nennen V(E ) das zu E
assoziierte geometrische Vektorbündel.
(ii) Zeigen Sie: Ist f : X → Y ein Vektorbündel vom Rang n, so hat die Schnittgarbe S (X/Y) die
Struktur eines lokal freien OY -Moduls vom Rang n.
(Tipp: Es genügt, die Modulstruktur lokal zu definieren, also können wir Y = Spec A affin und
X = AnY annehmen. Ein Schnitt s : Y → X kommt von einem A-Algebrenhomomorphismus
θ : A[x1 , . . . , xn ] → A. Die Abbildung θ induziert wiederum ein n-Tupel (θ(x1 ), . . . , θ(xn )) von
Elementen in A. Verwenden Sie diese Korrespondenz zwischen Schnitten s und n-Tupeln von
Elementen in A, um die gewünschte Modulstruktur zu definieren.)
(iii) Es sei E eine lokal freie Garbe vom Rang n auf Y. Ferner seien X B V(E ) und S B S (X/Y).
Zeigen Sie, dass S isomorph zur dualen Garbe Eˇ B H omOX (E , OX ) ist.
(Tipp: Einen Schnitt s ∈ Γ(V, Eˇ ) über einer offenen Menge V fassen wir auf als ein Element in
Hom(E |V , OV ). Also definiert s einen OV -Algebrenhomomorphismus S (E |V ) → OV und damit
einen Morphismus V = Spec OV → Spec S (E |V ) = f −1 (V) der Spektren, also einen Schnitt von
X/Y. Diese Konstruktion induziert den gewünschten Isomorphismus von Eˇ in S .)
(iv) Zeigen Sie, dass wir also eine 1:1-Korrespondenz zwischen Isomorphieklassen von lokal freien
Garben vom Rang n auf Y und Isomorphieklassen von Vektorbündeln vom Rang n auf Y haben.
Wir verwenden daher die Begriffe lokal freie Garbe“ und Vektorbündel“ oft synonym.
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Übungen zur Algebraischen Geometrie II
Uni Frankfurt, WiSe 2013/14
16. Dezember
Prof. Dr. A. Werner
N. Shajari
Ein OX -Modul F heißt lokal frei, falls es eine offene Überdeckung (Ui )i∈I von X gibt mit F |Ui ' OU⊕Ji
für alle i ∈ I und eine beliebige Indexmenge J = J(i). Ist die Mächtigkeit der Indexmenge J für alle i
identisch (z. B. im Fall X irreduzibel), so bezeichnet man sie als Rang von F .
Ist F ein OX -Modul, so ist die symmetrische Algebra von F definiert als die zur Prägarbe U 7→
S (F (U)) assoziierte Garbe. Dabei ist S (F (U)) die symmetrische Algebra des OX (U)-Moduls F (U).
(Definition der symmetrischen Algebra eines Moduls: Ist A ein kommutativer Ring und M ein A-Modul,
so sei T n (M) (n ≥ 1)
Tensorprodukt von M mit sich (d.h. M ⊗ · · · ⊗ M). Setze T 0 (M) := A.
Ldas n-fache
n
Dann ist T (M) :=
A-Algebra, die man als Tensoralgebra von M
n≥0 T (M) eine nicht-kommutative
L
n (M) von M ist der Quotient von T (M) nach
bezeichnet. Die symmetrische Algebra S (M) =
S
n≥0
dem zweiseitigen Ideal, das von allen Ausdrücken der Form x ⊗ y − y ⊗ x mit x, y ∈ M erzeugt wird.)
Abgabe der Lösungen zu den Hausaufgaben (H5.x)
am nächsten Montag (13. 01.) in der Vorlesung!