MaI/II-Mathematik

Skriptum Mathematik 1 und 2
Markus Klemm.net
WS 2013/2014, SS 2014
Inhaltsverzeichnis
1 Elementare Grundlagen
1.1 Aussagen und Grundzüge der Logik . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Aussagen, Wahrscheinlichkeitswert . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Aussagenlogik/-verbindungen . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Logische Gesetze Tautologien . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Aussagenfunktionen, Quantoren, Prädikatenlogik . . . .
1.2 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Mengenverknüpfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Gleichmächtigkeit,Kardinalzahlen . . . . . . . . . . . . .
1.3 Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Gruppen, Ringe Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Zahlentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Reellwertige Funktionen einer reellen Veränderlichen . . . . . .
1.4.1 Elementare Funktionen (Teil 1) . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Elementare Funktionen (Teil 2) . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Lineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Lineare Gleichungssysteme, Rang einer Matrix, Inverse .
1.5.5 Vektorrechnung im R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.6 Transformationen im R2 , homogene Koordinaten . . . .
1.5.7 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . .
1
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2 Folgen, Reihen, Grenzwerte
2.1 Zahlenfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Grenzwerte von Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Lineare Rekursionsgleichungen (Differenzgleichungen)
2.1.3 Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen . . . . . . . . . . .
2.2.1 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Stetigkeit von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Differentialrechnung für Funktionen einer reellen Variablen
80
3.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.2 Differentionsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.3 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3.1 Taylorsche Formel, Taylor-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3.2 Grenzwertbestimmung mittels Regel von Bernoulli-l’Hospital . 87
3.3.3 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.3.4 Kurvendarstellungen, Tangenten- und Normalengleichungen, Krümmung 91
3.3.5 Newton-Verfahren zur Nullstellenermittlung . . . . . . . . . . . . 94
4 Integralrechnung für Funktionen einer reellen Veränderlichen
4.1 Integralbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Das bestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Stammfunktionen, unbestimmtes Integral . . . . .
4.1.3 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung .
4.2 Integrationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Integration gebrochenrationaler Funktionen . . . .
4.2.4 Integration von Potenzreihen . . . . . . . . . . . .
4.3 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Geometrische Anwendungen . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Differentialrechnung für Funktionen mehrerer reeller
5.1 Funktionen mehrerer Variabler z = f (x1 , . . . , xn )
5.1.1 Flächen im R3 . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Grenzwerte,Stetigkeit . . . . . . . . . . .
5.2 Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Totale Differenzierbarkeit, Fehlerrechnung . . . .
2
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Variablen
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5.4
5.5
5.6
Weitere Begriffe, Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Lokale Extrema (ohne Nebenbedingungen) von Funktionen zweier
Veränderlicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Lokale Extrema (mit Nebenbedingungen) . . . . . . . . . . . . .
Weitere Begriffe, Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Richtungsableitung, Tangentialebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Integralrechnung für Funktionen von mehreren reellen Variablen
6.1 Integrale über ebene Bereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Begriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Reduktion auf Doppelintegrale . . . . . . . . . . . . .
6.1.3 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.4 Koordinatentransformation . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Oberflächenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Flächen im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Oberflächenelement, Berechnung und Anwendungen .
6.3 Raumintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Begriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Reduktion auf Dreifachintegrale . . . . . . . . . . . . .
6.3.3 Koordinatentransformationen . . . . . . . . . . . . . .
6.3.4 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Gewöhnliche Differentialgleichungen
7.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Geometrische Interpretation . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 DGLn mit trennbaren Variablen . . . . . . . . . . .
7.2.3 Lineare DGLn (1. Ordnung) . . . . . . . . . . . . . .
7.2.4 Einige weitere DGLn 1. Ordnung . . . . . . . . . . .
7.3 Lineare DGL höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten
7.4 Verschiedenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1 Potenzreihenansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.2 Sukzessive Approximation . . . . . . . . . . . . . . .
1 Elementare Grundlagen
1.1 Aussagen und Grundzüge der Logik
1.1.1 Aussagen, Wahrscheinlichkeitswert
Aussagen sind zweitwertig. bool Aussage.
Bezeichnungen: p,q 1 falls wahr
Wahrheitswert (p) =
0 falls falsch
3
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Beispiel: 42 ist die Antwort auf alle Fragen“ Diese Aussage ist falsch.“ Nicht zwei”
”
wertig, ergo keine Aussage.
p
≡
q
|{z}
Identisch→gleicher Wahrheitswert
1.1.2 Aussagenlogik/-verbindungen
1. Negation p
(p0 , ¬p)
2. Konjunktion p ∧ q (Und)
3. Disjunktion p ∨ q (Oder)
4. Implikation
→
p
|{z}
Prämisse
q
|{z}
:= (p ∨ q)
Konklusion
5. Äquivalenz p ↔ q := (p → q) ∧ (q → p)
1.1.3 Logische Gesetze Tautologien
Eine Tautologie t ist eine Aussagenverbindung die unabhängig vom Wahrheitswert der
einzelnen Aussagen stets wahr ist t ≡ 1
Beispiele
1. p ↔ p
2. p ∧ p
3.
a) p ∧ q ↔ p ∨ q (1. Regel von de Morgan)
b) p ∨ q ↔ p ∧ q (2. Regel von de Morgan)
4. (p → q) ↔ (q → p)
5. (p ∧ (p → q)) → q (direkter Beweis)
6. (p ∧ (q → p)) → q (indirekter Beweis)
Bemerkung: Eine Äquivalenz ist genau dann eine Tautologie, wenn beide Seiten identisch sind, z.B. p ≡ p
Beweistechniken Zu beweisen: q
1. Direkter Beweis: Vorraussetzung p,
p→q
2. Indirekter Beweis: Annahme q auf Widerspruch führen
(q → q) → q
(q → 0) → q
4
Weitere Gesetze
• p ∧ q ≡ q ∧ p,
p ∨ q ≡ q ∨ p (Kommutativ)
• (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) . . . (Assoziativ)
• (p ∧ q) ∨ r ≡ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r) . . . (Distributiv)
• p ∨ (p ∧ q) ≡ p (Absorptionsgesetz)
1.1.4 Aussagenfunktionen, Quantoren, Prädikatenlogik
χ sei eine Menge (Gesamtheit von Objekten x mit einem gemeinsamen Merkmal, vgl.
Abschnitt 1.2.)
x ∈ χ . . . x ist Element von χ. Die Objekte haben Eigenschaften (Prädikate). Aussagenfunktion (auch Aussagenform) p(x): Jedem x ∈ χ ist eine Aussage p(x) zugeordnet.
Dabei steht x für ein Element, p für ein Prädikat.
Beispiel 5: χ . . . Menge der positiven natürlichen Zahlen; 1,2,3, . . . p(x) := x ist eine
”
Primzahl“ z.B. p(5) wahr, p(10) falsch
Quantoren Betrachtet werden folgende Aussagen
1. Für alle x (aus χ) gilt p(x): Bezeichung ∀x p(x) (universeller Quantor, Allquantor)
2. Es existiert (mindestens) ein x, für welches p(x) gilt: Bezeichnung ∃x p(x) (existenzieller Quantor)
Zur Schreibweise Bei Anwendungen (außerhalb der reinen Logik) wird oft die Grundmenge χ mit angegeben: ∀x∈χ p(x) usw. Falls sich Quantoren auf eine Teilmenge M
von χ bezeichnen sollen, können dann folgende Schreibweisen verwendet werden: a =
∀x∈M p(x), b = ∃e∈M p(x) Die Schreibweisen in der folgenden Logik sind dann: a =
∀x (x ∈ M ⇒ p(x)), b = ∃x (x ∈ M ∧ p(x))
Rechenregeln
∀x p(x) ≡ ∃x p(x)
∃x p(x) ≡ ∀x p(x)
Mehrstellige Aussagenfunktionen
• p(x1, x2, ..., xn ), x1 ∈ χ1 , ..., xn ∈ χn (Grundmengen χi können gleich sein, müssen
es aber nicht)
• Wird ein Quantor auf eine n-stellige Aussagenfunktion angewandt, so entsteht eine
(n-1)-stelle Aussagenfunktion. (Dabei 0-stellige Aussagenfunktion → Aussage) z.B:
∃y p(x, y, z) , die Varaiable y wird durch den Quantor ∃ gebunden → gebundene
Variable, x und z sind freie Variablen ∃y p(x, y, z) = q(x, z) Beispiel 6: Ein Dorf
5
bestehe aus 2 Teilen (Ober- und Unterdorf). Es sei M die Menge aller Bewohner
des Dorfes. M1 bzw. M2 sei die Teilmengenv von M , die dem Oberdorf bzw. Unterdorf entsprechen. Wir betrachten folgende zweistellige Aussagenfunktion k(x, y)
. . . Person x (aus M ) kennt Person y (aus M )
1.2 Mengen
1.2.1 Begriffe
Menge Zusammenfassung gewisse Objekte (Elemente) mit einem gemeinsamen Mermal zu einem Ganzen
Diskusion Naiver Mengenbegriff, führt zu Widersprüchen. Diese können umgangen
werden, wenn nur Teilmengen einer sogenannten Grundmenge betrachtet werden.
Bezeichnung meist mit großen Buchstaben A,B,...,M x ∈ M . . . x ist Element von M
x∈
/ M . . . x ist kein Element von M
Schreibweise M = {. . . } oder M = {x|p(x)}
Wichtige Grundmengen:
N . . . Menge der natürlichen Zahlen {0,1,2,3,...}
N∗ = {1, 2, 3, ...} = N\{0}
Beispiel 1:
1. M1 . . . Menge der Primzahlen kleiner als 10,
M1 = {2, 3, 5, 7}
2. M2 = {x ∈ R|0 < x < 1} =: (0; 1) . . . Intervallschreibweise
Definition 1 Es seien a und b reelle Zahlen mit a < b.
[a; b] := {x ∈ R|a ≤ x ≤ b} . . . abgeschlossenes Intervall
(a; b) := {x ∈ R|a < x < b} . . . offenes Intervall
[a; b) := {x ∈ R|a ≤ x < b}
(−∞; a] := {x ∈ R| − ∞ < x ≤ a} = {x ∈ R|x ≤ a} usw.
Leere Menge
z.B. {x ∈ R|x = x + 1} enthält kein Element, Bezeichnung ∅ (oder { } )
1.2.2 Mengenverknüpfungen
Definition 2 M1 = M2
:= ∀X(x ∈ M1 ↔ x ∈ M2 ) (Gleichheit)
Definition 3 M1 ⊆ M2 := ∀X(x ∈ M1 → x ∈ M2 ) (Inklusion)
M ist Teilmenge von M2“
” 1
Diskussion Ist M1 ⊆ M2 , aber M1 6= M2 So kann man schreiben M1 ⊂ M2 (Echte
Teilmenge)
6
Definition 4
1. A ∩ B := {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}
Durchschnitt von A und B
2. A ∪ B := {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}
Vereinigung von A und B
3. A\B := {x|x ∈ A ∧ x ∈
/ B}
Differenz A minus B“
”
4. Beim Vorliegen einer Grundmenge E:
A := E\A
Komplementärmenge von A
Diskussion
1. ∪ und ∩ sind kommutativ und assoziativ, z.B. gilt A ∪ B = B ∪ A, (A ∩ B) ∩ C =
A ∩ (B ∩ C) =: A ∩ B ∩ C
2. Allg. IT. . . Indexmenge, z.B. {1, 2, ..., n}, N, Z,
Ai := {x|∃i∈I X ∈ Ai }
dann
i∈I
S
Ai := {x|∀i∈I x ∈ Ai }
i∈I
1.2.3 Relationen
Grundbegriffe
Definition 5 Die Menge M1 × M2 := {(x1 , x2 )|x1 ∈ M1 ∧ x2 ∈ M2 }
heißt kartesisches Produkt der Mengen M1 und M2 . (= Menge ungeordneter Paare)
Beispiel 2 R . . . Menge der reellen Zahlen veranschaulicht durch die Zahlengerade
R2 := R × R = {(x, y)|x ∈ R ∧ y ∈ R . . . x-y-Ebene
Definition 6 Eine Teilmenge T ⊆ M1 × M2 heißt binäre Relation.
Diskussion
1. Verallgemeinerung
M1 × M2 × ... × Mn = {(x1 , x2 , ..., xn )|x1 ∈ M1 , x2 ∈ M2 , ..., xn ∈ Mn }
=Menge der geordneter n-Tupel), eine Teilmenge T ⊆ M1 × M2 × ... × Mn heißt
n-stellige Relation
2. Jede Teilmenge von M1 × M2 ist eine Relation, also auch die beiden Grenzfälle ∅
und M1 × M2 . Wichtig sind aber im Allgemeinem die echten Teilmengen, die die
verschiedensten Beziehungen zwischen den Elementen von M1 und M2 ausdrücken.
7
Definition 7 Eigenschaften binärer Relationen in M1 × M2
Eine Relation T ⊆ M1 × M2 heißt:
1. linksvollständig (linkstotal), wenn für jedes x1 ∈ M1 wenigstens ein x2 ∈ M2
existiert mit (x1 , x2 ) ∈ T
2. rechtsvollständig (rechtstotal), wenn für jedes x2 ∈ M2 wenigstens ein x1 ∈ M1
existiert mit (x1 , x2 ) ∈ T
3. rechtseindeutig, wenn für jedes x1 ∈ M1 höchstens ein x2 ∈ M2 existiert mit
(x1 , x2 ) ∈ T
4. linkseindeutig, wenn für jedes x2 ∈ M2 , höchstens ein x1 ∈ M1 existiert mit
(x1 , x2 ) ∈ T
Definition 8 Eigenschaften binärer Relationen in M × M
Eine Relation T ⊆ M × M (Sprechweise auch Relation auf M) heißt
1. reflexsiv, wenn (x, x) ∈ T
2. symetrisch, wenn (x, y) ∈ T → (y, x) ∈ T
3. antisymetrisch, wenn ((x, y) ∈ T ∧ (y, x) ∈ T ) → x = y
4. asymetrisch, wenn (x, y) ∈ T → (y, x) ∈
/T
5. transitiv, wenn ((x, y) ∈ T ∧ (y, z) ∈ T ) → (x, z) ∈ T
jeweils ∀x, y, z ∈ M gilt.
Zwei Personen x ∈ P und y ∈ P heißen gleichaltrig, wenn x und y das gleiche Geburtsjahr besitzen. Relation G ⊆ P × P mit G = {(x, y)| x und y sind gleichaltrig}
G ist offensichtlich reflexiv, symmetrisch und transitiv. Derartige Relationen nennt man
Äquivalenzrelationen. (vlg. 1.2.3.3). Sie teilen P in disjunkte sog. Äquivalenzklassen auf.
(x äquivalent y, heißt x und y besitzen gleiches Geburtsjahr).
Grafische Darstellung von Relationen T in M × M (auf M )
1.Möglichkeit: Elemente von M nur einmal darstellen, Pfeildarstellung wie bisher, bei
(x, x) ∈ T eine Schlinge zuordnen. x → y z
Reflexivität Bei jedem Element eine Schlinge ( )
Symmetrie Jeder Pfeil x y(x 6= y) besitzt Umkehrpfeil (Antisymmetrie: Schlingen
sind möglich, aber keine Umkehrpfeile, Asymmetrie: Weder Schlingen noch Umkehrpfeile)
8
Transitivität Falls Pfeil x → y eine Fortsetzung y → z besitzt, dann verläuft auch ein
Pfeil von x nach z.
2.Möglichkeit:
(M)
x
y
Mit Koordinatensystem
z
(M)
Reflexivität Die Diagonale IM = {(x, x)|x ∈ M } gehört zu T (IM heißt auch Identitätsrelation, diese Relation ist eine spezielle Funktion)
Symmetrie T ist spiegelsymmetrisch zu IM
Alternative Schreibweisen Es sei T ⊆ M1 ×M2 eine binäre Relation. An Stelle (x, y) ∈
T kann man auch schreiben:
1. x T y (x steht in Relation T zu y), für viele Relationen gibt es spezielle Zeichen
z.B. x < y, g||h.
2. Aussagenfunktion (vlg. Prädikatenlogik) T (x, y) (auch mehrstellig möglich)
Operationen auf Relationen Da Relationen spezielle Mengen sind, gibt es die Operation ∩∪ usw. auch hier. Weitere für Relationen typische Operationen vgl. Definition
9-11.
Definition 9 Es sei T eine Relation in U × V
Die Menge
proj1 (T ) = {x ∈ U |∃y ∈ V
(x, y) ∈ T }
heißt Projektion von T auf U. (1. Faktor des Produkts)
Analog ist
proj2 (T ) = {y ∈ V |∃x ∈ U (x, y) ∈ T }
die Projektion von T auf den 2. Faktor (V ) des Produkts U × V .
9
V
proj2 (T )
T
U
proj1 (T )
Definition 10 Es sei T ⊆ M1 × M2 eine binäre Relation
Die Relation
T −1 := {(y, x)|(x, y) ∈ T } ⊆ M2 × M1
heißt inverse Relation zu T (kurz Inverse).
Definition 11 Es seien T1 ⊆ M1 × M2 und T2 ⊆ M2 × M3 binäre Relationen. Als
Komposition (oder Verkettung) T1 ◦ T2 wird folgende Relation
T1 ◦ T2 := {(x, z) ∈ M1 × M3 |∃y ∈ M2
((x, y) ∈ T1 ∧ (y, z) ∈ T2 )}
in M1 × M3 bezeichnet.
Diskussion Wichtige Eigenschaft der Komposition ◦: Die Operation ◦ ist assoziativ,
d.h. sei T1 ⊆ A×B, T2 ⊆ B ×C und T3 ⊆ C ×D, dann gilt (T1 ◦T2 )◦T3 = T1 ◦(T2 ◦T3 ) =:
T1 ◦ T2 ◦ T3 ⊆ A × D
Definition 12 Es sei T eine Relation in M × M (auf M). Als transitive Hülle T + von
T bezeichnet man die kleinste Relation die T enthält und transitiv ist.
Satz 1 Es gilt
T + = T ∪ (T ◦ T ) ∪ (T ◦ T ◦ T ) ∪ ...
Bemerkung
Bezeichnung für |T ◦ T {z
◦ ... ◦ T} auch T n .
n−mal
Achtung nicht zu verwechseln mit dem Mengenprodukt T × T × ... × T bzw. bei
Funktion mit der n-ten Potenz f n Damit ist
T
+
=
∞
[
g=1
Beweis:
10
Tj
1. T + ist transitiv, dann sei (x, y) ∈ T + ∧ (y, z) ∈ T + , dann existiert natürliche
Zahlen j1 , j2 ≥ 1 mit (x, y) ∈ T j1 und (y, z) ∈ T j2 , d.h. y wird in j1 Schritten von
x aus erreicht und z in j2 Schritten von y aus. Also wird z in j1 + j2 Schritten von
x aus erreicht, d.h.: (x, z) ∈ Tj1 +j2 ⇒ (x, z) ∈ T + .
2. Es sei T ⊆ S für eine transitive Relation S ⇒ T ◦ T ⊆ S ◦ S ⊆ S und für beliebiges
∞
S
j ≥ z T j ⊆ S j ⊆ S und damit T + =
T j ⊆ S, d.h. T + ist tatsächlich die
g=1
kleinste transitive Relation, die T enthält.
Diskussion
1. Analog zur transitiven Hülle einer RElation T in M ×M (auf M) werden die reflexive bzw. die symmetrische Hülle als die jeweils kleinsten Relationen, die T enthalten
und die entsprechende Eigenschaft besitzen, erklärt. Die Ermittlung gestattet sich
etwas einfacher als bei der transitiven Hülle.
Reflexive Hülle von T :
T ∪ IM
dabei IM = {(x, x)|x ∈ M } . . . Identitätsrelation.
Symmetrische Hülle von T : T ∪ T −1
2. Von Bedeutung ist auch die reflexiv-transitive Hülle von T :
(dabei T ∗ transitive Hülle)
T ∗ := T + ∪ IM
Beispiel 8 Gegeben sei die Menge M = {a, b, c, d, e, f } sowie die Relation
T = {(a, b, ), (b, c), (c, e), (b, d), (d, e), (e, f )}
1. Transitive Hülle
Zur Ermittlung der Elemente eines Komposition S◦T : Für jedes Element (x, y) ∈ S
alle Fortsetzungen (y, zi ) ∈ T suchen y (x, zi ) als Element von S ◦ T notieren, falls
noch nicht vorhanden.
Also T ◦ T : (a, b) Fortsetzung (b, c), (b, d) y (a, c), (a, d)
(b, c) Fortsetzung (c, e) y (b, c)
y T ◦ T = T 2 = {(b, c, ), (b, d), (c, e), (c, f ) y T 3 = T ◦ T 2 = {(a, e), (b, f )}
y T 4 = T ◦ T 3 = {(a, f )} y T 5 = T ◦ T 4 = ∅ y T + = T ∪ T 2 ∪ T 3 ∪ T 4
2. Reflexive Hülle: T ∪ {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (f, f )}
3. Symmetrische Hülle: T ∪ T −1 = T ∪ {(b, a), (c, b), ...}
Zur Überprüfung der Eigenschaften aus Definition 8 ist folgender Satz nützlich:
11
Satz 2 Es sei T ⊆ M × M eine binäre Relation. Dann gilt:
1. T ist reflexiv ⇔ IM ⊆ T (IM . . . Identitätsrelation)
2. T ist symmetrisch ⇔ T −1 ⊆ T (⇔ T −1 = T )
3. T ist antisymmetrisch ⇔ T ∩ T −1 ⊆ IM
4. T ist asymmetrisch ⇔ T ∩ T −1 = ∅
5. T ist transitiv ⇔ T ◦ T ⊆ T
Diskussion Aus c) und d) ergibt sich
T asymmetrisch ⇒ T antisymmetrisch
(da ∅ Teilmenge jeder Menge ist, auch von IM )
Äquivalenzrelationen
Definition 13 Eine Relation T ⊆ M × M heißt Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv,
symmetrisch und transitiv ist:
Diskussion:
1. Durch eine Äquivalenzrelation wird M vollständig in paarweise elementfremde
(disjunkte) Äquivalenzklassen zerlegt. Die Menge aller Äquivalenzklassen von M
bezüglich T heißt Quotientenmenge M/T .
Aufgrund der 3 Eigenschaften aus Definition 13 enthält eine Äquivalenzklasse alle
Elemente die untereinander erreichbar sind und nur diese.
2. Äquivalenzklassen enthalten alle Elemente die bezüglich einer bestimmten Eigenschaft nicht unterscheidbar sind (= äquivalent), z.B. Beispiel 4b mit M = P
(Menge von Personen), Äquivalent G ⊆ P × P mit {(x, y)| x u. haben gleiches
Geburtsjahr}, Äquivalenzklassen sind die Jahrgänge.
3. Anstelle der Schreibweisen (x, y, ) ∈ T, ×T y oder T (x, y) verwendet man bei beliebigen Äquivalenzklassen auch x ∼ y. Bei vielen speziellen Äquivalenzrelationen
spezielle Symbole, vlg. Beispiel 9.
Beispiel 9
a) M sei eine beliebige Menge T1 = IM = {(x, y) ∈ M × M |x = y} (Identitätsrelation) ist eine Äquivalenzrelation. Äquivalenz heißt hier gleich! Äquivalenzklassen sind sämtliche einelementige Teilmengen {x}, x ∈ M . T1 liefert
die feinste Zerlegung von M, die möglich ist. Die gröbste Zerlegung“ liefert
”
die Relation T2 = M × M , die trivialerweise eine Äquivalenzrelation ist (mit
nur einer Äquivalenzklasse M). Für die Anwendungen wichtig: Relationen, die
eine echte Zerlegung liefern.
12
b) M = Z (ganze Zahlen), m ∈ N∗ , T ⊆ Z × Z mit
i. (x, y) ∈ T := x und y lassen bei Division den gleichen Rest“
”
ii. Bezeichnung x ≡ y( mod m) x kongruent y (modulo m) z.B. 29 ≡ 8(
mod 7)
iii. T ist eine Äquivlenzrelation auf Z, Äquivalenzklassen: Restklassen (modulo M).
c) M . . . Menge aller Geraden einer Ebene, T ⊆ M × M mit (x, y) ∈ T := x ist
”
parallel zu y“. Bezeichnung x k y, T ist Äquivalenzrelation auf M .
Ordnungsrelation
Definition 14
1. Eine Relation T ⊆ M × M heißt Ordnungsrelation auf M , wenn sie reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.
2. Eine Ordnungsrelation heißt vollständig (oder linear), wenn für alle x, y ∈ M gilt
(x, y) ∈ T ∨ (y, x) ∈ T
Definition 15 Eine Relation T ⊆ M × M heißt strikte Ordnungsrelation, wenn sie
asymmetrisch und transitiv ist. Eine strikte Ordnung heißt vollständig (linear), wenn
für alle x, y ∈ M mit x 6= y gilt: (x, y) ∈ T ∧ (y, x) ∈ T
Beispiel 10
1. M = R, T ⊆ R × R mit (x, y) ∈ T := x ≤ y ist eine vollständige Ordnungsrelation
auf R
2. Die Relation <“ ist eine vollständige, strikte Ordnung auf R.
”
3. E sei die Menge, M sei die Menge aller Teilmengen von E, die sogenannte Potenzmenge M = P(E) T ⊆ M × M mit (A, B) ∈ T := A ⊆ B ist eine Ordnungsrelation P(E) (Inklusion)
Diskussion:
1. In der Literatur wird manchmal eine Relation im Sinne der Definition 14 als Halbordnung und nur eine vollständige Ordnung als Ordnungsrelation bezeichnet.
2. Zu jeder Ordnung T1 (auf M ) gehört eine strikte Ordnung T2 und umgekehrt.
T2 = T1 \IM
bzw. T1 = T2 ∪ IM
(T1 ist die reflexive Hülle von T2 ), z.B. (≤, <) oder (⊆, ⊂)
3. Die Symbole ≤ bzw. < können anstelle der Paarschreibweise auch bei beliebigen
Ordnungen verwendet werden, falls keine anderen Symbole vorhanden.
13
Definition 16 T sei eine Ordnungsrelation auf einer Menge M . Weiter sei A eine Teilmenge von M .
1. Ein Element a ∈ M heißt obere Schranken von A, wenn ∀x ∈ A
(x, a) ∈ T vgl. Diskussion 3.
x ≤ a, d.h.
2. Es sei B die Menge aller oberen Schranken von A (B 6= ∅). Falls es eine kleinste
obere Schranke s von A gibt, d.h. ∃s ∈ B∀b ∈ B s ≤ b, so heißt s das Supremum
von A, s = sup A
3. Gilt s ∈ A, so heißt s das Maximum von A, s = max A = sup A
4. Ein Element M ∈ A heißt maximal, wenn es kein größeres Element in A gibt, d.h.
∀x ∈ A (m ≤ x ⇒ m = x)
Diskussion:
1. Die Begriffe aus Definition 16, lassen sich auf strikte Ordnungen S übertragen,
indem anstelle von S die reflexive Hülle S ∪ IM verwendet wird.
2. Bei Ordnugnsrelationen T (auch strikten) auf endlichen Mengen M , kann ein vereinfachter Graph, das sogenannte Hasse -Diagramm betrachtet werden: a → b(a 6=
b) bedeutet (a, b) ∈ T und es gibt kein Zwischenglied c 6= a und c 6= b mit
(a, c) ∈ T ∧ (c, b) ∈ T , (b ist unmittelbar Nachfolger von a bzw. a ist unmittelbar
Vorgänger von b)
Diesem Diagramm entspricht eine Teilrelation U ⊆ T , deren transitiv-reflexive
Hülle (bzw. transitive Hülle bei strikten Ordnungen) die Relation T ist.
3. Veranschaulichung von Definition 16 mit einem Hasse Diagramm einer nichtvollständigen Ordnung (nicht linear)
c
a
A
e
f
b
d
g
M
obere Schranken von A : e, f, g kleinste obere Schranke = sup A = e max A existiert
nicht, da e ∈
/A
maximale Elemente von A : c, d (es gibt in A keine größeren)
4. Bei nicht linearen Ordnungen müssen obere Schranken, Supremum und Maximum
nicht existieren, es kann mehrere maximale Elemente geben (von A ⊂ M ) Bei
linearen Ordnungen auf endlichen Mengen gibt genau ein maximales Element =
max A = sup A
14
5. Analog zur Definition 16 werden die Begriffe untere Schranke a von A (∀x ∈
A a ≤ x), größte untere Schranke (=Infimum) s von A (B 6= ∅ . . . Menge der
unteren Schranken, ∃s ∈ B ∀a ∈ B a ≤ s), Minimum von A(min A = inf A =
s falls s ∈ A) und minimales Element m von A(∀x ∈ A (x ≤ m ⇒ x = m)
definiert.
Beispiel 11: Eine bestimme Arbeitsaufgabe besteht aus mehreren Arbeitsgängen. Es
sei A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} die Menge der Arbeitsgänge. Die Arbeitsgänge {2, 3, 5} =: S
werden von einer Subfirma durchgeführt. Für die Reihenfolge gilt: 1 muss vor 2, 2 vor 3
und vor 5, 3 vor 4, sowie 5 vor 6 durchgeführt werden.
1. Man beschreibe diese Forderungen durch eine Relation U ⊆ A × A und stelle sie
graphisch dar.
2. Man ermittle die transitive Hülle U + von U .
3. Man gebe (falls vorhanden) obere Schranken, Supremum, Maximum, maximimale
Elemente, sowie untere Schranken, Infimum, Minimum und minimale Elemente
von S an.
Lösung:
1. U = {(1, 2), (2, 3), (2, 5), (3, 4), (5, 6)}
1
2
3
4
A
S
5
6
2. U ◦ U = {(1, 3), (1, 5), (2, 4), (2, 6)}
U 3 = U ◦ U 2 = {(1, 4), (1, 6)}
U4 = U ◦ U3 = ∅
=⇒ U + = U ∪ U 2 ∪ U 3 = ...
U + ist asymmetrisch und transitiv, also strikte Ordnung (Skizze . . . Hasse Diagramm
3.
• S hat keine oberen Schranken, kein Supremum, kein Maximum; aber maximale Elemente: 3, 5
• untere Schranken 1, 2, inf S = min S = 2 (=einziges minimales Element)
Funktionen
15
Definition 17: Eine Relation f ⊆ X × Y heißt Funktion (Abbildung) von X in Y, wenn
sie linksvollständig und rechtseindeutig ist.
Diskussion:
1. Gemäß Definition 7 1 und 3 bedeutet linksvollständig und rechtseindeutig, dass zu
jedem x ∈ X genau ein y ∈ Y mit (x, y) ∈ f existiert, also eindeutige Zuordnung
x → y =: f (x)
Schreibweise
f |X → Y
y = f (x) heißt auch Bild von x, x heißt ein Urbild von y (muss nicht eindeutig
sein)
2. X =: Db(f ). . . Definitionsbereich
W b(f ) := {y ∈ Y|∃x ∈ X (x, y) ∈ f }
⊆ Y. . . Wertebereich
Schreibweise auch f (X ) := W b(f )
Definition 18
1. Eine Abbildung f heißt surjektiv (auch Abbildung auf Y, wenn W b(f ) = Y
2. Eine Funktion f heißt injektiv (auch umkehrbar, eindeutig oder eineindeutig),
wenn es zu jedem y ∈ W b(f ) genau ein x ∈ Db(f ) existiert mit (x, y) ∈ f :
y −→ |{z}
x =: f −1 (y)
|{z}
∈W b(f )
∈Db(f )
Die dadurch erklärte Abbildung f −1 |W b(f ) → Db(f ) heißt Umkehrfunktion von
f , vgl. auch Kapitel 1.4.
3. Eine injektive und surjektive Abbildung heißt bijektiv.
4. Gebräuchlich sind auch die Begriffe Surjektion, Injektion und Bijektion
Beispiel 12: Gegeben seien die Mengen X = {a, b, c} und Y = {1, 2, 3, 4}, sowie folgende Relationen in X × Y :
1. T1 :
a
b
c
(X )
1
2
3
4
(Y)
16
T1 ist eine Funktion (da linksvollständig und rechtseindeutig), Funktion f = T1 :
f |X → Y, diese ist injektiv, Db(f ) = X , W b(f ) = {1, 2, 4} =: W
Die Abbildung f |X → W ist auch surjektiv, also bijektiv. Als Relationen sind
f |X → Y und f |X → W nicht zu unterscheiden, aber als Funktionen.
2. T2 :
a
D
b
c
(X )
1
2
3
4
(Y)
T2 ist keine Funktion, da nicht linksvollständig. Betrachtetman D := {a, b}, so
wird durch T2 eine Funktion f |D → Y beschrieben, diese ist injektiv und kann
mit W := f (D) = W b(f ) = {1, 3} zu einer bijektiven Abbildung f |D → W
umgewandelt werden.
3. T3 :
a
b
c
(X )
1
2
3
4
(Y)
T3 ist keine Funktion, da nicht rechtseindeutig.
Beispiel 13:
1. f |[0, ∞) → R mit x → y = f (x) =
chen (injektiv, Db(f ) = [0, ∞)
√
x ist eine Funktion einer reellen Veränderli-
2. f |R × R → R mit z = f (x, y) = x2 + y 2
(x, y) → f (x, y) = x2 + y 2 =: z Funktion zweier reeller Veränderlichen
n
3. f |N → R mit n → f (n) = n+1
. . . reelle Zahlenfolge f (0) = 0, f (1) = 12 , f (2) =
2
3 , ... Bezeichnung meist mit Index an := f (n) y Folge (an )n∈N
Definition 19 Es seien g|X → U mit x → u = g(x) und f |U → Y mit u → y = f (u)
zwei Abbildungen. Dann stellt die Zuordnung x → y = f (g(x)) eine Abbildung von X
|{z}
u
in Y dar, eine sogenannte mittelbare Funktion (Komposition/Verkettung).
Bezeichnung: g ◦ f |X → Y mit y = (g ◦ f )(x) = f (g(x))
Diskussion:
17
X
U
Y
1.
x → u = g(x)|u → y = f (u) = f (g(x))
Paarschreibweise(x, u) ∈ g|(u, y) ∈ f y (x, y) ∈ g ◦ f
2. g wird zuerst angewendet, dann f ; wie bei beliebigen Relationen, also Schreibweise
g◦f
3. In der Literatur findet man leider oft die Schreibweise f ◦ g, offenbar angelehnt an
die Schreibweise f (g(x)). Die Reihenfolge ist aber von innen nach außen, erst g,
dann f .
Bei allen späteren Anwendungen von mittelbaren Funktionen
(Vorlesungen,Literatur) die Schreibweise überprüfen. Im Zweifelsfall stets die immer eindeutige Schreibweise f (g(x)) ohne Verwendung von ◦“ benutzen!
”
Satz 3 Es sei f |X → Y eine Bijektion, d.h. es existiert die Umkehrfunktion f −1 |Y → X .
Weiter bezeichne für eine beliebige Menge A die Schreibweise iA die identische Abbildung
(Identitätsrelation, d.h. iA |A → A und iA (x) = x (x ∈ A).
Es gilt dann:
f ◦ f −1 = iX , d.h.(f ◦ f −1 )(x) = f −1 (f (x)) = x
(∀x ∈ X )
f −1 ◦ f = iY , d.h.(f −1 ◦ f )(y) = f (f −1 (y)) = y
(∀y ∈ Y)
(Funktion und Umkehrfunktion nacheinander angewandt heben sich auf“)
”
Beweis: ÜA 1.31
Satz 4 Es seien g|X → U und h|U → Y zwei Bijektionen. Dann ist die Komposition
f := g ◦ h|X → Y ebenfalls eine Bijektion und es gilt:
f −1 = (g ◦ h)−1 = h−1 ◦ g −1
Zum Beweis: x → u = g(x) → y = h(u) = h(g(x)) = (g ◦ h)(x)
Umkehrung: y → u = h−1 (y) → x = g −1 (u) = g −1 (h−1 (y)) = (h−1 ◦ g −1 )(y)
Mehr zu Imkehrfunktionen reeller Funktionen im Kapitel 1.4..
1.2.4 Gleichmächtigkeit,Kardinalzahlen
E sei eine (hinreichend umfassende) Grundmenge, die alle für eine mathematische Theorie relevanten Objekte (Zahlen,Funktionen usw.) enthält.
M sei die Potenzmenge von E, d.h. M = P(E)
18
Definition 20 Zwei Mengen A und B (A ⊆ E, B ⊆ Ebzw.A ∈ M, B ∈ M ) heißen
gleichmächtig. (Bezeichnung (A ∼ B), wenn eine bijektive Abbildung von A auf B (und
damit auch von B auf A bzw. zwischen A und B) existiert.
Diskussion:
1. Offensichtlich ist die Relation T ⊆ M × M mit (A, B) ∈ T := A ∼ B eine
Äquivalenzrelation auf M .
2. Äquivalenzklassen sind MEngen gleichmächtiger Teilmengen von E. Diese Äquivalenzklassen nennt man Kardinalzahlen.
3. Bei endlichen Mengen bedeutet Gleichmächtigkeit: gleiche Anzahl von Elementen.
A
={
a,
b,
c}
B
={
1,
2,
3}
(bijektive Abbildung)
Bezeichnung: card A = |A| = 3 = |B| Natürliche Zahlen sind die Kardinalzahlen
endlicher Mengen.
4. Die Anschauung versagt bei unendlichen Mengen.
A
B
Die Strecken A und B sind gleichmächtig, obwohl A länger als B ist.
Definition 21 Eine Menge heißt abzählbar unendlich, wenn sie mit der Menge N =
{0, 1, 2, 3, ...} der natürlichen Zahlen gleichmächtig ist.
Diskussion:
1. M ist abzählbar unendlich heißt, es existiert eine Zählvorschrift, bei der jedes
Element von M nach endlichen vielen Schritten erreicht wird.
2. Die Menge Z der ganzen Zahlen ist abzählbar unendlich. Anordnung nach wachsenden Betrag: Z = {0, −1, 1, −2, 2, −3, 3, ...}
3. Q+ . . . Menge der positiven rationalen Zahlen.
Q+ = { 11 , 21 , 12 , 13 , /22 , 31 , ...}
y Analog zu Z: Die Menge der rationalen Zahlen Q ist abzählbar unendlich.
19
4. Es gibt Mengen, die mächtiger als die Menge der natürlichen Zahlen sind: Überabzählbare Mengen.
B heißt mächtiger als A, wenn es eine injektive Abbildung f |A → B gibt, aber
keine bijektive Abbildung, Schreibweise |A| < |B|,
Satz 5 Die Menge M = {x ∈ R|0 < x < 1} = (0; 1) ist überabzählbar.
Beweis: (Cantorsches Diagonalverfahren): Indirekt, angenommen M = (0; 1) sei
abzählbar unendlich, d.h. M = {x1 , x2 , x3 , ...}. Für die Zahlen xh wählen wir z.B. die
eindeutige Darstellung als Dezimalbruch (9er Periode verwenden)
(1) (1) (1)
x1 = 0, a1 a2 a3 ...
(2) (2) (2)
x2 = 0, a1 a2 a3 ...
(3) (3) (3)
x3 = 0, a1 a2 a3 ...
...
(
(k)
1 falls ak 6= 1
Es sei z = 0, b1 b2 b3 ... mit bk =
(k = 1, 2, 3, ...)
(k)
2 falls ak = 1
Damit unterscheiden sich xk und z auf jedem Fall an der h-ten Stelle y z 6= xk (∀k), z
ist also nicht in der Folge x1 , x2 , x3 , ... enthalten, also z ∈
/ M . Andererseits gilt 0 < z < 1,
also z ∈ (0; 1) = M Widerspruch. q.e.d.
Satz 6 Es sei E eine nichtleere Menge. Dann ist die Potenzmenge M = P(E) mächtiger
als E.
Beweis:
1. Die Abbildung f |E → M mit f (x) = {x}, die jedem Element x ∈ E die eindeutige
Teilmenge {x} ∈ M zuordnet ist injektiv.
2. Angenommen, es gäbe eine bijektive damit auch surjektive) Abbildung g|E → M
Es sei A = {x ∈ E|x ∈
/ g(x)} ∈ M
(A ist Teilmenge von E). Da g surjektiv ist, gibt es ein Element a ∈ E mit g(a) = A
Fallunterscheidung:
1. a ∈
/ A = g(a) → a ∈ A (Widerspruch)
2. a ∈ A = g(a) → a ∈
/ A (Widerspruch)
Beide Fälle führen auf Widerspruch, es gibt also keine surjektive Abbildung, damit auch
keine bijektive Abbildung von E auf P(E).|
Diskussion: Satz 6 zeigt, dass es unendlich viele unendliche Mächtigkeiten gibt. Zum
Beispiel gibt |N| < |P(N)| < |P(P(N))| usw.
Satz 7 Die Potenzmenge P(N) der Menge der natürlichen Zahlen ist gleichmächtig dem
Intervall (0;1), also überabzählbar.
Beweis: s ÜA 1.38
20
Prinzip der vollständigen Induktion Es sei n0 ∈ N. Zu beweisen ist: Für alle natürli”
chen Zahlen n ≥ n0 gilt die Aussage p(n)“ Es sind also abzählbar unendlich viele Aussagen zu beweisen.
Satz 8
1. Es sei p(n0 ) wahr. (Induktionsanfang)
2. Für alle natürlichen Zahlen n ≥ n0 sei die Implikation p(n) → p(n + 1) wahr
(Induktionsschluss)
Dann gilt: p(n) ist für alle n ≥ n0 wahr.
Zum Beweis:
1. y p(n0 ) wahr
2. p(n0 ) → p(n0 + 1)
Prämisse wahr, Implikation wahr y Konklusion p(n0 + 1) wahr usw.
Beispiel 14: Zu beweisen ist
n
X
k2 =
k=1
1. p(1) : 12 =
1·2·3
6
2. Es gelte p(n) :
(wahr) Induktionsanfang
n
P
k2 =
n(n+1)(2n+1)
6
k2 =
(n+1)(n+2)(2n+3)
6
k=1
zu zeigen p(n + 1) :
n(n + 1)(2n + 1)
für alle n ∈ N ∗
6
n+1
P
k=1
Induktionsschluss: p(n) → p(n + 1)
n+1
n
P 2
P
k =
k 2 + (n + 1)2
k=1
k=1
n(n+1)(2n+1)
+ (n + 1)2
6
n+1
6 (n(2n + 1) + 6(n +
n+1
6 (n + 2)(2n + 3)|
=
=
=
1)) =
n+1
2
6 (2n
+ 7n + 6)
1.3 Zahlen
1.3.1 Gruppen, Ringe Körper
• Geg. sei eine Menge M und eine zweistellige Operation ◦ (d.h. Abbildung M ×M →
M ), Bezeichnung (M, ◦), analog bei 2 Operationen (M, ◦, ∗)
• Die Operation ◦ heißt kommutativ, wenn a◦b = b◦a und assoziativ, wenn (a◦b)◦c =
a ◦ (b ◦ c) für beliebige a, b, c ∈ M gilt.
21
Definition 1 (M, ◦) heißt Gruppe, wenn gilt:
1. Die Operation ◦ ist assoziativ
2. Es gibt genau ein neutrales Element e ∈ M mit a ◦ e = e ◦ a = a (für alle a ∈ M ).
3. Es gibt zu jedem a ∈ M genau ein inverse Element a−1 mit a−1 ◦ a = a ◦ a−1 = e
4. Eine Gruppe heißt Abelsch , wenn zusätzlich gilt: ◦ ist kommutativ
Definition 2 (M, ⊕, ∗) heißt Ring, wenn gilt:
1. (M, ⊕) ist Abelsche Gruppe
2. Die Operation ∗ ist assoziativ
3. Es gelten für beliebige a, b, c ∈ M
a ∗ (b ⊕ c) = (a ⊕ b) ⊕ (a ∗ c)
(a ⊕ b) ∗ c = (a ∗ c) ⊕ (b ∗ c) (Distributivgesetz)
Eine Ring heißt kommutativer Ring, wenn gilt
4. ∗ ist kommutativ
Definition 3 (M, ⊕, ∗) heißt Körper, wenn gilt:
1. (M, ⊕, ∗) ist ein Ring (mit dem neutralen Element 0 für die Operation ⊕ )
2. (M \{0}, ∗) ist Abelsche Gruppe mit dem neutralem Element 1 für die Operation
∗
1.3.2 Zahlentheorie
• Eine natürliche Zahl p > 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist, heißt
Primzahl
• Jede natürliche Zahl n > 1 ist entweder eine Primzahl oder sie lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben. Diese Primzahlenfaktorzerlegung ist bis auf die
Reihenfolge eindeutig.
Definition 4 Zwei natürliche Zahlen heißen teilerfremnd, wenn sie außer 1 keine gemeinsamen Teiler besitzen.
Es sei a ∈ Z und m ∈ N∗ Dann gibt es eine eindeutige Darstellung der Gestalt
a = q · m + r mit 0 ≤ r < m und q ∈ Z Bezeichunungen
m . . . Modul
r . . . (kleinste nicht neg) Rest modulo m
r = mod(a, m)
Zur Erinnnerung: a und b seien ganze Zahlen, m ∈ N∗ , dann a ≡ b( mod m) [ a
kongruent b modulo m] ⇔ a und b haben den gleichen Rest modulo m ⇔ a − b ist durch
m teilbar. D.h. ∀k ∈ Z a − b = k · m
22
Satz 1 Es sei a ≡ b( mod m), c ≡ d( mod m), dann gilt:
a + c ≡ b + d(
mod m) und a · c ≡ b · d
d.h. in Summen und Produkten darf jede Zahl durch einen beliebigen Vertreter der
gleichen Restklasse ersetzt werden
Bemerkung: z.B. Restklasse 1 (modulo 7): {..., −20, −13, −6, 1, 8, 15, 22, ...}
Beispiel 1 (Modulo m=6)
1. 307 + 598 ≡ 1 + (−2) ≡ −1 ≡ 5( mod 6)
2. 307 · 598 ≡ 1 · (−2) ≡ −2 ≡ 4( mod 6)
3. 5986 ≡ (−2)6 ≡ 64 ≡ 4( mod 6)
Man wählt aus jeder Restklasse den kleinsten nichtnegativen Vertreter y Menge von
Resten modulo m {0, 1, 2, ..., m − 1} =: Zm y Modulare Arithmetik: Operationen ⊕ und
für Zahlen aus Zm erklärbar, indem für das Ergebnis jeweils der kleinste nichtnegative
Rest modulo m gewählt wird (vgl. Satz 1). Z.B. für Z7 = {0, 1, 2, ..., 6} : 5 ⊕ 6 = 4 (da
5 + 6 ≡ 11 ≡ 4( mod 7)) 5 6 = 2, denn 5 · 6 ≡ 30 ≡ 2 mod 7)
Falls keine Verwechslungen zu befürchten sind, werden die üblichen Schreibweisen + und ·
anstelle ⊕ bzw. benutzt.
Definition 5 Wenn es zum c ∈ Zm eine Zahl d ∈ Zm gibt mit c · d ≡ 1( mod m) (bzw.
c d = 1), so heißt d die (multiplikative) modulare Inverse von c in Zm
Bezeichnung: d = c−1
Beispiel 2: c = 3 ∈ Z7 , wegen 3 · 5 ≡ 1( mod 7) ist in Z7 : 3−1 = 5
Satz 2 Zu a ∈ Zm , a 6= 0, gibt es genau dann eine modulare Inverse in Zm , wenn a
und m teilerfremd sind.
Satz 3 Es sei p eine Primzahl. Dann ist (Zp , ⊕, ) ein Körper.
Bemerkung: Falls m keine Primzahl ist, so ist (Zm , ⊕, ) nur ein kommutativer Ring.
Euklidischer Algorithmus
• Verfahren zur Ermittlung des größten gemeinsamen Teilers t zweier positiver natürlicher Zahlen T = ggT (a, b)
• In erweiterter Form bietet der Algorithmus eine Möglichkeit zur Berechnung der
modularen Inversen von a zum Modul m (a < m, a und m teilerfremd).b
23
Satz 4 (Euklidischer Algorithmus)
Es seien a, b ∈ N∗ , a > b. Man bildet die (endliche) Folge
r0 := b , r1 =
...rn =
mod (a, b), r2 =
mod (r0 , r1 ), ...
mod (rn−2 , rn−1 ) , Abbruch falls rn = 0
In diesem Fall gilt
ggT(a, b) = rn−1
(letzter, nicht verschwindender Rest)
[ggT(m, n) · kgV(m, n) = |m · n|]
Bezeichnungen: j-te Division
rj−2 : rj−1 = qj Rest rj (j = 1, ..., n)
(dabei r−1 = a)
Satz 5 (erweiterter Euklidischer Algorithmus)
Zusätzlich zur Folge (rn ) aus Satz 4 bilde man die Folgen
x0 = 0, x1 = 1, x2 = x0 − q2 x1 , ..., xj = xj−2 − qj xj−1
(j ≤ n − 1) und
y0 = 1, y1 = −q1 , y2 = y0 − q2 y1 , ..., yj = yj−2 − qj yj−1
(j ≤ n − 1)
Dabei ist qj der ganzzahlige Quotient bei der Division von rj−2 durch rj−1 , d.h. rj−2 =
qj rj−1 + rj [und −q1 = r1b−a ]
Dann gilt für alle j = 0, ..., n − 1 : rj = xj a + yj · b Insbesondere gilt ggT (a, b) =
xn−1 a + yn−1 b
Diskussion:
1. Der Sinn des erweiterten Euklidischen Alg. besteht darin, in jedem Schritt den
Divisionsrest als Linearkombination von a und b mit ganzzahligen Koeffizienten x
und y darzustellen:
r =x·a+y·b
Der Mechanismus wird am besten im nachfolgendem Beispiel 4 deutlich
2. Sind c und m teilerfremd, 1 ≤ c < m, d.h. ggT (c, m) = 1, so erhält man mit Satz
5 (a = m, b = c) eine Darstellung der Form 1 = x · m + y · c y y · c ≡ 1( mod m)
und damit c−1 ≡ y( mod m)
(Für die modulare Inverse muss eventuell noch der in Zm−1 liegende zu y kongruente Wert ermittelt werden)
Beispiel 3: Man ermittle den größten gemeinsamen Teiler t sowie das kleinste gemeinsame Vielfache v der Zahlen 132 und 84
24
• Es genügt der einfache“ Algorithmus:
”
• v=
a·b
t
=
132 : 84
= 1 Rest 48
84 : 48
= 1 Rest 36
48 : 36
= 1 Rest 12 y t = ggT (132, 84) = 12
36 : 12
= 3 Rest 0ENDE
132·84
12
= 924
Beispiel 4: Man ermittle die modulare Inverse von |{z}
11 zum Modul |{z}
25
b
Eulersche ϕ-Funktion
a
Satz von Euler
Definition 6 Es sei n ∈ N∗ . Dann Eulersche ϕ-Funktion:
ϕ(n) := Anzahl der zu nteilerfremden Elemente aus {1, 2, ..., n}
Eigenschaften der ϕ-Funktion
• Es sei ϕ eine Primzahl, dann gilt ϕ(p) = p − 1, ϕ(pk ) = pk−1 (p − 1)
• Falls ggT (m, n) = 1, so gilt ϕ(m · n) = ϕ(m) · ϕ(n)
Speziell
n = p · q; p und q Primzahlen, dann ϕ(n) = (p − 1)(q − 1)
(1)
Satz 6 (Satz von Euler)
Es sei ggT (a, n) = 1, dann gilt
aϕ(n) ≡ 1(
mod n)
(2)
RSA-Verschlüsselung
• Die Formeln 1 und 2 bilden die Grundlage für die sogenannte RSA-Verschlüsselung.
(Rivest, SHARMIR, Adleman 1978)
• Schlüsselerzeugung
1. Man wählt (in der Praxis sehr große) Primzahlen p und q
2. n := pq; m := ϕ(n) = (p − 1)(q − 1)
3. e wird so gewählt, dass ggT (e, m) = 1 ist
4. d := e−1 ( mod m) (modulare Inverse)
25
5. (n, e) . . . öffentlicher Schlüssel
(n, d) . . . geheimer Schlüssel (geheim ist nur d) p, q und m werden nicht mehr
benötigt, bleiben aber geheim!
• Verschlüsselung: Klartext a teilerfremd zu n verschlüsseln mit e, d.h. b :≡ ae (
mod n) bilden → b . . . Geheimtext
• Entschlüsselung: Der Empfänger und Besitzer des geheimen Schlüssels bildet bd (
mod n) und erhält bd ≡ a( mod n), denn bd ≡ (ae )d ≡ aed ≡ a1+k·m ≡ a1+kϕ(n) ≡
ϕ(n)
k
a·( a
| {z } ) ≡ a( mod n)
≡1 wegen 1
• Praktische Durchführung vgl. ÜA 2.4
1.3.3 Reelle Zahlen
R . . . Menge der reellen Zahlen
Auf R existiert eine algebraische Struktur und Ordnungsstruktur.
Algebraische Struktur (R, +, ·) mit den Operationen + (Addition) und · (Multiplikation) ist ein Körper.
Definition 7
1. 0! := 1; n! := n · (n − 1)! (n ∈ N∗ )
rekursive Definition)
2. Sei α ∈ R, k ∈ N∗ dann: α
α
α−1
α
0 := 1, k := k · k−1 . . . Binominalkoeffizient ”α über k“
α(α−1)·...·(α−k+1)
α
k =
k!
Diskussion
1. Für
k, n n∈ N, o ≤ n!k ≤ n gilt:
n
k = n−k = k!(n−k)!
2. Binomischer Satz
n X
n n−k k
n n−1
n n−2 2
n
(a + b) =
a
b =a +
a
b+
a
b + ... + bn
k
1
2
n
k=0
26
Stellenwertsysteme
• Es sei b > 1 eine natürliche Zahl (die sogenannte Basis)
•
x = (xp xp−1 ...x1 x0 , x−1 x−2 ...x−q )b := xp · bp + xp−1 · bp−1 + ...
+x1 · b1 + x0 b0 + x−1 b−1 + ... + x−q b−q
(3)
heißt Darstellung von x zur Basis b.
• Übergang von einem Ziffernsystem zu einem anderen Grundlage: Aus 3 ergibt sich
durch fortgesetztes Klammern
x = ((...((xp b + xp−1 )b + xp−2 )b + ... + x2 )b + x1 )b + x0
((...(x−q b−1 + x−(q−1) )b−1 + ... + x−2 )b−1 + x−1 )b–1
(4)
Beispiel 8:
1. (A8C, B2)16 = (1010 1000 1100, 1011 0010)2
2. (|{z}
110 1110
)2 = (6E, A)16
|{z}, 101(0)
| {z }
6
14=E
10=A
Zahlendarstellung im Computer
Ganze Binärzahlen in Zweierkomplementdarstellung (n Bit, mit n=8,16,32,64)
• Beispiel: n = 8 : (100)10 = (64)16
01100100
27 26 25 24 23 22 21 |{z}
20
|{z}
MSB
LSB
MSB. . . most significant bit
LSB. . . least siginificant bit
• Um auch negative Zahlen darstellen zu können, wird das MSB als Vorzeichenbit
reserviert. Negative zahlen −a (1 ≤ a ≤ 2n−1 ) werden im sogenannten Zweierkomplement ā := 2n − a (y ā ≤ 2n−1 y MSB = 1)
• Nichtnegative Zahlen 0 ≤ a ≤ 2n−1 −1 werden unverändert dargestellt. (MSB = 0)
• Damit Darstellung ganzer Zahlen von −2n−1 bis 2n−1 − 1
27
Umwandlung negativer Zahlen in Zweierkomplement Beispiel 9: (n = 8) umzuwandeln sei −100(dezimal)
1. Möglichkeit (für die Handrechnung):
100 = |{z}
28 −100 = |{z}
156 = 10011100
256
(9C)16
Bemerkung: Das Zweierkomplement der positiven Zahl 100 ist die positive Zahl
100 = 156, diese wird wegen MSB = 1 als negative Zahl −100 interpretiert.
2. Möglichkeit (am schnellsten!) Rechts (bzw. LSB) beginnend alle Ziffern bis einschließlich der ersten 1 unverändert lassen, für alle höherwertigen Ziffern z das
Einerkomplement 1 − z bilden.
100 : 0110 0100
100 : 1001 1100
Rückumwandlung (Zahl ist mit MSB = 1 → negative Zahl) analog 156 = 256 − 156 =
100 y −100
Die Subtraktion wird auf die Addition des Zweierkomplements zurückgeführt.
Beispiel 10: a = 64 − 100 = 64 + (−100)
Bemerkung: Für die Handrechnung (z.B.) 2 − 5 =: a) kleinere Zahl von der größeren
Subtrahieren a = −(5 − 2), daher genügt für n die Binärstellenzahl des Minuenden
(5)10 = (101)2 , also n = 3.
Es wird ausschließlich mit nichtnegativen Zahlen gerechnet:
(5 − 2)10 = ((5 + 2n − 2) − 2n )10 = (5 + 2̄ − 2n )10
| {z }
2̄
2 = (010)2 y 2̄ = (110)2
5101+
2̄110
(1)011 vordere Stelle ignorieren (2n )
y 5 − 2 = 3 y a = −3
Verallgemeinerung: Festkommasystem (feste Stellenzahl, Komma an fester Stelle).
Vorteil: rundungsfreie Rechnung, nur Überlauf 1 muss beachtet werden
Nachteil: Nur sehr beschränkter Zahlenbereich darstellbar →
Gleitkommasystem
x = v · m · be
• v=
1
(−1)V
. . . Vorzeichen =
Ein Überlauf (Ergebnis ≥
a b a+b
MSB 0 0
1
MSB 1 1
0
V = 0 positive Zahl
V = 1 negative Zahl
2n−1 oder <
28
−2n−1 ) entsteht in folgenden Fällen Error:
• m . . . Mantisse, Stellenzahl p, die Mantisse heißt normalisiert, falls sie die Gestalt
m1 , m2 m3 ...mp oder 0, m1 m2 ...mp mit m1 6= 0, dabei m1 , ..., mp Ziffern zur Basis b
• e . . . Exponent, ganzzahlig emin ≤ e ≤ emax
In jedem Gleitkommasystem sind nur endlich viele Zahlen darstellbar, Die Menge
der reellen Zahlen ist aber überabzählbar (unendlich). Gleitkommazahlen liegen auf der
reellen Zahlenachse diskret verteilt (fester Exponent y gleiche Abstände, wächst der
Exponent um k, so wachsen die Abstände auf das bk -fache)
Veranschaulichung für b = 10, Mantissenlänge p = 1
Rundung: Zahlen die nicht in dieses Raster“ passen, werden auf die nächstgelegene
”
Gleitkommazahl gerundet.
Falls die Zahl genau in der Mitte zwischen zwei Rasterzahlen“ liegt, wird auf die nächst”
gelegene gerade Zahl gerundet.
Numerische Probleme beim Rechnen mit Gleitkommazahlen
• Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetze gelten allgemein nicht. Ursachen
sind z.B. Ziffernauslöschung bei Subtraktion von fast gleichen Zahlen, Addition
oder Subtraktion von Zahlen unterschiedlicher Größenordnung, Aufsummierung
von Rundungsfehlern.
• Beispiel 11: Man berechne (a + b) + c und a + (b + c) in einem System mit 3-stelliger
Mantisse:
a = 3, 73 · 106 , b = −3, 71 · 106 , c = 6, 42 · 103
a+b = 0, 02·106 = 2, 00·104 (Normalisierung) c = 6, 42·103 = 0, 642·104 = 0, 64·104
(Exponentenausgleichung und Rundung).
y (a + b) + c = 2, 64 · 104 = 26400
c = 0, 00642 · 106 = 0, 01 · 106 (Exponentenausgleichung und Rundung)
y b + c = −3, 70 · 106
y a + (b + c) = 0, 03 · 106 = 3, 00 · 104 = 30000
exakter Wert: a + b + c = 26420
• Aufgabe der numerischen Mathematik ist es, die unvermeidlichen Genauigkeitsverluste beim Rechnen mit Maschinenzahlen durch optimale Organisation der Rechnung und Fehleranalyse in Grenzen zu halten.
Gleitkommaformel IEEE 754 (single precision, 32 Bit)
x = v · m · be = (−1)V · 1, m2 m3 · ... · m24 · 2E−B (b = 2)
• Vorzeichen V = 0 y positiv, V = 1 y negativ (1Bit)
• Mantisse m1 im Binärsystem stets = 1 y nur Abspeicherung von M = m2 m3 . . . m24
(23 Bit)
29
• Exponent Abgespeichert wird E := e + B, (mit dem sogenannten Biaswert B =
127) als nichtnegative 8-stellige Binärzahl, (8 Bit)
emin = −126(E = 1), emax = 127(E = 254 = 1111 1110)2 )
(Die Grenzfälle E = (0000 0000)2 und E = (1111 1111)2 sind für Sonderfälle vorgesehen (0, ∞, nicht definierte Werte))
• Abspeicherung in der Reihenfolge V |E|M
Beispiel 12 Umwandlung Dezimalzahl IEEE 754 (32-Bit) x = 435, 9 (vgl. Beispiel 6)
1. Konvertierung in Dezimalzahl (unter Verwendung von Beispiel 6 /Hexadezimalzahl)
x = (1 |{z}
B 3, |{z}
E 6̄)16 = (1 1011 0011, 1110 0110
... )2
|{z} 0110
|{z} |{z}
11
14
Periode
2. Normalisierte Darstellung, Mantisse mit 23 Stellen nach Komma y
8
x = (1, 1011
0011 1110
{z0110 0110 011} |0 0110 ...)2 · 2
|
M (Abrundung!)
3. Exponent e = 8 y E = e + B = 8 + 127 = 135 = (87)16 = (1000 0111)2
4. V = 0 (da x positiv)
y x · 0| 1000 0111| 1011 0011 1110 0110 0110 011
Beispiel 13 IEEE754 Dezimalzahl
1| 1000 0011| 0111 1100 0000 0000 0000 000
1. E = (1000 0011)2 = 131 y e = E − B = 131 − 127 = 4
2. V = 1 y x < 0, normalisierte Mantisse 1, M
y x = −(1, 0111 11)2 · 24 = −(1 0111, 11)2 = −23, 75
Bemerkungen:
1. Neben dem single Format gibt es in IEEE 754 u.a. das double Format (64 Bit ,
V=1 Bit, E=11 Bit, M=52 Bit, B = 210 − 1 = 1023)
2. Zahlenbereiche:
single: 1, 401 · 10−45 ...3, 403 · 1038
double: 4, 941 · 10−324 ...1, 798 · 10308
30
Ordnungsstrutkur
• Durch ≤ ist auf R eine vollständige Ordnungsrelation erklärt.
• Verträglichkeit mit der algebraischen Struktur: ∀x, y, z ∈ R :
1. x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z
2. (x ≤ y) ∧ (z ≥ 0) ⇒ x · z ≤ y · z
3. (x ≤ y) ∧ (z ≤ 0) ⇒ x · z ≥ y · z
Definition 8
Es sei x eine reelle Zahl. Dann heißt |x| :=
x falls x ≥ 0
−x falls x < 0
der
(absolute) Betrag von x.
y
x
0
Diskussion: Es gilt |a − b| = Abstand der Zahlen a und b auf der Zahlengeraden“
”
|a − b|
a
b
Speziell |a| . . . Abstand von a zum Ursprung 0“
”
Lösen von Ungleichungen
Beispiel 14 (Ungleichung von Beträgen)
Gesucht Lösungsmenge L der reellen Zahlen, die die Ungleichung
|x − 1| < 3 +
1
·x
2
(5)
erfüllen.
• “kritische Stellen: Nullstelle des Terms innerhalb der Betragszeichen, also x = 1
”
y Fallunterscheidung
1. Fall
2. Fall
x
(
)[
)
8
1
L1
L2
−4
3
Dabei jeweils Beträge auflösen gemäß Definition 8
31
• 1. Fall
1
(5) ⇔ −(x − 1) < 3 + x
2
3
3
d.h. x − 1 < 0 ⇔ − x < 2 | : (− )
2
2
4
⇔x>−
3
x < 1,
y L1 = {x|x < 1 ∧ x > − 34 } = (− 43 ; 1)
• 2. Fall
x ≥ 1,
1
(5) ⇔ (x − 1) < 3 + x
2
1
1
⇔ x<4 |:
2
2
⇔x<8
y L2 = {x|x ≥ 1 ∧ x < 8} = [1; 8)
y L = L1 ∪ L2 = (− 34 , 8)
Beispiel 15 (Ungleichungen mit gebrochen rationalen Termen)
x
< 1 | · (x + 1)
x+1
• Falls x + 1 < 0 kehrt sich Ungleichungszeichen um! y Fallunterscheidung
• kritische Stelle(n): Nenner-Nullstellen, hier x = −1
• 1. Fall: x < −1
x+1<0
y L1 = ∅
(6) ⇔ x > x + 1 ⇔ 0 > 1
y Widerspruch
• 2. Fall: x > −1 (6) ⇔ x < x + 1 ⇔ 0 < 1 (wahre Aussage)
y L1 = {x|x > −1 ∧ 0 < 1} = (−1; ∞)
y L = L1 ∪ L2 = (−1; ∞)
Beispiel 16 (quadratische Ungleichungen)
9
3
x2 + 3x < 10 ⇔ (x + )2 − < 10
2
4
3 2 49
⇔ (x + ) <
2
4
3
7
⇔ |x + | <
2
2
7
3
7
⇔− <x+ <
2
2
2
⇔ −5 < x < 2
32
(6)
Diskussion:
• In vielen Fällen ist auch ein grapischer Lösungsansatz möglich. Dabei sind geeignete Schnittpunkte (= Gleichung) exakt rechnerisch zu ermitteln, anschließend
Ungleichungszeichen betrachten.
• Im Beispiel 16: x2 + 3x < 10 ⇔ x2 + 3x − 10 < 0
|
{z
}
=:f (x)
Nullstellen von f (x) :
y
x2
+ 3x − 10 = 0 y x1 = −5, x2 = 2
L
−5
2
x
y L = (−5; 2)
Schranken und Grenzen
• Eine Menge M ⊆ R heißt nach oben beschränkt, wenn es eine obere Schranke gibt,
vgl. Kapitel 1.2..
Man kann zeigen, dass es bei dieser Ordnungsrelation (≤) auf R dann auch eine
kleinste obere Schranke s gibt.
(= Supremum sup M ; s = max M falls s ∈ M )
• Analog: nach oben beschränkt, Infimum, Maximum
• Falls M nicht nach oben beschränkt ist, d.h. falls gilt:
∃a ∈ R∀x ∈ M x ≤ a ≡ ∀a ∈ R∃x ∈ M x > a, dann
Schreibweise sup M := ∞
• Analog: inf M = −∞
• M heißt beschränkt, falls M nach oben und unten beschränkt ist.
Beispiel 17 M = {1 + n1 |n ∈ N∗ }
• obere Schranken z.B: 3712; π; 2, 01
kleinste obere Schranke sup M = max M = 2
• untere Schranken: z.B: −31; 0; 0, 99
größte untere Schranke inf M = 1
1∈
/ M y min M existiert nicht!
33
1.3.4 Komplexe Zahlen
Motivation: z.B. x2 = −1 im Bereich der reellen Zahlen nicht lösbar y Zahlenbereichserweiterung
Begriff, Rechenregeln Die Menge C der komplexen Zahlen ist eine Obermenge der
Menge der reellen Zahlen mit folgenden Eigenschaften:
1. C enthält eine Zahl i mit i2 = −1 (oft auch j bezeichnet)
2. Jede komplexe Zahl z lässt sich in der Form z = x + i · y
Dabei
(x, y ∈ R) darstellen.
x = Re(z) . . . Realteil
y = Im(z) . . . Imaginärteil
3. Auf C werden die Operatoren + (Addition) und · (Multiplikation) wie folgt erklärt:
Es seien z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2
Dann:
z1 + z2 := x1 + x2 + i(y1 + y2 )
z1 · z2 := x1 · x2 − y1 y2 + i(x1 y2 + x2 y1 )
Die Menge C wird mit diesen Operationen zum Körper der komplexen Zahlen. Die
arithmetischen Operationen erfolgen unter Beachtung von i2 = −1 wie im Reellen.
4. Auf C gibt es keine natürliche Ordnungsrelation.
Veranschaulichung: Gausssche Zahlenebene
−−→
Zahl z ↔ Punkt P (x, y) ↔ OP (Vector)
34
imaginäre Achse
P
iy
z = x + iy
|z|
i
1
ϕ
x
0
reelle Achse
|z|
−iy
• Betrag von z : |z| =
z̄ = x − iy
p
x2 + y 2
−−→
• Hauptargument von z: orientierter Winkel ϕ von positiver x-Achse zum Strahl OP
(gemessen auf kürzestem Wege!)
y Arg z := ϕ(−π < ϕ ≤ π)
• z̄ = x − iy . . . die zu z = x + iy konjugiert komplexe Zahl.
Diskussion:
1. Falls nicht notwendig kürzester Weg gewählt wird → Argument arg z = Arg z +
2kπ, k ∈ Z
z.B: z = 1 − i
35
iy
(ein) Nebenarg.: arg z = 315◦
1
x
Arg z = −45◦
−i
2. Berechnung von Arg z(z 6= 0) : cos ϕ =
(
Arg z =
x
|x|
y
x
arccos( |z|
) falls y ≥ 0
x
− arccos( |z| ) falls y < 0
Beispiel 18: z1 = 3 + 4i, z2 = −12 − 5i
iy
z1
4i
i
−12
ϕ2
1. Betrag u. Hauptargument
√
|z1 | = 32 + 42 = 5
ϕ1 = Arg z1 = arccos 35 =
ϕ1
1
−5i
z2
53, 13◦
| {z }
Gradmaß=DEG
p
2
2
|z2 | = (−12) + (−5) = 13
◦
ϕ2 = Arg z2 = − arccos −12
13 = −157, 38
2. Arithmetische Operationen
Addition: z1 + z2 = −9 − i
Subtraktion: z1 − z2 = 15 + 9i
Multiplikation: z1 · z2 = −36 − 15i − 48i − 20 |{z}
i2 = −16 − 63i
−1
36
x
Division: zz12 = zz21 ·
3+4i
also: zz12 = −12−5i
·
z¯2
z¯2 (Erweiterung mit z¯2
−12+5i
56
33
−12+5i = − 169 − 169 i
Trigonometrische Darstellung
iy
y Nummer wird reell z2 · z¯2 = |z2 |2 )
Eulersche Formel, exponentielle Darstellung
z
ϕ
x
(mit ϕ = arg z meist ϕ = Arg z)
x = |z| cos ϕ
y = |z| sup ϕ
z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) (trigonometrische Darstellung.
Diskussion: z1 = |z1 |(cos ϕ1 + i sin ϕ1 ), z2 = |z2 |(cos ϕ2 + i ∈ ϕ2 )
y z1 · z2 = |z1 | · |z2 |·
Folgerung:
|z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |, arg(z1 · z2 ) = arg z1 + arg z2
|
z1
|z1 |
z1
|=
, arg( = arg z1 − arg z2
z2
|z2 |
z2
(7)
(8)
Definition 10
eiϕ := cos ϕ + i sin ϕ Eulersche Formel
Diskussion:
1. Exponentielle Darstellung von z:
z = |z| · eiϕ
2. Wegen der Formeln (7) und (8) bleiben für diese Darstellung die vom Reellen hier
behaupteten Potenzgesetze gültig. Insbesondere gilt die Formel von Moivre:
z n = (|z| · eiϕ )n = |z|n einϕ
Beispiel 19:
◦
• z1 = 3 + 4i = 5(cos 53, 13◦ + i sin 53, 13◦ ) = |5 · ei·53,13
{z }
| {z } |
{z
}
arithm.
z2 = −12 − 5i =
exponentiell
trigonometrisch
◦
13e−i·157,38
37
12
• z = −1
√ + i, gesucht z
√ i· 3π
−1
◦ = 3π y z =
2e 4
=
135
|z| = 2, Arg z = arccos √
4
2
√
3π
12
y z 12 = 2 ei·12· 4 = 26 ei·9π = 64 · eiπ
y arithmetische Darstellung über die trigonometrische Darstellung
z 12 = 64(cos
| {zπ} +i sin
| {zπ}) = −64
−1
0
Spezielle Gleichungen
Quadratische Gleichung: z 2 + pz + q = 0 (p, q ∈ R
2
⇔ (z + p2 )2 = p4 − q
q
2
p2
p
1. 1. Fall: 4 − q ≥ 0 y z1,2 = − 2 ± p4 − q
2. 2. Fall:
⇔ (z +
y z1,2
p2
4
p
2
− q < 0 y (z + p2 )2 =
p2
4
p2
=0
− q ⇔ (z + p2 )2 + q −
| {z 4}
=:a2 >0
p
2
+ ia)(z + − ia) = 0
q
2
= − p2 ± i · q − p4
Praktisches Vorgehen: Lösungsformel z1,2 =
√
Formel −1 = ±i setzen
Beispiel 20: x2√
+ 28 + 200 = 0
y x1,2 = −14 ± 196 − 200 = −14 ± 2i
− p2
±
q
p2
4
− q stets anwenden, im Fall 2
Kreisteilungsgleichung: z n = b, b ∈ C, n ∈ N∗
Lösung:
• b exponentiell darstellen b = |b|eiβ , β = Arg b
• 1.3.4 besitzt die folgenden n Lösungen:
p
β+k·360◦
zk = n |b| · ei n , k = 0, 1, 2, ..., n − 1
Zum Beweis: Ansatz
z = r · eiϕ y z n = rn einϕ = |b|eiβ
p
n
n
y 1 : r = |b| y r = |b|
◦
2 : nϕ = β + k · 360◦ y ϕ = β+k360
n
Beispiel 21: z 4 = −16 (b = −16 y |b|b = 16, β = π = 180◦ )
◦
d.h. z 4 = 16 · ei·180
180◦ +k·360◦
◦
◦
4
y zk = 2 · e i
= 2ei(45 +b·90 ) (k = 0, 1, 2, 3)
◦
◦
◦
◦
i135
i225
z0√= 2ei45
z1 =
z2 =
z3 √
= 2ei315
√
√ 2e √
√ 2e √
√
= 2 + 2i = − 2 + 2i = − 2 − 2i = 2 − 2i
Anwendung: Faktorisierung des Polynoms p(x) = x4 +
√z0 , z1 , z2 , z3
√ 16, Nullstellen
4
2
2
y x + 16 = (x − z0 )(x − z3 )(x − z1 )(x − z2 ) = (x − 2 2x + 4)(x + 2 2x + 4)
38
Beispiel 22 R, C und L in Reihe (Stromkreis). R = 100ΩC = 20µ F = 20 · 10−6 As
V L=
Vs
1H = 1 A ω = 2π · 50Hz
1
1
Gesucht: Gesamtwiderstand Z. Z = R + RC + RL = R + ωLi + ωCi
= R + i(ωL − ωC
)=
◦
i·57,17
(100 + 155, 04i)Ω = 184, 44e
Scheinwiderstand |z| = 184, 44Ω
Wirkwiderstand Re(Z) = 100Ω
Blindwiderstand Im(Z) = 155, 04Ω
Phasenverschiebung Arg(Z) = 57, 17◦
1.4 Reellwertige Funktionen einer reellen Veränderlichen
1.4.1 Elementare Funktionen (Teil 1)
Polynome
Definition 1 y = f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0
(a0 , a1 , . . . , an ∈ R, x ∈ R) heißt ganze rationale Funktion oder Polynom vom Grade n,
falls an 6= 0
• Zur Berechnung der Funktionswerte zweckmäßig: Horner-Schema, vgl Stellenwertsysteme
• Horner-Schema liefert gleichzeitig das Ergebnis der Division durch den Linearfaktor (x − x0 ) vgl. Beispiel 1
Beispiel 1: f (x) = x5 − 2x3 + x2 − 6, x0 = 3
gesucht f (x0 ), f (x) : (x − x0 )
1 0 −2 1 0
−6
3 9 21 66
198
x0 = 3
1 3 7 22 66 192 = r0 = f (3)
192
f (x) : (x − 3) = x4 + 3x3 + 7x2 + 22x + 66 + x−3
Satz 1 Es sei f (x) = pn (x) = an xn + · · · + a0 ein Polynom vom Grade n (d.h. an 6= 0).
Dann besitzt f in C genau n Nullstellen x1 , . . . , xn und es gilt:
f (x) = an (x − x1 ) · (x − x2 ) · · · · (x − xn ) (Zerlegung in Linearfaktoren)
(9)
Diskussion:
1. Falls in (9) ein Faktor (x − x0 ) genau k-mal vorkommt (1 ≤ k ≤ n), so heißt x0
eine k-fache Nullstelle
2. Nicht-reelle Nullstellen sind möglich, sie treten stets paarweise ls konjugiert komplexe Zahlen auf (x0 , x0 ). In diesem Falle Zusammenfassung der Linearfaktoren zu
einem reellen quadratischen Faktor möglich:
(x − x0 )(x − x0 ) = x2 − (2Rex0 ) · x + |x0 |2
39
3. Falls a0 , a1 , . . . , an ganze Zahlen sind, so sind eventuell vorhandene ganzzahlige
Nullstellen stets Teiler von a0
4. Allgemeine Methoden zur Nullstellenberechnung später (Kap. 3)
Beispiel 2: p(x) = x4 + x3 − 5x2 + x − 6, gesucht Nullstellen durch (systematisches)
Probieren, vgl. Diskussion 3
x1
=2
|{z}
Teiler von 6:±1,±2,±3,±6
Horner-Schema
1 1 −5 1
−6
x1 = 2
2
6
2
6
1 3
1
3 0 y p(x) = (x − 2)(x3 + 3x2 + x + 3) y durch Prob.: x2 = −3
x2 = −3
−3 0 −3
1 0
1
0
y p(x) = (x − 2)(x + 3)(x2 + 1)x3,4 = ±i
Zerlegung in Linearfaktoren: p(x) = (x − 2)(x + 3)(x − i)(x + i)
Gebrochenrationale Funktionen
m
am x +···+a1 x+a0
Definition 2 y = f (x) = p(x)
q(x) = bn xn +···+b1 x+b0
(am 6= 0,bn 6= 0, Db(f ) = {x ∈ R|q(x) 6= 0}) heißt gebrochenrationale Funktion.
echt gebrochen falls m < n
f heißt
unecht gebrochen falls m ≥ n
Diskussion:
• Wir nehmen o.B.d.A. an, dass Zähler und Nennerpolynom keine gemeinsamen
Nullstellen besitzen (ansonsten: Kürzen gemeinsamer Faktoren in Zähler u. Nummer)
• Die Nullstellen des Nennerpolynoms heißen Polstellen der gebrochenen rationalen
Funktion (xp . . . Polstellen, dann lim |f (x)| = ∞)
x→xp
• Die Nullstellen des Zählerpolynoms sind die Nullstellen von f (x)
• Verhalten von f (x) bei k-facher Nullstelle oder Polstelle
Vorzeichenwechsel ⇔ k ungerade
• Polynomdivision p(x) : q(x) = a(x) +
|{z}
Polynom
r(x)
q(x)
| {z }
echt gebrochenen
y = a(x) ist die sogenannte Asymptote.
Beispiel 3: y =
y
x3 +22
x2 −x−2
=
x2 (x+2)
(x+1)(x−2)
=x+3+
5x+6
x2 −x−2
• Nullstellen :x = 0(2-fach), x = −2
• Polstellen: x = −1, x = 2 (einfach → Vorzeichenwechsel)
40
• Asymptote y = x + 3
Schnittstellen und Asymptote: 5x + 6 = 0 y x = −1, 2
yVereinfachte Kurvendiskussion (ohne Extremstellen, Wendestellen)
Trigonometrische Funktionen Übliche Definitionen der trigonometrischen Funktionen.
Definition 3 Eine Funktion y = f (x) heißt periodisch, wenn es eine Zahl p > 0 gibt mit
f (x) = f (x + p) (für alle x ∈ Db(f )). Die kleinste positive Zahl p mit dieser Eigenschaft
heißt Periode von f .
Definition 4 Eine Funktion y = f (x) heißt
1. gerade, wenn f (−x) = f (x) ∀x ∈ Db(f )
2. ungerade, wenn f (−x) = −f (x) ∀x ∈ Db(f )
Diskussion
y = f (x)
Db(f )
Periode Symmetrie
y = sin x
R
2π
ungerade
y = cos x
R
2π
gerade
π
y = tan x R\{ 2 + kπ|k ∈ Z}
π
ungerade
y = cot x
R\{kπ|k ∈ Z}
π
ungerade
Einige wichtige Formeln
1
sin x
sin2 x + cos2 x = 1 , tan x = cos
x , cot x = tan x
2
sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = 2 cos x − 1 = 1 − 2 sin2 x
Exponentialfunktionen
y = f (x) = ax (a > 0, x ∈ R
• Wichtig: Potenzgesetze, z.B. ax1 · ax2 = ax1 +x2 usw.
• Besondere Bedeutung besitzt die Funktion y = ex (x ∈ R) mit e = lim (1 + n1 )n =
n→∞
2, 7182...
Hyperbelfunktionen
Definition 5 hyperbolicus
1 x
(e + e−x ) , x ∈ R
2
1 x
(e − e−x ) , x ∈ R
2
sinh x
,x ∈ R
cosh x
1
, x 6= 0
tanh x
y = cosh x :=
y = sinh x :=
y = tanh x :=
y = coth x :=
41
1.4.2 Umkehrfunktionen
• Zur Erinnerung: y = f (x), x ∈ Db(f ) heißt injektiv (umkehrbar eindeutig), wenn
es zu jedem Bild y ∈ W b(f ) genau ein Urbild x ∈ Db(f ) mit y = f (x) gibt, d.h.:
y −→ |{z}
x =: f −1 (y)
|{z}
∈W b(f )
∈Db(f )
Die dadurch erklärte Funktion f −1 |W b(f ) → Db(f ) heißt Umkehrfunktion f −1 ( f
”
oben -1 “) von f .
Es gilt: Db(f −1 ) = W b(f ), W b(f −1 ) = Db(f )
• Bilden der Umkehrfunktion zu y = f (x), x ∈ Db(f )
1. Auflösen der Funktionsgleichung y = f (x) nach x : x =: f −1 (y) (falls dies
eindeutig möglich ist, anderfalls existiert −1 nicht!)
2. Oft erfolgt noch eine Vertauschung von x und y
y = f −1 (x), x ∈ Db(f −1 ) = W b(f )
Vertauschung entspricht geometrisch einer Spiegelung an der Geraden y = x, vgl.
Beispiel 4.
√
x + 2, x ∈ [0; ∞)
√
√
1. Auflösung nach x : y = x + 2 ⇒ x = y − 2 ⇒ x = (y − 2)2 =: f −1 (y)
Db(f −1 ) = W b(f ) = [2; ∞)
Beispiel 4: y = f (x) =
2. Vertauschung von x und y: y = f −1 (x) = (x − 2)2 , Db(f −1 ) = [2; ∞)
y
0
x
!Db(f −1 ) ist nur [2; ∞) obwohl (x − 2)2 für alle
x ∈ R erklärt ist.
42
Defnition 6 Die reellwertige Funktion y = f (x) heißt
1. streng monoton wachsend, falls x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 )
2. monoton wachsend (=nicht fallend), falls x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 )
für alle x1 , x2 ∈ Db(f ) gilt.
Analog: streng monoton falled bzw. monoton fallend (=nicht wachsend)
Satz 2 f streng monoton ⇒ f injektiv, (d.h. f −1 existiert)
1.4.3 Elementare Funktionen (Teil 2)
Wurzel- und Logarithmusfunktionen
Definition 7
1
y = xn =
√
n
x (x ≥ 0; n ∈ N∗ )
ist die Umkehrfunktion zu y = xn (x ≥ 0, n ∈ N∗ )
y
0
x
Diskussion:
1. Im Bereich der reellen Zahlen ist
selbst ist nicht negativ.
√
n
x nur für x ≥ 0 erklärt, der Funktionswert
√
1
2. Lässt man in x n negative x zu, (z.B. 3 −8 = −2), so ergeben sich Widersprüche:
√
1
2
1
1
3
−8 = −2 ⇒ −2 = (−8) 3 = (−8) 6 = ((−8)2 ) 6 = 64 6 = 2
(die Lösungs der Gleichung x3 = −8 ist natürlich x = −2)
Definition 8
y = loga x (a > 0, a 6= 1, x > 0)
ist die Umkehrfunktion zu y = ax (x ∈ R)
speziell: lg x := log10 x, ln x := loge x
Achtung bei TR: (manchmal log=ln, auch log=lg)
Diskussion:
43
1. Log Gesetze (Basis beliebig):
log xy = log x + log y
log xy = log x − log y
log xa = a log x
ln a x
2. Es gilt ax = ex ln a (= (e
|{z}) )
a
Arcusfunktionen Vorbetrachtung: y = f (x) = sin x ist nicht injektiv, also ex. keine
Umkehrfunktion.
Aber y = sin x für x ∈ [−2 π2 ; π2 ) ist injektiv, also umkehrbar.
Definition 9 Umkehrfunktion der trigonometrischen Funktionen
Db
Wb
Umkehrfunktion von
y = arcsin x [−1; 1] [− π2 ; π2 ] y = sin x, − π2 ≤ x ≤ π2
y = arccos x [−1; 1]
[0; π]
y = cos x, 0 ≤ x ≤ π
R
(− π2 ; π2 ) y = tan x, − π2 < x < π2
y = arctan x
y = arccot x
R
(0; π)
y = cot x, 0 < x < π
Beispiel 5 Gesucht sind alle Lösungen der Gleichung tan 2x = y. Es sei 2x ∈ (− π2 +
kπ; π2 + kπ) y y = tan 2x = tan 2x − kπ mit 2x − kπ ∈ (− π2 ; π2 )
y 2x − kπ = arctan y y x = 21 (kπ + arctan y), k ∈ Z
Areafunktionen
Definition 10 Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen
area
Db
Wb
Umkehrfunktion von
y = arsinh x
R
R
y = sinh x, x ∈ R
y = arcosh x
[1; ∞)
[0; ∞)
y = cosh x, x ≥ 0
y = arctanh x
(−1; 1)
R
y = tanh x, x ∈ R
y = arcoth x R\[−1; 1] R\{0}
y = coth x, x 6= 0
Aus der Definition 9√der Hyperbelfunktion folgt:
arsinh x = ln (x + x2 + 1) artanh x = 12 ln ( 1+x
1−x )
√
1
x+1
2
arcosh x = ln (x + x − 1) arcoth x = 2 ln ( x−1 )
1.5 Lineare Algebra
1.5.1 Vektorräume
Begriff:
1. Gegeben seinen ein Körper (K, +, ·), dessen Elemente Skalare heißen (meist (R, +, ·)
und eine Abelsche Gruppe (V, ⊕) (V . . . Menge, Elemente heißen Vektoren, ⊕
. . . sogenannte Vektoraddition)
44
2. Es gibt eine Abbildung von K × V in V , die jedem x ∈ V und jedem λ ∈ K
ein Element λ x ∈ V zuordnet (die sogenannte Multiplikation eines Vektors mit
einem Skalar) mit folgenden Eigenschaften:
• Distributivgesetze: (λ + µ) x = (λ x) + (µ x)
λ (x ⊕ y) = (λ x) ⊕ (λ ⊕ y)
• Assoziativgesetz: (λ · µ) x = λ (µ x)
• 1x=x
Eine Menge V mit dem in (1) und (2) aufgeführten Operationen
⊕ und heißt Vektor
+ anstelle von ⊕
raum (VR) über K. Bemerkung Schreibweise meist
· anstelle von Beispiel 1 Skalarbereich K = R
Vektoren: Größen, die durch eine Zahlengröße (z.B. Länge) und eine Richtung charakterisiert sind (Z.B. Kräfte, Geschwindigkeiten, Translationen)
Q
a
S
P
a
R
Pfeile als Repräsentation eines Vektors a, Bezeichnung a =
−−→ −→
P Q = RS auch ~a
Ortsvektoren: Angeheftet an einem gemeinsamen Anfangspunkt 0 (Ursprung)
• Vektoraddition ~a + ~b
• Multiplikation mit einem Skalar λ · ~a
λ > 0 . . . gleiche Richtung
λ < 0 . . . entgegengesetze Richtung
Länge: |λ| -fache der Länge von ~a
• Subtraktion ~a − ~b (:= ~a + (−~b))
~ (Länge 0, keine Richtung)
• Nullvektor O
45

x1
 x2 
 
K = R, V = { .  |x1 , x2 , . . . , xn ∈ R} (Menge der sogenannten Spalten .. 

Beispiel 2
xn
vektoren)


  
x 1 + y1
y1
x1


   
..
• Vektoraddition:  ...  +  ...  := 

.
x n + yn
yn
xn


 
λ · x1
x1
 .. 
 .. 
• Multiplikation λ ·  .  :=  . 
λ · xn
xn

Definition 1 Die Vektoren ~a1 , . . . ~an heißen linear unabhängig, wenn die Gleichung
x1~a1 + x2~a2 + · · · + xn~an = 0
(10)
nur die triviale Lösung x1 = x2 = · · · = xn = 0 besitzt.
Diskussion:
1. x1~a1 + · · · + xn~an heißt eine Linearkombination (LK) der Vektoren ~a1 , . . . , ~an
2. Falls es eine LK der Gestalt (10 ) gibt, in der nicht alle xi gleich 0 sind, so heißen
~a1 , . . . , ~an linear abhängig.
In diesem Falle lässt sich (wenigstens) einer der Vektoren als LK der anderen
darstellen.
Definition 2 Es sei V1 ⊆ V eine nichtleere Teilmenge von V . Wir bezeichnen mit L(V1 )
die Menge aller LK von jeweils endlich vielen Vektoren aus V1 .
L(V1 ) heißt lineare Hülle von V1
Bemerkung: L(V1 ) ist selbst ein VR, der von V1 aufgespannte Teilraum von V .
Definition 3
• Ein VR V heißt n-dimensional, wenn es n unabhängige Vektoren ~a1 , . . . , ~an gibt,
die den gesamten Raum aufspannen: V = L(~a1 , . . . , ~an )
• Die Menge der Vektoren ~a1 , . . . , ~an nennt man in diesem Falle eine Basis von V .
Diskussion: In jedem VR gibt es unterschiedliche Basen, jedoch ist die Anzahl der
Vektoren, die eine Basis bilden stets gleich (Dimension von VR).
46
Satz 1 Es sei ~a1 , . . . , ~an eine Basis eines VR V . Dann gibt es für jedes x ∈ V eine
eindeutige Darstellung der Gestalt x = x1~a1 + x2~a2 + · · · + xn~an .
Bemerkung: Die Koeffizienten x1 , . . . , xn heißen Koordinaten von ~x bezüglich der Basis ~a1 , . . . , ~an .
Die Summanden x1~a1 , . . . , xn~an heißen Komponenten von ~x bezüglich der Basis ~a1 , . . . , ~an .
 
0
0
 
Bespiel 3 (vlg. Beispiel 2) Nullvektor im Raum der Spaltenvektoren: ~a =  . 
 .. 
0
n
Der Raum selbst heißt
R
 
 
 
0
0
1
0
1
0
 
 
 
Die Vektoren ~e1 =  .  , ~e2 =  .  , . . . , ~en  .  des Raumes Rn bilden offensichtlich
.
.
 .. 
.
.
1
0
0
eine Basis von Rn
Beispiel 4 Zwei Vektoren ~a1 6= 0 und ~a2 6= 0 in einer Ebene bilden genau dann eine
Basis, wenn sie nicht parallel sind.
1.5.2 Matrizen
Definition 4 Ein aus m·n Zahlen aij ∈ R, welche in m Zeilen und n Spalten angeordnet
sind, bestehendes
Schema heißt

 Matrix vom Typ (m, n).
a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n 


A= .
i
= 1, ..., m
j
= 1, ..., n
..
..  = (aij ),
.
|{z}
.
.
|{z}
 .
.
.
. 
Zeilenindex
Spaltenindex
am1 am2 . . . amn
Rechenoperationen
Definition 5 A = (aij ), B = (bij ) seinen vom gleichen Typ (m, n).
1. A + B := (aij + bij )
i = 1, ..., m j = 1, ..., n . . . Matr.-Addition
2. Es sei λ ∈ R, A = (aij ) i = 1, ..., m j = 1, ..., n
λ · A := (λaij ) i = 1, ..., m j = 1, ..., n
3. A = (aij ) sei vom Typ (m, n)
B = (bjk ) sei vom Typ (n, p)
A und B heißen in dieser Reihenfolge verkettet. (Spaltenzahl von A = Zeilenzahl
von B). Dann:
n
P
A·B =(
aij bjk ) i = 1, ..., m k = 1, ..., p (Matr.-Multiplikation)
j=1
Das Produkt ist also vom Typ (m, p)
47
Diskussion: Zweckmäßig Falk-Schema für die Matr.-Multiplikation (vgl. Beispiel 5).
Definition 6 Die aus der (m, n)-Matrix A durch Vertauschen von Zeilen und Spalten
entstehende (n, m)-Matrix heißt die Transponierte von A.
Bezeichnung AT 5 −3
3 6 4
−1 5
,B =
,C =
Beispiel 5: A =
1 4
−2 0 1
0 3
1. A + B existiert nicht (unterschiedlicher Typ)
4 2
2. A + C =
1 7
10 −6
3. 2 · A =
2
8


3 −2
4. B T = 6 0 
4 1
5.
B · A
|{z} |{z}
(2,3)
|
existiert nicht
(2,2)
{z
}
36=2y nicht verkettet
6. A · B Falk-Schema
Bemerkung: Matrizen-Multiplikation ist im allgemeinen nicht kommutativ!
Diskussion (Ausgewählte Rechenregeln)
1. Die Menge der Matrizen vom gleichen Typ bildet mit den Operationen (1) und (2)
aus Definition 5 einen VR (Vektorraum).
2. Falls die entsprechenden Typ-Vorraussetzungen erfüllt sind, gelten:
• (AB)C = A(BC) (Assoziativgesetz)
• A(B + C) = AB + AC
(A + B)C = AC + BC (Distributivgesetze)
• (λA)T = λ · AT , (AT )T = A
• (A + B)T = AT + B T , (AB)T = B T AT
3. Achtung: Im allg. gilt AB 6= BA
4. Falk-Schema bei fortgesetzer Multiplikation ABC:
C
B
C
BC
oder B
A AB (AB)C
A A(BC)
Spezielle Matrizen:
48
1. Quadratische Matrizen: Typ (n, n)
Eine quadratische Matrix A heißt
a) symmetrisch, wenn AT = A gilt
b) obere/untere Dreiecksmatrix, wenn aij = 0 für
i>j
i<j
c) Diagonalmatrix, wenn aij = 0 für i/neqj
1 für i = j
d) Einheitsmatrix underlineE, wenn aij =
0 für i 6= j
(spezielle Diagonalmatrix, oft auch mit I bezeichnet)
2. Nullmatrix 0 (saämtliche Elemente = 0; nicht notwendig quadratisch)
3. Matrizen
 vom Typ (n, 1) (n Zeilen, 1 Spalte) heißen (Spalten-)Vektoren
a1
 a2 
 
a =  .  ∈ Rn , vgl. 1.5.1
 .. 
an
Es ist dann aT = (a1 |a2 |...|an ) vom Typ (1, n) (Zeilenvektor)
Diskussion:
1. Die quadratischen Matrizen vom Typ (n, n) bilden mit den Operationen Matr-Add.
und Matr.-Multipl. einen nicht-kommutativen Ring.
2. Für quadratische Matrizen /underlineA sind Potenzen bildbar:
A0 := E, An = A · A · ... · A, n ∈ N∗
|
{z
}
n Faktoren
3. Falls die entsprechenden Typ-Vorraussetzungen erfüllst sind, gelten:
A·E =A 0·A=0 A+0=A
E·A=A A·0=0
(analog 0 bzw. 1 bei reelllen Zahlen)
4. Es sei A vom Typ (m, n), x ∈ Rn , d.h. vom Typ (n, 1)
Dann ist y = A
x vom Typ (m, 1), also y ∈ Rm
|{z} |{z}
(m,n) (n,1)
Durch die Zuordnung x 7→ A x wird eine lineare Abbildung von Rn in Rm beschrieben. (Eine Abb. f heißt linear, wenn f (x + y) = f (x) + f (y), f (a · x) =
a · f (x) (∀x, y ∈ Db(f ), ∀a ∈ R) gilt.)
x ausführlich mit Falk-Schema:
y= A
|{z} |{z}
(m,n) (n,1)


a11 x1 + · · · + a1n xn = y1


..
d.h. 
 ⇔ Ax = y
.
am1 x1 + · · · + amn xn = ym
lineares Gleichungssystem
49
=⇒ Matrix-Schreibweise für ein
1.5.3 Determinanten
Definition 7 Jeder n-reihigen quadratischen Matrix A ist eindeutig eine Zahl det A, die
sogenannte Determinante von /underlineA, wie folgt zugeordnet:
n = 1 : det(a

11 := a11
a11 . . . a1n

..  := a A + a A + ... + a A
..
n ≥ 2 : det  ...
11 11
12 12
1n 1n
.
. 
an1 . . . ann
Dabei ist Aij = (−1)i+j det U ij die Adjunkte des Elements aij
U ij . . . (n−1)-reihige (Unter-)Matrix, die durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten
Spalte von A entsteht.
a11 . . . a1n .. = ...
Bezeichnung: det A = det () |{z}
. n≥2 an1 . . . ann Satz 2
1. det (A · B) = det A · det B
2. det (AT ) = det A
Wegen Satz 2 2 gelten alle im folgenden für die Zeilen formulierten Eigenschaften sinngemäß auch für die Spalten.
Satz 3 Eigenschaften der Determinanten
1. B gehe aus A durch Vertauschen zweier Zahlen hervor. Dann gilt det B = − det A
2. Es gilt det A = 0, falls zwei Zeilen elementweise proportional sind, bzw. falls alle
Elemente einer Zeile gleich 0 sind.
a11
a11 . . . a1n ...
a1n ..
..
.. .. .
. . .
3. Es gilt: → λ · ai1 . . . λ · ain = λ · ai1 . . . ain ..
..
.. .. .
.
. . an1
an1 . . . ann ...
ann 4. Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn das λ-fache einer Zeile elementweise zu einer anderen Zeile addiert wird.
5. det A =
n
P
det A =
j=1
n
P
aij Aij (Entwicklung nach i-ter Zeile, i = 1, ..., n)
aij Aij (Entwicklung nach j-ter Spalte, j = 1, ..., n)
i=1
(Entwicklungssatz)
50
Beispiel 7 Prinzip: Nullen erzeugen mit (4), Entwicklungssatz (5) anwenden.
Anwendungen
1. Vektorrechnung in R3 , vgl. Abschnitt 1.5.5.
2. Gegebenes lineares Gleichungssystem (n Gleichungen,

 
n Unbekannte)
x1
b1
 
 
Matrix-Form A x = b mit A = (aij ), x =  ...  , b =  ... 
xn
bn
A x = b besitzt genau dann eine Lösung eindeutige Lösung x, wenn det A 6= 0.
det Bj
In diesem Falle gilt xj = det A (j = 1, ..., n), wobei B j aus A hervorgeht, indem die
j-Spalte von A durch b ersetzt wird. (Cramersche Regel, theoretische Bedeutung,
praktisches Vorgehen vgl. folgenden Abschnitt 1.5.4)
1.5.4 Lineare Gleichungssysteme, Rang einer Matrix, Inverse
Das Austauschverfahren Gegeben: System von m linearen Funktionen mit den unabhängigen Variablen x1 , ..., xn und den abhängigen Variablen y1 , ..., ym :
y1 = a11 x1 + · · · + a1n xn + a10
..
.
ym = am1 x1 + · · · + amn xn + am0
Beispiel 8 Betrieb, m Abteilungen, n Produkte P1 , ..., Pn
aij . . . Kosten pro Einheit von Pj die in Abteilung i entstehen
ai0 . . . Fixkosten in Abteilung i
xj . . . produzierte Menge von Pj
yi . . . Gesamtkosten in Abteilung i


a10


Matrix Schreibweise y = A x + a mit A = (aij ), a =  ...  ∈ Rm
am0
Tabellenform:
y1
..
.
x1
a11
..
.
...
...
ym
am1
...
xn
a1n
..
.
1
a10
..
.
amn
am0
kurz
y
xT
A
1
(T1)
a
Aufgaben:
1. x vorgegeben, y ist zu berechnen (klar)
2. y vorgegeben, x ist zu berechnen (nicht immer lösbar, falls lösbar, nicht immer
eindeutig lösbar)
51
Lösungsprinzip: Man tausche so oft wie möglich yr gegen xs aus = Austauschschritt
AS (yr ↔ xs ) Austauschverfahren
AS yr ↔ xs bedeutet
1. r-te Zeile yr = . . . auflösen nach xs y xs = . . .
2. in allen anderen Zeilen xs durch die rechte Seite von xs y xs = . . . ersetzen y
neue Tabelle T2
Die Koeffizienten a∗ij in der neuen Tabelle, entstehen aus den alten Koeffizienten aij wie
folgt:
Austauschregeln
Abkürzungen: p := ars (Pivot)
PZ . . . Pivotzeile (Zeile r)
PS . . . Pivotstpalte (Spalte s)
1. a∗rs =
1
p
a
rj
2. a∗rj = (−p)
(j 6= s)
neue PZ = alte PZ / (-Pivot)“
”
3. a∗is = apis (i 6= r) d.h.
neue PS = alte PS /Pivot“
”
4. a∗ij = aij + ais · a∗rj (i 6= r, j 6= s)
Praktisches Vorgehen
1. Pivot kennzeichnen
2. Austauschregeln AR1 - AR4 abarbeiten.
Dabei für AR3 unter alter Tabelle die neue PZ als Kellerzeile schreiben.


Spalte j . . . Spalte s


..
..


.
.



Zeile i
...
aij
...
ais
. . .




..
..
..


.
.
.
∗
Kellerzeile K . . .
arj
...
∗
...
∗
∗
aij = aij + ais · arj
Varianten des Austauschverfahrens (AV)
1. AVZ . . . AV mit Zeilentilgung, d.h. neue PZ in neuer Tabelle weglassen
2. AVS . . . AV mit Spaltentilgung,d.h. in neuer Tabelle neue PS weglassen
(nur anwendbar, wenn Variable über der wegzulassenden Spalte = 0 ist, vgl. 1.5.4
Lineare Gleichungssysteme )
3. AVSZ . . . AVS + AVZ gleichzeitig
52
Lineare Gleichungssysteme
• Gegeben sei das lineare Gleichungssystem (in Gleichungen mit n Unbekannten
x1 , ..., xn )
a11 x1 + · · · + a1n xn = b1
..
.
(11)
am1 x1 + · · · + amn xn = bm
• Gleichungssystem (11) heißt homogen, falls b1 = b2 = ... = bm = 0, sonst inhomogen
• Matrixform A x = b ⇔ A x − b = 0
• Äquivalente Form:

y1
 
y = A x − b mit y =  ...  = 0
ym
Hilfsgrößen y1 = ... = ym = 0

• Tabellenform:
y
xT
A
(12)
1
−b
• Lösungsprinzip: AVS
– Fall 1: Alle y, sind austauschbar ⇒ (11) ist lösbar, Lösung ist aus letzter
TE x3 1
Tabelle (TE) ablesbar. x1
0
4 x1 = 4 x2 = 2x3 − 3(x3 ∈ R, frei
x2
2 -3
wählbar)
– Fall 2: Wenigstens ein yi ist gegen kein xj austauschbar
eventuell noch nicht ausgetauschte xj
1
..
.
yi
..
.
0
...
0 0 α
y yi = α
– Fall 2a: α = 0 Zeile y, kann gestrichen werden (0 = 0)
– Fall 2b α 6= 0 y Gleichungssystem (11 ) nicht lösbar (Widerspruch da yi = 0
)
Diskussion: Verfahren endet also entweder im Fall 2b (unlösbar) oder in Tabelle in
der kein yi mehr vorkommt (Fall 1 bzw. 2a):
T E xs1 xs2 . . . xsq 1
xr1
(Darstellung 2)
..
.
xrp
53
• xr1 , ..., xrp (ausgetausche xj ) . . . Basisvariable (BV)
xs1 , ..., xsq (nicht ausgetauschte xj ) . . . Nichtbasisvariable (NBV)
(p + q = n)
• Allgemeine Lösung ergibt sich aus Endtabelle:
NBV frei wählbar (Parameter ∈ R
BV daraus berechenbar
• Falls keine NBV vorhanden y Lösung eindeutig
Definition 8 Die Darstellung (2) heißt Basisdarstellung des lineare Gleichungssystems
(11)
Diskussion: Aus einer Basisdarstellung (2) lassen sich weitere gewinnen durch Austausch xri ↔ xsj
|{z}
|{z}
BV
N BV
Beispiel 9 3x1 + x2 + 2x3 = −2
−5x1 − 3x2 − 2x3 = −2
x1 + 3x2 − 2x3 = 10
T1
x1 x2 x3
1
y1 = 0 3
1
2
2
y2 = 0 −5 −3 −2
2
y3 = 0 1
3 −2 −10
K
−3 ∗ −2 −2
1
T 2 x1 x3
x2 −3 −2 −2
0
4
4
8
0 −8 −8 −16
K
∗ −1 −2
T 3 x3 1
x2 1
4
(Fall 2a: 0 = 0 )
x1 −1 −2
0
0
0
T3 ist Endtabelle (BV x1 , x2 , NBV: x3 )
allg. Lösung: x2 = x3 + 4 x1 = −x3 − 2 x3 ∈ R (frei wählbar)
andere
mit Parameter x3 = t:
 Form 
−t − 2
x =  t + 4 ,t ∈ R
t
Bemerkungen:
1. Bei homogenen Systemen A x = 0 muss die 1-Spalte nicht geschrieben werden, nur
gedacht“
”
2. Die Methode AVS entspricht dem sogenannten Gauss-Jordan-Verfahren
54
Der Gausssche Algorithmus (siehe Beispiel 10)
• AVSZ (Spalten und Zeilentilgung)
• weggelassen Zeilen merken (Kellerzeilen)
• Rückrechnung
Beispiel 10 −x1 + 2x2 + 2x3 = 4
2x1 + 5x2 + 2x3 = 4
2x1 + x2 − 4x3 = −3
T1 x1 x2 x3 1
T2 x1
0 −1 2
2 −4
0 −5
0
2
5
2 −4
0 −8
0
2
1 −4 3
x1 ∗
x2 −2 ∗
4 −3
T3 x3 1
0 6 −3
Ende
1
x3 ∗
2
Rückrechnung: T 3 y x3 = 12
T 2 y x1 = 2x3 − 2 = −1
T 1 y x2 = −2x1 + 4x3 − 3 = 1
Lösung: x = (−1|1| 21 )T
x3
1
10 −10
22 −19
2 −2
AVSZ
Bemerkung: m Gleichungen, n Unbekannte
m < n y AVS günstiger
m ≥ n y Gauss oder AVS
Weitere Anwendungen des AV
1. Lineare Unabhängigkeit von Vektoren a1 , ..., an ∈ Rm überprüfen.
Ansatz: x1 a1 + x2 a2 + ... + xn an = 0 ↔ Ax = 0
mit A = (a1 |a2 |...|an )
xT
(homogens System, AVS mit Starttabelle
)
0 A
• Unabhängigkeit genau dann, wenn alle xi ausgetauscht werden können
• Die zu den ausgetauschten xi (d.h. den Basisvariablen AV) gehörenden ai
sind unabhängig. Sie bilden eine Basis zu L(a1 , ..., an )
2. Rang einer Matrix A = (a1 |a2 |...|an )...rang (A)
Definition rang (A) = dim L(a1 , ..., an )
Dimension des von den Spaltenvektoren aufgespannten Teilraumes (von Rm )
Berechnung: rang (A) = Anzahl der ausführbaren Austauschschritte in AVSZ mit
xT
Starttabelle
y A
55
3. Berechnung der Determinante einer (n, n) -Matrix
vgl. Merkblatt LAG
Die Inverse einer (n, n) -Matrix
Definition 9 Es sei A vom Typ (n, n). Das Gleichungssystem y = A x sei für jedes y
eindeutig nach x auflösbar, d.h. x = B y. Dann heißt die (n, n)-Matrix B Inverse zu A.
Bezeichnung: A−1 := B
Falls A−1 existiert, so heißt A regulär, sonst singulär.
Bemerkungen:
1. A ist regulär ↔ det A 6= 0
2. A regulär, dann hat A x = b die Lösung x = A−1 b
Rechenregeln: A und B seien regulär. Dann gelten AA−1 = E, A−1 A = E, (A−1 )−1 =
A
(AB)−1 = B −1 A−1 , (AT )−1 = (A−1 )T
Bemerkung: Die Menge der regulären Matrizen vom Typ (n, n) beildet mit der Operation Matrizen-Multiplikation“ eine (nicht Abelsche) Gruppe mit neutralem Element
”
E.
Verfahren zur Ermittlung der Inversen
T1 xT
y A
Fall 1: alle xj sind austauschbar y A regulär2
• vollständiges AV mit Starttabelle
• Probemöglichkeit A A−1 = E
Beispiel 11:
1.5.5 Vektorrechnung im R3
Kartesische Basis Einige Begriffe:
1. Betrag eines Vektors ~a : Länge des Pfeils, der ~a repräsentiert. Bezeichnung |~a|
2. Einheitsvektor: Vektor mit |~a| = 1
3. Zu ~a 6= ~0 gehörender Einheitsvektor ~a0 :=
1
|~a|
· ~a
4. Kartesische Basis {~i, ~j, ~k}
• {~i, ~j, ~k} besitzen Betrag 1
• Sie stehen ⊥ aufeinander
• Sie bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem
2
nach Ordnen von Zeilen und Spalten ist A−1 aus TE ablesbar
56
5. Kartesisches Koordinatensystem: Fester Punkt 0 als Urspring, kartesische Basis,
damit eindeutige Zuordnung
−−→
P ↔ OP = x~i + y~j + z~k = ~r (Ortsvektor
  von P)
x
Bezeichnung: ~r = x~i + y~j + z~k = y 
z
   
x
x1
bzw: ~r = y  = x2  = ~x
z
x3
 
a1
p

Betrag eines Vektors ~a = a2  · |~a| = a21 + a22 + a23
a3
Das Skalarprodukt Es sei ϕ der Winkel zwischen den Vektoren ~a und ~b
Definition 10 Die Zahl (~a, ~b) := |~a| · |~b| · cos ϕ heißt Skalarprodukt der Vektoren ~a und
~b.
Eigenschaften des Skalarprodukts
1. (~a, ~a) > 0 für ~a 6= ~0
2. (~a, ~b) = (~b, ~a) (Symmetrie)
3. (λ~a + µ~b, ~c) = λ(~a, ~c) + µ(~b, ~c) (Linearität)
 
 
a1
b1
~



Satz 4 Es sei ~a = a2 , b = b2 .
a3
b3
~
Dann gilt: (~a, b) = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
Folgerung: (~a, ~b) = ~aT ~b = ~bT ~a
Anwendungen:
1. Projektion ~a~b von ~a auf ~b : ~a~b =
denn ~a~b = |~a| cos ϕ ·
~b
|~b|
|{z}
=
(~a,~b)
|~b|2
(~a,~b)
|~b|2
· ~b
· ~b
~
b0
2. Winkel ϕ zwischen 2 Vektoren: cos ϕ =
(~a,~b)
|~a|·|~b|
3. Orthogonalitätskriterium (~a, ~b) = 0 ⇔ (|~a| = 0) ∨ (|~b| = 0) ∨(cos ϕ = 0)
| {z } | {z }
~a=~0
~b=~0
Vereinbarung: ~0 orthogonal zu jedem Vektor y (~a, ~b) = 0 ⇔ ~a ⊥ ~b
57
Das vektorielle Produkt
Definition 11 Das vektorielle Produkt (auch Kreuzprodukt) ~a × ~b zweier Vektoren ist
ein Vektor, der eindeutig festgelegt ist durch:
1. |~a × ~b| = |~a| · |~b| · sin ϕ
2. ~a × ~b ist senkrecht zu ~a und senkrecht ~b
3. ~a, ~b und ~a × ~b bilden ein Rechtssystem
Eigenschaften des vektoriellen Produkts: ~a × ~b = −(~b × ~a)
~a × (~b + ~c) = ~a × ~b + ~a × ~c
speziell: ~a × ~a = ~0 (stets!)
~i × ~j = ~k, ~j × ~k = ~i, ~k × ~i = ~j
~j × ~i = −~k usw.
~i a1 b1 a2 b2 a1 b1 a1 b1 ~
· ~k
~
~
~
Satz 5 ~a × b = j a2 b2 = ·i−
·j+
a3 b3 a3 b3 a2 b2 ~k a b 3
3
Anwendungen:
1. Flächeninhalt des von ~a und ~b aufgespannten Parallelogramms F = |~a × ~b| =
|~a| · |~b| · sin ϕ
2. Flächeninhalt eines Dreiecks 4P1 P2 P3
−−−→ −−−→
F4 = 21 |P1 P2 × P1 P3 |
3. Parallelitätskriterium
~a × ~b = ~0 ⇔ |~a × ~b| = 0 ⇔ (|~a| = 0) ∨ (|~b| = 0) ∨ (sin ϕ = 0)
Vereinbarung ~0 k zu jedem Vektor
~a × ~b = ~0 ⇔ ~a k ~b
Das Spatprodukt
Definition 12 Die Zahl (~a × ~b, ~c) heißt Spatprodukt der Vektoren ~a, ~b und ~c.
~
Eigenschaften ~a × ~b, ~c) = (~b × ~c, ~a) = (~
Vertauschung)
c × ~a, b) (zyklische
a1 b1 c1 Berechnung: (~a × ~b, ~c) = det (~a|~b|~c) = a2 b2 c2 a3 b3 c3 Anwendung:
1. Volumen des von ~a, ~b und~caufgespannten Spates (Parallelotrops): V = |(~a × ~b, ~c)|
> 0 Rechtssystem
Bemerkung: Spatprodukt
<0
Linkssystem
58
2. Komplanaritätskriterium
~a, ~b und ~c sind komplanar, d.h. sie liegen in 0 angehaftet in einer Ebene, genau
dann wenn: (~a × ~b, ~c) = 0 ⇔ ~a, ~b und ~c sind linear abhängig
Geraden- und Ebenengleichungen
1. Parameterdarstellung (P.d.) einer Geraden g durch die Punkte P1 und P2
−−−→
P1 ~a = P1 P2
g
P2
P
r~1
r~2
0
P . . . beliebiger Punkt von g
−−→ −−→
−−−→
y OP = OP1 + t · P1 P2 , t ∈ R
~r = r~1 + t · (r~2 − r~1 ), t ∈ R
bzw.: ~r = r~1 = r~1 + t · ~a, t ∈ R
2. Parameterdarstellung einer Ebene E durch drei Punkte P1 , P2 , P3 die nicht auf
einer Geraden liegen
P . . . beliebiger Punkt von E.
−−→ −−→
−−−→
−−−→
OP = OP1 + u · P1 P2 + v · P1 P3 , u, v ∈ R
~r = r~1 + u · (r~2 − r~1 ) + v · (r~3 − r~1 )u, v ∈ R
~r = r~1 + u · ~a + v · ~b, u, v, ∈ R
3. Parameterfreie Ebenengleichung
Normalvektor
~n(~n 6= ~0, ~n ⊥ E)
 
a
−−→
~n =  b  , ~n ⊥ P0 P
c
dabei P (x, y, z) . . . beliebiger Punkt von E
P0 (x0 , y0 , z0 ) fester Punkt von E
Orthogonal
y (~n, ~r − r~0 0 ausführlich:
   Kriterium

a
x − x0
( b  ,  y − y0 ) = 0 d.h. a(x − x0 ) + b · (y − y0 ) + c · (z − z0 ) = 0
c
z − z0
y Allgemeine Form ax + by + cz + d = 0 mit d = −ax0 − by0 − cz0
Einige geometrische Grundaufgaben
59
1. Schnitt Gerade und Ebene
Beispiel 16
Geg. Ebene E : 2x − 4y + z + 3 = 0
   
 
x
3
−1
Gerade g : y  = 0 + t ·  1 , t ∈ R
z
1
−2
| {z }
(13)
(14)
~a
Gesucht
• Schnittpunkt S(xs , ys , zs )
• Schnittpunkt α
• g : x = 3 − ty = tz = 1 − 2t
Einsetzen in (13) y 2 · (3 − t) − 4 · t + 1 − 2 · t + 3 = 0
y −8t + 10 = 0 y t = 54
Einsetzen in (14) x = 3 − 54 = 74 , y = 45 z = 1 − 52 = − 32
y S( 74 | 54 | − 32 )
Seitenansicht
~n
g
E
S
β
α
β = ∠(~n, ~a)
α = |90◦ − β|
2. Schnitt zweier Ebenen
3. Abstand d(P1 , E) eines Punktes P1 von einer Ebene E
−−→
4. Abstand d(Q, g) eines Punktes Q von einer Geraden g g : ~r = 0P1 + t~a, t ∈ R
L . . . Lotfuspunkt L ∈ g, LQ ⊥ g
−−→
d = Höhe LQ des von ~a und P1 Q auf gespannten Parallelogramms
−−→
−
→ −−→
−−→
Q×~a|
y d = d(Q, g) = |P1|~
Lotfußpunkt 0L = 0P1 +
P1 Q~a
a|
| {z }
−−→
Proj. von P1 Q auf ~a
60
5. Abstand d(g1 , g2 ) zweier nichtparalleler Geraden:
g1 : ~r = r~1 + s · a~1 (s ∈ R
g2 : ~r = r~2 + t · a~2 (t ∈ R)
d = d(g1 , g2 ) = |(r~2 −|a~r~11×,a~a~12×| a~2 )|
1.5.6 Transformationen im R2 , homogene Koordinaten
• Transformation eines Punktes P (x, y) 7→ P 0 (x0 , y 0 ) (neue Koordinaten im gleichen
Koordinatensystem (= aktive Transformationen, wird im folgenden betrachtet)
• eng verwandt: Transformation des Koordinatensystems P (x, y) bleibt fest 7→ P 0 (x0 , y 0 )
neue Koordinaten in neuem Koordinatensystem (=passive Transformation)
Translation
a
~
Verschiebung um den Vektor t =
b
0 x
x
a
=
+
y0
y
b
(15)
Rotation Zunächst Rotation um 0, Drehwinkel α
Es gilt: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ
(r, ϕ . . . Polarkoordinaten)
x0 = r cos (ϕ + α) = r cos ϕ cos α − r sin ϕ sin α
| {z }
| {z }
x
y
y x0 = x cos α − y sin α
analog y 0 = x sin α + y cos α
0 cos α − sin α
x
x
=
sin α cos α
y0
y
{z
}
|
Rotationsmatrix Rα
Spiegelung
an einer
g durch 0 mit dem Normaleneinheitsvektor ~n (|~n| = 1)
Geraden
0
x
x
~ − 2~n~nT )
sogenannte HouseHolder-Matrix H (vgl. ÜA A6.23)
= (E
y0
y
Bemerkung: Geradengleichung ax + by + c = 0
1
a
y ~n = √
a2 + b2 b
Skalierung (Zoom) Koordinatenweise Streckung (oder Stauchung) von 0 aus mit den
Skalierungsfaktoren u in x-Richtung, v in y-Richtung
0
x
x
u 0
=
0
y
0 v
y
| {z }
Skalierungsmatrix S u,v
61
speziell Spiegelung an x-Achse: u = 1, v = −1
speziell Spiegelung an y-Achse: u = −1, v = 1
Diskussion
1. Drehungen um Punkte 6= 0 und Spiegelungen an Geraden nicht durch 0 können
durch Hintereinanderausführung einer Translation, Drehung bzw. Spiegelung und
Rück-Translation realisiert.
2. Mit Ausnahme der Translation können die beschriebenen Transformationen durch
Matrizen-Multiplikationen beschrieben werden (! lineare Abbildung) Zum Zwecke
der Vereinheitlichung werden homogene Koordinaten eingeführt
 
x
Homogene 2D-Koordinaten eines Punktes P (x, y) : y 
1
 
hx
(noch allgemeiner für h 6= 0 : hy , kartesische Koordinaten ergeben sich dann durch
h
Division durch die 3. Koordinate. Damit sind auch Zentralprojektionen beschreibar, im
folgenden h = 1)
• Translation in homogenen
2D-Koordinaten
a
Translationsvektor ~t =
b
 0
x
y 0  =
1

1
0
0
|

0 a
1 b
0 1
{z
}
 
x
y 
1
(16)
Transformationsmatrix für homogene Koord T̃ t
−1
Inverse ( , Rück-Translation): T̃ t
= T̃ (−~t)


1 0 a
= 0 1 b 
0 0 1
• Rotation um 0, Spiegelung an Geraden durch 0, Skalierung in homogenen Koordinaten
Es sei M die Transformationsmatrix vom Typ (2, 2) für die kartesischen Koordix
naten
. Dann ist die Transformationsmatrix für die homogenen Koordinaten:
y
M̃ :=
M 0
00 1
, M̃
62
−1
:=
M −1 0
00 1
• Damit lässt sich die Hintereinanderausführung von beliebigen Translationen, Rotationen, Spiegelungen und Skalierungen durch Matrizenmultiplikationen darstellen
(!nicht kommutativ). Die Gesamttransformation ist durch eine (3, 3)-Matrix M̃
darstellbar.
• Mit einer weiteren Matrizenmultiplikation kann das Ergebnis der Gesamttransformation für k Punkte A(a1 , a2 ), B(b1 , b2 ), C(c1 , c2 ), . . . erhalten werden:
A B C
A0 B 0 C 0


 0

a1 b1 c1 . . .
a1 b01 c01 . . .
M̃ ·  a2 b2 c2 . . .  =  a02 b02 c02 . . . 
1 1 1 ...
1
1
1 ...
Beispiel 20: Das Dreieck ABC mit A(3, 0), B(4, 1) und C(2, 1) ist um seinen Eckpunkt
C um 60◦ zu drehen (mathematisch positiv). Man gebe die Transformationsmatrix M̃
für homogene 2D Koordinaten sowie das Bild an.
y
B0
A0
~t
C
B
x
−2
1. Translation um ~t =
−1


1 0 −2
y T̃ ~t = 0 1 −1
0 0 1
◦ um 0
2. Rotation
√ um α = 60 1
cos α − sin α
− 12 3
2
√
Rα =
= 1
1
sin α cos α
3
2
√
 1
2
1
−
3
0
2
2
√
1
y R̃α =  12 3
0
2
0
0
1


1 0 2
0 1 1
3. Rücktranslation T̃ −t
~ =
0 0 1
y M̃ = T̃ (−~t) Rα T̃ ~t
y A0 (3, 37; 1, 37), B 0 (3; 2, 73), C 0 (2; 1)
63
Bemerkung: Analoges Vorgehen im R3 , homogene Koordinaten x, y, z, 1. Spiegelung
an einer Ebene mit Normalen-Einheitsvektor ~n mit (3, 3)- HouseHolder-Matrix.
Rotation um eine beliebige Achse (durch 0) durch 3 Drehungen um die Koordinatenachsen ersetzbar, . . . .
Anschließend erfolgt Projektion in R2
1.5.7 Eigenwerte und Eigenvektoren
Es sei A eine (n, n)-Matrix.
Definition 13 Die Zahl λ ∈ C heißt Eigenwert (EW) der quadratischen Matrix A, falls
die Gleichung A x = λx nicht triviale Lösungen x (x 6= 0) besitzt. Diese heißen dann
Eigenvektoren (EV) von A zum EW λ.
Diskussion:
1. A x = λx ⇔ (A − λE)x = 0 (homogenes System), d.h. nicht triviale Lösungen
existieren genau dann, wenn det (A − λE) = 0 (charakteristische Gleichung) gilt.
2. y Vorgehensweise zur Ermittlung von EW zu EV von A
• charakteristische Gleichung lösen (n im allg. komplexe Lösungen λ1 , . . . , λn ) y
EW
• Gleichungssysteme A − λi E)x = 0 lösen y EV
Im folgenden werden nur symmetrische (n, n)-Matrizen S betrachtet, d.h. S T = S
Satz 6 Es sei S symmetrische (n, n)-Matrix. Dann gilt:
1. Alle EW von S sind reell.
2. Zu verschiedenen EW λ1 bzw. λ2 (λ1 6= λ2 ) gehörende EV ~v1 bzw. ~v2 sind orthogonal (vgl. Diskussion)
3. Es gibt eine Basis des Raumes Rn , die aus n paarweise orthonormierten EV
~v1 , . . . , ~vn von S besteht (vgl. Diskussion)
4. Es sei V = (~v1 ; ~v2 ; . . . ; ~vn ) eine Matrix, die aus n paarweise orthonormierten EV
von S zusammengesetzt ist. Dann gilt:
• V V T = V T V = E (d.h. V −1 = V T , V nennt sich auch orthogonale Matrix.


λ1 0 . . . 0
 0 λ2 . . . 0 


• V TS V =  .
.. . .
..  = Λ (Diagonalmatrix)
 ..
.
.
. 
0 0 . . . λn
y S = V ΛV T
64

• Es gilt S
−1
=V Λ
−1
V
T
−1
(dabei Λ
1
λ1
0

= .
 ..
0
0
1
λ2
..
.
0
...
...
..
.
0
0
..
.
...
1
λn



 und S m = V Λm V T

Diskussion
1. Übertragung der Begriffe orthogonal, Länge eines Vektors aus R3 bzw. R2 in Rn
n
P
2. ~a, ~b ∈ Rn heißen orthogonal, wenn ~aT ~b =
ai bi = 0 gilt, Skalarprodukt
i=1
(~a, ~b) =
n
X
ai bi
i=1
s
3. Betrag (Norm) eines Vektors |~a| =
n
P
i=1
a2i
4. paarweise orhtonomiert bedeutet
1 falls i = j d.h. |vi | = 1(∀i)
(~vi , ~vj ) =
0 falls i 6= j
Definition 13
1. A ~x = λ~x, ~x 6= ~0, λ EW , ~x EV
2. Veranschaulichung im Fall n = 2:
Die symmetrische Matrix A habe die EW λ1 und λ2 und orthonormierte EV ~v1
und ~v2 , V = (~v1 |~v2 )
Es gilt:
A~v1 = λ1~v1
A~v2 = λ2 v 2
D.h. A bewirkt eine Skalierung mit den Faktoren λ1 und λ2 in Richtung ~v1 bzw.
~v2 .
Definition 14 Es sei S eine reelle symmetrische Matrix vom Typ (n, n). Die Funktion
y = Q(~x) := |{z}
~xT S |{z}
~x
|{z}
(~x ∈ Rn , y ∈ R)
(1,n) (n,n) (n,1)
heißt quadratische Form.
Diskussion:
1. Im Falle n = 2 stellt Q(~x) = const. (bzw. Q(~x) + ~aT ~x = const. ) eine Kurve 2.
Ordnung dar. Deren Gestalt kann durch die sogenannte Hauptachsentransformation ermittelt werden (vgl. Diskussion 3)
65
x
s11 s12
2. Ausführliche Schreibweise ~x =
,S =
mit s12 = s21
y
s21 s22
s11 s12
x
Q(x, y) = (x|y)
= s11 x2 + 2s12 xy + s22 y 2
s12 s22
y
(17)
3. Es seien λ1 und λ2 dieEW
von S und ~v1 bzw. ~v2 orthonomierte EV. Für einen
x
beliebigen Vektor ~x =
∈ R2 seien x∗ , y ∗ die Koordinaten bzgl. der Basis
y
∗
x
∗
∗
~v1 , ~v2 : ~x = x · ~v1 + y · ~v2 = (~v1 |~v2 ) ∗ = V ~x∗
(18)
y
x∗
∗
mit ~x =
. Dann gilt
y∗
Q(x, y) = λ1 x∗2 + λ2 y ∗2
(19)
(Darstellung bzgl. der sog. Hauptachsen)
Denn: Q(x, y) = ~xT Sx = (V x∗ )T SV ~x∗ = ~x∗T V T SV ~x∗ = (~x∗ |~y ∗ )
| {z }
∗
x
λ1 0
=
y∗
0 λ2
Λ vgl. Satz 6
λ1
x∗2
+ λ2
y ∗2
Beispiel 21: Q(x, y) = 13x2 − 32xy + 37y 2 = 45
Welche Kurve?
13 −16
• Matrix S (vgl. (17), S =
(s12 = −16)
−16 37
13 − λ −16 = 0 ⇔ λ2 −50λ+225 =
• charakteristische Gleichung: det (S − λE) −16 37 − λ
0 y λ1 = 5, λ2 = 45(EW)
• EV
16y = 0 y x = 2y, y = t, x = 2t(−16x + 32y = 0) y
5 : 8x
−
zu λ
1 =
x
2t
2
=t·
, t 6= 0
=
y
t
1
• EVzu λ2 = 45
: (−32x
− 16y
= 0), −16x − 8y = 0 y y = −2x, x = u, y = −2u y
x
u
1
=
=u·
, u 6= 0
−2
y
−2u
• orthonormierte EV z.B: ~v1 =
√1
5
2
, ~v2 =
1
√1
5
∗2
∗2 = 45 ⇔
(19) y Q(x, y) = λ1 x∗2 +λ∗2
2 = 5x +45y
a = 3, b = 1
66
−1
(Rechtssystem)
2
∗2
x∗2
+ y12
32
= 1 Ellipse mit Halbachsen
2 Folgen, Reihen, Grenzwerte
2.1 Zahlenfolge
2.1.1 Grenzwerte von Zahlenfolgen
Definition 1 : Es sei n0 ∈ N. Eine Funktion f mit Db(f ) = {n ∈ N|n ≥ n0 } und W b(f ) ⊆
R heißt reelle Zahlenfolge.
Schreibweisen:
an := f (n)
(an )n≥n0 = (an0 , an0 +1 , an0 +2 , . . . )
Oft ist n0 = 0 oder n0 = 1.
Beispiel 1
1. an = (−1)n · n(n ∈ N), (an ) = (0, −1, 2, −3, 4, −5, . . . )
2. a0 = −1, an = n · an−1 (n ∈ N∗ ) (rekursive Definition)
(an ) = (−1, −1, −2, −6, −24, −120, . . . ), an = −n!
P 3
∗
3. an =
10n (n ∈ N ), (an ) = (0, 3; 0, 33; 0, 333; . . . )
n
4. an = a + (−1)n ·
1
(n
n2
24
∈ N∗ ), (an ) = (0, 45 , 89 , 17
16 , 25 , . . . )
Definition 2
• (an ) heißt konvergent, wenn es eine Zahl a ∈ R gibt mit:
∀ > 0 ∃n0 () (n0 ∈ N), ∀n ∈ N≥n0 () : |an − a| < • Die Zahl a heißt Grenzwert von (an ).
Schreibweise a = lim an
n→∞
• (an ) heißt divergent, wenn (an ) nicht konvergent ist.
Diskussion
• Folgen aus Beispiel 1
Folge
a) an = (−1)n n
b) an = −n!
3
c) an = 10
+ · · · + 103n
d) an = 1 + (−1)n · n12
Monotonie
Beschränktheit
−
−
streng monoton fallend (ab n = 1)
−
streng monoton wachsend
0, 3 ≤ an < 13
−
0 ≤ an ≤ 54
Satz 1 Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Satz 2 Jede monotone und beschränkte Folge ist konvergent.
67
Definition 5 (an ) heißt bestimmt divergent gegen
an > C
n0 (C)
an < C
Satz 3 Jede unbeschränkte, monoton
+ ∞
gen
− ∞
+ ∞
Schreibweise lim an =
n→∞
− ∞
+ ∞
falls gilt: ∀C ∈ R∃n0 (C)∀n ≥
− ∞
wachsende
Folge ist bestimmt divergent gefallende
Beispiel 2
1. Bsp 1 c) an =
3
10
+ · · · + 103n , (an ) ist monoton wachsend und beschränkt |{z}
⇒ (an )
Satz 2
ist konvergent, lim an =
n→∞
1
3
2. Bsp 1 b) an = −n!, (an ) ist monoton fallend und unbeschränkt |{z}
⇒ (an ) ist beSatz 3
stimmt divergent, lim an = −∞
n→∞
Diskussion Eine divergente Folge, die nicht bestimmt divergent ist, heißt unbestimmt
divergent, z.B. Folge aus Beispiel 1a) an = (−1)n · n
Einige wichtige Grenzwerte
1. lim (1 + n1 )n = e
n→∞
2. lim
√
n
n→∞
n=1
ln n
n→∞ n
3. lim
4. lim
n→∞
√
n
=0
a = 1 (a > 0)
Rechenregeln
(Grenzwertsätze)
Satz4 (an ) und (bn ) seien konvergente Folgen mit lim an = a und lim bn = b.
n→∞
n→∞
Dann gilt
• lim (an + bn ) = a + b,
n→∞
• lim (an · bn ) = a · b,
n→∞
lim (c · an ) = c · a
n→∞
lim an
n→∞ bn
=
a
b
(b 6= 0)
68
Beispiel 3
1. an =
an =
2n2 −1
(n
3n2 +n
n2 (2− 12 )
n
1
n2 (3+ n
)
= 1, 2, 3, ...)
=
1
n2
1
3+ n
2−
y lim an =
n→∞
2
3
Ausklammern der jeweils höchsten Potenzen in Zähler und Nenner.
√
2. an = n · ( n2 + 1 − n)
In Klammern
3. binomische
Formel
√ ”∞ − ∞“ erweitern,
√
√
2
2
2
= f racn · ( n + 1 − n) · ( n + 1 + n) n + 1 + n
2.1.2 Lineare Rekursionsgleichungen (Differenzgleichungen)
• Allgemeine Form einer Rekursionsgleichung k-ter Ordnung xn = f (n, xn−1 , xn−2 , . . . , xn−k ), k ≥
1, n ≥ n0 + k
• Wir betrachten nur lineare Rekursionsgleichungen mit konstanten Koeffizienten
(d.h. aj nicht von n abhängig).
xn = a1 xn−1 + a2 xn−2 + · · · + ak xn−k + hn
k ≥ 1, ak 6= 0, n ≥ n0 + k
(20)
• Indexverschiebung möglich (z.B. um k)
xn+k = a1 xn+k−1 + · · · + ak xn + hn+k , n ≥ n0
Wichtig ist die Differenz zwischen höchsten und niedrigsten Index von x (= Ordnung der Rekursionsgleichung)
• Die Differenzgleichung (20) heißt homogen, falls hn = 0(∀n), sonst inhomogen
Zur Lösung von (20)
1. Allgemeine Lösung von (20):
(p)
xn = x(h)
n + xn
(h)
dabei ist xn die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung
xn = a1 xn−1 + · · · + ak xn−k
(P )
und xn
eine (partikuläre) Lösung der inhomogenen Gleichung (20)
(1)
(k)
2. Es gibt k Lösungen xn , . . . xn der homogenen Gleichung, so dass gilt
(1)
(k)
x(h)
n = c1 xn + · · · + ck xn
69
(21)
gilt.
Diese erhält man mit Hilfe der Lösungen der charakteristischen Gleichung
λk = a1 λk−1 + a2 λk−2 + · · · + ak−1 λ + ak
(22)
(21)
(h)
xn
λn
z}|{
(λ 6= 0) y λn = a1 λn−1 + · · · +
Diese ergibt sich aus dem Ansatz
=
ak λn−k | : λn−k y (22)
(h)
Bei k verschiedenen Lösungen λ1 , . . . , λk von (22) ergibt sich xn = c1 λn1 + c2 λn2 +
(h)
· · · + ck λnk , falls z.B. λ2 2-fach auftritt, dann xn = c1 λn1 + c2 λn1 · n + . . .
(P )
3. Für die Partikularlösung xn führen spezielle
Bedingung
Inhomogenität hn
Polynom in n (Grad r) λ = 1 ist keine*)
Lösung von (22)
Ansätze zum Ziel:
(P )
Ansatz für xn
Polynom vom gleichen
Grade mit unbestimm*) bei ξten Koeffizienten
(P )
Potenzfunktion bn
λ = b ist keine*) xn = A · bn
Lösung von (22)
facher Lösung ist der Ansatz mit nξ zu multiplizieren
4. unbestimmte Koeffizienten A, . . . durch Einsetzen in die inhomogene Gleichung
(20) und Koeffizientenvergleich ermitteln.
5. Die k Konstanzen C1 , . . . , Ck in der allgemeinen Lösung können durch die Anfangsbedingungen (A,B) (Vorgabe der ersten k Glieder von (xn )) ermittelt werden.
Es sind also folgende Schritte durchzuführen
(h)
1. Allgemeine Lösungxn der homogenen Gleichung (21) ermitteln
(p)
2. eine spezielle Lösung xn der inhomogenen Gleichung (20) ermittlen
(h)
(p)
3. xn = xn + xn
4. AB erfüllen
Beispiel 4 xn+1 = 2xn + 3 n ≥ 0, x0 = 1
Erste Glieder: 1, 5, 13, 29, 61, . . .
Typ: Lineare Differenzengleichung 1. Ordnung
Lösung:
1. homogene Gleichung xn+1 = 2xn char. Gleichung λ1 = 2 y λ1 = 2
(p)
2. hn = 3 (Polynom 0-ten Grades) y Ansatz xn = A
Einsetzen in Ausgangsleichung A = 2 · A + 3 y A = −3
(p)
y xn = −3
70
(h)
(p)
3. xn = xn + xn = C · 2n − 3
4. AB : n = 0 y x0 = 1 = C · |{z}
20 −3 y C = 4
1
Also: xn = 4 · 2n − 3
Beispiel 5: xn+2 = xn+1 + 2xn n ≥ 0, x0 = 2, x1 = 3
Erste Glieder: 2, 3, 7, 13, 27, 53, . . .
Typ: lineare homogene DifferenzGleichung 2. Ordnung
• Schritt A liefert bereits die allg. Lösung (B und C entfallen)
(h)
λ2 = λ + 2 y λ1 = −1, λ2 = 2 y xn = xn = c1 · (−1)n + c2 · 2n
• Schritt D: AB erfüllen
n = 0, y x0 = 2 = C1 + C2
n = 1 y x1 = 3 = −C1 + 2C2
C2 = 35 , C1 = 31
y Lösung xn = 31 (−1)n +
5
3
· 2n
Diskussion: Bei einer homogenen linearen Differenzgleichung 2. Ordnung können folgende Fälle auftreten:
• λ1 , λ2 reell und verschieden
(h)
y xn = xn = C1 λn1 + C2 λn2 (vgl. Beispiel 5)
• λ1 = λ2 (reelle Doppellösung)
(h)
y xn = xn = C1 λn1 + C2 nλn1 = λn1 (C1 + C2 · n)
• λ1,2 = u ± iv(v 6= 0) konjugiert komplexe Lösungen
n
n
y xn = x(h)
n = C1 λ1 + C2 λ2
(23)
(wie im 1. Fall, die Koeffizienten C1 und C2 sind aber im allg. komplex, xn selbst
ist aber reell.
Reeller Ansatz ist mit Hilfe der Formeln von Euler und Moivre möglich:
λn1 = (reiϕ )n = rn einϕ = rn (cos (nϕ) + i sin (nϕ))
λn2 = (re−iϕ )n = rn e−inϕ = rn (cos (nϕ) − isin(nϕ))
Damit reeller Ansatz:
n
n
xn = x(h)
n = K1 r cos (nϕ) + K2 r sin (nϕ)
(24)
Bemerkung: Falls Rechner mit komplexer Arithmetik vorhanden, so ist (23) bequemer.
2.1.3 Unendliche Reihen
Grundbegriffe
71
Definition 6
• Geg. Zahlenfolge (an )n ≥ n0 , n0 ∈ N
Die Zahlenfolge (sn )n≥n0 mit
sn0 := an0 , sn0 +1 := an0 + an0 +1 , sn0 +2 , sn := an0 + an0 +1 + · · · + an , . . . (Partialsummenfolge)
∞
P
an
heißt unendliche Reihe. Bezeichnung:
n=n0
• Ist die Reihe konvergent, d.h. Folge (sn ) ist konvergent, so heißt s := lim sn =:
n→∞
∞
P
an die Summe der Reihe.
n=n0
• Die Reihe heißt (bestimmt oder unbestimmt) divergent, wenn die Partialsummenfolge die entsprechende Eigenschaft hat.
Beispiel 6: an = a · q n a 6= 0, q 6= 0, n = 0, 1, 2, . . .
d.h. (an ) = (a, aq, aq 2 , aq 3 , . . . ). . . gemetrische Folge
Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder
an+1
an = q . . . Quotient
∞
P
(sn ) =
aq n . . . unendliche geometrische Reihe
n=0
• s0 = a, s1 = a + aq, s2 a + aq + aq 2 , . . .
(1)
sn = a + aq + · · · + aq n | · q
(2) sn · q = aq + · · · + aq n + aq n+1
(1) − (2)
sn (1 − q) = a(1 − q n+1 )
n+1
y sn = a· 1−q
1−q (falls q 6= 1) (Summenformel für die endliche geometrische Reihe,
dabei a . . . Anfangsglied, q . . . Quotient, Anzahl der Summanden n + 1)
• y lim sn =
n→∞
a
1−q
( für |q| < 1) y Summe der unendlichen geometrischen Reihe
s=
∞
X
a · qn =
n=0
a
1−q
für |q| < 1
Anwendung z.B. periodischer Bruch: 0, 72 = 0, 7272727272... =
... =
72
100
1
1− 100
=
72
99
=
72
100
8
11
allg. q = b−p dabei b . . . Basis p. . . Periodenlänge, hier (q = 10−2 =
Beispiel 7:
∞
P
n=1
1
n
72
72
+ 100
2 + 1003 +
=a+
1
2
+
1
3
1
100 )
+ . . . harmonische Reihe
Offensichtlich ist (sn ) (streng) monoton wachsend. Man kann zeigen, dass sn nicht beschränkt ist.
Damit folgt aus Satz 3: Die harmonische Reihe ist bestimmt divergent. (Schreibweise:
∞
P
1
n = ∞)
n=1
72
Definition 7 Die Reihe
∞
P
an heißt
n=n0
1. absolut konvergent, falls
∞
P
|an | konvergent
n=n0
2. bedingt konvergent falls
∞
P
n=n0
Satz 5
∞
P
∞
P
an konvergent ∧
|an | divergent
n=n0
∞
P
an absolut konvergent ⇒
an konvergent
n=n0
n=n0
Diskussion
1. Die Umkehrung gilt im allgemeinen nicht. Es gibt konvergente Reihen, die nicht
absolut konvergent sind.
∞
P
z.B.
(−1)n−1 · n1
n=1
2. Für Reihen mit nicht negativen Gliedern an ≥ 0 ist absolute Konvergent identisch
mit (gewöhnlicher) Konvergenz (klar weegen |an | = an ). Für solche Reihen gilt
∞
∞
P
P
entweder
an < ∞, d.h. (absolute) Konvergenz oder (XOR)
an = ∞,d.h.
n=n0
n=n0
bestimmte Divergenz
Konvergenzfunktion
1. Notwendiges Konvergenzkriterium
Satz 6
∞
X
an konvergent ⇒ lim an = 0
n→∞
n=n0
Beweis: an = sn − sn−1 y lim an = lim sn − lim sn−1 = 0
n→∞
n→∞
n→∞
| {z } | {z }
s
s
Bemerkungen:
a) Bedingung lim an = 0 ist nur notwendig (aber nicht hinreichend), z.B. an =
n→∞
∞
P
1
1
,
lim
a
=
0
aber
n
n
n = ∞.
n→∞
n=1
b) Anwendung meist in logisch äquivalenter Form
lim an 6= 0 ⇒
n→∞
∞
X
n=n0
73
an divergent
∞
P
Beispiel 8
n
( 10n−1
)50
n=1
a1 = 1, 94 · 10− 48, a2 = 1, 30 · 10−49 , . . .
1
50 = 10−50 6= 0 ⇒ Reihe divergent (
lim an = lim ( 10−
1 )
n→∞
n→∞
n
∞
P
an = ∞)
n=1
2. Hinreichende Konvergenzkriterien
a) Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen
Satz 7
(o.B.d.A. sei n0 = 0)
bn ≥ bn+1 > 0(n ∈ N) ∧ lim bn = 0 ⇒
n→∞
∞
X
(−1)n bn = b0 − b1 + b2 − b3 ± . . .
n=0
ist konvergent, d.h. wenn die Beträge bn der Glieder an := (−1)n bn einer
alternierenden Reihe eine monotone Nullfolge bilden, dann ist die Reihe konvergent.
Weiter gilt: |s − sn | ≤ |an+1 |
(Fehler bei Approximation von s durch sn ist höchstens gleich dem Betrag
des ersten weggelassenen Gliedes.)
∞
P
Beispiel 9:
(−1)n−1 · n1 = a − 12 + 13 ± . . . (alternierende harmonische Reihe)
n=1
s1 = 1, s2 = 0, 5, s3 = 0, 83, s4 = 0, 583, s5 = 0, 783, s6 = 0, 616
Man kann zeigen s = ln 2 = 0, 6931
b) Vergleichskriterien für Reihen mit nicht-negativen Gliedern
Satz 8: Majoranten-Kriterium
0 ≤ an ≤ bn (für n ≥ n1 ≥ n0 ) ∧
∞
X
bn konvergent ⇒
n=n0
Die Reihe
P
∞
X
an konvergent
n=n0
bn heißt konvergente Majorante von
P
an .
Zum Beweis
an ≤ bn ⇒
X
an ≤
X
bn < ∞
Satz 9: Minoraten-Kriterium
0 ≤ bn ≤ an (für n ≥ n1 ≥ n0 ) ∧
∞
X
bn (bestimmt) divergent
n=n0
⇒
∞
X
an ist (bestimmt) divergent
n=n0
Reihe
P
bn heißt divergente Minorante von
74
P
an .
P
Zum Beweis: an ≥ bn ⇒
an ≥
P
bn = ∞ y
P
an = ∞.
Nützliche Vergleichsreihen für Anwedung der Sätze 8 und 9
∞
X
1
konvergent für α > 1
α
divergent für α ≤ 1
n
(25)
n=1
Beispiel 10: Man untersuche das Konvergenzverhalten folgender Reihen
∞
P
1
i.
2
n+1
n=1 |n −{z
}
an
P 1
Vermutung: Verhalten wie
(Dominanz der höchsten Potenz) y
n2
Konvergent wegen α = 2 > 1 (25))
Wir versuchen eine konvergente Majorante zu finden.
1
1
2
an = n2 −n+1
≤
2 = n2 =: bn
|{z}
n2 − n2
2
wegen n≤ n2 für n≥2
∞
∞
P
P
P
1
2
=
2
·
< ∞ ⇒ an < ∞
Wegen (25) gilt
2
n
n2
n=1
n=1
P
(Reihe
an konvergent)
∞
P
P n2
P1
n2 +4
ii.
, Verhalten wie
=
n , Divergenz, (??) mit α = 1 y
n3 +n2 +31
n3
n=1
∞
P
an = ∞ (divergent)
n=1
c) Quotienten- und Wurzelkriterium für Reihen mit beliebigen Gliedern
Satz 10
an+1
|=
lim |
n→∞ an
∞
X
<1
abs. konvergent
⇒
an ist
>1
divergent
n=n0
Satz 11
lim
n→∞
p
n
|an | =
∞
X
<1
abs. konvergent
⇒
an ist
>1
divergent
n=n0
Bemerkung: Falls im Satz 10 bzw. 11 lim · · · = 1 gilt, dann ist mit Hilfe dieser
Sätze keine Entscheidung möglich.
(Das gilt z.B. für die Reihen aus Beispiel 10)
Beispiel 11:
∞
P
i.
( ln1n )n · (−1)n
n=2
Wurzelkriterium
wegen (. . . )n
p
1
n
|an | = ln n lim = 0 < 1 y Reihe absolut konvergent.
n→∞
75
∞
P
ii.
n=1
(−1)n (2n)!
,
(n!)2
| an+1
an |
=
Quotientenkriterium wegen Fakultät (!)
(2(n+1))!
((n+1)!)2
(2n)!
(n!)2
=
(2n+2)!(n!)2
((n+1)!)2 (2n)!
=
(2n+2)(2n+1)
(n+1)(n+1)
=
2
1
n2 (2+ n
)(2+ n
)
lim 4
1
1
2
n (1+ n )(1+ n
) n→∞
>
1 y Reihe ist divergent!
Rechenregeln
∞
P
•
an und
n=n0
∞
P
bn konvergent, Summen a bzw. b.
n=n0
∞
P
Dann gilt
(an + bn ) = a + b,
n=n0
∞
P
•
∞
P
c · an = c · a
n=n0
an absolut konvergent ⇔ Die Glieder an beliebig umordnen, ohne dass sich
n=n0
die Summe ändert.
•
∞
P
∞
P
an und
n=0
∞
P
(
n=0
∞
P
∞
P
ai ) ·
i=0
ai bj = a · b
bj ) =
j=0
bn seien absolut konvergent, Summen a bzw. b. Dann (
i,j=0
(bei beliebiger Reihenfolge der Summanden) z.B. Ordnung nach Index-Summe (
Cauchy-Produkt)
∞ P
n
P
( ai bn−i ) = a · b
n=0 i=0
2.2 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
2.2.1 Grenzwerte von Funktionen
Definition 1 Es sei x0 ∈ R und existiere eine Umgebung U (x0 ) mit U (x0 )\{x0 } ⊆
Db(f ).
lim f (x) = a :⇔ Für jede Folge (xn ) mit xn ∈ Db(f ), xn 6= x0 und
x→x0
lim xn = x0 gilt lim f (xn ) = a
n→∞
n→∞
Anschaulich: f (x) strebt gegen a, wenn x gegen x0 strebt.
Bermerkung: Die Stelle x0 selbst muss nicht zu Db(f ) gehören!
Beispiel 1
lim
x→∞
sin x
x
=1
0 < x < π2 y FδM AB < FSektor MAB < FδM AC ⇔ 12 sin x < 12 x <
< cos1 x ⇔ 1 > sinx x > cos x y Beh.
Analog zu den Grenzwertsätzen für Zahlenfolgen gilt:
1
sin x
Satz 1 Es gelte lim f (x) = a und lim g(x) = b. Dann
x→x0
x→x0
• lim (f (x) + g(x)) = a + b, lim (c · f (x)) = c · a
x→∞
x→∞
76
1
2
tan x| ·
2
sin x
⇔1<
f (x)
x→x0 g(x)
• lim (f (x) · g(x)) = a · b, lim
x→x0
=
a
b
( falls b 6= 0)
Beispiel 2
3x3 −7x+4
x→0 3 cos x
4
3
1. lim
=
2. lim
x2 −x−6
lim (x−3)(x+2)
x−3 x→3
x−3
x→3
= lim (x + 2) = 5
x→3
0
0
, Satz 1 nicht anwendbar, z.B. Zähler zerlegen (andere Möglichkeiten später, DiffRechnung)
Definition 2
1. rechtsseitiger Grenzwert
lim f (x) = a :⇔ Für jede Folge (xn ) mit xn ∈ Db(f ), xn > x0 und lim xn =
n→∞
x→x0 +0
x0 gilt lim f (xn ) = a
n→∞
2. linksseitiger Grenzwert:
lim f (x) = a
x→x0 −0
3. lim f (x) = a :⇔ Für jede Folge (xn ) mit xn ∈ Db(f ) und lim xn = ∞ gilt lim f (xn ) =
x→∞
n→∞
n→∞
a
4.
lim f (x) = a
x→−∞
Diskussion: Uneigentliche
Grenzwerte
+ ∞
lim f (x) =
x→...
− ∞
(bei bestimmter Divergenz der Funktionswerte für x → . . . , dabe steht . . . für x0 , x0 −
0, x0 + 0, −∞ oder +∞)
Satz 2
lim f (x) = a ⇔
x→∞
lim f (x) =
x→x0 −0
lim f (x) = a
x→x0 +0
Beispiel 5 (einseitige Grenzwerte) f (x) =
1.
2
√ −x für x < 0
x + 1 für x ≥ 0
lim f (x) = lim (−x2 ) = 0
x→[0]−0
x→−0
2. lim f (x) = lim
x→+0
x→+0
√
x+1=1
y lim f (x) existiert nicht
x→0
Beispiel 4 (x → +∞, . . . ) lim (x · sin x4 )
=
|{z}
x→∞
4
u= x4 ⇔x= u
77
lim ( 4
u→0 u
· sin u) = 4 · lim
u→0
sin u
=4
u}
| {z
1
Beispiel 5 (uneigentliche Grenzwerte)
lim tan x = ∞, lim
tan x = −∞
π
x→ π2 −0
x→ 2 +0
2.2.2 Stetigkeit von Funktionen
Definition 3
1. Es gelte U (x0 ) ⊆ Db(f ) f heißt an der Stelle x0 stetig, wenn lim f (x) = f (x0 )
x→x0
gilt. (Grenzwert = Funktionswert)
2. f in x0 rechtsseitig stetig
3. f in x0 linksseitig stetig
lim f (x) = f (x0 )
x→x0 +0
lim f (x) = f (x0 )
x→x0 −0
Beispiel 6 (Unstetigkeitsstellen)
1. f1 (x) =
f˜1 (x) :=
sinx
,
x
2. f2 (x) =
x 6= 0 ist in x0 = 0 nicht stetig, da dort nicht definiert
f1 (x) für x =
6 0
ist stetig in x0 = 0.
1 für x = 0
arctan( x1 ), x 6= 0
ist unstetig in x0 = 0, endlicher Sprung“
”
0, x = 0
3. f3 (x) = x1 , x 6= 0, ist unstetig in x0 = 0
4. f4 (x) = sin ( x1 ), x 6= 0, ist unstetig bei x0 = 0
Definition 4 : f heißt stetig in einem Intervall I, wenn f an jeder inneren Stelle x0 ∈ I
stetig ist und in eventuell vorhandenen Randpunkten von I einseitig stetig ist.
Bemerkung: Jede der in 1.4.1. und 1.4.3. betrachteten Funktionen ist im gesamten
Definitionsbereich stetig.
Satz 3 f und g stetig in x0 ⇐ c1 f + c2 g, f · g und f /g(f allsg(x0 ) 6= 0) stetig in x0
Satz 4 (Stetigkeit mittelbarer Funktionen) u = g(x) stetig in x0
y = f (u) stetig in u0 = g(x0 ) ⇐ y = f (g(x)) stetig in x0
Satz 5 (Zwischenwertsatz) f sei stetig in [a; b], f (a) und f (b) seinen 6= 0 und haben
unterschiedliches Vorzeichen. ⇐ ∀x∗ ∈ (a; b) f (x∗ ) = 0 d.h. es existieren wenigstens eine
Nullstelle.
y Verfahren zur Nullstellenermittlung
• Regula falsi (Schantenverfahren)
• Intervallhalbierungsmethode
78
Satz 6
mum.
f sei stetig in [a; b], dann hat f in [a; b] sowohl ein Maxium als auch ein Mini-
2.3 Potenzreihen
Definition 1 :
∞
X
an (x − x0 )n
(26)
n=0
heißt Potenzreihe mit dem Mittelpunkt x0
Diskussion:
1. Für jedes feste x ∈ R stellt (26) eine unendliche (Zahlen)-Reihe dar.
2. Konvergenzbereich K = {x ∈ R| (26) ist konvergent }
3. Für jedes x ∈ K existiert der Summenwert =: f (x). Die Funktion f (x), x ∈ K
heißt Grenzfunktion der Potenzreihe (26).
Zur Bestimmung des Konvergenzbereiches: Mit Hilfe der Sätze 10 und 11 aus 2.1.3
(Quotienten/Wurzelkriterium), erhält man absolute Konvergenz in einem symmetrisch
um x0 liegenden sogenannten Konvergenzintervall: I = (x0 − r, x0 + r)
Dabei ist r der Konvergenzradius:
r = lim |
n→∞
Satz 1
:
∞
P
an
1
| = lim p
n
n→∞
an+1
|an |
(27)
an (x − x0 )n ist absolut konvergent für alle x mit |x − x0 | < r, d.h. x ∈ I,
n=0
divergent für alle x mit |x − x0 | > r.
Diskussion:
P
1. Formel (27) nicht
verwechseln
mit
den
Sätzen
10
und
11
(dort
Zahlen
an , hier
P
n
n
Potenzreihen
an (x − x0 ) , d.h. an ist hier nur der Faktor von (x − x0 )
2. Falls die Grenzwerte in (27) nicht existieren, gibt es trotzdem einen Konvergenzradius (auf andere Weise berechenbar, vgl. Beispiel 1c)
3. Satz 1 sagt nichts über das Verhalten in den Randpunkten des Konvergenzintervalls
aus → gesponderte Untersuchungen notwendig.
Beispiel 1:
1.
∞
P
n=1
xn
n ,
d.h. x0 = 0, an = n1 (n = 1, 2, . . . ) (allg. Gestalt:
P
an (x − x0 )n )
√
1
1
n
q
r = lim p
=
lim
=
lim
n=1
n→∞ n 1
n→∞
n→∞ n |a |
n
n
79
Konvergenzintervall I = (−1; 1)
∞
P
(−1)n
Randpunkte: x = −1 y
(bedingt) konvergent nach Leibnitz-Kriterium
n
∞
P
x=1y
n=1
n=1
1
n
divergent (harmonische Reihe bzw. α = 1)
y Konvergenzbereich K = [−1; 1)
2.
∞
P
xn
n! ,
n=0
an
| an+1
|
d.h. x0 = 0, an =
1
n!
1
(n+1)!
=
(n+1)!
n!
=
1
n!
→ ∞
|{z}
n→∞
y r = ∞, d.h. K = I = (−∞; ∞) (Reihe überall absolut konvergent)
3.
∞
P
x2n
(2n)!
n=0
=1+
x2
2!
+
x4
4!
+ . . . , x0 = 0
1
n!
(n gerade)
)
0 (n ungerade)
y Formale (27) nicht unmittelbar anwendbar.
∞
P
un
Substitution: u = x2 y
(2n)! untersuchen, u0 = 0, an =
(
P
An xn mit An =
an
| an+1 | =
1
(2n)!
1
(2n+2)!
=
n=0
(2n+2)!
(2n)! = (2n
1
(2n)!
+ 1)(2n + 2) |{z}
→ ∞ y ru = ∞
n→∞
absolute konvergent für alle u) y rx = ∞ y K = I = (−∞; ∞)
Beispiel 2 (einige Grenzfunktionen)
1.
∞
P
n=0
a
1−g
2.
∞
P
n=0
xn =
1
1−x , x
∈ (−1; 1) (s. 2.1.3.1, geometrische Reihe a = 1, g = x y s =
=
1
1−x )
xn
n!
= ex , x ∈ R, Beweis: in 3.3.1.
Satz 2 Die Grenzfunktion jeder Potenzreihe ist im Konvergenzbereich stetig.
3 Differentialrechnung für Funktionen einer reellen Variablen
3.1 Grundbegriffe
Tangentenproblem
Geg: y = f (x), gesucht Tangente in P0 (x0 , f (x0 ))
• zunächst Sekante durch P0 und P1
• jetzt P1 → P0 , d.h. x1 → x0 y Sekante geht über in Tangete in Punkt P0 y ϕ → α
80
(Leibnitz 1646-1716)
tan α = lim tan ϕ lim
x1 →x0
ϕ→α
f (x1 ) − f (x0 )
x1 − x0
Definition 1 Die Funktion y = f (x) heißt an der Stelle x0 ( mit U (x0 ) ⊆ Db(f ))
differenzierbar, falls der Grenzwert
f 0 (x0 ) := lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
x − x0
existiert. f 0 (x0 ) heißt 1. Ableitung von f an der Stelle x0 .
Diskussion
1. f 0 (x0 ) = lim
h→0
f (x0 +h)−f (x0 )
h
2. Gleichung der Tangente in (x0 , f (x0 ))
y = f (x0 ) + f 0 (x0 ) · (x − x0 )
Anstieg der Tangente m = tan α = f 0 (x0 )
3. f in x0 differenzierbar bedeutet, es existiert eine eindeutige Tangente an die Kurve
dieser Stelle. Zum Beispiel ist f (x) = |x| nicht diffbar in x0 = 0
Satz 1
f in x0 diffbar ⇒ f in x0 stetig
Definition 2 f heißt im Intervall I diffbar, wenn f an jeder inneren Stelle x0 von I
diffbar ist und in eventuell vorhandenen Randpunkten einseitig diffbar ist.
Schreibweise: y 0 = f 0 (x), x ∈ I
Definition 3 (höhere Ableitungen)
Rekursive Definition der n-ten Ableitung
f (n) (x) := (f (n−1) (x))0 , n = 1, 2, 3, . . . mit f (0) (x) := f (x)
Beispiel 1 f (x) = xn n ∈ N∗ , x ∈ R
f (x+h)−f (x)
= h1 ((x + h)n − xn )
n
1
n n−1
n
=
h + ( n2 )xn−2 h2 + · · · + ( nn )hn − xn )
h (x + ( 1 )x
|{z}
Binomischer Satz
−−−→
h → 0n · xn−1 (x
∈ R), d.h. f ist auf R diffbar mit f 0 (x) = nxn−1
81
Beispiel 2 f (x) = sin x, x ∈ R
f (x+h)−f (x)
h
=
sin x+h−sin x
h
=
2 cos
2x+h
·sin h
2
2
h
h sin h −−−→
= cos (x + ) · 2 h → 0 cos x, also f 0 (x) =
h
{z 2 }
|
2
→cos x
|{z}
→1
cos x
Bemerkung Ableitungen der Grundfunktionen s.z.B. Merkblatt Ableitungen zusammengesetzter Funktionen vgl. Ableitungsregeln (3.2)
Differential dy = h · tan α = h · f 0 (x0 )
Definition 4
1. dy := f 0 (x0 ) · h heißt das zur Stelle x0 und den Zuwachs h = ∆x gehörende
Differential von f
2. ∆y = f (x0 +h)−f (x0 ) heißt die zur Stelle x0 und dem Zuwachs h = ∆x gehörende
Differenz von f
Diskussion
1. ∆y ist die Änderung der Funktion f (x), wenn x von x0 in x0 + h übergeht. dy
ist die entsprechende Änderung, wenn f (x) durch die Tangente an der Stelle x0
ersetzt wird (Linearisierung)
2. Für kleine Zuwächse ∆x gilt ∆y ≈ dy, d.h. ∆y ≈ f 0 (x0 ) · ∆x für kleines ∆x y
Fehlerrechnung
3. Es sei y = f (x) = x y dy = dx, andererseits ist dy = 1 · h = h y h = ∆x = dx
4. Damit ist f 0 (x) =
d
f (x)
f 0 (x) = dx
dy
dx ;
1. Ableitung = Differentialquotient andere Schreibweise
5. Höhere Ableitungen f (n) (x) =
dn y
(dx)n f (x)
3.2 Differentionsregeln
Satz 1 Falls die Ableitungen auf den rechten Seiten existieren, gilt:
(c1 u(x) + c2 v(x))0 = c1 u0 (x) + c2 v 0 (x) = Linearität
u(x) · v(x))0 = u0 (x) · v(x) + u(x) · v 0 (x) = Produktregel
(
u(x) 0 u0 (x)v(x) − u(x)v 0 (x)
) =
= Quotientenregel
v(x)
v(x)2
82
Beispiel 1
√
1
1
2
3
1. f (x) = 7x4 + 3 x+ √2x = 7x4 +x 3 +2x− 2 → f 0 (x) = 7·4x3 + 13 x− 3 +2·(− 12 )·x− 2 =
28x3 +
3·
1
√
3
x3
−
√1
x3
2. f (x) = x ln x(x > 0)
f 0 (x) = 1 · ln x + x · x1 = 1 + ln x (Produktregel!)
3. f (x) = ex x2 + 2 y f 0 (x) =
ex (x2 +2)−ex ·2x
(x2 +2)2
=
(ex (x2 −2x+2)
(x2 +2)2
(Quotientenregel!)
Satz 2 (Differentiation mittelbarer Funktionen, Kettenregel)
(f (g(x)))0 = f 0 (g(x)) · g 0 (x)
Diskussion: y = f (g(x)) = f (u) mit u = g(x)
|{z}
u
Differentialschreibweise: y 0 =
dy
dx
=
dy
du
|{z}
·
du
dx
|{z}
äußere Ableitung innere Ableitung
Beispiel 2
1. y = f (x) = sin (|{z}
3x
y0
=
dy
dx
=
dy
du
=
u
du
dx =
cos u · 3 = 3 · cos (3x)
2. y = f (x) = 2tan (3x)
Subst. u = tan (3x), v = 3x
y y = 2u , u = tan v, v = 3x
dy
dy dy dv
y dx
= du
· dv · dx = 2u · ln 2 · (1 + tan2 v) · 3 = 3 · ln 2 · 2tan (3x) · (1 + tan2 (3x))
Beispiel 3 Logarithmische Differentiation f (x) = xsin x , x > 0
(Basis und Exponent von x abhängig; die Regeln (xa )0 = axa−1 und (ax )0 = ax ln a sind
nicht unmittelbar anwendbar!)
• Logarithmieren: ln f (x) = sin x · ln x
• Diff. nach x:
1
1
· f 0 (x) = cos x · ln x + sin x | · f (x)
f (x)
x}
{z
|
{z
} |
Kettenregel
Produktregel
• Auflösen nach f 0 (x) : f 0 (x) = xsin x (cos x · ln x +
83
sin x
x )
Satz 3 (Ableitung der Grenzfunktionen einer Potenzreihe)
f (x) =
∞
X
an (x − x0 )n
x ∈ (x0 − r, x0 + r) ⇒ f 0 (x) =
n=0
∞
X
an · n · (x − x0 )n−1
n=1
(gliedweises Differenzieren!)
Beispiel 4
1 0
( 1−x
) =
1
1−x
1
(1−x)2
∞
P
= 1 + x + x2 + x3 + · · · =
= 1 + 2x + 3x2 + · · · =
xn ,
x ∈ (−1; 1)
nxn−1 ,
x ∈ (−1; 1)
n=0
∞
P
n=1
3.3 Anwendungen
3.3.1 Taylorsche Formel, Taylor-Reihe
Problem Komplizierte“ Funktion f (x) soll in Umgebung von x0 durch ein Polynom
”
pn (x) n-ten Grades angenähert werden.
Ansatz pn (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + · · · + an (x − x0 )n
Forderung
liefert: ak =
pn (x0 )
f (k) (x0 )
k!
= f (x0 ), p0n (x0 ) = f 0 (x0 ), p00n (x0 ) = f 00 (x0 ), . . .
(k = 0, 1, 2, . . . , n)
Definition 1 Das sich ergebende Polynom
f 0 (x)
f 00 (x0 )
f (n) (x0 )
(x − x0 ) +
(x − x0 )2 + · · · +
(x − x0 )n
1!
2!
n!
heißt Taylor-Polynom n-ten Grades, Entwicklungsstelle x0
pn (x) = f (x0 ) +
Diskussion
1. pn (x) ist eine Näherung für f (x)
Fehler: f (x) − pn (x) =: Rn (x) . . . Restglied
2. Restglied im allgemeinem umso kleiner, je größer n ist, und je kleiner |x − x0 | ist.
Oft gilt lim Rn (x) = 0
n→∞
Satz 1 (Taylorsche Formel)
Es sei f (x) in [a; b] (n + 1)-mal diffbar, sowie x0 , x ∈ [a; b]. Dann existiert ein ξ zwischen
x0 und x, d.h. ξ = x0 + ϑ · (x − x0 ), 0 < ϑ < 1, so dass gilt: Rn (x) =
(Restgliedform von Lagrange). Es gilt also:
f (x) =
n
X
f (k) (x0 )
k=0
|
k!
{z
(x − x0 )k +
pn (x)
}
f (n+1) (ξ)
n+1
(n+1)! (x − x0 )
f (n+1) (x0 + ϑ · (x − x0 ))
(x − x0 )n+1
(n + 1)!
{z
}
|
Rn+1
84
Diskussion speziell n = 0 y
f (x) = f (x0 ) + f 0 (ξ) · (x − x0 )
mit ξ = x0 + ϑ · (x − x0 ), 0 < ϑ < 1
(Mittelwertsatz der Diff-Rechnung) (28) ⇔
(28)
f (x) − f (x0 )
=
f 0 (ξ)
| {z }
x − x0
{z
} Tangentenanstieg
|
Sekantenanstieg
Beispiel 1 f (x) = ex , f 0 (x) = ex , f 00 (x) = ex , . . . , x0 = 0 y f (x0 ) = 1, f 0 (x0 ) =
1, f 00 (x0 ) = 1, · · · y
√
n
X
e x
1 k
e =
x +
xn+1 , 0 < ϑ < 1
k!
(n + 1)!
x
k=0
z.B: x = 0, 1; n = 4
0,12
0,13
0,14
0,15 ϑ·0,1
y e0,1 = 1 + 0,1
1! + 2! + 3! + 4! + 5! e
e0,1 = 1, 10517083(3) + R4 (0, 1)
5
0,15
−7
−8
e|ϑ·0,1
Fehler: 0 < R4 (0, 1) = 0,1
5!
{z } < 5! · 3 = 2, 5 · 10 = 25 · 10
<e0,1 <e1 <3
y 1, 10517083 < e0,1 < 1, 10517109
y e0,1 = 1, 105171 (6 Stellen nach Komma genau) (exakt : 1,105170918)
Beispiel 2 x0 = 0
f (x) = cos x
y f (x0 ) = 1
0
f (x) = − sin x
y f 0 (x0 ) = 0
f 00 (x) = − cos x
y f 00 (x0 ) = −1
f 000 (x) = sin x
y f 000 (x0 = 0
f (4) (x) = cos x
y f (4) (x0 ) = 1
n = 2m + 1 y
cos x = |{z}
1 +
f (x0 )
0
|{z}
x2
−
| {z2!}
+0 +
x4
4!
f 0 (x0 )
(x−x0 ) f 00 (x )
1!
0 (x−x )2
0
2!
x2
y Näherung z.B: cos x = 1 −
2!
+ · · · + (−1)m ·
für |x| << 1 Fehler: R3 (x) ≤
85
x2m
(2m)!
x4
4!
+ 0 + R2m+1
Beispiel 3
f (x) = (1 + x)α , x0 = 0
y f (x0 ) = 1
f 0 (x) = α(1 + x)α−1
y f 0 (x0 ) = α
f 00 (x) = α(α − 1) · (1 + x)α−2
..
.
y f 00 (x0 ) = α(α − 1)
α
k
n
P
y f (k) (x0 ) =
y (1 + x)α =
k=0
· k!
α
k
xk +
α
n+1
(1 + ϑx)α−n−1 xn+1
(0 < ϑ < 1)
Beispiel 4 f (x) Polynom n-ten Grades y f (n+1) (x) = 0(∀x ∈ R)
y Rn (x) = 0(∀x ∈ R) y Taylor-Polynom stellt f (x) exakt dar.
f (x) = pn (x) (Entwicklung nach Potenzen von (x − x0 ))
Taylor-Reihen
Satz 2 Es sei f auf U (x0 ) beliebig oft diffbar und es gelte lim Rn (x) = 0. Dann gilt:
n→∞
f (x) =
∞
X
f (k) (x0 )
k!
k=0
(x − x0 )k (Taylor-Reihe)
Denn: Taylor-Formel
f (x) =
n
X
f (k) (x0 )
k=0
k!
(x − x0 )k + Rn (x)
n → ∞ y Behauptung
Beispiel 5 ex =
n
P
k=0
xn
n!
Es gilt lim Rn (x) = 0
n→∞
+ Rn (x), vgl. Beispiel 1.
∀x ∈ R.
Beweis: n0 werde so gewählt, dass q := |x|
n0 < 1 gilt. Es sei n > n0 y
|x|
|x|
|x| |x|
|x|
n+1
x
| < e|x| ·
·
· ··· ·
·
· ··· ·
|Rn (x)| = |eϑx + (n+1)!
1
2
n0 n0
n0
|
{z
} |
{z
}
e|x|
|x|n0
n0 !
=
·
·
Es gilt also
q n+1−n0
−
−−∞
→0
n−→
n0 Faktoren
ex =
∞
X
xk
k=0
k!
86
n+1−n0 Faktoren
, x∈R
Beispiel 6 cos x =
m∞
P
k=0
(x)
2k
x
(−1)k (2k)!
+ R2m+1 , vgl. Beispiel 2 ähnlich wie im Beispiel 5 folgt
lim R2m+1 (x) = 0 für x ∈ R y
m→∞
∞
P
x2k
(−1)k · (2k)!
cos x =
,x ∈ R
sin x =
k=0
∞
P
(−1)k ·
k=0
x2k+1
(2k+1)! , x
∈R
Beispiel 7 Restglieduntersuchung im Beispiel 3 führt auf die Binomialreihe
∞ X
α k
(1 + x) =
x , |x| < 1, α ∈ R
k
α
k=0
3.3.2 Grenzwertbestimmung mittels Regel von Bernoulli-l’Hospital
Satz 3 (Regel von Bernoulli-l’Hospital)
• Es gelte
1. lim f (x) = 0 ∧ lim g(x) = 0
x→a
2.
x→a
0 (x)
lim fg0 (x)
x→a
f (x)
x→a g(x)
⇒ lim
existiert (als endlicher oder unendlicher Grenzwert)
f 0 (x)
0
x→a g (x)
= lim
(Typ:
0
”0
“)
• Die gleiche Aussage gilt, wenn 1. ersetzt wird durch
1. lim f (x) = ±∞ ∧ lim g(x) = ±∞ (Typ
x→a
x→a
∞
”∞
“)
Zum Beweis: Es seien f, g, f 0 , g 0 stetig in x0 . Außerdem sei g 0 (x0 ) 6= 0.
0
z }|
{
0 (ξ )
0
f (x0 ) +(x−x0 )·f 0 (ξ1 )
f (x)
1 −−−−→ f (x0 )
MWS: g(x) =
= fg0 (ξ
x → x0 g0 (x0 )
2)
g(x0 ) +(x−x0 )·g0 (ξ2 )
| {z }
0
Beispiel 8
1
ln x
x→1 x−1
=
0
lim 1x
0 x→1
=1
lnx
√
x→∞ x
=
∞
lim
∞ x→∞
1
x
1
√
2 x
1. lim
2. lim
x2
1−cos
x
x→0
3. lim
=
0
2x
lim sin
0 x→0
x
= lim
x→∞
=
√2
x
=0
0
lim cos2 x
0 x→0
=2
(u.U. Regel mehrfach anwenden!) Aber Vorsicht!)
4. lim
x→∞
sinh(x+1)
coshx
=
∞
lim cosh(x+1)
∞ x→∞
sinhx
=
∞
lim sinh(x+1)
∞ x→∞
coshx
Regel führt nicht immer zum Ziel
87
=?
Diskussion
1. Man beachte bei Anwendung von Satz 3: Zähler und Nennen einzeln differenzieren,
keine Quotientenregel.
0
(x)
(x)
2. Falls lim fg0 (x)
nicht existiert, darf man nicht folgern, dass lim fg(x)
ebenfalls nicht
x→a
x→a
existiert.
5x+sin x
Beispiel 9 g := lim 3x−cos
x =
x→∞
Anderes Vorgehen:
x(5+ sinx x )
cos x
x→∞ x(3− x )
g = lim
=
∞
x
lim 5+cos
∞ x→∞
3+sin x
existiert nicht
5
3
Weitere unbestimmte Ausdrücke Zurückführung auf Grundtypen 00 “ bzw. ∞
“
”
”∞
g(x)
f (x)
0
∞
0 · ∞“: f (x) · g(x) als Doppelbruch schreiben 1 oder 1 y 0 “ oder ∞ “
”
”
”
g(x)
f (x)
g(x)
∞ − ∞“: Ausklammern f (x) − g(x) = f (x)(1 − f (x) ) oder falls Brüche vorliegen →
”
Hauptnenner. 00“: Umformung: lim f (x)g(x) = lim eln 11“: ∞0“
”
”
”
x→a
x→a
1. lim ( sin1 x −
x→0
0
“
”0
z}|{
1
ex −1
)
∞−∞“
” z}|{
=
ex −1−sin x
x
x→0 sin x(e −1)
lim
ex −cos x
x −1)+sin x·ex
cos
x·(e
x→0
ex +sin x
lim − sin x·(ex −1)+cos
x·ex +cos x·ex +sin x·ex
x→0
= lim
=
Beispiel 11
1
2
lim ( x1 ln (1−x))
1
1
=
lim (1 − x) x = lim eln((1−x) x ) = ex→0
x→0
x→0
= e−1
|{z}
NR
NR:
lim ln (1−x)
x
x→0
= lim
1
·(−1)
1−x
x→0
1
= −1
3.3.3 Kurvendiskussion
Problemstellung y = f (x), x ∈ Db(f )
Der Graph {(x, y) ∈ R2 |y = f (x) ∧ x ∈ Db(f )} ist zu untersuchen auf:
1. Nullstellen
2. Stellen und Art lokaler und globaler Extrema
3. Wendestellen
4. Verhalten im Unendlichen bzw. an den Randstellen des Definitionsbereiches und
(falls vorhanden) bei Annäherung an Unstetigkeitsstellen
88
Diskussion
1. Nullstellenermittlung zB. mit dem Newton-Verfahren (vgl. Abschnitt 3.3.5).
Definition: x0 heißt Nullstelle n-ter Ordnung, falls
f (x0 ) = f 0 (x0 ) = · · · = f (n−1) (x0 ) = 0 ∧ f (n) (x0 ) 6= 0
2. Lokale Extrema sind extremal bzgl. einer Umgebung U (x0 ) ⊆ Db(f )
Globale Extrema sind extremal bzgl. des gesamten Definitionsbereiches.
Bezeichnungen:
• xE . . . Extremstelle
• yE . . . Extremwert
• (xE , yE ) . . . Extrempunkt
3. Wendepunkte sind Punkte, an denen die Kurve (von unten“ betrachtet) von kon”
kav in konvex bzw. von konvex in konkav übergeht.
Dabei:
• konkav
y
x
• konvex
4. Einige einfache Zusammenhänge zwischen Eigenschaften der Kurve und Ableitungen an der Stelle x0 . (f sei auf U (x0 ) hinreichend oft diff-bar.)
<
0
0)
>
f 0 (x0 ) = 0
<
f 00 (x0 )
0
>
f 00 (x0 ) = 0
f 0 (x
f 0 (x0 ) = 0 ∧ f 00 (x0 )
fallend
wachsend
f in x0 lokal extremal
konkav
f in U (x0 )
konvex
x0 ist Wendestelle
maximal
f in x0 lokal
minimal
⇒ f in U (x0 ) streng monoton
⇐
⇒
⇐
<
0 ⇒
>
5. Problem: f 0 (x0 ) = 0, f 00 (x0 ) = 0, · · · y Verhalten bei x0 ?
Hinreichende Bedingungen für Vorliegen einer Extremstelle
89
Satz 4 Es sei f 0 (x0 ) = · · · = f (n−1) (x0 ) = 0 ∧ f (n) (x0 ) 6= 0 und f (n) (x) stetig in U (x0 ).
Dann gilt:
1. n = 2, 4, 6, . . . (n gerade) ⇒ x0 ist Extremstelle (lokal), Maximum, falls f (n) (x0 ) <
0, Minimum falls f (n) (x0 ) > 0
2. n = 3, 5, 7, . . . (n ungerade) ⇒ x0 ist Horizontal-Wendestelle
• konvex → konkav, falls f (n) (x0 ) < 0
• konkav → konvex, falls f (n) (x0 ) > 0
(Beweis mitels Taylor-Formel f (x) = pn−1 (x) + Rn−1 )
Diskussion Oft günstig
Satz 4’ Es sei f 0 (x0 ) = 0
1. f0 (x) wechselt in x0 das Vorzeichen
von + auf − ⇒ x0 lokale Max. Stelle
von − auf + ⇒ x0 lokale Min. Stelle
2. kein Vorzeichenwechsel ⇒ x0 ist Horizontal-Wendestelle
Hinreichende Bedinungen für Vorliegen einer Wendestelle
Satz 5
gilt:
f 00 (x0 ) = · · · = f (n−1) (x0 ) = 0 ∧ f (n) (x0 ) 6= 0 und f (n) (x) stetig in U (x0 ). Dann
1. n = 3, 5, 7, · · · ⇒ x0 ist Wendestelle
f (n) (x0 ) < 0 konvex → konkav
f (n) (x0 ) > 0 konkav → konvex
2. n = 4, 6, 8 ⇒ x0 ist keine Wendestelle (sogenannte Flachstelle, Extremum falls
zusätzlich f 0 (x0 ) = 0)
Satz 5’ Es sei f 00 (x0 ) = 0
1. f 00 (x) wechselt bei x0 das Vorzeichen ⇒ x0 Wendestelle
2. kein Vorzeichenwechsel ⇒ keine Wendestelle
Bemerkung zu Satz 4’ und 5’ Vorzeichenwechsel von f 0 bzw. f 00 bei x = x0 ⇔
f 0 bzw. f 00 bei x0 eine Nullstelle ungerader Ordnung besitzt
90
Beispiel 12 Kurvendiskussion zu y = f (x) = x2 (ln x)4 , x > 0
(Unbedingt) benötigte Ableitungen: f 0 (x) = 2x(ln x)4 +x2 ·4(ln x)3 · x1
12(ln x)3 + 12(ln x)2
f 00 (x) = 2(ln x4 +
1. Nullstellen f (x) = 0 ⇔ x = 0 ∨ ln x = 0 y x1 = 1 (4-fach)
2. lokale Extremstellen
• notwendige Bed. f 0 (x)0
⇒ 2x(ln x)3 (ln x + 2) = 0
⇒ ln x = 0 ∨ ln x = −2 ⇒ xE1 = 1, xE2 = e−2 (mögliche Extremstellen)
• (Zunächst) Untersuchung mittels Satz 4
weitere Ableitungen (für xE1 = 1 benötigt)
f 000 (x) = (8(ln x)3 + 36(ln x)2 + 24 ln x) · x1
f (4) (x) = (−8(ln x)3 − 12(ln x)2 + 48 ln x + 24) ·
1
x2
3. Wendestellen, notwendige Bedingungen f 00 (x) = 0
y 2(ln x)2 ((ln x)2 + b ln x + 6) = 0
y ln x = 0 ∨ (ln x)2 + 6 ln x + 6√= 0 y
√
x = e−3−√3
ln x = −3 ± 3 y w1
(mögliche Wendestellen) Untersuchung: günstig
xw2 = e−3+ 3
Satz 5’, einfache Nullstellen von f 00 (ungerade Ordnung) y Vorzeichenwechsel von
f 00
y Wendestellen y w1 (0, 0088; 0, 0389), w2 (0, 2814, 0, 2047)
| {z } | {z }
| {z } | {z }
(oder Satz 5:
f 000 (xw1,2 )
xw 1
yw2
xw2
yw2
6= 0
4. Verhalten für x → ∞ und x → +0
(ln x)4
−2
x→+0 x
• lim
• analog lim
4(ln x)3 · x1
−3
x→+0 −2x
f 0 (x) = 0
= lim
x→+0
−2(ln x)3
x−2
x→+0
= lim
= ··· = 0
• lim f (x) = ∞
x→∞
3.3.4 Kurvendarstellungen, Tangenten- und Normalengleichungen, Krümmung
Darstellung ebener Kurven
1. Explizite kartesische Darstellung
y = f (x), x ∈ I
vgl. Abschnitt 3.3.3.
91
2. Implizite kartesische Darstellung
F (x, y) = 0
Für graphische Darstellung ungünstig, unter bestimmten Bedingungen lässt sich
F (x, y) = 0 auflösen nach y (oder x). Mehr dazu im Kapitel 5 (Differential Rechnung für Funktionen mehrerer Variablen)
3. Parameterdarstellung
x = x(t), y = y(t), t ∈ I
x
x(t)
vektorielle Form mit ~r =
: ~r =
,t ∈ I
y
y(t)
Beispiel 13 x = a cos t, y = b sin t
t ∈ [0; 2π], a > 0, b > 0 Übergang zu parame|
{z
}
Konstanten
terfreier Darstellung: t eliminieren
y xa = cos t, yb = sin t
2
2
2
2
y xa2 = cos2 t, yb2 = sin2 t y xa2 + yb2 = 1
4. Explizite Darstellung in Polarkoordinaten
• Darstellung eines Punktes in der Ebene
y
P (x, y)
r
ϕ
x
x, y . . . kartesische Koordinaten
r, ϕ . . . Polarkoordinaten (analog Betrag und Argument einer Komplexen Zahl)
r ≥ 0, ϕ ∈ R
Umrechnung: x = cos ϕ, y = r sin ϕ
• Kurvendarstellung:
r = r(ϕ), ϕ ∈ [α, β]
Für jeden Winkel ϕ ∈ [α, β] die Strecke r(ϕ) auf dem ϕ entsprechenden Strahl
von 0 aus abtragen
Bemerkungen
• Übergang explizite kartesische Darstellung zu Polarkoordinaten
y = f (x), x ∈ [a, b] y x = t, y = f (t), t ∈ [a, b]
92
• Übergang explizite Polarkoordinatendarstellung zu Polarkoordinaten (Parameter ϕ)
r = r(ϕ), ϕ ∈ [α, β] y x = r(ϕ) cos ϕ, y = r(ϕ) sin ϕ ϕ ∈ [α, β]
Tangenten und Normalen ebener Kurven
• Anstieg y 0 einer in Parameterdarstellung gegebenen Kurve x = x(t), y = y(t), t ∈ I.
Es sei y = f (x) sei die explizite kartesische Darstellung (ohne die Elimination von
t tatsächlich auszuführen)
dy dx
y dy
dt = dx · dt (Kettenregel). In Anwendungen ist t oft die Zeit, übliche Schreibweise dann dx
dt =: ẋ,
dy
ẏ
0
dt =: ẏ, also gilt y = ẋ
2
Höhere Ableitungen ddt2x = ẋ˙ usw.
• Tangente im Punkt (x0 , y0 ), y0 = f (x0 ) bzw. x0 = x(t0 ), y0 = y(t0 )
ẋ(t0 )
Beispielvektor für Tangente t =
=: ~ṙ(t0 )
ẏ(t0 )
−ẏ(t0 )
gilt (~t, ~n) = 0 y ~n ⊥ ~t, damit ist ~n ein Richtungsvektor
Für ~n = ~n(t0 ) :=
ẋ(t0 )
der Normalen
Tabelle 1 (Anstieg, Tangenten- und Normalenvektor):
y = f (x), x ∈ I x = x(t), y = y(t), t ∈ I
Kurve
Punkt P0 (x0 , y0 )
P0 (x0 , f (x0 ))
P0 (x(t0 ), y(t0 ))
| {z }
y0
Anstieg m = tan α im Punkt P0
Tangentenvektor ~t
Normalenvektor ~n
f 0 (x
ẏ(t0 )
0)
1
0 (x )
f
0 0 −f (x0 )
1
ẋ(t0 ) ẋ(t0 )
ẏ(t0 ) −ẏ(t0 )
ẋ(t0 )
• Tangetengleichung
x0
x
y = y0 + m · (x − x0 ) ~r =
=
+ s · ~t, s ∈ R
y
y0
• Normalengleichung
1
· (x − x0 ) ~r =
y = y0 −
m
93
x
x0
=
+ u · ~n, u ∈ R
y
y0
Krümmung ebener Kurven Gegeben sei Kurve C, fester Punkt P0 (x0 , y0 ). R und S
seien zwei weitere Punkte in C. Durch 3 Punkte P0 , R, S ist im Allgemeinen eindeutig
ein Kreis festgelegt. Es sei K die Grenzlage des Kreieses, wenn R und S un P0 übergehen.
• K . . . Krümmungskreis
• κ . . . Krümmung, vorzeichenbehaftet
• % . . . Krümmungsradius % =
1
|κ|
−−→
• M . . . Mittelpunkt von K 0M =
x0
y0
+
1
κ
·
~
n
|~
n|
Tabelle 2
Kurve
y = f (x), x ∈ I
Krümmung κ in P (x, y)
κ=
x = x(t)
,t ∈ I
y = y(t)
y 00
κ=
3
(1+(y 0 )2 ) 2
˙ ẋ˙ ẏ
ẋẏ−
3
(ẋ2 +ẏ 2 ) 2
r = r(ϕ), ϕ ∈ I
κ=
r2 +2(r0 )2 −rr00
3
(r2 +(r0 )2 ) 2
Raumkurven


x(t)
x = x(t)
• Parameterdarstellung
t ∈ I vektoriell ~r = ~r(t) = y(t) , t ∈ I
y = y(t)z = z(t)
z(t)
 
x
mit ~r = ~r = y 
z
• Tangente in Punkt P0 (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 ))
~r = ~r(t0 ) + s · ~ṙ, s ∈ R
• Krümmung
κ=
˙
|~ṙ × ~ṙ|
1
, Radius % =
κ
|~ṙ|3
3.3.5 Newton-Verfahren zur Nullstellenermittlung
Satz 6 (Newtonsches Iterationsverfahren) Es sei x∗ eine Lösung der Gleichung f (x) =
00 (x)
0 für ein geeignetes Intervall I = (x∗ − r, x∗ + r) gelte f 0 (x) 6= 0 ∧ | f (x)·f
| ≤ k <
(f 0 (x))2
1 (x ∈ I)
n)
Dann konvergiert für jeden Startwert x0 ∈ I die mittels xn+1 = xn − ff0(x
(n =
(xn )
0, 1, 2, . . . ) festgelegte Folge gegen x∗ . lim xn = x∗
n→∞
Ferner gilt:
K
Kn
|x∗ − xn | ≤
|xn−1 − xn | ≤
|x1 − x0 |
1−K
1−K
94
Diskussion
1. Geometrische Veranschaulichung
• Tangente in P0
y = f (x0 ) + f 0 (x0 ) · (x − x0 )
• x1 . . . Nullstelle der Tangente
0 = f (x0 ) + f 0 (x0 ) · (x1 − x0 )
0)
y x1 = x0 − ff0(x
(x0 )
2. Zur Wahl des Startwertes x0 :
>
>
Falls in I gilt f 00 (x)
0, dann günstig für Startwert: f (x0 )
0
<
<
3. Praktisches Vorgehen: Abbruch falls |xn+1 − xn | < ε
4 Integralrechnung für Funktionen einer reellen Veränderlichen
4.1 Integralbegriff
4.1.1 Das bestimmte Integral
Problem Geg: Kurve y = f (x), x ∈ [a, b] (zunächst f (x) ≥ 0)
Ges: Flächeninhalt I unter der Kurve.
Vorgehensweise
• Zerlegung Z des Intervalls [a, b] · a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b
• In jedem Teilintervall Zwischenstelle ξ ∈ [xi−1 , xi ] wählen y Zerlegung Z ∗ (Z mit
Zwischenstellen ξi )
• ∆(Z ∗ ) := max (xi − xi−1 )i=1,...,n . . . max. Teilintervalllänge
• Approximation von I durch Summe von Rechtecksflächen:
S(Z ∗ , f ) :=
n
X
f (ξi ) · (xi − xi−1 )
i=1
. . . sogenannte Riemannsche Summe (Näherung für I)
Definition 1 Die Funktion f heißt (im Riemannschen Sinne) über [a, b] integrierbar,
wenn für jede Zerlegungsfolge ∀(Z ∗ µ) von [a, b] mit lim ∆(Zµ∗ ) = 0 gilt. lim S(Zµ∗ , f ) =
µ→∞
I
Die Zahl I heißt bestimmtes Integral von f über [a, b]
Rb
Bezeichnung I = f (x) dx
a
95
µ→∞
Diskussion
1. Definition 1 basiert nicht auf der Forderung f (x) ≥ 0. Falls f (x) < 0 für x ∈ [a, b],
Rb
so gilt im Falle der Integrierbarkeit: f (x) dx < 0
a
2. Man definiert:
Ra
R∗
f (x) dx := 0, f (x) dx, b > a
a
b
3. Eigenschaften des bestimmten Integrals
Rb
f (x) dx =
a
Rc
Rb
f (x) dx+ f (x) dx
a
c
(a, b, c ∈
R)
Zb
Zb
(c1 u(x) + c2 v(x)) dx = c1
a
Zb
u(x) dx + c2
a
v(x) dx
a
Satz 1 Es sei f (x) stetig in [a, b]. Dann ist f (x) über [a, b] integrierbar.
Diskussion
1. Falls f (x) stückweise stetig ist mit endlichen vielen endlichen Sprungstellen, so ist
f ebenfalls integrierbar
2. Nicht integrierbar (im Riemannschen Sinne) ist z.B.
1 für x irrational
, x ∈ [0, 1]
f (x) =
0 für x
rational
4.1.2 Stammfunktionen, unbestimmtes Integral
Satz 2 (Mittelwertsatz der Integralrechnung)
Rb
f sei auf [a, b] stetig ⇒ ∃ξ ∈ (a; b] : f (x) dx = f (ξ) · (b − a)
a
m=
1
b−a
Rb
f (x) dx . . . (Integral)- Mittelwert von f über [a, b]
a
Integrale mit variabler oberer Grenze
Zx
f (t) dt =: F (x)
a
Satz 3
f stetig auf [a, b] ⇒ F (x) =
x+h
R
F (x+h)−F (x)
h
f (t) dt, x ∈ [a, b] ist auf [a, b] differenzierbar, und
a
es gilt F 0 (x) = f (x)
Beweis:
Rx
=
f (t) dt
x
h
=
h·f (ξ)
h
=
|{z}
Satz 2,ξ∈[x,x+h]
96
f (ξ) ⇐h→0 f (x) F 0 (x) = f (x)
Definition 2 Die Funktion F (x) heißt Stammfunktion von f (x) (auf [a, b]), wenn gilt
F 0 (x) = f (x).
Diskussion Ist F (x) eine Stammfunktion, so ist auch F (x) + c (c ∈ R, konstant) eine
Stammfunktion.
Definition 3 Die Menge aller Stammfunktionen von f , d.h. {F (x) + c|c ∈ R}, wobei
F (x) eine beliebige
Stammfunktion von f ist, heißt unbestimmtes Integral von f :
R
Bezeichnung f (x) dx = F (x) + c
4.1.3 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Satz 4 f sei stetig auf [a, b], F (x) . . . bel. Stammfunktion ⇒
Rb
f (x) dx = F (b) − F (a)
a
Schreibweise: [F (x)]ba := F (b) − F (a)
Rx
Beweis: Satz 3, F1 (x) := f (t) dt ist Stammfunktion von f , also gilt F (x) = F1 (x) + k
a
y F (b)−F (a) = (F1 (b)+k)−(F1 (a)+k) = F1 (b)−F1 (a) = F1 (b) =
| {z }
0
Rb
f (t) dt =
a
Rb
f (x) dx
a
Diskussion
Rb
1.
f (x) dx
F (b) − F (a)
=
a
Flächeninhaltsproblem
(Integralrechnung)
2. Symbolik
dF (x)
dx
Stammfunktion, Umkehrung
der Differentialrechnung
Z
= f (x) ⇔
dF (x) =
| {z }
R
f (x) dx
F (x)+c
3. Differential Tabelle: Tabelle unbestimmter Grundintegrale
Beispiele:
R
d
a) Rdx
cos x = − sin x ⇔ (− sin x) dx = cos x + c∗ | · (−1)
sin x dx = − cos x + c (mit c = −c∗ )
R
1
d α+1
b) dx
x
= (α + 1)xα ⇔ (α + 1)xα dx = xα+1 + c∗ | · α+1
R α
α+1
⇔ x dx = xα+1 + c, α 6= −1
4.2 Integrationsmethoden
4.2.1 Substitution
R
Zu berechnen sei f (g(x)) · g 0 (x) dx. Bekannt sei eine Stammfunktion F (x) von f (x).
0
0
Lösung: Substitution u = g(x) y du
dx = g (x) y du = g (x) dx
97
Z
f (g(x))g 0 (x) dx =
Z
f (u) du = F (u) + c
=
|{z}
F (g(x)) + c
(29)
Rücksubst.
Merke: Anwendung zweckmäßig, wenn der Integrand das Produkt einer mittelbaren
Funktion und der Ableitung der inneren Funktion ist, und außerdem eine Stammfunktion
der äußeren Funktion bekannt ist.
Beispiel 1
R
1
x
·
√
3
ln x dx
=
|{z}
=
R √
3
4
4
u du = 43 u 3 + c = 34 (ln x) 3 + c
u=ln x; du
= x1 ydu= x1 dx
dx
Beispiel 2
R
2
xe−x dx
R
=
|{z}
1
eu · (− du
2 ) = −2
R
eu du = − 21 eu + c =
=−2x,ydx=− du
u=−x2 , du
dx
2x
− 12 e
−x2
+c
Beispiel 3 (Substitution bei bestimmten Integralen)
√
8yu=9
1. Möglichkeit:
Grenzen
mit
Substituieren:
x
=
0
y
u
=
1,
x
=
√
R8 √
R9 √ du
3
I=
x · 1 + x2 dx
=
u 2 = 12 · 23 [u 2 ]9u=1 = 13 (27 − 1) =
|{z}
x=0
u=1+x2 , du
=2x,dx= du
dx
2x
u=1
26
3
2. Möglichkeit: Unbestimmte Integration (mit Rücksubstituion) anschließend x-Grenzen
einsetzten
R √
x 1 + x2 dx = 31 (1 + x2 )f rac32 + c
√
3
8
I = [ 13 (1 + x2 ) 2 ]x=0
=
26
3
Beispiel 4 R(Lineare Substitution)
Allgemein: f (ax + b) dx
=
|{z}
R
1
1
f (u) du
d = a F (u) + c = a F (ax + b) + c
u=ax+b, du
=a,dx= du
dx
a
1
3
1.
R
cos (3x) dx =
2.
R
e−2x dx = − 12 e−2x + c
3.
R
(3x − 4)6 dx =
4.
R
sin ( x2 + π) dx =
sin (3x) + c
1
3
· 17 (3x − 4)7 + c =
1
1
2
1
21 (3x
− 4)7 + c
· (− cos ( x2 + π)) + c = −2 cos ( x2 + π) + c
Diskusison Neben diesen natürlichen“, leicht(?!) [!sic] erkennbaren Substitutionen sind
”
weitere denkbar durch Einführung künstlicher“ Variabler
”
Z
Z
f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt
(30)
f (x) dx
=
|{z}
=ϕ0 (t)ydx=ϕ0 (t) dt
x=ϕ(t), dx
dt
98
(30) entspricht (29) von rechts nach links gelesen. Falls rechte Seite von (30) integrierbar (Stammfunktion H(t)), dann
Z
f (x) dx = H(t) + c = H(ϕ−1 (x)) + c
(Vorraussetzung: ϕ−1 existiert)
Beispiel 5
R
√ 1
1+x2
dx
arcsinh x + c = ln (x +
R
R
=
|{z}
√
x=sinh ty 1+x2 =cosh t, dx
=cosh tydx=cosh dt
dt
√
1
cosh t
dt =
R
dt = t+c =
x2 + 1) + c
f 0 (x)
f (x)
dx = ln |f (x)| + c (Zähler = 1. Abbleitung des Nenners)
R
R
0
0
(denn : u = f (x) y du
· · · = u1 · du = ln |u| + c =
dx = f (x) y du = f (x) dx y
ln |f (x)| + c
Beispiel 6
4.2.2 Partielle Integration
Produktregel der Differentialrechnung
d
0
0
dx (u(x) · v(x))
R =0 u (x) · v(x) + u(x)
R · v (x)
u(x) · v(x) = u (x) · v(x) dx + u(x)v 0 (x) dx
Z
Z
0
y u(x) · v (x) dx = u(x) · v(x) − u0 (x) · v(x) dx
(partielle Integration)
R
R
Beispiel 8
arctan x dx = x · arctan x − 21
1
u = arctan x u0 = 1+x
2
v0 = 1
v=x
= x arctan x − 21 ln |1 + x2 | + c
= x arctan x − 21 ln (1 + x2 ) + c
2x
1+x2
dx
4.2.3 Integration gebrochenrationaler Funktionen
• Geg.: Gebrochen rationale Funktion: f (x) =
p(x)
q(x)
• Integration erfolgt in den Schritten 1.-5.
1. Falls f unecht gebrochen: Polynomdivision
f (x) = a(x) +
|{z}
Polynom
r(x)
q(x)
| {z }
echt gebrochen
99
|r(x) . . . Rest
2. Nullstellen des Nenners q(x) ermitteln Zerlegung
q(x) = (x − α1 )k1 · (x − α2 )k2 · · · · · (x2 + p1 x + q1 )m1 · . . .
(31)
(αn . . . reelle Nullstellen, pn . . . reell nicht zerlegbar)
Eventuell gemeinsame Faktoren in r(x) und q(x) kürzen!
3. Ansatz für die sogenannte Partialbruchzerlegung (PZ)
r(x)
= Summe von Partialbrüchen
q(x)
(x − α)k
aus (31) entspricht
+ px + q)m
Ak
A2
A1
x−α + (x−α)2 + · · · + (x−α)k
in dieser Summe.
B1 x+c1
m x+cm
+ · · · + (xB2 +px+q)
m
x2 +px+q
Jedem Faktor
(
der Anteil
(x2
2
x +4
Beispiel 9 f (x) = (x−1)3 ·(x+5)·(x
2 +2x+2)2
Ansatz für PZ:
A
B
C
D
f (x) =
+
+
+
+
x − 1 (x − 1)2 (x − 1)3 x + 5
Ex + F
Gx + H
+
x2 + 2x + 2 (x2 + 2x + 2)2
|
{z
}
(x2 +2x+2 ist reell nicht zerlegbar, Nullstellen sind −1±i)
4. Ermittlung der Koeffizienten durch
a) Multiplikation des Ansatzes für PZ mit Nenner q(x)
b) Kombination der beiden folgenden Methoden
i. Einsetzten der reellen Nullstellen (Falls alle Nullstellen reell und einfach
sind, können damit alle Koeffizienten bestimmt werden)
ii. Restliche Koeffizienten durch Koeffizientenvergleich bestimmen!
(vgl. Beispiele)
5. Interpretation der Partialbrüche
R
ln |x − α| + c
(j = 1)
1
a) (x−α)j dx =
1
1−j
+ c (j = 2, 3, . . . )
1−j · (x − α)
B
R
R 2 (2x+p)
c− B
p
2
b) (x2Bx+c
dx
=
(
+
) dx
j
2
j
2
+px+q)
(x +px+q)
(x +px+q)j
|{z}
Zerlegung
2x+p
(x2 +px+q)j
dx : Substitution x2 + px + q = u
du = (2x + p) dx usw.
R
R
R
dx
dx
du
ii. (x2 +px+q)
= (u2 +a
j =
2 )j
p 2
p2 j
i.
R
p2
4
((x+ 2 ) +q−
4
)
(mit
:= q − > 0 und u = x + p2 , du = dx)
j = 1: vgl. Merkblatt
j > 1: s geeignete Formelsammlung
a2
100
Beispiel 10 I =
R
3x+4
x2 +2x−3
dx
• Echt gebrochen, Nullstellen des Nenners x1 = −3, x2 = 1
Zerlegung: q(x) = x2 + 2x − 3 = (x + 3)(x − 1)
3x+4
(x+3)(x−1)
• Ansatz für PZ:
=
A
x+3
+
B
x−1
| · (x + 3) + (x − 1)
|
{z
}
q(x)
3x + 4 = A · (x − 1) + B(x + 3)
Einsetzen x = −3 : −5 = A(−4) y A =
5
4
x = 1 : 7 = B · 4 y B = 47
7
R 45
4
I = ( x+3
+ x−1
) dx = 54 ln |x + 3| + 74 ln |x − 1| + c
4.2.4 Integration von Potenzreihen
Satz 1 Es sei
f (x) =
∞
X
an (x − x0 )n , x ∈ (x0 − r, x0 + r)
n=0
⇒ F (x) =
∞
X
an
(x − x0 )n+1 , x ∈ (x0 − r, x0 + r)
n+1
n=0
ist Stammfunktion von f (x). (gliedweise Integration)
Beispiel 12
arctan x = x −
π
=1−
4
|{z}
Folgerung: x = 1 y
1
3
x3 x5 x7
+
−
± ...
3
5
7
+
1
5
−
1
7
(|x| < 1)
+ ...
arctan 1
2
Beispiel 13 Gesucht Stammfunktion F (x) zu f (x) = e−x
2
3
[!ex = 1 + x + x2! + x3! + . . . ]
Rx −t2
Rx
6
3
4
x5
x7
− 7·3!
+
e dt = (1 − t2 + t2! − t3! ± . . . ) dt = x − x3 + 5·2!
0
0
x9
9·4!
± · · · = F (x)
(x ∈ R
Diskussion
R
2
1. e−x dx ist nicht in geschlossener Form darstellbar.
2. Für nicht zu große x: Reihendarstellung zur Berechnung von
Rx
2
e−t dt gut geeignet:
0
z.B. gilt:
• I=
R1
0
2
e−x dx = 1 −
1
3
+
1
5·2!
−
1
7·3!
± ··· +
101
1
17·8!
± · · · ≈ 0, 74682427
1
• |Fehler| ≤ 19·9!
= 1, 4504 · 10− 7 (vgl. Leibnitz-Kriterium,2.1.3.)
I = 0, 746824 (b Stellen genau)
4.3 Numerische Integration
Ziel Berechnung ovn
Rb
f (x) dx falls Stammfunktion nicht in geschlossener Form dar-
a
stellbar.
Prinzip
1. Zerlegung von [a, b] in n gleichlange Teilintervalle der Länge h = n1 (b − q)
y Teilpunkte xk = a + k · h(k = 0, 1, . . . , n), yk = f (xk )
2. Ersetzen von f (x) über den Teilintervallen durch einfachere Funktionen, z.B. lineare Funktionen (Trapezregel), quadratische Funktionen (Simpson-Regel)
Näherung für I:
I ≈ Sn (h) =
h
((y0 + yn ) + 4(y1 + y3 + · · · + yn−1 ) + 2(y2 + y4 + · · · + yn−2 )) (32)
3
(n gerade)
Diskussion
1. Fehlerabschätzung
I = Sn (h) −
h4 (b − a) (4)
· f (ξ),
180
a<ξ<b
(falls f (4) stetig auf [a, b])
2. Simpson-Regel ist für Polynome bis einschließlich 3. Grades exakt.
3. Praktische Durchführung: Schrittweitenhalbierung.
Startwert S (1) := Sn (h) für geeignetes n (z.B: n = 4).
S (2) = S2n ( h2 ), S (3) = S4n ( h4 ) usw., bis sich die Ziffern im Rahmen der gewünschten
Genauigkeit nicht mehr ändern.
Beispiel 1 I =
R1
2
e−x dx
0
• n = 4, h = 0, 25
k xk
y0 , yn
y2j+1
y2j
0
0
1, 000000
1 0, 25
0, 939413
2 0, 5
0, 778801
3 0, 75
0, 569783
4 1, 0 0, 367879
1, 367879 1, 509196 0, 778801
102
(32) y S4 (0, 25) =
0,25
3 (· · ·
+ 4 · · · · + 2 · . . . ) = 0, 746855
n
h
4 0, 25
• Schrittwertenhalbierung 8 0, 125
16 . . .
32 . . .
Kapitel 4.2.)
Sn (h)
0, 746855
0, 746826 y I = 0, 746824 (vgl. Beispiel 13,
0, 746824
0, 746824
4.4 Uneigentliche Integrale
• Vorbetrachtung
Rb
Bisher f (x) dx (endliches Intervall [a, b], stückweise stetig und damit beschränkte
a
Funktion f
• 2 Erweiterungen
1. Unendliches Intervall [a; ∞), (−∞; b] bzw. (−∞; ∞)
2. Unbeschränkte Funktionen (Polstellen)
• Vorgehensweise: Herausschneiden“ der kritischen Stelle(n), anschließend Grenzüber”
gang
1. Unendliches Intervall
Rb
Rb
a)
f (x) dx := lim
f (x) dx
A→−∞ A
−∞
analog
R∞
f (x) dx := lim
a
b)
R∞
f (x) dx :=
−∞
RB
B→∞ a
lim
A → −∞
B→∞
f (x) dx
RB
f (x) dx
A
Diskussion
1. Falls Grenzwerte existieren, Sprechweise: Integral is konvergent, sonst divergent
2. Vorkommen z.B:
Z∞
Γ(x) =
e−t tx−1 dt
(x > 0)
0
(Gamma Funktion) Eigenschaft: Γ(n) = (n − 1)! für n ∈ N∗
103
Beispiel 1
R∞
RA
−A + 1) = 1
• e−x dx = lim e−x dx = lim [−e−x ]A
0 = lim (−e
A→∞ 0
0
R∞
•
A→∞
RA
cos x dx = lim
A→∞ 0
0
A→∞
cos x dx = lim [sin x]A
0 = lim sin A y existiert nicht
A→∞
A→∞
(unbestimmt divergent)
R∞ 1
•
1
RA 1
x dx = lim
dx = lim [ln |x|]A
1 = lim ln A = ∞ (bestimmt divergent)
A→∞ 1 x
A→∞
A→∞
3. Unbeschränkter Integrand
a) Z.B: Unendlichkeitsstelle bei b
Zb
Zb−ε
f (x) dx := lim
f (x)dx
ε→+0
a
a
b) Unendlichkeitsstelle x0 ∈ (a; b) (Im Inneren)
xZ0 −δ
Zb
f (x) dx = lim
f (x) dx + lim
δ→+0
a
Beispiel 2
R4
0
√1
x
Zb
ε→+0
x0 +ε
a
dx = lim
R4
ε→+0 ε
f (x) dx
√
dx = lim [2 x]4ε = 4
ε→+0
4. Unendliches Intervall und unendliche Funktion
Beispiel 3 I =
R
NR: x√dx
x−1
I =
lim
R∞
1
√dx
x· x−1
R
=
|{z}
√
dx
=2u
u= x−1↔x=u2 +1, du
RA
ε→+0;A→∞ 1+ε
··· =
√
lim
ε→+0;A→∞
2udu
(u2 +1)u
= 2 arctan u + c = 2 arctan
√
x − 1+c
√
√
[2 arctan x − 1]A
1+ε = lim 2 arctan A − 1 −
A→∞
lim 2 arctan ε = π
ε→+0
4.5 Anwendungen
4.5.1 Geometrische Anwendungen
Inhalt ebener Flächenstücke
104
• y = f (x) ≥ 0,
a<b
Zb
F =
f (x) dx
a
•
Zc
F =
Zb
Zc
|f (x)| dx = | f (x) dx| + | f (x) dx|
a
•
a
b
Zx2
F = (f (x) − g(x)) dx
x1
2
2
Beispiel Gesucht ist der Flächeninhalt F des von der Ellipse xa2 + yb2 = 1 (a > 0, b > 0)
begrenzten Bereiches.
q
2
• Auflösen nach y : y = ±b · 1 − xa2
h
ia
√
Ra q
Ra √
x2
4b
2 − x2 dx = 4b 1 (x a2 − x2 + a2 arcsin ( x ))
y
F
=
4·
b·
1
−
dx−
=
a
2
a
a
a
|{z}
|{z} a 2
0
0
Symmetrie
1 2
= 4b
a · 2 a arcsin
| {z 1}
0
(1)
= πab
π
2
(1) s Tabelle oder Substituiere x = a sin t,
√
Bogenlänge
Bogenlänge ebener Kurven
x = x(t) y = y(t) α ≤ t ≤ β
Kurve K mit P.d.
105
a2 − x2 = a cos t
dx
dt
= a cos t usw.
5.0
P1
Pn
4.0
Kurve K
3.0
P0
2.0
1.0
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.0
10.0
11.0
12.0
13.0
−1.0
−2.0
• Vorgehen: Approx. durch Streckenzug, Verfeinerung. Länge des Streckenzugs:
n
X
i=1
n p
n p
X
X
2
2
Pi−1 Pj =
(∆xi ) + (∆yi ) |{z}
=
(ẋ(ui ))2 + (ẏ(vi ))2 ∆ti
∗
i=1
i=1
∗) MWS der Diff-Rechnung, Zwischenstellen ui , vi ∈ (ti−1 , ti )
Rβ p
Verfeinerung:
(ẋ(t))2 + (ẏ(t))2 dt
α
• Diskussion
x(t)
zwischen α und t (t variabel)
1. Bogenlänge der Kurve ~r = ~r(t) =
y(t)
Rt p
s=
(ẋ(u))2 + (ẏ(u))2
{z
}
α |
|~
ṙ(u)|
ds
dt
= |~r˙ (t)| y ds = |~r˙ (t)| dt =
p
ẋ2 + ẏ 2 dt . . . Bogenelement
2. Tabelle (Bogenlänge ebener Kurven)
Kurvendarstellung
Bogenlänge s, Bogenelement ds
Rβ p
x = x(t), y = y(t), t ∈ [a; β]
s=
(ẋ(t))2 + (ẏ(t))2 dt
α
y = f (x), x ∈ [a; b]
s=
x = g(y), y ∈ [c; d]
s=
Rb p
1 + (f 0 (x))2 dx
a
Rd p
1 + (g 0 (y))2 dy
c
r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β
s=
Rβ p
(r(ϕ))2 + (r0 (ϕ))2 dϕ
α
106
14.0
P.d. der Kurve K : x = x(t), y = y(t), z = z(t), α ≤
Bogenlänge von Raumkurven
t≤β
Zβ q
s=
~x˙ 2 + ~y˙ 2 + ~z˙ 2 dt
α


a cos t
Beispiel 2 Schraubenlinie ~r = ~r(t) =  a sin t  , 0 ≤ t ≤ 2π
h
2π t


−a sin t
R2π p
R2π s 2
h2
ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 dt =
a sin t2 + a2 cos t2 + 4π
~r˙ (t) =  a cos t  y s =
2 dt
|
{z
}
h
0
0
a2
q 2π
√
2
h
= 2π · a2 + 4π
4πa2 + h2
2 =
Beispiel 3 Archimedische Spirale
r = r(ϕ) = aϕ, 0 ≤ ϕ ≤ ϕ1 , a > 0
y r0 (ϕ) = a y
•
ϕ
R1 p
(r(ϕ))2 + (r0 (ϕ))2 dϕ =
a2 ϕ2 + a2 dϕ
0
0
p
ϕ
p
R1 p
=a·
ϕ2 + 1dϕ |{z}
= a2 ϕ1 ϕ21 + 1 + ln (ϕ1 + ϕ21 + 1)
ϕ
R1 p
0
∗
∗) s Tabelle oder Subst. ϕ = sinh t,
p
ϕ2 + 1 = cosh t, dϕ
dt = cosh t usw.
• Zahlenwert für a = 21 [cm], ϕ1 = 4π (vgl. ÜA B1.28b)
s = 40, 41[cm]
Volumen von Rotationskörpern
1. Geg. Kurve y = f (x), a ≤ x ≤ b
Das Flächenstück Fx zwischen Kurve und x-Achse rotiere um x-Achse, Vx sei das
Volumen des dabei erzeugten Körpers
Zb
Vx = π
(f (x))2 dx
a
Approx von Fx durch Rechteckflächen y Zylinderscheiben bei Rotation y Vx ≈
Rb
P
π( f (ξi ) )2 · ∆xi → π (f (x))2 dx)
|{z}
| {z }
i
a
Radius
Höhe
107
Diskussion
a) Allg. gilt Vx = π
Rb
y 2 dx
(a < b)
x=a
b) P.d. x = x(t), y = y(t), α . . . t . . . β, aus der allg. Formel (s. Diskussion 1) folgt
Zβ
Vx = π
t=α
(y(t))2 . . . ẋ(t) dt
| {z }
dx
Orientierung von K ist so zu wählen, dass a := x(α) < x(β) =: b (von links
nach rechts)
2. Analg Volumen Vy bei Rotation um y-Achse, vgl. Merkblatt
Beispiel 4 Gesucht Volumen des Rotationsparabolids der Höhe h und dem Basiskreisradius R
y = a |{z}
x2 y h = aR2
|{z}
R
h
ya=
Vy = π
=
2
π h2a
h
R2
Rh
x2 dy = π
y=0
2
= πR2 h
Rh
y=0
y
a
dy = π
h
ih
y2
2a 0
Mantelfläche von Rotationslkörpern
1. Geg: Kurve y = f (x) (≥ 0), a ≤ x ≤ b
Es sei Mx die von der Kurve K bei Rotation um die x-Achse erzeugte Fläche.
Zb
Mx = 2π
f (x)
p
1 + (f 0 (x))2 dx
x=a
(Approximation von K durch Polygonzug y Kegelstumpfflächen bei Rotation:
p
Rb
P
Mx ≈ 2πf (ξi ) · ∆si → 2π f (x) · 1 + (f 0 (x))2 dx Allgemein:
|
{z
}
i
a
ds (Bogenelement)
Z
y ds (y ≥ 0)
Mx = 2π
K
2. Analog Mantelfläche My bei Rotation um y-Achse
108
Beispiel 5 Kugeloberfläche K . . . Halbkreis, P.d: x = R · cos t, y = R · sin t
y ẋ = −R sin t, ẏ = R cos t
Rπ
R
= 2π
R sin t · R
dt = 2πR2 · [− cos t]π0 = 4πR2
Mx = 2π y |{z}
ds
|{z}
| {z }
√
K
ẋ2 +ẏ 2 dt
t=0
ds
(0 ≤ t ≤ π)
2
4.5.2 Fourier-Reihen
Geg: Funktion: y = f (x), x ∈ [0; T ]
Ges: Reihendarstellung mit trigonomertrischen Funktionen der Perioden T, T2 , T3 , . . .
(d.h. ω = 2π
T . . . Kreisfrequenz)
cos (ωx), cos (2ωx), cos (3ωx), . . .
sin (ωx), sin (2ωx), sin (3ωx), . . .
y Ansatz:
∞
a0 X
f (x) =
+
(ak cos (kωx) + bk sin (kωx))
2
k=1
Koeffizienten ak , bk sind zu ermitteln
Motivation Approximation von f zum Zwecke der Speicherplatzreduzierung (Abgespeichert werde nur wenige der Koeffizienten ak , bk . Das gilt auch dann, wenn f in
diskreter Form vorliegt.
Messwerte yk an den Stellen xk .)
Vorgehensweise
1. Zunächst endliche Reihe
n
a0 X
fn (x) :=
+
(ak cos (kωx) + bk sin (kωx))
2
(33)
k=1
ak , bk so wählen, dass fn (x) die geg. Funktion f (x) gut approximiert
2. Approximation in Vektorräumen mit Skalarprodukt
• Es sei V ein Vektorraum, Skalarprodukt (f, g) nennt man eine Abbildung von
V × V in R mit folgenden Eigenschaften:
a) (f, f ) > 0 für f 6= 0
b) (f, g) = (g, f )∀f, g ∈ V (Symmetrie)
c) (αf + βg, h) = α(f, h) + β(g, h) (Linearität)
p
• Norm(Betrag) von f ∈ V : ||f || := (f, f )
• f und g heißen orthogonal, wenn (f, g) = 0 gilt
• Beispiele:
a) V = Rn , (~x, ~y ) =
n
P
xi , yi (vgl. Kapitel 1.5.)
i=1
109
b) V = C(a; b) . . . Mengesder auf [a, b] stetigen reellen Funktionen, (f, g) :=
Rb
Rb
f (x)g(x) dx, ||f || =
(f (x))2 dx
a
a
• Aufgabe: Approximation von f ∈ V , durch f ∗ ∈ V ∗ wobei V ∗ ⊆ V ein
m-dimensionaler Teilraum von V mit der orthogonalen Basis e1 , . . . , em (d.h.
(ei , ej ) = 0 falls i 6= j) ist. Gesucht ist dasjenige f ∗ ∈ V ∗ , für welches ||f −f ∗ ||
minimal wird y f ∗ ist die Orthogonal-Projektion von f in V ∗
Satz 1 Es gilt
f∗ =
m
X
αi ei mit αi =
i=1
(f ; ei )
, i = 1, . . . , m
(ei ; ei )
Beweis: (f − f ∗ , ei ) = 0∀i ⇔ (f − (α1 e1 + · · · + αm em ), ei ) = (f ; ei ) − αi (ei , ei ) = 0
3. Übertragung auf C(0, T )(T =
2π
ω
⇔ω=
2π
T )
• Man kann leicht zeigen (ÜA?!), dass die Funktionen
1 , cos (ωx), cos (2ωx), cos (3ωx), . . . , sin (ωx), sin (2ωx), . . .
|{z}
| {z } | {z }
| {z } | {z } | {z }
g0
g1
g2
g3
h1
h2
in C(0, T ) paarweise orthogonal sind, z.B.
ZT
(g0 ; g1 ) =
1
1 · cos (ωx) dx =
sin (ωx)
ω
0
• Fener gilt (g0 , g0 ) = T, (gk , gk ) =
T
2 , (hk ; hk )
=
T
=0
0
T
2
4. Damit ergibt die Projekt von f ∈ C(0; T ) in L(g0 , g1 , . . . , gn , h1 , . . . , hn ) folgende
Koeffizienten für die Approximation (33) (vgl. Satz 1)
(f ; gk )
2
ak =
=
(gk ; gk )
T
ZT
f (x) cos (kωx) dx
0
analog
2
bk =
T
ZT
f (x) sin (kωx) dx
0
5. Frage: fn → f ?
110
Satz 2 f (x) und f 0 (x) seien stückweise stetig mit höchstens endlich vielen, endlichen Sprungstellen in [0; T ]
• Dann gilt an allen Stetigskeitsstellen von f
∞
f (x) =
a0 X
+
(ak cos (kωx) + bk sin (kωx))
2
Fourier-Reihe
k=1
mit
2
a0 =
T
ZT
f (x) dx
0
2
ak =
T
ZT
f (x) cos (kωx) dx
0
2
bk =
T
ZT
f (x) sin (kωx) dx
0
(k = 1, 2, . . . )
• Für die Sprungstellen xs gilt:
1
lim fn (xs ) = ( lim f (x) + lim f (x))
n→∞
x→xs +0
2 x→xs −0
Bemerkungen
1. Die vorstehenden Ausführungen gelten automatisch auch für die periodische Fortsetzung f˜ einer zunächst auf [0; T ] erklärten Funktion f , vgl. ÜA B2.25
2. Integrationsintervalle [0; T ] können
Fall durch beliebige Intervalle
im periodischen
der Länge T ersetzt werden, z.B. − T2 ; T2
3. Vereinfachung bei Symmetrie
T
R2
4
f gerade a0 = T f (x) dx, ak =
0
T
4
T
R2
f (x) cos (kωx) dx, bk = 0
0
T
f ungerade
a0 = 0, ak = 0, bk =
4
T
R2
f (x) sin (kωx) dx
0
k = (1, 2, . . . ) vgl. ÜA(B2.9)
q
4. Amplitudenspektrum Ak := a2k + b2k (k = 1, 2, . . . ) . . . Amplituden der Schwingungen, die sich durch Zusammenfassung der Sinus- und Konsiunusanteile gleicher
Frequenz ergeben y Möglichkeit der Verstärkung /Dämpfung der Frequenzen
111
0 . . . −1 ≤ x < 0
, f˜ . . . periodische Fortsetzung.
1 ...
0≤x<1
Gesucht: Fourier-Reihe, T = 2, ω = 2π
T =π
1
1
R
R
a0 = 22 f (x) dx = 1 · dx = 1
Beispiel 6 f (x) =
−1
ak =
2
2
0
R1
=
f (x) cos (kπx) dx =
−1
R1
cos (kπx) dx =
0
R1
1
kπ
[sin (kπx)]10 = 0
R1
1
f (x) sin (kπx) dx = sin (kπx) dx = − kπ
[cos (kπx)]10
−1
0
0
für
k gerade
1
= − kπ
(cos (kπ) −1) =
2
| {z }
kπ für k ungerade
bk =
2
2
(−1)k
1
2
2 + π (sin (πx)
y f˜(x) =
+ 13 sin (3πx) + 51 sin (5πx) + . . . ) x ∈ R\Z
Diskreter Fall Geg: y = f (x), x ∈ [0; T ], gerade Anzahl N von Messstellen (Abtast1
punkte), z.B. alle 100
Sek. y Samplerate 100 Hz (bei Autio-CD: 44,1 kHz)
T
xj = j · h = j · N (j = 0, 1, . . . , N − 1), yj = f (xj )
• Ansatz (33) für n ≤
2
N
NP
−1
N
2
führt im Vektorraum RN mittels Satz 1 auf a0 =
yj cos (kωxj ), bk =
j=0
2
N
NP
−1
yj sin (kωxj )
2
N
NP
−1
yj , ak =
j=0
(1 ≤ k ≤ n)
j=0
• Im Falle 2n = N ergibt sich keine Approximation, sonder eine exakte Darstellung
−1
des Vektors ~y = (yj )N
mit Hilfe einer anderen Basis.
j0
Mit Hilfe der Eulerschen Formel eiϕ = cos ϕ + i · sin ϕ lässt sich der Ansatz (33)
mit komplexen Koeffzienten ck umschreiben:
fn (x) =
N
−1
X
ck · eiωkx
k=0
und damit
yj = f (xj ) =
N
−1
X
2π
ck ei N jk
(j = 0, 1, . . . , N − 1)
(34)
k=0
2π
Matrix-Form Es sei w := ei· N (eine von N Lösungen der Kreisteilungsgleichung z N =
1)
N −1
F := wjk j,k=0 . . . Fourier-Matrix
−1
y y = F · c ( mit c = (ck )N
k=0 )
112
(35)
• Man kann zeigen: F ist regulär mit F −1 =
−i nπ
N
1 ∗
NF
mit F ∗ = F T = w̄kj
N −1
k,j=0
, dabei
w̄ = e
(komplex. konj. Zahl)
Damit ist c = N1 F ∗ y, d.h.
ck =
N −1
2π
1 X
yj · e−i· N kj
N
(k = 0, 1, . . . , N − 1)
(36)
j=0
(36) . . . DFT (diskrete Fourier-Transformation)
(34) . . . IDFT (inverse diskrete Fourier-Transformation)
• FFT (schnelle diskrete Fourier-Transformation) für N = 2m ) lässt sich die Rechenzeit verkürzen
• Diskrete Kosinustransformation DCT
y = f (x), x ∈ [0; T ], N gleiche Intervalle, meist N = 2m Abtastpunkte hier aber
die Mitten der Intervalle xj = h2 + j · h = T · 2j+1
2N (j = 0, 1, . . . , N − 1)
n
P
ak cos (k ω2 x) (stetiger Fall) bzw.
Ansatz: y =
k=0
yj =
NP
−1
k=0
ak cos ( kπ(2j+1)
) (diskreter Fall j = 0, 1, . . . , N − 1)
2N
Matrixform y = C · a , Spalten von C bilden eine orthogonale Basis von RN ,
Normierung so möglich, dass orthonormierte Basis entsteht; damit Vorgehensweise
wie bei Fourier-Transformation möglich:
a = C −1 y . . . D |{z}
C T, y = C a . . . IDCT
Kosinus
• Anwendung: Audio-/Videokompression (MP3,JPEG) Die komprimierung erfolgt
dabei im Frequenzbereich (kleinere Amplituden ak −→ 0, damit Datenreduktion)
5 Differentialrechnung für Funktionen mehrerer reeller
Variablen
5.1 Funktionen mehrerer Variabler z = f (x1 , . . . , xn )
Funktion f, Db(f ) ⊆ Rn , W b(f ) ⊆ R(n ∈ N, n ≥ 2)
z = f (x1 , . . . , xn )
x1 , . . . , x n . . .
z
...
unabhängige Variable
abhängige Variable
Gemetrische Veranschaulichung für n = 2
Meist x, y anstelle von x1 , x2 : z = f (x, y), (x, y) ∈ B ⊆ R2 y {(x, y, z))|(x, y) ∈ B ∧ z =
f (x, y)} . . . im allgemeinen Fläche im R3
113
5.1.1 Flächen im R3
1. Darstellung eines Punktes P (x, y, z) im R3
• x, y, z . . . kartesische Koordinate
• Zylinderkoordinaten r, ϕ, z
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
z=z
Umrechnung: x2 + y 2 = r2 usw.
• Kugelkoordinaten r, ϕ, ϑ (sphärische Kugelkoordinaten)
x = r sin ϑ cos ϕ
y = r sin ϑ sin ϕ
z = r cos ϑ
Achtung: r hat andere Bedeutung als bei Zylinderkoordinatne!
2. Flächendarstellungen
• Explizite kartesische Darstellung z = f (x, y), (x, y) ∈ B ⊆ R2
• Implizite kartesische Darstellung F (x, y, z) = 0
• Parameterdarstellung
x = x(u, v)
y = y(u, v), (u, v) ∈ B ⊆ R2
z = z(u, v) 

x(u, v)
~r = ~r(u, v) = y(u, v) , (u, v) ∈ B
z(u, v)
Koordinatenlinien
v = v0 fest y ~r = ~r(u, v0 ) . . . Kurvenschar (mit Parameter u) auf Fläche
u = u0 fest y ~r = ~r(u0 , v) . . . Kurvenschar (mit Parameter v) auf Fläche
Beispiel 1 Kugel, Mittelp. 0, Radius R, Kugelkoordinaten r = R = const. y
x = R sin ϑ cos ϕ 0 ≤ ϕ ≤ 2π ϕ , geogr. Länge
y = R sin ϑ sin ϕ 0 ≤ ϑ ≤ π ϑ , geogr. Breite (vom Nordpol gemessen)
z = R cos ϑ
114
Parameterfreie Darstellung
x2 + y 2 + z 2 = R2 . . . implizite kartes. Darstellung
p
obere
2
2
2
Halbkugel
y z = ± R − x − y . . . explizite kartes. Darstellung
untere
• Explizite Darstellung in Zylinderkoordinaten
z = f (r, ϕ), (r, ϕ) ∈ B ⊆ [0; ∞) × R
(r, ϕ . . . ebene Polarkoord.)
a) z = f (r, ϕ) =
, r ∈ I ⊆ [0; ∞), ϕ ∈ [0; 2π]
g(r)
|{z}
ϕ kommt nicht explizit vor
y Rotationsflächen,
Rotationsachse
p
p = z-Achse
kartesisch: r = x2 + y 2 y z = g( x2 + y 2 ) =:
h(x2 + y 2 )
| {z }
Kennzeichen einer kartesisch
gegebener Rotationsfläche
(um z-Achse)
Beispiel2 z = x2 + y 2 = h(x2 + y 2 ) (x = r cos ϕ, y = r sin ϕ)
y x2 + y 2 = r2 y Z = f (r, ϕ) = r2 =: g(r) (0 ≤ ϕϕ2π
Rotationsparabolid z = f (x, y) = x2 + y 2
b)
z = f (r, ϕ)
=
|{z}
g(ϕ), r ∈ I1 ⊆ [0, ∞), ϕ ∈ I2 ⊆ R
r kommt nicht explizit vor
y Wendelflächen (Achse z-Achse)
h
Beispiel 3 z = f (r, ϕ) = 2π
ϕ =: g(ϕ)
0 ≤ ϕ ≤ 4π, 0 ≤ r ≤ R
Polar Darstellung:
h
x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = 2π
ϕ r ∈ [0; R], ϕ ∈ [0; 4π]
Bemerkung Polardarstellung bei expliziter Darstellung auf einfache Weise
angebbar (als PArameter unabh. Variablen wählen).
z.B: u = x, v = y bei kartes. Darst.
u = r, v = ϕ bei Zylinderkoordinaten
3. Geometrische Darstellungsmöglichkeiten
• Allgemeines Prinzip
a) Kurvenscharen auf Flächen erzeugen (Koordinatenlinien u = const. oder
v = const. bei Polardarstellung r = const, ϕ = const, oder z = const.
bei Zylinderkoordinaten x = const, y = const. oder z = const bei kartesischen Koordinaten.)
115
b) Projektionen einschließlich der Koordinatenachsen oder Koordinatenbox
auf eine Bildebene y 3D-Darstellung( Schrägbild“)
”
• Spezialfall Höhenlinienbild, Karte für z = f (x, y), (x, y) ∈ B dabei
a) Höhenlinien zum Niveau (zur Höhe) c:
{(x, y, z)|(x, y) ∈ B ∧ z = f (x, y) ∧ z = c}
(= Schnitt der Fläche z = f (x, y) mit der Ebene z = c k x − y-Ebene
b) Projektion der Höhenlinien für ausgewählte Niveauwerte c in die x −
y−Ebene y Karte (analog Landkarte) (mit Angaben der Höhenwerte)
Beispiel 3 z = f (x, y) = 4 − (x2 + y 2 )
(Gestalt z = f (x2 + y 2 ) y Rotationsfläche, z-Achse = Rotationsachse)
• Höhenlinien zum Niveau z = c
c = 4 − (x2 + y 2 ) ⇔ x2 + y 2 = 4 − c
• Projektion in
c < 4 ...
c = 4 ...
c > 4 ...
x − y-Ebene :
√
Kreis um 0, Radius 4 − c
Punkt 0(0, 0)
leere Menge
• Karte
-5
0
3
• Zylinderkoordinaten (x2 + y 2 = r2 ) y z = 4 − r2 = g(r), r ≥ 0, ϕ ∈ [0; 2π]
116
5.1.2 Grenzwerte,Stetigkeit
Einige Begriffe (n = 2, Fall n > 2 analog)
• ε-Umgebung eines Punktes P0 (x0 , y0 ), ε > 0:
(x0 , y0 ) = {(x, y) :
Uε
|{z}
Kreisscheibe um x0 ,y0
p
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 < ε}
{z 
}
|

(x − x0 ) 

y − y0 • Umgebung U (x0 , y0 ): Jede Menge, für die ein ε > 0 existiert, mit Uε (x0 , y0 ) ⊆
U (x0 , y0 ) ⊆ R2
• Innerer Punkt einer Menge M . . . Punkt, für den M eine Umgebung ist.
• Häufigkeitspunkt P von M . . . Punkt, für den in jeder ε-Umgebung mindestens ein
von P verschiedener Punkt von M enthalten ist.
• Gebiet G . . . zusammenhängende Menge, die nur aus inneren Punkten besteht
• Einfach zusammenhängendes Gebiet G . . . Das Innerer jeder in G verlaufender
geschlossener, doppelpunktfreien Kurve C, gehört ganz zu G
• Abgeschlossener Bereich (Abschließung eines Gebietes) G: Vereinigung von G mit
der Menge aller Häufungspunkte von G
• Bereich B Jede Menge, für die ein Gebiet G existiert mit G ⊆ B ⊆ G ( Gebiet
”
einschließlich Rand“)
Definition 1 Geg z = f (x, y), (x, y) ∈ B = Db(f ), ferner sei (x0 , y0 ) ∈ R2 und es
existiert eine Umgebung U (x0 , y0 ) mit U (x0 , y0 )\{(x0 , y0 )} ⊆ Db(f )
f (x, y) = a :⇔ Für jede Folge (xn , yn ) mit xn , yn ) ∈ Db(f ), (xn , yn ) 6=
lim
(x,y)→(x0 ,y0 )
(x0 , y0 ) ∧ lim xn = x0 ∧ lim yn = y0 gilt:
n→∞
n→∞
lim f (xn , yn ) = a
n→∞
(37)
Bemerkung Für jede Annäherung an (x0 , y0 ) muss (37) gelten. Es genügt nicht die
geradlinige Annäherung!
Definition 2 Es gelte U (x0 , y0 ) ⊆ Db(f ); f heißt stetig an der Stelle (x0 , y0 ), wenn
lim
(x,y)→(x0 ,y0 )
f (x, y) = f (x0 , y0 )
gilt. (vgl. Definition 3, Kapitel 2.2), Grenzwert = Funktionswert )
”
”
117
5.2 Partielle Ableitungen
Definition 1 Die Funktion z = f (x, y), (x, y) ∈ B ⊆ R2 heißt an der Stelle (x0 , y0 )
partiell nach x diffbar, falls der Grenzwert
f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 )
h→0
h
fx (x0 , y0 ) := lim
existiert.
Analog: f an der Stelle (x0 , y0 ) partiell nach y diffbar, wenn
f (x0 , y0 + h) − f (x0 , y0 )
h→0
h
fy (x0 , y0 ) := lim
existiert.
Diskussion
1. Es sei g(x) := f (x, y0 ), d.h. y0 fest. Dann ist g 0 (x0 ) = fx (x0 , y0 ) (gewöhnliche Ableitung einer Funktion einer (1!) Veränderlichen!) y Ableitungsregeln aus Abschnitt
3.2. sind sinngemäß anzuwenden.
2. f heißt in Gebiet G partiell diffbar, wenn f für alle (x0 , y0 ) ∈ G partiell diffbar ist.
3. Analaog: Funktion mit mehr als 2 Veränderlichen z = f (x1 , x2 , . . . , xn ), Variabeln
x2 , . . . , xn festhalten, nach x1 diff. y fx1 usw.
4. Bezeichnungen: fx =
∂f
∂x
=
5. Höhere Ableitungen: fxx =
∂
∂x f
= zx =
∂ ∂
∂x ( ∂x f )
fxy =
=
∂z
∂x , fy
∂2f
(∂x)2
=
∂f
∂y
= ...
= ...
∂ ∂
∂2f
( f) =
∂y ∂x
∂x∂y
Satz von Schwarz Die Funktionen f, fx , fy , fxy und fyx seien in U (x0 , y0 ) erklärt. Ferner sei fxy an der Stelle (x0 , y0 ) stetig. Dann gilt
fxy (x0 , y0 ) = fyx (x0 , y0 )
Beispiel 1
∂
∂x
f (x, y) =
fx =
2x
y3
x2
y3
∂
∂y
+ y 2 − x, y 6= 0
−1
fy = −
118
3x2
y 4 +2y
Satz 2 (verallgemeinerte Kettenregel)
Die Funktion z = f (u, v), u = g(x, y) und v = h(x, y) besitzen stetige partielle Ableitungen nach allen Variablen.
Dann ist die Funktion
z = f ∗ (x, y) := f (g(x, y), h(x, y))
| {z } | {z }
u
v
partiell nach x und y diffbar mit
zx = zu · ux + zv · vx
zy = zu · uy + zv · vy
Beispiel 2 z = (x2 + 3y 2 )x+2y ist nach x und y zu differenzieren.
Wir setzen u = x2 3y 2 , v = x + 2y y z = uv
• zx = zu · ux + zv · vx = vuv−1 · 2x + uv ln u · 1
2
2
= uv ( uv 2x + ln u) = (x2 + 3y 2 )x+2y ( xx+2y
2 +3y 2 · 2x + ln (x + 3y ))
• zy = zu · uy + zv · vy = vuv−1 · by + uv ln u · 2
= uv ( uv · by + 2 ln u) = . . .
Bemerkung
Verallgemeinerung auf mehr als 2 Variablen:
z = f (u1 , u2 , . . . , um ), ui = gi (x1 , . . . , xn ), i = 1, . . . , m
m
X ∂z ∂ui
∂z
=
·
k = 1, . . . , n)
∂xk
∂ui ∂xk
i=1
Satz 3 (Satz über implizite Funktionen)
F (x, y) sei in einer Umgebung von (x0 , y0 ) stetig partiell nach x und y diffbar und es sei
F (x0 , y0 ) = 0 und Fy (x0 , y0 ) 6= 0. Dann ist durch die Gleichung F (x, y) = 0 eindeutig
eine Funktion y = f (x), x ∈ U (x0 ) erklärt mit F (x, f (x)) und es gilt f 0 (x) = − FFxy für
x ∈ U (x0 )
Zum Beweis der Ableitungsformel:
F (|{z}
x , y = F (|{z}
x , f (x) = 0 |Diff nach x
|{z}
|{z}
u
v
u
v
Fu · ux + Fv · vx = Fx · 1 + Fy · f 0 (x) = 0 y f 0 (x) = − FFxy
Diskussion Mittels Satz 3 ist eine Kurvendiskussion für implizit gegebene Kurven
F (x, y) = 0 möglich, ohne die Gleichung explizit auflösen zu müssen.
Für die 2. Ableitung ergibt sich:
f 00 (x) = −
Fxx · 1 + Fxy · y 0 )Fy − Fx (Fyx · 1 + Fyy · y 0 )
Fy2
y f 00 (x) =
|{z}
x
y 0 =− F
F
Fxx Fy2 − 2Fxy · Fx Fy + Fyy · Fx2
Fy3
y
119
Definition 2
• Geg. sei die Funktion z = f (x, y), (x, y) ∈ B.Die vektorwertige Funktion (Vektorfeld)
fx (x, y)
grad f (x, y) :=
, (x, y) ∈ B
fy (x, y)
heißt Gradient von f an der Stelle (x, y)
• Allgemein z = f (x1 , . . . , xn ), dann

fx1
 
grad f :=  ...  ∈ Rn
fxn

Diskussion
1. Eigenschaften des Gradienten und Anwendung siehe Kapitel 5.4.1.
P (x, y)
2. Umkehrung: Geg. Vektorfeld ~v =
, ges. Funktion F (Skalarfeld) mit
Q(x, y)
~v = grad F (Ableitungen vorgeg, gesucht Funktion F,) F heißt Stammfunktion
(Potential) von ~v . Es existiert genau dann eine Stammfunktion F (x, y) mit Fx =
P (x, y), Fy = Q(x, y), wenn in einem einfach zusammenhängenden Gebiet G ⊆ R2
die sogenannte Integrabilitätsbedingung Py = Qx erfüllt ist.
5.3 Totale Differenzierbarkeit, Fehlerrechnung
Definition 1 Die Funktion z = f (x, y) heißt an der Stelle (x0 , y0 ) total differenzierbar,
wenn es Konstanten α und β gibt, so dass für alle h und k die Zerlegung f (x0 + h, y0 +
R(h,k)
√
k) − f (x0 , y0 ) = α · h + β · k + R(h, k) mit
lim
= 0 gilt.
h2 +k2
(h,k)→(0,0)
Satz 1
1. f sei in U (x0 , y0 ) partiell nach x und y diffbar, die partielle Ableitung sei stetig in
(x0 , y0 ). Dann ist f an der Stelle (x0 , y0 ) diffbar.
2. f sei an der Stelle (x0 , y0 ) total diffbar. Dann ist f an der Stelle (x0 , y0 ) partiell
diffbar und es gilt
α = fx (x0 , y0 ), β = fy (x0 , y0 )
Definition 2 df (x0 , y0 ) := fx (x0 , y0 ) · h + fy (x0 , y0 ) · k heißt das zur Stelle (x0 , y0 ) und
den Zuwächsen h = ∆x = dx und k = ∆y = dy gehörende totale Differential von f . (die
Summanden sind die partiellen Differentiale)
Schreibweise df = fx dx + fy dy
120
Diskussion
1. Es gilt ∆f := f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0 ) = df +
R(h, k)
| {z }
Restglied→0 wenn (h,k)→(0,0)
y ∆f ≈ df (falls |h|, |k| klein)
y Fehlerrechnung: Absoluter Fehler |∆f |
Es gilt |∆f | ≈ |df | ≤ |fx (x0 , y0 )| · |∆x| + |fy (x0 , y0 )| · |∆y|
Für Fehlerschranken sp := max |∆f |, sx := max |∆x|, sy := max |∆y| gilt
sf ≈ |fx (x0 , y0 )| · sx + |fy (x0 , y0 )| · sy
(Lineares Fehlerfortpflanzungsgesetz)
2. Geometrische Veranschaulichung
• ∆f ist der Zuwachs der Funktion, wenn (x, y) von (x0 , y0 ) in (x0 + h, y0 + k)
übergeht
• df ist der entsprechende Zuwachs der Tangentialebene (TE) an die Fläche
z = f (x, y) in Punkt (x0 , y0 , z0 ) (TE= Linearisierung)
Beispiel 1: (Fehlerrechnung)
Zur Ermittlung der Entfernung d zweier (z.B. schwer zugänglicher) Punkte
P und Q werden die Entfernungen p und q von einem 3. Punkt S sowie der
Winkel ϕ = ]P SQ gemessen.
5.4 Weitere Begriffe, Anwendungen
Definition 1 f (x, y) besitze in (x0 , y0 ) stetige partielle Ableitungen 1. Ordnung. Für
jeden Vektor
s
~s = 1 = |s|(cos α · ~i + sin α · ~i
s2
heißt
∂f
f (x0 + h cos α, y0 + h sin α) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) := lim
h→0
∂s
h
Richtungsableitung von f an der Stelle (x0 , y0 ) in Richtung ~s (bzw. in Richtung s~0 , in
Richtung α)
Diskussion
1.
∂f
∂s (x0 , y0 )
ist der Flächenanstieg in Richtung ~s (genauer, der Anstieg der Schnittkurve der Fläche z = f (x, y) mit der Ebene durch (x0 , y0 , 0) und (x0 +s1 , y0 +s2 , 0),
die senkrecht zur x − y−Ebene steht.
2. Speziell
~s = ~i,
~s = ~i,
∂f
= fx
∂s
∂f
π
d.h. α = y
= fy
2
∂s
d.h. α = 0 y
121
Satz 1 (Berechnung der Richtungsableitung)
Es gilt
∂f
(x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 ) · cos α + fy (x0 , y0 ) · sin α
∂s
fx (x0 , y0 ) · s1 + fy (x0 , y0 ) · s2 ~0
p
=
grad
f
(x
,
y
),
s
=
0
0
s21 + s22
Satz 2 (Eigenschaften des Gradienten im Falle z = f (x, y))
Der Vektor grad f (x0 , y0 )
• steht senkrecht auf (der Proj) der Höhenlinie f (x, y) = c zum Niveau z = c =
f (x0 , y0 ) (in die x − y-Ebene) und
• zeigt in Richtung des stärksten Funktionszuwachses (Flächenanstiegs) Dieser ergibt
max ∂f
zu
(x , y ) = |grad f (x0 , y0 )|
~s ∂s 0 0
Diskussion
1. Fall n = 3: Funktion u = f (x, y, z). Analog zu Satz 3 steht der Vektor grad f (x0 , y0 , z0 ) ∈
R3 senkrecht auf (der Projektion) Niveaufläche f (x, y, z) = c zum Niveau u = c =
f (x0 , y0 , z0 ) (in R3 ) und zeigt in Richtung des stärksten Funktionszuwachses; z.B.
Erdatmosphäre, . . . u = Luftdruck(idealisiert), Niveauflächen = Kugelflächen, Niveau mit wachsenden Radius exponentiell abnehmend y Gradient zeigt in Richtung Erdmittelpunkt.
2. Anwendung Tangentialebenengleichungen
• TE an die Fläche F (x, y, z) = 0 im Punkt (x0 , y0 , z0 )
Fx (x0 , y0 , z0 ) · (x − x0 ) + Fy (. . . ) · (y − y0 ) + F2 (. . . ) · (z − z0 ) = 0
(38)
Denn: Fläche F (x, y, z) = 0 ist Niveaufläche von u = F (x, y, z) zum Niveau
u = 0 y ~n = grad F (x0 , y0 , z0 ) ist ein Normalenvektor der Fläche und damit
der TE y

 

Fx (x0 , y0 , z0 )
x − x0
(~n, ~r − r~0 ) = 0, vgl. 1.5.5.5., d.h. Fy (x0 , y0 , z0 ) ,  y − y0  = 0
Fz (x0 , y0 , z0 )
z − z0
• speziell z = f (x, y) y TE in (x0 , y0 , z0 )
z = z0 + fx (x0 , y0 ) · (x − x0 ) + fy (x0 , y0 ) · (y − y0 )
Denn: z = f (x, y) ⇔ 0 = f (x, y) − z =: F (x, y, z)
y Fx = fx , Fy = fy , Fz = −1 einsetzen in (38) ergibt (39).
122
(39)
5.4.1 Lokale Extrema (ohne Nebenbedingungen) von Funktionen zweier
Veränderlicher
maximal
Defnition 2 f (x, y) heißt in (x0 , y0 ) lokal
, wenn es für eine Umgebung
minimal
f (x, y) < f (x0 , y0 )
U (x0 , y0 ) gibt, so dass für alle (x, y) ∈ U (x0 , y0 )\{(x0 , y0 )} gilt
f (x, y) > f (x0 , y0 )
Diskussion Anschaulich TE k x − y−Ebene
Bezeichnungen:
• (x0 , y0 ) . . . Extremstelle
• z0 = f (x0 , y0 ) . . . Extremstelle
• (x0 , y0 , z0 ) . . . Extrempunkt
T E ist Extrempunkt horizontal
y Funktionsanstieg (Richtungsableitung) für alle Richtungen = 0, also auch fx (x0 , y0 ) =
0 und fy (x0 , y0 ) = 0 y
Satz 3 (notwendige Bedingung für Vorliegen lokaler Extrema) f (x, y) sei an der Stelle
(x0 , y0 ) lokal extremal und diffbar nach x und y ⇒ (fx (x0 , y0 ) = 0) ∧ (fy (x0 , y0 ) = 0)
Satz 4 (hinreichende Bedingung für lokale Extrema)
1. f (x, y) besitze in U (x0 , y0 ) stetige partielle Ableitungen bis zur 2. Ordnung
2. Die notwendige Bedingung (fx (x0 , y0 ) = 0) ∧ (fy (x0 , y0 ) = 0) sei erfüllt
fxx fxy 2
Dann gilt mit ∆(x, y) := fxx fyy − fxy = fyx fyy ∆(x0 , y0 ) > 0 ⇒ f in (x0 , y0 ) lokal extremal und zwar
lokal maximal falls zusätzlich fxx (x0 , y0 ) < 0
lokal minimal falls zusätzlich fxx (x0 , y0 ) > 0
(40)
Diskussion
1. ∆(x0 , y0 ) > 0 ⇒ fxx (x0 , y0 ) und fyy (x0 , y0 ) sind beide positiv oder beide negativ,
daher kann in Zusatzbedingung (40 ) anstelle fxx auch fyy stehen.
2. Allgemeine Vorgehensweise zur Bestimmung der lokalen Extremstellen von z =
f (x, y)
fx = 0
lösen (notwendige Bedingung)
fy = 0
y extremwertverdächtige Stellen (stationäre Stellen) PE (xE , yE )
a) Gleichungssystem
123
b) Für diese Stellen PE (xE , yE ) Diskriminante ∆ berechnen
< 0 . . . Max
i. Fall ∆(xE , yE ) > 0 ⇒ Extremum, fxx (xE , yE )
> 0 . . . Min
ii. Fall ∆(xE , yE ) = 0 ⇒ gesonderte Untersuchung notwendig (vgl. Diskussion 4)
iii. Fall ∆(xE , yE ) < 0 ⇒ kein Extremum sondern Sattelstelle (im engeren
Sinne), vgl. Diskussion 3
Allgemein: Stationäre Stellen, die keine Extremstellen sind, werden als Sattelstellen (im weiteren Sinne) bezeichnet.
Beispiel 2 z = f (x, y) = 2xy 2 − 2x2 − y 2 + 4
fx = 2y 2 − 4x = 0
fy = 4xy − 2y = 0
(fy = 4xy − 2y = 0) ⇔ 2y(2x − 1) = 0
1. Fall y = 0, (fx = 2y 2 − 4x = 0) y x = 0 y P1 (0; 0)
2. Fall x = 12 , (fx = 2y 2 − 4x = 0) y 2y 2 − 2 = 0 y y 2 = 1 y y = ±1 y
P2 ( 21 ; −1), P3 ( 21 ; 1) (stationäre Stellen P1−3 )
2
fxx = −4, fyy = 4x − 2, fxy = 4y y ∆(x, y)
= (−4) · (4x − 2) − (4y)
2
·∆(0, 0) = (−4) · (−2) − 0 = 8 > 0
P1 :
y max (0; 0), zmax = 4
fxx (0, 0) = −4 < 0
P2 : ∆( 21 ; −1) = (−4) · 0 − 16 < 0 y keine Extrema, Stattelstelle (im erweiterten
Sinne)
P3 : ∆( 12 ; 1) = (−4) · 0 − 16 < 0 y keine Extrema, Stattelstelle (im engeren Sinne)
3. Sattelstellen im engeren Sinne (i.e.S.) anschaulich
4. Im Falle ∆(xE , yE ) = 0 ist eine gesonderte Untersuchung notwendig, z.B: Einschräkung des Diff.-Bereiches auf Kurven, die durch PE verlaufen. Genau dann,
wenn all diese Einschränkungen ein Max. bei PE aufweisen, ist PE eine Max.-Stelle,
analog beim Minimum.
Beispiel 3 z = f(x, y) = x4 − y 4
fx = 4x3 = 0
y x = 0, y = 0 y PE (0; 0)
fy = −4y 3 = 0
fxx = 12x2 , fyy = −12y 2 , fxy = 0 y ∆(PE ) = 0
• Einschränkung auf Gerade x = 0 y z = −y 4
124
• Einschränkung auf Gerade y = 0 y z = x4
y keine Extremstelle
5. z = f (x1 , . . . , xn ), ~x ∈ B ⊆ Rn
• notwendige Bedingung für Extrema
stellen (stationäre Stellen) ~xE
∂f
∂xi
=0
i = 1, . . . , n) y mögl. Extrem-
• Hinreichende Bedingung
Definition Hesse-Matrix H(~x) :=
∂2f
∂xi ∂xj
n
i,j=1
. . . (n, n)-Matrix
a) Alle Eigenwerte von H(~xE ) sind positiv y ~xE . . . lokales Minimum.
b) Alle Eigenwerte von H(~xE ) sind negativ y ~xE . . . lokales Maximum.
c) Es gibt positive und negative Eigenwerte y ~xE . . . Sattelstelle (kein Extremum)
d) Wenigstens ein EW = 0(↔ det H(~xE ) = 0) . . . gesonderte Untersuchung
notwendig (außer, es gilt gleichzeitig Fall c))
Fall n = 2
y (char. Polynom)
det (H(~xE ) − λE) = (λ − λ1 )(λ − λ2 ) |{z}
λ=0
det H(~xE ) = λ1 · λ2 = ∆(~xE ), λ1 + λ2 = fxx (~xE ) + fyy (~xE ) Damit sind die
Bedingungen unter der Hesse-Matrix Definition identisch mit der Fallunterscheidung in Diskussion 2
5.4.2 Lokale Extrema (mit Nebenbedingungen)
Problem Gesucht sind lokale Extrema von z = f (x, y) unter der Nebenbedingung
g(x, y) = 0, d.h.
• Fläche z = f (x, y) schneiden mit Zylinderfläche g(x, y) = 0 y Schnittkurve C
• Gesucht sind Stellen (x0 , y0 ) auf der Kurve g(x, y) = 0 an denen extremale Höhe
über der x − y−Ebene erreicht wird.
Diskussion
1. g(x, y) = 0 ist auffassbar als
a) Kurve K in der x − y-Ebene, K = {(x, y)|g(x, y) = 0}
b) Zylinderfläche ⊥ x − y-Ebene: {(x, y, z)|g(x, y) = 0}
(Zylinderfläche wird allgemein erzeugt von einer ebenen Kurve K, die längs einer
nicht in dieser Ebene liegenden Gerade g verschoben wird.
125
2. Falls gy 6= 0 y g(x, y) auflösbar nach y y y = y(x), damit z = f (x, y(x)) → extr.,
notwendige Bedingung
dz
= fx + fy · y 0 = 0
(41)
dx
• Außerdem gilt g(x, y(x)) = 0 y
gx + gy · y 0 = 0
(42)
1
~b := fx und ~c := gx =
~
• Mit ~a :=
=
6
0,
6 ~0 gilt (~a, ~b) = 0 Skalarproy0
fy
gy
dukt(41), (~a, ~c) = 0 (42)
f + λgx = 0
y ~b = α · ~c |{z}
y ~b + λ~c = ~c = ~0 ⇔ x
fy + λgy = 0
−α=:λ
Fall gx 6= 0 analog y Lagrange-Methode
a) Lagrange-Funktion
F (x, y, λ) := f (x, y) + λg(x, y)
mit einer Hilfsgröße λ bilden, dabei beachten: Nebenbedingung muss in der
Form g(x, y) = 0 (implizit) [sein]!
b) Notwendige Bedingung: Es sei (xE , yE ) eine lokale Xtremstelle von z = f (x, y)
unter der NB g(x, y) = 0. f und g besitzen in U (xE , yE ) stetige partielle
Ableitungen 1. Ordnung und es gelte
grad g(xE , yE ) 6= ~0
(43)
(d.h. gx (xE , yE ) 6= 0 ∨ gy (xE , yE ) 6= 0 y NB auflösbar nach x bzw. y)
Dann gibt es eine Lösung des Gleichungssystems
Fx = 0
Fy = 0
Fλ = 0
der Gestalt (xE , yE ,
(44)
λE ), d.h. die Lösungen von (44) liefern stationäre
|{z}
Hilfsgröße
Stellen (mögliche Extremstellen) (xE , yE )
Sonderfall: Eventuell vorhandene Stellen (x0 , y0 ) mit gx (x0 , y0 ) = gy (x0 , y0 ) =
0 (sogenannte singuläre Stellen der Kurve g(x, y) = 0 können Extremstellen
sein, ohne sich aus (44) zu ergeben, sie müssen daher gesondert untersucht
werden
c) Untersuchung der stationären Stellen z.B.
• mittels Höhenlinienbild von z = f (x, y)
• oder mittels geometrischen oder physikalischen Überlegungen
• meist Verzicht auf Untersuchung der auch hier existierenden hinreichenden Bedingung
126
Beispiel 4 z = f (x, y) = x2 + y 2 → extremum unter der NB: x2 +
y2
4
=1
y2
− 1)
a) F (x, y, λ) = x2 + y 2 +λ(x2 +
| {z }
4
{z
}
|
f (x,y)
g(x,y)
Fx = 2x + 2λx = 0
(1) y 2x(1 + λ) = 0
2
1
Fy = 2y + 2 λy = 0 (2) 1. Fall x = 0, (3) : y4 − 1 = 0
b)
2
Fλ = x2 + y4 − 1 = 0
(3) y y = ±2, (2) : λ = −4
y P1 (0; −2), P2 (0; 2)
(2) y 2y − 21 y = 0 y y = 0
P3 (−1; 0)
2. Fall: λ = −1,
(3) y x2 − 1 = 0 y x = ±1
P4 (1; 0)
stationäre Stellen P1 (0; −2) P2 (0; 2) P3 (−1; 0) P4 (1; 0)
Funktionswertz
4
4
1
1
(Sonderfall gx = 2x = 0, gy = 2y = 0 y x = 0, y = 0 y g(0, 0) 6= 0 y keine
singulären Stellen sind vorhanden
√
c) Höhenlinien von f : x2 + y 2 = C (Kreise um 0 mit Radius C, falls C > 0)
2
2
NB: Ellipse x12 + y22 = 1
y P1 , P2 . . . Stellen lokaler Maxima, zmax = 4
y P3 , P4 . . . Stellen lokaler Minima, zmin = 1
Bemerkungen:
i. Für Funktionen f (x1 , . . . , xn ) mit n > 2 Veränderlichen und k < n NB
gi (x1 , . . . , xn ) analogen Vorgehen: Lagrange-Funktion
F (x1 , . . . , xn , λ1 , . . . , λk ) = f (x1 , . . . , xn ) +
k
X
λj gj (. . . ) usw.
j=1



 ∂gj

Bedingung (1) hier: rang 
(
)
∂x
 j i = 1, . . . , n  = k
j = 1, . . . , k
ii. Falls NB eindeutig nach k Variablen auflösbar sind, dann Rückführung
auf Problem mit (n − k) Variablen ohne NB möglich.
p
Vorsicht im Beispiel 4: y 2 = 4(1 − x2 ) y y = ± 4(1 − x2 )
dz
= −6x = 0 y xE = 0 y nur P1 , P2
Einsetzen y z = 4 − 3x2 , dx
5.5 Weitere Begriffe, Anwendungen
5.6 Richtungsableitung, Tangentialebenen
Beispiel 5 Bei einem Stochastik-Problem (vgl. 3. Sem) ergibt sich die Aufgabe, die
Zahl 1 so in n Summanden aj zu zerlegen, dass die Summe der Quadrate minimal wird.
127
Mathematisches Modell:
s = a21 + a22 + · · · + a2n → min. unter der
NB: a1 + a2 + · · · + an = 1, ai ∈ R(i = 1, . . . , n) n ≥ 2
1. Lagrange-Funktion
F (a1 , . . . , an , λ) = a21 + · · · + a2n + λ(a1 + · · · + an 1 − 1)
2. Notwendige Bedingung
∂F
= 2ai + λ = 0(i = 1, . . . , n)
∂ai
∂F
= a1 + · · · + an − 1 = 0
∂λ
λ
y ai = − (i = 1, . . . , n) y a1 = ai = · · · = an =: a
2
1
2
1
(λ = −2ai = − )
y na − 1 = 0 y a = , d.h. a1 = a2 = · · · = an =
n
n
n
3. Minimum ist klar: S kann nicht beliebig klein werden , aber beliebig groß, daher
existiert ein Minumum. Da die notwendige Bedingung nur eine Lösung besitzt, ist
dies die gesuchte Min.-Stelle.
6 Integralrechnung für Funktionen von mehreren reellen
Variablen
6.1 Integrale über ebene Bereiche
6.1.1 Begriff
• Geg.
1. Beschränkter, abgeschlossener Bereich B ⊆ R2
2. Fläche z = f (x, y) ≥ 0, f stetig
Ges: Volumen V des Körpers K unter der Fläche über dem Bereich B
*) Zum vergleich fläche kaum entfalten, wenn der Rand von B durch Schnitt der
Fläche z = f (x, y) mit der x − y-Ebene entsteht.
• Zerlegung von B in Teilbereich ∆bi
y Zerlegung
K in Säulen mit dem Volumen ∆Vi
P von P
y V = ∆Vi ≈ (ξi , ηi ) · ∆bi
i
i
128
• f stetig, Verfeinerung, Grenzübergang y
Grenzwert := V existiert unabhängig von der Zerlegungsfolge
Schreibweise
ZZ
V =
f (x, y) db . . . Bereichsintegral
B
Diskussion
1. Einteilung von B durch achsenparallele Geraden:
db = dxdy y
Schreibweise
ZZ
ZZ
f (x, y) dxdy
f (x, y) db =
B
B
2. Unabhängig von der geometrische Bedeutung wird das Bereichtsintegral auch
für Funktionen mit negativen Funktionswerten erklärt.
6.1.2 Reduktion auf Doppelintegrale
Geg. seien zwei stetige Funktionen ϕ1 (x) und ϕ2 (x) mit ϕ1 (x) ≤ ϕ2 (x) für x ∈ [a; b](a <
b)
Der Bereich
B := {(x, y)|a ≤ x ≤ b, ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x)}
heißt Normalbereich bzgl. der x-Achse (normal=orthogonal=senkrecht
Dann gilt:


ϕZ2 (x)
ZZ
Zb


f (x, y) db =
f (x, y) dy  dx

B
x=a
y=ϕ1 (x)
Diskussion
1. Normalbereich bzgl. x-Achse wird links und rechts begrenzt von Koordinatenlinien
x = a, x = b. Diese Begrenzungen können zu Punkten entarten.
Das Intervall [a, b] ergibt sich durch Orthogonalprojektion von B auf die x-Achse.
Daraus ergeben sich die stets konstanten Grenzen für die äußere Integration (x
läuft von a bis b!)
Dagegen läuft y in Abhängigkeit von x nur von ϕ1 (x) bis ϕ2 (x) (und nicht von c
bis d!).
→ Grenzen für die innere Integration hängen im allgemeinen von der äußeren
Integrationsvariablen ab
2. Analog: Geg. ψ1 (y) ≤ ψ2 (y) für y ∈ [c; d] Normalbereich bzgl. y-Achse
B = {(x, y)|c ≤ y ≤ d, ψ1 (y) ≤ x ≤ ψ2 (y)}
129
Dann
Zd
ZZ
f (x, y) db =



y=c
B

ψZ2 (y)

f (x, y) dx dy
x=ψ1 (y)
(horizontale Grenzen für y durch Projektion von B auf y-Achse)
3. Oft sich beide Varianten möglich (vgl. Beispiel 1), manchmal ist Zerlegung notwendig:
ZZ
ZZ
ZZ
...
··· +
··· =
B1
B
B2
4. Außen und innere konstante Grenzen ⇔ B ist achsenparralleles) Rechteck (in
diesem Falle ist die Integrationsreihenfolge egal)
Beispiel 1
Zu berechnen ist I =
x
y
RR
B
db, dabei werde B begrenzt von y = x2 , x =
2 und y = 1 (Volumen unter einer Wendelfläche)
• Skizzen var1 : B = {(x, y)|1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ x2 } (Projektion auf x-Achse)
√
var2 : B = {(x, y)|1 ≤ y ≤ 4, y ≤ x ≤ 2} (Projektion auf y-Achse)
• Berechnung von I als Doppelintegral (z.B. nach Var 2)
R4 h x2 i2
R4
R x
dx)dy
=
I=
(
√ dy
y
2y
y=1 x=√42
x= y
y=1
6.1.3 Anwendungen
Volumen V unter z = f (x, y) ≥ 0 über B
Flächeninhalt [B] von B
(geometr.) Schwerpunkt S(xs , ys ) von B
Integralmittelwert von f in B
RR
V =
f (x, y) db
RR B
[B] =
db ( Integrand = 1)
BRR
RR
1
1
xs = [B]
x db, ys = [B]
y db
B
B
RR
1
m = [B]
f (x, y) db
B
6.1.4 Koordinatentransformation
• Ziel: Durch Einführung neuer Koordinaten (z.B: u und v) möglichst einfache Grenzen erzeugen.
Günstig ist es, wenn möglichst viele Begrenzungen von B auf Koordinatenlinien
liegen. (u = const., v = const.)
• Besonders wichtig: Polarkoordinaten x = r cos ϕ, y = r sin ϕ
Koordinatenlinien r = const y Kreislinien um 0)
ϕ = const. y Strahlen von 0 aus)
130
Anwendung falls B ein Kreisbereich, Kreisring, Kreissektor usw. mit Mittelpunkt 0 ist.
Das Bereichselement db ist ebenfalls durch die neuen Koordinaten ausdrückbar.
Man erhält:
db = r dr dϕ (Herleitung s. allg. Koord.transf.)
Beispiel 2 Gesucht Volumen V des Körpers, bergrenzt vom Rotationsparabolid z =
4 − (x2 + y 2 ) und der x − y-Ebene (z = 0)
• Schnittkurve x2 + y 2 = 4 (Kreis in x − y-Ebene)
• B in Polarkoordinaten x = r cos ϕ, y = r sin ϕ : 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ ϕ ≤ 2π y V =
RR
R2 R2π
(4 − (x2 + y 2 ))db =
(4 − r2 ) r dϕdr
| {z }
r=0 ϕ=0
B
db
=
R2
(4r −
r=0
r3 ) [ϕ]2π
0
h
dr = 2π 2r2 −
| {z }
i2
r4
4 0
= 8π
2π
Allg. Koordinatentransformation
x = x(u, v), y = y(u, v)
Definition 1
(45)
xu xv ∂(x, y)
=: yu yv ∂(u, v)
heißt Funktionaldeterminante der Transformation (45)
Es ergibt sich für das Bereichselement
xu xv | du dv
db = |
yu yv ∂(x,y)
6= 0 erhält man durch (45) eine umkehrbar eindeutige Abbildung (x, y) ∈
Falls ∂(u,v)
B ↔ (u, v) ∈ B 0 . Für das Bereichsintegral gilt in den neuen Koordinatne:
ZZ
ZZ
∂(x, y)
I=
f (x, y) db =
f (x(u, v), y(u, v)) · |
| du dv
∂(u, v)
B
B0
Diskussion
• Veranschaulichung der Formel für das Bereichselement: Koordinatenlinien u =
const, v = const
Linearisierung ∆b ≈ db
y db = |~ru du × ~rv dv| (du > 0, dv > 0)
~i xu xv xu xv xu xv ~
k|dudv = |
= |~j yu yv | dudv = |
yu yv |dudv
yu yv ~k 0 0 131
Funktionaldeterminante bei Polarkoordinaten x = r cos ϕ, y = r sin ϕ
∂(x, y) xr xϕ cos ϕ −r sin ϕ
= r cos2 ϕ + r sin2 ϕ = r
=
=
∂(r, ϕ) yr yϕ sin ϕ r cos ϕ y db = rdrdϕ (s.o.)
Beispiel 3 Gesucht sei der geometrische Schwerpunkt S der Halbkreisfläche begrenzt
von x2 + y 2 = R2 (y ≥ 0) und y = 0
Polarkoordinaten: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ
Grenzen: 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ ϕ ≤ π
• [B] =
RR
db =
r=0
B
Zπ
RR
r dϕ dr = π
RR
r dr
r=0
ϕ=0
| {z }
r·π
=π
h 2 iR
r
2
0
=
1
2
2 πR
• xs = 0 (aus Symmetriegründen)
RR
RR Rπ
(Rechnung:
x db =
r cos ϕ · r dϕ dr
r=0 ϕ=0 | {z } | {z }
B
x
RR
=
r=0
db
r2 [sin ϕ]πϕ=0 dr = 0 y xs = 0
| {z }
0
•
RR
y db =
B
=2·
RR Rπ
RR 2
r sin ϕ rdϕdr =
r · [− cos ϕ]πϕ=0 dr
|
{z
}
|
{z
}
{z
}
|
r=0 ϕ=0
r=0
y
3
[ r3 ]R
0
y ys =
=
2 3
R
3
π 2
R
2
db
2
2 3
3R
=
4
3π R
= 0, 424 R y S 0| 4R
3π
2
Beispiel 4 Flächeninhalt innerhalb der Ellipse xa2 +
Polardarstellung x = a cos v, y = b sin v, v ∈ [0; 2π]
y2
b2
=1
• elliptische Polarkoordinaten x = x(u, v) = a · u cos v, y = y(u, v) = b · u sin v
Koordinatenlinien u = 1: Ellipse
0 ≤ u <1 y Inneres der Ellipse
x = au cos v
u ∈ [0; 1]
y B = (x, y)|
y = bu sin v v ∈ [0; 2π]
xu xv a cos v −au sin v ∂(x,y)
=
• Funktionaldeterminante: ∂(u,v) = yu yv b sin v bu cos v = abu cos2 v + abu sin2 v = abu
132
y db = abu
RR du dv
y [B] =
= · · · = πab
B
6.2 Oberflächenintegrale
6.2.1 Flächen im Raum
Zur Erinnerung:
• x, y, z . . . kartesisches Koordinatensystem
• r, ϕ, z . . . Zylinderkoordinaten (r-Abstand zur z-Achse)
• r, ϕ, ϑ . . . Kugelkoordinaten (r-Abstand vom Ursprung)
Flächendarstellungen
• z = f (x, y) . . . explizite kartesische Darstellung
• F = (x, y, z) = 0 implizite kartesische Darstellung
• x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) . . . Parameterdarstellung
• z = f (r, ϕ) . . . explizite Zylinderkoordinatendarstellung, speziell
– z = f (r, ϕ) = g(r), r ∈ I ⊆ [0; ∞), ϕ ∈ [0; 2π] Rotationsflächen um die zAchse
– z = f (r, ϕ) = g(ϕ) . . . Wendelflächen
6.2.2 Oberflächenelement, Berechnung und Anwendungen
• Geg. Fläche

x(u, v)
=
~ y(u, v) , (u, v) ∈ B
z(u, v)

, analog zu ebenen Bereichsintegralen ergibt sich
dF = |~ru × ~rv | du dv
. . . (skalares) Oberflächenelement
• Oberflächenintegral (über ein Skalarfeld)
ZZ
ZZ
f (x, y, z) dF =
f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) · |~ru × ~rv | du dv
F
B
133
• Anwendung(analog ebene Bereichsintegrale)
[F ] . . . Flächeninhalt von F
geometrischer Schwerpunkt S(xs , ys , zs )
Integral-Mittelwert von f auf F
xs =
[F ] =
1
[F ]
RR
F
RR
dF
FRR
x dF, ys = [F1 ]
y dF, zs =
F
RR
m = [F1 ]
f (x, y, z) dF
F
Berechnung von dF für spezielle Flächendarstellungen
 


 
x
u
1
• z = f (x, y) y Polardarstellung ~r = y  =  v  y ~ru =  0  , ~rv =
z
f (u, v)
fu
 
0
1
fv


~i 1 0 −fu
q
p
|~ru × ~rv | = |~j 0 1 | = |−fv | = 1 + fu2 + fv2 = 1 + fx2 + fy2
~k f f 1
u
v
  

x
u cos v
• z = f (r, ϕ) y P.d. ~r = y  =  u sin v 
z
f (u, v)




−u sin v
cos v
y ~ru =  sin v  , ~rv =  u cos v  y
fv
fu


~i cos v −u sin v sin v · fv − u cos v · fu
|~ru × ~rv | = |~j sin v u cos v | = |− cos v · fv − u · sin v · fu |
~k f
u
fv u
• Kugel M = 0, Radius R, Kugelkoordinaten r = R = const. y (vgl. auch Beispiel
1, Kapitel 5.1.1.), P.d:
x = R sin ϑ cos ϕ 0 ≤ ϕ ≤ 2π
y = R sin ϑ sin ϕ 0 ≤ ϑ ≤ π
z = R cos ϑ




R cos ϑ cos ϕ
−R sin ϑ sin ϕ
~rϑ =  R cos ϑ sin ϕ  , ~rϕ =  R sin ϑ cos ϕ 
−R sin ϑ
0
 2 2

R sin ϑ cos varphi
 R2 sin2 ϑ sin ϕ 
|
y |~rϑ × ~rϕ | = 


R2 cos ϑ
2
R cos ϑ sin ϑ
p
4
4
4
= R sin ϑ + R cos2 ϑ sin2 ϑ = R2 sin ϑ
134
1
[F ]
RR
F
z dF
Fläche
z = f (x, y) . . . explizite. kar. Dar.
Zusammenfassung
z = f (r, ϕ) . . . expl. Zyl. Dar.
speziell Rot.flächen z = f (r, ϕ) = g(r), ϕ ∈ [0; 2π]
Kugel, M = 0, Rad. R (Kugelkoord.)
q dF
dF = 1 + fx2 + fy2 dx dy
q
dF = r2 (1 + fr2 ) + fϕ2 dr dϕ
p
dF = r · 1 + (g 2 (r))2 dr dϕ
dF = R2 sin ϑ dϕ dϑ
6.3 Raumintegrale
6.3.1 Begriff
Vorbetrachtung
• Geg.
1. Abgeschlossener, beschränkter Bereich B ⊂ R3
2. Dichte % = %(x, y, z) ≥ 0, stetig für (x, y, z) ∈ B
• Ges: Masse m des Körpers B
Zerlegung
P von B inPkleine Teile Bj mit dem Volumen ∆bi
y m = ∆mi ≈
%(ξi , ηi , ζi )∆bi
| {z }
i
i
∈Bi
Grenzübergang maxi ∆bi → 0 y Grenzwert m existiert unabhängig von Zerlegungsfolge
RRR
• Schreibweise m =
%(x, y, z) db . . . Raumintegral
B
6.3.2 Reduktion auf Dreifachintegrale
• Gegeben sei ein Bereich Bxy in der x − y-Ebene und zwei Funktionen g1 und g2
mit g1 (x, y) ≤ g2 (x, y) für (x, y) ∈ Bxy
• Der räumliche Bereich B habe z = g1 (x, y) und z = g2 (x, y) als untere bzw. obere
Begrenzung. Alle weiteren Begrenzungsflächen seien orthogonal zur x − y-Ebene
(Zylinderflächen auf dem Rand von Bxy ). Dann
B = {(x, y, z)|(x, y) ∈ Bxy , g1 (x, y) ≤ z ≤ g2 (x, y)}
. . . Normalbereich bzgl. x − y-Ebene
• Normalprojekt von B auf x − y-Ebene liefert den ebenen Bereich Bxy
• Falls (z.B.) Bxy ein Normalbereich bzgl. der x-Achse ist, d.h. Bxy = {(x, y)|a ≤
x ≤ b ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x)} dann
Zb
ZZZ
ϕZ2 (x)
g2Z(x,y)
f (x, y, z) db =
B
f (x, y, z) dz dy dx
x=a ϕ=ϕ1 (x) z=g1 (x,y)
135
Diskussion
1. Zylinderfläche kann ganz oder teilweise entfallen.
2. Anstelle der Projektion auf x − y-Ebene auch x − z- bzw. y − z-Ebene möglich
(günstig, falls außer 2 Begrenzungsflächen alle übrigen senkrecht auf der entsprechenden Ebene stehen)
Denkbar sind 3 Varianten Bxy , Bxz bzw. Byz für die 1. Projektion, jeweils 2 Varianten für die Projektion dieser ebenen Bereich auf eine Achse y 6 mögliche Variante
für die Integrationsreihenfolge (i. allg. nicht alle gleich günstig“)
”
3. Auch hier gilt stets:
Außen konstante Grenzen, in der Mitte (bzw. innen) können die Grenzen abhängen
von der bzw. den äußeren Integrationsvariablen
Berechnung: Von innen nach außen
4. Kartesische Korrdinaten db = dx dy dz
6.3.3 Koordinatentransformationen
(analog zum zweidimensionalen Fall) xu yu zu allg.x = x(u, v, w)
db = | xv yv zv | du dv dw
xw yw zw y = y(u, v, w)
z = z(u, v, w)
speziella)Zyl.koord.x = r cos ϕ
db = r dr dϕ dϕ
y = r sin ϕ
(z = z)
b) Kugelkoord. x = r sin ϑ cos ϕ
db = r2 sin ϑ dr dϕ dϑ
y = r sin ϑ sin ϕ
z = r cos ϑ
136
6.3.4 Anwendungen
Masse des Körpers B mit der Dichte % = %(x, y, z)
Volumen [B] von B
geometrischer Schwerpunkt S(xs , ys , zs ) von B
RRR
m=
%(x, y, z) db
RRRB
[B] =
db (Integrand 1)
B
RRR
1
xs = [B]
x db,
B
Massenschwerpunkt von B bei Dichte
% = %(x, y, z) (% = const y geometr. Schwerp.)
Trägheitsmoment Ig bei
1
[B]
RRR
1
y db, zs = [B]
z db
B
B
RRR
1
xs = m
x% db,
B
RRR
1
ys = m
y% db,
B
RRR
1
zs = m
z% db,
RRR 2 B
Ig =
d (x, y, z)%(x, y, z) db
ys =
RRR
B
Rotation um Achse g
Integralmittelwert von f und B
speziell :
a) g . . . z-Achse: d2 = x2 + y 2
b) g . . . x-Achse d2 = y 2 + z 2
c) g . . . y-Achse:
d2 = x2 + z 2
RRR
1
f (x, y, z) db
[B]
B
Diskussion (Trägheitsmoment)
1. Kinetische Energie eines sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit v bewegenden Körpers mit der Masse m : W = 12 mv 2 y
2. Kinetische Energie eines rotierenden Körpers (konstante Winkelgeschw. ω(=
P
P ∆mi
2 P
ωdi )2 = ω2
d2i %i ∆bi
Wrot =
∆Wi ≈
2 (|{z}
i
i
i
2π
T ):
vi
y Wrot =
1
2 Ig
·
ω2
7 Gewöhnliche Differentialgleichungen
7.1 Grundbegriffe
Vorbetrachtung Beispiel 1: Federmasse m an Schraubenfeder mit der Federkonstante
cF Anfangsauslenkung zum Zeitpunkt t = 0, y0 , Ruhelage 0
Gesucht: Zeitverlauf y = y(t) der Bewegung der Punktmasse.
Grundgesetz der Mechanik: F = m · ÿ hier
freie ungedämpfte Schwingung F = −cF y (Hooksches Gesetz)
mÿ = −cF y|y(0) = y0 , . . . y(0) = 0
137
(46)
Begriff Eine Differential (DGL) ist eine Bestimmungsgleichung für eine unbekannte
Funktion, die mindestens eine Ableitung der gesuchten Funktion enthält
2 Grundarten
1. Gesuchte Funktion y = y(x), d.h. eine unabhängige Variable: Gewöhnliche DGL
2. Gesuchte Funktion u = u(x, y) bzw. u = u(x1 , . . . , xn ), d.h. mindestens 2 unabhängige Veränderliche y Ableitungen sind partielle Ableitungen: Partielle DGL
Beispiel 2 y 0 = x2 , gewöhnliche DGL für Funktion y = y(x)
R
3
Lösung: y = x2 dx = x3 + c, d.h. Lösung ist Kurvenschar mit einem freien Parameter
c
Beispiel 3 ux = xy . . . partielle DGL für Funktion u = u(x, y)
2
Lösung: u = x2 y + c(y)
Bemerkung: Im folgenden nur gewöhnliche DGLn.
• Allg. Form einer gewöhnlichen DGL n-ter Ordnung
implizit: F (x, y, y 0 , . . . , y (n) ) = 0
explizit: y (n) = f (x, y, , y 0 , . . . , y (n−1)
• Die allg. Lösung ist eine Kurvenschar mit n Parametern (Integrationskonstanten)
• Anfangswertproblem (AWP): n zusätzliche Bedingungen y = (x0 ) = a0 , y 0 (x0 ) =
a1 , . . . , y (n−1) (x0 ) = an−1 (Anfangsbedingung [AB] Funktionswert und Ableitungen an einer festen Stelle x0 vorgeben, vgl. (1))
7.2 Differentialgleichungen 1. Ordnung
Allg. Form
F (x, y, y 0 ) = 0 (implizit)
y 0 = f (x, y) (explizit)
7.2.1 Geometrische Interpretation
Gegeben: y 0 = f (x, y), (x, y) ∈ B
Richtungsfeld: In jedem Punkt (x, y) ∈ B Richtung mit dem Anstieg f (x, y) =: tan α
markieren
Gesucht: Kurven y = y(x), die sich in jedem Punkt diesem Richtungsfeld anpassen,
d.h. die vorgegebene Ableitung besitzen y 0 = f (x, y) (Lösungskurven der DGL)
138
7.2.2 DGLn mit trennbaren Variablen
Typ y 0 = f (x) · g(y)
dy
Lösungsmethode dx
= f (x) · g(y)
Trennung der Verändl. (TdV)
R dy
R
beide Seiten integr. g(y)
= f (x) dx
Falls möglich Auflösen n. y:y = y(x) = ϕ(x, c)
Bsp 1 y 0 = xy 2 , y(1) = −2
dy
= xy 2
Rdxdy R
= x dx
y2
Untersuchung von g(y) = 0 y Nebenlös.
Bei AWP: AB erfüllen
y 2 = 0 ⇔ y = 0 (erfüllt ebenfalls DGL y Nebenlös
x = 1, y = −2, einsetz. in allg. Lös. (impl)
y 12 = 12 + c y c = 0 y Lösung der AWP
: y = − x22
2
− y1 = x2 + c allg. Lösung, implizit
y = − x21 allg. Lösung expl.
2
+c
Diskussion
1. Rechtfertigung des Lösungsschritt (beide Seiten integrieren)
G(y) = F (x) + c
(47)
dy
dF
diff nach x dG
dy · dx = dx
1
y g(y)
· y 0 = f (x) y y 0 = f (x) · g(y), d.h. (47) erfüllt die DGL.
2. Spezialfälle:
y 0 = f (x), d.h. g(y) = 1
y 0 = g(y), d.h. f (x) = 1
y0 =
1
1
f (x)
= f (x) ·
, d.h. g(y) =
h(y)
h(y)
h(y)
Beispiel 2 Ein Körper habe zum Zeitpunkt t = 0 die Temperatur T0 = 100◦ C. Die
Temperatur der umgebenen Luft TL = 20◦ C (= const.) . Zur Zeit t1 = 10 min hat sich
der Körper auf T1 = 60◦ abgekühlt
1. Man ermittle die Temperatur T als Funktion der Zeit t
2. Zu welchem Zeitpunkt t2 beträgt die Temperatur des Körpers T2 = 25◦ C?
Lösung
1. Newtonsches Abkühlungsgesetz: Geschwindigkeit der Abkühlung proportional
Temperaturdifferenz zum Medium
T = T (t) . . . Temp, t.. Zeit
R dT
R
dT
T (0) = T0 , T (10) = T1
TdV: T −T
= α dt = ln |T − TL | =
dt = α·(T −TL ), |
L
{z }
|
{z
}
αt + c∗
AB
zur Ermittlung von α
139
...
Also allg. Lösung:
T = TL + ceαt
Beispiel 2: dT
dt = α · (T − TL ); T (0) = T0 , T (10) = T1
allg. Lösung: T = TL + ceαt
• AB: t = 0, T = 100 y c = 80
• Bestimmung von α : t = 10, T = 60 y 60 = 20 + 80eα·10
1
ln 12 < 0
y α = 10
1
1
t
Lösung T = 20 + 80et· 10 ln 2 = 20 + 80 · ( 12 ) 10
2. Auflösung nach t
t = 10 ·
ln ( T −20
80
ln ( 12 )
⇒ t = t2 = 40(min)
|{z}
T =T2 =25
7.2.3 Lineare DGLn (1. Ordnung)
Normalform:
0
y + a(x)y = h(x)
homogen
falls h(x) = 0, ∀x
inhomogen
sonst
Diskussion
1. Linear bezieht sich auf y und y 0 (1. Potenz, Faktoren höchstens von x abhängig!).
Nicht immer liegt Normalform vor.
Beispiel
y 0 + x2 y − sin x = 0 linear, inhomogen,h(x) = sin x
x2 y 0 = y
linear,homogen
0
xy
y + e · y = cos x
nicht linear
y 0 · y = ex
nicht linear
2. h(x) heißt auch Störfunktion
3. Lösungsmethode
a) Bestimmung der allg. Lösung yh der zugehörigen homogenen DGL y 0 +a(x)y =
0 mittels TdV
b) Bestimmung einer partikulären Lösung yp der inhomogenen DGL mittels Variation der Konstanten, vgl. Beispiel 3
c) Allg. Lösung der inhomogenen DGL: y = yh + yp
d) Falls AWP: AB erfüllen
140
Beispiel 3 y 0 +
1
x
· y = x, lin. DGL, 1. Ordnung, inhomogen
1. Zugehörige homogene DGL: y 0 + x1 y = 0 y
T dV
z}|{ R dy R 1
= − x1 · y y
− x dx
y =
∗
∗
∗
y ln |y| = − ln |x| + c |y| = e− ln |x|+c = e− ln |x| · ec
∗
1
· ec
y |y| = |x|
dy
dx
∗
y yh = c · x1 (c = ±ec ) (wie im Beispiel 2 zunächst c 6= 0, Nebenlösung yh = 0
ergibt sich für c = 0, also c ∈ R
yh hat stets die Gestalt yh = c· Fnkt(x)
2. Ansatz yp = c(x) · x1 (Variation der Konstanten c → c(x)
Einsetzen des Ansatzen (einschließlich yp0 in inhomogene DGL
yp0 = c0 (x) · x1 − c(x) · x12 y
c0 (x) · x1 − c(x) · x12 + x1 c(x) x1 = x
3
c0 (x) · x1 = x y c0 (x) = x2 y c(x) = x3 + K(K = 0)
y c(x) = 31 x3 y yp = 31 x3 · x1 = 13 x2
3. y = yh + yp =
c
x
+ 13 x2
7.2.4 Einige weitere DGLn 1. Ordnung
1. Ähnlichkeitsdifferentialgleichungen
a) Typ y 0 = f ( xy ), Lösung: Subst.
⇒ y 0 = u0 x + u
|{z}
y
x
= u = u(x)
y=u·x
y DGL für u = u(x) mit trennbaren Veränderlichen, . . . lösen, Rücksubstitution
b) y 0 = f (ax + by + c) Lösung: Substituieren ax + by + c = u = u(x)
⇒ y 0 = 1b (u0 − a) usw. wie bei a)
|{z}
u0 =a+by 0
Beispiel 4 Gesucht sind Kurven y = y(x), die alle vom Ursprung ausgehenden
Strahlen unter den gleichen Winkel α schneiden (isogonale Trajektorien)
y y 0 = tan (ϕ + α) =
tan ϕ+tan α
1−tan ϕ·tan α
=
y
+tan α
x
y
1− x
tan α
=: f ( xy )
• Subst. u = xy , y 0 = u0 x + u y u0 x + u =
c = e−c2 > 0) . . . log Spirale(n)
u+tan α
1−u tan α
. . . r = c · eϕcot α (mit
2. Exakte DGL
Die DGL P (x, y) + Q(x, y)y 0 = 0 mit Py = Qx (in einem einfach zusammenhängenden Gebiet) heißt exakte DGL.
Lösung: Unter der Bedingung existieren Stammfunkt. F (x, y) mit Fx = P und
Fy = Q. Die allg. der exakten DGL ist dann F (x, y) = c (Höhenlinien von F )
141
7.3 Lineare DGL höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Allgemeine Form
L[y] := y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a1 y 0 + a0 y = h(x)
(48)
1. Bestimmung der allg. Lösung yh der zugehörigen homogenen DGL
L[y] = 0
(49)
Satz 1 Die Gleichung (49) besitzt n linear unabhängige Lösungen y1 (x), . . . , yn (x).
Die allg. Lösung von (49) ist dann yh = c1 y1 (x) + · · · + cn yn (x).
Diskussion
a) Die MEnge {y1 (x), . . . , yn (x)} heißt (ein) Fundamentalsystem (FS) von Lösungen der homogenen DGL.
b) Mit dem Ansatz
yh = eλx
erhält man die charakteristische Gleichung
λn + an−1 λn−1 + · · · + a1 λ + a0 = 0
(50)
Satz 2 Jede m-fache Nullstelle λ0 des charakteristischen Polynoms liefert folgende
Funktion des FS:
λ0 reell
eλ0 x , xeλ0 x , x2 eλ0 x , . . . , xm−1 eλ0 x
|
{z
}
m Funktionen
λ0 = α + iβ(β 6= 0) komplex
eαx cos (βx), xeαx cos (βx), . . . , xm−1 eαx cos (βx)
y λ¯0 = α − iβ m-fache Nullst. eαx sin (βx), xeαx sin (βx), . . . , xm−1 eαx sin (βx)
Diskussion
a) Beispiele für die Zuordnung: Lösung der char. GL → FS
Lösungen λk der char. Gl
λ1 = 0, λ2 = 2, λ3 = −1
FS
{|{z}
1 , e2x , e−x }
e0x
{1, x, e3x , xe3x , x2 e3x }
λ1,2 = 0, λ3,4,5 = 3
λ1,2 = 2 ± 3i
λ1,2 = ±i, λ3,4 = ±i
{e2x cos (3x), e2x sin (3x)}
{cos x, sin x, x cos x, x sin x}
b) λ1,2 = α ± iβ y yh = c1 e(α+iβ)x + c2 e(α−iβ)x = c1 eαx (cos (βx) + i sin (βx)) +
c2 eαx (cos (βx) − i sin (βx)) = (c1 + c2 ) eαx cos (βx) + (c1 − c2 ) ieαx sin (βx)
| {z }
| {z }
c∗1
142
c∗2
2. Bestimmung einer partikulären der inhomogenen DGL
1. Möglichkeit: Variation der Konstanten (stets möglich)
2. Möglichkeit: Spezielle Ansatz mit unbestimmten Koeffizienten für häufig vorkommende Störfunktionen → Koeffizienten vergleichen
Satz 3
a) Die Störfunktion habe die Gestalt
h(x) = eαx (P1 (x) cos (βx) + P2 (x) sin (βx))
|
{z
}
Polynome, r:= Max. der beiden Grade
b) Ferner sei % ≥ 0 die Vielfachheit von α+iβ als Nullstelle des charakteristischen
Polynoms p(λ)
i. 1. Fall % = 0 ⇔ α + iβ ist keine Nullstelle des charakt. Polynoms
| {z }
Normalfall
⇒ L[y] = h(x) besitzt eine Partikulärlösung der Form
yp = eαx (Q1 (x) cos (βx) + Q2 (x) sin (βx))
(51)
Q1 (x), Q2 (x) . . . Polynome vom Grade r mit unbestimmten Koeffizienten
ii. 2. Fall % > 0 (Resonanzfall) y Der Ansatz (51) ist mit x% zu multiplizieren
Diskussion
a) Beispiele für die Zuordnung: h(x) → Ansatz für
Lös. λi d. char. GL h(X)
α β α + iβ
λ1,2,3 = 0, λ4 = −1 x2 + 1
0 0
0
−x
λ1 = 2, λ2 = 3
4e
−1 0
−1
λ1,2 = ±2i, λ3 = 3 sin (3x) 0 3
3i
3
−2x
λ1 = −2, λ2,3 = 0
x e
−2 0
−2
yp
%
Ansatz für yp
3 (Ax2 + Bx + C) · x3 = Ax5 + Bx4 + Cx3
0
Ae−x
0
A cos (3x) + B sin (3x)
3
1
(Ax + Bx2 + Cx + D)e−2x · x1 = . . .
Anmerkungen
i. Polynom gleichen Grades, vollständig!
ii. gleiche e-Funktion
iii. vollständiger trigonometrischer Ansatz
b) Falls Störfunktion h(x) = h1 (x) + h2 (x), dann Ansatz yp = yp1 + yp2 mit ypi
Partikulärlösung von L[y] = hi (x) (i = 1, 2)
3. Wie üblich:
y = yh + yp
143
Beispiel 1 y 00 − 3y 0 = − sin (3x)
1. char. GL λ2 − 3λ = 0 y λ1 = 0, λ2 = 3
y FS {1, e3x } y yh = c1 + c2 e3x
2. h(x) = − sin (3x) y α = 0, β = 3 y α + iβ = 3i y % = 0 (Keine Resonanz, denn
3i ist keine Lösung der char. GL)
y Ansatz: yp = A cos (3x) + B sin (3x) (vollständig!)
yp0 = −3A sin (3x) + 3B cos (3x)
yp00 = −9A cos (3x) − 9B sin (3x)
Einsetzen in inhomogene DGL
−9A cos (3x) − 9B sin (3x) + 9A sin (3x) − 9B cos (3x) = − sin (3x)
|
{z
} |
{z
}
yp00
−3yp0
Koeffizienten Vergleich: cos (3x) : −9A − 9B = 0 y A = −B
1
1
sin (3x) : −9B + 9A = −1 y −18B = −1 y B = 18
A = − 18
1
1
y yp = − 18
cos (3x) + 18
sin (3x)
3. y = yh + yp = . . .
Beispiel 2 y (4) − 3y 000 = 36x2 − 5
1. char. Gleichung λ4 − 3λ3 = 0 y λ3 (λ − 3) = 0
y λ1,2,3 = 0, λ4 = 3 y FS{1, x,2 , e3x }
y yh = c1 + c2 x + c3 x2 + c4 e3x
2. h(x) = 36x2 − 5 y α = 0, β = 0, α + iβ = 0 y % = 3
Ansatz: yp = (Ax2 + Bx + C) · x3 = Ax5 + Bx4 + Cx3
yp0 = 5Ax4 + 4Bx3 + 3Cx2 , yp00 = 20Ax3 + 12Bx2 + 6Cx
(4)
yp000 = 60Ax2 + 24Bx + 6C, yp = 120Ax + 24B
Einsetzen: 120Ax + 24B − 180Ax2 − 72Bx − 18C = 36x2 − 5
Koeff. vgl.:
x2 : −180A = 36
1
5
1
yB=−
3
1
yC=−
6
yA=−
x1 : 120A − 72B = 0
x0 : 24B − 18C = −5
1
1
1
y yp = − x5 − x4 − x3
5
3
6
3. y = yh + yp = . . .
144
Anwendung Federschwingungsgleichung
Schraubenfeder, Federkonstante cF > 0, vgl. Bsp. 1 (7.1.)
Grundgesetz der Mechanik: mÿ = K = K(y, ẏ, t)
mÿ =
−αẏ
|{z}
−cF y
| {z }
+
Reibungskraft ∼ẏ Rückzugskraft ∼y
F (t)
|{z}
|:m
äußere Kraft
α
> 0, ω02 := cmF
y ÿ + 2γ ẏ + ω02 = h(t) mit γ := 2m
AB : y(0) = y0 (Anfangsauslenkung) h(t) = Fm(t)
ẏ(0) = v0 (Anfangsgeschwindigkeit)
1. Fall h(t) = 0 (keine äußere Kraft, freie Schwingung)
DGL: ÿ + 2γ ẏ + ω02 y = 0 (homogen, d.h. allg.
pLös y = yh )
char. Gl. λ2 + 2γλ + ω02 = 0 y λ1,2 = −γ ± γ 2 − ω02
Fall 1a γ = 0 (keine Reibung) y freie ungedämpfte Schwingung
y λ1,2 = ±ω02 i y F S{cos (ω0 t), sin (ω0 t)}
y y = yh = c1 cos (ω0 t) + c2 sin (ω0 t)
AB y c1 und c2 berechenbar, z.B. v0 = 0 y c1 = y0 , c2 = 0
y y = y0 cos (ω0 t), T0 = ω2π0 . . . Schwingungsdauer, ω0 . . . Eigenfrequenz
Fall 1b
0 <q
γ < ω0 (kleine Dämpfung, freie gedämpfte Schwingung)
λ1,2 = −γ ±
ω02 − γ 2 i y F S{e−γt cos (ω1 t), e−γt sin (ω1 t)
| {z }
ω1
y y = yh = (c1 cos (ω1 t) + sin (ω1 t)e−γt = Ae−γt cos (ω1 t − ϕ)
ω1 < ω0 y T1 = ω2π1 > T0 , Skizze für v0 = 0
Fall 1c y ≥ ω0 (starke Dämpfung)
y λ1 , λ2 beide reell und negativ, nicht periodisches Abklingen, Kriechfall, Nullpunkt
durchtritt möglich, wenn v0 · y0 < 0
2. Fall
äußere Kraft F (t) y erzwungene Schwingung
• hier nur der Fall γ = 0, h(t) = a sin (ω0 t)
DGL: ÿ + ω02 y = a sin (ω0 t)
(d.h. keine Dämpfung, periodische Kraft Frequenz, Eigenfrequenz ω0 )
• λ1,2 = ±ω0 i (s Fall 1a)
• yp ermitteln: h(t) = a sin (ω0 t), α = 0, β = ω0 , α + iβ = iω0 y % = 1 (Resonanzfall)
Ansatz: yp = (A1 cos (ω0 t) + A2 sin (ω0 t))t, einsetzen in inhomogene DGL und
at
Koeff. vgl. liefert A2 = 0, A1 = − 2ωa 0 y yp = − 2ω
cos (ω0 t)
0
145
y allg. Lösung y = c1 cos (ω0 t) + c2 sin (ω0 t) −
at
cos (ω0 t)
2ω
| 0 {z
}
yp
Resonanzkatastrophe für große t
7.4 Verschiedenes
7.4.1 Potenzreihenansatz
Ansatz
y=
∞
X
an (x − x0 )n
n=0
führt oft zum Ziel, wenn andere Methoden versagen.
Prinzip Ableitungen y 0 , y 00 , . . . durch gliedweise Differenzieren bilden, in die DGL einsetzen und Koeff. vergleich durchführen. Bei AWP für x0 die Anfangsstelle wählen.
Beispiel 1
y 0 = x2 + y 2
, y(0) = 0
Geometrische Veranschaulichung, vgl. Kaptiel 7.1.
Zweckmäßig Isoklinen (= Kurven, die alle Punkte (x, y) verbinden, in denen der Anstieg des Richtungsfeldes den gleichen Wert a besitzt, hier f (x, y) = x2 + y 2 = a, Kreise
√
um 0 mit Radius a (a > 0)
Beispiel 1 y 0 = y 2 + x2 , y(0) = 0
Ansatz: y = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · · → Cauchy-Product y y 2
y 2 = a20 +2a0 a1 x+(2a0 a2 +a21 )x2 +(2a0 a3 +2a1 a2 )x3 +(2a0 a4 +2a1 a4 +2a1 a3 +a22 )x4 +. . .
y 0 = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + 4a4 x3 + 5a5 x4 + . . .
AB: y(0) = 0 y a0 = 0
Koeff. vgl. y 0 = x2 + y 2
x0
a1 = a20
y a1 = 0
1
x
2a2 = 2a0 a1
y a2 = 0
x2
3a3 = 2a0 a2 + a21 + 1
y a3 = 31
x3
4a4 = 2a0 a3 + 2a1 a2
y a4 = 0
5a5 = 2a0 a4 + 2a1 a3 + a22
y a5 = 0
x4
x5
6a6 = 2a0 a5 + 2a1 a4 + 2a2 a3
y a6 = 0
1
6
2
x
7a7 = 2a0 a6 + 2a1 a5 + 2a2 a4 + a3
y a7 = 63
..
.
analog: a = a = a 0 = 0
8
9
1
x10
11a11 = 2(· · · + a3 a7 + . . . ) + a25
1 3
1 7
2
y y = 3 x + 63
x + 2079
x11 + . . .
146
y a11 =
2
11
·
1
3
·
1
63
=
2
2079
Bemerkung Der geometrische Ansatz eignet sich als Start für verschiedene numerische
Verfahren, wie das Polygonzug-Verfahren von Euler und das Runge-Kutta-Verfahren
7.4.2 Sukzessive Approximation
Satz 1 (Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Pircard-Lindelöf)
Die Funktion f (x, y) sei in einem Bereich B = {(x, y) : |x − x0 | ≤ a, |y − y0 | ≤ 6} der
x-y-Ebene stetig. Ferner gelte: |f (x, y1 ) − f (x, y2 )| ≤ K · |y1 − y2 |. Dann gibt es in einer
Umgebung von x0 genau eine Lösung y = y(x) der DGL: y 0 = f (x, y) mit y(x0 ) = y0 .
Methode der sukzessiven Approximation
• Geg. DGL
y 0 = f (x, y), AB : y(x0 ) = y0
(52)
f erfülle die Vorraussetzungen des Satzes 1
• Integration liefer die Integralgleichung
Zx
y(x) = y0 +
f (t, y(t)) dt
x0
• yn (x) sei folgende iterativ berechnete Funktionenfolge:
Rx
y0 (x) = y0 = const, y1 (x) = y0 + f (t, y0 (t)) dt, . . .
x0
Zx
yn (x) = y0 +
f (t, yn−1 (t)) dt, . . .
(n = 1, 2, 3, . . . )
x0
• Dann konvergiert yn (x) im Intervall [x0 − a, x0 + a] gleichmäßig gegen die (eindeutige) Lösung von (52): lim yn (x) = y(x)
n→∞
Beispiel 2 y 0 = x2 + y 2 , y(0) = 0 (vgl. Beispiel 1)
Rx
y0 (x) = 0, yn (x) = (x2 + (yn−1 (x))2 ) dx(n = 1, 2, . . . )
0
Rx
Also: y0 (x) = 0, y1 (x) = (x2 + 02 ) dx =
0
x3
y2 (x) = (x2 + ( )2 ) dx =
0
| 3{z }
Rx
x3
3
+
x3
3
x7
63
x6
9
Rx
x3 x7
y3 (x) = (x2 + ( + )2 ) dx =
0
| 3 {z 63 }
x3
3
+
x7
63
+
2x11
2079
10
14
x6
+ 2x
+x 2
9
3·63
63
147
+
x15
59525
Das letzte (Beispiel) Geg: Kreisförmiger See, in der Mitte befindet sich auf einer
kleinen Insel I ein Schiffbrüchiger (S), der mit einer (Dauer-)Geschwindigkeit von v0 =
1 (m
s ) schwimmen kann. Am Rande lauert ein Menschenfressender (M ), der mit einer
Geschwindigkeit von v1 = 4 m
s laufen kann. Wie kann S den Rand gefahrlos erreichen?
1. Versuch (nur gedanklich) geradlinig schwimmen
tS = vR0 (Schwimmer)
π R
Menschenfresser: tM = πR
v1 = 4 · v0 < tS
Wird gefressen
2. Versuch (zunächst) so schwimmen, dass stets die Insel zwischen M und S ist
konstante Winkelgeschw. ϕ = ω · t
a(t) = Abstand SI zur Zeit t
x = −a(t) cos (ωt)
y = −a(t) sin (ωt)
(53)
ẋ
Geschwindigkeit von S : ~v =
mit ẋ = −ȧ cos (ωt) + aω sin (ωt), ẏ = −ȧ sin (ωt) −
ẏ
aω cos (ωt)
|~v |2 = ẋ2 + ẏ 2 = ȧ2 + a2 ω 2 = const(= v02 )|diff nach t
(Kettenregel) aȧä + 2a · ȧω 2 = 0, AB : a(0) = 0, ȧ(0) = v0
• 1. Fall : ȧ = 0 erfüllt, keine Lösung der AWAufgabe
• 2. Fall: ä + ω 2 a = 0 (lin. DGL , 2. Ordnung, mit konst. Koeff., homogen)
char Gl. λ2 + ω 2 = 0 y λ1,2 = ±iω y F S{cos (ωt), sin (ωt)}
y a(t) = c1 cos (ωt) + c2 sin (ωt) (allg. Lösung)
AB :y c1 = 0, c2 = vω0 = vv10 = R4 y
R
a(t) =
R
sin (ωt)
4
maximaler Abstand (= π4 ) für ωt = π2 y a(t) = R4 , ϕ(t) = ωt = π2
3R
πR
neuer Start: tS = 4v
, tM = 4v
> tS → OK
0
0
Welche Kurve beschreibt S zunächst Einsetzen von (54) in (53)
y x = − R4 sin (ωt) cos (ωt) = − R8 sin (2ωt), y = − R4 sin2 (ωt) = − R8 +
x2 + (y + R8 )2 = ( R8 )2 ), Kreis M (0, − R8 )
148
(54)
R
8
cos (2ωt)

MaI/II-Mathematik

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