Mengenlehre: Schnittmenge

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Mengenlehre: Schnittmenge
Mengenlehre: Schnittmenge
A, B seien Mengen. Der Durchschnitt von A und B (Bezeichnung:
A ∩ B) ( ist die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch in
B enthalten sind.)
Mengenlehre: Schnittmenge
A, B seien Mengen. Der Durchschnitt von A und B (Bezeichnung:
A ∩ B) ( ist die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch in
B enthalten sind.)
Menge A
1
2
a
d
a
b
3 c
Menge B
e
b
c
f
Mengenlehre: Schnittmenge
A, B seien Mengen. Der Durchschnitt von A und B (Bezeichnung:
A ∩ B) ( ist die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch in
B enthalten sind.)
Menge B
Menge A
1
2
a
d
a
b
e
b
3 c
c
a
c
b
Schnittmenge
f
Mengenlehre: Schnittmenge
A, B seien Mengen. Der Durchschnitt von A und B (Bezeichnung:
A ∩ B) ( ist die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch in
B enthalten sind.)
A
Menge
1
2
3
a
d
b
c
e
f
Mengenlehre: Schnittmenge
A, B seien Mengen. Der Durchschnitt von A und B (Bezeichnung:
A ∩ B) ( ist die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch in
B enthalten sind.)
Menge
1
2
3
B
a
d
b
c
e
f
Mengenlehre: Schnittmenge
A, B seien Mengen. Der Durchschnitt von A und B (Bezeichnung:
A ∩ B) ( ist die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch in
B enthalten sind.)
1
2
3
a
d
b
c
e
Schnittmenge
f
Schnittmenge von mehreren Mengen
,
Schnittmenge von mehreren Mengen
Gegeben ist eine Menge M von Mengen.
,
Schnittmenge von mehreren Mengen
Gegeben ist eine Menge M von Mengen. Die Schnittmenge
,
Schnittmenge von mehreren Mengen
Gegeben ist eine Menge M von Mengen. Die Schnittmenge
die Menge
,
von M ist
Schnittmenge von mehreren Mengen
Gegeben istTeine Menge M von Mengen. Die Schnittmenge
die Menge M∈M M
,
von M ist
Schnittmenge von mehreren Mengen
Gegeben istTeine Menge M von Mengen. Die Schnittmenge von M ist
die Menge M∈M M der Elemente, die in jedem Element von M
enthalten sind:
A
e
c
C
b
f
a
A = {e, c}
,
B
Schnittmenge von mehreren Mengen
Gegeben istTeine Menge M von Mengen. Die Schnittmenge von M ist
die Menge M∈M
TM der Elemente, die in jedem Element von M
enthalten sind: M∈M M := {a | für alle M ∈ M gilt a ∈ M. }
A
e
c
C
b
f
a
A = {e, c}
B = {e, c, f }
,
B
Schnittmenge von mehreren Mengen
Gegeben istTeine Menge M von Mengen. Die Schnittmenge von M ist
die Menge M∈M
TM der Elemente, die in jedem Element von M
enthalten sind: M∈M M := {a | für alle M ∈ M gilt a ∈ M. }
A
e
c
C
b
a
A = {e, c}
B = {e, c, f } C = {a, b, c}
,
f
B
Schnittmenge von mehreren Mengen
Gegeben istTeine Menge M von Mengen. Die Schnittmenge von M ist
die Menge M∈M
TM der Elemente, die in jedem Element von M
enthalten sind: M∈M M := {a | für alle M ∈ M gilt a ∈ M. }
A
e
c
C
b
a
A = {e, c}
f
B
B = {e, c, f } C = {a, b, c} Falls M := {A, B, C }
,
Schnittmenge von mehreren Mengen
Gegeben istTeine Menge M von Mengen. Die Schnittmenge von M ist
die Menge M∈M
TM der Elemente, die in jedem Element von M
enthalten sind: M∈M M := {a | für alle M ∈ M gilt a ∈ M. }
A
e
c
C
b
a
f
B
A = {e, c} B = {e, c, f } C = {a, b, c} Falls M := {A, B, C }
= {{e, c}, {e, c, f }, {a, b, c}},
Schnittmenge von mehreren Mengen
Gegeben istTeine Menge M von Mengen. Die Schnittmenge von M ist
die Menge M∈M
TM der Elemente, die in jedem Element von M
enthalten sind: M∈M M := {a | für alle M ∈ M gilt a ∈ M. }
A
e
c
C
b
a
f
B
A = {e, c} B = {e, c, f } C = {a,
T b, c} Falls M := {A, B, C }
= {{e, c}, {e, c, f }, {a, b, c}}, ist M∈M M = {c}
Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G , ·).
Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G , ·). Dann ist
die Schnittmenge
\
U
U∈U
auch eine Untergruppe.
Bsp: 2Z ∩ 3Z =
Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G , ·). Dann ist
die Schnittmenge
\
U
U∈U
auch eine Untergruppe.
Bsp: 2Z ∩ 3Z = {n | 2 teilt n und 3 teilt n} =
Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G , ·). Dann ist
die Schnittmenge
\
U
U∈U
auch eine Untergruppe.
Bsp: 2Z ∩ 3Z = {n | 2 teilt n und 3 teilt n} = {n | 6 teilt n} ist eine
Untergruppe.
Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G , ·). Dann ist
die Schnittmenge
\
U
U∈U
auch eine Untergruppe.
Bsp: 2Z ∩ 3Z = {n | 2 teilt n und 3 teilt n} = {n | 6 teilt n} ist eine
Untergruppe.
Beweis. Z.z.:
Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G , ·). Dann ist
die Schnittmenge
\
U
U∈U
auch eine Untergruppe.
Bsp: 2Z ∩ 3Z = {n | 2 teilt n und 3 teilt n} = {n | 6 teilt n} ist eine
Untergruppe.
Beweis. Z.z.:
T
(a) U∈U U 6= ∅.
Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G , ·). Dann ist
die Schnittmenge
\
U
U∈U
auch eine Untergruppe.
Bsp: 2Z ∩ 3Z = {n | 2 teilt n und 3 teilt n} = {n | 6 teilt n} ist eine
Untergruppe.
Beweis. Z.z.:
T
(a) U∈U U 6= ∅.
T
(b) u, v ∈ U∈U U
Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G , ·). Dann ist
die Schnittmenge
\
U
U∈U
auch eine Untergruppe.
Bsp: 2Z ∩ 3Z = {n | 2 teilt n und 3 teilt n} = {n | 6 teilt n} ist eine
Untergruppe.
Beweis. Z.z.:
T
(a) U∈U U 6= ∅.
T
(b) u, v ∈ U∈U U ⇒
Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G , ·). Dann ist
die Schnittmenge
\
U
U∈U
auch eine Untergruppe.
Bsp: 2Z ∩ 3Z = {n | 2 teilt n und 3 teilt n} = {n | 6 teilt n} ist eine
Untergruppe.
Beweis. Z.z.:
T
(a) U∈U U 6= ∅.
T
T
(b) u, v ∈ U∈U U ⇒ uv ∈ U∈U U
Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G , ·). Dann ist
die Schnittmenge
\
U
U∈U
auch eine Untergruppe.
Bsp: 2Z ∩ 3Z = {n | 2 teilt n und 3 teilt n} = {n | 6 teilt n} ist eine
Untergruppe.
Beweis. Z.z.:
T
(a) U∈U U 6= ∅.
T
T
(b) u, v ∈ U∈U U ⇒ uv ∈ U∈U U
T
(c) u ∈ U∈U U
Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G , ·). Dann ist
die Schnittmenge
\
U
U∈U
auch eine Untergruppe.
Bsp: 2Z ∩ 3Z = {n | 2 teilt n und 3 teilt n} = {n | 6 teilt n} ist eine
Untergruppe.
Beweis. Z.z.:
T
(a) U∈U U 6= ∅.
T
T
(b) u, v ∈ U∈U U ⇒ uv ∈ U∈U U
T
(c) u ∈ U∈U U ⇒
Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G , ·). Dann ist
die Schnittmenge
\
U
U∈U
auch eine Untergruppe.
Bsp: 2Z ∩ 3Z = {n | 2 teilt n und 3 teilt n} = {n | 6 teilt n} ist eine
Untergruppe.
Beweis. Z.z.:
T
(a) U∈U U 6= ∅.
T
T
(b) u, v ∈ U∈U U ⇒ uv ∈ U∈U U
T
T
(c) u ∈ U∈U U ⇒ u −1 ∈ U∈U U.
Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G , ·). Dann ist
die Schnittmenge
\
U
U∈U
auch eine Untergruppe.
Bsp: 2Z ∩ 3Z = {n | 2 teilt n und 3 teilt n} = {n | 6 teilt n} ist eine
Untergruppe.
Beweis. Z.z.:
T
(a) U∈U U 6= ∅.
T
T
(b) u, v ∈ U∈U U ⇒ uv ∈ U∈U U
T
T
(c) u ∈ U∈U U ⇒ u −1 ∈ U∈U U.
(a)
Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G , ·). Dann ist
die Schnittmenge
\
U
U∈U
auch eine Untergruppe.
Bsp: 2Z ∩ 3Z = {n | 2 teilt n und 3 teilt n} = {n | 6 teilt n} ist eine
Untergruppe.
Beweis. Z.z.:
T
(a) U∈U U 6= ∅.
T
T
(b) u, v ∈ U∈U U ⇒ uv ∈ U∈U U
T
T
(c) u ∈ U∈U U ⇒ u −1 ∈ U∈U U.
T
U 6= ∅, weil e in allen Untergruppen liegt.
(a)
U∈U
Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G , ·). Dann ist
die Schnittmenge
\
U
U∈U
auch eine Untergruppe.
Bsp: 2Z ∩ 3Z = {n | 2 teilt n und 3 teilt n} = {n | 6 teilt n} ist eine
Untergruppe.
Beweis. Z.z.:
T
(a) U∈U U 6= ∅.
T
T
(b) u, v ∈ U∈U U ⇒ uv ∈ U∈U U
T
T
(c) u ∈ U∈U U ⇒ u −1 ∈ U∈U U.
T
U 6= ∅, weil e in allen Untergruppen liegt.
(a)
U∈U
(b): Angennomen u, v ∈ U ∈ U
Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G , ·). Dann ist
die Schnittmenge
\
U
U∈U
auch eine Untergruppe.
Bsp: 2Z ∩ 3Z = {n | 2 teilt n und 3 teilt n} = {n | 6 teilt n} ist eine
Untergruppe.
Beweis. Z.z.:
T
(a) U∈U U 6= ∅.
T
T
(b) u, v ∈ U∈U U ⇒ uv ∈ U∈U U
T
T
(c) u ∈ U∈U U ⇒ u −1 ∈ U∈U U.
T
U 6= ∅, weil e in allen Untergruppen liegt.
(a)
U∈U
(b): Angennomen u, v ∈ U ∈ U ⇒ uv ∈ U
Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G , ·). Dann ist
die Schnittmenge
\
U
U∈U
auch eine Untergruppe.
Bsp: 2Z ∩ 3Z = {n | 2 teilt n und 3 teilt n} = {n | 6 teilt n} ist eine
Untergruppe.
Beweis. Z.z.:
T
(a) U∈U U 6= ∅.
T
T
(b) u, v ∈ U∈U U ⇒ uv ∈ U∈U U
T
T
(c) u ∈ U∈U U ⇒ u −1 ∈ U∈U U.
T
U 6= ∅, weil e in allen Untergruppen liegt.
(a)
U∈U
(b): Angennomen u, v ∈ U ∈ U ⇒ uv ∈ U (Abgeschlossenheit von U
bzg. · “).
”
Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G , ·). Dann ist
die Schnittmenge
\
U
U∈U
auch eine Untergruppe.
Bsp: 2Z ∩ 3Z = {n | 2 teilt n und 3 teilt n} = {n | 6 teilt n} ist eine
Untergruppe.
Beweis. Z.z.:
T
(a) U∈U U 6= ∅.
T
T
(b) u, v ∈ U∈U U ⇒ uv ∈ U∈U U
T
T
(c) u ∈ U∈U U ⇒ u −1 ∈ U∈U U.
T
U 6= ∅, weil e in allen Untergruppen liegt.
(a)
U∈U
(b): Angennomen u, v ∈ U ∈ U ⇒ uv ∈ U (Abgeschlossenheit von U
bzg. · “). Also uv liegt in jedem Element von U,
”
Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G , ·). Dann ist
die Schnittmenge
\
U
U∈U
auch eine Untergruppe.
Bsp: 2Z ∩ 3Z = {n | 2 teilt n und 3 teilt n} = {n | 6 teilt n} ist eine
Untergruppe.
Beweis. Z.z.:
T
(a) U∈U U 6= ∅.
T
T
(b) u, v ∈ U∈U U ⇒ uv ∈ U∈U U
T
T
(c) u ∈ U∈U U ⇒ u −1 ∈ U∈U U.
T
U 6= ∅, weil e in allen Untergruppen liegt.
(a)
U∈U
(b): Angennomen u, v ∈ U ∈ U ⇒ uv ∈ U (Abgeschlossenheit
T von U
bzg. · “). Also uv liegt in jedem Element von U, also uv ∈ U∈U U.
”
Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G , ·). Dann ist
die Schnittmenge
\
U
U∈U
auch eine Untergruppe.
Bsp: 2Z ∩ 3Z = {n | 2 teilt n und 3 teilt n} = {n | 6 teilt n} ist eine
Untergruppe.
Beweis. Z.z.:
T
(a) U∈U U 6= ∅.
T
T
(b) u, v ∈ U∈U U ⇒ uv ∈ U∈U U
T
T
(c) u ∈ U∈U U ⇒ u −1 ∈ U∈U U.
T
U 6= ∅, weil e in allen Untergruppen liegt.
(a)
U∈U
(b): Angennomen u, v ∈ U ∈ U ⇒ uv ∈ U (Abgeschlossenheit
T von U
bzg. · “). Also uv liegt in jedem Element von U, also uv ∈ U∈U U.
”
(c): Angenommen u ∈ U ∈ U,
Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G , ·). Dann ist
die Schnittmenge
\
U
U∈U
auch eine Untergruppe.
Bsp: 2Z ∩ 3Z = {n | 2 teilt n und 3 teilt n} = {n | 6 teilt n} ist eine
Untergruppe.
Beweis. Z.z.:
T
(a) U∈U U 6= ∅.
T
T
(b) u, v ∈ U∈U U ⇒ uv ∈ U∈U U
T
T
(c) u ∈ U∈U U ⇒ u −1 ∈ U∈U U.
T
U 6= ∅, weil e in allen Untergruppen liegt.
(a)
U∈U
(b): Angennomen u, v ∈ U ∈ U ⇒ uv ∈ U (Abgeschlossenheit
T von U
bzg. · “). Also uv liegt in jedem Element von U, also uv ∈ U∈U U.
”
(c): Angenommen u ∈ U ∈ U, ⇒ u −1 ∈ U (Abgeschlossenheit von U
bzg. invertieren).
Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G , ·). Dann ist
die Schnittmenge
\
U
U∈U
auch eine Untergruppe.
Bsp: 2Z ∩ 3Z = {n | 2 teilt n und 3 teilt n} = {n | 6 teilt n} ist eine
Untergruppe.
Beweis. Z.z.:
T
(a) U∈U U 6= ∅.
T
T
(b) u, v ∈ U∈U U ⇒ uv ∈ U∈U U
T
T
(c) u ∈ U∈U U ⇒ u −1 ∈ U∈U U.
T
U 6= ∅, weil e in allen Untergruppen liegt.
(a)
U∈U
(b): Angennomen u, v ∈ U ∈ U ⇒ uv ∈ U (Abgeschlossenheit
T von U
bzg. · “). Also uv liegt in jedem Element von U, also uv ∈ U∈U U.
”
(c): Angenommen u ∈ U ∈ U, ⇒ u −1 ∈ U (Abgeschlossenheit von U
bzg. invertieren).
Also u −1 liegt in jedem Element von U,
Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G , ·). Dann ist
die Schnittmenge
\
U
U∈U
auch eine Untergruppe.
Bsp: 2Z ∩ 3Z = {n | 2 teilt n und 3 teilt n} = {n | 6 teilt n} ist eine
Untergruppe.
Beweis. Z.z.:
T
(a) U∈U U 6= ∅.
T
T
(b) u, v ∈ U∈U U ⇒ uv ∈ U∈U U
T
T
(c) u ∈ U∈U U ⇒ u −1 ∈ U∈U U.
T
U 6= ∅, weil e in allen Untergruppen liegt.
(a)
U∈U
(b): Angennomen u, v ∈ U ∈ U ⇒ uv ∈ U (Abgeschlossenheit
T von U
bzg. · “). Also uv liegt in jedem Element von U, also uv ∈ U∈U U.
”
(c): Angenommen u ∈ U ∈ U, ⇒ u −1 ∈ U (Abgeschlossenheit von U
bzg. invertieren).
T
Also u −1 liegt in jedem Element von U, =⇒ u −1 ∈ U∈U U.
Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G , ·). Dann ist
die Schnittmenge
\
U
U∈U
auch eine Untergruppe.
Bsp: 2Z ∩ 3Z = {n | 2 teilt n und 3 teilt n} = {n | 6 teilt n} ist eine
Untergruppe.
Beweis. Z.z.:
T
(a) U∈U U 6= ∅.
T
T
(b) u, v ∈ U∈U U ⇒ uv ∈ U∈U U
T
T
(c) u ∈ U∈U U ⇒ u −1 ∈ U∈U U.
T
U 6= ∅, weil e in allen Untergruppen liegt.
(a)
U∈U
(b): Angennomen u, v ∈ U ∈ U ⇒ uv ∈ U (Abgeschlossenheit
T von U
bzg. · “). Also uv liegt in jedem Element von U, also uv ∈ U∈U U.
”
(c): Angenommen u ∈ U ∈ U, ⇒ u −1 ∈ U (Abgeschlossenheit von U
bzg. invertieren).
T
Also u −1 liegt in jedem Element von U, =⇒ u −1 ∈ U∈U U.
Homo- und Isomorphismus
Homo- und Isomorphismus
Def. 5
Homo- und Isomorphismus
Def. 5 Seien (G , ·) und (H, ◦) Gruppe. Die Abbildung φ : G → H
heißt ein Homomorphismus, falls ∀a, b ∈ G gilt φ(a · b) = φ(a) ◦ φ(b).
Homo- und Isomorphismus
Def. 5 Seien (G , ·) und (H, ◦) Gruppe. Die Abbildung φ : G → H
heißt ein Homomorphismus, falls ∀a, b ∈ G gilt φ(a · b) = φ(a) ◦ φ(b).
Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus.
Jargon: φ erhält Multiplikation.
Homo- und Isomorphismus
Def. 5 Seien (G , ·) und (H, ◦) Gruppe. Die Abbildung φ : G → H
heißt ein Homomorphismus, falls ∀a, b ∈ G gilt φ(a · b) = φ(a) ◦ φ(b).
Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus.
Jargon: φ erhält Multiplikation.
Z , φ(k) = k3 ist ein Isomorphismus.
Bsp: φ : |{z}
3Z → |{z}
G
H
Homo- und Isomorphismus
Def. 5 Seien (G , ·) und (H, ◦) Gruppe. Die Abbildung φ : G → H
heißt ein Homomorphismus, falls ∀a, b ∈ G gilt φ(a · b) = φ(a) ◦ φ(b).
Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus.
Jargon: φ erhält Multiplikation.
Z , φ(k) = k3 ist ein Isomorphismus. Tatsächlich,
Bsp: φ : |{z}
3Z → |{z}
G
H
Homo- und Isomorphismus
Def. 5 Seien (G , ·) und (H, ◦) Gruppe. Die Abbildung φ : G → H
heißt ein Homomorphismus, falls ∀a, b ∈ G gilt φ(a · b) = φ(a) ◦ φ(b).
Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus.
Jargon: φ erhält Multiplikation.
Z , φ(k) = k3 ist ein Isomorphismus. Tatsächlich,
Bsp: φ : |{z}
3Z → |{z}
H
G
φ(k) + φ(m) =
k
3
+
m
3
=
k+m
3
= φ(k + m).
Homo- und Isomorphismus
Def. 5 Seien (G , ·) und (H, ◦) Gruppe. Die Abbildung φ : G → H
heißt ein Homomorphismus, falls ∀a, b ∈ G gilt φ(a · b) = φ(a) ◦ φ(b).
Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus.
Jargon: φ erhält Multiplikation.
Z , φ(k) = k3 ist ein Isomorphismus. Tatsächlich,
Bsp: φ : |{z}
3Z → |{z}
G
H
φ(k) + φ(m) = k3 +
φ ist eine Bijektion.
Bsp:
m
3
=
k+m
3
= φ(k + m).
Homo- und Isomorphismus
Def. 5 Seien (G , ·) und (H, ◦) Gruppe. Die Abbildung φ : G → H
heißt ein Homomorphismus, falls ∀a, b ∈ G gilt φ(a · b) = φ(a) ◦ φ(b).
Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus.
Jargon: φ erhält Multiplikation.
Z , φ(k) = k3 ist ein Isomorphismus. Tatsächlich,
Bsp: φ : |{z}
3Z → |{z}
G
H
φ(k) + φ(m) = k3 +
φ ist eine Bijektion.
Bsp: ψ : Z →
m
3
=
Z2
|{z}
k+m
3
Aus Vorlesung 3
,
= φ(k + m).
Homo- und Isomorphismus
Def. 5 Seien (G , ·) und (H, ◦) Gruppe. Die Abbildung φ : G → H
heißt ein Homomorphismus, falls ∀a, b ∈ G gilt φ(a · b) = φ(a) ◦ φ(b).
Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus.
Jargon: φ erhält Multiplikation.
Z , φ(k) = k3 ist ein Isomorphismus. Tatsächlich,
Bsp: φ : |{z}
3Z → |{z}
G
H
φ(k) + φ(m) = k3 +
φ ist eine Bijektion.
Bsp: ψ : Z →
m
3
=
Z2
|{z}
k+m
3
Aus Vorlesung 3
= φ(k + m).
, ψ(k) =
e
a
falls k gerade
falls k ungerade
Homo- und Isomorphismus
Def. 5 Seien (G , ·) und (H, ◦) Gruppe. Die Abbildung φ : G → H
heißt ein Homomorphismus, falls ∀a, b ∈ G gilt φ(a · b) = φ(a) ◦ φ(b).
Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus.
Jargon: φ erhält Multiplikation.
Z , φ(k) = k3 ist ein Isomorphismus. Tatsächlich,
Bsp: φ : |{z}
3Z → |{z}
G
H
φ(k) + φ(m) = k3 +
φ ist eine Bijektion.
Bsp: ψ : Z →
m
3
=
Z2
|{z}
k+m
3
Aus Vorlesung 3
ist ein Homomorphismus.
Triviales Bsp:
= φ(k + m).
, ψ(k) =
e
a
falls k gerade
falls k ungerade
Homo- und Isomorphismus
Def. 5 Seien (G , ·) und (H, ◦) Gruppe. Die Abbildung φ : G → H
heißt ein Homomorphismus, falls ∀a, b ∈ G gilt φ(a · b) = φ(a) ◦ φ(b).
Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus.
Jargon: φ erhält Multiplikation.
Z , φ(k) = k3 ist ein Isomorphismus. Tatsächlich,
Bsp: φ : |{z}
3Z → |{z}
G
H
φ(k) + φ(m) = k3 +
φ ist eine Bijektion.
Bsp: ψ : Z →
m
3
=
Z2
|{z}
k+m
3
= φ(k + m).
, ψ(k) =
e
a
falls k gerade
falls k ungerade
Aus Vorlesung 3
ist ein Homomorphismus.
Triviales Bsp: Für alle Gruppen (G , ·) und (H, ◦) ist
Homo- und Isomorphismus
Def. 5 Seien (G , ·) und (H, ◦) Gruppe. Die Abbildung φ : G → H
heißt ein Homomorphismus, falls ∀a, b ∈ G gilt φ(a · b) = φ(a) ◦ φ(b).
Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus.
Jargon: φ erhält Multiplikation.
Z , φ(k) = k3 ist ein Isomorphismus. Tatsächlich,
Bsp: φ : |{z}
3Z → |{z}
G
H
φ(k) + φ(m) = k3 +
φ ist eine Bijektion.
Bsp: ψ : Z →
m
3
=
Z2
|{z}
k+m
3
= φ(k + m).
, ψ(k) =
e
a
falls k gerade
falls k ungerade
Aus Vorlesung 3
ist ein Homomorphismus.
Triviales Bsp: Für alle Gruppen (G , ·) und (H, ◦) ist
τ : G → H, τ (a) = e ein Homomophismus.
Homo- und Isomorphismus
Def. 5 Seien (G , ·) und (H, ◦) Gruppe. Die Abbildung φ : G → H
heißt ein Homomorphismus, falls ∀a, b ∈ G gilt φ(a · b) = φ(a) ◦ φ(b).
Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus.
Jargon: φ erhält Multiplikation.
Z , φ(k) = k3 ist ein Isomorphismus. Tatsächlich,
Bsp: φ : |{z}
3Z → |{z}
G
H
φ(k) + φ(m) = k3 +
φ ist eine Bijektion.
Bsp: ψ : Z →
m
3
=
Z2
|{z}
k+m
3
= φ(k + m).
, ψ(k) =
e
a
falls k gerade
falls k ungerade
Aus Vorlesung 3
ist ein Homomorphismus.
Triviales Bsp: Für alle Gruppen (G , ·) und (H, ◦) ist
τ : G → H, τ (a) = e ein Homomophismus.
Informal: für uns sind zwei Isomorphen
Gruppen gleich
Satz
Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element eG bzw. eH .
Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element eG bzw. eH . Sei
φ : G → H ein Homomorphismus.
Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element eG bzw. eH . Sei
φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
(a) φ(eG ) = eH
Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element eG bzw. eH . Sei
φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
(a) φ(eG ) = eH ,
(b) ∀ g ∈ G gilt
Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element eG bzw. eH . Sei
φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
−1
(a) φ(eG ) = eH ,
(b) ∀ g ∈ G gilt φ(g −1 ) = (φ(g ))
(c) Ist φ Isomorphismus,
Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element eG bzw. eH . Sei
φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
−1
(a) φ(eG ) = eH ,
(b) ∀ g ∈ G gilt φ(g −1 ) = (φ(g ))
(c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ−1 : H → G ebenfalls ein
Isomomorphismus.
Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element eG bzw. eH . Sei
φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
−1
(a) φ(eG ) = eH ,
(b) ∀ g ∈ G gilt φ(g −1 ) = (φ(g ))
(c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ−1 : H → G ebenfalls ein
Isomomorphismus.
Beweis: (a): φ(eG ) =
Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element eG bzw. eH . Sei
φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
−1
(a) φ(eG ) = eH ,
(b) ∀ g ∈ G gilt φ(g −1 ) = (φ(g ))
(c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ−1 : H → G ebenfalls ein
Isomomorphismus.
Beweis: (a): φ(eG ) = φ(eG · eG ) =
Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element eG bzw. eH . Sei
φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
−1
(a) φ(eG ) = eH ,
(b) ∀ g ∈ G gilt φ(g −1 ) = (φ(g ))
(c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ−1 : H → G ebenfalls ein
Isomomorphismus.
Beweis: (a): φ(eG ) = φ(eG · eG ) = φ(eG ) ◦ φ(eG ).
=⇒ eH
Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element eG bzw. eH . Sei
φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
−1
(a) φ(eG ) = eH ,
(b) ∀ g ∈ G gilt φ(g −1 ) = (φ(g ))
(c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ−1 : H → G ebenfalls ein
Isomomorphismus.
Beweis: (a): φ(eG ) = φ(eG · eG ) = φ(eG ) ◦ φ(eG ).
−1
=⇒ eH = (φ(eG )) ◦ φ(eG )
Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element eG bzw. eH . Sei
φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
−1
(a) φ(eG ) = eH ,
(b) ∀ g ∈ G gilt φ(g −1 ) = (φ(g ))
(c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ−1 : H → G ebenfalls ein
Isomomorphismus.
Beweis: (a): φ(eG ) = φ(eG · eG ) = φ(eG ) ◦ φ(eG ).
−1
−1
=⇒ eH = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) ◦φ(eG )
|
{z
}
eH
Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element eG bzw. eH . Sei
φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
−1
(a) φ(eG ) = eH ,
(b) ∀ g ∈ G gilt φ(g −1 ) = (φ(g ))
(c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ−1 : H → G ebenfalls ein
Isomomorphismus.
Beweis: (a): φ(eG ) = φ(eG · eG ) = φ(eG ) ◦ φ(eG ).
−1
−1
=⇒ eH = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) ◦φ(eG ) = φ(eG ).
|
{z
}
eH
(b) : Sei g ∈ G .
Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element eG bzw. eH . Sei
φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
−1
(a) φ(eG ) = eH ,
(b) ∀ g ∈ G gilt φ(g −1 ) = (φ(g ))
(c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ−1 : H → G ebenfalls ein
Isomomorphismus.
Beweis: (a): φ(eG ) = φ(eG · eG ) = φ(eG ) ◦ φ(eG ).
−1
−1
=⇒ eH = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) ◦φ(eG ) = φ(eG ).
|
{z
}
eH
(b) : Sei g ∈ G . Es ist φ(g
−1
) ◦ φ(g ) =
Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element eG bzw. eH . Sei
φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
−1
(a) φ(eG ) = eH ,
(b) ∀ g ∈ G gilt φ(g −1 ) = (φ(g ))
(c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ−1 : H → G ebenfalls ein
Isomomorphismus.
Beweis: (a): φ(eG ) = φ(eG · eG ) = φ(eG ) ◦ φ(eG ).
−1
−1
=⇒ eH = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) ◦φ(eG ) = φ(eG ).
|
{z
}
eH
(b) : Sei g ∈ G . Es ist φ(g
−1
) ◦ φ(g ) = φ(g −1 · g ) =
Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element eG bzw. eH . Sei
φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
−1
(a) φ(eG ) = eH ,
(b) ∀ g ∈ G gilt φ(g −1 ) = (φ(g ))
(c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ−1 : H → G ebenfalls ein
Isomomorphismus.
Beweis: (a): φ(eG ) = φ(eG · eG ) = φ(eG ) ◦ φ(eG ).
−1
−1
=⇒ eH = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) ◦φ(eG ) = φ(eG ).
|
{z
}
eH
(b) : Sei g ∈ G . Es ist φ(g
−1
(a)
) ◦ φ(g ) = φ(g −1 · g ) = φ(eG ) =
Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element eG bzw. eH . Sei
φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
−1
(a) φ(eG ) = eH ,
(b) ∀ g ∈ G gilt φ(g −1 ) = (φ(g ))
(c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ−1 : H → G ebenfalls ein
Isomomorphismus.
Beweis: (a): φ(eG ) = φ(eG · eG ) = φ(eG ) ◦ φ(eG ).
−1
−1
=⇒ eH = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) ◦φ(eG ) = φ(eG ).
|
{z
}
eH
(b) : Sei g ∈ G . Es ist φ(g
−1
(a)
) ◦ φ(g ) = φ(g −1 · g ) = φ(eG ) = eH ,
Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element eG bzw. eH . Sei
φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
−1
(a) φ(eG ) = eH ,
(b) ∀ g ∈ G gilt φ(g −1 ) = (φ(g ))
(c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ−1 : H → G ebenfalls ein
Isomomorphismus.
Beweis: (a): φ(eG ) = φ(eG · eG ) = φ(eG ) ◦ φ(eG ).
−1
−1
=⇒ eH = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) ◦φ(eG ) = φ(eG ).
|
{z
}
eH
(b) : Sei g ∈ G . Es ist φ(g
=⇒
−1
(a)
) ◦ φ(g ) = φ(g −1 · g ) = φ(eG ) = eH ,
Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element eG bzw. eH . Sei
φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
−1
(a) φ(eG ) = eH ,
(b) ∀ g ∈ G gilt φ(g −1 ) = (φ(g ))
(c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ−1 : H → G ebenfalls ein
Isomomorphismus.
Beweis: (a): φ(eG ) = φ(eG · eG ) = φ(eG ) ◦ φ(eG ).
−1
−1
=⇒ eH = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) ◦φ(eG ) = φ(eG ).
|
{z
}
eH
(b) : Sei g ∈ G . Es ist φ(g
−1
=⇒ φ(g −1 ) = (φ(g )) .
−1
(a)
) ◦ φ(g ) = φ(g −1 · g ) = φ(eG ) = eH ,
Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element eG bzw. eH . Sei
φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
−1
(a) φ(eG ) = eH ,
(b) ∀ g ∈ G gilt φ(g −1 ) = (φ(g ))
(c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ−1 : H → G ebenfalls ein
Isomomorphismus.
Beweis: (a): φ(eG ) = φ(eG · eG ) = φ(eG ) ◦ φ(eG ).
−1
−1
=⇒ eH = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) ◦φ(eG ) = φ(eG ).
|
{z
}
eH
−1
(a)
(b) : Sei g ∈ G . Es ist φ(g ) ◦ φ(g ) = φ(g −1 · g ) = φ(eG ) = eH ,
−1
=⇒ φ(g −1 ) = (φ(g )) . (c) Seien h, h′ ∈ H.
Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element eG bzw. eH . Sei
φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
−1
(a) φ(eG ) = eH ,
(b) ∀ g ∈ G gilt φ(g −1 ) = (φ(g ))
(c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ−1 : H → G ebenfalls ein
Isomomorphismus.
Beweis: (a): φ(eG ) = φ(eG · eG ) = φ(eG ) ◦ φ(eG ).
−1
−1
=⇒ eH = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) ◦φ(eG ) = φ(eG ).
|
{z
}
eH
−1
(a)
(b) : Sei g ∈ G . Es ist φ(g ) ◦ φ(g ) = φ(g −1 · g ) = φ(eG ) = eH ,
−1
=⇒ φ(g −1 ) = (φ(g )) . (c) Seien h, h′ ∈ H. Nun
−1
−1 ′
φ (h) · φ (h ) =
Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element eG bzw. eH . Sei
φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
−1
(a) φ(eG ) = eH ,
(b) ∀ g ∈ G gilt φ(g −1 ) = (φ(g ))
(c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ−1 : H → G ebenfalls ein
Isomomorphismus.
Beweis: (a): φ(eG ) = φ(eG · eG ) = φ(eG ) ◦ φ(eG ).
−1
−1
=⇒ eH = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) ◦φ(eG ) = φ(eG ).
|
{z
}
eH
−1
(a)
(b) : Sei g ∈ G . Es ist φ(g ) ◦ φ(g ) = φ(g −1 · g ) = φ(eG ) = eH ,
−1
=⇒ φ(g −1 ) = (φ(g )) . (c) Seien h, h′ ∈ H. Nun
−1
−1 ′
φ (h) · φ (h ) = φ−1 φ φ−1 (h) · φ−1 (h′ )
Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element eG bzw. eH . Sei
φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
−1
(a) φ(eG ) = eH ,
(b) ∀ g ∈ G gilt φ(g −1 ) = (φ(g ))
(c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ−1 : H → G ebenfalls ein
Isomomorphismus.
Beweis: (a): φ(eG ) = φ(eG · eG ) = φ(eG ) ◦ φ(eG ).
−1
−1
=⇒ eH = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) ◦φ(eG ) = φ(eG ).
|
{z
}
eH
−1
(a)
(b) : Sei g ∈ G . Es ist φ(g ) ◦ φ(g ) = φ(g −1 · g ) = φ(eG ) = eH ,
−1
=⇒ φ(g −1 ) = (φ(g )) . (c) Seien h, h′ ∈ H. Nun
−1
−1 ′
φ (h) · φ (h ) = φ−1 φ φ−1 (h) · φ−1 (h′ )
= φ−1 φ φ−1 (h) ◦ φ φ−1 (h′ )
=
Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element eG bzw. eH . Sei
φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
−1
(a) φ(eG ) = eH ,
(b) ∀ g ∈ G gilt φ(g −1 ) = (φ(g ))
(c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ−1 : H → G ebenfalls ein
Isomomorphismus.
Beweis: (a): φ(eG ) = φ(eG · eG ) = φ(eG ) ◦ φ(eG ).
−1
−1
=⇒ eH = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) ◦φ(eG ) = φ(eG ).
|
{z
}
eH
−1
(a)
(b) : Sei g ∈ G . Es ist φ(g ) ◦ φ(g ) = φ(g −1 · g ) = φ(eG ) = eH ,
−1
=⇒ φ(g −1 ) = (φ(g )) . (c) Seien h, h′ ∈ H. Nun
−1
−1 ′
φ (h) · φ (h ) = φ−1 φ φ−1 (h) · φ−1 (h′ )
= φ−1 φ φ−1 (h) ◦ φ φ−1 (h′ ) .
= φ−1 (h ◦ h′ )
Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element eG bzw. eH . Sei
φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
−1
(a) φ(eG ) = eH ,
(b) ∀ g ∈ G gilt φ(g −1 ) = (φ(g ))
(c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ−1 : H → G ebenfalls ein
Isomomorphismus.
Beweis: (a): φ(eG ) = φ(eG · eG ) = φ(eG ) ◦ φ(eG ).
−1
−1
=⇒ eH = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) ◦φ(eG ) = φ(eG ).
|
{z
}
eH
−1
(a)
(b) : Sei g ∈ G . Es ist φ(g ) ◦ φ(g ) = φ(g −1 · g ) = φ(eG ) = eH ,
−1
=⇒ φ(g −1 ) = (φ(g )) . (c) Seien h, h′ ∈ H. Nun
−1
−1 ′
φ (h) · φ (h ) = φ−1 φ φ−1 (h) · φ−1 (h′ )
= φ−1 φ φ−1 (h) ◦ φ φ−1 (h′ ) .
= φ−1 (h ◦ h′ )
Bsp:
Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element eG bzw. eH . Sei
φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
−1
(a) φ(eG ) = eH ,
(b) ∀ g ∈ G gilt φ(g −1 ) = (φ(g ))
(c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ−1 : H → G ebenfalls ein
Isomomorphismus.
Beweis: (a): φ(eG ) = φ(eG · eG ) = φ(eG ) ◦ φ(eG ).
−1
−1
=⇒ eH = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) ◦φ(eG ) = φ(eG ).
|
{z
}
eH
−1
(a)
(b) : Sei g ∈ G . Es ist φ(g ) ◦ φ(g ) = φ(g −1 · g ) = φ(eG ) = eH ,
−1
=⇒ φ(g −1 ) = (φ(g )) . (c) Seien h, h′ ∈ H. Nun
−1
−1 ′
φ (h) · φ (h ) = φ−1 φ φ−1 (h) · φ−1 (h′ )
= φ−1 φ φ−1 (h) ◦ φ φ−1 (h′ ) .
= φ−1 (h ◦ h′ )
Bsp: φ : R → R>0 ,
Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element eG bzw. eH . Sei
φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
−1
(a) φ(eG ) = eH ,
(b) ∀ g ∈ G gilt φ(g −1 ) = (φ(g ))
(c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ−1 : H → G ebenfalls ein
Isomomorphismus.
Beweis: (a): φ(eG ) = φ(eG · eG ) = φ(eG ) ◦ φ(eG ).
−1
−1
=⇒ eH = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) ◦φ(eG ) = φ(eG ).
|
{z
}
eH
−1
(a)
(b) : Sei g ∈ G . Es ist φ(g ) ◦ φ(g ) = φ(g −1 · g ) = φ(eG ) = eH ,
−1
=⇒ φ(g −1 ) = (φ(g )) . (c) Seien h, h′ ∈ H. Nun
−1
−1 ′
φ (h) · φ (h ) = φ−1 φ φ−1 (h) · φ−1 (h′ )
= φ−1 φ φ−1 (h) ◦ φ φ−1 (h′ ) .
= φ−1 (h ◦ h′ )
Bsp: φ : R → R>0 , φ(x) = e x .
Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element eG bzw. eH . Sei
φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
−1
(a) φ(eG ) = eH ,
(b) ∀ g ∈ G gilt φ(g −1 ) = (φ(g ))
(c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ−1 : H → G ebenfalls ein
Isomomorphismus.
Beweis: (a): φ(eG ) = φ(eG · eG ) = φ(eG ) ◦ φ(eG ).
−1
−1
=⇒ eH = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) ◦φ(eG ) = φ(eG ).
|
{z
}
eH
−1
(a)
(b) : Sei g ∈ G . Es ist φ(g ) ◦ φ(g ) = φ(g −1 · g ) = φ(eG ) = eH ,
−1
=⇒ φ(g −1 ) = (φ(g )) . (c) Seien h, h′ ∈ H. Nun
−1
−1 ′
φ (h) · φ (h ) = φ−1 φ φ−1 (h) · φ−1 (h′ )
= φ−1 φ φ−1 (h) ◦ φ φ−1 (h′ ) .
= φ−1 (h ◦ h′ )
Bsp: φ : R → R>0 , φ(x) = e x . Dann ist e a+b = e a e b ,
Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element eG bzw. eH . Sei
φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
−1
(a) φ(eG ) = eH ,
(b) ∀ g ∈ G gilt φ(g −1 ) = (φ(g ))
(c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ−1 : H → G ebenfalls ein
Isomomorphismus.
Beweis: (a): φ(eG ) = φ(eG · eG ) = φ(eG ) ◦ φ(eG ).
−1
−1
=⇒ eH = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) ◦φ(eG ) = φ(eG ).
|
{z
}
eH
−1
(a)
(b) : Sei g ∈ G . Es ist φ(g ) ◦ φ(g ) = φ(g −1 · g ) = φ(eG ) = eH ,
−1
=⇒ φ(g −1 ) = (φ(g )) . (c) Seien h, h′ ∈ H. Nun
−1
−1 ′
φ (h) · φ (h ) = φ−1 φ φ−1 (h) · φ−1 (h′ )
= φ−1 φ φ−1 (h) ◦ φ φ−1 (h′ ) .
= φ−1 (h ◦ h′ )
Bsp: φ : R → R>0 , φ(x) = e x . Dann ist e a+b = e a e b , also ist die
Exponentialabbildung ein Homomorphismus von (R, +)
Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element eG bzw. eH . Sei
φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
−1
(a) φ(eG ) = eH ,
(b) ∀ g ∈ G gilt φ(g −1 ) = (φ(g ))
(c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ−1 : H → G ebenfalls ein
Isomomorphismus.
Beweis: (a): φ(eG ) = φ(eG · eG ) = φ(eG ) ◦ φ(eG ).
−1
−1
=⇒ eH = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) ◦φ(eG ) = φ(eG ).
|
{z
}
eH
−1
(a)
(b) : Sei g ∈ G . Es ist φ(g ) ◦ φ(g ) = φ(g −1 · g ) = φ(eG ) = eH ,
−1
=⇒ φ(g −1 ) = (φ(g )) . (c) Seien h, h′ ∈ H. Nun
−1
−1 ′
φ (h) · φ (h ) = φ−1 φ φ−1 (h) · φ−1 (h′ )
= φ−1 φ φ−1 (h) ◦ φ φ−1 (h′ ) .
= φ−1 (h ◦ h′ )
Bsp: φ : R → R>0 , φ(x) = e x . Dann ist e a+b = e a e b , also ist die
Exponentialabbildung ein Homomorphismus von (R, +) nach (R>0 , ·)
Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element eG bzw. eH . Sei
φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
−1
(a) φ(eG ) = eH ,
(b) ∀ g ∈ G gilt φ(g −1 ) = (φ(g ))
(c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ−1 : H → G ebenfalls ein
Isomomorphismus.
Beweis: (a): φ(eG ) = φ(eG · eG ) = φ(eG ) ◦ φ(eG ).
−1
−1
=⇒ eH = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) ◦φ(eG ) = φ(eG ).
|
{z
}
eH
−1
(a)
(b) : Sei g ∈ G . Es ist φ(g ) ◦ φ(g ) = φ(g −1 · g ) = φ(eG ) = eH ,
−1
=⇒ φ(g −1 ) = (φ(g )) . (c) Seien h, h′ ∈ H. Nun
−1
−1 ′
φ (h) · φ (h ) = φ−1 φ φ−1 (h) · φ−1 (h′ )
= φ−1 φ φ−1 (h) ◦ φ φ−1 (h′ ) .
= φ−1 (h ◦ h′ )
Bsp: φ : R → R>0 , φ(x) = e x . Dann ist e a+b = e a e b , also ist die
Exponentialabbildung ein Homomorphismus von (R, +) nach (R>0 , ·) .
Wir sehen: (a):
Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element eG bzw. eH . Sei
φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
−1
(a) φ(eG ) = eH ,
(b) ∀ g ∈ G gilt φ(g −1 ) = (φ(g ))
(c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ−1 : H → G ebenfalls ein
Isomomorphismus.
Beweis: (a): φ(eG ) = φ(eG · eG ) = φ(eG ) ◦ φ(eG ).
−1
−1
=⇒ eH = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) ◦φ(eG ) = φ(eG ).
|
{z
}
eH
−1
(a)
(b) : Sei g ∈ G . Es ist φ(g ) ◦ φ(g ) = φ(g −1 · g ) = φ(eG ) = eH ,
−1
=⇒ φ(g −1 ) = (φ(g )) . (c) Seien h, h′ ∈ H. Nun
−1
−1 ′
φ (h) · φ (h ) = φ−1 φ φ−1 (h) · φ−1 (h′ )
= φ−1 φ φ−1 (h) ◦ φ φ−1 (h′ ) .
= φ−1 (h ◦ h′ )
Bsp: φ : R → R>0 , φ(x) = e x . Dann ist e a+b = e a e b , also ist die
Exponentialabbildung ein Homomorphismus von (R, +) nach (R>0 , ·) .
Wir sehen: (a): e 0 = 1, (b):
Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element eG bzw. eH . Sei
φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
−1
(a) φ(eG ) = eH ,
(b) ∀ g ∈ G gilt φ(g −1 ) = (φ(g ))
(c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ−1 : H → G ebenfalls ein
Isomomorphismus.
Beweis: (a): φ(eG ) = φ(eG · eG ) = φ(eG ) ◦ φ(eG ).
−1
−1
=⇒ eH = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) ◦φ(eG ) = φ(eG ).
|
{z
}
eH
−1
(a)
(b) : Sei g ∈ G . Es ist φ(g ) ◦ φ(g ) = φ(g −1 · g ) = φ(eG ) = eH ,
−1
=⇒ φ(g −1 ) = (φ(g )) . (c) Seien h, h′ ∈ H. Nun
−1
−1 ′
φ (h) · φ (h ) = φ−1 φ φ−1 (h) · φ−1 (h′ )
= φ−1 φ φ−1 (h) ◦ φ φ−1 (h′ ) .
= φ−1 (h ◦ h′ )
Bsp: φ : R → R>0 , φ(x) = e x . Dann ist e a+b = e a e b , also ist die
Exponentialabbildung ein Homomorphismus von (R, +) nach (R>0 , ·) .
Wir sehen: (a): e 0 = 1, (b): e −x = 1/e x .
Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element eG bzw. eH . Sei
φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
−1
(a) φ(eG ) = eH ,
(b) ∀ g ∈ G gilt φ(g −1 ) = (φ(g ))
(c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ−1 : H → G ebenfalls ein
Isomomorphismus.
Beweis: (a): φ(eG ) = φ(eG · eG ) = φ(eG ) ◦ φ(eG ).
−1
−1
=⇒ eH = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) ◦φ(eG ) = φ(eG ).
|
{z
}
eH
−1
(a)
(b) : Sei g ∈ G . Es ist φ(g ) ◦ φ(g ) = φ(g −1 · g ) = φ(eG ) = eH ,
−1
=⇒ φ(g −1 ) = (φ(g )) . (c) Seien h, h′ ∈ H. Nun
−1
−1 ′
φ (h) · φ (h ) = φ−1 φ φ−1 (h) · φ−1 (h′ )
= φ−1 φ φ−1 (h) ◦ φ φ−1 (h′ ) .
= φ−1 (h ◦ h′ )
Bsp: φ : R → R>0 , φ(x) = e x . Dann ist e a+b = e a e b , also ist die
Exponentialabbildung ein Homomorphismus von (R, +) nach (R>0 , ·) .
Wir sehen: (a): e 0 = 1, (b): e −x = 1/e x . (c): e x ist bijektiv,
Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element eG bzw. eH . Sei
φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
−1
(a) φ(eG ) = eH ,
(b) ∀ g ∈ G gilt φ(g −1 ) = (φ(g ))
(c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ−1 : H → G ebenfalls ein
Isomomorphismus.
Beweis: (a): φ(eG ) = φ(eG · eG ) = φ(eG ) ◦ φ(eG ).
−1
−1
=⇒ eH = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) ◦φ(eG ) = φ(eG ).
|
{z
}
eH
−1
(a)
(b) : Sei g ∈ G . Es ist φ(g ) ◦ φ(g ) = φ(g −1 · g ) = φ(eG ) = eH ,
−1
=⇒ φ(g −1 ) = (φ(g )) . (c) Seien h, h′ ∈ H. Nun
−1
−1 ′
φ (h) · φ (h ) = φ−1 φ φ−1 (h) · φ−1 (h′ )
= φ−1 φ φ−1 (h) ◦ φ φ−1 (h′ ) .
= φ−1 (h ◦ h′ )
Bsp: φ : R → R>0 , φ(x) = e x . Dann ist e a+b = e a e b , also ist die
Exponentialabbildung ein Homomorphismus von (R, +) nach (R>0 , ·) .
Wir sehen: (a): e 0 = 1, (b): e −x = 1/e x . (c): e x ist bijektiv, also ist
ein Isomorphismus,
Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element eG bzw. eH . Sei
φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
−1
(a) φ(eG ) = eH ,
(b) ∀ g ∈ G gilt φ(g −1 ) = (φ(g ))
(c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ−1 : H → G ebenfalls ein
Isomomorphismus.
Beweis: (a): φ(eG ) = φ(eG · eG ) = φ(eG ) ◦ φ(eG ).
−1
−1
=⇒ eH = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) ◦φ(eG ) = φ(eG ).
|
{z
}
eH
−1
(a)
(b) : Sei g ∈ G . Es ist φ(g ) ◦ φ(g ) = φ(g −1 · g ) = φ(eG ) = eH ,
−1
=⇒ φ(g −1 ) = (φ(g )) . (c) Seien h, h′ ∈ H. Nun
−1
−1 ′
φ (h) · φ (h ) = φ−1 φ φ−1 (h) · φ−1 (h′ )
= φ−1 φ φ−1 (h) ◦ φ φ−1 (h′ ) .
= φ−1 (h ◦ h′ )
Bsp: φ : R → R>0 , φ(x) = e x . Dann ist e a+b = e a e b , also ist die
Exponentialabbildung ein Homomorphismus von (R, +) nach (R>0 , ·) .
Wir sehen: (a): e 0 = 1, (b): e −x = 1/e x . (c): e x ist bijektiv, also ist
ein Isomorphismus, die inverse Abbildung ist log .
Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element eG bzw. eH . Sei
φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
−1
(a) φ(eG ) = eH ,
(b) ∀ g ∈ G gilt φ(g −1 ) = (φ(g ))
(c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ−1 : H → G ebenfalls ein
Isomomorphismus.
Beweis: (a): φ(eG ) = φ(eG · eG ) = φ(eG ) ◦ φ(eG ).
−1
−1
=⇒ eH = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) ◦φ(eG ) = φ(eG ).
|
{z
}
eH
−1
(a)
(b) : Sei g ∈ G . Es ist φ(g ) ◦ φ(g ) = φ(g −1 · g ) = φ(eG ) = eH ,
−1
=⇒ φ(g −1 ) = (φ(g )) . (c) Seien h, h′ ∈ H. Nun
−1
−1 ′
φ (h) · φ (h ) = φ−1 φ φ−1 (h) · φ−1 (h′ )
= φ−1 φ φ−1 (h) ◦ φ φ−1 (h′ ) .
= φ−1 (h ◦ h′ )
Bsp: φ : R → R>0 , φ(x) = e x . Dann ist e a+b = e a e b , also ist die
Exponentialabbildung ein Homomorphismus von (R, +) nach (R>0 , ·) .
Wir sehen: (a): e 0 = 1, (b): e −x = 1/e x . (c): e x ist bijektiv, also ist
ein Isomorphismus, die inverse Abbildung ist log . Wir sehen:
log (x · y ) = log (x) + log (y ),
Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element eG bzw. eH . Sei
φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
−1
(a) φ(eG ) = eH ,
(b) ∀ g ∈ G gilt φ(g −1 ) = (φ(g ))
(c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ−1 : H → G ebenfalls ein
Isomomorphismus.
Beweis: (a): φ(eG ) = φ(eG · eG ) = φ(eG ) ◦ φ(eG ).
−1
−1
=⇒ eH = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) = (φ(eG )) ◦ φ(eG ) ◦φ(eG ) = φ(eG ).
|
{z
}
eH
−1
(a)
(b) : Sei g ∈ G . Es ist φ(g ) ◦ φ(g ) = φ(g −1 · g ) = φ(eG ) = eH ,
−1
=⇒ φ(g −1 ) = (φ(g )) . (c) Seien h, h′ ∈ H. Nun
−1
−1 ′
φ (h) · φ (h ) = φ−1 φ φ−1 (h) · φ−1 (h′ )
= φ−1 φ φ−1 (h) ◦ φ φ−1 (h′ ) .
= φ−1 (h ◦ h′ )
Bsp: φ : R → R>0 , φ(x) = e x . Dann ist e a+b = e a e b , also ist die
Exponentialabbildung ein Homomorphismus von (R, +) nach (R>0 , ·) .
Wir sehen: (a): e 0 = 1, (b): e −x = 1/e x . (c): e x ist bijektiv, also ist
ein Isomorphismus, die inverse Abbildung ist log . Wir sehen:
log (x · y ) = log (x) + log (y ), also log ist ein Isomorphismus.
f:A ---> B
1
′
′
Def. 6 Sei f : A → B, A ⊆ A, B ⊆ B.
Bildf (A′ ) := Bildf|A′ =
= {b ∈ B | ∃a′ ∈ A′ , f (a′ ) = B}.
Urbildf (B ′ ) := {a ∈ A | ∃b ′ ∈ B ′ , f (a) = b ′ }.
b
3
c
4
d
5
e
6
A’ = { 4, 5, 6}
Urbild(B’) = { 1,2,3}
Satz 8
a
2
B’ = { a, c, d}
Bild(A’) = { b,e}
f:A ---> B
1
′
′
Def. 6 Sei f : A → B, A ⊆ A, B ⊆ B.
Bildf (A′ ) := Bildf|A′ =
= {b ∈ B | ∃a′ ∈ A′ , f (a′ ) = B}.
b
3
c
4
d
5
Urbildf (B ′ ) := {a ∈ A | ∃b ′ ∈ B ′ , f (a) = b ′ }.
a
2
e
6
A’ = { 4, 5, 6}
Urbild(B’) = { 1,2,3}
Satz 8 Sei φ : G → H ein Homomorphismus.
B’ = { a, c, d}
Bild(A’) = { b,e}
f:A ---> B
1
′
′
Def. 6 Sei f : A → B, A ⊆ A, B ⊆ B.
Bildf (A′ ) := Bildf|A′ =
= {b ∈ B | ∃a′ ∈ A′ , f (a′ ) = B}.
Urbildf (B ′ ) := {a ∈ A | ∃b ′ ∈ B ′ , f (a) = b ′ }.
a
2
b
3
c
4
d
5
e
6
A’ = { 4, 5, 6}
Urbild(B’) = { 1,2,3}
B’ = { a, c, d}
Bild(A’) = { b,e}
Satz 8 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Seien G ′ ⊆ G , H ′ ⊆ H
Untergruppen.
f:A ---> B
1
′
′
Def. 6 Sei f : A → B, A ⊆ A, B ⊆ B.
Bildf (A′ ) := Bildf|A′ =
= {b ∈ B | ∃a′ ∈ A′ , f (a′ ) = B}.
Urbildf (B ′ ) := {a ∈ A | ∃b ′ ∈ B ′ , f (a) = b ′ }.
a
2
b
3
c
4
d
5
e
6
A’ = { 4, 5, 6}
Urbild(B’) = { 1,2,3}
B’ = { a, c, d}
Bild(A’) = { b,e}
Satz 8 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Seien G ′ ⊆ G , H ′ ⊆ H
Untergruppen. Dann ist Bildφ (G ′ ) und Urbildφ (H ′ ) Untergruppen von
jeweils H und G .
f:A ---> B
1
′
′
Def. 6 Sei f : A → B, A ⊆ A, B ⊆ B.
Bildf (A′ ) := Bildf|A′ =
= {b ∈ B | ∃a′ ∈ A′ , f (a′ ) = B}.
Urbildf (B ′ ) := {a ∈ A | ∃b ′ ∈ B ′ , f (a) = b ′ }.
a
2
b
3
c
4
d
5
e
6
A’ = { 4, 5, 6}
Urbild(B’) = { 1,2,3}
B’ = { a, c, d}
Bild(A’) = { b,e}
Satz 8 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Seien G ′ ⊆ G , H ′ ⊆ H
Untergruppen. Dann ist Bildφ (G ′ ) und Urbildφ (H ′ ) Untergruppen von
jeweils H und G .
In Worten: Homomorphismen führen Untergruppen in Untergruppen
über.
f:A ---> B
1
′
′
Def. 6 Sei f : A → B, A ⊆ A, B ⊆ B.
Bildf (A′ ) := Bildf|A′ =
= {b ∈ B | ∃a′ ∈ A′ , f (a′ ) = B}.
Urbildf (B ′ ) := {a ∈ A | ∃b ′ ∈ B ′ , f (a) = b ′ }.
a
2
b
3
c
4
d
5
e
6
A’ = { 4, 5, 6}
Urbild(B’) = { 1,2,3}
B’ = { a, c, d}
Bild(A’) = { b,e}
Satz 8 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Seien G ′ ⊆ G , H ′ ⊆ H
Untergruppen. Dann ist Bildφ (G ′ ) und Urbildφ (H ′ ) Untergruppen von
jeweils H und G .
In Worten: Homomorphismen führen Untergruppen in Untergruppen
über.
Beweis:
f:A ---> B
1
′
′
Def. 6 Sei f : A → B, A ⊆ A, B ⊆ B.
Bildf (A′ ) := Bildf|A′ =
= {b ∈ B | ∃a′ ∈ A′ , f (a′ ) = B}.
Urbildf (B ′ ) := {a ∈ A | ∃b ′ ∈ B ′ , f (a) = b ′ }.
a
2
b
3
c
4
d
5
e
6
A’ = { 4, 5, 6}
Urbild(B’) = { 1,2,3}
B’ = { a, c, d}
Bild(A’) = { b,e}
Satz 8 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Seien G ′ ⊆ G , H ′ ⊆ H
Untergruppen. Dann ist Bildφ (G ′ ) und Urbildφ (H ′ ) Untergruppen von
jeweils H und G .
In Worten: Homomorphismen führen Untergruppen in Untergruppen
über.
Beweis: Z.z.: Bildφ (G ′ ) und Urbildφ (H ′ ) sind abgeschlossen bzgl.
(i) Multiplikation,
f:A ---> B
1
′
′
Def. 6 Sei f : A → B, A ⊆ A, B ⊆ B.
Bildf (A′ ) := Bildf|A′ =
= {b ∈ B | ∃a′ ∈ A′ , f (a′ ) = B}.
Urbildf (B ′ ) := {a ∈ A | ∃b ′ ∈ B ′ , f (a) = b ′ }.
a
2
b
3
c
4
d
5
e
6
A’ = { 4, 5, 6}
Urbild(B’) = { 1,2,3}
B’ = { a, c, d}
Bild(A’) = { b,e}
Satz 8 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Seien G ′ ⊆ G , H ′ ⊆ H
Untergruppen. Dann ist Bildφ (G ′ ) und Urbildφ (H ′ ) Untergruppen von
jeweils H und G .
In Worten: Homomorphismen führen Untergruppen in Untergruppen
über.
Beweis: Z.z.: Bildφ (G ′ ) und Urbildφ (H ′ ) sind abgeschlossen bzgl.
(i) Multiplikation,
(ii) Invertieren
Def 5
(i) Seien a, b ∈ Urbildφ (H ′ ). Man betrachte φ(a) ◦ φ(b) = φ(a · b).
| {z }
∈H ′
Def 5
(i) Seien a, b ∈ Urbildφ (H ′ ). Man betrachte φ(a) ◦ φ(b) = φ(a · b).
| {z }
∈H ′
Also φ(a · b) ∈ H ′ und deswegen a · b ∈ Urbildφ (H ′ ).
a, b ∈ Bildφ (G ′ )
Def 5
(i) Seien a, b ∈ Urbildφ (H ′ ). Man betrachte φ(a) ◦ φ(b) = φ(a · b).
| {z }
∈H ′
Also φ(a · b) ∈ H ′ und deswegen a · b ∈ Urbildφ (H ′ ).
a, b ∈ Bildφ (G ′ )
Def. von Bild
=⇒
Def 5
(i) Seien a, b ∈ Urbildφ (H ′ ). Man betrachte φ(a) ◦ φ(b) = φ(a · b).
| {z }
∈H ′
Also φ(a · b) ∈ H ′ und deswegen a · b ∈ Urbildφ (H ′ ).
a, b ∈ Bildφ (G ′ )
φ(b ′ ) = b.
Def. von Bild
=⇒
∃a′ , b ′ ∈ G ′ s.d. φ(a′ ) = a,
Def 5
(i) Seien a, b ∈ Urbildφ (H ′ ). Man betrachte φ(a) ◦ φ(b) = φ(a · b).
| {z }
∈H ′
Also φ(a · b) ∈ H ′ und deswegen a · b ∈ Urbildφ (H ′ ).
Def. von Bild
a, b ∈ Bildφ (G ′ )
=⇒
φ(b ′ ) = b. Dann ist
a◦b =
∃a′ , b ′ ∈ G ′ s.d. φ(a′ ) = a,
Def 5
(i) Seien a, b ∈ Urbildφ (H ′ ). Man betrachte φ(a) ◦ φ(b) = φ(a · b).
| {z }
∈H ′
Also φ(a · b) ∈ H ′ und deswegen a · b ∈ Urbildφ (H ′ ).
Def. von Bild
a, b ∈ Bildφ (G ′ )
=⇒
φ(b ′ ) = b. Dann ist
a ◦ b = φ(a′ ) ◦ φ(b ′ )
∃a′ , b ′ ∈ G ′ s.d. φ(a′ ) = a,
Def 5
(i) Seien a, b ∈ Urbildφ (H ′ ). Man betrachte φ(a) ◦ φ(b) = φ(a · b).
| {z }
∈H ′
Also φ(a · b) ∈ H ′ und deswegen a · b ∈ Urbildφ (H ′ ).
Def. von Bild
a, b ∈ Bildφ (G ′ )
=⇒
φ(b ′ ) = b. Dann ist
a ◦ b = φ(a′ ) ◦ φ(b ′ )
∃a′ , b ′ ∈ G ′ s.d. φ(a′ ) = a,
Def. 5 von Homomorp.
=
Def 5
(i) Seien a, b ∈ Urbildφ (H ′ ). Man betrachte φ(a) ◦ φ(b) = φ(a · b).
| {z }
∈H ′
Also φ(a · b) ∈ H ′ und deswegen a · b ∈ Urbildφ (H ′ ).
Def. von Bild
a, b ∈ Bildφ (G ′ )
=⇒
φ(b ′ ) = b. Dann ist
a ◦ b = φ(a′ ) ◦ φ(b ′ )
∃a′ , b ′ ∈ G ′ s.d. φ(a′ ) = a,
Def. 5 von Homomorp.
=
φ(a′ · b ′ ) ∈ Bildφ (G ′ ).
Def 5
(i) Seien a, b ∈ Urbildφ (H ′ ). Man betrachte φ(a) ◦ φ(b) = φ(a · b).
| {z }
∈H ′
Also φ(a · b) ∈ H ′ und deswegen a · b ∈ Urbildφ (H ′ ).
Def. von Bild
a, b ∈ Bildφ (G ′ )
=⇒
φ(b ′ ) = b. Dann ist
a ◦ b = φ(a′ ) ◦ φ(b ′ )
(ii) Ist a ∈ Urbildφ (H ′ ),
∃a′ , b ′ ∈ G ′ s.d. φ(a′ ) = a,
Def. 5 von Homomorp.
=
φ(a′ · b ′ ) ∈ Bildφ (G ′ ).
Def 5
(i) Seien a, b ∈ Urbildφ (H ′ ). Man betrachte φ(a) ◦ φ(b) = φ(a · b).
| {z }
∈H ′
Also φ(a · b) ∈ H ′ und deswegen a · b ∈ Urbildφ (H ′ ).
Def. von Bild
a, b ∈ Bildφ (G ′ )
=⇒
φ(b ′ ) = b. Dann ist
a ◦ b = φ(a′ ) ◦ φ(b ′ )
∃a′ , b ′ ∈ G ′ s.d. φ(a′ ) = a,
Def. 5 von Homomorp.
=
φ(a′ · b ′ ) ∈ Bildφ (G ′ ).
(ii) Ist a ∈ Urbildφ (H ′ ), so ist nach Satz 7 (φ(a))
−1
= φ(a−1 )
Def 5
(i) Seien a, b ∈ Urbildφ (H ′ ). Man betrachte φ(a) ◦ φ(b) = φ(a · b).
| {z }
∈H ′
Also φ(a · b) ∈ H ′ und deswegen a · b ∈ Urbildφ (H ′ ).
Def. von Bild
a, b ∈ Bildφ (G ′ )
=⇒
φ(b ′ ) = b. Dann ist
a ◦ b = φ(a′ ) ◦ φ(b ′ )
∃a′ , b ′ ∈ G ′ s.d. φ(a′ ) = a,
Def. 5 von Homomorp.
=
φ(a′ · b ′ ) ∈ Bildφ (G ′ ).
(ii) Ist a ∈ Urbildφ (H ′ ), so ist nach Satz 7 (φ(a))
−1
= φ(a−1 ) .
Def 5
(i) Seien a, b ∈ Urbildφ (H ′ ). Man betrachte φ(a) ◦ φ(b) = φ(a · b).
| {z }
∈H ′
Also φ(a · b) ∈ H ′ und deswegen a · b ∈ Urbildφ (H ′ ).
Def. von Bild
a, b ∈ Bildφ (G ′ )
=⇒
φ(b ′ ) = b. Dann ist
a ◦ b = φ(a′ ) ◦ φ(b ′ )
∃a′ , b ′ ∈ G ′ s.d. φ(a′ ) = a,
Def. 5 von Homomorp.
=
φ(a′ · b ′ ) ∈ Bildφ (G ′ ).
(ii) Ist a ∈ Urbildφ (H ′ ), so ist nach Satz 7 (φ(a))
a−1 ∈ Urbildφ (H ′ ).
Ist a ∈ Bildφ (G ′ ),
−1
= φ(a−1 ) . Also,
Def 5
(i) Seien a, b ∈ Urbildφ (H ′ ). Man betrachte φ(a) ◦ φ(b) = φ(a · b).
| {z }
∈H ′
Also φ(a · b) ∈ H ′ und deswegen a · b ∈ Urbildφ (H ′ ).
Def. von Bild
a, b ∈ Bildφ (G ′ )
=⇒
φ(b ′ ) = b. Dann ist
a ◦ b = φ(a′ ) ◦ φ(b ′ )
∃a′ , b ′ ∈ G ′ s.d. φ(a′ ) = a,
Def. 5 von Homomorp.
=
φ(a′ · b ′ ) ∈ Bildφ (G ′ ).
(ii) Ist a ∈ Urbildφ (H ′ ), so ist nach Satz 7 (φ(a))
a−1 ∈ Urbildφ (H ′ ).
−1
= φ(a−1 ) . Also,
Ist a ∈ Bildφ (G ′ ), so gibt es ein a′ ∈ G ′ mit φ(a′ ) = a.
Def 5
(i) Seien a, b ∈ Urbildφ (H ′ ). Man betrachte φ(a) ◦ φ(b) = φ(a · b).
| {z }
∈H ′
Also φ(a · b) ∈ H ′ und deswegen a · b ∈ Urbildφ (H ′ ).
Def. von Bild
a, b ∈ Bildφ (G ′ )
=⇒
φ(b ′ ) = b. Dann ist
a ◦ b = φ(a′ ) ◦ φ(b ′ )
∃a′ , b ′ ∈ G ′ s.d. φ(a′ ) = a,
Def. 5 von Homomorp.
=
φ(a′ · b ′ ) ∈ Bildφ (G ′ ).
(ii) Ist a ∈ Urbildφ (H ′ ), so ist nach Satz 7 (φ(a))
a−1 ∈ Urbildφ (H ′ ).
−1
= φ(a−1 ) . Also,
Ist a ∈ Bildφ (G ′ ), so gibt es ein a′ ∈ G ′ mit φ(a′ ) = a.
Abg. Bzgl. Inv.:
Def 5
(i) Seien a, b ∈ Urbildφ (H ′ ). Man betrachte φ(a) ◦ φ(b) = φ(a · b).
| {z }
∈H ′
Also φ(a · b) ∈ H ′ und deswegen a · b ∈ Urbildφ (H ′ ).
Def. von Bild
a, b ∈ Bildφ (G ′ )
=⇒
φ(b ′ ) = b. Dann ist
a ◦ b = φ(a′ ) ◦ φ(b ′ )
∃a′ , b ′ ∈ G ′ s.d. φ(a′ ) = a,
Def. 5 von Homomorp.
=
φ(a′ · b ′ ) ∈ Bildφ (G ′ ).
(ii) Ist a ∈ Urbildφ (H ′ ), so ist nach Satz 7 (φ(a))
a−1 ∈ Urbildφ (H ′ ).
−1
= φ(a−1 ) . Also,
Ist a ∈ Bildφ (G ′ ), so gibt es ein a′ ∈ G ′ mit φ(a′ ) = a.
Abg. Bzgl. Inv.:
Def 5
(i) Seien a, b ∈ Urbildφ (H ′ ). Man betrachte φ(a) ◦ φ(b) = φ(a · b).
| {z }
∈H ′
Also φ(a · b) ∈ H ′ und deswegen a · b ∈ Urbildφ (H ′ ).
Def. von Bild
a, b ∈ Bildφ (G ′ )
=⇒
φ(b ′ ) = b. Dann ist
a ◦ b = φ(a′ ) ◦ φ(b ′ )
∃a′ , b ′ ∈ G ′ s.d. φ(a′ ) = a,
Def. 5 von Homomorp.
=
φ(a′ · b ′ ) ∈ Bildφ (G ′ ).
(ii) Ist a ∈ Urbildφ (H ′ ), so ist nach Satz 7 (φ(a))
a−1 ∈ Urbildφ (H ′ ).
−1
= φ(a−1 ) . Also,
Ist a ∈ Bildφ (G ′ ), so gibt es ein a′ ∈ G ′ mit φ(a′ ) = a.
Abg. Bzgl. Inv.:
=⇒
a′−1 ∈ G ′
Def 5
(i) Seien a, b ∈ Urbildφ (H ′ ). Man betrachte φ(a) ◦ φ(b) = φ(a · b).
| {z }
∈H ′
Also φ(a · b) ∈ H ′ und deswegen a · b ∈ Urbildφ (H ′ ).
Def. von Bild
a, b ∈ Bildφ (G ′ )
=⇒
φ(b ′ ) = b. Dann ist
a ◦ b = φ(a′ ) ◦ φ(b ′ )
∃a′ , b ′ ∈ G ′ s.d. φ(a′ ) = a,
Def. 5 von Homomorp.
=
φ(a′ · b ′ ) ∈ Bildφ (G ′ ).
(ii) Ist a ∈ Urbildφ (H ′ ), so ist nach Satz 7 (φ(a))
a−1 ∈ Urbildφ (H ′ ).
−1
= φ(a−1 ) . Also,
Ist a ∈ Bildφ (G ′ ), so gibt es ein a′ ∈ G ′ mit φ(a′ ) = a.
Abg. Bzgl. Inv.:
=⇒
a′−1 ∈ G ′
Def 5
(i) Seien a, b ∈ Urbildφ (H ′ ). Man betrachte φ(a) ◦ φ(b) = φ(a · b).
| {z }
∈H ′
Also φ(a · b) ∈ H ′ und deswegen a · b ∈ Urbildφ (H ′ ).
Def. von Bild
a, b ∈ Bildφ (G ′ )
=⇒
φ(b ′ ) = b. Dann ist
a ◦ b = φ(a′ ) ◦ φ(b ′ )
∃a′ , b ′ ∈ G ′ s.d. φ(a′ ) = a,
Def. 5 von Homomorp.
=
φ(a′ · b ′ ) ∈ Bildφ (G ′ ).
(ii) Ist a ∈ Urbildφ (H ′ ), so ist nach Satz 7 (φ(a))
a−1 ∈ Urbildφ (H ′ ).
−1
= φ(a−1 ) . Also,
Ist a ∈ Bildφ (G ′ ), so gibt es ein a′ ∈ G ′ mit φ(a′ ) = a.
Abg. Bzgl. Inv.:
=⇒
a′−1 ∈ G ′
Def 5
(i) Seien a, b ∈ Urbildφ (H ′ ). Man betrachte φ(a) ◦ φ(b) = φ(a · b).
| {z }
∈H ′
Also φ(a · b) ∈ H ′ und deswegen a · b ∈ Urbildφ (H ′ ).
Def. von Bild
a, b ∈ Bildφ (G ′ )
=⇒
φ(b ′ ) = b. Dann ist
a ◦ b = φ(a′ ) ◦ φ(b ′ )
∃a′ , b ′ ∈ G ′ s.d. φ(a′ ) = a,
Def. 5 von Homomorp.
=
φ(a′ · b ′ ) ∈ Bildφ (G ′ ).
(ii) Ist a ∈ Urbildφ (H ′ ), so ist nach Satz 7 (φ(a))
a−1 ∈ Urbildφ (H ′ ).
−1
= φ(a−1 ) . Also,
Ist a ∈ Bildφ (G ′ ), so gibt es ein a′ ∈ G ′ mit φ(a′ ) = a.
Abg. Bzgl. Inv.:
=⇒
a′−1 ∈ G ′
Satz 7:
Def 5
(i) Seien a, b ∈ Urbildφ (H ′ ). Man betrachte φ(a) ◦ φ(b) = φ(a · b).
| {z }
∈H ′
Also φ(a · b) ∈ H ′ und deswegen a · b ∈ Urbildφ (H ′ ).
Def. von Bild
a, b ∈ Bildφ (G ′ )
=⇒
φ(b ′ ) = b. Dann ist
a ◦ b = φ(a′ ) ◦ φ(b ′ )
∃a′ , b ′ ∈ G ′ s.d. φ(a′ ) = a,
Def. 5 von Homomorp.
=
φ(a′ · b ′ ) ∈ Bildφ (G ′ ).
(ii) Ist a ∈ Urbildφ (H ′ ), so ist nach Satz 7 (φ(a))
a−1 ∈ Urbildφ (H ′ ).
−1
= φ(a−1 ) . Also,
Ist a ∈ Bildφ (G ′ ), so gibt es ein a′ ∈ G ′ mit φ(a′ ) = a.
Abg. Bzgl. Inv.:
=⇒
a′−1 ∈ G ′
Satz 7:
Def 5
(i) Seien a, b ∈ Urbildφ (H ′ ). Man betrachte φ(a) ◦ φ(b) = φ(a · b).
| {z }
∈H ′
Also φ(a · b) ∈ H ′ und deswegen a · b ∈ Urbildφ (H ′ ).
Def. von Bild
a, b ∈ Bildφ (G ′ )
=⇒
φ(b ′ ) = b. Dann ist
a ◦ b = φ(a′ ) ◦ φ(b ′ )
∃a′ , b ′ ∈ G ′ s.d. φ(a′ ) = a,
Def. 5 von Homomorp.
=
φ(a′ · b ′ ) ∈ Bildφ (G ′ ).
(ii) Ist a ∈ Urbildφ (H ′ ), so ist nach Satz 7 (φ(a))
a−1 ∈ Urbildφ (H ′ ).
−1
= φ(a−1 ) . Also,
Ist a ∈ Bildφ (G ′ ), so gibt es ein a′ ∈ G ′ mit φ(a′ ) = a.
Abg. Bzgl. Inv.:
=⇒
a′−1 ∈ G ′
−1
Satz 7:
=⇒ φ(a′−1 ) = φ (a′ )
Def 5
(i) Seien a, b ∈ Urbildφ (H ′ ). Man betrachte φ(a) ◦ φ(b) = φ(a · b).
| {z }
∈H ′
Also φ(a · b) ∈ H ′ und deswegen a · b ∈ Urbildφ (H ′ ).
Def. von Bild
a, b ∈ Bildφ (G ′ )
=⇒
φ(b ′ ) = b. Dann ist
a ◦ b = φ(a′ ) ◦ φ(b ′ )
∃a′ , b ′ ∈ G ′ s.d. φ(a′ ) = a,
Def. 5 von Homomorp.
=
φ(a′ · b ′ ) ∈ Bildφ (G ′ ).
(ii) Ist a ∈ Urbildφ (H ′ ), so ist nach Satz 7 (φ(a))
a−1 ∈ Urbildφ (H ′ ).
−1
= φ(a−1 ) . Also,
Ist a ∈ Bildφ (G ′ ), so gibt es ein a′ ∈ G ′ mit φ(a′ ) = a.
Abg. Bzgl. Inv.:
=⇒
a′−1 ∈ G ′
−1
Satz 7:
=⇒ φ(a′−1 ) = φ (a′ )
Def 5
(i) Seien a, b ∈ Urbildφ (H ′ ). Man betrachte φ(a) ◦ φ(b) = φ(a · b).
| {z }
∈H ′
Also φ(a · b) ∈ H ′ und deswegen a · b ∈ Urbildφ (H ′ ).
Def. von Bild
a, b ∈ Bildφ (G ′ )
=⇒
φ(b ′ ) = b. Dann ist
a ◦ b = φ(a′ ) ◦ φ(b ′ )
∃a′ , b ′ ∈ G ′ s.d. φ(a′ ) = a,
Def. 5 von Homomorp.
=
φ(a′ · b ′ ) ∈ Bildφ (G ′ ).
(ii) Ist a ∈ Urbildφ (H ′ ), so ist nach Satz 7 (φ(a))
a−1 ∈ Urbildφ (H ′ ).
−1
= φ(a−1 ) . Also,
Ist a ∈ Bildφ (G ′ ), so gibt es ein a′ ∈ G ′ mit φ(a′ ) = a.
Abg. Bzgl. Inv.:
=⇒
a′−1 ∈ G ′
−1
Satz 7:
=⇒ φ(a′−1 ) = φ (a′ )
Def 5
(i) Seien a, b ∈ Urbildφ (H ′ ). Man betrachte φ(a) ◦ φ(b) = φ(a · b).
| {z }
∈H ′
Also φ(a · b) ∈ H ′ und deswegen a · b ∈ Urbildφ (H ′ ).
Def. von Bild
a, b ∈ Bildφ (G ′ )
=⇒
φ(b ′ ) = b. Dann ist
a ◦ b = φ(a′ ) ◦ φ(b ′ )
∃a′ , b ′ ∈ G ′ s.d. φ(a′ ) = a,
Def. 5 von Homomorp.
=
φ(a′ · b ′ ) ∈ Bildφ (G ′ ).
(ii) Ist a ∈ Urbildφ (H ′ ), so ist nach Satz 7 (φ(a))
a−1 ∈ Urbildφ (H ′ ).
−1
= φ(a−1 ) . Also,
Ist a ∈ Bildφ (G ′ ), so gibt es ein a′ ∈ G ′ mit φ(a′ ) = a.
Abg. Bzgl. Inv.:
=⇒
a′−1 ∈ G ′
−1
Satz 7:
=⇒ φ(a′−1 ) = φ (a′ )
=⇒ φ(a′−1 ) = a−1
Def 5
(i) Seien a, b ∈ Urbildφ (H ′ ). Man betrachte φ(a) ◦ φ(b) = φ(a · b).
| {z }
∈H ′
Also φ(a · b) ∈ H ′ und deswegen a · b ∈ Urbildφ (H ′ ).
Def. von Bild
a, b ∈ Bildφ (G ′ )
=⇒
φ(b ′ ) = b. Dann ist
a ◦ b = φ(a′ ) ◦ φ(b ′ )
∃a′ , b ′ ∈ G ′ s.d. φ(a′ ) = a,
Def. 5 von Homomorp.
=
φ(a′ · b ′ ) ∈ Bildφ (G ′ ).
(ii) Ist a ∈ Urbildφ (H ′ ), so ist nach Satz 7 (φ(a))
a−1 ∈ Urbildφ (H ′ ).
−1
= φ(a−1 ) . Also,
Ist a ∈ Bildφ (G ′ ), so gibt es ein a′ ∈ G ′ mit φ(a′ ) = a.
Abg. Bzgl. Inv.:
=⇒
a′−1 ∈ G ′
−1
Satz 7:
=⇒ φ(a′−1 ) = φ (a′ )
=⇒ φ(a′−1 ) = a−1 ∈ Bildφ (G ′ ).
Def 5
(i) Seien a, b ∈ Urbildφ (H ′ ). Man betrachte φ(a) ◦ φ(b) = φ(a · b).
| {z }
∈H ′
Also φ(a · b) ∈ H ′ und deswegen a · b ∈ Urbildφ (H ′ ).
Def. von Bild
a, b ∈ Bildφ (G ′ )
=⇒
φ(b ′ ) = b. Dann ist
a ◦ b = φ(a′ ) ◦ φ(b ′ )
∃a′ , b ′ ∈ G ′ s.d. φ(a′ ) = a,
Def. 5 von Homomorp.
=
φ(a′ · b ′ ) ∈ Bildφ (G ′ ).
(ii) Ist a ∈ Urbildφ (H ′ ), so ist nach Satz 7 (φ(a))
a−1 ∈ Urbildφ (H ′ ).
−1
= φ(a−1 ) . Also,
Ist a ∈ Bildφ (G ′ ), so gibt es ein a′ ∈ G ′ mit φ(a′ ) = a.
Abg. Bzgl. Inv.:
=⇒
a′−1 ∈ G ′
−1
Satz 7:
=⇒ φ(a′−1 ) = φ (a′ )
=⇒ φ(a′−1 ) = a−1 ∈ Bildφ (G ′ ).
Def. 7
Def. 7 Sei φ : G → H ein Homomorphismus.
Def. 7 Sei φ : G → H ein Homomorphismus.
Def. 7 Sei φ : G → H ein Homomorphismus.
Kernφ )
Kernel von φ (Bez:
Def. 7 Sei φ : G → H ein Homomorphismus.
Kernφ ) ist Urbildφ ({eH })
Kernel von φ (Bez:
Def. 7 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Kernel von φ (Bez:
Kernφ ) ist Urbildφ ({eH }) := {a ∈ G | φ(a) = e}
Def. 7 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Kernel von φ (Bez:
Kernφ ) ist Urbildφ ({eH }) := {a ∈ G | φ(a) = e} ⊆ G .
Bsple von Homomorphh. direkt nach Def. 5:
Def. 7 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Kernel von φ (Bez:
Kernφ ) ist Urbildφ ({eH }) := {a ∈ G | φ(a) = e} ⊆ G .
Bsple von Homomorphh. direkt nach Def. 5:
Z , φ(k) = k3 .
φ : |{z}
3Z → |{z}
G
ψ:Z→
H
Z2
|{z}
, ψ(k) =
e
a
Aus Vorlesung 3
(Für alle Gruppen (G , ·) und (H, ◦))
falls k gerade
falls k ungerade .
Def. 7 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Kernel von φ (Bez:
Kernφ ) ist Urbildφ ({eH }) := {a ∈ G | φ(a) = e} ⊆ G .
Bsple von Homomorphh. direkt nach Def. 5:
Z , φ(k) = k3 .
φ : |{z}
3Z → |{z}
G
ψ:Z→
H
Z2
|{z}
, ψ(k) =
e
a
falls k gerade
falls k ungerade .
Aus Vorlesung 3
(Für alle Gruppen (G , ·) und (H, ◦)) τ : G → H, τ (a) = eH .
Def. 7 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Kernel von φ (Bez:
Kernφ ) ist Urbildφ ({eH }) := {a ∈ G | φ(a) = e} ⊆ G .
Bsple von Homomorphh. direkt nach Def. 5:
Z , φ(k) = k3 .
φ : |{z}
3Z → |{z}
H
G
ψ:Z→
Z2
|{z}
, ψ(k) =
e
a
falls k gerade
falls k ungerade .
Aus Vorlesung 3
(Für alle Gruppen (G , ·) und (H, ◦)) τ : G → H, τ (a) = eH .
Dann gilt:
Def. 7 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Kernel von φ (Bez:
Kernφ ) ist Urbildφ ({eH }) := {a ∈ G | φ(a) = e} ⊆ G .
Bsple von Homomorphh. direkt nach Def. 5:
Z , φ(k) = k3 .
φ : |{z}
3Z → |{z}
G
ψ:Z→
H
Z2
|{z}
, ψ(k) =
e
a
falls k gerade
falls k ungerade .
Aus Vorlesung 3
(Für alle Gruppen (G , ·) und (H, ◦)) τ : G → H, τ (a) = eH .
Dann gilt: Kernφ = {0}
Def. 7 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Kernel von φ (Bez:
Kernφ ) ist Urbildφ ({eH }) := {a ∈ G | φ(a) = e} ⊆ G .
Bsple von Homomorphh. direkt nach Def. 5:
Z , φ(k) = k3 .
φ : |{z}
3Z → |{z}
G
ψ:Z→
H
Z2
|{z}
, ψ(k) =
e
a
falls k gerade
falls k ungerade .
Aus Vorlesung 3
(Für alle Gruppen (G , ·) und (H, ◦)) τ : G → H, τ (a) = eH .
Dann gilt: Kernφ = {0} ,
Def. 7 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Kernel von φ (Bez:
Kernφ ) ist Urbildφ ({eH }) := {a ∈ G | φ(a) = e} ⊆ G .
Bsple von Homomorphh. direkt nach Def. 5:
Z , φ(k) = k3 .
φ : |{z}
3Z → |{z}
G
ψ:Z→
H
Z2
|{z}
, ψ(k) =
e
a
falls k gerade
falls k ungerade .
Aus Vorlesung 3
(Für alle Gruppen (G , ·) und (H, ◦)) τ : G → H, τ (a) = eH .
Dann gilt: Kernφ = {0} , Kernψ =
Def. 7 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Kernel von φ (Bez:
Kernφ ) ist Urbildφ ({eH }) := {a ∈ G | φ(a) = e} ⊆ G .
Bsple von Homomorphh. direkt nach Def. 5:
Z , φ(k) = k3 .
φ : |{z}
3Z → |{z}
G
ψ:Z→
H
Z2
|{z}
, ψ(k) =
e
a
falls k gerade
falls k ungerade .
Aus Vorlesung 3
(Für alle Gruppen (G , ·) und (H, ◦)) τ : G → H, τ (a) = eH .
Dann gilt: Kernφ = {0} , Kernψ = 2Z,
Def. 7 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Kernel von φ (Bez:
Kernφ ) ist Urbildφ ({eH }) := {a ∈ G | φ(a) = e} ⊆ G .
Bsple von Homomorphh. direkt nach Def. 5:
Z , φ(k) = k3 .
φ : |{z}
3Z → |{z}
G
ψ:Z→
H
Z2
|{z}
, ψ(k) =
e
a
falls k gerade
falls k ungerade .
Aus Vorlesung 3
(Für alle Gruppen (G , ·) und (H, ◦)) τ : G → H, τ (a) = eH .
Dann gilt: Kernφ = {0} , Kernψ = 2Z, Kernτ = G .
Def. 7 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Kernel von φ (Bez:
Kernφ ) ist Urbildφ ({eH }) := {a ∈ G | φ(a) = e} ⊆ G .
Bsple von Homomorphh. direkt nach Def. 5:
Z , φ(k) = k3 .
φ : |{z}
3Z → |{z}
H
G
ψ:Z→
Z2
|{z}
, ψ(k) =
e
a
falls k gerade
falls k ungerade .
Aus Vorlesung 3
(Für alle Gruppen (G , ·) und (H, ◦)) τ : G → H, τ (a) = eH .
Dann gilt: Kernφ = {0} , Kernψ = 2Z, Kernτ = G .
Folgerung
Def. 7 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Kernel von φ (Bez:
Kernφ ) ist Urbildφ ({eH }) := {a ∈ G | φ(a) = e} ⊆ G .
Bsple von Homomorphh. direkt nach Def. 5:
Z , φ(k) = k3 .
φ : |{z}
3Z → |{z}
G
ψ:Z→
H
Z2
|{z}
, ψ(k) =
e
a
falls k gerade
falls k ungerade .
Aus Vorlesung 3
(Für alle Gruppen (G , ·) und (H, ◦)) τ : G → H, τ (a) = eH .
Dann gilt: Kernφ = {0} , Kernψ = 2Z, Kernτ = G .
Folgerung Sei φ : G → H ein Homomorphismus.
Def. 7 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Kernel von φ (Bez:
Kernφ ) ist Urbildφ ({eH }) := {a ∈ G | φ(a) = e} ⊆ G .
Bsple von Homomorphh. direkt nach Def. 5:
Z , φ(k) = k3 .
φ : |{z}
3Z → |{z}
G
ψ:Z→
H
Z2
|{z}
, ψ(k) =
e
a
falls k gerade
falls k ungerade .
Aus Vorlesung 3
(Für alle Gruppen (G , ·) und (H, ◦)) τ : G → H, τ (a) = eH .
Dann gilt: Kernφ = {0} , Kernψ = 2Z, Kernτ = G .
Folgerung Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Dann sind Kernφ und
Bildφ die Untergruppen von jeweils G and H.
Def. 7 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Kernel von φ (Bez:
Kernφ ) ist Urbildφ ({eH }) := {a ∈ G | φ(a) = e} ⊆ G .
Bsple von Homomorphh. direkt nach Def. 5:
Z , φ(k) = k3 .
φ : |{z}
3Z → |{z}
G
ψ:Z→
H
Z2
|{z}
, ψ(k) =
e
a
falls k gerade
falls k ungerade .
Aus Vorlesung 3
(Für alle Gruppen (G , ·) und (H, ◦)) τ : G → H, τ (a) = eH .
Dann gilt: Kernφ = {0} , Kernψ = 2Z, Kernτ = G .
Folgerung Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Dann sind Kernφ und
Bildφ die Untergruppen von jeweils G and H.
Beweis:
Def. 7 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Kernel von φ (Bez:
Kernφ ) ist Urbildφ ({eH }) := {a ∈ G | φ(a) = e} ⊆ G .
Bsple von Homomorphh. direkt nach Def. 5:
Z , φ(k) = k3 .
φ : |{z}
3Z → |{z}
G
ψ:Z→
H
Z2
|{z}
, ψ(k) =
e
a
falls k gerade
falls k ungerade .
Aus Vorlesung 3
(Für alle Gruppen (G , ·) und (H, ◦)) τ : G → H, τ (a) = eH .
Dann gilt: Kernφ = {0} , Kernψ = 2Z, Kernτ = G .
Folgerung Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Dann sind Kernφ und
Bildφ die Untergruppen von jeweils G and H.
Beweis:
{e} und G sind die Untergruppen von jeweils H und G .
Def. 7 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Kernel von φ (Bez:
Kernφ ) ist Urbildφ ({eH }) := {a ∈ G | φ(a) = e} ⊆ G .
Bsple von Homomorphh. direkt nach Def. 5:
Z , φ(k) = k3 .
φ : |{z}
3Z → |{z}
G
ψ:Z→
H
Z2
|{z}
, ψ(k) =
e
a
falls k gerade
falls k ungerade .
Aus Vorlesung 3
(Für alle Gruppen (G , ·) und (H, ◦)) τ : G → H, τ (a) = eH .
Dann gilt: Kernφ = {0} , Kernψ = 2Z, Kernτ = G .
Folgerung Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Dann sind Kernφ und
Bildφ die Untergruppen von jeweils G and H.
Beweis: {e} und G sind die Untergruppen von jeweils H und G . Nach
Satz 8 sind Kernφ := Urbildφ ({eH })
Def. 7 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Kernel von φ (Bez:
Kernφ ) ist Urbildφ ({eH }) := {a ∈ G | φ(a) = e} ⊆ G .
Bsple von Homomorphh. direkt nach Def. 5:
Z , φ(k) = k3 .
φ : |{z}
3Z → |{z}
G
ψ:Z→
H
Z2
|{z}
, ψ(k) =
e
a
falls k gerade
falls k ungerade .
Aus Vorlesung 3
(Für alle Gruppen (G , ·) und (H, ◦)) τ : G → H, τ (a) = eH .
Dann gilt: Kernφ = {0} , Kernψ = 2Z, Kernτ = G .
Folgerung Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Dann sind Kernφ und
Bildφ die Untergruppen von jeweils G and H.
Beweis: {e} und G sind die Untergruppen von jeweils H und G . Nach
Satz 8 sind Kernφ := Urbildφ ({eH }) , und Bildφ = Bildφ (G ) auch
Untergruppen.
Def. 7 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Kernel von φ (Bez:
Kernφ ) ist Urbildφ ({eH }) := {a ∈ G | φ(a) = e} ⊆ G .
Bsple von Homomorphh. direkt nach Def. 5:
Z , φ(k) = k3 .
φ : |{z}
3Z → |{z}
G
ψ:Z→
H
Z2
|{z}
, ψ(k) =
e
a
falls k gerade
falls k ungerade .
Aus Vorlesung 3
(Für alle Gruppen (G , ·) und (H, ◦)) τ : G → H, τ (a) = eH .
Dann gilt: Kernφ = {0} , Kernψ = 2Z, Kernτ = G .
Folgerung Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Dann sind Kernφ und
Bildφ die Untergruppen von jeweils G and H.
Beweis: {e} und G sind die Untergruppen von jeweils H und G . Nach
Satz 8 sind Kernφ := Urbildφ ({eH }) , und Bildφ = Bildφ (G ) auch
Untergruppen.
Satz 9
Satz 9 Sei φ : G → H ein Homomorphismus.
Satz 9 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
Kernφ =
Satz 9 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
Kernφ = {e}
Satz 9 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
Kernφ = {e} ⇐⇒
Satz 9 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
Kernφ = {e} ⇐⇒ φ ist injektiv.
Satz 9 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
Kernφ = {e} ⇐⇒ φ ist injektiv.
Beweis:
Satz 9 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
Kernφ = {e} ⇐⇒ φ ist injektiv.
Beweis: =⇒: Angenommen, Kernφ = {e}.
Satz 9 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
Kernφ = {e} ⇐⇒ φ ist injektiv.
Beweis: =⇒: Angenommen, Kernφ = {e}. Man betrachte
x, y ∈ G mit φ(x) = φ(y ).
Satz 9 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
Kernφ = {e} ⇐⇒ φ ist injektiv.
Beweis: =⇒: Angenommen, Kernφ = {e}. Man betrachte
x, y ∈ G mit φ(x) = φ(y ). Z.z.: x = y .
e = φ(x)(φ(y ))−1
Satz 9 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
Kernφ = {e} ⇐⇒ φ ist injektiv.
Beweis: =⇒: Angenommen, Kernφ = {e}. Man betrachte
x, y ∈ G mit φ(x) = φ(y ). Z.z.: x = y .
e = φ(x)(φ(y ))−1
Satz 7
=
Satz 9 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
Kernφ = {e} ⇐⇒ φ ist injektiv.
Beweis: =⇒: Angenommen, Kernφ = {e}. Man betrachte
x, y ∈ G mit φ(x) = φ(y ). Z.z.: x = y .
Def. Homomorph.
Satz 7
e = φ(x)(φ(y ))−1 = φ(x) φ(y −1 )
=
Satz 9 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
Kernφ = {e} ⇐⇒ φ ist injektiv.
Beweis: =⇒: Angenommen, Kernφ = {e}. Man betrachte
x, y ∈ G mit φ(x) = φ(y ). Z.z.: x = y .
Def. Homomorph.
Satz 7
e = φ(x)(φ(y ))−1 = φ(x) φ(y −1 )
=
φ xy −1
Satz 9 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
Kernφ = {e} ⇐⇒ φ ist injektiv.
Beweis: =⇒: Angenommen, Kernφ = {e}. Man betrachte
x, y ∈ G mit φ(x) = φ(y ). Z.z.: x = y .
Def. Homomorph.
Satz 7
e = φ(x)(φ(y ))−1 = φ(x) φ(y −1 )
=
φ xy −1
Also, xy −1 ∈ Kernφ .
Satz 9 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
Kernφ = {e} ⇐⇒ φ ist injektiv.
Beweis: =⇒: Angenommen, Kernφ = {e}. Man betrachte
x, y ∈ G mit φ(x) = φ(y ). Z.z.: x = y .
Def. Homomorph.
Satz 7
e = φ(x)(φ(y ))−1 = φ(x) φ(y −1 )
=
φ xy −1
Also, xy −1 ∈ Kernφ . Da Kernφ = {e},
Satz 9 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
Kernφ = {e} ⇐⇒ φ ist injektiv.
Beweis: =⇒: Angenommen, Kernφ = {e}. Man betrachte
x, y ∈ G mit φ(x) = φ(y ). Z.z.: x = y .
Def. Homomorph.
Satz 7
e = φ(x)(φ(y ))−1 = φ(x) φ(y −1 )
=
φ xy −1
Also, xy −1 ∈ Kernφ . Da Kernφ = {e}, ist xy −1 = e.
Satz 9 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
Kernφ = {e} ⇐⇒ φ ist injektiv.
Beweis: =⇒: Angenommen, Kernφ = {e}. Man betrachte
x, y ∈ G mit φ(x) = φ(y ). Z.z.: x = y .
Def. Homomorph.
Satz 7
e = φ(x)(φ(y ))−1 = φ(x) φ(y −1 )
=
φ xy −1
Also, xy −1 ∈ Kernφ . Da Kernφ = {e}, ist xy −1 = e. Dann x = y .
Satz 9 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
Kernφ = {e} ⇐⇒ φ ist injektiv.
Beweis: =⇒: Angenommen, Kernφ = {e}. Man betrachte
x, y ∈ G mit φ(x) = φ(y ). Z.z.: x = y .
Def. Homomorph.
Satz 7
e = φ(x)(φ(y ))−1 = φ(x) φ(y −1 )
=
φ xy −1
Also, xy −1 ∈ Kernφ . Da Kernφ = {e}, ist xy −1 = e. Dann x = y .
⇐=: φ sei injektiv.
Satz 9 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
Kernφ = {e} ⇐⇒ φ ist injektiv.
Beweis: =⇒: Angenommen, Kernφ = {e}. Man betrachte
x, y ∈ G mit φ(x) = φ(y ). Z.z.: x = y .
Def. Homomorph.
Satz 7
e = φ(x)(φ(y ))−1 = φ(x) φ(y −1 )
=
φ xy −1
Also, xy −1 ∈ Kernφ . Da Kernφ = {e}, ist xy −1 = e. Dann x = y .
⇐=: φ sei injektiv. Dann besteht Kernφ := Urbildφ ({e}
Satz 9 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
Kernφ = {e} ⇐⇒ φ ist injektiv.
Beweis: =⇒: Angenommen, Kernφ = {e}. Man betrachte
x, y ∈ G mit φ(x) = φ(y ). Z.z.: x = y .
Def. Homomorph.
Satz 7
e = φ(x)(φ(y ))−1 = φ(x) φ(y −1 )
=
φ xy −1
Also, xy −1 ∈ Kernφ . Da Kernφ = {e}, ist xy −1 = e. Dann x = y .
⇐=: φ sei injektiv. Dann besteht Kernφ := Urbildφ ({e} aus
einem Element.
Satz 9 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
Kernφ = {e} ⇐⇒ φ ist injektiv.
Beweis: =⇒: Angenommen, Kernφ = {e}. Man betrachte
x, y ∈ G mit φ(x) = φ(y ). Z.z.: x = y .
Def. Homomorph.
Satz 7
e = φ(x)(φ(y ))−1 = φ(x) φ(y −1 )
=
φ xy −1
Also, xy −1 ∈ Kernφ . Da Kernφ = {e}, ist xy −1 = e. Dann x = y .
⇐=: φ sei injektiv. Dann besteht Kernφ := Urbildφ ({e} aus
einem Element. Aber Urbildφ ({e})
Satz 9 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
Kernφ = {e} ⇐⇒ φ ist injektiv.
Beweis: =⇒: Angenommen, Kernφ = {e}. Man betrachte
x, y ∈ G mit φ(x) = φ(y ). Z.z.: x = y .
Def. Homomorph.
Satz 7
e = φ(x)(φ(y ))−1 = φ(x) φ(y −1 )
=
φ xy −1
Also, xy −1 ∈ Kernφ . Da Kernφ = {e}, ist xy −1 = e. Dann x = y .
⇐=: φ sei injektiv. Dann besteht Kernφ := Urbildφ ({e} aus
einem Element. Aber Urbildφ ({e}) ist eine Untergruppe (Satz 8),
Satz 9 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
Kernφ = {e} ⇐⇒ φ ist injektiv.
Beweis: =⇒: Angenommen, Kernφ = {e}. Man betrachte
x, y ∈ G mit φ(x) = φ(y ). Z.z.: x = y .
Def. Homomorph.
Satz 7
e = φ(x)(φ(y ))−1 = φ(x) φ(y −1 )
=
φ xy −1
Also, xy −1 ∈ Kernφ . Da Kernφ = {e}, ist xy −1 = e. Dann x = y .
⇐=: φ sei injektiv. Dann besteht Kernφ := Urbildφ ({e} aus
einem Element. Aber Urbildφ ({e}) ist eine Untergruppe (Satz 8),
und deswegen enthält e.
Satz 9 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
Kernφ = {e} ⇐⇒ φ ist injektiv.
Beweis: =⇒: Angenommen, Kernφ = {e}. Man betrachte
x, y ∈ G mit φ(x) = φ(y ). Z.z.: x = y .
Def. Homomorph.
Satz 7
e = φ(x)(φ(y ))−1 = φ(x) φ(y −1 )
=
φ xy −1
Also, xy −1 ∈ Kernφ . Da Kernφ = {e}, ist xy −1 = e. Dann x = y .
⇐=: φ sei injektiv. Dann besteht Kernφ := Urbildφ ({e} aus
einem Element. Aber Urbildφ ({e}) ist eine Untergruppe (Satz 8),
und deswegen enthält e. Dann ist Kernφ = {e}.
Satz 9 Sei φ : G → H ein Homomorphismus. Dann gilt:
Kernφ = {e} ⇐⇒ φ ist injektiv.
Beweis: =⇒: Angenommen, Kernφ = {e}. Man betrachte
x, y ∈ G mit φ(x) = φ(y ). Z.z.: x = y .
Def. Homomorph.
Satz 7
e = φ(x)(φ(y ))−1 = φ(x) φ(y −1 )
=
φ xy −1
Also, xy −1 ∈ Kernφ . Da Kernφ = {e}, ist xy −1 = e. Dann x = y .
⇐=: φ sei injektiv. Dann besteht Kernφ := Urbildφ ({e} aus
einem Element. Aber Urbildφ ({e}) ist eine Untergruppe (Satz 8),
und deswegen enthält e. Dann ist Kernφ = {e}.
Satz 10 (Cayley
1821 –1895)
Satz 10 (Cayley
1821 –1895) Sei (G , ·) eine Gruppe,
Satz 10 (Cayley
#G = n < ∞.
1821 –1895) Sei (G , ·) eine Gruppe,
Satz 10 (Cayley
1821 –1895) Sei (G , ·) eine Gruppe,
#G = n < ∞. Dann gibt es eine Untegruppe H ⊆ Sn , s.d. G zu
H isomorph ist.
Satz 10 (Cayley
1821 –1895) Sei (G , ·) eine Gruppe,
#G = n < ∞. Dann gibt es eine Untegruppe H ⊆ Sn , s.d. G zu
H isomorph ist.
In Worten:
Satz 10 (Cayley
1821 –1895) Sei (G , ·) eine Gruppe,
#G = n < ∞. Dann gibt es eine Untegruppe H ⊆ Sn , s.d. G zu
H isomorph ist.
In Worten: Jede Gruppe ist isomorph zu einer Untergruppe einer
symmetrischen Gruppe.
Satz 10 (Cayley
1821 –1895) Sei (G , ·) eine Gruppe,
#G = n < ∞. Dann gibt es eine Untegruppe H ⊆ Sn , s.d. G zu
H isomorph ist.
In Worten: Jede Gruppe ist isomorph zu einer Untergruppe einer
symmetrischen Gruppe.
Logic des Abschnitts Gruppentheorie“:
”
◮
Definitionen
Satz 10 (Cayley
1821 –1895) Sei (G , ·) eine Gruppe,
#G = n < ∞. Dann gibt es eine Untegruppe H ⊆ Sn , s.d. G zu
H isomorph ist.
In Worten: Jede Gruppe ist isomorph zu einer Untergruppe einer
symmetrischen Gruppe.
Logic des Abschnitts Gruppentheorie“:
”
◮
Definitionen
◮
Einige Eigenschaften
Satz 10 (Cayley
1821 –1895) Sei (G , ·) eine Gruppe,
#G = n < ∞. Dann gibt es eine Untegruppe H ⊆ Sn , s.d. G zu
H isomorph ist.
In Worten: Jede Gruppe ist isomorph zu einer Untergruppe einer
symmetrischen Gruppe.
Logic des Abschnitts Gruppentheorie“:
”
◮
Definitionen
◮
Einige Eigenschaften
◮
Eine grosse Familie von Bsple (Sn und deren Untegruppen.)
Satz 10 (Cayley
1821 –1895) Sei (G , ·) eine Gruppe,
#G = n < ∞. Dann gibt es eine Untegruppe H ⊆ Sn , s.d. G zu
H isomorph ist.
In Worten: Jede Gruppe ist isomorph zu einer Untergruppe einer
symmetrischen Gruppe.
Logic des Abschnitts Gruppentheorie“:
”
◮
Definitionen
◮
Einige Eigenschaften
◮
Eine grosse Familie von Bsple (Sn und deren Untegruppen.)
◮
Die Aussage (Satz von Cayley), dass alle Gruppen die Gruppen
aus der Familie von Bsple sind
Satz 10 (Cayley
1821 –1895) Sei (G , ·) eine Gruppe,
#G = n < ∞. Dann gibt es eine Untegruppe H ⊆ Sn , s.d. G zu
H isomorph ist.
In Worten: Jede Gruppe ist isomorph zu einer Untergruppe einer
symmetrischen Gruppe.
Logic des Abschnitts Gruppentheorie“:
”
◮
Definitionen
◮
Einige Eigenschaften
◮
Eine grosse Familie von Bsple (Sn und deren Untegruppen.)
◮
Die Aussage (Satz von Cayley), dass alle Gruppen die Gruppen
aus der Familie von Bsple sind (bis zum Isomophismen)
Satz 10 (Cayley
1821 –1895) Sei (G , ·) eine Gruppe,
#G = n < ∞. Dann gibt es eine Untegruppe H ⊆ Sn , s.d. G zu
H isomorph ist.
In Worten: Jede Gruppe ist isomorph zu einer Untergruppe einer
symmetrischen Gruppe.
Logic des Abschnitts Gruppentheorie“:
”
◮
Definitionen
◮
Einige Eigenschaften
◮
Eine grosse Familie von Bsple (Sn und deren Untegruppen.)
◮
Die Aussage (Satz von Cayley), dass alle Gruppen die Gruppen
aus der Familie von Bsple sind (bis zum Isomophismen)
Solche Logic heißt synthetische Aufbau“ der
”
Theorie;
Satz 10 (Cayley
1821 –1895) Sei (G , ·) eine Gruppe,
#G = n < ∞. Dann gibt es eine Untegruppe H ⊆ Sn , s.d. G zu
H isomorph ist.
In Worten: Jede Gruppe ist isomorph zu einer Untergruppe einer
symmetrischen Gruppe.
Logic des Abschnitts Gruppentheorie“:
”
◮
Definitionen
◮
Einige Eigenschaften
◮
Eine grosse Familie von Bsple (Sn und deren Untegruppen.)
◮
Die Aussage (Satz von Cayley), dass alle Gruppen die Gruppen
aus der Familie von Bsple sind (bis zum Isomophismen)
Solche Logic heißt synthetische Aufbau“ der
” viele Theorien synthetisch
Theorie; wir werden
aufbauen.
Beweis.
Beweis. Wir fassen Sn als die Gruppe von Bijektionen
Beweis. Wir fassen Sn als die Gruppe von Bijektionen von G
nach G auf,
Beweis. Wir fassen Sn als die Gruppe von Bijektionen von G
nach G auf, und definieren φ : G → Sn wie folgt:
Beweis. Wir fassen Sn als die Gruppe von Bijektionen von G
nach G auf, und definieren φ : G → Sn wie folgt: φ(a)(b) = ab.
|{z}
∈Sn
Beweis. Wir fassen Sn als die Gruppe von Bijektionen von G
nach G auf, und definieren φ : G → Sn wie folgt: φ(a)(b) = ab.
|{z}
∈Sn
Behauptung 1:
Beweis. Wir fassen Sn als die Gruppe von Bijektionen von G
nach G auf, und definieren φ : G → Sn wie folgt: φ(a)(b) = ab.
|{z}
∈Sn
Behauptung 1: φ ist wohldefiniert:
Beweis. Wir fassen Sn als die Gruppe von Bijektionen von G
nach G auf, und definieren φ : G → Sn wie folgt: φ(a)(b) = ab.
|{z}
∈Sn
Behauptung 1: φ ist wohldefiniert: für jedes a ∈ G ist φ(a) eine
Bijektion von G nach G .
Beweis. Wir fassen Sn als die Gruppe von Bijektionen von G
nach G auf, und definieren φ : G → Sn wie folgt: φ(a)(b) = ab.
|{z}
∈Sn
Behauptung 1: φ ist wohldefiniert: für jedes a ∈ G ist φ(a) eine
Bijektion von G nach G .
Injektivität von φ(a):
Beweis. Wir fassen Sn als die Gruppe von Bijektionen von G
nach G auf, und definieren φ : G → Sn wie folgt: φ(a)(b) = ab.
|{z}
∈Sn
Behauptung 1: φ ist wohldefiniert: für jedes a ∈ G ist φ(a) eine
Bijektion von G nach G .
Injektivität von φ(a): Ist φ(a)(x) = φ(a)(y ),
Beweis. Wir fassen Sn als die Gruppe von Bijektionen von G
nach G auf, und definieren φ : G → Sn wie folgt: φ(a)(b) = ab.
|{z}
∈Sn
Behauptung 1: φ ist wohldefiniert: für jedes a ∈ G ist φ(a) eine
Bijektion von G nach G .
Injektivität von φ(a): Ist φ(a)(x) = φ(a)(y ), so ist ax = ay
Beweis. Wir fassen Sn als die Gruppe von Bijektionen von G
nach G auf, und definieren φ : G → Sn wie folgt: φ(a)(b) = ab.
|{z}
∈Sn
Behauptung 1: φ ist wohldefiniert: für jedes a ∈ G ist φ(a) eine
Bijektion von G nach G .
Injektivität von φ(a): Ist φ(a)(x) = φ(a)(y ), so ist ax = ay und,
nach multiplizieren mit a−1 ,
Beweis. Wir fassen Sn als die Gruppe von Bijektionen von G
nach G auf, und definieren φ : G → Sn wie folgt: φ(a)(b) = ab.
|{z}
∈Sn
Behauptung 1: φ ist wohldefiniert: für jedes a ∈ G ist φ(a) eine
Bijektion von G nach G .
Injektivität von φ(a): Ist φ(a)(x) = φ(a)(y ), so ist ax = ay und,
nach multiplizieren mit a−1 , ist x = y .
Surjektivität von φ(a):
Beweis. Wir fassen Sn als die Gruppe von Bijektionen von G
nach G auf, und definieren φ : G → Sn wie folgt: φ(a)(b) = ab.
|{z}
∈Sn
Behauptung 1: φ ist wohldefiniert: für jedes a ∈ G ist φ(a) eine
Bijektion von G nach G .
Injektivität von φ(a): Ist φ(a)(x) = φ(a)(y ), so ist ax = ay und,
nach multiplizieren mit a−1 , ist x = y .
Surjektivität von φ(a): Z.z.: ∀y ∈ G
Beweis. Wir fassen Sn als die Gruppe von Bijektionen von G
nach G auf, und definieren φ : G → Sn wie folgt: φ(a)(b) = ab.
|{z}
∈Sn
Behauptung 1: φ ist wohldefiniert: für jedes a ∈ G ist φ(a) eine
Bijektion von G nach G .
Injektivität von φ(a): Ist φ(a)(x) = φ(a)(y ), so ist ax = ay und,
nach multiplizieren mit a−1 , ist x = y .
Surjektivität von φ(a): Z.z.: ∀y ∈ G ∃x ∈ G
Beweis. Wir fassen Sn als die Gruppe von Bijektionen von G
nach G auf, und definieren φ : G → Sn wie folgt: φ(a)(b) = ab.
|{z}
∈Sn
Behauptung 1: φ ist wohldefiniert: für jedes a ∈ G ist φ(a) eine
Bijektion von G nach G .
Injektivität von φ(a): Ist φ(a)(x) = φ(a)(y ), so ist ax = ay und,
nach multiplizieren mit a−1 , ist x = y .
Surjektivität von φ(a): Z.z.: ∀y ∈ G ∃x ∈ G mit
φ(a)(x) = ax = y .
Beweis. Wir fassen Sn als die Gruppe von Bijektionen von G
nach G auf, und definieren φ : G → Sn wie folgt: φ(a)(b) = ab.
|{z}
∈Sn
Behauptung 1: φ ist wohldefiniert: für jedes a ∈ G ist φ(a) eine
Bijektion von G nach G .
Injektivität von φ(a): Ist φ(a)(x) = φ(a)(y ), so ist ax = ay und,
nach multiplizieren mit a−1 , ist x = y .
Surjektivität von φ(a): Z.z.: ∀y ∈ G ∃x ∈ G mit
φ(a)(x) = ax = y . Aber das ist erfüllt für x = a−1 y .
Beweis. Wir fassen Sn als die Gruppe von Bijektionen von G
nach G auf, und definieren φ : G → Sn wie folgt: φ(a)(b) = ab.
|{z}
∈Sn
Behauptung 1: φ ist wohldefiniert: für jedes a ∈ G ist φ(a) eine
Bijektion von G nach G .
Injektivität von φ(a): Ist φ(a)(x) = φ(a)(y ), so ist ax = ay und,
nach multiplizieren mit a−1 , ist x = y .
Surjektivität von φ(a): Z.z.: ∀y ∈ G ∃x ∈ G mit
φ(a)(x) = ax = y . Aber das ist erfüllt für x = a−1 y .
Also,
Beweis. Wir fassen Sn als die Gruppe von Bijektionen von G
nach G auf, und definieren φ : G → Sn wie folgt: φ(a)(b) = ab.
|{z}
∈Sn
Behauptung 1: φ ist wohldefiniert: für jedes a ∈ G ist φ(a) eine
Bijektion von G nach G .
Injektivität von φ(a): Ist φ(a)(x) = φ(a)(y ), so ist ax = ay und,
nach multiplizieren mit a−1 , ist x = y .
Surjektivität von φ(a): Z.z.: ∀y ∈ G ∃x ∈ G mit
φ(a)(x) = ax = y . Aber das ist erfüllt für x = a−1 y .
Also, ist φ(a) eine Bijektion,
Beweis. Wir fassen Sn als die Gruppe von Bijektionen von G
nach G auf, und definieren φ : G → Sn wie folgt: φ(a)(b) = ab.
|{z}
∈Sn
Behauptung 1: φ ist wohldefiniert: für jedes a ∈ G ist φ(a) eine
Bijektion von G nach G .
Injektivität von φ(a): Ist φ(a)(x) = φ(a)(y ), so ist ax = ay und,
nach multiplizieren mit a−1 , ist x = y .
Surjektivität von φ(a): Z.z.: ∀y ∈ G ∃x ∈ G mit
φ(a)(x) = ax = y . Aber das ist erfüllt für x = a−1 y .
Also, ist φ(a) eine Bijektion, und deswegen ist die Abbildung φ
wohldefiniert.
Beweis. Wir fassen Sn als die Gruppe von Bijektionen von G
nach G auf, und definieren φ : G → Sn wie folgt: φ(a)(b) = ab.
|{z}
∈Sn
Behauptung 1: φ ist wohldefiniert: für jedes a ∈ G ist φ(a) eine
Bijektion von G nach G .
Injektivität von φ(a): Ist φ(a)(x) = φ(a)(y ), so ist ax = ay und,
nach multiplizieren mit a−1 , ist x = y .
Surjektivität von φ(a): Z.z.: ∀y ∈ G ∃x ∈ G mit
φ(a)(x) = ax = y . Aber das ist erfüllt für x = a−1 y .
Also, ist φ(a) eine Bijektion, und deswegen ist die Abbildung φ
wohldefiniert.
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