I(y) y y - Hochschule Heilbronn

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Technik ● Wirtschaft ● Informatik
Heilbronn University
Institut für math.-naturw. Grundlagen
O6
Versuch O6: Beugung am Spalt
1. Aufgabenstellung
• Zu untersuchen sind die Phänomene der Lichtbeugung am Gitter, Einfach- und Doppelspalt und
die entsprechenden Intensitätsverteilungen.
• Berechnet wird die Wellenlänge λ des Lasers, Spaltbreite b und der Abstand g zweier Spalte.
2. Literatur
z.B.: Hering, Martin, Stohrer, Physik für Ingenieure, VDI-Verlag, Kap. 6.4.1.5, 6.4.1.6
Walcher, Praktikum der Physik, Teubner, Kap. 4.7.0 - 4.7.2, Tabelle A4.4
3. Grundlagen
Stichworte (siehe Literatur):
Beugung und Interferenz, kohärentes Licht, Elementarwellen, Huygens - Fresnelsches
Prinzip, Fraunhofer- u. Fresnel-Beugung, Spalt / Doppelspalt / Beugungsgitter,
Intensitätsverteilung bei Beugung am Einzel- u. Doppelspalt, Beugungswinkel für Minima u.
Maxima, Beugung am Gitter, Wellenlängenmessung mit Beugungsgitter, Mikroskop
(Objektiv, Vergrößerung, Zwischenbild, Okular)
3.1 Fraunhofer-Beugung am Einzelspalt
Ein enger Spalt der Breite b
wird mit kohärentem und
parallelem (→ „Fraunhofer - Beugung“) Licht der
Wellenlänge λ beleuchtet.
Auf einem Schirm in
großem Abstand L beobachtet man dann
ein Beugungsbild: helle und dunkle Streifen, d.h. eine Folge
von Minima und Maxima der Lichtintensität.
y
I(y)
y
Nach dem Huygens - Fresnelschen Prinzip geht von jedem von einer Welle erfassten Punkt eine
(kreis- bzw. kugelförmige) Elementarwelle aus. Die Überlagerung aller Elementarwellen ergibt die
resultierende Welle und damit das Beugungsbild. Wenn wie hier
die beleuchtete Höhe des Spaltes groß gegen die Spaltbreite ist,
dann muss die Intensitätsverteilung nur als Funktion des Winkels
α (bzw. der Koordinate y) betrachtet werden.
Δ=λ
Bei α = 0 überlagern sich alle Elementarwellen phasengleich
(kein Gangunterschied). Dies ergibt das Hauptmaximum.
b
λ/2
α
Wenn die von den Spalteenden ausgehenden Elementarwellen
4
gerade einen Gangunterschied von einer Wellenlänge λ (bzw.
2λ, 3λ,K ) haben, dann gibt es zu jeder Welle eine zweite Welle
3
im Abstand b/2 (bzw. b/ 4, b/ 6,K ) mit einem Gangunterschied
2
1
λ/2 (Bsp.: Wellen 1 u. 2, 3 u. 4, s. Skizze). In dieser Richtung
heben sich dann alle Elementarwellen paarweise weg. Ein Intensitäts-Minimum ergibt sich also
λ
bei
sin α m = ± m ⋅
, m = 1, 2, 3, K
b
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Versuch O 6
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Zwischen zwei Minima liegt jeweils ein Maximum. Die gesamte Intensitätsverteilung hat den
Verlauf (→ Literatur oder Skript)
2
⎡ ⎛ b
⎞⎤
⎢ sin⎜⎝ π λ ⋅ sin α⎟⎠ ⎥
⎥
(I0 : Intensität bei α=0)
I ( α) = I 0 ⋅ ⎢
⎢ ⎛⎜ π b ⋅ sin α⎞⎟ ⎥
⎢⎣ ⎝ λ
⎠ ⎥⎦
⎡ sin( πη) ⎤ 2
b
1
Mit der Abkürzung η = ⋅ sin α wird daraus I ( α ) = I 0 ⋅ ⎢
⎥ .
λ
⎣ πη ⎦
η Min = ±1, ± 2, ± 3, K
Die Minima erhält man (aus sin( πη) = 0 ) bei
. .., ± 2.46.., ± 3.47.., ± 4.48.., K
Maxima ergeben sich (1. Abl. = 0 setzen …!) bei η Max = ±143
(siehe auch Tabelle A4.4 bei Walcher). Häufig wird näherungsw. η Max ≈ ±15
. , ± 2.5, K verwendet.
3.2 Fraunhofer-Beugung am Doppelspalt
Die Intensitätsverteilung beim Doppelspalt (Mittenabstand g , Spaltbreite b,
es ist stets g>b !) ergibt sich zu (→ Literatur)
2
⎡ ⎛ b
⎞⎤
2
⎢ sin⎜⎝ π λ ⋅ sin α⎟⎠ ⎥
⎡ ⎛ g
⎞⎤
⎥
⋅ ⎢cos⎜ π ⋅ sin α⎟ ⎥
I ( α) I 0 = ⎢
(I0 : Intensität bei α=0)
⎠⎦
⎝ λ
⎢ ⎛⎜ π b ⋅ sin α⎞⎟ ⎥
⎣144
42444
3
⎢⎣ ⎝ λ
⎠ ⎥⎦
Interferenzfunktion
14442444
3
fehlende
Ordnung
Einzelspaltfunktion
Der erste Faktor stellt die Intensitätsverteilung des Einzelspalts dar, der zweite Faktor ergibt sich
aus der Interferenz zwischen den von den beiden Spalten ausgehenden Wellen. Er variiert schneller
als der erste Faktor (wegen g>b). Die Einzelspaltfunktion ist also die Einhüllende der schneller
variierenden Interferenzfunktion!
Zur Vereinfachung verwenden wir wieder geeignete Abkürzungen („Eta“ u. „Zeta“):
b
g
b
η = ⋅ sin α und
ζ = ⋅ sin α ;
es ist also η = ⋅ ζ
λ
λ
g
2
⎡ sin (πη) ⎤
Damit wird I (α ) = I 0 ⋅ ⎢
⋅ cos 2 (πζ ) .
⎥
⎣ (πη) ⎦
bei
ζ Min = ± 12 , ± 32 , ± 52 , K
Minima erhält man (aus cos(πζ ) = 0 )
2m − 1
oder ζ Min = ±
, m = 1, 2, 3, K
2
Die Maxima sind etwas aufwändiger zu berechnen (Max. abh. von b u. g ). In (grober) Näherung
liegen sie jeweils in der Mitte zwischen zwei Minima, also bei
ζ Max ≈ ± m, m = 1, 2, 3, K .
Zu beachten ist, dass evtl. eine Nullstelle der Einzelspaltfunktion auf ein Maximum der Interferenzfunktion fällt (z.B.
wenn g/b ganzzahlig ist!). Das Interferenz-Maximum verschwindet dann oder wird sehr klein („fehlende Ordnung“).
Ebenso kann auch eine Nullstelle der Interferenzfunktion mit einer Nullstelle der Einzelspaltfunktion zusammenfallen.
Dies führt dann zu einem besonders breiten, flachen Minimum der Intensität.
________________________________________________________________________________
1
Achtung: In der Literatur werden z.T. unterschiedliche Schreibweisen verwendet, z.B. „X“ bei Hering: X = π ⋅ η !
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3.3 Beugung am Gitter
Das Beugungsbild eines Doppelspalts erhält man also, wenn man das des Einzelspalts mit der
Interferenzfunktion aus 2 Wellen multipliziert (moduliert). Ähnlich sind die Verhältnisse beim
3-fach, 4-fach, … n-fach-Spalt. Je größer die Anzahl der interferierenden Wellen wird, desto
schärfer sind die Interferenzmaxima ausgeprägt. Ein Beugungsgitter besteht aus sehr vielen, eng
beieinander liegenden Spalten („Striche“). Im Versuch verwenden Sie Gitter mit ca. 100
Strichen/mm. Die Spaltbreite der einzelnen Öffnungen beträgt dann nur noch wenige µm! Das
Beugungsbild eines solchen dünnen Spalts ist sehr breit. Im Grenzfall eines „∞-kleinen“ Spalts
(b << λ ) erhält man hinter dem Spalt nur noch eine einzelne Elementarwelle, die sich in alle
Richtungen ausbreitet. Die Intensitätsverteilung hinter dem Gitter ist
deshalb hauptsächlich durch die Interferenz der von den einzelnen
Strichen ausgehenden Wellen bestimmt. Bei sehr vielen beleuchteten
Strichen heben sich die einzelnen Elementarwellen gegeneinander
Δ
weg, außer wenn der Gangunterschied Δ von Strich zu Strich genau
g
ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge beträgt:
Δ = g sin α = m ⋅ λ
Δ
(m = 1,2,K) !
Intensitätsmaxima erhält man also bei
α
g
sin α m = m ⋅
λ
g
Dadurch ergibt sich eine einfache und sehr genaue Methode zur
Wellenlängenmessung, die in der Spektroskopie vielfach angewendet wird!
3.4 Versuchsaufbau
Auf einer optischen Schiene sind eine Laserdiode, ein Spalt und eine Einrichtung zur Ermittlung
der Intensitätsverteilung montiert:
S
–
D
Laser
y=0
+
Spalt
S = Schirm mit Beleuchtungsspalt
D = Photoelement
M = Schrittmotor
BS = Beobachtungsschirm
BS
M
Die Intensität der Beugungsfigur wird mit einem Photoelement gemessen, das mit einem
Schrittmotor positioniert wird. Der transversale Stellbereich beträgt y = ± 25 mm. Die feste
Schrittweite des Motors von 1 µm erfordert über den Stellbereich von 50 mm insgesamt
50 000 Schritte. Sinnvoll für die Messung der Intensitätsverteilung ( -25 mm < y < + 25 mm) sind
allerdings nur etwa maximal 1000 Messpunkte (entspr. Schrittweite 50 µm), d.h. zwischen zwei
Messpunkten liegen dann jeweils 50 Schritte des Motors.
Das Stromsignal des Photoelements wird in eine Spannung umgewandelt, verstärkt (auf max. 6 V)
und in einem A/D-Wandler in 4096 Stufen (12 bit) aufgelöst. Zur Verringerung des Rauschens wird
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an jeder Position mehrfach gemessen und der Mittelwert gebildet. Die Standardabweichung s der
Einzelwerte wird ebenfalls angezeigt. s dient zur Beurteilung des Rauschens.
LabVIEW-Programm „BEUGUNG“ und Datenauswertung
Die Steuerung des Schrittmotors und die Aufnahme der Messwerte übernimmt das LabVIEWProgramm „BEUGUNG“. Folgen Sie den Hinweisen im Programm!
Sie können mit diesem Programm eine grafische Darstellung der Messwerte ausdrucken (als
Übersichtsdiagramm). Aus diesem Übersichtsdiagramm kann aber die Position der Minima und
Maxima nicht genau abgelesen werden. Für eine genaue Auswertung brauchen Sie deshalb die
Originaldaten. Diese werden als ASCII-Datei abgespeichert (Wertepaare: Ort y / mm , Intensität
I(y) / willk. Einheiten). Erstellen Sie daraus später (z.B. mit „Gnuplot“ , Excel etc.) stark
vergrößerte Darstellungen der einzelnen Minima/Maxima sowie ein Diagramm, in dem die
Messwerte zusammen mit der theoretischen Kurve dargestellt werden.
Hinweis: Auf den Rechnern am Versuch O6 ist normalerweise das international übliche Dezimaltrennzeichen
Punkt „ . “ eingestellt. So können die Daten problemlos mit den engl./amerik. Programm Gnuplot dargestellt werden.
Wenn Sie die Daten in Excel importieren wollen und Komma „ , “ verwenden, dann müssen Sie vorher mit einem
Editor „ . “ in „ , “ umwandeln! Einfacher ist es, wenn Sie auf Ihrem Rechner auch als Dezimaltrennzeichen „Punkt“
einstellen.
y
<< 1 ist (nicht beim Gitter!), kann
L
y
zur Umrechnung zwischen Winkel α und Koordinate y sin α ≈ tan α =
verwendet werden.
L
Berücksichtigt man noch eine (mögliche) Verschiebung der optischen Achse um y0, so ergibt sich:
Das Beugungsbild wird als Funktion von y gemessen. Wenn
tan α =
y − y0
y − y0
. Für kleine Winkel gilt wieder: sin α ≈
L
L
2
b
⎡ sin (πη) ⎤
b y − y0
Einzelspalt: I ( y ) = I 0 ⋅ ⎢
mit
η = ⋅ sin α ⇒ η = ⋅
⎥
λ
L
λ
⎣ πη ⎦
Experimentell werden die Positionen ym der Minima und Maxima (mit bekannten theoretischen
Werten ηMin , ηMax !) bestimmt. Trägt man jetzt die ym als Funktion der zugehörigen ηm auf, so
ergibt sich eine Gerade y (η) :
b y − y0
λ
η= ⋅
⇒ y=
L ⋅η +
y
{0
L
λ
b
{
Achsenabschnitt
Steigung
Aus der Steigung („bGerade“) kann dann bei bekannter Wellenlänge λ die Spaltbreite b (bzw. bei bek.
Spaltbreite b die Wellenlänge λ) bestimmt werden.
2
b
⎡ sin (πη)⎤
b y − y0
Doppelspalt: I ( y ) = I 0 ⋅ ⎢
⋅ cos 2 (πζ )
mit
η = ⋅ sin α ⇒ η = ⋅
⎥
λ
L
λ
⎣ (πη) ⎦
g
g y − y0
ζ = ⋅ sin α ⇒ ζ = ⋅
und
λ
L
λ
Die Auswertung kann ähnlich wie beim Einzelspalt erfolgen, d.h. man formt ζ = ( g λ ) ⋅ ( y − y0 ) L
so um, dass man für y (ζ ) eine Geradengleichung erhält. Man trägt dann die gemessenen y-Werte
als Funktion der (bekannten) ζ auf und kann dann aus der Geradensteigung den Spaltabstand g
bestimmen.
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4. Messprogramm
Schauen Sie nie mit bloßem Auge, d.h. nie ohne spezielle Schutzbrille,
direkt in die von der Laserdiode ausgehende Strahlung!
4.1. Wellenlängenbestimmung mit Beugungsgitter
Stellen Sie zunächst den weißen Beobachtungsschirm BS auf die optische Schiene
unmittelbar vor den Schlitten und ein Beugungsgitter vor die Laserdiode (verwenden Sie ein
1
Gitter mit Spaltabstand g ≈ 100
mm . Verwendetes g notieren!). Messen Sie den Abstand L
zwischen Spalt und Schirm sowie den Abstand d zwischen zwei symmetrisch zur optischen
Achse liegenden Beugungsmaxima (1 Messung pro Teilnehmer, Messgenauigkeit schätzen!).
Verwenden Sie die höchste noch deutlich zu erkennende Ordnung m, d.h. die zwei Maxima
mit dem größten Abstand d. Hinweis: tan α m = (d 2) L
Achtung!!!
Berechnen Sie aus g , d , L und m sofort die Wellenlänge λ!
4.2. Beugung am Einzelspalt – Veränderung der Spaltbreite
Stellen Sie jetzt den verstellbaren Spalt vor die Laserdiode gemäß Skizze S. 1).
Variieren Sie die Spaltbreite und beobachten Sie die Veränderung der Intensitätsverteilung
auf dem Schirm. Skizzieren Sie qualitativ die Intensitätsverteilung bei zwei verschiedenen
Spaltbreiten („eng“ u. „weit“)!
4.3. Beugung am Einzelspalt – Messung der Intensitätsverteilung
Stellen Sie den variablen Spalt so ein, dass Sie neben dem Hauptmaximum noch mehrere
Nebenmaxima erkennen können.
Messen Sie die Entfernung L zwischen Spalt und Detektor (Photoelement)!
Messen Sie die Intensitätsverteilung (mit geeigneter Schrittweite etc.) mit Hilfe des
Programms „BEUGUNG“. Drucken Sie die Grafik aus und speichern Sie Ihre Messwerte (in
einem eigenen Unterverzeichnis).
Messen Sie mit Hilfe des Mikroskops die Spaltbreite b !
4.4. Beugung am Doppelspalt – Messung der Intensitätsverteilung
Setzen Sie jetzt anstelle des Einzelspaltes die Halterung mit dem Doppelspalt auf die optische
Bank (Abstand L zwischen Doppelspalt und Detektor neu messen!) und messen Sie analog
zu 4.3 die Intensitätsverteilung mit einem Doppelspalt (angegebene Werte b u. g notieren) !
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5. Auswertung
5.1
Wellenlängenbestimmung mit Beugungsgitter
Berechnen Sie die Wellenlänge λ des Laserlichts (mit Fehlerrechnung!). Vergleichen Sie Ihr
Ergebnis mit der Herstellerangabe.
5.2
Beugung am Einzelspalt – Veränderung der Spaltbreite
Beschreiben (und erklären! ) Sie qualitativ, wie sich das Beugungsbild verändert, wenn die
Spaltbreite variiert wird!
5.3
Bestimmung der Spaltbreite b aus dem Beugungsbild des Einzelspalts
Stellen Sie Ihre abgespeicherten Messwerte (z.B. mit Gnuplot, Excel, …) graphisch dar.
Machen Sie Ausschnittsvergrößerungen, auf denen Sie die genaue Position y des
Hauptmaximums und aller Nebenmaxima und Minima ablesen können (mit Schätzung der
Genauigkeit!). Drucken Sie einige dieser Grafiken
y /mm
η
als Beispiel aus und markieren Sie darauf die daraus Bezeichnung
0
5,25 ± 0,10
bestimmten Minima/Maxima. Stellen Sie die Hauptmax.
1.
Min.
links
-1
y-Werte der Minima/Maxima in einer Tabelle
0,70 ± 0,05
einschl. der zugeordneten theoretischen η-Werte 1. Max. links
-1,43 -3,35 ± 0,15
zusammen.
Beispiel →
…
… …
Tragen Sie die Werte in einem linearen Diagramm auf (Abszisse: η, Ordinate: y !).
Bestimmen Sie die ausgleichende Gerade (am besten rechnerisch). Der Achsenabschnitt y0
der Geraden ergibt die (genaue) Position der optischen Achse und sollte nahe bei Null liegen.
Berechnen Sie aus der Geradensteigung bGerade und der Wellenlänge des Laserlichts die
Spaltbreite b (Fehlerrechnung!). Vergleichen Sie b mit der mittels Mikroskop bestimmten
Spaltbreite!
Stellen Sie zum Vergleich Ihre Messwerte (Punkte) zusammen mit der theoretischen
Intensitätsverteilung (Kurve) in einem Diagramm dar (siehe Gnuplot-Datei „O6_spalt.plt“)!
Dazu müssen Sie außer b, L, y0 noch I0 und evtl. die Nullpunktsverschiebung („offset“) des
ADC aus der Messung bestimmen (und im Bericht angeben)!
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5.4
O6
Bestimmung des Spaltabstands g aus dem Beugungsbild des Doppelspalts
Bestimmen Sie die y-Werte der Minima und Maxima (Tabelle, vergl. Einzelspalt!).
Für die weitere Auswertung werden aber nur das Hauptmaximum und die Nebenminima
verwendet, die eindeutig einer Nullstelle der Interferenzfunktion ( cos(πζ ) = 0 ,
ζ Min = ± 12 ,± 32 ,± 52 ,K ) zugeordnet werden können. Ausgelassen werden also:
Ž Alle Nebenmaxima2
Ž Interferenzminima, die mit einer Nullstelle der Spaltfunktion zusammenfallen
Ž Interferenzminima, die direkt vor oder nach einer Nullstelle der Einzelspaltfunktion
liegen und deshalb nur ungenau bestimmt werden können
Es müssen auf jeder Seite auch mindestens zwei Minima ausgewertet werden, die außerhalb
der ersten Spalt-Nullstelle liegen. Achten Sie dabei auf die richtige Zuordnung der ζWerte (potentielle Fehlerquelle!) insbesondere dann, wenn eine Nullstelle der
Einzelspaltfunktion auf ein Maximum der Interferenzfunktion fällt („fehlende Ordnung“)!
Stellen Sie diese y-Werte in einem linearen Diagramm als Funktion von ζ (vergl. 3.2) dar.
Bestimmen Sie die ausgleichende Gerade (am besten rechnerisch). Berechnen Sie aus der
Geradensteigung den Abstand g der beiden Spalte (Fehlerrechnung!) und vergleichen Sie
diesen mit der Herstellerangabe!
Wenn nicht alle Punkte auf einer Geraden liegen, dann ist häufig die Zuordnung der ζ - Werte
falsch. Überprüfen Sie diese gegebenenfalls! U.U. ist es dazu hilfreich, zunächst die
theoretischen Kurven für den Einzel- und Doppelspalt (evtl. zusammen mit den Messwerten)
darzustellen.
Freiwillige Zusatzaufgabe: Sie können nun wieder die gemessene und die theoretische Intensitätsverteilung und
die Lage der Nebenmaxima vergleichen. Hinweise: Bei welchen ζ - Werten liegen (bei gegebenem b u. g) die
Maxima? Verwenden Sie entweder die grobe Näherungsformel (siehe 3.2) oder bestimmen Sie diese Werte
genauer, z. B. graphisch aus einer entspr. Darstellung der theoretischen Intensitätsverteilung! Tragen Sie dann
die Nebenmaxima-Werte zusammen mit den Minima in das Ausgleichsgeraden-Diagramm ein (versch. Farben
oder Symbole!). Liegen auch die Maxima auf der Geraden?
Wellenlänge der Laserdiode Typ ILE-LDA 2011:
(Laser Klasse 3A, 5 mW !)
(670 ± 10) nm
Abbildungsmaßstab des Objektivs:
Objektiv Nr. 2 (nominal „10 x“ ) :
β’ = 9.63
Teilung des Okular-Schraubenmikrometers:
Die mit Ziffern bezeichneten Skalenteile entsprechen
die Teilstriche dazwischen entsprechen
mit der Nonius-Skala können abgelesen werden
mm
1/10 mm
1/100 mm
(jeweils in der Zwischenbildebene des Mikroskops)
________________________________________________________________________________
2
Die theoretische Lage der Nebenmaxima (bzw ζ Max ) hängt nicht nur von g , sondern auch von b ab
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