Integrieren

Ergänzungen zu Physik I
Integrieren
Integrieren
1. Stammfunktion
Definition Stammfunktion:
dF (x)
Gegeben sei eine Funktion f (x). Gesucht ist eine
R Funktion F (x), so dass dx = f (x). Die Funktion F(x)
heisst Stammfunktion. Schreibweise: F (x) = f (x)dx. Man spricht auch vom unbestimmmten Integral.
Das Suchen einer Stammfunktion ist also die Umkehrung des Differenzierens.
Die Stammfunktion ist nur bis auf eine beliebige Konstante eindeutig. Sei F (x) eine Stammfunktion von
d
f (x), dann ist auch F (x) + C eine Stammfunktion, da dx
(F (x) + C) = dFdx(x) .
Beispiele:
Z
cos(x) dx = sin(x) + c
Z
(1)
et dt = et + c
(2)
In solch unkomplizierte Fällen kann man einfach eine Tabelle mit den wichtigsten Ableitungen (z.B. aus
einer Formelsammlung) rückwärts lesen, und schon hat man die Stammfunktionen.
Beispiel: Integrieren der Bewegungsgleichung
m
x
F=G
Der Körper im Bild wird durch eine konstante Kraft beschleunigt: mẍ = F = konst, also ẍ = F/m = a.
Z
v(t) = ẋ = a dt = a t + v0 ,
(3)
x
wobei v0 = v(t=0) die Anfangsbedingung für die Geschwindigkeit darstellt.
Z
a
x(t) = v dt = t2 + v0 t + x0 ,
(4)
2
v
a
mit x0 = x(t=0) der Anfangsbedingung für den Ort.
2. Das bestimmte Integral
Das bestimmte Integral bildet man als Differenz zweier Werte des unbestimmten Integrals:
(F (x) + c)|x=b − (F (x) + c)|x=a = F (b) − F (a) = F (x)|ba
(5)
1
Ergänzungen zu Physik I
Integrieren
Dabei fällt die Integrationskonstante heraus. Wir haben also wieder ein eindeutiges Resultat, eben das
bestimmte Integral.
Man schreibt auch (Hauptsatz der Integralrechnung):
Zb
f (x) dx = F (x)|ba = F (b) − F (a)
(6)
a
Offensichtlich gelten folgende Beziehungen:
Zb
Za
f (x) dx = −
a
f (x) dx
(7)
b
Za
f (x) dx = 0
(8)
a
Zb
Zc
f (x) dx +
a
Zc
f (x) dx =
f (x) dx
(9)
a
b
Beim Integrieren handelt es sich (wie beim Differenzieren) um eine lineare Operation:
Z
Z
Z
(a · f (x) + b · g(x)) dx = a · f (x) dx + b · g(x) dx
(10)
Beispiel:
Sei f (x) = x2 und a = 1, b = 2. Wir erhalten:
Z2
x2 dx =
x3 2
8 1
7
| = − =
3 1
3 3
3
1
Graphische Veranschaulichung:
Die schraffierte Fläche zwischen a und b unterhalb des Graphen y = f (x) ist gleich dem bestimmten
Integral.
f(x)
f(x)
f(x i)
a xi b
x
2
Ergänzungen zu Physik I
Integrieren
Um das zu sehen, teilen wir die schraffierte Fläche in kleine Rechtecke Ai (grau in der Figur) mit der
Breite ∆x und der Höhe f (xi ). Die Gesamtfläche ist die Summe aller Flächen Ai :
A=
xX
i =b
f (xi )∆x =
X
xi =a
Zb
dF (xi ) = F (b) − F (a) =
i
f (x) dx,
(11)
a
wobei wir benützen, dass F die Stammfunktion von f ist und somit F 0 = f . Ausserdem ist nach Definition
die Änderung der Funktion F zwischen zwei Stützpunkten dF (xi ) = F (xi+1 ) − F (xi ).
3. Integration durch Substitution
Für verschachtelte Integrationen braucht man eine Regel, ähnlich zur Kettenregel beim Ableiten. Wir
veranschaulichen dies an einem Beispiel. Was gibt
Zπ/2
dx sin(2x + 1) =?
0
Wir substituieren:
y = 2x + 1 → x =
1
(y − 1)
2
Durch Einsetzen erhalten wir:
Zb
und somit
Zb
dx sin(2x + 1) =
a
dx =
∂x
1
dy = dy.
∂y
2
1
1
dy sin(y) = − cos(y)|ba
2
2
a
Jetzt müssen wir auch noch die Grenzen in der neuen Variable y ausdrücken: Bei a ist x = 0, also y = 1.
Bei b ist x = π/2, also y = π + 1. Damit wird
Zπ/2
1
dx sin(2x + 1) = − cos(y)|y=π+1
= 0.5403.
y=1
2
0
4. Partielle Integration
Die partielle Integration erhalten wir aus der Produktregel beim Ableiten:
du
dv
d(uv)
=
v+u
oder
d(uv) = vdu + udv
dx
dx
dx
Wir sortieren um und integrieren von a bis b:
Z b
Z b
udv = uv|ba −
vdu ,
a
(12)
(13)
a
wobei u(x) und v(x) stetige Ableitungen besitzen müssen.
Ein Beispiel:
π/2
R
sin2 (x) dx =
0
π/2
R
0
−
π/2
R
(− cos2 (x)) dx
0
π/2
R
π/2
R
π/2
1 − sin2 (x) dx = − sin(x) cos(x)|0 +
dx −
sin2 (x) dx. Jetzt können wir
0
0
0
R π/2 2
π/2
die sin2 (x) auf die linke Seite bringen, und erhalten:
sin (x) dx = 12 (x − sin(x) cos(x))|0 = π4 .
0
Das sieht ziemlich tricky aus, ist aber typisch für das Integrationsgeschäft.
π/2
= − sin(x) cos(x)|0
+
π/2
R
π/2
sin x d(−cosx)
dx = − sin(x) cos(x)|0
dx
3
Ergänzungen zu Physik I
Integrieren
5. Numerische Integration
Viele Integrale lassen sich nicht lösen, aber mit dem Computer kann man das Problem numerisch angehen.
Man wählt ein festes Intervall für dx und nennt es ∆x. Das Integral wird angenähert durch die Summe
der Funktionswerten f (xi ) im Zentrum jedes Intervalles i mal ∆x.
Zb
xX
i =b
f (x)dx →
f (xi )∆x
(14)
xi =a
a
Macht man ∆x hinreichend klein, so wird das Integral ziemlich genau.
6. Integration entlang einer Kurve
Linienintegrale sind Integrale, die nicht entlang der normalen Achsenvariable x integriert werden, sondern
entlang eines Kurvenparameters, beispielsweise entlang der Bogenlänge s auf einer Kurve. Zum Beispiel
berechnet sich die Arbeit W , die man entlang einer Kurve s vom Anfangspunkt a bis zum Endpunkt b
verrichten muss, durch Kraft mal Weg”:
”
Zb
~ · d~s.
W = G
(15)
a
~ · d~s = G ds cos α(s) und müssen dieses von a nach b nach der
Wir brauchen also das Skalarprodukt G
Variable s integrieren.
y
b
s
ds
G
a
α
x
Um dies konkret ausrechnen zu können, muss man die Parametrisierung der Kurve kennen. Nehmen wir
als Beispiel einen Viertelkreis.
y
ds
b
α
R
G
ϕ
a
x
4
Ergänzungen zu Physik I
Integrieren
Dann lautet die Parametrisierung: x = R cos(ϕ); y = R sin(ϕ); ds = Rdϕ. Die Winkel in der Zeichnung
stehen in Beziehung: α = π − ϕ, und somit gilt cos(α) = − cos(ϕ). Wir haben also:
Zb
W =−
~ · d~s = +
G
a
Zb
s=π/2
G R dϕ cos(ϕ) = G R sin(ϕ)|s=0
= G R.
a
Dies ist wie erwartet gleich viel, wie wenn man zuerst horizontal bis zum Zentrum des Kreises gehen
würde und anschliessend senkrecht nach oben.
Bewegt sich ein Integral entlang einer geschlossenen Kurve (es ist also a = b, als Beispiel stelle man sich
einen vollen Kreis vor), so versieht man das Integralzeichen mit einem Kringel und der Wegbezeichnung,
hier:
I
~ = 0.
~ · ds
G
(16)
C
In unserem Beispiel ist die Arbeit entlang einer geschlossenen Kurve immer null, falls die Energie erhalten
bleibt.
Es gibt auch höher-dimensionale Integrale, nämlich:
• Flächenintegrale. Beispiel: der Fluss eines Vektorfeldes durch eine Fläche A. Der Normalenvektor
~n steht senkrecht auf A und hat die Länge 1. Dann gilt:
Z
~ · ~n dA.
(17)
φ= B
A
Dies ist ein zweidimensionales Integral, man muss zum Beispiel dA = dx · dy setzen! [Statt ~n dA
~
findet man manchmal auch die Schreibweise dA.]
• Volumenintegrale: Beispiel: die Gesamtmasse eines Objektes. Sie berechnet sich aus dessen Dichteverteilung %(x, y, z) wie folgt:
Z
M = % dV,
(18)
V
wobei dV das dreidimensionale Volumenelement bedeutet. In kartesischen Koordinaten schreiben
wir dV = dx dy dz.
Als Beispiel berechnen wir die Masse einer homogenen Kugel mit Radius R und Dichte %. Wir
wählen als Koordinatenursprung das Zentrum der Kugel. Anhand einer Skizze macht man sich
leicht klar, dass das Volumenelement in Polarkoordinaten folgendermassen aussieht:
dV = r2 sin θ dr dθ dϕ.
(19)
Das Volumenintegral wird damit zu:
r=R
Z θ=π
Z ϕ=2π
Z
2
r=R
Z
% r sin θ dr dθ dϕ = %
M=
r=0 θ=0
ϕ=0
2
θ=π
Z
r dr
r=0
ϕ=2π
Z
sin θ dθ
θ=0
dϕ =
4π 3
R %.
3
(20)
ϕ=0
5