Lösung - Physik

Freiwillige Aufgaben zur Vorlesung WS 2002/2003, Blatt 4
40) Auf einem kleinen Teich befindet sich eine 1 cm dicke Eisschicht. Die Luft darüber
hat die Temperatur = - 10 °C. Wie lange dauert es, bis die Eisschicht auf eine Dicke von
20 cm angewachsen ist?
Schmelzwärme von Wasser: QS = 334 J / g, Dichte von Eis: ρ = 917 kg / m3,
Wärmeleitfähigkeit von Eis: λ = 2,21 W / m ⋅ K
∆T
dt transportiert.
Durch Eisdecke wird pro Zeiteinheit dt die Wärmemenge dQ = λ⋅A⋅
x
dQ
Beim Entzug dieser Wärmemenge wird die Masse dm =
neu gebildet.
QS
A
dm = ρ ⋅ dV =ρ ⋅ A ⋅ dx :
ρ ⋅ A ⋅ dx ⋅ QS = dQ = λ ⋅ A ⋅
dt =
ρ ⋅ QS
⋅ x dx
λ ⋅ ∆T
∆T
dt
x
bzw.
und
1 ρ ⋅ QS 2 0,914 g / cm3⋅ 334 J / g ⋅ 400 cm2
t=
⋅x =
= 276268 s = 76,74 h = 3,2 Tage.
2
2 λ ⋅ ∆T
2 ⋅ 2,21 J / (s ⋅ 10 cm ⋅ K ) ⋅ 10 K
41) Die G-Saite einer Violine hat eine Länge l = 30 cm. Wenn sie ohne Griff gespielt
wird, schwingt sie mit einer Frequenz νg = 196 Hz. Als nächst höhere
Schwingungsmoden folgen die Violinnoten a (νa = 220 Hz), h (νh = 247 Hz), c (νc = 262
Hz) und d (νd = 294 Hz). Wie weit vom Saitenende entfernt muß jeweils der Finger
gesetzt werden, um diese Töne zu spielen?
Wellenlänge der Grundschwingung einer Saite der Länge l : λG = 2 l
(es bildet sich stehende Welle mit je einem Bewegungsknoten an den Saitenenden aus,
d.h. auf Saite findet eine halbe Wellenlänge Platz ).
v
v
=
Dazu gehört Frequenz ν0 =
λG 2 l
Die höheren Töne entsprechen Grundschwingungen der verkürzten Saite (Finger
bewirkt Bewegungsknoten!), die der gleichen Beziehung gehorchen, also ist
ν0(g) l(a)
=
ν0(a) l(g)
bzw.
ν0( g)
l(a) = l(g) ⋅
ν 0 (a )
ν ( g)
∆a = l( g) − l(a) = l(g) ⋅ (1 − 0 )
ν 0 (a )
∆a = 30 cm ⋅ (1 – 196 Hz / 220 Hz) = 30 cm ⋅ (1 - 0,891) = 3,27 cm
Notwendiger Abstand vom Saitenende
Analog ∆h = 6,19 cm, ∆c = 7,56 cm und ∆d = 10 cm.
42) Von der Decke eines Saales schwingt eine Schallquelle (m = 100 g) an einer Feder
der Richtgröße D = 3,6 N/m mit einer Amplitude x0 = 1 m auf und ab. Sie strahlt dabei
kontinuierlich einen Ton der Frequenz ν = 5000 Hz auf eine senkrecht darunter
befindliche Person. Zeichnen Sie über zwei Schwingungsperioden der Feder den
Frequenzverlauf des Tones, den dieser Beobachter wahrnimmt!
c Schall = 340 m/s
Feder schwingt mit Amplitude x = x0 cos ω t, dabei Geschwindigkeit v (= dx/dt)
= x0 ω sin ω t. Deshalb Änderung der registrierten Frequenz infolge Doppler-Effekt.
ν
(Pluszeichen, wenn sich Quelle
Bei bewegter Quelle gilt ν = 0
v
vom Beobachter entfernt ).
1±
c
1
Re ihenentwic klung :
= 1 m x ( + x 2 + ...).
1± x
Höhere Glieder können weggelasse n werden,
da klein (Fehler < 2 %)
v
x ω sin ω t
⇒ ν = ν0 (1 m ) = ν0 (1 + 0
)
c
c
( Vorzeichen in Sinusfunkt ion enthalten )
D
2π
Mit ω =
= 1,047 s :
= 6 Hz und T =
m
ω
Zeit (s)
5100
5080
5060
Frequenz (Hz)
5040
5020
5000
4980
4960
4940
4920
4900
0,0
⇒
x0 ω
6m / s
=
= 0,01765
c
340 m / s
0,5
1,0
1,5
2,0
Re gistrierter Ton variiert periodisch mit
max imal 1,8 % = 90 Hz um abgestrahl ten Wert.
43) Drei gleich große positive Ladungen Q = 10-7 As befinden sich an den Ecken eines
gleichseitigen Dreiecks von 10 cm Kantenlänge. Wie groß müßte eine negative Ladung
im Mittelpunkt des Dreiecks sein, damit Gleichgewicht der Kräfte besteht? Wäre dieses
Gebilde nach außen hin elektrisch neutral?
As
ε 0 =8,854⋅10 −12
Vm
Q2
Negative Ladung (im Mittelpunkt des gleichseitigen
Dreiecks) ist symmetrisch von den drei positiven Ladungen
umgeben → Kräfte auf -Q heben sich auf
a
l
(x-Komponenten der Kräfte von Q1 und Q3 auf – Q heben
sich auf, ihre y-Komponenten sind jeweils halb so groß
x
wie die entgegengesetzt gerichtete Kraft durch Q2).
Für die äußeren Ladungen genügt (ebenfalls aus
Symmetriegründen) die Diskussion eines Falles
(z.B. Summe der Kräfte auf Q2):
Q3
Q1
x-Komponenten der von Q1 und Q3 bewirkten Kräfte heben sich wieder gegenseitig auf.
1
Q1
Q3
Q
F
Q
(
cos
30
cos
30
=
°
+
°
−
)
Summe der y-Komponenten:
y
2 2
2
2
4 π ε0
a
l
l
Q
Q
0, wenn die Klammer 0 wird bzw., da Q1 = Q3, wenn 2 21 cos 30° = 2
a
l
2
Q a cos 30°
Q1
Q
l
=
= 1 = 5,77 ⋅ 10 −8 As.
= a ⋅ cos 30° , l2 = 4 a2 cos2 30° : Q = 2 ⋅ 12
3
2
4 a cos2 30° 2 cos 30°
Ladungssumme: 3 Q1 - Q = 2,42 ⋅ 10-7 As : Nicht neutral.
44) Eine Kupfer- und eine Aluminiumleitung haben gleiche elektrische Widerstände und
gleiche Massen. In welchem Verhältnis stehen ihre Längen und Radien?
Spezifische Widerstände: ρAl = 2,8 ⋅ 10-8 Ωm, ρCu = 1,7 ⋅ 10-8 Ωm
2
l Al
l Cu
l Al ρCu rAl
ρ Al ⋅
= ρCu ⋅
bzw.
=
⋅
Gleicher Widerstand heißt
2
2
l Cu ρ Al r 2
π ⋅ rAl
π ⋅ rCu
Cu
2
l Al dCu rCu
2
2
dAl ⋅ l Al ⋅ π ⋅ rAl = dCu ⋅ l Cu ⋅ π ⋅ rCu bzw.
=
⋅
gleiche Masse
l Cu dAl r 2
Al
4
8
3
−
rCu ρ Cu ⋅ d Al 1,7 ⋅10 Ω m ⋅ 2700 kg / m
rCu 4
= 0,1838 = 0,65.
=
=
= 0,1838 .
Damit
4
rAl
ρ Al ⋅ dCu 2,8 ⋅10 − 8 Ω m ⋅ 8920 kg / m 3
rAl
2
l Cu ρ Al rCu 2,8
=
⋅
=
⋅ 0,1838 = 0,71
2
l Al ρ Cu r
1,7
Al
45) Die gesamte (Wärme-)Strahlung eines
schwarzen Körpers ist proportional zu
(A) T0
(B) T1
(C) T2
(D) T3
(E) Keine Antwort ist richtig
T4 !
E
46) Bei einem Probanden werden 36 Pulsschläge in einer Viertelminute gezählt.
Seine Pulsfrequenz beträgt dann
(A) 2,4 Hz
(B) 9 Hz
(C) 24 Hz
(D) 36 Hz
(E) 144 Hz
A
36 / 15 s
47) Die Amplitudenfunktion einer
gedämpften harmonischen
Schwingung zeigt Bild
B
48) Ultraschall unterscheidet sich von hörbarem Schall wesentlich durch eine größere
(A) Ausbreitungsgeschwindigkeit
(B) Frequenz
(C) Schalldruckamplitude
(D) Schwingungsdauer
(E) Wellenlänge
B
49) Die Größenordnung der Elementarladung (Ladung eines Elektrons) ist
(A) 10-23 C
(B) 10-19 C
(C) 10-6 C
(D) 106 C
(E) 1019 C
B
50) Ein elektrisches Gerät nimmt eine Leistung P = 100 W auf, wenn man es an eine
Spannung U = 200 V anschließt. Dann beträgt der elektrische Widerstand R des
Geräts
(A) R = 1/2 Ω
(B) R = 2 Ω
(C) R = 200 Ω
(D) R = 400 Ω
(E) R = 20 k Ω
U
P = U ⋅I = U ⋅
R
⇒
D
U2
R=
P
51) Der Spannungsabfall zwischen den Punkten A
und B beträgt
(A) 1 V
(B) 3 V
(C) 6 V
(D) 10 V
(E) 12 V
B
RP = 3 Ω
52) Ein Kondensator mit der Kapazität C = 100 µF wird auf
die Spannung U = 8 V aufgeladen. Nach Beendigung des
Ladevorgangs enthält der Kondensator die Ladung Q =
(A) 8 mC
(B) 0,8 C
(C) 800 C
(D) 0,8 mC
(E) 0,08 C
Q=C⋅U
D