Slides aus Vorlesung 10 - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp

Lineare Algebra I
- 10.Vorlesung Prof. Dr. Daniel Roggenkamp
&
Falko Gauß
Aus der letzten Vorlesung:
linear unabhängiges Erzeugendensystem
4 Vektorräume
Vektorräume
haben eine Basis!
31
Vektorraum ist endlich-dimensional
Definition
4.25. Manendliche
nennt einen
endlich
erzeugt
BasisVektorraum endlich-dimensional, wenn er eine endliche Basis besitzt.
Satz 4.26 (Austauschsatz von Steinitz). Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. T ✓ V
eine endliche Teilmenge, die V erzeugt, und S ✓ V eine linear unabhängige Menge. Dann
gilt
(1) |S|  |T |
(2) S kann durch |T | |S| Elemente von T zu einem Erzeugendensystem von V ergänzt
werden.
Beweis. Beweis durch vollständige
Induktion
|S|. Für |S| = 0, d.h.
S = ; ist die
Alle Basen
einesnach
endlich-dimensionale
Vektorraumes
Behauptung trivial. Angenommen diehaben
Behauptung
gilt für
alle Mengen
mit weniger als |S|
die
gleiche
Anzahl
von
Elementen!
Elementen. Sei b 2 S, und S 0 := S \ {b}. S 0 ist linear unabhängig. Sei n := |T | |S 0 |. Dann
ist nach (1) n
0 und es gibt nach (2) t1 , . . . , tn 2 T , sodass S 0 [ {t1P
, . . . , tn } V erzeugt.
Insbesondere gibt es ein w 2 L(S 0 ) und k1 , . . . , kn 2 K mit b = w + ni=1 ki ti . Falls nun
n = 0, so ist b 2 L(S 0 ), zur linearenDimension
Unabhängigkeit von S. Also ist n 1, und es folgt
(1) für S. Aus dem gleichen Grund
muß)mindestens
dim(V
= dimK (Veines
) der ki ungleich Null sein, oBdA,
kn 6= 0. Es gilt
n 1
X
1
ki
tn = (b w)
ti 2 L(S [ {t1 , . . . , tn 1 }) ,
kn
k
i=1 n
und V wird durch S [ {t1 , . . . , tn 1 } erzeugt. Damit ist (2) für S gezeigt.
4.3. Erzeugendensysteme, lineare Unabhängigkeit, Basen
kkn,n.,... ., .t , t } erzeugt.
kknn Damit
V
wird
durch
S
[
{t
ist
(2)
gezeigt.
i=1
und
wird
durch
S
[
{t
}
erzeugt.
Damit
ist
S gezeigt.
und
V
wird
durch
S
[
{t
,
.
.
.
,
t
}
erzeugt.
ist
(2)
gezeigt.
i=1 Damit
und V wird durch S [1{t11 ,1. .n. , 1tnn n11 }1erzeugt.
Damit
istfür
(2)Sf(2)
für
ür SfSür
gezeigt.
und V
durch
SS [
....,,ttnnVektorraum
Damit
11}} erzeugt.
und
V wird
wird
durch
[ {t
{t11,, ..einen
erzeugt.endlich-dimensional,
Damit ist
ist (2)
(2)für
fürSS gezeigt.
gezeigt.
Definition
4.25.
Man
nennt
wenn er eine endliche
Basis besitzt.
Korollar
Zwei
Basen
eines
endlich-dimensionalen
Vektorraumes
V haben
die
Korollar
4.27.
Zwei
Basen
eines
endlich-dimensionalen
Vektorraumes
VV haben
die
Korollar
4.27.
Zwei
Basen
eines
endlich-dimensionalen
Vektorraumes
V gleiche
haben
die gleiche
Korollar4.27.
4.27.
Zwei
Basen
eines
endlich-dimensionalen
Vektorraumes
haben
diegleiche
gleiche
Anzahl
von
Elementen.
Anzahl
von
Elementen.
Anzahl
von
Elementen.
4.27.
Zwei
eines
VV haben
Satz
4.26
(Austauschsatz
von Steinitz).
Sei V ein VektorraumVektorraumes
über einem Körper
K. Tdie
✓ gleiche
Vgleiche
Anzahl
von
Elementen.
Korollar
Zwei Basen
Basen
eines endlich-dimensionalen
endlich-dimensionalen
Vektorraumes
haben
die
eine
endliche
die V erzeugt,
V eine
linear
unabh
ängige
Anzahl
von
Elementen.
Beweis.
Da Teilmenge,
VElementen.
endlich-dimensional
ist, und
gibt Ses✓eine
endliche
Basis
S✓
V . SeiMenge.
B eineDann
andere
Da
V
endlich-dimensional
ist,
gibt
es
eine
endliche
Basis
S
✓
V
.
Sei
B
eine
Beweis.
Da
V
endlich-dimensional
ist,
gibt
es
eine
endliche
Basis
S
✓
V
.
Sei
Bandere
eine andere
Beweis.
endlich-dimensional
ist,
gibt
es
eine
endliche
Basis
S
✓
V
.
Sei
B
eine
andere
gilt
Basis, so folgt aus Satz 4.26, dass |B|  |S| gilt. Wenn man nun die Rollen von B und S in
Beweis.
Da
V aus
endlich-dimensional
ist,
gibt
es
eine
endliche
Basis
SS
✓✓VRollen
. .Sei
BB
eine
andere
folgt
Satz
4.26,
dass
|B|

|S|
Wenn
man
nun
die
von
BB
und
inin S in
endlich-dimensional
ist,
gibt
esgilt.
eine
endliche
Basis
VRollen
Sei
eine
andere
Basis,
so
folgt
aus
Satz
4.26,
dass
|B|

|S|
gilt.
Wenn
man
nun
die
Rollen
von
BSSund
so
dass
|B|

|S|
gilt.
Wenn
man
nun
die
von
und
(1)
|S|

|T
|
dem Satz vertauscht folgt aber auch |B| |S|.
so folgt
aus|TSatz
4.26,
dass
|B|

|S|
gilt.
Wenn
man
BBänzt
und
Basis,
Satz
4.26,
dassauch
|B|

|S|zu
gilt.
Wenn
mannun
nundie
dieRollen
Rollen
von
undSSinin
dem
vertauscht
aber
|B|
|S|.
Satz
vertauscht
folgt
aber
auch
|B|
|S|.
(2)
S Satz
kann
durch
| folgt
|S|
Elemente
von
T
einem
Erzeugendensystem
vonvon
V erg
aber
auch
|B|
|S|.
demwerden.
Satz vertauscht folgt
folgt aber
aber auch
auch |B|
|B| |S|.
|S|.
Definition 4.28. Die Anzahl der Elemente einer Basis eines endlich-dimensionalen VektorBeweis.
durch
vollst
ändige
Induktion
nach
|S|.
FBasis
ür eines
|S| eines
0, endlich-dimensionalen
d.h. S = ; ist die VektorDie
Anzahl
Elemente
einer
Basis
Definition
der
Elemente
einer
Basis
eines
endlich-dimensionalen
VektorDefinition
4.28.
Die
Anzahl
der
Elemente
einer
Vektorraums
V Beweis
wird 4.28.
Dimension
von
V der
genannt.
Man
schreibt
dim(V
).=endlich-dimensionalen
Behauptung
trivial.
Angenommen
die
Behauptung
gilt
fürschreibt
alle
Mengen
mit).weniger als |S|
Definition
Die Anzahl
Anzahl
der
Elemente
einer
Basis
eines
endlich-dimensionalen
Vektor4.28.
Die
der
Elemente
einer
Basis
eines
endlich-dimensionalen
VektorDimension
von
V
genannt.
Man
schreibt
dim(V
).
VV wird
von
V
genannt.
Man
schreibt
dim(V
).
raums
wird
Dimension
von
V
genannt.
Man
dim(V
Elementen.
Sei
S 0 :=
S \VV{b}.
S 0 istK-Vektorraum,
linear
unabhängig.
n :=linear
|T | unabh
|S 0 |. Dann
Korollar
SeiS,Vund
endlich-dimensionaler
S ✓Sei
V).).eine
ängige
raums V 4.29.
wirdb 2
Dimension
von
genannt.
Man schreibt
schreibt
dim(V
Dimension
von
genannt.
Man
dim(V
0
ist
nach
(1)
n
0
und
es
gibt
nach
(2)
t
,
.
.
.
,
t
2
T
,
sodass
S
[SS{t✓
,SV.gilt:
.eine
, tVn }linear
V erzeugt.
Teilmenge,
und
T
✓
V
ein
endliches
Erzeugendensystem
von
V
.
Dann
Korollar
endlich-dimensionaler
K-Vektorraum,
✓
V.✓
eine
linear
unabh
ängige
1
n
1P
4.29.
Sei
V
endlich-dimensionaler
K-Vektorraum,
unabh
ängige
Korollar 4.29. Sei V endlich-dimensionaler K-Vektorraum,
eine
linear
unabh
ängige
n
0
Korollar
V
endlich-dimensionaler
K-Vektorraum,
S
✓
V
eine
linear
unabh
ängige
4.29.
Sei
V
endlich-dimensionaler
K-Vektorraum,
S
✓
V
eine
linear
unabh
ängige
Insbesondere
gibt
2ein
L(S
) und kErzeugendensystem
. . . , kn 2 K mit b von
=
wvon
+.. Dann
kigilt:
ti . Falls
nun
(1) |S|  dim(V
)TTein
1 ,Erzeugendensystem
Teilmenge,
endliches
Erzeugendensystem
von
Dann
gilt:
und
✓✓VwVein
endliches
VV
i=1
Teilmenge,
undes
endliches
V
.
Dann
gilt:
0 V
ein
endliches
Erzeugendensystem
von
Dann
gilt:
und
T
✓
ein
Erzeugendensystem
von
VV. .ist
Dann
n Teilmenge,
=
0,
so
ist
b
2
L(S
), Vdann
zurendliches
linearen
Unabh
ängigkeit
von S.
Also
n gilt:
1, und es folgt
(2)
S
ist
Basis
genau
wenn
|S|
=
dim(V
).
(1)
|S|

dim(V
)
(1)
|S|

dim(V
)
(1)
|S|
dim(V
dim(V
)
(1)(3)
f(2)
ür|TS.
dem)gleichen
Grund
muß|S|
mindestens
eines
der ki ungleich Null sein, oBdA,
| Aus
S
ist
Basis
genau
dann
wenn
=
dim(V
).
wenn
|S|
=
dim(V
).
(2)
S ist
ist
Basisgenau
genau
dann
wenn
|S|
= dim(V
genau
dann
wenn
|S|
=
dim(V
). ).
kn(4)
6=(2)
0.T Es
gilt
S
Basis
dann
wenn
|S|
=
dim(V
).
ist
Basis
genau
dann
wenn
|T
|
=
dim(V
).
(3) |T
|| dim(V
))
n 1
(3)
|T
dim(V
X
(3)
|T
|
dim(V
)
(5)
Jede
linear
unabh
ängige
Teilmenge
✓ dim(V
V kann). zu einer Basis ergänzt werden.
1
kS
i=
(4)
T
ist
Basis
genau
dann
wenn
|T
|
wenn
|T| ||T
=t|dim(V
).
tngenau
= dann
(bdann
w)
2 L(S
[ {t).1 , . . . , tn 1 }) ,
(4)
istBasis
Basisgenau
wenn
=
dim(V
i dim(V
(4) TT ist
genau
wenn
|T
=
).
dann
wenn
|T
|
=
dim(V
).
knängige Teilmenge
kn S ✓ V kann zu einer Basis ergänzt werden.
(5)
Jede
linear
unabh
i=1
Teilmenge
S✓
V✓
kann
einer
Basis
erg
änzt
werden.
Beweis.
(1)
V
ist
endlich-dimensional
hat
B.
4.26
impliziert
|S|werden.

(5)
Jedelinear
linearunabh
unabh
ängige
Teilmenge
S
VBasis
kann
zuSatz
einer
Basis
erg
änzt
Jede
linear
unabh
ängige
Teilmenge
✓✓
kann
zuzu
einer
Basis
erg
änzt
werden.
(5) Jede
ängige
Teilmenge
SSalso
VVeine
kann
zu
einer
Basis
erg
änzt
werden.
|B| =
).
und
V dim(V
wird durch
S [ {t1 , . . . , tn 1 } erzeugt. Damit ist (2) für S gezeigt.
Beweis.
(1)
V ist
ist
endlich-dimensional
hat
also
eine
Basis
B.
Satz
4.26
impliziert
|S| 
Beweis.
(1)
ist
endlich-dimensional
hat
also
eine
Basis
B.
Satz
4.26
impliziert
(1)
endlich-dimensional
hat
also
eine
Basis
Satz
4.26
impliziert
|S||S|
Beweis.
(1)4.26
ist
endlich-dimensional
hat
also
eine
B.4.26
Satz
4.26
impliziert
(2)
Nach Satz
kann
S durch Ergänzung
von
|B|
|S|
= Basis
0B.Elementen
zu
einer
Basis
Beweis.
(1)
VVVV ist
endlich-dimensional
hat
also
eine
Basis
B.
Satz
impliziert
|S|
  |S| 
|B|
=
dim(V
).).
|B|
dim(V
).
=
dim(V
).
= dim(V
dim(V).
|B| =
Korollar
4.27.
Zwei
Basen
eines
endlich-dimensionalen
Vektorraumes
haben die
gleiche
(2)
Nach
Satz
4.26
kann
SS
durch
Erg
änzung
von|B|
|B||B|
|S|
=
0V=
Elementen
zu
einer
BasisBasis
(2)
Satz
4.26
kann
S
durch
Erg
änzung
von
|B|
|S|
=
0
Elementen
zu
einer
Basis
Nach
Satz
4.26
kann
S
durch
Erg
änzung
von
|S|
=
0
Elementen
zu
einer
Basis
Nach
Satz
4.26
kann
durch
Erg
änzung
von
|S|
0
Elementen
zu
einer
(2) Nach Satz 4.26 kann S durch Ergänzung von |B| |S| = 0 Elementen zu einer Basis
Anzahl von Elementen.
Beweis. Da V endlich-dimensional ist, gibt es eine endliche Basis S ✓ V . Sei B eine andere
Basis, so folgt aus Satz 4.26, dass |B|  |S| gilt. Wenn man nun die Rollen von B und S in
dem Satz vertauscht folgt aber auch |B| |S|.
4.3. Erzeugendensysteme, lineare Unabhängigkeit, Basen
ergänzt werden.
erg
werden. von Satz 4.26 auf B und T impliziert dim(V ) = |B|  |T |.
(3)änzt
Anwendung
(3)
Satz
4.26
und T impliziert
) =Basis
|B| von
|T |.V ist. Falls aber
(4) Anwendung
Nach Lemmavon
4.22
gibt
es auf
eineBTeilmenge
T 0 ✓ T ,dim(V
die eine
0
(4)
Nach
eine Teilmenge
T 0 ✓ T , die eine Basis von V ist. Falls aber
T0 (
T , soLemma
wäre |T4.22
| < gibt
|T | =esdim(V
), .
0
von
T(5)
(Nach
T , soSatz
wäre4.26
|T 0 |kann
< |T S
| Dimension
=durch
dim(VErg
), änzung
. Untervektorräumen
von |B| |S| Elementen zu einem Erzeugen(5)
Nach Satz
4.26
kann
S durch
einem(3)Erzeugendensystem
S 0 erg
änzt
werden.
Es Erg
giltänzung
|S 0 |  von
|S| +|B|
|B| |S|
|S|Elementen
= dim(V ).zuNach
gilt die
0
0
densystem
erg
änzt
Es Sgilt
|S 0 |Basis
 |S|
Gleichheit, Sund
aus
(4)werden.
folgt, dass
eine
ist.+ |B| |S| = dim(V ). Nach (3) gilt die
Gleichheit, und aus (4) folgt, dass S 0 eine Basis ist.
Lemma 4.30. Sei V ein K-Vektorraum, und n 2 N, so dass für jede linear unabhängige
Menge S 4.30.
✓ V gilt
dann ist V endlich-dimensional.
Lemma
Sei|S|
V 
einn,K-Vektorraum,
und n 2 N, so dass für jede linear unabhängige
Menge
S✓
 n,linear
dann unabh
ist V ängige
endlich-dimensional.
Beweis.
SeiV Sgilt
✓ |S|
V eine
Menge mit |S| = n. Dann ist S auch ein Erzeugendensystem
V.
Beweis.
Sei S ✓ von
V eine
S 0 := S [ {v} auchvon
linear
zeugendensystem
V.
S 0 := S [ {v} auch linear
Denn anderenfalls
äbe es mit
ein V|S|3=vn.62 Dann
L(S),ist
und
damitein
wäre
linear
unabhängigegMenge
S auch
Erunabh
aber |Sg0 |äbe
> n,es ein
. V 3 v 62 L(S), und damit wäre
Denn ängig,
anderenfalls
unabhängig, aber |S 0 | > n, .
Proposition 4.31. Sei W ein Untervektorraum eines endlich-dimensionalen Vektorraums
V . Dann ist auch
W Sei
endlich-dimensional
und dim(W
) endlich-dimensionalen
dim(V ) mit Gleichheit Vektorraums
genau dann
Proposition
4.31.
W ein Untervektorraum
eines
V =istWauch
.
Vwenn
. Dann
W endlich-dimensional und dim(W )  dim(V ) mit Gleichheit genau dann
wenn
V =Jede
W . linear unabhängige Menge S ⇢ W ist auch in V linear unabhängig. Daher gilt
Beweis.
|S|  dim(V
). Nach
4.30 istMenge
daherSauch
endlich-dimensional.
Sei Bängig.
eine Basis
Beweis.
Jede
linearLemma
unabhängige
⇢ WWist
auch in V linear unabh
Dahervon
gilt
W .
Dann
ist).BNach
auchLemma
linear unabh
ängig
in Vauch
. Also
dim(W ) = |B|  dim(V
BeiBasis
Gleich|S|
dim(V
4.30 ist
daher
W gilt
endlich-dimensional.
Sei B ).
eine
von
heit
gilt |B|
), undunabh
damitängig
ist B in
auch
von V .)Also
istVdim(V
= L(B)
= WGleich.
W
. Dann
ist =Bdim(V
auch linear
V . eine
AlsoBasis
gilt dim(W
= |B|
). Bei
heit gilt |B| = dim(V ), und damit ist B auch eine Basis von V . Also ist V = L(B) = W .
Beispiel 4.32. Seien V und W zwei Vektorräume über K. Dann ist
Beispiel 4.32. Seien V undVW⇥zwei
K.WDann
ist
W :=Vektorr
{(v, w)äume
| v 2 über
V, w 2
}
vermöge
vermöge
V ⇥ W := {(v, w) | v 2 V, w 2 W }
k · (v, w) = (k
· v,Erzeugendensysteme,
k · w) für k 2 K und
4.3.
lineare
Unabhängigkeit, Basen